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Lokale Körper - Mathematisches Institut der Ludwig-Maximilians

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Ralf Gerkmann
Mathematisches Institut der
Ludwig-Maximilians-Universität München
Lokale Körper
(Version vom 19. Dezember 2014)
Inhaltsverzeichnis
............................
3
§ 1.
Bewertungen und Bewertungsringe
§ 2.
Die Bewertungen der Zahlkörper und der rationalen Funktionenkörper
...
20
§ 3.
Vollständigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
§ 4.
Projektive Limiten und unendliche Galoistheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40
§ 5.
Das Henselsche Lemma
....................................
60
§ 6.
Lokale Körper
...........................................
76
§ 7.
Bewertungsfortsetzungen und Verzweigungstheorie
................
94
§ 1. Bewertungen und Bewertungsringe
Der aus der elementaren Mathematik bekannte Absolutbetrag auf den reellen und komplexen Zahlen kann folgendermaßen auf beliebige Körper verallgemeinert werden.
Definition 1.1
Eine Betragsbewertung auf einem Körper K ist eine Abbildung | · | : K → R+ mit
der Eigenschaft, dass für alle a, b ∈ K die Bedingungen
(i) |a| = 0 ⇔ a = 0
(ii) |ab| = |a||b|
(iii) |a + b| ≤ |a| + |b|
erfüllt sind.
Das Paar (K , | · |) nennt man dann auch einen bewerteten Körper.
Die Bedingung (iii) wird häufig als Dreiecksungleichung bezeichnet. Man beachte, dass für jede Betragsbewertung aus
|1| = 0 und |1|2 = |1|·|1| = |1·1| = |1| jeweils |1| = 1 folgt. Ebenso liefert |−1|2 = |(−1)2 | = |1| = 1 die Gleichung |−1| = 1. Wie
bei den reellen und komplexen Zahlen rechnet man unmittelbar nach, dass auch die Ungleichung ||a| − |b|| ≤ |a − b|
für alle a, b ∈ K erfüllt ist.
Offenbar ist für jeden Körper K durch |0K | = 0 und |a| = 1K für alle a ∈ K × eine Betragsbewertung definiert; man nennt
sie die triviale Betragsbewertung des Körpers.
Proposition 1.2
Beweis:
Auf einem endlichen Körper ist die einzige Betragsbewertung die triviale.
Sei K endlich, und nehmen wir an, dass | · | eine nichttriviale Betragsbewertung auf K ist. Dann gibt es ein
a ∈ K × mit |a| = 1. Weil es sich bei K × um eine endliche Gruppe handelt, gilt a n = 1 für ein n ∈ N. Aber andererseits
ist |a n | = |a|n wegen |a| = 1 entweder kleiner oder größer als 1. Der Widerspruch zeigt, dass auf K keine nichttriviale
Betragsbewertung existiert.
Wir wiederholen einige Grundlagen aus der mengentheoretischen Topologie. Den Begriff des topologischen Raums
und die Definition der offenen und abgeschlossenen Teilmengen eines solchen Raums setzen wir als bekannt voraus.
Ist X ein topologischer Raum und p ∈ X , dann ist eine Umgebung von p eine Teilmenge U ⊆ X mit der Eigenschaft,
dass in X eine offene Menge V mit p ∈ V und V ⊆ U existiert. Eine offene Umgebung von p ist einfach eine offene
Teilmenge von X , die p enthält. Eine Menge B von Umgebungen von p wird Umgebungsbasis genannt, wenn für jede
Umgebung U von p eine Meng V ∈ B mit p ∈ V und V ⊆ U existiert. Umgekehrt ist eine Teilmenge U ⊆ X unter
dieser Voraussetzung genau dann eine Umgebung von p, wenn ein V ∈ B mit V ⊆ U existiert. Bezeichnen wir nun für
jeden Punkt p ∈ X mit Bp eine beliebig gewählte Umgebungsbasis, dann erfüllen diese Mengensysteme die folgenden
Bedingungen.
(i) Für jedes p ∈ X und U ∈ Bp gilt p ∈ U .
(ii) Für vorgegebene p ∈ X und U1 ,U2 ∈ Bp existiert jeweils ein V ∈ Bp mit V ⊆ U1 ∩U2 .
(iii) Für jedes p ∈ X und jedes U ∈ Bp gibt es eine Menge V ⊆ U mit p ∈ V und der folgenden weiteren Eigenschaft:
Für jeden Punkt q ∈ V gibt es ein W ∈ Bq mit W ⊆ V .
—– 3 —–
§ 1.
Bewertungen und Bewertungsringe
Durch die Bedingung (iii) wird ausgedrückt, dass V eine Umgebung all ihrer Punkte ist. Dies ist gleichbedeutend
damit, dass es sich bei V um eine offene Menge handelt; jede Umgebung U von p soll also eine offene Umgebung von
p enthalten.
Ist nun X eine beliebige Menge, und ist für jeden Punkt p ∈ X ein Mengensystem Bp vorgegeben, so dass die Bedingungen (i) bis (iii) erfüllt sind, dann existiert auf X eine eindeutig bestimmte Topologie T mit der Eigenschaft, dass für
jeden Punkt p das Mengensystem Bp jeweils eine Umgebungsbasis von p ist. Eine Teilmenge V ⊆ X ist genau dann
offen in (X , T ), es gilt also V ∈ T genau dann, wenn für jedes q ∈ V ein W ∈ Bq mit W ⊆ U existiert. Insbesondere ist
eine Topologie also durch die Angabe von Umgebungsbasen für jeden Punkt eindeutig festgelegt.
Wir erinnern an den folgenden Satz aus der elementare Topologie.
Satz 1.3
Sei (X , d ) ein metrischer Raum. Dann existiert auf X eine eindeutig bestimmte Topo-
logie mit der Eigenschaft, dass für jedes p ∈ X die Mengen der Form Ur (p) = {x ∈ X | d (p, x) < r }
eine Umgebungsbasis von p bilden.
Beweis:
Zu überprüfen ist, dass für jedes p ∈ X die Mengensysteme der Form Bp = {Ur (p) | r ∈ R+ } den oben
aufgeführten Bedingungen (i),(ii),(iii) genügen. Ist p ∈ X und U ∈ Bp , dann gilt U = Ur (p) für ein r ∈ R+ , und wegen
d (p, p) = 0 < r ist p in U enthalten. Also ist (i) erfüllt. Seien nun p ∈ X und U1 ,U2 ∈ Bp vorgegeben. Dann gibt es
r 1 , r 2 ∈ R+ mit U1 = Ur 1 (p) und U2 = Ur 2 (p). Setzen wir r = min{r 1 , r 2 }, dann liegt V = Ur (p) wiederum in Bp , und
offensichtlich gilt V ⊆ U1 ∩U2 . Dies zeigt, dass auch (ii) erfüllt ist.
Zum Nachweis von (iii) seien p ∈ X und U ∈ Bp vorgegeben. Wiederum gilt U = Ur (p) für ein geeignetes r ∈ R+ . Sei
V = U und q ∈ V ein beliebiger Punkt. Setzen wir s = r − d (p, q), dann gilt s > 0, und die Menge W = U s (b) erfüllt
W ⊆ V . Denn für jedes x ∈ W gilt d (q, x) < s, und auf Grund der Dreiecksungleichung folgt d (p, x) ≤ d (p, q)+d (q, x) <
d (p, q) + (r − d (p, q)) = r , also x ∈ V .
Unmittelbar aus der Definition der Betragsbewertungen auf einem Körper folgt
Proposition 1.4
Sei (K , | · |) ein bewerteter Körper. Dann ist durch d (a, b) = |a − b| eine Metrik
auf K definiert.
Beweis:
Seien a, b, c ∈ K vorgegeben. Zunächst gilt d (a, b) = 0 ⇔ |a − b| = 0 ⇔ a − b = 0 ⇔ a = b, außerdem d (a, b) =
|a − b| = |(−1)(a − b)| = |b − a| = d (b, a). Die Dreiecksungleichung erhält man schließlich durch die kurze Rechnung
d (a, c) = |(a − b) + (b − c)| ≤ |a − b| + |b − c| = d (a, b) + d (b, c).
Ist (X , T ) ein topologischer Raum, dann bezeichnet man als Produkttopologie auf X × X die eindeutig bestimmte
Topologie mit der Eigenschaft, dass für jeden Punkt (p, q) ∈ X × X durch
B(p,q)
=
{U × V | U ,V offen, mit p ∈ U und q ∈ V }
eine Umgebungsbasis von (p, q) gegeben ist. Handelt sich bei (X , d ) um einen metrischen Raum, dessen Topologie mit
T übereinstimmt, dann bilden auch die Mengen Ur (p)×U s (q) mit r, s ∈ R+ eine Umgebungsbasis von (p, q) bezüglich
der Produkttopologie, wie man anhand der Definitionen unmittelbar nachprüft. Zugleich wird die Produkttopologie
auf X × X dann auch durch die Metrix d ((p, q), (p , q )) = max{d (p, p ), d (q, q )} induziert.
—– 4 —–
§ 1.
Bewertungen und Bewertungsringe
Die Produkttopologie kann verwendet werden, um Topologien auf algebraischen Strukturen zu definieren. Ein Ring
(R, +, ·) wird topologischer Ring genannt, wenn auf R eine Topologie existiert, so dass die Abbildungen + : R × R → R
und · : R × R → R stetig sind, wobei auf R × R die Produkttopologie zu Grunde gelegt wird. Ist R sogar ein Körper und
auch die Abbildung K × → K × , a → a −1 stetig, dann spricht man von einem topologischen Körper.
Proposition 1.5
Auf jedem bewerteten Körper (K , | · |) existiert eine eindeutig bestimmte Topo-
logie mit der Eigenschaft, dass für jedes a ∈ K die Mengen der Form
Ur (a) = c ∈ K |c − a| < r
mit r ∈ R+
eine Umgebungsbasis von a bilden. Man bezeichnet sie als die von | · | induzierte Topologie auf
K . Bezüglich dieser Topologie wird K zu einem topologischen Körper.
Beweis:
Dass die Mengen der Form Ur (a) eine eindeutig bestimmte Topologie auf K liefern, folgt direkt aus Satz 1.3
und Proposition 1.5. Zu zeigen bleibt, dass K bezüglich dieser Topologie zu einem topologischen Körper wird. Dies ist
nach Definition gleichbedeutend mit der Stetigkeit der beiden Abbildungen K × K → K gegeben durch (a, b) → a + b,
(a, b) → ab und der Abbildung K × → K × , a → a −1 . Aus der elementaren Topologie ist bekannt, dass in metrischen
Räumen Stetigkeit und Folgenstetigkeit zueinander äquivalent sind. Es genügt also zu zeigen, dass die drei angegebenen Abbildungen folgenstetig sind.
Der Nachweis dieser Eigenschaft ist im Prinzip aus der Vorlesung über mehrdimensionale Analysis bekannt. Sei (a, b) ∈
K ×K und ((a n , b n ))n∈N eine Folge, die bezüglich der Produkttopologie gegen (a, b) konvergiert. Zu zeigen ist, dass die
Folgen (a n + b n )n∈N und (a n b n )n∈N gegen a + b bzw. ab konvergieren. Sei ε ∈ R+ vorgegeben. Dann gibt es ein N ∈ N
mit (a n , b n ) ∈ Uε/2 (a) ×Uε/2 (b) für alle n ≥ N . Es folgt
|(a n + b n ) − (a + b)|
|a n − a| + |b n − b|
≤
<
1
1
2ε+ 2ε
=
ε
für alle n ≥ N . Damit ist die Stetigkeit von + bewiesen. Weil konvergente Folgen in metrischen Räumen beschränkt
sind, gibt es ein κ ∈ R+ mit max{|a n |, |b n |} < κ für alle n ∈ N. Nach eventueller Vergrößerung von κ können wir auch
|a|, |b| < κ annehmen. Wählen wir nun N1 ∈ N so groß, dass (a n , b n ) ∈ Uε1 (a)×Uε1 (b) mit ε1 =
ε
2κ
für alle n ≥ N1 erfüllt
ist. Wir erhalten
|a n b n − ab|
=
|(a n b n − ab n ) + (ab n − ab)|
≤
|a n − a||b n | + |a||b n − b|
ε
ε
κ+κ
2κ
2κ
<
=
ε
für n ≥ N1 , was die Stetigkeit der Multiplikation beweist. Zum Nachweis der Stetigkeit von a → a −1 sei a ∈ K × und
(a n )n∈N eine Folge in K × mit limn a n = a. Nach Weglassen von endlich vielen Folgengliedern können wir voraussetzen, dass |a n − a| ≤ 21 |a| für alle n ∈ N erfüllt ist. Es folgt dann |a n | ≥ 21 |a| für alle n ∈ N, ansonsten würde sich der
Widerspruch |a| ≤ |a − a n | + |a n | < 12 |a| + 21 |a| = |a| ergeben. Sei nun ε ∈ R+ vorgegeben und N2 ∈ N so gewählt, dass
|a n − a| < Uε2 (a) mit ε2 = 12 ε|a|2 für alle n ≥ N2 gilt. Dann folgt
1
1
−
an a
=
a − an
an a
=
1
an a
|a n − a|
<
2 ε|a|2
·
|a|2
2
=
ε
für alle n ≥ N2 , also ist auch die Invertierungsabbildung stetig.
Eine Topologie auf einer Menge X bezeichnet man als diskret, wenn alle Teilmengen von X bezüglich dieser Topologie
offen sind.
—– 5 —–
§ 1.
Bewertungen und Bewertungsringe
Proposition 1.6
Eine Betragsbewertung induziert genau dann auf einem Körper die diskrete
Topologie, wenn sie trivial ist.
Beweis:
Sei (K , | · |) ein bewerteter Körper derart, dass | · | auf K die diskrete Topologie induziert und nehmen wir
an, dass die Betragsbewertung | · | dennoch nicht trivial ist. Dann gibt es ein Element a ∈ K × mit |a| = 1. Nachdem
wir a gegebenenfalls durch a −1 ersetzt haben, können wir wegen |a −1 | = |a|−1 davon ausgehen, dass |a| < 1 gilt. Nach
Voraussetzung ist {0} eine offene Teilmenge von K . Weil die Mengen der Form Ur (0) eine Umgebungsbasis von 0
bilden, existiert ein r ∈ R+ mit Ur (0) = {0}. Andererseits existiert ein n ∈ N mit |a n | = |a|n < r , woraus a n ∈ Ur (0)
und a n = 0 folgt. Weil K aber ein Körper ist, muss mit a auch a n ungleich Null sein. Der Widerspruch zeigt, dass die
Betragsbewertung | · | trivial sein muss.
Ist umgekehrt | · | die triviale Betragsbewertung auf K , dann gilt Ur (a) = {a} für jedes a ∈ K und jedes r ∈ R+ mit r ≤ 1.
Insbesondere ist {a} also eine offene Umgebung von a. Weil beliebige Vereinigungen offener Mengen wieder offen
sind, folgt daraus, dass jede Teilmenge von K offen ist. Also induziert | · | auf K die diskrete Topologie.
Auf Grund dieser Proposition werden wir uns im weiteren Verlauf fast ausschließlich mit nichttrivialen Bewertungen
beschäftigen.
Definition 1.7
Man bezeichnet zwei Betragsbewertungen | · | und | · |1 auf einem Körper K als
äquivalent, wenn die beiden auf K induzierten Topologien übereinstimmen.
Für jeden Körper K ist somit eine Äquivalenzrelation auf der Menge der Betragsbewertungen von K definiert. Dabei ist
die triviale Betragsbewertung nach Proposition 1.6 nur zu sich selbst äquivalent. Eine Äquivalenzklasse nichttrivaler
Betragsbewertungen von K bezeichnet man auch als Primstelle des Körpers K . Ist allgemeiner L|K eine Körpererweiterung, dann sind die Primstellen von L|K nach Definition die Äquivalenzklassen nichttrivialer Bewertungen | · | von
L mit |a| = 1 für alle a ∈ K × .
Satz 1.8
Seien | · | und | · |1 zwei nichttriviale Betragsbewertungen auf einem Körper K . Dann
sind die folgenden drei Aussagen gleichwertig.
(i) Für jedes a ∈ K folgt aus |a| < 1 jeweils |a|1 < 1.
(ii) Es gibt ein s ∈ R+ , so dass |a|1 = |a|s für alle a ∈ K erfüllt ist.
(iii) Die beiden Betragsbewertungen sind äquivalent.
Beweis: „(i) ⇒ (ii)“ Weil die Bewertung |·| nichttrivial ist, gibt es ein a ∈ K × mit |a| = 1. Nachdem wir a gegebenenfalls
durch a −1 ersetzt haben, können wir davon ausgehen, dass |a| > 1 gilt. Aus |a| > 1 folgt |a −1 | < 1, und auf Grund
unserer Voraussetzung ist damit auch |a −1 |1 < 1 und |a|1 > 1 erfüllt. Somit ist
s
=
ln |a|1
ln |a|
eine positive Zahl. Sei nun b ∈ K × beliebig vorgegeben. Wir zeigen, dass dann |b|1 = |b|s gilt; diese Gleichung ist
äquivalent zu ln |b|1 = s ln |b| oder zu
s
=
ln |b|1
ln |b|
—– 6 —–
§ 1.
Bewertungen und Bewertungsringe
Um nun diese Gleichung zu beweisen, sei α ∈ R+ so gewählt, dass |b| = |a|α gilt. Sei außerdem ( n k )k∈N eine Folge
m
m
rationaler Zahlen mit limk n k
k
mk
|a| nk < |b|
⇒
= α und
|a|mk < |b|nk
für alle k ∈ N und damit wegen
mk
nk
⇒
m
limk n k
k
k
< α für alle k ∈ N, wobei jeweils m k ∈ Z und n k ∈ N ist. Es gilt nun
a mk
<1
b nk
⇒
a mk
b nk
<1
⇒
1
m
n
|a|1 k < |b|1 k
⇒
mk
n
|a|1 k < |b|1
= α auch |a|α
1 ≤ |b|1 . Mit einer Folge rationaler Zahlen, die von oben gegen
α
α konvergiert, beweist man nach demselben Muster die Ungleichung |a|α
1 ≥ |b|1 . Insgesamt gilt also |a|1 = |b|1 . Diese
Gleichung wiederum liefert
ln |b|
ln |b|1
=α=
ln |a|
ln |a|1
⇔
ln |b|1
ln |a|1
=s=
.
ln |b|
ln |a|
„(ii) ⇒ (iii)“ Sei s ∈ R+ mit der Eigenschaft, dass |a|1 = |a|s für alle a ∈ K × erfüllt ist. Setzen wir für a ∈ K und r ∈ R+
jeweils Ur (a) = {c ∈ K | |c − a| < r } und U1,r (a) = {c ∈ K | |c − a|1 < r , dann gilt U1,r s (a) = Ur (a), denn für alle c ∈ K × gilt
die Äquivalenz |c − a|1 < r s ⇔ |c − a|s < r s ⇔ |c − a| < r . Dies zeigt, dass die Mengen Ur (a) eine Umgebungbasis von a
sowohl bezüglich der | · |- als auch bezüglich der | · |1 -Topologie bilden. Also stimmen die beiden Topologien überein.
„(iii) ⇒ (i)“ Sei a ∈ K mit |a| < 1. Dann konvergiert die Folge (a n )n∈N bezüglich der | · |-Topologie gegen Null. Weil
die beiden Bewertungen dieselbe Topologie definieren, konvergiert die Folge auch bezüglich | · | gegen Null, d.h. die
Folge der reellen Zahlen |a n | = (|a| )n ist eine Nullfolge. Dies wiederum ist nur möglich, wenn |a| < 1 gilt.
Die folgende Aussage kommt fast immer zum Einsatz, wenn verschiedene Betragsbewertungen auf einem Körper im
Spiel sind.
Satz 1.9
(Approximationssatz)
Seien K ein Körper, s ∈ N und |·|1 , ..., |·|s nichttriviale, paarweise nicht-äquivalente Betragsbewertungen auf K . Seien a 1 , ..., a s ∈ K beliebig vorgegeben. Dann existiert für jedes ε ∈ R+ ein Element
a ∈ K , so dass |a k − a|k < ε für 1 ≤ k ≤ s erfüllt ist.
Als Vorbereitung beweisen wir
Lemma 1.10 Seien K ein Körper, s ∈ N und |·|1 , ..., |·|s nichttriviale, paarweise nicht-äquivalente
Betragsbewertungen auf K . Dann gibt es ein a ∈ K mit |a|1 > 1 und |a|k < 1 für 1 ≤ k ≤ s.
Beweis:
Für s = 1 folgt die Aussage sofort aus der Tatsache, dass | · |1 nichttrivial ist. Beweisen wir sie nun durch
vollständige Induktion für größere s und beginnen mit dem Fall s = 2. Weil |·|1 nichttrivial und |·|1 , |·|2 nicht äquivalent
sind, gibt es ein u ∈ K × mit |u|1 > 1 und |u|2 ≤ 1. Ebenso findet man ein v ∈ K × mit |v|1 ≤ 1 und |v|2 > 1. Setzen wir
a = uv , dann gilt |a|1 > 1 und |a|2 < 1.
Sei nun s > 2, und setzen wir die Aussage für s −1 voraus. Nach Induktionsvoraussetzung gibt es ein u ∈ K × mit |u|1 > 1
und |u|k < 1 für 2 ≤ k ≤ s − 1. Außerdem gibt es ein v ∈ K × mit v ∈ K × mit |v|1 > 1 und |v|n < 1. Ist nun |u|n ≤ 1, dann
erfüllt u m v für hinreichen großes m ∈ N die Bedingungen |u m v|1 > 1 und |u m v|k < 1 für 1 ≤ k ≤ s. Nehmen wir nun
an, dass |u|n > 1 ist. In diesem Fall definieren wir für jedes m ∈ N das Element
tm
=
um
.
1 + um
—– 7 —–
§ 1.
Bewertungen und Bewertungsringe
Die Folge (t m )m∈N konvergiert bezüglich | · |1 und | · |s gegen 1 und bezüglich | · |k gegen Null für 2 ≤ k ≤ s − 1. Für
hinreichend großes m gilt nun |t m v|1 > 1 und |t m v|k < 1 für 2 ≤ k ≤ s.
Beweis von Satz 1.9:
Nach Lemma 1.10 gibt es für 1 ≤ k ≤ s jeweils ein u k ∈ K × mit |u k |k > 1 und |u k | j < 1 für j = k. Die Folge bestehend
aus den Elementen
u k(m)
=
u km
1 + u km
konvergiert für m → ∞ bezüglich | · | j im Fall j = k gegen 1 und im Fall j = k gegen Null. Also konvergiert die Folge
bestehend aus den Elementen a (m) = u 1(m) a 1 + ... + u s(m) a s bezüglich | · |k jeweils gegen a k , für 1 ≤ k ≤ s.
Die folgende Aufteilung der Betragsbewertungen wird im weiteren Verlauf eine wichtige Rolle spielen.
Definition 1.11
Eine nichttriviale Betragsbewertung | · | : K → R+ auf einem Körper K bezeich-
nen wir als archimedisch, wenn für vorgegebene a, b ∈ K × jeweils ein n ∈ N existiert, so dass
|na| > |b| erfüllt ist. Eine nichttriviale Betragsbewertung, die diese Eigenschaft nicht besitzt, bezeichnen wir als nicht-archimedisch.
Seien |·|, |·| zwei äquivalente Betragsbewertungen. Offenbar ist |·| genau dann trivial (bzw. archimedisch, nicht-archimedisch), wenn | · | trivial (bzw. archimedisch, nicht-archimedisch) ist.
Wenden wir uns nun speziell den nicht-archimedischen Betragsbewertungen zu. Für sie wird sich die folgende Charakterisierung als nützlich erweisen.
Proposition 1.12
Für eine nichttriviale Betragsbewertung |·| : K → R+ auf einem Körper K sind
folgende Aussagen äquivalent.
(i) Die Betragsbewertung | · | ist nicht-archimedisch.
(ii) Die Teilmenge der reellen Zahlen gegeben durch |n 1K | n ∈ N ist beschränkt.
(iii) Es gilt die verschärfte Dreiecksungleichung |x + y| ≤ max { |x|, |y| } für alle x, y ∈ K .
Beweis: Die Äquivalenz „(i) ⇔ (ii)“ ist leicht zu sehen. Setzen wir zunächst voraus, dass |·| archimedisch ist, und sei κ ∈
R+ vorgegeben. Weil es sich bei |·| um eine nichttriviale Bewertung handelt, gibt es ein b ∈ K × mit |b| > 1. Ersetzen wir
a durch eine genügend hohe Potenz, dann erhalten wir |b| > κ. Wenden wir nun die archimedische Eigenschaft von
|·| auf a = 1K und b an, so finden ein n ∈ N mit |n1K | > |b| > κ. Dies zeigt, dass die Menge {|n1K | | n ∈ N} unbeschränkt
ist. Setzen wir umgekehrt voraus, dass die Menge unbeschränkt ist, und seien a, b ∈ K × beliebig vorgegeben. Dann
gibt es ein n ∈ N mit |n1K | > | ba |. Durch Multiplikation mit |a| erhalten wir |na| > b.
„(iii) ⇒ (ii)“ Für alle n ∈ N gilt auf Grund der verschärften Dreiecksungleichung jeweils |(n + 1)1K | = |n1K + 1K | ≤
max{|n1K |, |1K |}. Durch vollständige Induktion erhält man |n1K | ≤ |1K | für alle n ∈ N, insbesondere ist die Menge
{|n1K | | n ∈ N} beschränkt.
„(ii) ⇒ (iii)“ Sei κ ∈ R+ eine obere Schranke von {|n1K | | n ∈ N}, und seien a, b ∈ K vorgegeben, wobei wir o.B.d.A.
|a| ≥ |b| voraussetzen. Dann gilt |a|k |b|n−k ≤ |a|n für alle n ∈ N und 0 ≤ k ≤ n, und der binomische Lehrsatz liefert die
—– 8 —–
§ 1.
Bewertungen und Bewertungsringe
Abschätzung
|a + b|n
n
≤
k=0
n
|a|k |b|n−k
k
≤
κ(n + 1)|a|n .
Ziehen wir auf beiden Seiten die n-te Wurzel und lassen n gegen unendlich laufen, dann erhalten wir die gewünschte
Ungleichung |a + b| ≤ |a| = max{|a|, |b|}.
Folgerung 1.13 Sei |·| : K → R+ eine nicht-archimedische Betragsbewertung, und seien a, b ∈ K
mit |a| < |b|. Dann gilt |a + b| = |b| = max{|a|, |b|}.
Beweis:
Die zweite Gleichung ist unmittelbar klar. Auf Grund der verschärften Dreiecksungleichung gilt einerseits
|a + b| ≤ |b|, aus |b| = |a + b − a| ≤ max{|a + b|, |a|} folgt wegen |a| < |b| andererseits aber auch |b| ≤ |a + b|.
Häufig werden die nicht-archimedischen Betragsbewertungen auch in einer „Exponentialschreibweise“ dargestellt.
Um diese zu definieren, erweitern wir die Menge R der reellen Zahlen durch ein Element ∞ ∉ R. Die Totalordnung ≤
¯ = R ∪ {∞} ausgedehnt werden, indem man a < ∞ für alle a ∈ R fordert. Auch die
auf den reellen Zahlen kann auf R
¯ erweitern, indem wir a + ∞ = ∞ + a = ∞ für alle a ∈ R
¯ festlegen. Man beachte, dass
Verknüpfung + können wir auf R
¯
(R, +) keine Gruppe, sondern lediglich eine Halbgruppe ist.
Definition 1.14
¯ mit
Sei K ein Körper. Eine (klassische) Bewertung ist eine Abbildung v : K → R
den folgenden Eigenschaften.
(i) Für alle a ∈ K gilt die Äquivalenz a = 0 ⇔ v(a) = ∞.
(ii) Es gilt v(ab) = v(a) + v(b) für alle a, b ∈ K .
(iii) Es gilt v(a + b) ≥ min{v(a), v(b)} für alle a, b ∈ K .
Man bezeichnet v als trivial, wenn v(0) = ∞ und v(a) = 0 für alle a ∈ K × gilt.
¯ eine Bewertung und γ ∈ R+ mit γ > 1. Setzt man γ−∞ = 0, dann ist durch |a|v = γ−v(a) eine BetragsSei v : K → R
bewertung auf K definiert, wie man durch Nachrechnen der Bedingungen (i) bis (iii) in Def. 1.1 unmittelbar bestätigt. Diese ist trivial genau dann, wenn v trivial ist, und ansonsten nicht-archimedisch. Die Rechenregel in Folgerung
1.13 lässt sich übersetzen in v(a, b) = min{v(a), v(b)}, falls a, b ∈ K Elemente mit v(a) = v(b) bezeichnen. Ist umgekehrt | · | : K → R+ eine nicht-archimedische Betragsbewertung auf K , dann ist durch v(a) = − ln(|a|) für a ∈ K × und
v(0) = −∞ eine nichttriviale Bewertung auf K definiert. Aus Satz 1.8 folgt unmittelbar
Folgerung 1.15
Zwei Bewertungen v, v eines Körpers K sind genau dann äquivalent, wenn ein
+
s ∈ R mit v (a) = sv(a) für alle a ∈ K × existiert.
Im Gegensatz zu den archimedischen Betragsbewertungen besitzen die nicht-archimedisch bewerten Körper eine
wichtige algebraische Invariante, ihren Bewertungsring.
Definition 1.16
¯ eine Bewertung. Dann bezeichnet man die
Sei K ein Körper und v : K → R
Teilmenge O v = a ∈ K v(a) ≥ 0 von K als Bewertungsring zur Bewertung v.
Offenbar ist eine Bewertung v genau dann trivial, wenn O v = K gilt.
—– 9 —–
§ 1.
Bewertungen und Bewertungsringe
Die folgende Proposition fasst die Eigenschaften der Bewertungsringe zusammen. Dazu erinnern wir daran, dass ein
Integritätsbereich R als lokaler Ring bezeichnet wird, wenn er genau ein maximales Ideal besitzt, und als normal,
wenn er in seinem Quotientenkörper ganzabgeschlossen ist.
Proposition 1.17
Sei (K , v) ein bewerteter Körper.
(i) Durch O v ist ein Teilring von K definiert, der K als Quotientenkörper besitzt.
(ii) Die Einheitengruppe von O v ist gegeben durch {a ∈ K | v(a) = 0}.
(iii) Der Ring O v ist ein normaler und lokaler Ring, dessen einziges maximales Ideal durch
pv = {a ∈ K | v(a) > 0} gegeben ist.
Beweis:
zu (i)
Zunächst beweisen wir die Teilring-Eigenschaft. Wegen v(1) = 0 gilt jedenfalls 1 ∈ O v . Seien nun
a, b ∈ O v vorgegeben. Dann gilt v(a) ≥ 0 und v(−b) = v(b) ≥ 0. Aus den Eigenschaften einer Bewertung folgt v(a − b) ≥
min{v(a), v(−b)} ≥ min{0, 0} = 0 und v(ab) = v(a) + v(b) ≥ 0 + 0 = 0, also a − b ∈ O v und ab ∈ O v . Nun zeigen wir noch,
dass K der Quotientenkörper von O v ist. Sei c ∈ K × vorgegeben. Ist die Bewertung trivial, dann gilt K = O v , und die
Aussage ist offensichtlich. Ansonsten gibt es ein a ∈ K × mit v(a) > 0. Für hinreichend großes n ist v(c) + nv(a) ≥ 0,
also v(c a n ) ≥ 0. Damit liegt das Element b = ca n in O v . Durch c = (c a n )/(a n ) können wir c also als Quotient zweier
Elemente aus O v darstellen.
zu (ii)
Liegt ein Element a in der Einheitengruppe O v× , dann gibt es ein b ∈ O v× mit ab = 1. Aus a, b ∈ O v folgt
v(a), v(b) ≥ 0. Zusammen mit v(a)+v(b) = v(ab) = v(1) = 0 folgt daraus v(a) = 0. Sei nun umgekeht a ∈ K mit v(a) = 0.
Dann gilt insbesondere a = 0 und somit auch v(a −1 ) = −v(a) = 0. Dies zeigt, dass auch a −1 in O v liegt und a somit
eine Einheit des Rings O v ist.
zu (iii) Zunächst zeigen wir, dass durch die angegebene Menge pv tatsächlich ein Ideal von O v definiert ist. Wegen
v(0) = ∞ > 0 ist das Nullelement in pv enthalten. Seien nun r ∈ O v und a, b ∈ pv vorgegeben. Nach Definition gilt
v(r ) ≥ 0 und v(a), v(b) > 0. Es folgt v(a +b) ≥ min{v(a), v(b)} > 0 und v(r a) = v(r )+ v(a) > 0, insgesamt also a +b, r a ∈
pv . Für jedes Element a in O v \ pv gilt v(a) = 0, nach (ii) handelt es sich also um eine Einheit. Dies zeigt, dass pv sogar
ein maximales Ideal ist.
Nun zeigen wir, dass pv das einzige maximale Ideal ist. Nehmen wir nämlich an, dass q ein von pv verschiedenes Ideal
ist. Dann ist q ⊆ pv auf Grund der Maximalität von pv ausgeschlossen. Statt dessen gibt es ein Element c ∈ q \ pv . Aber
ein solches Element ist zwangsläufig eine Einheit, und wir erhalten q = (1K ) im Widerspruch zu unserer Annahme.
Zum Schluss beweisen wir noch die Ganzabgeschlossenheit von O v in K . Sei c ∈ K ein Element, dass über dem Teilring O v ganz ist. Dann gibt es ein n ∈ N und Koeffizienten a 0 , ..., a n−1 ∈ O v , so dass c n + a n−1 c n−1 + ... + a 1 c + a 0 = 0
erfüllt ist. Nehmen wir nun an, dass c nicht in O v liegt, also v(c) < 0 gilt. Dann folgt jeweils nv(c) < kv(c) und somit
v(c n ) = nv(c) < kv(c) ≤ v(a k )+kv(c) = v(a k c k ) für 0 ≤ k < n. Setzen wir der Einfachheit halber a n = 1, dann liefert die
Gleichung
v(0)
=
min v a k c k
0≤k ≤n
=
v(c n )
<
∞
im Widerspruch zu v(0) = ∞. Die Anname v(c) < 0 war also falsch, und es folgt c ∈ O v wie gewünscht.
Weil es sich bei pv um ein maximales Ideal von O v handelt, ist der Faktorring κv = O v /pv ein Körper. Man nennt ihn
∼K.
den Restklassenkörper von (K , v). Ist die Bewertung v trivial, dann gilt offenbar pv = (0) und deshalb κv =
—– 10 —–
§ 1.
Bewertungen und Bewertungsringe
Die folgende Klasse von Bewertungen wird im weiteren Verlauf eine besonders wichtige Rolle spielen.
Definition 1.18
Sei K ein Körper. Eine Bewertung v von K wird als diskret bezeichnet, wenn sie
nichttrivial ist und die Wertemenge v(K × ) eine diskrete Untergruppe von (R, +) bildet.
Für jede Bewertung v auf einem Körper K ist v(K × ) eine Untergruppe von (R, +), denn auf Grund der Bedingung
v(ab) = v(a) + v(b) ist durch v ein Gruppenhomomorphismus zwischen K × und (R, +) definiert. Es ist nicht schwer
zu zeigen, dass die nichttrivialen diskreten Untergruppen von (R, +) genau die Teilmengen der Form s Z sind, wobei
s die positiven reellen Zahlen durchläuft. Nach Folgerung 1.15 ist eine diskrete Bewertung deshalb immer äquivalent
zu einer Bewertung v mit Wertegruppe v(K × ) = Z. Alle bisher behandelten Beispiele von Bewertungen sind diskrete
Bewertungen.
Satz 1.19
Sei K ein Körper und v und diskrete Bewertung auf K mit v(K × ) = Z und π ∈ K ein
beliebig gewähltes Element mit v(π) = 1.
(i) Jedes Element a ∈ K × hat eine eindeutige Darstellung der Form a = uπn mit n ∈ Z und
u ∈ O v× . Dabei ist n = v(a), und a liegt genau dann in O v , wenn n ≥ 0 ist.
(ii) Der Ring O v ist ein Hauptidealring. Seine Ideale = (0) sind genau die Hauptideale der Form
(πn ) mit n ∈ N0 .
(iii) Die Primelemente in O v sind genau die Elemente p ∈ K mit v(p) = 1, und für jedes solche
Element gilt pv = (p) und pnv = (p n ) für alle n ∈ N.
Beweis:
zu (i)
Zunächst beweisen wir die Existenz einer solchen Darstellung. Sei a ∈ K × vorgegeben, n = v(a)
und u = aπ−n . Dann gilt v(u) = v(a) − nv(π) = n − n = 0, also ist u in O v eine Einheit. Insgesamt ist a = uπn also
eine Darstellung mit den gewünschten Eigenschaften. Sei nun a = wπm eine weitere Darstellung von a mit m ∈ Z
und w ∈ O v× . Dann gibt m = 0 + m = v(w) + mv(π) = v(wπm ) = v(a) = n und damit auch w = aπ−m = aπ−n = u. Die
Aussage über die Zugehörigkeit zu O v folgt direkt aus der Gleichung v(a) = n.
zu (ii) Sei a ein Ideal von O v ungleich Null und n = min{v(a) | a ∈ a}. Wir zeigen, dass a = (πn ) gilt. Zum Nachweis
von „⊆“ sei a ∈ a vorgegeben. Dann gilt v(a) ≥ n, und folglich liegt das Element aπ−n wegen v(aπ−n ) ≥ n + (−n) = 0 in
O v . Damit erhalten wir a = bπn ∈ (πn ). Für den Beweis von „⊇“ bemerken wir, dass nach Definition von n ein Element
a ∈ a mit v(a) = n existiert. Damit ist u = aπ−n eine Einheit, und mit a ∈ a liegt auch πn = u −1 a in a. Es folgt (πn ) ⊆ a.
zu (iii) Sei p ∈ O v mit v(p) = 1. Weil O v ein Hauptidealring ist, genügt es zu zeigen, dass p irreduzibel ist. Zunächst ist
p wegen v(p) = 0 keine Einheit. Seien nun a, b ∈ O v mit p = ab. Aus v(a) + v(b) = v(ab) = v(p) = 1 und v(a), v(b) ≥ 0
folgt wegen v(K × ) = Z, dass entweder v(a) oder v(b) gleich Null ist, eines der Elemente ist also eine Einheit. Damit ist
die Irreduzibilität von p bewiesen.
Nun beweisen wir die Gleichung (p) = pv . Aus Teil (ii) wissen wir bereits, dass pv = (πn ) für ein n ∈ N0 gilt. Wegen
pv = (1) ist n = 0 ausgeschlossen. Andererseits ist π wegen v(π) = 1 > 0 in pv enthalten. Wäre n ≥ 2, dann gäbe es
nur Elemente a mit v(a) ≥ 2 in pv . Also gilt pv = (π). Die Elemente p und π unterscheiden sich wegen v(pπ−1 ) =
v(p) − v(π) = 1 − 1 = 0 nur um eine Einheit. Also sind die Hauptideale (π) und (p) gleich, es gilt somit auch pv = (p).
Die Gleichung pnv = (p n ) für alle n ∈ N folgt aus der allgemeinen Rechenregel (a)n = (a n ) für Hauptideale.
—– 11 —–
§ 1.
Bewertungen und Bewertungsringe
Ist (K , v) ein allgemeiner diskret bewerteter Körper, v(K × ) = s Z mit s ∈ R+ , dann sind die Primelemente in O v entsprechend genau die Elemente a ∈ K mit v(a) = s. Die Aussage (i) und (ii) aus Satz 1.19 gelten entsprechend.
In jedem direkte bewerteten Körper bilden die Ideale pv ⊇ p2v ⊇ p3v ⊇ ... eine absteigende Folge von Untergruppen von
(K , +) und zugleich eine Umgebungsbasis der Null. Eine ähnliche Konstellation findet man auch für die multiplikative
Gruppe K × des Körpers vor.
Definition 1.20 Sei (K , v) ein diskret bewerteter Körper und π ein Primelement des Bewertungsrings. Für jedes n ∈ N bezeichnet man U v(n) = 1 + pn = {1 + aπn | a ∈ O v } als die n-te Einseinheitengruppe des Körpers.
Die folgende Ausage zeigt, dass diese Benennung der Teilmengen U v(n) sinnvoll ist.
Proposition 1.21
Sei (K , v) ein diskret bewerteter Körper.
(i) Es gilt O v× ⊇ U v(1) und U v(n) ⊇ U v(n+1) für alle n ∈ N.
(ii) Für jedes n ∈ N ist U v(n) eine Untergruppe von O v× .
(iii) Die Teilmengen U v(n) bilden eine Umgebungsbasis von 1 ∈ K × .
Beweis:
zu (i) Für alle n ∈ N und a ∈ O v gilt v(1+ aπ) = min{v(1), v(aπ)} = min{0, v(a)+1} = 0 und somit 1+ aπ ∈ O v× .
Damit ist die erste Inklusion bewiesen. Die Inklusion U v(n) ⊇ U v(n+1) für alle n ∈ N ist auf Grund der Definition von U v(n)
offensichtlich.
zu (ii) Denn das Einselement ist offenbar in U (n) enthalten, und sind u = 1 + aπn und v = 1 + bπn zwei vorgegebene
Elemente in U (n) mit a, b ∈ O v , dann ist wegen uv = (1+aπn )(1+bπn ) = 1+(a+b)πn +abπ2n auch uv in U (n) enthalten.
Auch das Element u −1 liegt in U (n) , denn es gilt
v(u −1 − 1)
=
v(u −1 (1 − u))
=
v(u −1 ) + v(−aπn )
≥
0+n
=
n.
zu (iii) Sei U ⊆ K eine Umgebung des Einselements. Ist γ ∈ R+ ein beliebig gewähltes Element mit γ > 1, dann ist |a| =
γ−v(a) eine zu v gehörende Betragsbewertung. Nach Definition der Topologie auf K gibt es ein r ∈ R+ mit Ur (1) ⊆ U
(vgl. Proposition 1.5). Sei n ∈ N mit n >
r
ln(γ)
n
und u ∈ U (n) , u = 1 + aπn für ein a ∈ O v . Dann gilt |u − 1| = γ−v(aπ ) = γ−n ,
und wegen (−n) ln(γ) < r und γ−n < r folgt |u − 1| < r . Damit ist U (n) ⊆ U nachgewiesen.
Die folgende Aussage wird sich später bei der Untersuchung der arithmetischen Struktur der lokalen Körper als nützlich heraussstellen.
Satz 1.22
Sei (K , v) ein diskret bewerteter Körper. Dann erhält man nach Wahl eines Primele-
ments π ∈ O v für jedes n ∈ N natürliche Gruppenisomorphismen
∼
(i) pnv /pn+1
= O v /pv
v
n ×
(ii) O v× /U v(n) ∼
= (O v /pv )
(iii) U v(n) /U v(n+1) ∼
= κv
die durch die Abbildungen πn a → a, a → a und 1 + πn a → a induziert werden.
—– 12 —–
,
§ 1.
Bewertungen und Bewertungsringe
Beweis:
zu (i) Jedes Element in pnv besitzt eine eindeutige Darstellung der Form πn a mit a ∈ O v , somit ist pnv → O v ,
πn a → a eine wohldefinierte Abbildung, die zudem offenbar surjektiv ist. Somit ist auch die Abbildung φ : pnv → κv
gegeben durch πn a → a + pv wohldefiniert und surjektiv. Wie man unmittelbar überprüft, handelt es sich bei φ um
einen Homomorphismus zwischen den additiven Gruppen. Außerdem gilt für alle a ∈ O v die Äquivalenz
a ∈ ker(φ)
a + pv = pv
⇔
a ∈ pv
⇔
πn a ∈ pn+1
v
⇔
,
n n+1 ∼
also ker(φ) = pn+1
= κv .
v . Der Homomorphiesatz liefert also einen Isomorphismus pv /pv
zu (ii) Der Ringhomomorphismus O v → O v /pnv , a → a + pnv definiert einen Homomorphismus φ : O v× → (O v /pnv )×
zwischen den Einheitengruppen. Wir zeigen, dass φ surjektiv ist. Sei b ∈ O v ein Element mit b + pnv ∈ (O v /pnv )× . Dann
gibt es ein c ∈ O v mit bc + pnv = (b+ pnv )(c + pnv ) = 1+ pnv , insbesondere ist 1 in bc + pnv enthalten. Wäre b ∉ O v× , dann würde
bc + pnv nur Elemente a mit v(a) ≥ 1 enthalten, im Widerspruch zu 1 ∈ bc + pnv . So aber gilt b ∈ O v× und φ(b) = b + pnv ,
womit die Surjektivität bewiesen ist. Darüber hinaus ist ker(φ) = U (n) , denn für alle u ∈ c alO ×
v gilt die Äquivalenz
u ∈ ker(φ)
u + pnv = 1 + pnv
⇔
u − 1 ∈ pnv
⇔
⇔
u ∈ U (n) .
Der Homomorphiesatz liefert also O v× /U v(n) ∼
= (O v /pnv )× .
zu (iii) Jedes Element in U v(n) hat eine eindeutig bestimmte Darstellung in der Form 1 + aπn mit a ∈ O v und n ∈ N,
somit existiert eine wohldefinierte, surjektive Abbildung U (n) → κv , 1 + aπn → a + pv . Wegen
φ((1 + aπn )(1 + bπn ))
=
φ(1 + (a + b)π + abπn )
(a + pv ) + (b + pv )
=
=
(a + b) + pv
=
φ(1 + aπn ) + φ(1 + bπn )
für a, b ∈ O v handelt es sich um einen Gruppenhomomorphismus zwischen der multiplikativen Gruppe U (n) und der
additiven Gruppe von κv . Für alle a ∈ O v gilt die Äquivalenz
1 + aπn ∈ ker(φ)
⇔
a + pv = pv
⇔
a ∈ pv
⇔
1 + aπn ∈ U v(n+1)
und somit ker(φ) = U v(n+1) . Durch Anwendung des Homomorphiesatzes erhalten wir den gewünschten Isomorphismus U (n) /U (n+1) ∼
= κv .
v
v
Ein besonders wichtiger Spezialfall von Satz 1.22 (ii) ist der Isomorphismus O v× /U v(1) ∼
= κ×
v.
—– 13 —–
§ 1.
Bewertungen und Bewertungsringe
Anhang:
Krullsche Bewertungen
Im letzten Teil dieses Kapitels werden wir die Bewertungsringe O v allein durch ihre algebraischen Eigenschaften, also
ohne die Bezugnahme auf eine Bewertung v, charakterisieren. Auf dieses Ergebnis werden wir dann später im Kapitel
über Bewertungsfortsetzungen zurückgreifen. Zunächst müssen wir dazu den Begriff der Bewertung eines Körpers
noch weiter verallgemeinern.
Definition 1.23
Eine angeordnete abelsche Gruppe ist ein Tripel (Γ, +, ≤) bestehend aus einer
Menge Γ, einer Verknüpfung + mit der Eigenschaft, dass (Γ, +) zu einer abelschen Gruppe wird,
und einer Halbordnung ≤ auf G, so dass die Äquivalenz
α≤β
⇔
α+γ ≤ β+γ
für alle α, β, γ ∈ γ erfüllt ist. Ist ≤ darüber hinaus eine Totalordnung, so spricht man von einer
totalgeordneten abelschen Gruppe.
Ein Homomorphismus zwischen angeordneten abelschen Gruppen (Γ, +, ≤) und (Γ , + , ≤ ) ist ein Homomorphismus
φ : Γ → Γ von Gruppen mit der zusätzlichen Eigenschaft α ≤ β ⇔ φ(α) ≤ φ(β) für alle α, β ∈ Γ. Ist φ auch bijektiv,
dann spricht man von einem Isomorphismus und bezeichnet die angeordneten abelschen Gruppen als isomorph. Wir
sagen, eine totalgeordnete abelsche Gruppe Γ besitzt die archimedische Eigenschaft, wenn für vorgegebene α, β ∈ Γ
mit α, β > 0Γ jeweils ein n ∈ N mit nα > β existiert.
¯ erweitert haben, können wir auch jede anGenau wie wir die reellen Zahlen zu einer totalgeordneten Halbgruppe R
geordnete abelsche Gruppe Γ durch Hinzunahme eines Elements ∞ mit α < ∞ für alle a ∈ Γ zu einer totalgeordneten
¯ = Γ ∪ {∞} erweitern. Auch die Verknüpfung + können wir genau wie dort von Γ auf Γ
¯ ausdehnen.
Menge Γ
Proposition 1.24
Eine totalgeordnete abelsche Gruppe besitzt genau dann die archimedische
Eigenschaft, wenn sie (als angeordnete Gruppe) isomorph zu einer Untergruppe von (R, +, ≤) ist,
mit der herkömmlichen Addition und Anordnung auf den reellen Zahlen.
Beweis: „⇐“ Nach Voraussetzung existiert ein Monomorphismus φ : Γ → R angeordneter abelscher Gruppen. Um zu
zeigen, dass Γ die archimedische Eigenschaft besitzt, seien α, β ∈ Γ mit α, β > 0Γ vorgegeben. Dann gilt φ(α), φ(β) > 0,
und weil das archimedische Axiom in den reellen Zahlen gültig ist, existiert ein n ∈ N mit nφ(α) > φ(β). Es folgt
φ(nα) > φ(β) und nα > β. „⇒“ Sei (Γ, +, ≤) eine totalgeordnete abelsche Gruppe mit der archimedischen Eigenschaft. Wir können voraussetzen, dass Γ = {0Γ } gilt, denn andernfalls ist Γ isomorph zur trivialen Untergruppe {0} ⊆ R.
Damit ist auch Γ+ = {γ ∈ Γ | γ > 0Γ } nichtleer. Sei nun α ∈ Γ+ beliebig gewählt; für jedes γ ∈ Γ mit γ ∈ Γ+ definieren wir
Sγ
=
m
n
∈ Q+ m, n ∈ N, mα ≤ nγ .
Ob r ∈ Q+ in S γ enthalten ist, ist offenbar unabhängig von der Darstellung von r als Bruch zweier natürlicher Zahlen, denn für beliebige m, n, p ∈ N gilt die Äquivalenz mα ≤ nγ ⇔ mpα ≤ npα. Wir beweisen nun nacheinander die
folgenden Aussagen.
—– 14 —–
§ 1.
Bewertungen und Bewertungsringe
(i) Für alle γ ∈ Γ+ gilt S γ = ∅ und S γ = Q+ . Sind r, s ∈ Q+ mit r < s und ist s ∈ S γ , dann folgt r ∈ S γ .
(ii) Für jedes γ ∈ Γ+ ist S γ eine nichtleere und beschränkte Teilmenge von Q+ . Durch die Zuordnung φ : γ → sup S γ
ist somit eine Abbildung φ : Γ+ → R+ definiert.
(iii) Für alle γ, δ ∈ Q+ gilt die Äquivalenz γ ≤ δ ⇔ S γ ⊆ S δ ⇔ φ(γ) ≤ φ(δ).
(iv) Seien γ, δ ∈ Γ+ und r, s ∈ Q+ . Aus r ∈ S γ und s ∈ S δ folgt r + s ∈ S γ+δ . Aus r ∉ S γ , s ∉ S δ folgt ebenso r + s ∉ S γ+δ .
(v) Es gilt φ(γ + δ) = φ(γ) + φ(δ) für alle γ, δ ∈ Γ+ .
(vi) Setzen wir die Definition von φ durch φ(0Γ ) = 0 und φ(−γ) = φ(γ) für γ ∈ Γ+ auf die gesamte Gruppe Γ fort,
dann gilt φ(γ + δ) = φ(γ) + φ(δ) und γ ≤ δ ⇔ φ(γ) ≤ φ(δ) für alle γ, δ ∈ Γ.
Insgesamt ist φ dann ein Monomorphismus abelscher Gruppen.
zu (i) Für jedes γ ∈ Γ+ gibt es ein n ∈ N mit nγ > α. Nach Definition ist dann
1
n
in S γ enthalten, also insbesondere
S γ = ∅. Wäre S γ = Q , dann würde insbesondere n ∈ S γ und somit nα ≤ γ fur alle n ∈ N. Aber dies widerspricht der
+
archimedischen Eigenschaft. Zum Beweis der dritten Aussage seien r, s ∈ Q+ mit r < s und s ∈ S γ vorgegeben. Sei r =
und s =
m
n
wiederum
mit k, , m, n ∈ N. Dann gilt
kn
n
kn
n
<
m
n
k
und kn < m. Aus s ∈ S γ folgt mα ≤ nγ und knα ≤ mα ≤ nγ, daraus
+
=r ∈Q .
zu (ii) Dass S γ nicht leer ist, wurde bereits gezeigt. Wäre S γ unbeschränkt, dann gäbe es für jedes n ∈ N in r ∈ S γ
mit r > n, und nach (i) würde daraus n ∈ S γ folgen. Aber daraus folgt nα ≤ γ für alle n ∈ N, was im Widerspruch zur
archimedischen Eigenschaft steht.
zu (iii) Wir führen zwischen den drei Aussagen einen Ringschluss durch. Zum Beweis der ersten Implikation setzen
m
n
wir γ ≤ δ voraus. Ist r ∈ S γ , r =
mit m, n ∈ N dann gilt mα ≤ nγ. Wegen γ ≤ δ folgt daraus mα ≤ nδ, was wiederum
mit r ∈ S δ gleichbedeutend ist. Die zweite Implikation ist offensichtlich.
Zum Beweis der letzten Implikation setzen wir φ(γ) ≤ φ(δ) voraus und führen die Annahme γ > δ zu einem Widerspruch. Auf Grund der archimedischen Eigenschaft existiert ein n ∈ N mit n(γ − δ) > 2α. Sei nun m ∈ N minimal mit
mα > nδ gewählt. Dann gilt einerseits
ein r ∈ S δ mit r >
m
n,
m
n
∉ S δ , und es folgt
und nach (i) würde daraus
m
n
m
n
≥ φ(δ). Wäre nämlich
Insgesamt erhalten wir φ(δ) ≤
<
m+1
n
< φ(δ) = sup S δ , dann gäbe es
∈ S δ folgen. Andererseits gilt auf Grund der Minimalität von m die
Ungleichung (m − 1)α ≤ nδ, somit (m + 1)α ≤ nδ + 2α < nδ + n(γ − δ) = nγ und
m
n
m
n
m+1
n
∈ S γ , also
m+1
n
≤ sup S γ = φ(γ).
≤ φ(γ), im Widerspruch zur Voraussetzung.
zu (iv) Seien r ∈ S γ und s ∈ S δ vorgegeben, r =
k
und s =
m
n
mit k, , m, n ∈ N. Dann gilt kα ≤ γ und mα ≤ nδ. Es
folgt knα ≤ nγ und mα ≤ nδ, also
(kn + m)α
und somit r + s =
kn+ m
n
=
knα + mα
≤
nγ + nδ
=
n(γ + δ)
∈ S γ+δ . Die zweite Aussage erhält man, indem man im soeben durchgeführten Beweis überall
„≤“ durch „>“ ersetzt.
zu (v) Zunächst zeigen wir, dass φ(γ) + φ(δ) eine obere Schranke von S γ+δ ist. Nehmen wir an, dass ein r ∈ S γ+δ
mit r > φ(γ) + φ(δ) existiert. Dann setzen wir ε = r − φ(γ) − φ(δ) und wählen s, t ∈ Q+ mit φ(γ) < s < φ(γ) + 12 ε und
φ(δ) < t < φ(δ) + 12 ε. Damit gilt
s+t
<
φ(γ) + φ(δ) + ε
—– 15 —–
=
r.
§ 1.
Bewertungen und Bewertungsringe
Aus s > φ(γ) = sup S γ folgt andererseits s ∉ S γ , und aus demselben Grund gilt t ∉ S δ . Nach (iv) erhalten wir s + t ∉ S γ+δ .
Wäre s + t < φ(γ + δ) = sup S γ+δ , dann gäbe es ein u ∈ S γ+δ mit u > s + t , und daraus würde nach (i) dann s + t ∈ S γ+δ
folgen. So aber gilt s + t ≥ φ(γ+δ) ≥ r ; damit haben insgesamt r ≤ s + t < r hergeleitet. Der Widerspruch zeigt, dass ein
r wie angegeben nicht existiert.
Nun zeigen wir noch, dass φ(γ) + φ(δ) die kleinste obere Schranke von S γ+δ ist. Nehmen wir an, dass eine noch kleine
obere Schranke u ∈ R+ existiert, und setzen wir ε = φ(γ) + φ(δ) − u. Wegen φ(γ) = sup S γ und φ(δ) = sup S δ gibt es
r ∈ S γ und s ∈ S δ mit r > φ(γ) − 21 ε und s > φ(δ) − 12 ε. Nach (iv) liegt r + s in S γ+δ , daraus folgt r + s ≤ u. Andererseits
gilt r + s > φ(γ) + φ(δ) − ε = u. Unserer Annahme hat also zu einem Widerspruch geführt.
zu (vi) Hier zeigen wir zuerst die Äquivalenz γ ≤ δ ⇔ φ(γ) ≤ φ(δ). Ist eines der Elemente γ, δ gleich Null, dann ist die
Aussage offensichtlich, denn nach Definition von φ gilt γ ≥ 0Γ ⇔ φ(γ) ≥ 0 für alle γ ∈ Γ. Ist γ < 0Γ und δ > 0Γ , dann folgt
nach Definition φ(γ) < 0 und φ(δ) > 0. Auch die umgekehrte Implikation ist nach Definition offensichtlich erfüllt, und
für γ > 0Γ und δ < 0Γ läuft die Argumentation völlig analog. Für den Fall γ, δ > 0Γ wurde die Äquivalenz bereits in (iii)
bewiesen. Der einzige verbleibende Fall ist somit γ, δ < 0Γ ; diesen erhalten wir durch die Äquivalenz
γ≤δ
⇔
−γ ≥ −δ
(iii)
⇔
φ(−γ) ≥ φ(−δ)
⇔
−φ(γ) ≥ −φ(δ)
⇔
φ(γ) ≤ φ(δ).
Kommen wir nun zum Beweis von φ(γ + δ) = φ(γ) + φ(δ) für beliebige γ, δ ∈ Γ. Sind γ und δ beide positiv, dann ist die
Gleichugn durch (v) bereits bewiesen. Sind beide negativ, dann können wir sie durch
φ(γ + δ)
=
−φ((−γ) + (−δ))
=
(−φ(−γ)) + (−φ(−δ))
=
φ(γ) + φ(δ)
auf den bereits bekannten Fall zurückführen. Im Fall γ = 0Γ oder δ = 0Γ ist die Gleichung offensichtlich. Nach eventueller Vertauschung von γ und δ können wir nun γ < 0Γ < δ annehmen. Zunächst betrachten wir den Fall γ ≥ −δ. Dann
ist γ + δ ≥ 0Γ , und auf Grund des zuvor schon Bewiesenen gilt
φ(γ + δ) + φ(−δ) = φ(γ)
⇔
φ(γ + δ) − φ(δ) = φ(γ)
⇔
φ(γ + δ) = φ(γ) + φ(δ).
Setzen wir nun γ < −δ voraus. Dann ist −γ − δ > 0, also φ(γ) + φ(−γ − δ) = φ(−δ), was äquivalent zu φ(γ) − φ(γ + δ) =
−φ(δ) und zu φ(γ) + φ(δ) = φ(γ + δ) ist.
Wir können nun den Begriff der Bewertung folgendermaßen verallgemeinern.
Sei K ein Körper und Γ eine angeordnete abelsche Gruppe. Eine Krullsche
¯ mit folgenden Eigenschaften.
Bewertung mit Werten in Γ ist eine Abbildung v : K → Γ
Definition 1.25
(i) Für alle a ∈ K gilt die Äquivalenz a = 0 ⇔ v(a) = ∞.
(ii) Es gilt v(ab) = v(a) + v(b) für alle a, b ∈ K .
(iii) Es gilt v(a + b) ≥ min{v(a), v(b)} für alle a, b ∈ K .
Auch eine Krullsche Bewertung v bezeichnet man als trivial, wenn v(0) = ∞ und v(a) = 0Γ für
alle a ∈ K × gilt.
Aus dem zweiten Teil der Bedingung (ii) folgt insbesondere, dass man durch Einschränkung von v einen Gruppenhomomorphismus zwischen K × und Γ erhält. Die Bildgruppe v(K × ) bezeichnet man als Wertegruppe von v. Wie bei
¯ auf einem Körper K die
den klassischen Bewertungen definiert man auch für eine Krullsche Bewertung v : K → Γ
Teilmenge O v = {a ∈ K | v(a) ≥ 0Γ }. Auch hier gilt
—– 16 —–
§ 1.
Bewertungen und Bewertungsringe
Proposition 1.26
¯
Sei K ein Körper mit einer Krullschen Bewertung v : K → Γ.
(i) Durch O v ist ein Teilring von K definiert, der K als Quotientenkörper besitzt.
(ii) Es gilt O v = K genau dann, wenn die Bewertung v trivial ist.
(iii) Die Einheitengruppe von O v ist gegeben durch {a ∈ K | v(a) = 0Γ }.
(iv) Der Ring O v ist ein normaler und lokaler Ring, dessen einziges maximales Ideal durch
pv = {a ∈ K | v(a) > 0} gegeben ist.
Beweis:
Im Beweis von Proposition 1.17 wurde lediglich verwendet, dass (R, +) eine angeordnete abelsche Gruppe
ist. Deshalb kann der Beweis für die hier vorliegenden Aussagen unverändert übernommen werden.
Folgerung 1.27
Sei (K , v) ein Körper mit einer Krullschen Bewertung. Besitzt die Wertegruppe
×
v(K ) die archimedische Eigenschaft, dann existiert eine klassische Bewertung w auf K , so dass
O v = O w , pv = pw und κv = κw gilt.
Beweis:
¯ auffassen. Weil Γ nach Voraussetzung die
Setzen wir Γ = v(K × ), dann können wir v als Abbildung K → Γ
archimedische Eigenschaft besitzt, existiert nach Proposition 1.24 ein Isomorphismus φ angeordneter Gruppen zwi¯ durch w(a) = (φ ◦ v)(a) für alle a ∈ K × und w(0) = ∞. Für
schen (Γ, +, ≤) und (R, +, ≤). Wir definieren nun w : K → R
jedes a ∈ K × gilt w(a) ≥ 0 genau dann, wenn v(a) ≥ 0Γ erfüllt ist, also stimmen O w und O v überein. Genauso beweist
man die anderen beiden Gleichungen.
Wir werden nun die Bewertungsringe in der Gesamtheit aller Integritätsbereiche rein algebraisch, ohne Bezugnahme auf eine Bewertung, charakterisieren. Dazu erinnern wir an den Begriff des gebrochenen Hauptideals aus der
Algebraischen Zahlentheorie: Ist R ein Integritätsbereich und K sein Quotientenkörper, dann ist ein gebrochenes
Hauptideal ein R-Untermodul von K , der durch ein einziges Element erzeugt wird, also eine Teilmenge der Form
Ra = {r a | r ∈ R}, wobei a ein beliebiges Element aus K bezeichnet. Liegt a in R, dann ist Ra natürlich ein Hauptideal
im herkömmlichen Sinn.
Proposition 1.28
Sei R ein Integritätsbereich und K sein Quotientenkörper. Dann sind die
folgende Aussagen äquivalent.
(i) Für alle a ∈ K \ R gilt a −1 ∈ R.
(ii) Es gibt eine Krullsche Bewertung v auf K mit R = O v .
Beweis: Wir ergänzen (i),(ii) durch die zusätzliche Aussage
(iii) Die Menge der gebrochenen Hauptideale von R in K ist bezüglich Inklusion total geordnet.
und beweisen die Äquivalenz von (i), (ii) und (iii). „(iii) ⇒ (ii)“ Sei Γ die Menge der gebrochenen Hauptideale von R
in K ungleich Null. Zunächst überprüfen wir, dass auf Γ eine Verknüpfung + mit
Ra + Rb
=
R(ab)
für alle a, b ∈ K
existiert. Dazu wählen wir für jedes gebrochene Hauptideal I ein Element a I ∈ K mit R = a I . Dann definieren wir
I + J = R(a I b J ) für beliebige I , J ∈ Γ. Zum Beweis der Gleichung seien nun a, b ∈ K vorgegeben, außerdem I = Ra
—– 17 —–
§ 1.
Bewertungen und Bewertungsringe
und J = Rb. Wegen Ra = I = Ra I und Rb = J = Ra J unterscheiden sich a, a I und a, a J nur um Einheiten; es gibt also
ε, ε ∈ R × mit a = εa I und b = ε a J . Nach Definition gilt I + J = R(a I b J ), und weil auch εε eine Einheit in R ist, gilt
R(ab) = R(εε a I b J ) = R(a I b J ).
Sei nun die Relation ≤ auf Γ definiert durch Ra ≤ Rb ⇔ Ra ⊇ Rb für alle a, b ∈ K . Nach Voraussetzung ist ≤ eine
Totalordnung auf Γ. Wir überprüfen, dass durch (Γ, +, ≤) eine totalgeordnete abelsche Gruppe definiert ist. Für alle
a, b, c ∈ K × gilt
(Ra + Rb) + Rc
=
R(ab) + Rc
=
R((ab)c)
=
R(a(bc))
=
Ra + R(bc)
=
Ra + (Rb + Rc).
Also ist die Verknüpfung + auf Γ assoziativ. Außerdem gilt Ra + R1K = Ra für alle a ∈ K × . Dies zeigt, dass R1K ein
Neutralelement in (Γ, +) ist. Schließlich gilt noch Ra+Ra −1 = R(aa −1 ) = R1K für alle a ∈ K × . Also besitzt jedes Element
in Γ ein Inverses, insgesamt ist (Γ, +) damit eine Gruppe. Für alle a, b, c ∈ K × gilt die Äquivalenz
Ra ≤ Rb
⇔
Ra ⊇ Rb
⇔
b ∈ Ra
bc ∈ R(ac)
⇔
⇔
R(ac) ⊇ R(bc)
⇔
Ra + Rc ≤ Rb + Rc.
¯ = Γ ∪ {∞} fortsetzen, indem wir weiterhin Ra ≤
Sei nun ∞ = R0K = {0K }. Dann können wir die Totalordnung ≤ auf Γ
Rb ⇔ Ra ⊇ Rb fordern. Ebenso ist die Verknüpfung Ra + Rb = R(ab) für alle a, b aus K einschließlich 0K definiert.
¯ durch v(a) = Ra für alle a ∈ K und überprüfen, dass v eine Krullsche
Wir definieren nun eine Abbildung v : K → Γ
Bewertung ist. Für alle a ∈ K gilt
v(a) = ∞
⇔
Ra = R0K
⇔
a = 0K .
¯ jeweils v(ab) = R(ab) = Ra +Rb = v(a)+ v(b). Seien nun
Für alle a, b ∈ K gilt nach Definition der Verknüpfung + auf Γ
a, b ∈ K mit v(a) ≥ v(b) vorgegeben. Dann gilt Ra ⊆ Rb, also a ∈ Rb und damit auch R(a + b) ⊆ Rb. Es folgt v(a + b) =
R(a + b) ≥ Rb = v(b) = min{v(a), v(b)}. Schließlich gilt für alle a ∈ K außerdem noch v(a) ≥ 0Γ ⇔ aR ⊆ R ⇔ a ∈ R,
somit ist R = O v nachgewiesen.
„(ii) ⇒ (i)“ Sei v eine Krullsche Bewertung auf K und R = O v . Ist a ∈ K \ R, dann gilt v(a) < 0Γ nach Definition von O v ,
also v(a −1 ) = −v(a) ≥ 0Γ und somit a −1 ∈ O v .
„(i) ⇒ (iii)“ Seien a, b ∈ K beliebig vorgegeben und Ra, Rb die zugehörigen gebrochnen Hauptideale. Nehmen wir an,
dass Ra ⊆ Rb gilt. Ist b = 0K , dann ist Rb = {0K } ⊆ Ra offenbar erfüllt. Ansonsten gilt b = 0K und a ∉ Rb. Es folgt
also a = 0K und
b
a
a
b
∉ R,
∈ R auf Grund unserer Voraussetzung an den Ring R. Daraus wiederum folgt b ∈ Ra und Rb ⊆ Ra.
Nun sind wir in der Lage, auch die Bewertungsringe der klassischen Bewertungen zu charakterisieren.
Satz 1.29
Sei R ein Integritätsbereich und K sein Quotientenkörper.
Dann sind folgende Aussagen äquivalent.
(i) Es gibt eine nichttriviale klassische Bewertung v auf K , so dass R = O v gilt.
(ii) Der Ring R ist ein maximaler echter Teilring von K .
(iii) Für jedes Element a ∈ K \ R gilt a −1 ∈ R. Darüber hinaus existiert für jedes a ∈ R \ R × und
jedes b ∈ K × ein n ∈ N mit a n ∈ Rb.
Beweis:
„(i) ⇒ (ii)“ Weil die Bewertung v auf K nichttrivial ist, gibt es ein a ∈ K × mit v(a) = 0. Nachdem wir a
gegebenenfalls durch a −1 ersetzt haben, können wir v(a) < 0 annehmen. Damit ist a ein Element aus K \R, somit ist R
—– 18 —–
§ 1.
Bewertungen und Bewertungsringe
ein echter Teilring von K . Zum Beweis der Maximalität sei R˜ ein Teilring von K mit R˜ R. Ist c ein beliebiges Element
aus R˜ \ R, dann gilt v(c) < 0 und v(c −1 ) > 0. Sei nun a ∈ K × vorgegeben. Weil (R, +) die archimedische Eigenschaft
besitzt, gibt es ein n ∈ N mit nv(c −1 ) > v(a −1 ). Es folgt
v(c −n ) > v(a −1 )
⇒
v(c −n ) − v(a −1 ) > 0
v(c −n ) + v(a) > 0
⇒
⇒
v(ac −n ) > 0
˜ Wir erhalten R˜ = K , also ist R als echter Teilring von K tatsächlich maximal.
und somit ac −n ∈ R und a = (ac −n )c n ∈ R.
„(ii) ⇒ (iii)“ Zum Beweis der ersten Aussage von (iii) sei a ∈ K \ R vorgegeben. Nehmen wir an, dass a −1 ∉ R gilt. Weil
R als echter Teilring von K maximal ist, muss dann R[a −1 ] = K gelten. Es gibt also ein n ∈ N und a 0 , ..., a n ∈ R, so dass
a
=
a 0 + a 1 a −1 + ... + a n a −n
erfüllt ist. Multiplikation mit a n liefert a n+1 = a 0 a n + a 1 a n−1 + ... + a n . Durch einen einfachen Induktionsbeweis zeigt
man, dass a n+k als R-Linearkombination von 1, a, ..., a n dargestellt ist, für alle k ∈ N.
Nun gilt wegen a ∉ R und auf Grund der Maximalität von R auch K = R[a]. Dies bedeutet, dass jedes Element in
K als R-Linearkombination von 1, a, ..., a n dargestellt werden kann. Stellen wir diese n + 1 Elemente von K jeweils
als Bruch zweier Elemente aus R da, so erhalten wir durch Bildung des Hauptnenners ein Element 0 = c ∈ R mit
c a k ∈ R für 0 ≤ k ≤ n. Daraus folgt cK ⊆ R und insbesondere a = c(c −1 a) ∈ R, im Widerspruch zur Annahme a ∉ R. Der
Widerspruch zeigt, dass a −1 in R liegt.
Zum Beweis der zweiten Teilaussage seien nun a ∈ R \ R × und b ∈ K × vorgegeben. Dann gilt a −1 ∉ R, und weil R als
echter Teilring von K maximal ist, erhalten wir R[a −1 ] = K . Insbesondere existiert ein n ∈ N0 und a 0 , ..., a n ∈ R mit
b −1 = a 0 + a 1 a −1 + ... + a n a −n . Setzen wir c = a 0 a n + a 1 a n−1 + ... + a n , dann gilt b −1 = c a −n , und c ist in R enthalten. Es
folgt a n = bc ∈ Rb wie gewünscht.
„(iii) ⇒ (i)“ Auf Grund der ersten Teilaussage von (iii) existiert nach Proposition 1.28 eine Krullsche Bewertung v auf K
mit R = O v . Wir zeigen, dass v(K × ) die archimedische Eigenschaft besitzt. Seien α, β ∈ v(K × ) mit α, β > 0Γ vorgegeben.
Dann gibt es a, b ∈ K × mit v(a) = α und v(b) = β. Wegen v(a) > 0Γ gilt a ∈ R \ R × . Auf Grund der zweiten Teilaussage
von (iii) finden wir somit ein c ∈ R und ein n ∈ N mit a n = bc. Daraus wiederum folgt
nα
=
nv(a)
=
v(a n )
=
v(bc)
=
v(b) + v(c)
≥
v(b)
=
β
und somit (n + 1)α > β. Wir können nun Folgerung 1.27 anwenden und erhalten eine klassiche Bewertung w auf K
mit R = O v = O w .
—– 19 —–
§ 2. Die Bewertungen der Zahlkörper und der rationalen Funktionenkörper
In diesem Abschnitt werden wir die Primstellen der Zahlkörper und der rationalen Funktionenkörper klassifizieren.
Zunächst werden wir dazu den Zusammenhang zwischen Primidealen und Bewertungen genauer untersuchen.
Proposition 2.1 Sei R ein Hauptidealring, K sein Quotientenkörper und p ∈ R ein Primelement.
Für jedes a ∈ R sei v p (a) = max{ n ∈ N0 | p n teilt a }, außerdem setzen wir v p (a) = 0.
b
c
(i) Es gibt eine eindeutig bestimmte Fortsetzung von v p auf K , so dass v p
= v p (b) − v p (c)
für alle b, c ∈ R mit c = 0 erfüllt ist. Durch diese Fortsetzung ist eine Bewertung von K
definiert.
(ii) Sei q ∈ R ein weiteres Primelement in R. Genau dann sind v p und v q äquivalent, wenn p
und q assoziiert sind.
Beweis:
zu (i) Wir überprüfen, dass der Wert v p (r ) eines Elements r ∈ K unabhängig von seiner Darstellung als
Quotient zweier Elemente aus r ist. Gilt
b
c
=r =
b
c
mit b, b , c, c ∈ R, dann folgt bc = b c, also v p (b) + v p (c ) = v p (b ) +
v p (c) und somit v p (b) − v p (c) = v p (b ) − v p (c ). Außerdem erhalten wir so tatsächlich eine Fortsetzung der Abbildung
v p auf R, denn wegen p 1 ist v p (1) = 0 und v p ( a1 ) = v p (a) − v p (0) = v p (a) für alle a ∈ R.
Nun überprüfen wir, dass durch v p eine Bewertung auf K definiert ist. Für jedes r =
b
c
∈ K mit b, c ∈ R und c = 0 gilt
die Äquivalenz
v p (r ) = ∞
v p (b) − v p (c) = ∞
⇔
⇔
v p (b) = ∞
⇔
b=0
⇔
r = 0.
Seien nun r, s ∈ K vorgegeben. Zu zeigen ist v p (r s) = v p (r )+v p (s). Ist r = 0 oder s = 0, dann steht auf beiden Seiten der
Wert ∞. Setzen wir also r, s = 0 voraus, und betrachten wir zunächst den Fall, dass r und s in R enthalten sind. Sind
m, n ∈ N0 so gewählt, dass p m | r , p m+1 r und p n | r , p n+1 s gilt, dann ist v p (r ) = m und v p (s) = n nach Definition.
Außerdem gilt p m+n | (r s), p m+n+1 (r s) und somit v p (r s) = m + n = v p (r ) + v p (s). Für den allgemeinen Fall seien nun
r = bc , s =
d
f
mit b, c, d , f ∈ R ungleich Null. Dann gilt r s =
v p (r s)
=
v p (bd ) − v p (c f )
=
bd
cf
und somit
v p (b) + v p (d ) − v p (c) + v p ( f )
v p (b) − v p (c) + v p (d ) − v p ( f )
=
=
v p (r ) + v p (s).
Nun zeigen wir noch, dass v p (r + s) ≥ min{v p (r ), v p (s)} für beliebige r, s ∈ K gilt. Wieder können wir den Fall r s = 0
ausschließen. Außerdem genügt es, die Ungleichung für r, s ∈ R zu beweisen. Liegt nämlich mindestens eines der
Elemente nicht in R, dann wählen wir ein c ∈ R, so dass r c, sc ∈ R erfüllt ist. Setzen wir die Ungleichung für Elemente
aus R voraus, dann erhalten wir
v p (r + s)
=
v p (r c + sc) − v p (c)
≥
min{v p (r c), v p (sc)} − v p (c)
min{v p (r c) − v p (c), v p (sc) − v p (c)}
=
=
min{v p (r ), v p (s)}.
Seien also r, s ∈ R mit r, s = 0, außerdem m = v p (r ) und n = v p (s). Es gibt dann r 0 , s 0 ∈ R mit r = p m r 0 und s = p n s 0 .
Nach eventueller Vertauschung können wir m ≥ n voraussetzen. Wir erhalten r + s = p m−n p n r 0 + p n s 0 = p n (p m−n r 0 +
s 0 ). Dies zeigt, dass r + s durch p n teilbar ist. Es gilt also v p (r + s) ≥ n = min{m, n} = min{v p (r ), v p (s)}.
—– 20 —–
§ 2.
Die Bewertungen der Zahlkörper und der rationalen Funktionenkörper
zu (ii) Seien p und q Primelemente von R. Setzen wir zunächst voraus, dass p und q assoziiert sind. Für jedes a ∈ R
und m ∈ N0 gilt p m | a jeweils genau dann, wenn q m | a gilt. Daraus folgt v p (a) = v q (a) für alle a ∈ R und damit auch
v p (a) = v q (a) für alle a ∈ K . Die Bewertungen v p und v q stimmen also überein, insbesondere sind sie äquivalent.
Setzen wir andererseits voraus, dass p und q nicht äquivalent sind, dann gilt v p (p) = 1 und v q (p) = 0. Dies zeigt, dass
kein s ∈ R+ mit v q (a) = sv p (a) für alle a ∈ K existiert. Nach Folgerung 1.15 sind v p und v q damit nicht äquivalent.
Primelemente in Hauptidealen definieren also Bewertungen des Quotientenkörpers. Umgekehrt gilt ganz allgemein
Proposition 2.2
Sei R ein Integritätsbereich, K sein Quotientenkörper und v eine Bewertung
von K mit v(a) ≥ 0 für alle a ∈ K . Dann ist p = {a ∈ R | v(a) > 0} ein Primideal in R.
Beweis: Zunächst folgt 0 ∈ p aus v(0) = ∞. Seien nun r ∈ R und a, b ∈ p vorgegeben. Dann gilt v(r ) ≥ 0 und v(a), v(b) >
0. Es folgt v(a +b) ≥ min{v(a), v(b)} > 0 und v(r a) = v(r )+v(a) > 0, also r a ∈ p und a +b ∈ p. Dies zeigt, dass p ein Ideal
in R ist. Wegen v(1) = 0 gilt 1 ∉ p. Sind a, b ∈ R mit ab ∈ p vorgegeben, dann folgt v(a) + v(b) = v(ab) > 0 und somit
v(a) > 0 oder v(b) > 0. Es gilt also a ∈ p oder b ∈ p. Damit ist p sogar ein Primideal.
Für jede Primzahl p erhalten wir durch |a|p = p −v p (a) eine nicht-archimedische Betragsbewertung auf Q. Eine weitere
ist durch den gewöhnlichen Absolutbetrag gegeben. Für sie verwenden wir die Bezeichnung |·|∞ . Weil es sich bei |·|∞
um eine archimedische Betragsbewertung handelt, ist sie für keine Primzahl p zu |·|p äquivalent. Wir zeigen nun, dass
damit bis auf Äquivalenz alle Betragsbewertungen von Q angegeben wurden.
Proposition 2.3
Sei | · | eine archimedische Betragsbewertung von Q. Dann ist | · | äquivalent
zum gewöhnlichen Absolutbetrag | · |∞ .
Beweis:
Wir werden weiter unten zeigen, dass der Quotient ln |m|/ ln(m) für alle m ∈ N den gleichen Wert s ∈ R+
besitzt. Daraus folgt die gewünschte Aussage, denn dann erhalten wir für jedes n ∈ N die Gleichung
s
|n|∞
=
ns
=
n ln |n|/ ln(n)
=
exp ln(n) ·
1
· ln |n|
ln(n)
exp(ln |n|)
=
=
|n|.
s
= |a| für alle a ∈ Z und schließlich auch für alle a ∈ Q. Kommen wir nun zum Beweis der Gleichung
Es folgt |a|∞
ln |m|/ ln(m) = ln |n|/ ln(n) für m, n ∈ N. Dazu schreiben wir m in der Form
r
m
ak n k
=
mit 0 ≤ a k < n , r ∈ N0 ,
k=0
wobei wir a r = 0 voraussetzen. Dann ist n r ≤ m ⇔ r ≤ ln(m)/ ln(n), außerdem |a k | ≤
|n| < 1, dann würde daraus
r
|m|
≤
∞
|a n ||n|k
≤
k=0
n · |n|k
=
k=0
n
|1| ≤ n
=1
für 0 ≤ k ≤ r . Wäre
n
1 − |n|
folgen. Damit wäre die Menge {|m| | m ∈ N} ⊆ R beschränkt und | · | nach Proposition 1.12 nicht-archimedisch, im
Widerspruch zur Voraussetzung. Also muss |n| ≥ 1 gelten, und für |m| erhalten wir die Abschätzung
r
|m|
≤
|a n ||n|k
k=0
r
≤
n|n|k
(1 + r )n|n|r
≤
≤
1+
k=0
ln(m)
n|n|ln(m)/ ln(n) .
ln(n)
Ersetzen wir in dieser Gleichung m durch m k , dann erhalten wir
|m|k ≤ 1 + k
ln(m)
n|n|k ln(m)/ ln(n)
ln(n)
⇔
|m| ≤ 1 + k
—– 21 —–
ln(m)
ln(n)
1/k
n 1/k |n|ln(m)/ ln(n)
§ 2.
Die Bewertungen der Zahlkörper und der rationalen Funktionenkörper
und der Grenzübergang k → ∞ liefert |m| ≤ |n|ln(m)/ ln(n) . Es folgt |m|1/ ln(m) ≤ |n|1/ ln(n) und ln |m|/ ln(m) ≤ ln |n|/ ln(n)
nach Ziehen des Logarithmus auf beiden Seiten. Vertauscht man die Rollen von m und n in der gesamten Rechnung,
dann erhält man Gleichheit.
Satz 2.4
Jede nichttriviale Betragsbewertung auf Q ist äquivalent zu | · |∞ oder zu | · |p für eine
Primzahl p.
Beweis:
Ist | · | archimedisch, dann ist | · | nach Proposition 2.3 äquivalent zu | · |∞ . Setzen wir nun voraus, dass | · |
nicht-archimedisch ist, und sei v die zugehörige Bewertung. Aus v(1) = 0 erhält man v(m) ≥ 0 für alle m ∈ N durch
vollständige Induktion. Zusammen mit v(0) = ∞ und v(−m) = v(−1) + v(m) = v(m) für alle m ∈ N folgt insgesamt
v(a) ≥ 0 für alle a ∈ Z.
Wir können also Proposition 2.2 anwenden. Demnach ist p = {a ∈ Q | v(a) > 0} ein Primideal in Z. Im Fall p = (0) wären
die Bewertungen | · | und v trivial, im Widerspruch zur Voraussetzung. So aber gilt p = (p) für eine Primzahl p. Setzen
wir s = v(p), so gilt v(a) = sm für jede ganze Zahl a, die genau m mal durch p teilbar ist. Es gilt also v(a) = sv p (a) für
alle a ∈ Z \ {0} mit der Bewertung v p aus Proposition 2.1. Weil Q der Quotientenkörper von Z ist, gilt diese Gleichung
auch für alle a ∈ Q. Also sind v und v p und damit auch | · | und | · |p äquivalent.
Satz 2.5
(Produktformel für Q)
Für alle a ∈ Q× gilt |a|p = 1 für nur endlich viele Primzahlen, darüber hinaus gilt
|a|∞ ·
Beweis:
|a|p
=
1.
p
Die erste Teilaussage gilt, weil Zähler und Nenner jeder Bruchzahl nur durch endlich viele Primzahlen
teilbar sind. Weil die linke Seite der Gleichung multiplikativ ist, genügt es, sie für Primzahlen zu überprüfen. Ist p eine
Primzahl, dann gilt |p|∞ = p, |p|p =
1
p
und |p|q = 1 für alle Primzahlen q = p. Also ist die Gleichung für p erfüllt.
Sei nun K ein beliebiger Körper. Unser nächstes Ziel besteht darin, die Betragsbewertungen des rationalen Funktionenkörpers K (t ) zu klassifizieren, die auf K trivial sind. Zunächst bemerken wir, dass man sich hier ganz auf die
klassischen Bewertungen konzentrieren kann, denn es gilt
Proposition 2.6
Beweis:
Es gibt auf K (t ) keine archimedische Betragsbewertung, die auf K trivial ist.
Ist | · | auf K trivial, dann gilt insbesondere |n| = 1 für alle n ∈ N. Nach Proposition 1.12 ist | · | damit eine
nicht-archimedische oder triviale Bewertung.
Wendet man Proposition 2.1 auf den Hauptidealring K [t ] an, so erhält man für jedes normierte, irreduzible Polynom
g eine Bewertung v g . Weil die Konstanten ungleich Null in K [t ] nicht durch g teilbar sind, gilt v g (a) = 0 für alle a ∈ K × .
Eine weitere Bewertung von K (t ) erhält man wie folgt.
Proposition 2.7
f
v∞( g
¯ gegeben durch die Gleichungen v ∞ (0) = ∞ und
Die Abbildung v ∞ : K → R
) = grad(g ) − grad( f ) für f , g ∈ K [t ] ist eine Bewertung. Diese ist auf K trivial.
—– 22 —–
§ 2.
Die Bewertungen der Zahlkörper und der rationalen Funktionenkörper
f
Beweis:
Wir überprüfen die Bewertungseigenschaften der Abbildung v ∞ . Die Äquivalenz v ∞ ( g ) = ∞ ⇔
f
g
= 0 ist
auf Grund der Definition offensichtlich. Seien nun f 1 , f 2 , g 1 , g 2 ∈ K [t ] vorgegeben, wobei g 1 , g 2 = 0 gilt. Ist eine der
Funktionen
f1 f2
g1 , g2
gleich Null, dann gilt dasselbe für das Produkt
f1
g1
f
f
· g22 . Die Gleichung v ∞ ( g11
f2
g2 ) =
f
f
v ∞ ( g11 ) + v ∞ ( g22 )
ist damit erfüllt, weil auf beiden Seiten der Wert ∞ steht. Ansonsten erhält man die Gleichung durch die Rechung
v∞
f1 f2
·
g1 g2
f1 f2
g1g2
v∞
=
=
=
grad(g 1 g 2 ) − grad( f 1 f 2 )
=
grad(g 1 ) − grad( f 1 ) + grad(g 2 ) − grad( f 2 )
f
Ebenso können wir uns bei Beweis der Ungleichung v ∞ ( g11 +
f2
g2 )
grad(g 1 ) + grad(g 2 ) − grad( f 1 ) − grad( f 2 )
v∞
=
≥ min v ∞
f1
g1
f2
f1
+ v∞
.
g1
g2
, v∞
f2
g2
auf den Fall f 1 , f 2 = 0 be-
schränken. Wegen grad( f + g ) ≤ max{grad( f ), grad(g )} erhalten wir
v∞
f1
f2
+
g1 g2
=
v∞
f1 g2 + f2 g1
g1g2
=
grad(g 1 g 2 ) − grad( f 1 g 2 + f 2 g 1 )
min{grad(g 1 g 2 ) − grad( f 1 g 2 ), grad(g 1 g 2 ) − grad( f 2 g 1 )}
min{grad(g 1 ) − grad( f 1 ), grad(g 2 ) − grad( f 2 )}
=
min v ∞
≥
=
f1
g1
, v∞
f2
g2
.
Außerdem ist v ∞ auf K trivial, da die Elemente aus K × nach Definition genau die Polynome vom Grad Null sind.
Damit sind alle Bewertungen der Erweiterung K (t )|K bis auf Äquivalenz bestimmt.
Satz 2.8
Jede nichttriviale Bewertung von K (t ), die auf K trivial ist, ist entweder zu v ∞ oder zu
v g äquivalent, für ein normiertes irreduzibles Polynom g ∈ K [t ].
Beweis:
Sei v eine Bewertung auf K (t ) mit den angegebenen Eigenschaften. Sei außerdem 0 ≤ f ∈ K [t ] beliebig
n
a t
k=0 k k
vorgegeben, f =
mit n ∈ N und a n = 0. Zunächst betrachten wir den Fall, dass v(t ) < 0 gilt. In diesem Fall
n
gilt v(a n t ) = nv(t ) und
v(a k t k )
=
v(a k ) + kv(t )
=
kv(t )
>
nv(t )
=
v(t n )
für 0 ≤ k < n.
Insgesamt erhalten wir v( f ) = min{v(a k t k ) | 0 ≤ k ≤ n} = v(t n ) = nv(t ) = grad( f )} v(t ). Setzen wir s = −v(t ), dann gilt
also v( f ) = sv ∞ ( f ) für alle f ∈ K [t ] und somit auch für beliebiges f ∈ K (t ). Dies zeigt, dass v und v ∞ äquivalent sind.
Betrachten wir nun den Fall v(t ) ≥ 0. In diesem Fall gilt v( f ) ≥ min{v(a k t k ) | 0 ≤ k ≤ n} = min{v(a k ) + kv(t )} ≥ 0.
Nach Proposition 2.2 ist p = { f ∈ K [t ] | v( f ) > 0} ein Primideal in K [t ]. Weil v nichttrivial ist, gilt p = (0). Da K [t ]
ein Hauptidealring ist, finden wir ein normiertes, irreduzibles Polynom g ∈ K [t ] mit p = (g ). Setzen wir s = v(g ) und
ist f ∈ K [t ] genau m mal durch g teilbar, dann gilt v( f ) = mv(g ) = sm = sv g ( f ). Daraus folgt v( f ) = sv g ( f ) für alle
f ∈ K (t ), die Bewertungen v und v g sind also äquivalent.
Satz 2.9
(Produktformel für Funktionenkörper)
Sei c eine beliebige reelle Zahl mit c > 1. Für jedes f ∈ K (t ) ungleich Null setzen wir | f |∞ = c grad( f ) ,
außerdem sei | f |g = (c grad(g ) )−v g ( f ) für jedes irreduzible normierte g ∈ K [t ]. Dann gilt | f |g = 1 nur
für endlich viele solche g , und außerdem
| f |∞ ·
| f |g
=
g
—– 23 —–
1.
§ 2.
Die Bewertungen der Zahlkörper und der rationalen Funktionenkörper
Beweis:
Weil Zähler und Nenner von f nur endlich viele irreduzible Faktoren besitzen, gilt | f |g = 1 nur für endlich
viele g . Weil die linke Seite multiplikativ ist, genügt es wieder, sie für ein irreduzibles, normiertes Polynom f ∈ K [t ] zu
überprüfen. Sei m = grad( f ). Dann gilt | f |∞ = c m , außerdem | f | f = (c m )−1 = c −m und | f |g = 1 für g = f . Also ist die
Gleichung für dieses f erfüllt.
Die Bewertung v ∞ unterscheidet sich nicht wesentlich von den Bewertungen v g , die wir den irreduziblen, normierten
Polynomen g ∈ K [t ] zugeordnet haben. Allgemein gilt
Proposition 2.10
Seien K , L ein Körper, v eine Bewertung auf L und σ : K → L ein Homomor-
phismus von Körpern. Dann ist durch v ◦ σ eine Bewertung auf K definiert.
Beweis:
Dies kann unmittelbar nachgerechnet werden. Zunächst gilt für jedes a ∈ K die Äquivalenz
(v ◦ σ)(a) = ∞
⇔
v(σ(a)) = ∞
⇔
σ(a) = 0
⇔
a =0 ,
wobei wir im letzten Schritt verwendet haben, dass Körperhomomorphismen stets injektiv sind. Seien nun a, b ∈ K
vorgegeben. Dann gilt (v ◦ σ)(ab) = v(σ(ab)) = v(σ(a)σ(b)) = v(σ(a)) + v(σ(b)) = (v ◦ σ)(a) + (v ◦ σ)(b), und ebenso
erhalten wir
(v ◦ σ)(a + b)
=
v(σ(a + b))
Proposition 2.11
=
v(σ(a) + σ(b))
min{v(σ(a)), v(σ(b))}
≥
=
min{(v ◦ σ)(a), (v ◦ σ)(b)}.
Sei σ : K (t ) → K (t ) der K -Automorphismus von K (t ) gegeben durch σ(t ) = 1t .
Dann gilt v t ◦ σ = v ∞ .
Beweis: Es genügt, die Übereinstimmung der beiden Bewertungen für ein Polynom f ∈ K [t ] mit f = 0 zu überprüfen.
n
a tk
k=0 k
Sei also f ∈ K [t ] ein Polynom vom Grad n ∈ N0 , f =
außerdem
σ( f )
n
ak
=
k=0
1
t
mit a 0 , ..., a n ∈ K und a n = 0. Dann gilt v ∞ ( f ) = −n,
k
=
t −n
n
a k t n−k .
k=0
Wegen a n = 0 ist das Polynom in der Klammer nicht durch t teilbar. Es folgt (v ◦ σ)( f ) = −n = v ∞ ( f ).
Wenden wir nuns nun den Bewertungen der Zahlkörper zu. Aus der Algebraischen Zahlentheorie I ist bekannt, dass
jedes gebrochene Ideal a = (0) auf eindeutige Weise als Produkt der Form
a
pe p
=
p
mit e p ∈ Z
dargestellt werden kann, wobei das Produkt über alle maximalen Ideale p des Ganzheitsrings O K läuft und e p nur für
endliche viele solche Ideale ungleich Null ist. Wir bezeichnen den Exponenten e p in dieser Produktzerlegung von a
jeweils mit v p (a). Für jedes α ∈ K × setzen wir v p (α) = v p ((α)), wobei (α) das von α erzeugte gebrochene Hauptideal
bezeichnet, und außerdem v p (0) = ∞.
Proposition 2.12
Für jedes maximale Ideal p von O K definiert v p eine Bewertung von K . Sind
p, q zwei verschiedene Primideale, dann sind die Bewertungen v p und v q nicht zueinander äquivalent.
—– 24 —–
§ 2.
Die Bewertungen der Zahlkörper und der rationalen Funktionenkörper
Die Äquivalenz v p (α) = ∞ ⇔ α = 0 für jedes α ∈ K und jedes maximale Ideal p ist offensichtlich. Für den
Beweis:
Beweis der Gleichung v p (αβ) = v p (α) + v p (β) für α, β ∈ K können wir α, β = 0 voraussetzen, da ansonsten auf beiden
Seiten der Gleichung der Wert ∞ steht. Die Gleichung folgt dann aus v p (ab) = v p (a) + v p (b) für beliebige gebrochene
Ideale a, b, was sich unmittelbar aus der Primidealzerlegung von a und b ergibt.
Für den Beweis von v p (α + β) ≥ min{v p (α), v p (β)} kann erneut α, β = 0 vorausgesetzt werden. Nehmen wir nun an,
dass die Gleichung für 0 = α, β ∈ O K bereits bewiesen wurde. Dann können wir im allgemeinen Fall ein c ∈ N wählen,
so dass cα, cβ in O K liegen. Die Ungleichung ergibt sich dann mit Hilfe der Rechnung
v p (α + β)
≥
min{v p (cα), v p (cβ)} − v p (c)
v p (c(α + β)) − v p (c)
=
=
=
v p (cα + cβ) − v p (c)
min{v p (α) + v p (c), v p (β) + v p (c)} − v p (c)
=
min{v p (α) + v p (β)}.
Also können wir nun 0 = α, β ∈ O K voraussetzen. Sei a = (α), b = (β), m = v p (a) und n = v p (b); ohne Beschränkung der
Allgemeinheit sei m ≥ n. Dann gibt es Ideale a0 und b0 mit a = pn a0 und b = pn b0 . Es folgt a + b = pn (a0 + b0 ) und damit
v p (a + b) ≥ n. Wegen (α + β) ⊆ (α) + (β) = a + b erhalten wir insgesamt
v p (α + β)
=
v p ((α + β))
=
min{v p (a), v p (b)}
≥
v p (a + b)
=
≥
n
=
min{m, n}
min{v p (α), v p (β)}.
Seien nun p, q zwei verschiedene maximale Ideale von O K . Zum Nachweis der Nicht-Äquivalenz von v p und v q genügt
es, ein Element a ∈ p \ q zu wählen. Es gilt dann v p (a) > 0 und v q (a) = 0. Nach Folgerung 1.15 sind v p und v q damit
nicht äquivalent.
Lemma 2.13
Sei K ein Zahlkörper und p ein maximales Ideal in O K .
(i) In jeder Idealklasse von K gibt es ein Ideal a in O K , das zu p teilerfremd ist.
(ii) Für jedes α ∈ K × mit v p (α) ≥ 0 gibt es a, b ∈ O = K mit v p (b) = 0 und α = a/b.
Beweis:
zu (i) Sei c eine Idealklasse, b ein ganzzahliger Repräsentant von c und m = v p (b). Ist m = 0, dann ist nichts
zu zeigen. Ansonsten wählen wir ein c ∈ pm \ pm+1 und setzen b1 = ( 1c )b. Wegen v p (c) = m ist v p (b1 ) = 0. Schreiben wir
b1 als Produkt b2 (b3 )−1 mit ganzzahligen, teilerfremden Idealen b2 und b3 , dann gilt p b2 , b3 . Nach dem Chinesischen
Restsatz existiert ein d ∈ O K mit d ≡ 0 mod b3 und d ≡ 1 mod p. Setzen wir nun a = (d )b1 , dann ist a wegen (d ) ⊆ b3
ganzzahlig. Desweiteren gilt v p (d ) = 0 und somit p a. Wegen a = ( dc )b liegen a und b in derselben Idealklasse.
zu (ii) Seien a, b ganzzahlige teilerfremde Ideale in O K mit (α) = ab−1 . Dann liegen a und b in derselben Idealklasse.
Nach (i) gibt es in der Idealklasse [a]−1 = [b]−1 ein ganzzahliges Ideal c, das teilerfremd zu p ist. Wir können damit
(α)
=
ab−1
=
(ac)(bc)−1
schreiben. Dabei sind ac und bc beides Hauptideale, es gibt also a, b ∈ O K mit ac = (a) und bc = (b). Wegen v p (α) ≥ 0
und der Teilerfremdheit von a und b gilt v p (b) = 0. Es gilt also p b und p c, insgesamt also p bc und somit auch
v p (b) = 0. Nach Definition gilt (α) = (a)(b)−1 = ( ba ), es gibt also ein ε ∈ O K× mit α = ε ba . Setzen wir a durch εa, so
erhalten wir eine Darstellung von α in der gewünschten Form.
Satz 2.14
Jede nichttriviale Bewertung eines Zahlkörpers ist äquivalent zu v p für ein geeignetes
maximales Ideal p von O K .
—– 25 —–
§ 2.
Die Bewertungen der Zahlkörper und der rationalen Funktionenkörper
Beweis:
Sei v eine nichttriviale Bewertung von K und v 0 = v|Q . Wäre v trivial, dann wäre Q im Bewertungsring O v
von v enthalten. Weil Bewertungsringe nach Proposition 1.17 normal sind und der ganze Abschluss von Q in K gleich
K ist, würden daraus K = O v gelten. Aber dies würde bedeuten, dass v trivial ist, im Widerspruch zur Voraussetzung.
So aber gilt v = v p für eine Primzahl p nach Satz 2.4. Es folgt Z ⊆ O v , und die Ganzabgeschlossenheit von O v in K liefert
O K ⊆ O v . Wir können nun Proposition Proposition 2.2 anwenden. Demnach ist p = {a ∈ O K | v(a) > 0} ein Primideal
von O K ist, sgoar ein maximales Ideal, denn andernfalls wäre v trivial.
Wir werden nun zeigen, dass v und v p äquivalent sind. Zunächst zeigen wir, dass für alle α ∈ K × aus v p (α) = 0 stets
v(α) = 0 folgt. Nach Lemma Lemma 2.13 gibt es a, b ∈ O K mit v p (b) = 0 und α = ba . Aus v p (α) = 0 folgt dann v p (a) = 0.
Dies wiederum bedeutet, dass a nicht in p liegt und somit v(a) = 0 ist. Ebenso erhält man v(b) = 0, insgesamt v(α) =
v(a) − v(b) = 0. Zum Nachweis der Äquivalenz wählen wir ein Element c ∈ p \ p2 und setzen s = v(c). Ist nun α ∈ K ×
vorgegeben und n = v p (α), dann gilt v p ( γαn ) = 0. Auf Grund der bereits bewiesenen Aussage erhalten wir v( γαn ) = 0. Es
folgt v(α) = nv(γ) = v(γ)n = sv p (α), also sind v und v p tatsächlich äquivalent.
Wenden wir uns nun den archimedischen Betragsbewertungen von K zu. Nach dem Satz vom primitiven Element
gibt es in jedem Zahlkörper K ein Element θ, so dass K = Q(θ) gilt. Bezeichnen wir mit f ∈ Q[x] das Minimalpolynom
von θ über Q, dann stimmt der Grad von f mit n = [K : Q] überein. Die komplexen, nicht-reellen Nullstellen von f
treten in komplexen-konjugierten Paaren auf. Bezeichnen wir die Anzahl diese Paare mit s und die Anzahl der reeellen
Nullstellen mit r , dann gilt also r +2s = n. Nach dem Fortsetzungssatz aus der Körpertheorie gibt es für jede Nullstelle
α ∈ C eine eindeutig bestimmte Einbettung ια : K → C mit ια (θ) = α. Sind die Nullstellen α und β komplex-konjugiert,
¯ dann gilt ιβ (γ) = ια (γ) für alle γ ∈ K . Daraus folgt auch, dass für reelles α stets ια (K ) ⊆ R gilt.
also β = α,
Der Zahlkörper K besitzt also genau r reelle Einbettungen und s Paare von nicht-reellen, konjugiert-komplexen Einbettungen nach C. Nach Proposition 2.10 definiert jede Einbettung ι : K → C durch |γ|ι = |ι(γ)|∞ eine Betragsbewertung von K . Weil die Menge der Werte |n|ι = |ι(n)|∞ = |n|∞ = n mit n ∈ N unbeschränkt ist, handelt es sich nach
Proposition 1.12 um eine archimedische Bewertung.
Satz 2.15
Sei K ein Zahlkörper.
(i) Jede archimedische Betragsbewertung von K ist äquivalent zu | · |ι für eine komplexe Einbettung ι von K .
(ii) Sind ι, ι zwei verschiedene komplexe Einbettungen von K , die nicht komplex-konjugiert
zueinander sind, dann sind | · |ι und | · |ι nicht äquivalent.
Den Beweis dieses Satzes holen wir im nächsten Abschnitt nach, wenn wir den Begriff der Komplettierung zur Verfügung haben. Insgesamt haben wir damit der Bewertungen der Zahlkörper bis auf Äquivalenz klassifiziert.
Bereits im letzten Abschnitt haben wir die für die Äquivalenzklassen nichttrivialer Betragsbewertungen eines Körpers
den Begriff der Primstelle definiert. Für den Körper Q haben wir gezeigt, dass jeder Primzahl p eine Primstelle von
Q zugeordnet werden kann, die wir ebenfalls mit p bezeichnen. Für die einzige archimedische Primstelle (die zum
gewöhnlichen Absolutbetrag auf Q gehört), verwenden wir die Bezeichnung ∞.
Ist K ein beliebiger Körper, dann werden die Primstellen von K (t )|K parametrisiert durch die irreduziblen, normierten
Polynome g ∈ K [t ], mit Ausnahme einer Primstelle „im Unendlichen“, die durch die Bewertung v ∞ repräsentiert
—– 26 —–
§ 2.
Die Bewertungen der Zahlkörper und der rationalen Funktionenkörper
wird. Falls K algebraisch abgeschlossen wird, sind die Polynome g alle von der Form x − a, wobei a die Elemente
von K durchläuft. Man erhält so eine bijektive Korrespondenz zwischen den Primstellen von K und den Punkten von
P1K = A1K ∪ {∞}, der projektiven Geraden über K .
Im Fall eines Zahlkörpers K haben wir jedem maximalen Ideal p von O K eine Primstelle zugeordnet, für die wir ebenfalls die Bezeichnung p verwenden. Ferner gibt es nach Satz 2.15 für jede reelle Einbettung ι von K eine Primstelle
(ι) und für jedes Paar (ι,¯ι) nicht-reeller, komplex-konjugierter Einbettungen eine Primstelle, die wir ebenfalls mit (ι,¯ι)
bezeichnen.
Definition 2.16
(i) Sei L|K eine Körpererweiterung und | · | eine Betragsbewertung von K . Eine Betrangsbewertung | · | von L bezeichnet man als Fortsetzung von | · | auf L, wenn |a| = |a| für alle
a ∈ K gilt. Ebenso nennen wir eine Bewertung w von L eine Fortsetzung einer Bewertung
v von K , wenn w(a) = v(a) für alle a ∈ K erfüllt ist.
(ii) Sei nun p eine Primstelle von K . Man sagt, eine Primstelle P von L liegt über p und schreibt
P | p, wenn es eine (Betrags-)Bewertung in P gibt, die eine (Betrags-)Bewertung in p fortsetzt.
Ist p eine Primzahl und p ein maximales Ideal von O K mit p | (p), dann gilt v p (a) = ev p (a) für alle a ∈ Q× , wobei
e ∈ N den Verzweigungsindex von p bezeichnet. Somit ist v p (a) eine Fortsetzung von ev p (a). Es gilt also p | p, d.h. die
Primstelle p liegt über p. Die Primstellen von K , die zu den komplexen Einbettungen von K gehören, sind offenbar
genau die Primstellen p mit p | ∞.
Um die Produktformel für Zahlkörper anzugeben, führen wir die folgenden Bezeichnungen ein. Sei α ∈ K × vorgegeben. Für jede Primstelle p ∞ setzen wir |α|p = N(p)−v p (α) , wobei N(p) = (O K : p) die Absolutnorm von p bezeichnet. Ist
p = (ι) mit einer reellen Einbettung ι, dann setzen wir |α|p = |α|ι = |ι(α)|∞ , wobei |·|∞ den gewöhnlichen Absolutbetrag
auf R (oder C) bezeichnet. Ist schließlich p = (ι,¯ι) definiert durch ein Paar konjugiert-komplexer Einbettungen, dann
setzen wir |α|p = |ι(α)||¯ι(α)| = |ι(α)|2 .
Satz 2.17 Sei α ∈ K × . Dann gilt |α|p = 1 für alle bis auf endlich viele Primstellen p, und außerdem
|α|p
1
=
p
wobei das Produkt über alle Primstellen von K läuft.
Beweis:
Die erste Aussage ist klar, denn in der Produktzerlegung des gebrochenen Hauptideals (α) kommen nur
endlich viele Primideale vor, und folglich gilt v p (α) = 0 für alle bis auf endlich viele p. Zum Beweis der zweiten Aussage
seien σ1 , ..., σr die reellen und (τ1 , τ¯1 ), ..., (τs , τ¯ s ) die Paare nicht-reeller, komplex-konjugierter Einbettungen von K
nach C. Außerdem sei
m
(α)
e
=
k=1
pkk
die Produktzerlegung des gebrochenen Hauptideals (α), mit e k ∈ Z für 1 ≤ k ≤ m. Dann gilt einerseits
|α|p
p∞
N(p)−v p )(α)
=
p∞
m
=
−1
N(p)e k
m
=
N
k=1
k=1
—– 27 —–
−1
pe k
=
N((α))−1
=
|NK |Q (α)|−1 .
§ 2.
Die Bewertungen der Zahlkörper und der rationalen Funktionenkörper
Andererseits ist die Norm das Produkt über sämtliche komplexen Einbettungen von α, es gilt also
s
r
|α|p
|σi (α)|
=
p|∞
|τ j (α)||τ¯ j (α)|
=
|NK |Q (α)|.
j =1
i =1
Insgesamt erhalten wir
|α|p
p
=
|α|p
|α|p
p∞
p|∞
=
|NK |Q (α)|−1 |NK |Q (α)|
—– 28 —–
=
1.
§ 3. Vollständigkeit
Aus der Analysis ist der Begriff der konvergenten Folge und der Cauchyfolge bekannt. Dieser lässt sich ohne Änderung
von R auf einen beliebigen bewerteten Körper (K , |·|) übertragen. Man sagt, eine Folge (a n )n∈N konvergiert gegen ein
Element a ∈ K und schreibt a = limn a n , wenn für jedes ε ∈ R+ ein n ∈ N existiert, so dass |a n − a| < ε für alle n ≥ N
erfüllt ist. Ebenso wie bei den reellen Zahlen verwendet man die Notation
∞
an
n=1
der Reihe über (a n )n∈N sowohl für die Folge (s n )n∈N der Partialsummen gegeben durch s n =
n
a
k=1 k
für alle n ∈
N als auch für deren Grenzwert limn s n , sofern dieser existiert. Bezüglich der trivialen Bewertung auf K konvergiert
eine Folge (a n )n∈N genau dann gegen ein a ∈ K , wenn ein N ∈ N mit a n = a für alle n ≥ N existiert. Die einzigen
konvergenten Folgen sind also die „im Wesentlichen“ konstanten Folgen.
Von einer Cauchyfolge in einem bewerteten Körper (K , | · |) spricht man, wenn für jedes ε ∈ R+ ein N ∈ N existiert,
so dass |a m − a n | < ε für alle m, n ∈ N mit m, n ≥ N erfüllt ist. Genau wie in der Analysis beweist man, dass jede
konvergente Folge auch eine Cauchyfolge ist.
Definition 3.1
Man bezeichnet einen bewerteten Körper (K , | · |) als vollständig, wenn jede
Cauchyfolge in K konvergiert.
Im Gegensatz zum archimedischen Fall lässt sich die Konvergenz von Reihen bezüglich einer nicht-archimedischen
Betragsbewertung sehr einfach feststellen.
Proposition 3.2 Sei (K , |·|) ein vollständiger nicht-archimedisch bewerteter Körper und (a n )n∈N
eine Folge in K . Die Reihe
Beweis:
∞
n=1 a n
konvergiert genau dann, wenn limn a n = 0 gilt.
„⇒“ Sei (s n )n∈N die Folge der Partialsummen von
∞
n=1 a n .
Als konvergente Folge ist (s n )n∈N auch eine
Cauchyfolge. Insbesondere gibt es für jedes ε ∈ R ein N ∈ N, so dass |a n | = |s n − s n−1 | < ε für alle n ≥ N gilt. Damit ist
+
limn a n = 0 bewiesen.
„⇐“ Auf Grund der Vollständigkeit genügt es zu zeigen, dass die Folge (s n )n∈N der Partialsummen eine Cauchyfolge
bildet. Sei ε ∈ R+ vorgegeben und N ∈ N so gewählt, dass |a n | < ε für alle n ≥ N erfüllt ist. Für alle m, n ∈ N mit
m ≥ n ≥ N gilt auf Grund der strikten Dreiecksungleichung dann
m
|s m − s n |
ak
=
≤
max{ |a k | | n + 1 ≤ k ≤ m}
<
ε.
k=n+1
Aus der Analysis ist bekannt, dass es sich bei R und C um vollständige bewertete Körper handelt. Unmittelbar klar ist
auch, dass jeder trivial bewertete Körper vollständig ist, denn in diesem Fall sind sowohl die konvergenten Folgen als
auch die Cauchyfolgen genau die im Wesentlichen konstanten Folgen.
—– 29 —–
§ 3.
Vollständigkeit
Seien (K , | · |K ) und (L, | · |L ) bewertete Körper. Man nennt (L, | · |L ) wird eine Erweiterung von (K , | · |K ), wenn L|K eine
Körpererweiterung und |·|L eine Fortsetzung von |·|K ist. Sei nun (M , |·|M ) ebenfalls eine Erweiterungen von (K , |·|K ).
Eine K -Isometrie von L nach M ist ein K -Homomorphismus σ : L → M mit der Eigenschaft, dass |σ(x)|M = |x|L für
alle x ∈ L erfüllt ist. Handelt es sich bei σ darüber hinaus um eine bijektive Abbildung, dann spricht man von einer
K -Isomtrie von L auf den Körper M .
Wir wiederholen noch einen weiteren Begriff aus der elementaren Topologie. Sei (L, | · |) ein bewerteter Körper. Eine
Teilmenge S ⊆ L wird als dicht bezeichnet, wenn der Abschluss von S in L mit ganz L übereinstimmt. Eine äquivalente
Bedingung lautet, dass für jedes a ∈ L und jedes ε ∈ R+ ein s ∈ S mit |s − a| < ε existiert.
Lemma 3.3
Jeder stetige Homomorphismus zwischen bewerteten Körpern ist sogar gleichmä-
ßig stetig.
Beweis:
Sei φ : K → K ein stetiger Homomorphismus zwischen bewerteten Körpern (K , | · |) und (K , | · | ). Sei ε ∈ R+
vorgegeben. Auf Grund der Stetigkeit von φ im Punkt 0 gibt es ein δ ∈ R+ , so dass |φ(a)| < ε für alle a ∈ K mit |a| < δ
gilt. Sind nun a, b ∈ K mit |a − b| < δ, dann folgt |φ(a) − φ(b)| = |φ(a − b)| < ε.
Sei L|K eine Erweiterung bewerteter Körper, wobei K ein dichter Teilkörper
von L ist. Sei außerdem φ : K → K˜ ein stetiger Homomorphismus von K in einen vollständigen
Körper K˜ . Dann gibt es eine eindeutig bestimmte, stetige Fortsetzung ψ von φ zu einem KörperProposition 3.4
homomorphismus L → K˜ . Ist φ eine Isometrie, dann gilt dasselbe für ψ.
Beweis:
Zunächst beweisen wir die Eindeutigkeit. Nehmen wir an, dass ψ und ψ zwei Abbildungen L → K˜ mit den
angegebenen Eigenschaften sind. Für jedes vorgegebene a ∈ L gibt es eine Folge (a n )n∈N in K mit limn a n = a, weil K
in L dicht liegt. Auf Grund der Stetigkeit von ψ und ψ gilt
ψ(a)
=
lim ψ(a n )
n→∞
=
lim ψ (a n )
n→∞
=
ψ (a).
Kommen wir nun zum Nachweis der Existenz. Für jedes a ∈ L wählen wir eine Folge (a n )n∈N in K , die gegen a konvergiert. Dann ist (a n )n∈N insbesondere eine Cauchyfolge in K . Weil φ nach Lemma 3.3 gleichmäßig stetig ist, ist auch
(φ(a n ))n∈N eine Cauchyfolge. Ist nämlich ε ∈ R+ vorgegeben, dann existiert auf Grund der gleichmäßigen Stetigkeit
von φ ein δ ∈ R+ , so dass für alle a, b ∈ K die Implikation |a − b| < δ ⇒ |φ(a) − φ(b)| < ε erfüllt ist. Sei nun N ∈ N so
gewählt, dass |a m − a n | < δ für alle m, n ∈ N mit m, n ≥ N gilt. Dann folgt |φ(a m ) − φ(a n )| < ε für dieselben m, n. Weil
K˜ vollständig ist, handelt es sich bei (φ(a n ))n∈N um eine konvergente Folge, und wir können
ψ(a)
=
lim ψ(a n )
n→∞
definieren.
Diese Definition ist unabhängig von der gewählten Folge (a n )n∈N . Ist nämlich (a n )n∈N eine weitere Folge mit lim a n =
a, dann konvergiert limn (a n − a) gegen Null. Auf Grund der Stetigkeit von φ im Nullpunkt folgt limn φ(a n − a n ) =
limn φ(a n ) − limn φ(a n ) = 0 und damit limn φ(a n ) = limn φ(a n ). Daraus folgt auch, dass ψ|L = φ gilt, denn für jedes
a ∈ K konvergiert die Folge mit dem konstanten Glied a gegen a.
Um zu zeigen, dass ψ eine stetige Abbildung ist, bemerken wir zunächst, dass nach Definition von ψ für vorgegebene
δ, ε ∈ R+ und a ∈ L jeweils ein b ∈ K mit |a − b| < δ und |ψ(a) − φ(b)| < ε existiert. Zum Beweis wählen wir eine Folge
(a n )n∈N mit limn a n = a. Nach Definition von ψ konvergiert (φ(a n ))n∈N gegen ψ(a). Für hinreichend großes n ist
—– 30 —–
§ 3.
Vollständigkeit
|a n − a| < δ und |ψ(a) − φ(a n )| < ε, wir können also b = a n wählen. Zum Nachweis der Stetigkeit seien nun ε ∈ R+ und
a ∈ L vorgegeben. Auf Grund der gleichmäßigen Stetigkeit von φ gibt es ein δ ∈ R+ , so dass |b−b | < δ ⇒ |φ(b)−φ(b )| <
1
3 ε für alle b, b
∈ K erfüllt ist. Sei nun a ∈ L mit |a − a | < 31 δ. Dann gibt es Punkte b, b ∈ K mit |a −b|, |a −b | < 13 δ und
|ψ(a) − φ(b)| < 13 ε, |ψ(a ) − φ(b )| < 31 ε. Es gilt
|b − b |
≤
|b − a| + |a − a | + |a − b |
1
1
1
3δ+ 3δ+ 3δ
=
=
δ
und folglich |φ(b) − φ(b )| < 13 ε. Daraus wiederum folgt
|ψ(a) − ψ (a)|
|ψ(a) − φ(b)| + |φ(b) − φ(b )| + |φ(b ) − ψ(a )|
≤
1
1
1
3ε+ 3ε+ 3ε
<
=
ε.
Nun zeigen wir, dass ψ ein Körperhomomorphismus ist. Zunächst gilt 1 ∈ K und somit ψ(1) = φ(1) = 1. Sind a, b ∈ L
vorgegeben, dann wählen wir Folgen (a n )n∈N und (b n )n∈N in K mit limn a n = a und limn b n = b. Die Folge (a n +b n )n∈N
liegt dann ebenfalls in K , und sie konvergiert gegen a + b. Wir erhalten
ψ(a + b)
=
lim φ(a n + b n )
n→∞
=
lim φ(a n ) + lim φ(b n )
n→∞
n→∞
=
ψ(a) + ψ(b).
Ebenso beweist man die Verträglichkeit von ψ mit der Multiplikation.
Zum Nachweis der letzten Aussage setzen wir voraus, dass φ eine Isometrie ist, also |φ(b)| = |b| für alle b ∈ K gilt.
Ist nun a ∈ L vorgegeben, dann wählen wir eine Folge (a n )n∈N in K mit limn a n = a. Auf Grund der Stetigkeit der
Bewertungsfunktionen auf L und K˜ erhalten wir
|ψ(a)|
Definition 3.5
=
lim |φ(a n )|
n→∞
=
lim |a n |
n→∞
=
|a|.
Eine Erweiterung Kˆ eines bewerteten Körper (K , |·|) wird Komplettierung von K
genannt, wenn sie vollständig ist und K als dichte Teilmenge enthält.
Aus der Analysis ist bekannt, dass es sich bei R um eine Komplettierung von Q handelt. Das Hauptergebnis dieses
Kapitels lautet
Satz 3.6
(Existenz und Eindeutigkeit der Komplettierung)
Jeder bewertete Körper (K , | · |) besitzt eine Komplettierung (Kˆ , | · |Kˆ ). Ist (Kˆ1 , | · |Kˆ1 ) eine weitere
Komplettierung, dann existiert eine eindeutig bestimmte K -Isometrie von Kˆ auf Kˆ1 .
Beweis der Existenz:
Aus der Algebra ist folgendes zur Konstruktion von Ringerweiterungen bekannt: Ist φ : R → S ein Monomorphismus
ˆ R = φ. Es genügt
von Ringen, dann existiert ein Erweiterungsring Rˆ ⊇ R und ein Isomorphismus φˆ : Rˆ → S mit φ|
deshalb, einen vollständigen Körper bewerteten L und eine Isometrie φ : K → L zu konstruieren mit der Eigenschaft,
dass φ(K ) in L eine dichte Teilmenge ist.
—– 31 —–
§ 3.
Vollständigkeit
1. Schritt:
Konstruktion des Körpers L und der Einbettung φ
Sei R die Menge der Cauchyfolgen in K . Durch komponentenweise Addition und Multiplikation ist auf R offenbar
eine Ringstruktur definiert. Sei N ⊆ R die Teilmenge der Nullfolgen, also die Menge der Folgen (a n )n∈N in K mit
limn a n = 0. Wir zeigen nun als erstes, dass N in R ein maximales Ideal bildet. Weil die Summe zweier Nullfolgen
wiederum eine Nullfolge ist, ist die Menge N abgeschlossen unter Addition. Seien nun (a n )n∈N ∈ R und (b n )n∈N ∈ N
vorgegeben. Weil Cauchyfolgen beschränkt sind, ist auch (a n b n )n∈N eine Nullfolge, also ein Element aus N . Dies
zeigt, dass N jedenfalls ein Ideal von R ist.
Nun beweisen wir noch die Maximalität dieses Ideals. Ist (a n )n∈N eine Folge in R \ N , dann gibt es ein δ ∈ R+ und
ein N ∈ N mit |a n | ≥ δ für alle n ≥ N . Andernfalls könnten wir für jedes vorgegebene ε ∈ R+ eine Zahl N so groß
wählen, dass |a m − a n | < ε für alle m, n ≥ N gilt. Außerdem gäbe es ein N1 ∈ N mit |a N1 | < δ und N1 ≥ N . Es würde
dann |a n − a N1 | = |a n | + |a N1 | < 2δ für alle n ≥ N1 folgen, und damit wäre (a n )n∈N eine Nullfolge, im Widerspruch zur
Voraussetzung. So aber können wir eine nun Folge (b n )n∈N durch b n = 1 für n < N und b n = a n−1 für n ≥ N definieren.
An der Gleichung
bm − bn
=
1
1
−
am an
=
am − an
am an
und |a m a n |−1 ≤ δ−1 für m, n ≥ N erkennt man, dass mit (a n )n∈N auch (b n )n∈N eine Cauchyfolge in K ist. Außerdem
gilt limn a n b n = 1 (genau genommen ist a n b n bereits für alle bis auf endlich viele n gleich 1). Es gibt also eine Nullfolge
(c n )n∈N (genauer: im wesentlichen konstante Nullfolge), so dass (a n )n∈N (b n )n∈N + (c n )n∈N mit dem Einselement von
R übereinstimmt. Das Ideal N würde also durch Hinzunahme eines beliebigen Elements (a n )n∈N zum Einsideal,
damit ist N maximal.
Auf Grund dieses Ergebnisses ist der Faktorring L = R/N ein Körper. Um die Notation übersichtlich zu halten, bezeichnen wir die Restklasse (a n )n∈N +N jedes Elements (a n )n∈N jeweils mit [a n ]n∈N . Indem wir jedem Körperelement
a ∈ K die Klasse [a]n∈N der konstanten Folge zuordnen, erhalten wir einen Körperhomomorphismus φ : K → L, wie
man unmittelbar überprüft.
2. Schritt:
Konstruktion einer Bewertung auf L
Für jede Folge (a n )n∈N in R bilden die Beträge |a n | der Folgenglieder wegen ||a m | − |a n || ≤ |a m − a n | für m, n ∈ N eine
Cauchyfolge im Körper R der reellen Zahlen. Weil dieser vollständig ist, existiert der Grenzwert limn |a n |. Unterscheiden sich zwei Folgen (a n )n∈N und (b n )n∈N in R nur um eine Nullfolge, dann folgt aus ||a n | − |b n || ≤ |a n − b n | für alle
n ∈ N und limn (a n − b n ) = 0 die Gleichung limn ||a n | − |b n || = 0 und somit limn |a n | = limn |b n |. Dies zeigt, dass durch
|[a n ]n∈N |L
=
lim |a n |
n→∞
ist also eine wohldefinierte, von der Wahl der repräsentierenden Folge (a n )n∈N unabhängige Abbildung gegeben. Es
gilt |[a n ]n∈N |L = 0 genau dann, wenn (a n )n∈N eine Nullfolge ist, also genau dann, wenn [a n ]n∈N = 0L gilt. Für je zwei
Elemente [a n ]n∈N und [b n ]n∈N in L gilt jeweils |a n b n | = |a n ||b n | für alle n ∈ N und damit
|[a n b n ]n∈N |L
=
lim |a n ||b n |
n→∞
=
lim |a n |
n→∞
lim |b n |
n→∞
=
|[a n ]n∈N |L · |[b n ]n∈N |L .
Aus |a n + b n | ≤ |a n | + |b n | für alle n ∈ N folgt schließlich auch die Dreiecksungleichung, denn es gilt
|[a n + b n ]n∈N |L
=
lim |a n + b n |
n→∞
≤
lim |a n | + lim |b n |
n→∞
n→∞
—– 32 —–
=
|[a n ]n∈N |L + |[b n ]n∈N |L .
§ 3.
Vollständigkeit
Also ist durch | · |L tatsächlich eine Bewertung auf dem Körper L definiert. Für jedes a ∈ K gilt außerdem jeweils die
Gleichung |φ(a)|L = |[a]n∈N |L = limn |a| = |a|. Somit handelt es sich bei der Einbettung φ um eine Isometrie.
Das Bild φ(K ) liegt in L dicht.
3. Schritt:
Seien [a n ]n∈N ∈ L und ε ∈ R+ vorgegeben. Weil der Repräsentant (a n )n∈N eine Cauchyfolge ist, gibt es ein N ∈ N mit
|a m − a n | < 21 ε für alle m, n ≥ N . Setzen wir a = a N , dann erhalten wir
|φ(a) − [a n ]n∈N |L
4. Schritt:
=
lim |φ(a) − a n |
n∈N
=
lim |a N − a n |
n∈N
≤
1
2ε
<
ε.
Der Körper L ist vollständig.
Sei (c m )m∈N eine Cauchyfolge in L. Jedes Element c m ist in der Form c m = [a n(m) ]n∈N mit einer geeigneten Cauchyfolge
(a n(m) )n∈N in K darstellbar. Weil φ(K ) in L dicht liegt, können wir für jedes m ∈ N ein d m ∈ K mit |φ(d m ) − c m |L < 2−m
wählen. Wir zeigen nun, dass (d m )m∈N eine Cauchyfolge in K ist und in L die Gleichung
lim c m
m→∞
=
[d m ]m∈N
gilt.
(1)
Zum Beweis der ersten Aussage sei ε ∈ R+ vorgegeben. Weil (c m )n∈N eine Cauchyfolge in L ist, gibt es ein N ∈ N mit
|c m − c n |L < ε für alle m, n ≥ N . Nach eventueller Vergrößerung von N können wir 2−N < ε voraussetzen. Wir erhalten
nun für alle m, n ∈ N die Abschätzung
|d m − d n |
=
|φ(d m ) − φ(d n )|L
=
|φ(d m ) − c m |L + |c m − c n |L + |c n − φ(d n )|L
<
2−m + ε + 2−n
<
3ε.
Damit ist (d m )m∈N ∈ R nachgewiesen. Kommen wir nun zum Beweis der Gleichung (1) und zeigen dafür zunächst,
dass limn φ(d n ) = [d m ]m∈N gilt. Wegen (d m )m∈N ∈ R existiert für vorgegebenes ε ∈ R+ ein N ∈ N mit |d m − d n | < ε für
alle m, n ≥ N . Daraus folgt
|[d m ]m∈N − φ(d n )|L
=
lim |d m − d n |
n→∞
≤
ε
für n ≥ N
,
womit die angegebene Gleichung bewiesen ist. Aus |φ(d n ) − c n |L < 2−n für alle n ∈ N folgt außerdem die Identität
limn c n = limn φ(d n ) = [d m ]m∈N in L. Damit ist der Existenzbeweis für die Komplettierung abgeschlossen.
Beweis der Eindeutigkeit:
Nehmen wir an, dass (Kˆ1 , | · |Kˆ1 ) neben (Kˆ , | · |Kˆ ) eine weitere Komplettierung von K ist. Dann ist K ein dichter Teilkörper von Kˆ , und die Inklusionsabbildung φ : K → Kˆ1 , a → a ist eine Isometrie. Nach Proposition 3.4 kann φ auf
eindeutige Weise zu einer K -Isometrie ψ : Kˆ → Kˆ1 fortgesetzt werden. Ebenso erhält man eine eindeutig bestimmte K -Isometrie ψ1 : Kˆ1 → Kˆ . Damit ist durch ψ1 ◦ ψ ein isometrischer K -Automorphismus von Kˆ gegeben. Weil der
eindeutig bestimmte isometrische K -Automorphismus von Kˆ aber die identische Abbildung auf Kˆ ist, erhalten wir
ψ1 ◦ ψ = id ˆ . Genauso beweist man die Gleichung ψ ◦ ψ1 = id ˆ . Damit ist insgesamt bewiesen, dass zwischen Kˆ und
K
K
Kˆ1 eine eindeutig bestimmte K -Isomtrie existiert.
Wir können nun den Beweis von Satz 2.15 nachholen.
s
Lemma 3.7 Sei s ∈ R+ eine Zahl mit der Eigenschaft, dass durch R → R+ , a → |a|∞
eine Betragss
bewertung der reellen Zahlen definiert ist. Dann ist C → R+ , z → |z|∞
die einzige Fortsetzung
dieser Abbildung zu einer Betragsbewertung von C.
—– 33 —–
§ 3.
Vollständigkeit
s
Sei | · | eine beliebige Fortsetzung von | · |∞
auf C. Zunächst zeigen wir, dass für alle z ∈ C aus |z|∞ = 1
Beweis:
jeweils |z| = 1 folgt. Ist dies nicht der Fall, dann gibt es ein z ∈ C mit |z|∞ = 1 und |z| > 1. Zerlegen wir z n jeweils durch
z n = a n +i b n in Real- und Imaginärteil, dann gelten wegen |z n |∞ = |z|n∞ = 1 für alle n ∈ N die Abschätzungen |a n |∞ ≤ 1
und |b n |∞ ≤ 1. Es folgt
|z n |
=
|a n + i b n |
≤
|a n | + |i ||b n |
=
s
s
|a n |∞
+ |i ||b n |∞
≤
1 + |i |
für alle n ∈ N; damit ist |z n | beschränkt, im Widerspruch zu
lim |z n |
n→∞
=
lim |z|n
n→∞
=
+∞
wegen |z| > 1. Damit ist die Implikation |z|∞ = 1 ⇒ |z| = 1 für alle z ∈ C bewiesen. Sei nun z ∈ C× beliebig vorgegeben
und z 1 =
z
|z|∞ .
Dann gilt |z 1 |∞ = 1 und folglich |z 1 | = 1. Für die reelle Zahl a = |z|∞ gilt auf Grund der Forsetzungsei-
s
genschaft von | · | die Gleichung |a| = |a|∞
. Aus |z 1 | = 1 folgt nun
z
=1
a
⇔
|z|
=1
s
|a|∞
s
s
|z| = |a|∞
= |z|∞
.
⇔
Beweis von Satz 2.15:
zu (i)
Sei K ein Zahlkörper und | · | eine archimedische Betragsbewertung auf K . Weil auf den rationalen Zahlen
der gewöhnliche Absolutbetrag | · |∞ bis auf Äquivalenz die einzige archimedische Betragsbewertung ist, gibt es ein
s
s ∈ R+ , so dass |a| = |a|∞
für alle a ∈ Q erfüllt ist. Durch die Einbettung ι0 : Q → C ist also eine Isometrie von (Q, | · |)
s
nach (C, | · |∞ ) definiert. Sei nun Kˆ eine Komplettierung von K und Kˆ0 der Abschluss von Q in Kˆ . Nach Proposition 3.4
s
gibt es eine eindeutig bestimmte Isometrie σ : Kˆ0 → R, die ι0 fortsetzt. Insbesondere gilt |a| = |σ(a)|∞
für alle a ∈ Kˆ0 .
Sei nun θ ∈ K ein Element mit K = Q(θ) und f ∈ Q[x] das Minimalpolynom von θ über Q. Wir unterscheiden zwei
Fälle. Liegt θ bereits in Kˆ0 , dann folgt K ⊆ Kˆ0 . In diesem Fall können wir die Isometrie σ zu einem Homomorphismus ι :
s
s
K → R einschränken. Es gilt dann |a| = |σ(a)|∞
= |ι(a)|∞
= |a|ιs für alle a ∈ K . Dies zeigt, dass die Betragsbewertungen
| · | und | · |ιs zueinander äquivalent sind.
Betrachten wir nun den Fall θ ∉ Kˆ0 . Sei g ∈ Kˆ0 [x] das Minimalpolynom von θ über Kˆ0 und g˜ = σ(x) das Bildpolynom
in R[x]. Weil g irreduzibel vom Grad > 1 ist, gilt dasselbe für g˜ . Weil aber C die einzige echte algebraische Erweiterung
von R ist, muss
grad(g )
=
grad(g˜ )
=
[C : R]
2
=
gelten.
Sei nun θ˜ ∈ C eine beliebige Nullstelle von g˜ . Nach dem Fortsetzungssatz aus der Algebra existiert eine eindeutig
bestimmte Fortsetzung σ1 : Kˆ0 (θ) → C, die θ auf θ˜ abbildet. Diese Fortsetzung ist sogar ein Isomorphismus, denn aus
˜ = C. Durch Einschränkung von σ1 erhalten wir eine Einbettung ι von K = Q(θ) nach C, und durch
θ˜ ∉ R folgt R(θ)
s
s
a → |σ−1
1 (a)| erhalten wir eine Fortsetzung der Bewertung |·|∞ von R auf C. Nach Lemma 3.7 kann die Bewertung |·|∞
s
aber nur auf eine Weise nach C fortgesetzt werden, nämlich durch a → |a|∞
mit dem gewöhnlichen Absolutbetrag
s
| · |∞ auf C. Es folgt |σ−1
1 (a)| = |a|∞ für alle a ∈ C, damit auch
|a|
=
s
|σ1 (a)|∞
=
|ι(a)|s
Also sind | · | und | · |ι auch in diesem Fall äquivalent.
—– 34 —–
=
|a|ιs .
§ 3.
Vollständigkeit
zu (ii) Seien ι, ι zwei komplexe, zueinander äquivalente Einbettungen von K und θ ∈ K ein erzeugendes Element
K = Q(θ) wie oben. Wir zeigen, dass die zusammengesetzte Abbildung σ = ι ◦ι−1 einen isometrischen Isomorphismus
zwischen Q(ι(θ) und Q(ι (θ)) definiert. Weil die Bewertungen |·|ι und |·|ι zueinander äquivalent sind, gibt es ein s ∈ R+
mit | · |ι = | · |ιs . Für alle a ∈ Q gilt aber
|a|ι
=
|ι(a)|∞
=
|a|∞
=
|ι(a )|∞
=
|a|ι .
Weil die Bewertungen | · |ι und | · |ι auf Q übereinstimmen, muss s = 1 sein, damit sind die Bewertungen auch auf K
˜ Wir erhalten
gleich. Ist nun β˜ ∈ Q(ι(θ)) beliebig vorgegeben, dann gibt es ein β ∈ K mit ι(β) = β.
˜ ∞
|σ(β)|
=
|ι (β)|∞
=
|β|ι
=
|β|ι
=
|ι(β)|∞
=
˜∞
|β|
,
also ist σ tatsächlich eine Isometrie. Nun ist Q(ι(θ)) in R(ι(θ)) eine dichte Teilmenge, und R(ι(θ )) ist ein vollständiger Körper. Nach Proposition 3.4 gibt es eine eindeutig bestimmte Fortsetzung von σ : Q(ι(θ)) → R(ι (θ)) zu einer
Isometrie σ1 : R(ι(θ)) → R(ι (θ)). Auf Grund der Stetigkeit von σ1 und wegen σ1 |Q = idQ ist die Abbildung σ1 ein
R-Isomorphismus.
Ist nun ι(θ) reell, dann gilt R(ι(θ)) = R = R(ι (θ)) auf Grund der Isomorphismus-Eigenschaft von σ1 , und σ1 stimmt
mit der identischen Abbildung auf R überein. Es folgt dann ι = ι . Ist ι(θ) nicht-reell, dann gilt R(ι(θ)) = C = R(ι (θ)).
Als R-Homomorphismus von C nach C ist σ entweder die Identität oder die komplexe Konjugation auf C. Im ersten
Fall ist wiederum ι = ι , im zweiten Fall sind ι und ι komplex-konjugiert zueinander.
Seien K ein Körper und | · |, | · |1 zwei äquivalente Betragsbewertungen. Dann gibt es ein s ∈ R+ mit | · |1 = | · |s . Ist nun
(Kˆ , | · |) eine Komplettierung von (K , | · |), dann ist durch (Kˆ , | · |s ) offenbar eine Komplettierung von (K , | · |1 ) gegeben.
Denn der Körper K bildet in Kˆ genau dann eine dichte Teilmenge bezüglich | · |, wenn er eine dichte Teilmenge in
bezüglich | · |s bildet. Auch für die Vollständigkeit von Kˆ ist es gleichgültig, ob man diese hinsichtlich | · | oder | · |s
betrachtet, denn die Cauchyfolgen und die konvergenten Folgen sind für beide Betragsbewertungen dieselben. Aus
diesen Gründen ist es zulässig, von der Komplettierung bezüglich einer Primstelle zu sprechen.
Unter einer Komplettierung eines bewerteten Körpers (K , v) verstehen wir eine Komplettierung bezüglich einer beliebig gewählten Betragsbewertung, die v zugeordnet ist. Wie im letzten Abschnitt erläutert, ist die Komplettierung von
dieser Auswahl unabhängig. Wir bemerken noch, dass jeder trivial bewertete Körper vollständig ist und deshalb mit
seiner Komplettierung übereinstimmt.
Definition 3.8
Sei p eine Primzahl, die wir nach §2 als Primstelle des Körpers Q betrachten
können. Dann bezeichnet man die Komplettierung Qp von Q bezüglich p als den Körper der
(rationalen) p-adischen Zahlen. Sein Bewertungsring Zp wird der Ring der ganzen p-adischen
Zahlen genannt.
Nach Definition der Komplettierung ist Q ein Teilkörper von Qp . Weil die Bewertung von Q auf Qp fortgesetzt wird,
ist die Lokalisierung Z(p) von Z in Zp enthalten, genauer gilt Z(p) = Zp ∩ Q. Wir werden aber weiter unten feststellen,
dass Zp ein weitaus größerer Rig als Z(p) ist; im Gegensatz zu Z(p) und Q ist er überabzählbar.
Der Körper R ist eine Komplettierung von Q bezüglich der Primstelle ∞. Deshalb ist die Notation Q∞ = R gerechtfertigt. Weil die Bewertungen von ∞ archimedisch sind, gibt es in diesem Fall aber keinen Bewertungsring.
—– 35 —–
§ 3.
Vollständigkeit
Aus §2 wissen wir auch, dass jedem maximalen Ideal p im Ganzheitsring eines Zahlkörpers K eine Primstelle zugeordnet werden kann. Wir bezeichnen die zugehörige Komplettierung von K mit K p und dessen Bewertungsring mit
O K ,p . Es wird sich später herausstellen, dass es sich bei den Körpern dieses Typs um endliche algebraische Erweiterungen der Qp handelt. Außerdem gibt es im Zahlkörperfall mehrere archimedische Primstellen, bezüglich derer K
vervollständigt werden kann. Wir werden später sehen, dass diese Komplettierungen stets isomorph zu R oder C sind.
ˆ eine Komplettierung. Dann gilt
Sei (K , v) ein bewerteter Körper und (Kˆ , v)
Proposition 3.9
ˆ Kˆ × ) = v(K × ).
v(
Beweis:
Sei a ∈ Kˆ × vorgegeben. Weil K in Kˆ dicht liegt, gibt es eine Folge (a n )n∈N in K , die gegen a konvergiert. Auf
ˆ n −a) > v(a).
ˆ
ˆ n ) = min{v(a
ˆ n −a), v(a)}
ˆ
ˆ
Grund der Konvergenz existiert ein n ∈ N mit v(a
Es gilt dann v(a n ) = v(a
= v(a),
ˆ
also v(a)
∈ v(K × ).
Ist insbesondere v eine diskrete Bewertung, dann ist auch vˆ diskret. Für die p-adischen Zahlen gilt bespielsweise
×
vˆp (Q×
p ) = v p (Q ) = Z.
ˆ eine Komplettierung. Seien O v und Oˆ v
Sei (K , v) ein bewerteter Körper und (Kˆ , v)
ˆ v die zugehörigen maximalen Ideale. Dann
ˆ und mv , m
die Bewertungsringe von (K , v) bzw. (Kˆ , v)
Satz 3.10
induziert die Einbettung O v → Oˆ v einen
O v /mv
∼
=
ˆv
Oˆ v /m
,
ˆ v der Bewertungsringe sind also bis auf einen kanonischen Isodie Restklassenkörper κv und κ
ˆ n für
morphismus identisch. Ist die Bewertung v diskret, dann gilt darüber hinaus O v /mn ∼
= O vˆ /m
v
v
alle n ∈ N.
ˆ v gegeben durch a → a + m
ˆ v . Zunächst zeigen wir, dass dieser Ringhomomorphismus
Sei φ : O v → Oˆ v /m
ˆ − b) > 0. Wegen v(b) =
surjektiv ist. Weil K in Kˆ dicht liegt, gibt es für jedes vorgegebene a ∈ Oˆ v ein b ∈ K mit v(a
Beweis:
ˆ v , also a ≡ b mod m
ˆ v und somit
ˆ
ˆ − a), v(a)}
ˆ
ˆ − b) > 0 folgt außerdem a − b ∈ m
v(b)
≥ min{v(b
≥ 0 liegt b in O v . Aus v(a
ˆ v . Damit ist die Surjektivität von φ nachgewiesen. Der Kern von φ stimmt mit O v ∩ m
ˆ v überein, und wegen
φ(b) = a + m
∼
ˆ v = mv . Der Homomorphiesatz für Ringe liefert also den gewünschten Isomorphismus O v /mv =
ˆ K = v ist O v ∩ m
v|
ˆ v.
Oˆ v /m
ˆ nv im diskreten Fall ist nahezu identisch. Sei φn : O v → Oˆ v /m
ˆ nv gegeben durch a → a+m
ˆ nv .
Der Beweis von O v /mnv ∼
= Oˆ v /m
Für vorgegebenes a ∈ Oˆ v existiert ein b ∈ K mit v(a − b) ≥ n. Wie oben zeigt man, dass b in O v liegt. Aus v(a − b) ≥ n
ˆ nv und damit die Surjektivität von φn . Ebenso wie oben zeigt man auch, dass ker(φn ) = mnv gilt.
folgt a ≡ b mod m
Wir beschäftigen uns nun mit der Frage, wie sich die Elemente des Körpers Qp der p-adischen Zahlen explizit durch
konvergente Reihen beschreiben lassen. Dazu bemerken wir als erstes
Lemma 3.11
Sei (K , v) ein vollständiger, bewerteter Körper, und π ∈ K mit v(π) > 0. Für jede
Folge (a n )n∈N0 im Bewertungsring O v mit a 0 = 0 ist die Reihe
∞
a
=
a n πn
konvergent, und es gilt
n=0
—– 36 —–
v(a) = v(a 0 ).
§ 3.
Vollständigkeit
Für jedes n ∈ N0 gilt v(a n πn ) = v(a n ) + nv(π) ≥ nv(π). Damit ist (a n πn )n∈N0 eine Nullfolge in K , und die
Beweis:
Konvergenz der Reihe folgt aus Proposition 3.2. Auf Grund der Konvergenz existiert ein n ∈ N mit v(
v(a 0 ). Wegen v(a k π ) > v(a 0 ) für 1 ≤ k ≤ n − 1 gilt v(a 0 ) = v(
n−1
v(a)
v
=
a k πk +
n−1
a k πk
min v
=
∞
a k πk , v
n−1
a k πk
v
=
>
a k πk
=
v(a 0 ).
k=0
k=n
k=0
k=n
k=0
Satz 3.12
∞
∞
a πk )
k=n k
n−1
a πk ), und damit erhalten wir
k=0 k
k
Sei (K , v) ein vollständiger, diskret bewerteter Körper und R ⊆ O v ein Repräsentan-
tensystem des Restklassenkörpers κv = O v /mv mit 0 ∈ R. Dann besitzt jedes Element a ∈ K × eine
eindeutige Darstellung der Form
∞
a
=
a k πk
mit r ∈ Z , a r = 0 und a k ∈ R für alle k ≥ r.
k=r
Beweis:
Ohne Beschränkung der Allgemeinheit können wir davon ausgehen, dass v(π) = 1 und somit v(K × ) = Z gilt.
Zunächst beweisen wir für jedes a ∈ K × die Existenz einer Darstellung in der angegebenen Form. Setzen wir r = v(a),
dann ist das Element a˜ = π−r a in O v \ mv enthalten. Wir zeigen nun durch vollständige Induktion über n ∈ N0 , dass
n
a πk
k=0 k
es Elemente a 0 , ..., a n ∈ R gibt, so dass die Differenz
− a˜ in mn+1
liegt. Sei a 0 ∈ R das eindeutig bestimmte
v
Element mit a 0 ≡ a˜ mod mv ; dann ist a 0 = 0 und a 0 − a˜ ∈ mv . Sei nun n ∈ N0 und nehmen wir an, dass a 0 , ..., a s bereits
konstruiert wurden mit der Eigenschaft, dass
n
cn
=
a k πk − a˜
k=0
in mn+1
liegt. Sei a n+1 ∈ R das eindeutig bestimmte Element mit π−n−1 c n +a n+1 ∈ mv . Dann folgt c n +a n+1 πn+1 ∈ mn+2
v
v
und
n+1
a k πk − a˜
n
=
k=0
a k πk + a n+1 πn+1 − a˜
=
c n + a n+1 πn+1
∈
mn+2
v .
k=0
Wegen v(a n πn ) ≥ n gilt limn a n πn = 0. Nach Lemma 3.11 ist
∞
n
n=0 a n π
damit eine konvergente Reihe. Deren Wert
stimmt mit a˜ überein, denn nach Konstruktion gilt
∞
v
a n πn − a˜
n
=
v
n=0
∞
a k πk − a˜ +
k=0
n
a k πk
k=n+1
n
min v
a k πk − a˜ , v πn+1
k=0
a k πk − a˜ , n + 1 + v
k=0
für alle n ∈ N. Es folgt v(
min v
=
∞
∞
a n+1+k πk
k=0
a n+1+k πk
≥
n +1
k=0
∞
n
˜ = ∞ und somit
n=0 a n π − a)
∞
n
˜=0⇔
n=0 a n π − a
∞
n
n=0 a n π
˜ Durch Multiplikation mit
= a.
r
π erhalten wir eine entsprechende Darstellung für das Element a.
Kommen wir nun zum Beweis der Eindeutigkeit und nehmen wir an, dass zwei Reihen der Form
∞
n
n=s b n π
mit r, s ∈ Z, a r , b s = 0 und a m , b n ∈ R für alle m ≥ r bzw. n ≥ s denselben Wert a ∈ K
×
∞
n=r
a n πn und
besitzen. Dann
gilt zunächst r = v(a) = s. Wir beweisen nun durch vollständige Induktion über n die Gleichung a n = b n für alle n ≥ r .
Es gilt
ar
≡
π−r
∞
a n πn
≡
π−r a
≡
π−r
n=r
∞
n=r
—– 37 —–
b n πn
≡
br
mod mv
§ 3.
Vollständigkeit
und damit a r = b r , da a r , b r in R liegen und R ein Repräsentantensystem von κv ist. Sei nun n ∈ Z mit n ≥ r und
∞
a πk
k=n+1 k
setzen wir die Gleichung a k = b k für r ≤ k ≤ n voraus. Dann gilt
a n+1
≡
π−n−1
∞
a k πk
≡
π−n−1
∞
b n πk
n
k=r
=a−
≡
b n+1
a k πk =
∞
b πk . Es folgt
k=n+1 k
mod mv
k=n+1
k=n+1
und deshalb a n+1 = b n+1 mit demselben Argument wie zuvor. Insgesamt ist damit die Eindeutigkeit der Darstellung
bewiesen.
ˆ eine Komplettierung. Nach Satz 3.10 ist ein Repräsentantensystem von
Sei (K , v) ein bewerteter Körper und (Kˆ , v)
ˆ v . Wendet man Satz 3.12 auf (Kˆ , v)
ˆ an, dann kann die Menge
O v /mv zugleich auch ein Repräsentantensytem von Oˆ v /m
R also stets als Teilmenge von O v gewählt werden. Ist beispielsweise K = Q und v = v p für eine Primzahl p, dann ist
∼ Z(p) /p Z(p) =
∼ Zp /p Zp .
R = {0, 1, ..., p − 1} ein Repräsentantensystem von Z/p Z =
Für die Elemente von Q ⊆ Qp kann eine Reihenentwicklung wie in Satz 3.12 leicht berechnet werden. Als Beispiel
ermitteln wir eine solche Darstellung für die Zahl
die Form
4
7
∞
=
a n 5n
4
7
in Q5 . Wegen 5 4 und 5 7 gilt v 5 ( 47 ) = 0, somit hat die Darstellung
mit a n ∈ {0, 1, 2, 3, 4} für alle n ∈ N0
und a 0 = 0.
n=0
Multiplikation mit 7 liefert
∞
4
=
7a n 5n .
n=0
Wir ermitteln nun die Stellen a 0 , a 1 , a 2 , ..., indem wir diese Gleichung fortlaufend modulo 5 betrachten und nach Abzug eines Terms auf beiden Seiten durch 5 dividieren.
∞
n=0
4 ≡ 7a 0 mod 5
⇒
a0 = 2
⇒
7a n 5n
−10 =
∞
⇒
−2 =
n=1
∞
n=1
−2 ≡ 7a 1 mod 5
⇒
a1 = 4
⇒
7a n+1 5n
−30 =
∞
⇒
−6 =
n=1
∞
n=2
−6 ≡ 7a 2 mod 5
⇒
a2 = 2
⇒
∞
⇒
−4 =
n=1
∞
n=3
−6 ≡ 7a 3 mod 5
⇒
a3 = 3
⇒
∞
⇒
−5 =
n=1
∞
n=4
−5 ≡ 7a 4 mod 5
⇒
a4 = 0
⇒
−5 =
7a n+4 5n
∞
⇒
−1 =
⇒
a5 = 2
⇒
7a n+5 5n
−15 =
∞
⇒
−3 =
n=1
∞
n=6
−3 ≡ 7a 6 mod 5
⇒
a6 = 1
⇒
7a n+6 5n
−10 =
∞
−2 ≡ 7a 7 mod 5
⇒
a7 = 4
⇒
∞
⇒
−2 =
7a n+7 5n
n=0
7a n+7 5n
−30 =
7a n+6 5n
n=0
n=1
n=7
7a n+5 5n
n=0
∞
−1 ≡ 7a 5 mod 5
7a n+4 5n
n=0
n=1
n=5
7a n+3 5n
n=0
7a n+3 5n
−25 =
7a n+2 5n
n=0
7a n+2 5n
−20 =
7a n+1 5n
n=0
∞
⇒
n=1
−6 =
7a n+8 5n
n=0
Ab hier beginnt sich die Folge der Ziffern zu wiederholen. Man erhält a 8 = 2, a 9 = 3, a 10 = 0, a 11 = 2, a 12 = 1, a 13 = 4,
a 14 = 2 usw. Insgesamt sieht es also nach aus, dass die rationale Zahl
a
=
2 + 4 · 51
∞
n=0
56n + 2 · 52
∞
n=0
56n + 3 · 53
∞
4
7
56n + 0 · 54
n=0
—– 38 —–
im Körper Q5 durch die Reihendarstellung
∞
n=0
56n + 2 · 55
∞
n=0
56n + 1 · 56
∞
n=0
56n
§ 3.
Vollständigkeit
gegeben ist. Diese Gleichung können wir mit Hilfe der geometrischen Reihe verifizieren. Wie in den reellen Zahlen gilt
auch in Qp die Gleichung
∞
an
1
1−a
=
n=0
für jedes a ∈ K
mit |a|p < 1.
Damit erhalten wir
a
=
∞
2 + 4 · 51 + 2 · 5 2 + 3 · 5 3 + 0 · 5 4 + 2 · 55 + 1 · 5 6
56n
=
2 + 22320 ·
n=0
2+
22320
(−15624)
=
2 + − 10
7
=
4
7
1
1 − 56
=
.
Aus Satz 3.12 folgt auch, dass der Körper Qp der p-adischen Zahlen für jede Primzahl p überabzählbar ist. Jedes
Repräsentantensystem R des Restklassenkörpers besteht nämlich aus p Elementen, und Qp ist auf Grund des Satzes
gleichmächtig mit Z × Abb(N0 , R), wobei Abb(N0 , R) die Menge der Abbildungen N0 → R bezeichnet. Die Menge
Z × Abb(N0 , R) ist wiederum genauso mächtig wie P(N) oder R.
Ist K (t ) der rationale Funktionenkörper über einem Körper K , dann bildet K ein natürliches Repräsentantensystem
für den Restklassenkörper des Bewertungsrings zur Primstelle p = (t ). Die Elemente f = 0 in der Komplettierung von
K (t ) bezüglich p besitzen also nach Satz 3.12 eine eindeutige Darstellung der Form
∞
f
=
ak t k
mit r ∈ Z , a r = 0 und a k ∈ K für alle k ≥ r.
k=r
Man bezeichnet die Elemente dieser Form als Laurentreihen und die Komplettierung selbst als den Laurentreihenkörper K ((t )) über dem Grundkörper K .
—– 39 —–
§ 4. Projektive Limiten und unendliche Galoistheorie
In diesem Kapitel werden wir ein neues algebraisches Hilfsmittel einführen, den sog. projektiven Limes einer Familie
algebraischer Objekte. Da wir diesen in einer möglichst allgemeinen Form definieren werden, lohnt es sich an dieser
Stelle, die Sprache der Kategorien zu verwenden. Eine Kategorie im Sinne der Algebra besteht aus den folgenden
Daten.
(i) einer Klasse C , deren Elemente die Objekte der Kategorie genannt werden
(ii) für jedes Paar (A, B ) von Objekten eine Menge HomC (A, B ), deren Elemente man als Morphismen in der Kategorie C bezeichnet (In der Regel verwendet man die Notation f : A → B um anzuzeigen, dass f ein Element
der Menge HomC (A, B ) ist.)
(iii) für jedes Tripel (A, B,C ) von Objekten eine Abbildung ◦ : HomC (B,C ) × HomC (A, B ) → HomC (A,C )
(iv) für jedes Objekt A ein ausgezeichnetes Element id A ∈ HomC (A, A)
Dabei wird vorausgesetzt, dass die folgenden Bedingungen erfüllt sind.
(i) Die Morphismenmengen sind paarweise disjunkt, d.h. sind A, B, A , B Objekte und A = A oder B = B , dann
folgt HomC (A, B ) ∩ HomC (A , B ) = .
(ii) Sind A, B,C , D Objekte und f ∈ HomC (A, B ), g ∈ HomC (B,C ) und h ∈ HomC (C , D),
dann gilt (h ◦ g ) ◦ f = h ◦ (g ◦ f ).
(iii) Sind A, B Objekte und f ∈ HomC (A, B ), dann gilt f ◦ id A = f .
Ebenso gilt idB ◦ f = f für alle f ∈ HomC (A, B ).
Definition 4.1
Ein Morphismus f : A → B in einer Kategorie C wird Isomorphismus genannt,
wenn in C ein Morphismus g : B → A mit g ◦ f = id A und f ◦g = idB existiert. Zwei Objekte A, B in
einer Kategorie C bezeichnet man als isomorph, wenn in C ein Isomorphismus A → B existiert.
Im folgenden werden wir uns vor allem mit den folgenden Kategorien beschäftigen.
(i) die Kategorie Set
Die Objekte dieser Kategorie sind die Mengen. Für beliebige Mengen X , Y ist HomSet (X , Y ) die Menge der
Abbildungen zwischen X und Y .
(ii) die Kategorie Top
Hier sind die Objekte die topologischen Räume, und für zwei topologische Räume (X , S ) und (Y , T ) ist
HomTop (X , Y ) die Menge der stetigen Abbildungen X → Y bezüglich der Topologien S und T .
(iii) die Kategorie Grp
Hier sind die Objekte die Gruppen und die Morphismen die Gruppenhomomorphismen.
—– 40 —–
§ 4.
Projektive Limiten und unendliche Galoistheorie
(iv) die Kategorie Ab
In dieser Kategorie sind die Objekte die abelschen Gruppen, die Morphismen sind weiterhin die
Gruppenhomomorphismen.
(v) die Katgorie Rng
Hier sind die Objekte die kommutativen Ringe mit Einselement. Für Objekte A, B ∈ Rng ist HomRng (A, B ) die
Menge der Ringhomomorphismen zwischen A und B , also die Menge der Abbildungen f : A → B mit f (1 A ) =
1B , f (a + b) = f (a) + f (b) und f (ab) = f (a) f (b) für alle a, b ∈ A.
(vi) die Kategorie der topologischen Gruppen
Hier sind die Morphismen die stetigen Gruppenhomorphismen.
(vii) die Kategorie der topologischen Ringe
Hier sind die Morphismen die stetigen Ringhomomorphismen.
Man beachte, dass die Objekte Ab eine Teilklasse der Objekte von Grp ist, für alle A, B ∈ Ab aber jeweils HomAb (A, B ) =
HomGrp (A, B ) gilt. Man sagt dazu, dass Ab eine volle Unterkategorie von Grp bildet.
Eine gerichtete Menge ist eine Halbordnung (I , ≤) mit der Eigenschaft, dass für alle i , j ∈ I jeweils ein k ∈ I mit k ≥ i
und k ≥ j existiert. Jede Totalordnung ist beispielsweise eine gerichtete Menge. Auch das Paar (N, ) ist eine gerichtete
Menge, wenn wir die Relation
Definition 4.2
auf den natürlichen Zahlen durch m
n ⇔ m | n definieren.
Sei (I , ≤) eine gerichtete Menge und C eine Kategorie. Ein projektives System in
C über (I , ≤) ist ein Paar ((A i )i ∈I , ( f i j )i ≤ j ) bestehend aus einer Familie (A i )i ∈I von Objekten aus
C und einer Familie ( f i j )i ≤ j aus Morphimen f i j : A j → A i für jedes Paar (i , j ) mit i ≤ j , so dass
f i i = id A i i
fi j ◦ f j k = fi k
für alle i , j , k
mit i ≤ j ≤ k
gilt.
Ein Morphismus zwischen projektiven Systemem ((A i )i ∈I , ( f i j )i ≤ j ) und ((B i )i ∈I , (g i j )i ≤ j ) ist eine
Familie (h i )i ∈I mit der Eigenschaft, dass h i ◦ f i j = g i j ◦ h j für alle Paare (i , j ) mit i ≤ j gilt.
Ai o
hi
Bi o
Definition 4.3
fi j
Aj o
hj
gi j
Bj o
f jk
g jk
Ak
hk
Bk
Sei C eine Kategorie und ((A i )i ∈I , ( f i j )i ≤ j ) ein projektives System in C über ei-
ner gerichteten Menge (I , ≤). Ein Objekt A ∈ C wird projektiver Limes des projektiven Systems
genannt, wenn eine Familie ( f i )i ∈I von Morphismen f i : A → A i existiert, so dass folgende Bedingungen erfüllt sind.
(i) Es gilt f i j ◦ f j = f i für alle Paar (i , j ) mit i ≤ j .
(ii) Sei B ein Objekt und (g i )i ∈I eine Familie von Morphismen g i : B → A i , so dass g i j ◦ g j = g i
für alle Paare (i , j ) mit i ≤ j gilt. Dann existiert ein eindeutig bestimmter Morphismus
g : B → A, so dass f i ◦ g = g i für alle i ∈ I erfüllt ist.
—– 41 —–
§ 4.
Projektive Limiten und unendliche Galoistheorie
Der projektive Limes ist also durch das folgende kommutative Diagramm gekennzeichnet.
?
gj
g
B
2 Aj
fj
/A
fi j
fi
,A
i
gi
Im Allgemeinen braucht nicht jedes projektive System in einer Kategorie einen projektiven Limes besitzen. In vielen
Kategorien ist dies aber der Fall, und es existiert darüber hinaus auch eine konkrete Beschreibung dieser Objekte.
Satz 4.4
Sei (I , ≤) eine gerichtete Menge und ((X i )i ∈I , ( f i j )i ≤ j ) ein projektives System in Set.
Dann ist durch die Menge
lim X i
←−−
=
Xi
(x i )i ∈I ∈
f i j (x j ) = x i für alle i , j ∈ I mit i ≤ j
i ∈I
i ∈I
ein projektiver Limes dieses Systems in der Kategorie Set gegeben.
Beweis:
Wir bezeichnen die angegebene Menge mit X und zeigen, dass diese tatsächlich ein projektiver Limes in der
Kategorie Set ist. Für jedes j ∈ I sei f j : X → X j die Projektionsabbildung gegeben durch f j ((x i )i ∈I ) = x j . Für beliebige
j , k ∈ I mit j ≤ k und (x i )i ∈I ∈ X gilt dann ( f j k ◦ f k )((x i )i ∈I ) = f j k (x k ) = x j = f j ((x i )i ∈I ), also f j k ◦ f k = f j .
Sei nun Y eine beliebige Menge und (g i )i ∈I ein System von Abbildungen mit f j k ◦ g k = g j für alle j , k ∈ I mit j ≤ k.
Wir definieren eine Abbildung g : Y →
i ∈I
X i durch g (y) = (g i (y))i ∈I für alle i ∈ I . Wegen f j k (g k (y)) = g j (y) für alle
y ∈ Y und j , k ∈ I mit j ≤ k gilt g (Y ) ⊆ X , wir können g somit als Abbildung Y → X auffassen. Wie man unmittelbar
überprüft, ist f i ◦ g = g i für alle i ∈ I erfüllt.
Sei h : Y → X eine weitere Abbildung mit der Eigenschaft, dass f i ◦ h = g i für alle i ∈ I erfüllt ist, und sei y ∈ Y beliebig
vorgegeben. Für die Komponenten von (x i )i ∈I = h(y) gilt dann x i = f i (h(y)) = f i (g (y)) = f i (y), also h(y) = g (y).
In der Kategorie Top besteht ein projektives System ((X i )i ∈I , ( f i j )i ≤ j ) aus stetigen Abbildungen f i j : X j → X i . Versehen
wir das Produkt
i ∈I
X i mit der Produkttopologie und die Menge
lim X i
←−−
i ∈I
=
Xi
(x i )i ∈I ∈
f i j (x j ) = x i für alle i , j ∈ I mit i ≤ j
i ∈I
mit der entsprechenden Teilraumtopologie, so erhalten wir den projektiven Limes in der Kategorie Top. Für den Beweis müssen wir zunächst überprüfen, dass die Abbildungen f j : X → X j gegeben durch f j ((x i )i ∈I ) = x j für alle j ∈ I
stetig sind. Ist U ⊆ X j eine offene Menge, dann gilt
f j−1 (U )
=
U×
Xi ∩ X
,
i=j
und diese Menge ist offen in X . Also ist f j in der Tat eine stetige Abbildung. Sei nun Y ein topologischer Raum und
(g i )i ∈I ein System stetiger Abbildungen mit f j k ◦ g k = g j für alle j , k ∈ I mit j ≤ k. Sei g : Y → X wie im Beweis von
—– 42 —–
§ 4.
Projektive Limiten und unendliche Galoistheorie
Satz 4.4 definiert. Für den Nachweis der Stetigkeit von g genügt es zu überprüfen, dass die Urbilder einer Subbasis der
Topologie unter g offen in Y sind. Eine solche Subbasis ist gegeben durch Mengen der Form
Xi ∩ X
U×
,
i=j
wobei j die Indexmenge I und U die offenen Teilmengen von X j durchläuft. Wegen f j ◦ g = g j ist das Urbild einer
solchen Menge gerade g −1
(U ), denn für alle y ∈ Y gilt die Äquivalenz
j
y ∈ g −1
j (U )
⇔
g j (y) ∈ U
⇔
( f j ◦ g )(y) ∈ U
⇔
g (y) ∈ f j−1 (U )
⇔
Xi ∩ X .
g (y) ∈ U ×
i=j
Auf Grund der Stetigkeit von g j ist die Teilmenge g −1
(U ) offen in Y , also ist g tatsächlich stetig. Der Beweis der Einj
deutigkeit von g läuft wieder genauso wie in der Kategorie Set der Mengen.
Ebenso wie in Set und Top beweist man die Existenz von projektiven Limiten in jeder der Kategorien Grp, Ab und
Rng; dabei sind lediglich die Abbildungen durch Gruppen- bzw. Ringhomomorphismen zu ersetzen. Auf dieselbe
Weise kann auch gezeigt werden, dass in den Kategorien der topologischen Gruppen topologischen Ringe beliebige
projektive Limiten existieren. Dagegen existiert beispielsweise in der Kategorie der endlichen Mengen nicht für jedes
projektive System ein projektiver Limes (Nachweis als Übung).
Satz 4.5
Je zwei projektive Limiten desselben projektiven Systems in einer Kategorie sind zu-
einander isomorph.
Beweis:
Sei ((X i )i ∈I , ( f i j )i ≤ j ) ein projektives System, und seien A, B projektive Limiten dieses Systems. Dann gibt
es Systeme ( f i )i ∈I und (g i )i ∈I von Morphismen f i : A → X i bzw. g i : B → X i mit f i j ◦ f j = f i und g i j ◦ g j = g i für alle
i , j ∈ I mit i ≤ j . Nach Definition des projektiven Limes existieren nun eindeutig bestimmte Morphismen f : B → A
und g : A → B , so dass g i = f i ◦ f und f i = g i ◦ g für alle i ∈ I erfüllt ist.
Aus diesen beiden Gleichungen folgt f i = ( f i ◦ f ) ◦ g = f i ◦ ( f ◦ g ) für alle i ∈ I . Nach Definition des projektiven Limes
ist aber id A der eindeutig bestimmte Morphismus A → A mit f i = f i ◦ id A für alle i ∈ I . Daraus folgt f ◦ g = id A . Ebenso
erhalten wir g i = (g i ◦g )◦ f = g i ◦(g ◦ f ) für alle i ∈ I . Aus g i ◦idB = g i für alle i ∈ I und der Eindeutigkeit folgt g ◦ f = idB .
Insgesamt sind die Morphismen f und g invers zueinander, also Isomorphismen. Daraus folgt, dass die Objekte A und
B isomorph sind.
Häufig steht man vor der Aufgaben, zwischen zwei projektiven Limiten einen Morphismus anzugeben oder zu konstruieren. Dabei ist der folgende Satz hilfreich.
Satz 4.6
Sei C eine Kategorie, (I , ≤) eine gerichtete Menge, und seien ((A i )i ∈I , ( f i j )i ≤ j ) und
((B i )i ∈I , (g i j )i ≤ j ) projektive Systeme in C über (I , ≤). Seien A, B ∈ C projektive Limiten dieser
Systeme und ( f i )i ∈I , (g i )i ∈I zugehörige Familien von Morphismen f i : A → A i und g i : B → B i
mit f i j ◦ f j = f i und g i j ◦ g j = g i für alle i , j ∈ I mit i ≤ j . Dann gibt es für jeden Morphismus
(h i )i ∈I zwischen den projektiven Systemen einen eindeutig bestimmten Morphismus h : A → B
mit g i ◦ h = h i ◦ f i für alle i ∈ I .
—– 43 —–
§ 4.
Projektive Limiten und unendliche Galoistheorie
Beweis:
Wir betrachten das folgende kommutative Diagramm.
fj
?
hj
Aj
?
gj
/B
h
A
/ Bj
gi j
fi j
fi
hi
Ai
gi
/ Bi
Weil es sich bei (h i )i ∈I um einen Morphismus projektiver Systeme handelt, gilt
g i j ◦ (h j ◦ f j )
=
(g i j ◦ h j ) ◦ f j
(h i ◦ f i j ) ◦ f j
=
=
hi ◦ ( f i j ◦ f j )
=
hi ◦ f i .
Weil A der projektive Limes des Systems ((A i )i ∈I , ( f i j )i ≤ j ) ist, folgt aus dieser Gleichung, dass ein eindeutig bestimmter
Morphismus h : A → B mit g i ◦ h = h i ◦ f i für alle i ∈ I existiert.
Folgerung 4.7
Seien die Bezeichnungen wie in Satz 4.6 gewählt. Ist der Familie (h i )i ∈I jeder
Morphismus h i ein Isomorphismus, dann ist auch h : A → B ein Isomorphismus.
Beweis:
Ist h i für jedes i ∈ I ein Isomorphismus, dann bildet die Familie (h i−1 )i ∈I der inversen Isomorphismen
ebenfalls einen Morphismus projektiver Systeme, denn für alle i , j ∈ I mit i ≤ j gilt
hi ◦ f i j = g i j ◦ h j
⇔
−1
−1
h i−1 ◦ h i ◦ f i j ◦ h −1
j = hi ◦ g i j ◦ h j ◦ h j
⇔
⇔
−1
idB i ◦ f i j ◦ h −1
j = h i ◦ g i j ◦ idB j
−1
f i j ◦ h −1
j = hi ◦ g i j .
Durch Anwendung von Satz 4.6 erhalten wir einen Morphismus h : B → A mit f i ◦ h = h i−1 ◦ g i für alle i ∈ I . Es folgt
id A i ◦ f i
=
h i−1 ◦ h i ◦ f i
=
h i−1 ◦ g i ◦ h
=
f i ◦ h ◦ h.
Aber nach Satz 4.6 ist id A der eindeutig bestimmte Morphismus mit der Eigenschaft f i ◦ id A = id A i ◦ f i für alle i ∈ I .
Daraus folgt h ◦ h = id A . Ebenso liefert die Rechnung
idB i ◦ g i
=
h i ◦ h i−1 ◦ g i
=
hi ◦ f i ◦ h
=
gi ◦ h ◦ h
die Gleichung h ◦ h = idB , denn idB ist durch die Eigenschaft g i ◦ idB = idB i ◦ g i für alle i ∈ I eindeutig bestimmt.
Insgesamt sind h und h invers zueinander und damit Isomorphismen.
Ein erstes konkretes Beispiel für projektive Limiten erhält man durch die im letzten Abschnitt eingeführte Komplettierung.
Satz 4.8
Sei K ein Zahlkörper, O K der Ring der ganzen Zahlen in K und p ein Primideal in O K .
Ferner sei K p die Komplettierung von K bezüglich der Bewertung v p und O p ⊆ K p der zugehörige
Bewertungsring. Dann gibt es einen natürlichen Isomorphismus
Op
∼
=
lim O K /pn .
←−−
n∈N
in der Kategorie der topologischen Ringe.
—– 44 —–
§ 4.
Projektive Limiten und unendliche Galoistheorie
Beweis:
Für jedes n ∈ N sei A n = O K /pn der endliche Restklassenring ausgestattet mit der diskreten Topologie.
Für jedes Paar m, n natürlicher Zahlen mit m ≤ n sei f mn : A n → A m der kanonische Epimorphismus a + pn → a +
pm , der offenbar stetig bezüglich der diskreten Topologien auf A m und A n ist. Wir zeigen, dass Op ein projektiver
Limes des projektiven Systems ((A n )n∈N , ( f mn )m≤n ) ist. Für jedes n ∈ N sei dazu ιn der kanonische Isomorphismus
∼
O p /pn O p → A n und f n : O p → A n gegeben durch a → ιn (a + pn O p ). Offenbar gilt f m = f mn ◦ f n für alle m, n ∈ N mit
m ≤ n. Außerdem ist f n für jedes n ∈ N stetig, denn für jedes a ∈ O K besteht das Urbild der Nebenklasse a + pn ∈ O K /pn
aus der Umgebung
a + pn O p
=
{x ∈ O p | v p (x − a) ≥ n}
Op
⊆
von a.
Sei nun B ein weiterer topologischer Ring und (g n )n∈N eine Familie stetiger Abbildungen g n : B → O K /pn mit g m =
f mn ◦g n für alle m, n ∈ N mit m ≤ n. Gesucht wird die eindeutig bestimmte, stetige Abbildung g : B → O p mit f n ◦g = g n
für alle n ∈ N.
2 O< K /pn
gn
g
B
fn
/ Op
f mn
fm
, # gm
O K /pm
Für die Definition von g sei b ∈ B vorgegeben. Für jedes n ∈ N sei a n ∈ O K ein Element, dass die Gleichung g n (b) =
a n + pn erfüllt. Es gilt a m + pm = g m (b) = ( f mn ◦ g n )(b) = f mn (a n + pn ) = a n + pm , also v p (a n − a m ) ≥ m für alle m, n ∈ N
mit m ≤ n. Dies zeigt, dass (a n )n∈N in O p eine Cauchyfolge ist. Wir können deshalb
g (b)
=
lim a n
n→∞
definieren.
Der Grenzwert ist offenbar unabhängig von der Wahl der Elemente a n . Ist nämlich (a n )n∈N eine weitere Folge in O K
mit a n + pn = g n (b) = a n + pn für alle n ∈ N, dann folgt v p (a n − a n ) ≥ n für alle n ∈ N, also limn a n = lim a n = g (b).
Wegen v p (a n − a m ) ≥ m für m ≤ n gilt auch v p (g (b) − a m ) ≥ n und somit g (b) + pm O p = a m + pm O p , also
( f m ◦ g )(b)
=
f m (g (b))
=
ιm (g (b) + pm O p )
=
ιm (a m + pm O p )
=
a m + pm
=
g m (b) ,
also f m ◦ g = g m für alle m ∈ N. Wir zeigen nun, dass g ein Ringhomomorphismus ist. Wegen g n (1B ) = 1 + pn für alle
n ∈ N gilt g (b) = limn 1 = 1 nach Definition von g . Seien nun b, b ∈ B vorgegeben und (a n )n∈N , (a n )n∈N Folgen mit
g n (b) = a n + pn und g n (b ) = a n + pn für alle n ∈ N. Dann folgt g n (b + b ) = g n (b) + g n (b ) = (a n + a n ) + pn für alle n ∈ N,
also
g (b + b )
=
lim (a n + a n )
n→∞
=
lim a n + lim a n
n→∞
n→∞
=
g (b) + g (b ).
Genauso beweist man die Gleichung g (bb ) = g (b)g (b ). Um zu zeigen, dass g auch stetig ist, seien n ∈ N und b ∈ B
vorgegeben, und a = g (b) ∈ O p . Es genügt zu zeigen, dass für eine gewisse Umgebung U von b die Inklusion g (U ) ⊆
a + pn O p erfüllt ist. Sei a n ∈ O K ein Element mit f n (a) = a n + pn , also a + pn O p = a n + pn O p . Die Menge U = g n−1 (a n + pn )
ist auf Grund der Stetigkeit von g n offen und enthält wegen g n (b) = ( f n ◦g )(b) = f n (a) = a n + pn das Element b. Sei nun
b ∈ U beliebig vorgegeben. Wegen f n ◦ g = g n gilt
f n (g (b )) = g n (b )
⇒
ιn (g (b ) + pn O p ) = a n + pn
⇒
g (b ) + pn O p = a n + pn O p = a + pn O p
und somit tatsächlich g (b ) ∈ a + pn O p . Damit ist die Stetigkeit von g bewiesen.
—– 45 —–
§ 4.
Projektive Limiten und unendliche Galoistheorie
Zum Schluss zeigen wir noch, dass g durch die Bedingung f n ◦ g = g n für alle n ∈ N eindeutig festgelegt ist. Sei dazu
h : B → O p eine beliebige Abbildung mit f n ◦ h = g n für alle n ∈ N. Dann folgt
ιn (h(b) + pn O pn )
=
g n (b)
=
ιn (g (b) + pn O pn )
⇒
h(b) + pn O pn
=
g (b) + pn O pn
,
also v p (h(b) − g (b)) ≥ n für alle n ∈ N und somit h(b) − g (b) = 0 ⇔ g (b) = h(b).
Für die ganzen p-adischen Zahlen existiert also ein Isomorphismus von topologischen Ringen
∼
=
Zp
lim Z/p n Z.
←−−
n∈N
Jedes Element a ∈ Zp wird also repräsentiert durch eine Folge (a n + p n Z)n∈N von Kongruenzklassen, wobei für m ≤ n
jeweils a m ≡ a n mod p m gilt. Für p = 5 ist hat diese Zuordnung beispielsweise die Form
147
→
(2 + 5Z , 22 + 25Z , 22 + 125Z , 147 + 625Z , 147 + 3125Z , ...)
−2
→
(3 + 5Z , 23 + 25Z , 123 + 125Z , 623 + 625Z , 3123 + 3125Z , ...)
4
7
→
(2 + 5Z, 22 + 25Z, 72 + 125Z, 447 + 625Z, 447 + 3125Z, ...)
In der Darstellung von
4
7
sind die Restklassen a n +5n Z so gewählt, dass die Gleichungen (a n +5n Z)(7+5n Z) = 4+5n Z
für alle n ∈ N sind. Dies entspricht der Gleichung
4
7
· 7 = 4 im Ring Z5 .
Der folgende Ring wird für die unendliche Galoistheorie eine wichtige Rolle spielen.
Proposition 4.9
Sei
die Halbordnung auf N gegeben durch m
n ⇔ m | n. Für jedes n ∈
N sei R n = Z/n Z, und für jedes Paar (m, n) natürlicher Zahlen mit m ≤ n sei f mn : R n → R m
die kanonische Abbildung a mod n Z → a mod m Z. Dann ist ((R n )n∈I , ( f mn )m≤n ) ein projektives
System in der Kategorie der topologischen Ringe, wobei R n jeweils mit der diskreten Topologie
versehen ist. Der zugehörige projektive Limes
ˆ
Z
=
lim Z/n Z
←−−
wird der Prüfer-Ring genannt.
n∈I
Beweis:
Für jedes n ∈ N ist f nn nach Definition gleich idRn . Seien nun k, m, n ∈ N mit k
m und m
n vorgegeben.
Für jedes a ∈ Z gilt nach Definition ( f km ◦ f mn )(a + n Z) = f km (a + m Z) = a + k Z = f kn (a + n Z), also f km ◦ f mn = f kn .
Jedes f mn ist ein Ringhomomorphismus, und weil R m und R n mit der diskreten Topologie versehen sind, ist f mn eine
stetige Abbildung.
Satz 4.10
ˆ∼
Es gibt einen natürlichen Isomorphismus Z
=
p∈P Zp
topologischer Ringe, wobei P
die Menge der Primzahlen bezeichnet.
Beweis:
Der erste Beweisschritt besteht darin, das Produkt
p∈P Zp
als projektiven Limes eines geeigneten projek-
tiven Systems darzustellen. Dazu I die Menge der Familien (e p )p∈P mit e p ∈ N0 für alle p ∈ P, wobei jeweils e p = 0 für
alle bis auf endlich viele p ∈ P gilt. Wir definieren auf I eine Halbordnung
, indem wir (e p )p∈P
e p ≤ e p für alle p ∈ P gilt. Für jedes (e p )p∈P sei A (e p ) das Produkt
ep
—– 46 —–
p∈P Z/p
(e p )p∈P setzen, falls
Z, wobei die Restklassenringe Z/p e p Z
§ 4.
Projektive Limiten und unendliche Galoistheorie
mit der diskreten Topologie und A (e p ) mit der Produkttopologie versehen ist. Für jedes Paar von Elementen aus I mit
(e p )p∈P sei f (e p )(e p ) : A (e p ) → A (e p ) die kanonische Abbildung gegeben durch
(e p )p∈P
(a p + p e p Z)p∈P
(a p + p e p Z)p∈P .
→
Wie in Proposition 4.9 überprüft man unmittelbar, dass die Objekte A (e p ) mit diesen Morphismen ein projektives
System in der Kategorie der topologischen Ringe bilden. Wir zeigen nun, dass
p∈P Zp
mit der Produkttopologie ein
∼
e
projektiver Limes dieses Systems ist. Für jedes p ∈ P und jedes e ∈ N0 sei ιp,e : Zp /p Zp → Z/p e Z der natürliche
Isomorphismus. Für jedes (e p )p∈P ∈ I sei
Zp −→ A (e p ) , (a p )p∈P → (ιp,e p (a p + p e p Zp ))p∈P .
f (e p ) :
p∈P
Offenbar handelt es sich bei f (e p ) um einen Ringhomomorphismus. Seien nun (e p )p∈P , (e p )p∈P ∈ I mit (e p )p∈P
(e p )p∈P vorgegeben. Sei (a p )p∈P ∈
p∈P Zp
( f (e p )(e p ) ◦ f (e p ) )((a p )p∈P )
=
f (e p )(e p ) ((a˜ p + p e p Z)p∈P )
=
=
und a˜ p ∈ Z jeweils ein Element mit a p + p e p Zp = a p + p e p Zp . Dann gilt
f (e p )(e p ) ( f (e p ) ((a p )p∈P ))
(a˜ p + p e p Z)p∈P
=
f (e p )(e p ) ((ιp,e p (a p + p e p Zp ))p∈P )
=
(ιp,e p (a p + p e p Zp ))p∈P
f (e p ) ((a p )p∈P ) ,
=
also f (e p )(e p ) ◦ f (e p ) = f (e p ) . Außerdem ist jedes f (e p ) eine stetige Abbildung. Denn die Mengen gegeben durch Va,q =
{a + q e q Z}×
p=q Z/p
ep
Z mit a ∈ Z und q ∈ P bilden eine Basis der Topologie von A (e p ) , und das Urbild einer solchen
Menge ist gegeben durch
f (e−1p ) (Va,q )
die bezüglich der Produkttopologie auf
p∈P Zp
a + q e q Zq ×
=
Zp ,
q=p
offen ist. Sei nun B ein topologischer Ring und g (e p ) : B → A (e p ) ein
System von stetigen Ringhomomorphismen mit der Eigenschaft f (e p )(e p ) ◦ g (e p ) = g (e p ) für (e p )p∈P
g (e
2 A (e p )
=
p)
f (e
g
B
/
(e p )p∈P .
p)
f (e p )(e
Zp
p∈P
p)
f (e p )
, A! g (e p )
(e p )
Zu zeigen ist, dass ein eindeutig bestimmter, stetiger Ringhomomorphismus g : B →
p∈P Zp
mit f (e p ) ◦ g = g (e p ) für
alle (e p )p∈P existiert. Sei b ∈ B beliebig vorgegeben, außerdem q ∈ P und e ∈ N0 . Dann definieren wir (e p )p∈P ∈ I durch
e q = e und e p = 0 für p = q und wählen jeweils a q,e ∈ Z beliebig, so dass g (e p ) (b)q = a q,e + q e Z erfüllt ist. Für e ≤ e gilt
jeweils a q,e ≡ a q,e mod q e . Definieren wir nämlich (e p )p∈P und (e p )p∈P durch e q = e, e q = e und e p = e p = 0 für p = q,
dann gilt
q q,e + q e Z
=
f (e p )(e p ) (a q,e + q e Z
( f (e p )(e p ) ◦ g (e p ) )(b)q
=
=
Dies zeigt, dass (a q,e )e∈N in Zq eine Cauchyfolge ist und folglich der Grenzwert
aq
=
lim a q,e
n→∞
∈
Zq
—– 47 —–
existiert.
g (e p ) (b)q
=
a q,e + q e Z.
§ 4.
Projektive Limiten und unendliche Galoistheorie
Unmittelbar klar ist die Unabhängigkeit des Grenzwertes von der Wahl der Elemente a q,e . Wir definieren nun g (b) =
(a p )b∈P . Der Nachweis, dass es sich bei g um einen Ringhomomorphismus handelt, der die Gleichung f (e p ) ◦ g = g (e p )
für alle (e p )p∈P erfüllt, ist wie in Satz 4.8 reine Routine. Auch die Tatsache, dass g durch die Gleichungen f (e p ) ◦ g =
g (e p ) für alle (e p )p∈P ∈ I bereits eindeutig festgelegt ist, lässt sich leicht überprüfen: Sei h : B →
p∈P Zp
eine weitere
Abbildung mit dieser Eigenschaft, und seien b ∈ B und (e p )p∈P ∈ I vorgegeben. Schreiben wir g (b) = (a p )p∈P und
h(b) = (b p )p∈P mit a p , b p ∈ Zp , dann gilt
(ιp,e p (a p + p e p Zp ))p∈P
f (e p ) ((a p )p∈P )
=
f (e p ) ((b p )p∈P )
( f (e p ) ◦ g )(b)
=
=
=
g (e p )
=
( f (e p ) ◦ h)(b)
=
(ιp,e p (b p + p e p Zp ))p∈P .
Es folgt a p +p e p Zp = b p +p e p Zp für alle b ∈ P. Wenden wir dies auf alle (e p )p∈P ∈ I an, dann folgt a p = b p für alle b ∈ P
und somit g (b) = h(b).
Für den Nachweis der Stetigkeit von g sei b ∈ B vorgegeben und (a p )p∈P = g (b). Seien q ∈ P und e ∈ N0 beliebig
gewählt. Es genügt zu zeigen, dass eine gewisse Umgebung U von b durch den Homorphismus g in die Menge
Vq,e
(a q + q e Zq ) ×
=
Zq
p=q
abgebildet wird, denn die Mengen dieser Form bilden eine Umgebungsbasis von (a p )p∈P . Sei wieder (e p )p∈P ∈ I durch
e q = e und e p = 0 für p = p definiert. Sei außerdem a˜ q ∈ Z ein Element mit a q + q e Zq = a˜ q + q e Zq und U q,e =
{a˜ q + q e Z} × p∈P {0¯ }. Dann ist U q,e offen in A (e p ) , und auf Grund der Stetigkeit von g (e p ) ist U = g −1 (U q,e ) eine offene
(e p )
Umgebung von b. Wir überprüfen nun, dass g (U ) ⊆ Vq,e erfüllt ist. Sei b ∈ U vorgegeben. Aus f (e p ) ◦ g = g (e p ) folgt
f (e p ) (g (b )) = g (e p ) (b )
⇒
f (e p ) (g (b )) ∈ U q,e
⇒
ιq,e (g (b )q ) = a˜ q + q e Z
und somit g (b ) ∈ Vq,e . Damit ist auch die Stetigkeit von g bewiesen und der Ring
⇒
p∈P Zp
g (b )q = a q + q e Zq
tatsächlich ein projektiver
Limes des angegebenen Systems.
Im einem zweiten Schritt bringen wir das soeben konstruierte projektive System mit dem projektiven System des
Prüfer-Rings in Verbindung. Sei
die Teilerrelation auf N. Jedes n ∈ N besitzt eine Primfaktorzerlegung n =
p∈P p
ep
.
Durch die Zuordnung n → (e p )p∈P erhält man eine natürliche Bijektion φ : N → I mit m
n ⇔ φ(m) φ(n) für
alle m, n ∈ N. Setzen wir A˜ n = A φ(n) für alle n ∈ N, so erhalten wir ein projektives System über (N, ). Ist n ∈ N und
(e p )p∈P = φ(n), dann liefert der Chinesische Restsatz einen Isomorphismus φn : Z/n Z → A˜ n gegeben durch a + n Z →
(a + p e p Z)p∈P . Für alle n, n ∈ N mit n
n und (e p )p∈P = φ(n), (e p )p∈P = φ(n ) ist das Diagramm
Z/n Z
Z/n Z
φn
φn
/ A˜ n =
/ A˜ n =
p∈P Z/p
ep
f φ(n)φ(n
p∈P Z/p
Z
)
ep
Z
kommutativ, wobei die Abbildung links durch a+n Z → a+n Z gegeben ist. Also definiert (φn )n∈N ein Isomorphismus
zwischen dem projektiven System des Prüfer-Rings einerseits und dem projektiven System gegeben durch die Objekte
A˜ n und die Morphismen f φ(n)φ(n ) andererseits. Nach Folgerung 4.7 erhält man einen topologischen Isomorphismus
ˆ und
zwischen Z
p∈P Zp .
—– 48 —–
§ 4.
Projektive Limiten und unendliche Galoistheorie
Definition 4.11
Eine topologische Gruppe wird pro-endliche Gruppe genannt, wenn sie haus-
dorffsch und kompakt ist und eine Umgebungsbasis des Neutralelements bestehend aus offenen
Normalteilern besitzt.
Wir werden nun zeigen, dass sich pro-endliche Gruppen als projektiver Limes von endlichen Gruppen (ausgestattet
mit der diskreten Topologie) beschreiben lassen.
Proposition 4.12
Sei G eine topologische Gruppe.
(i) Jede offene Untergruppe von G ist auch abgeschlossen. Jede abgeschlossene Untergruppe
von endlichem Index ist offen.
(ii) Ist G kompakt, dann sind die offenen Untergruppen von G genau die abgeschlossenen
Untergruppen von endlichem Index.
Beweis:
zu (i) Sei U eine offene Untergruppe von G und R ⊆ G ein Repräsentantensystem der von U verschiedenen
Linksnebenklassen von U . Weil die Translationsabbildungen τg : G → G, h → g h für jedes g ∈ G Homöomorphismen
sind, ist gU für jedes g ∈ G eine offene Teilmenge von G. Also ist auch
G \U
gU
=
(1)
g ∈R
offen und U damit abgeschlossen. Setzen wir nun voraus, dass U abgeschlossen von endlichem Index ist. Dann zeigt
die endliche Vereinigung in (1), dass G \U abgeschlossen und U somit offen ist.
zu (ii) Sei U eine offene Untergruppe und R ⊆ G wie in Teil (i). Wegen G = U ∪
g ∈R
gU bilden die Linksnebenklassen
eine offene Überdeckung von G. Weil die Nebenklassen disjunkt und G kompakt ist, muss die Menge R und damit
auch (G : U ) endlich sein.
Satz 4.13
Sei G eine pro-endliche Gruppe und (Ni )i ∈I eine Familie offener Normalteiler von G,
die eine Umgebungsbasis des Neutralelements bilden.
(i) Für jedes i ∈ I ist G i = G/Ni eine endliche Gruppe, und die Quotiententopologie auf G ist
die diskrete Topologie.
(ii) Durch i ≤ j ⇔ Ni ⊇ N j für i , j ∈ I wird (I , ≤) zu einer gerichteten Menge.
(iii) Für i , j ∈ I mit i ≤ j sei f i j : G j → G i jeweils der (stetige) Homomorphismus gegeben
durch f i j (g N j ) = gG i für alle g ∈ G. Dann ist ((G i )i ∈I , ( f i j )i ≤ j ) ein projektives System in
der Kategorie der topologischen Gruppen.
(iv) Es gibt einen natürlichen Isomorphismus G ∼
= lim G i von topologischen Gruppen.
←−−
i ∈I
Beweis:
zu (i) Weil Ni offen ist, handelt es sich nach Proposition 4.12 um eine Untergruppe von endlichem Index.
Also ist G/Ni offen. Sei πi : G → G/Ni der kanonische Epimorphismus. Mit N ist auch jede Nebenklasse g Ni mit g ∈ G
offen. Es gilt jeweils π−1
({g Ni }) = g Ni , also ist nach Definition der Quotiententopologie jede einelementige Teilmenge
i
{g Ni } von G/Ni offen. Dies zeigt, dass die Quotiententopologie auf G/Ni die diskrete Topologie ist.
—– 49 —–
§ 4.
Projektive Limiten und unendliche Galoistheorie
zu (ii) Die Halbordnungseigenschaft kann unmittelbar nachgerechnet werden. Sind i , j ∈ I beliebig vorgegeben, dann
ist mit Ni und N j auch Ni ∩N j eine offene Umgebung des Neutralelements. Weil die Normalteiler aus der Familie eine
Umgebungsbasis bilden, gibt es ein k ∈ I mit G k ⊆ Ni ∩ N j . Daraus folgt k ≥ i und k ≥ j . Also ist (I , ≤) tatsächlich eine
gerichtete Menge.
zu (iii) Die Gleichungen f i i = idG i und f i j ◦ f j k = f i k für i ≤ j ≤ k ergeben sich direkt aus der Definition.
zu (iv) Für jedes i ∈ I sei f i : G → G i , g → g Ni der kanonische Epimorphismus. Nach Definition der Quotiententopologie auf G i ist dieser stetig. Für alle i , j ∈ I mit i ≤ j und alle g ∈ G gilt
( f i j ◦ f j )(g )
=
f i j (g N j )
=
g Ni
=
f i (g )
und somit f i j ◦ f j = f i . Sei nun H eine topologische Gruppe und φi : H → G i ein System von stetigen Homomorphismen mit f i j ◦ h j = h i für alle i , j ∈ I mit i ≤ j . Sei h ∈ H vorgegeben und g i ∈ G für jedes i ∈ I jeweils ein Element, so
dass φi (h) = g i G i erfüllt ist. Wir zeigen, dass ein eindeutig bestimmtes g ∈ G existiert, so dass g ∈ g i Ni für alle i ∈ I
erfüllt ist, mit anderen Worten, dass die Schnittmenge
g i Ni
i ∈I
einelementig ist. Als Translate von Ni sind die Teilmengen g i Ni von G sowohl offen als auch abgeschlossen. Sind nun
i , j ∈ I beliebig vorgegeben, dann existiert nach (ii) ein k ∈ I mit k ≥ i , j , also Nk ⊆ Ni ∩ N j . Es gilt dann
g i Ni
=
φi (h)
=
( f i k ◦ φk )(h)
=
f i k (g k Nk )
=
g k Ni
,
und ebenso erhält man g j N j = g k N j . Das Element g k ist also in g i Ni ∩ g j N j enthalten. Durch vollständige Induktion
sieht man, dass der Durchschnitt von je endlich vielen der abgeschlossenen Mengen g i Ni nichtleer ist. Weil es sich
bei G um eine kompakte Gruppe handelt, ist damit der gesamte Durchschnitt
i ∈I
g i Ni nichtleer. Nehmen wir nun
an, dass der Durchschnitt zwei verschiedene Elemente g , g ∈ G enthält. Dann gilt g Ni = g Ni für alle ∈ I . Weil G
Hausdorffsch ist, und die Normalteiler Ni eine Umgebungsbasis des Neutralelements bilden, gibt es i , j ∈ I , so dass
der Durchschnitt g Ni ∩ g N j leer ist. Es folgt g Ni ∩ g N j =
, im Widerspruch dazu, dass g im Durchschnitt dieser
Mengen liegt.
Damit ist die Behauptung insgesamt bewiesen. Ist g das eindeutig bestimmte Element in
i ∈I
g i Ni , dann definieren
wir φ(h) = g . Wir zeigen nun, dass φ ein Gruppenhomomorphismus ist. Seien dazu h, h ∈ H vorgegeben. Nach Definition der Abbildung φ gilt φ(h) ∈ φi (h) und φ(h ) ∈ φi (h ) für alle i ∈ I . Es folgt φ(h)φ(h ) ∈ φi (h)φi (h ) und φ(h)φ(h ) ∈
φi (hh ) auf Grund der Homomorphismus-Eigenschaft von φi , für alle i ∈ I . Nach Definition von φ ist φ(hh ) das eindeutig bestimmte Element in
i ∈I
φi (hh ), also gilt φ(h)φ(h ) = φ(hh ). Damit ist die Homomorphismus-Eigenschaft
bewiesen.
Wir überprüfen die Gleichung φi = f i ◦ φ für alle i ∈ I . Seien i ∈ I und h ∈ H vorgegeben. Wegen φ(h) ∈ φi (h) gilt
φ(h)Ni = φi (h) und somit ( f i ◦φ)(h) = f i (φ(h)) = φ(h)Ni = φi (h). Durch Eigenschaft ist die Abbildung φ auch eindeutig
festgelegt. Ist nämlich ψ : H → G eine beliebige Abbildung mit φi = f i ◦ ψ für alle i ∈ I , dann gilt für jedes h ∈ H jeweils
φi (h) = ψ(h)Ni und somit ψ(h) ∈ φi (h) für alle i ∈ I . Weil φ(h) das eindeutig bestimmte Element in
daraus ψ(h) = φ(h).
—– 50 —–
i ∈I
φi (h) ist, folgt
§ 4.
Projektive Limiten und unendliche Galoistheorie
Um nachzuweisen, dass φ stetig ist, genügt es die Stetigkeit im Punkt e H zu zeigen. Für beliebig vorgegebenes i ∈ I
zeigen wir, dass eine Umgebung V von e H mit φ(V ) ⊆ Ni existiert. Weil jedes φi und G i = G/Ni diskret ist, gibt es
eine Umgebung V von e H mit φi (V ) = {eG Ni }. Es gilt nun φ(V ) ⊆ Ni , denn für vorgegebenes h ∈ V erhalten wir wegen
φi = f i ◦ φ die Gleichung φi (h) = ( f i ◦ φ)(h) = φ(h)Ni und somit φ(h) ∈ φi (h) = Ni .
Wir bezeichnen eine Teilmenge eines topologischen Raums als offen-abgeschlossen, wenn er sowohl offen als auch
abgeschlossen ist.
Proposition 4.14
Sei G eine kompakte und total unzusammenhängende topologische Gruppe.
Dann besitzt das Neutralelement von G eine Umgebungsbasis bestehend aus offen-abgeschlossenen Teilmengen.
Beweis:
Sei U eine offene Umgebung des Neutralelements eG und (Ui )i ∈I der offen-abgeschlossenen Teilmengen
von G, die eG enthalten. Da die Zusammenhangskomponente von eG der Durchschnitt all dieser Mengen ist, gilt
i ∈I Ui
= {eG } nach Voraussetzung. Wegen (G \ U ) ∩ {eG } = ∅ sind G \ U und
i ∈I Ui
disjunkt. Die Menge U bildet
also zusammen mit den G \ Ui eine offene Überdeckung. Auf Grund der Kompaktheit von G gibt es ein r ∈ N und
i 1 , ..., i r ∈ I , so dass bereits U zusammen mit G \Ui 1 , ...,G \Ui r eine Überdeckung bilden. Daraus wiederum folgt
(G \U ) ∩Ui 1 ∩ ... ∩Ui r
∅.
=
Somit ist U1 ∩ ... ∩Ui r eine offen-abgeschlossene Umgebung von eG .
Proposition 4.15
Sei G eine kompakte und total unzusammenhängende topologische Gruppe.
Dann besitzt das Neutralelement von G eine Umgebungsbasis aus offenen Normalteilern.
Beweis:
Sei U eine beliebige Umgebung von eG . Nach Proposition 4.14 können wir (nach eventueller Verkleinerung
von U ) annehmen, dass U offen-abgeschlossen ist. Wir betrachten nun die Teilmengen
V = {g ∈ U | U g ⊆ U }
und
H = {g ∈ V | g −1 ∈ V }
und zeigen zunächst, dass V offen ist. Ist g ∈ V beliebig vorgegeben, dann gilt ug ∈ U für alle u ∈ U . Auf Grund der
Stetigkeit der Multiplikationsabbildung und der Offenheit von U gibt es jeweils Umgebungen Uu von u und Vu von g
mit Uu Vu ⊆ U . Als abgeschlossene Teilmenge von G ist U kompakt, und die Mengen Uu bilden offenbar eine offene
Überdeckung von U . Es gilt also ein r ∈ N und u 1 , ..., u r ∈ U mit U = Uu1 ∪ ... ∪Uur . Setzen wir
V˜
=
Vu1 ∩ ... ∩ Vur
,
dann folgt Uuk V˜ ⊆ U für 1 ≤ k ≤ n und somit U V˜ ⊆ U . Dies wiederum zeigt, dass V˜ ⊆ V gilt. Es handelt sich bei V˜ also
um eine in V liegende, offene Umgebung von g . Weil g ∈ V beliebig vorgegeben war, folgt daraus die Offenheit von V .
Auf Grund der Stetigkeit der Invertierungsabbildung g → g −1 ist mit V auch H = V ∩ V −1 offen. Wir zeigen nun, dass
H eine Untergruppe von G ist. Wegen U eG ⊆ U gilt eG ∈ V und damit auch eG ∈ H . Seien nun g , h ∈ H vorgegeben.
Offenbar ist dann auch g −1 , h −1 in H enthalten. Aus g , h ∈ H folgt g , h ∈ V und somit U g h ⊆ U h ⊆ U und somit g h ∈ V .
Ebenso gilt U h −1 g −1 ⊆ U g −1 ⊆ U und damit (g h)−1 = h −1 g −1 ∈ V . Aus g h ∈ V und (g h)−1 ∈ V folgt H . Damit sind die
Untergruppen-Eigenschaften von H nachgewiesen.
—– 51 —–
§ 4.
Projektive Limiten und unendliche Galoistheorie
Als offene Untergruppe ist H von endlichem Index in G. Daraus folgt, dass es nur endlich viele, zu H konjugierte
Untergruppen gibt. Als Durchschnitt von endlich vielen offenen Untergruppen ist N =
g ∈G
g H g −1 wiederum offen,
außerdem ein Normalteiler von G.
(Satz von Tychonoff )
Satz 4.16
Sei (X i )i ∈I eine Familie kompakter topologischer Räume. Dann ist auch das direkte Produkt
i ∈I
X i ausgestattet mit der Produkttopologie kompakt.
Den Beweis dieses Satzes verschieben wir in den Anhang.
Lemma 4.17
Sei ((G i )i ∈I , ( f i j )i ≤ j )i ∈I ein projektives System endlicher, diskreter Gruppen G i
und
G˜
=
Gi
(g i )i ∈I ∈
f i j (g j ) = g i für alle i , j ∈ I mit i ≤ j .
i ∈I
Dann ist G˜ eine abgeschlossene Teilmenge von i ∈I G i (mit der Produkttopologie) und ein projektiver Limes des Systems. Außerdem ist G˜ hausdorffsch und total unzusammenhängend.
Für den Nachweis, dass es sich bei G˜ um einen projektiven Limes handelt, muss lediglich der Beweis von
Satz 4.4 für die Kategorie der Mengen bzw. topologischen Räume leicht modifiziert werden. Wir zeigen nun, dass G˜
Beweis:
kompakt ist. Für jedes Paar i , j mit i ≤ j ist
Gi j
=
{(g i , g j ) ∈ G i ×G j | f i j (g j ) = g i } ×
Gk
k=i , j
eine abgeschlossene Teilmenge des Produkts i ∈I G i . Weil G˜ nach Definition der Durchschnitt über alle Paare (i , j ) ∈
I 2 mit i ≤ j ist, handelt es sich bei G˜ um eine abgeschlossene Teilmenge von i ∈I G i . Weil das direkte Produkt nach
dem Satz von Tychonoff kompakt ist, ist G˜ als abgeschlossene Teilmenge des Produkts ebenfalls kompakt.
Zum Nachweis der anderen beiden Eigenschaften seien zwei verschiedene Elemente (g i )i ∈I und (g i )i ∈I in G˜ vorgegeben. Sei i 0 ∈ I ein Index mit g i 0 = g i . Setzen wir U = {g i 0 } × i =i 0 G i und V = (G i 0 \ {g i 0 }) × i =i 0 G i , dann ist durch
0
G = U˜ ∪ V˜ mit U˜ = U ∩ G˜ und V˜ = V ∩ G˜ eine Zerlegung von G in disjunkte, offen-abgeschlossene Umgebungen von
(g i )i ∈I und (g )i ∈I definiert. Dies zeigt, dass G˜ hausdorffsch und total unzusammenhängend ist.
i
Satz 4.18
Für eine topologische Grupe G sind folgende Aussagen äquivalent:
(i) Die Gruppe G ist pro-endlich.
(ii) Sie ist hausdorffsch, kompakt und total unzusammenhängend.
(iii) Es gibt ein projektives System bestehend aus endlichen Gruppen mit der diskreten Topologie, so dass G ein projektiver Limes dieses Systems ist.
Beweis:
Die Richtung „(i) ⇒ (iii)“ ist Inhalt von Satz 4.13. Die Implikation „(ii) ⇒ (i)“ folgt aus Proposition 4.15 und
„(iii) ⇒ (ii)“ aus Lemma 4.17.
Wir werden nun die Theorie der endlichen Gruppen auf die Galoistheorie anwenden.
—– 52 —–
§ 4.
Projektive Limiten und unendliche Galoistheorie
Proposition 4.19 Sei L|K eine (endliche oder unendliche) Galois-Erweiterung und G = Gal(L|K )
die zugehörige Galoisgruppe. Dann existiert auf G eine eindeutig bestimmte Topologie, die jedem
σ ∈ G als Umgebungsbasis die Nebenklassen σGal(L|N ) zuordnet, wobei N |K die endlichen normalen Teilerweiterungen von L|K durchläuft.
Beweis:
Für jedes σ ∈ G sei Bσ = { σGal(L|N ) | N |K endlich galoissch }. Wir überprüfen, dass diese Mengensysteme
die Eigenschaften (i) bis (iii) aus §1 besitzen, die erforderlich sind, damit die Mengensysteme zu Umgebungsbasen
einer Topologie werden. Für jedes σ ∈ G und jede Menge der Form σGal(L|N ) ∈ Bσ gilt σ ∈ σGal(L|N ), also ist Bedingung (i) erfüllt. Zum Nachweis von (ii) seien σ ∈ G und U ,V ∈ Bσ vorgegeben. Nach Definition von Bσ gibt es endliche
normale Teilerweiterungen M |K und N |K mit U = Gal(L|M ) und V = Gal(L|N ). Setzt man W = Gal(L|M N ), wobei M N
das Kompositum der Teilkörper M und N in L bezeichnet, so erhält man eine Menge W ∈ Bσ mit W ⊆ U ∩ V .
Für den Beweis von (iii) bemerken wir zunächst, dass für beliebige σ, τ ∈ G und jede endliche normale Teilerweiterung
N |K jeweils die Äquivalenz τ ∈ σGal(L|N ) ⇔ τ|N = σ|N gilt. Seien nun σ ∈ G, U ∈ Bσ und τ ∈ U vorgegeben. Dann gibt
es eine endliche, normale Teilerweiterung N |K mit U = σGal(L|N ). Setzen wir W = τGal(L|N ), dann gilt für jedes
ρ ∈ W jeweils ρ|N = τ|N = σ|N und somit ρ ∈ σGal(L|N ), also ρ ∈ U . Damit ist W ⊆ U nachgewiesen.
Die in Proposition 4.19 definierte Topologie auf Gal(L|K ) wird Krull-Topologie genannt. Wir bemerken noch, dass
Gal(L|M ) für jede endliche Erweiterung M |K offen ist, auch wenn die Erweiterung M |K nicht normal ist. Denn aus
der Algebra-Vorlesung ist bekannt, dass für jedes solche M stets eine endliche normale Erweiterung N |K mit N ⊇ M
existiert. Sei r = [N : M ], und seien τ¯1 , ..., τ¯r die Elemente von Gal(N |M ). Wählen wir für jedes τ¯i ein beliebiges Urbild
τi ∈ G, dann gilt
r
Gal(L|M )
=
τi Gal(L|N ).
(2)
i =1
Ist nämlich τ ∈ Gal(L|M ) beliebig vorgegeben, dann liegt die Einschränkung τ|N in Gal(N |M ) und stimmt also mit
einem der Elemente τ¯i überein. Aus τ|N = τi |N wiederum folgt τ ∈ τi Gal(L|N ). Die Gleichung (2) zeigt, dass Gal(L|M )
offen ist.
Proposition 4.20
Durch die Krull-Topologie wird G = Gal(L|K ) zu einer topologischen Gruppe.
Beweis: Wir müssen zeigen, dass die Gruppenverknüpfung und die Invertierungsabbildung stetig sind. Seien σ1 , σ2 ∈
G und eine offene Umgebung von σ1 σ2 der Form σ1 σ2 Gal(L|N ) vorgegeben, wobei N |K eine endliche normale Teilerweiterung von L|K bezeichnet. Zu zeigen ist, dass Umgebungen U und V von σ1 , σ2 existieren, so dass das Bild
von U × V unter der Gruppenverknüpfung in σ1 σ2 Gal(L|N ) enthalten ist. Hierfür können wir U = σ1 Gal(L|N ) und
V = σ2 Gal(L|N ) wählen. Sind nämlich τ1 ∈ U und τ2 ∈ V beliebig vorgegeben, dann gilt τ1 |N = σ1 |N , τ2 |N = σ2 |N und
somit auch (σ1 σ2 )|N = (τ1 τ2 )N . Dabei ist zu beachten, dass σ2 (M ) ⊆ N und τ2 (M ) ⊆ N gilt, weil die Erweiterung N |K
normal ist. Aus der Gleichung (ρ 1 ρ 2 )|N = (τ1 τ2 )N wiederum folgt τ1 τ2 ∈ (σ1 σ2 )Gal(L|N ). Damit ist die Stetigkeit der
Gruppenverknüpfung bewiesen.
Um die Stetigkeit der Invertierungsabbildung nachzuweisen, seien σ ∈ G und eine offene Umgebung von σ−1 der
Form U = σ−1 Gal(L|N ) vorgegeben, mit einer endlichen normalen Teilerweiterung N |K . Das Urbild von U unter der
Invertierungsabbildung ist Gal(L|N )σ = σGal(L|N ), also eine offene Umgebung von σ.
—– 53 —–
§ 4.
Projektive Limiten und unendliche Galoistheorie
Als nächstes werden wir zeigen, dass G = Gal(L|K ) eine pro-endliche Gruppe ist. Dafür beweisen wir zunächst
Sei L|K eine Galois-Erweiterung und (Ni )i ∈I eine Familie von endlichen
Proposition 4.21
normalen Teilerweiterungen mit der Eigenschaft, dass für beliebige i , j ∈ I jeweils ein k ∈ I mit
Nk ⊇ Ni N j existiert.
(i) Die Menge I wird durch i ≤ j ⇔ Ni ⊆ N j zu einer gerichteten Menge.
(ii) Die endlichen Gruppen G i = Gal(L|Ni ) bilden mit den Einschränkungsabbildungen f i j :
G j → G i , τ → τ|Ni ein projektives System in der Kategorie der topologischen Gruppen,
wobei jedes G i mit der diskreten Topologie ausgestattet ist.
Beweis:
zu (i) Seien i , j ∈ I vorgegeben. Nach Voraussetzung gibt es ein k ∈ I mit Nk ⊇ Ni N j . Daraus folgt Nk ⊇ Ni
und Nk ⊇ N j , also k ≥ i und k ≥ j .
zu (ii) Für jedes i ∈ I und jedes τ ∈ G i gilt f i i (τ) = τ|Ni = τ. Also ist f i i = idG i für jedes i ∈ I erfüllt. Sind i , j , k mit i ≤
j ≤ k vorgegeben, dann gilt Ni ⊆ N j ⊆ Nk . Für jedes τ ∈ G k gilt dann ( f i j ◦ f j k )(τ) = f i j (τ|N j ) = (τ|N j )|Ni = τ|Ni = f i k (τ),
also ist auch die Bedingung f i j ◦ f j k = f i k erfüllt.
Proposition 4.22
Für jede (endliche oder unendliche) Galois-Erweiterung ist die Galoisgruppe
G = Gal(L|K ) eine pro-endliche topologische Gruppe. Genauer gilt: Ist (Ni )i ∈I eine Familie von
Teilerweiterungen wie in Proposition 4.21 und gilt zusätzlich L =
i ∈I
Ni , dann ist G ein projekti-
ver Limes des dort beschriebenen Systems.
Beweis:
Wir betrachten im direkten Produkt G =
G˜
=
Gi
(σi )i ∈I ∈
i ∈I G i
die Teilmenge G˜ gegben durch
f i j (σ j ) = σi für alle i , j ∈ I mit i ≤ j .
i ∈I
Nach Lemma 4.17 und Satz 4.18 ist G˜ eine pro-endliche Gruppe. Wir zeigen nun
(i) Durch φ : G →
i ∈I G i , τ → τ|Ni
ist eine injektive Abbildung mit φ(G) = G˜ definiert.
(ii) Die Abbildung φ ist ein Homöomorphismus auf ihr Bild.
zu (i) Sei τ ∈ G und (τi )i ∈I = φ(τ). Dann gilt nach Definition τi = τ|Ni für alle i ∈ I . Für i , j ∈ I mit i ≤ j gilt jeweils
f i j (τi ) = τi |N = (τ|N )|N = τ|N = τ j , also ist φ(τ) in G˜ enthalten. Sei nun umgekehrt ein Tupel (τi )i ∈I ∈ G˜ vorgegeben.
j
Wegen L =
i ∈I
i
j
j
Ni ist jedes α ∈ L in einer Teilerweiterung Ni enthalten. Wir definieren eine Abbildung τ : L → L, indem
wir für jedes α ∈ L ein i α ∈ I mit α ∈ Ni α wählen und τ(α) = τi α (α) setzen. Zu zeigen ist, dass wir mit τ ein Element der
Galoisgruppe G definiert haben.
Zunächst bemerken wir, dass für jedes α ∈ L und jedes i ∈ I mit α ∈ Ni jeweils τ(α) = τi (α) gilt. Ist nämlich k ∈ I ein
Element mit k ≥ i α , i , dann gilt τ(α) = τi α (α) = τk (α) = τi (α). Zum Nachweis der K -Homomorphismus-Eigenschaft
seien a ∈ K und α, β ∈ L vorgegeben. Wir wählen dann i ∈ I mit α, β ∈ Ni und erhalten τ(a) = τi (a) = a, wegen α + β ∈
Ni ebenso
τ(α + β)
=
τi (α + β)
=
τi (α) + τi (β)
—– 54 —–
=
τ(α) + τ(β)
§ 4.
Projektive Limiten und unendliche Galoistheorie
und durch eine analoge Rechnung auch τ(αβ) = τ(α)τ(β). Die Abbildung τ ist darüber hinaus ein K -Automorphismus,
insgesamt also ein Element von G. Ist nämlich α ∈ L vorgegeben, dann gibt es ein i ∈ I mit α ∈ Ni . Weil τi ein K Automorphismus von Ni ist, gibt es ein β ∈ Ni mit τ(β) = τi (β) = α.
Nun überprüfen wir noch die Injektivität von φ. Sei dazu τ ∈ G ein Element aus dem Kern. Dann gilt τ|Ni = idNi für
alle i ∈ I . Ist α ∈ L beliebig vorgegeben, dann wählen wir ein i ∈ I mit α ∈ Ni und erhalten τ(α) = τi (α) = idNi (α) = α.
Damit ist τ = idL nachgewiesen. Insgesamt ist durch φ also eine Bijektion zwischen G und G˜ gegeben.
¯ ∈ G i 0 die Urbildmenge
zu (ii) Für den Nachweis der Stetigkeit genügt es zu zeigen, dass für jedes i 0 ∈ I und jedes σ
φ−1 (U ) von
U
G i ∩ G˜
¯ ×
{σ}
=
i =i 0
˜ Tatsächlich
eine offene Teilmenge von G ist, denn die Mengen U dieser Form bilden eine Subbasis der Topologie auf G.
¯ Für
gilt φ−1 (U ) = σGal(L|Ni 0 ), wie man leicht überprüft. Zum Nachweis sei σ ∈ G ein beliebiges Element mit σ|Ni 0 = σ.
jedes τ ∈ G gilt nun die Äquivalenz
τ ∈ φ−1 (U )
⇔
φ(τ) ∈ U
¯ = σ|Ni 0
τ|Ni 0 = σ
⇔
⇔
τ ∈ σGal(L|Ni 0 ).
Nach Definition der Topologie auf G ist σGal(L|Ni 0 ) eine offene Teilmenge.
¯ ∈ G i 0 , σ ∈ G und U ⊆ G˜ wie im letzten Absatz
Nun zeigen wir noch, dass φ auch eine offene Abbildung ist. Seien dazu σ
definiert. Wir beweisen die Gleichung
φ(σGal(L|Ni 0 )
=
U ∩ φ(G).
Die Inklusion „⊆“ ist nach Definition der Abbildung φ offensichtlich. Zum Beweis von „⊇“ sei (τi )i ∈I vorgegeben.
Wegen (τi )i ∈I ∈ φ(G) gibt es ein τ ∈ G, so dass τ|Ni = τi für alle i ∈ I erfüllt ist. Wegen (τi )i ∈I ∈ U gilt außerdem τ|Ni 0 =
¯ = σ|Ni 0 . Insgesamt gilt also τ ∈ σGal(L|Ni 0 ) und damit (τi )i ∈I ∈ φ(σGal(L|Ni 0 )). Damit ist die Offenheit von φ
τi = σ
bewiesen, denn für diese Eigenschaft ist es hinreichend, dass für jedes σ ∈ G die Bildmengen einer Umgebungsbasis
von σ in G˜ = φ(G) offen sind, was hiermit gezeigt wurde.
Ist L ein Körper und U eine Untergruppe von Aut(L), der Menge der Automorphismen von L, dann bezeichnen wir
mit LU = {α ∈ L | σ(α) = α ∀ σ ∈ U } den Fixkörper von U .
Satz 4.23
(Hauptsatz der unendlichen Galoistheorie)
Sei L|K eine (endliche oder unendliche) Galois-Erweiterung und G = Gal(L|K ). Es sei G die Menge
der abgeschlossenen Untergruppen von G und Z die Menge der Zwischenkörper von L|K . Dann
sind die Zuordnungen
G → Z , U → LU
,
Z → G , M → Gal(L|M )
zueinander inverse Bijektionen zwischen U und Z .
Beweis:
Ist U ∈ G , dann ist LU offenbar ein Teilkörper von L mit LU ⊇ K , insgesamt also ein Zwischenkörper von L|K .
Sei nun umgekehrt M ∈ Z vorgegeben. Bezeichnen wir mit (M i )i ∈I die Familie der endlichen Teilerweiterungen von
L|K , dann ist jede der Untergruppen Gal(L|M i ) offen und nach Proposition 4.12 auch abgeschlossen. Auf Grund der
—– 55 —–
§ 4.
Projektive Limiten und unendliche Galoistheorie
Voraussetzung L =
i ∈I
M i gilt
Gal(L|M )
Gal(L|M i ).
=
i ∈I
Als Durchschnitt abgeschlossener Untergruppen ist auch Gal(L|M ) abgeschlossen. Es bleibt zu zeigen, dass die beiden
Abbildungen G → Z und Z → G zueinander invers sind. Sei zunächst M ∈ Z vorgegeben. Zu zeigen ist dann
M
=
L Gal(L|M ) .
Ist α ∈ M und σ ∈ Gal(L|M ), dann gilt σ(α) = α und somit α ∈ L Gal(L|M ) . Für den Beweis von „⊇“ sei α ∈ L Gal(L|M ) .
Nehmen wir an, dass α nicht in M liegt. Dann gibt es jedenfalls eine endliche normale Teilerweiterung M 1 |M von L|M
mit α ∈ M 1 . Wegen α ∉ M finden wir nach dem Hauptsatz der endlichen Galoistheorie ein τ1 ∈ Gal(M 1 |M ) mit τ1 (α) =
α. Nun ist aus der Algebra bekannt, dass jeder Körperhomomorphismus in einen algebraisch abgeschlossenen Körper
auf jede beliebige algebraische Erweiterung fortgesetzt werden kann. Bezeichnen wir mit L alg einen algebraischen
Abschluss von L und wenden wir dies auf τ1 : M 1 → L alg an, so erhalten wir einen Homomorphismus τ : L → L alg
mit τ|M1 = τ1 . Weil die Erweiterung L|M normal ist, liegt τ in Gal(L|M ). Wir haben also ein Element τ ∈ Gal(L|M ) mit
τ(α) = τ1 (α) = α gefunden. Dies widerspricht der Annahme, dass α im Fixkörper von Gal(L|M ) liegt. Also muss α ∈ M
gelten.
Sei nun U eine abgeschlossene Untergruppe von G und M = LU . Zu zeigen ist U = Gal(L|M ). Die Inklusion „⊆“ ist
offensichtlich, denn für σ ∈ U und α ∈ M gilt σ(α) = α und damit σ ∈ Gal(L|M ). Zum Beweis von „⊇“ betrachten wir
für eine beliebige endliche galoissche Teilerweiterung M 1 |M von L|M den Homomorphismus
ψ : U −→ Gal(M 1 |M ) ,
τ → τ|M1
¯
und bezeichnen das Bild von ψ mit U¯ . Der Fixkörper M 1U von U¯ stimmt mit M überein. Ist nämlich α ∈ M 1 \ M vorgegeben, dann liegt α nicht im Fixkörper von U , es gibt also ein τ ∈ U mit τ(α) = α. Für das Bild τ¯ ∈ U¯ gilt dann ebenfalls
¯
¯
¯
τ(α)
= α, also liegt α ∉ M 1U . Damit ist M 1U ⊆ M bewiesen, und die umgekehrte Inklusion ist offensichtlich. Aus dem
Hauptsatz der endlichen Galoistheorie folgt nun Gal(M 1 |M ) = U¯ , damit ist ψ surjektiv.
Sei nun σ ∈ Gal(L|M ) vorgegeben. Wie im letzten Absatz zeigt wurde, existiert für jede endliche Teilerweiterung M 1 |M
von L|M ein τ ∈ U mit τ|M1 = σ|M1 , es gilt also τ ∈ U ∩ σGal(L|M 1 ). Jede offene Umgebung von σ hat also mit U einen
nichtleeren Durchschnitt. Dies zeigt, dass σ im Abschluss von U , wegen der Abgeschlossenheit von U also in U selbst
enthalten ist. Damit ist die Inklusion Gal(L|M ) ⊆ U bewiesen.
Die folgende Aussage ist wahrscheinlich aus der Algebra-Vorlesung bekannt. Da sie dort aber möglicherweise nicht
für unendliche algebraische Erweiterungen formuliert wurde, ergänzen wir sie hier der Vollständigkeit halber.
Lemma 4.24
Sei L|K eine (endliche oder unendliche) algebraische Erweiterung. Dann ist jeder
K -Homomorphismus σ : L → L ein K -Automorphismus.
Beweis:
Sei σ : L → L ein K -Homomorphismus. Wir müssen zeigen, dass σ surjektiv ist. Sei dazu β ∈ L vorgegeben
und f ∈ K [x] das Minimalpolynom von β über K . Bezeichnen wir mit N die Menge der Nullstellen von f in L, dann
gilt β ∈ L und σ(N ) ⊆ N . Weil N endlich und die Abbildung σ|N : N → N injektiv ist, ist sie auch surjektiv. Insbesondere
gibt es ein α ∈ N mit σ(α) = β.
—– 56 —–
§ 4.
Projektive Limiten und unendliche Galoistheorie
Satz 4.25
(Ergänzungen zum Hauptsatz der Galoistheorie)
Sei L|K eine Galois-Erweiterung und G = Gal(L|K ).
(i) Es gilt L idL = L, LG = K , Gal(L|L) = {idL } und Gal(L|K ) = G.
(ii) Für jedes σ ∈ G und jeden Zwischenkörper M von L|K gilt Gal(L|σ(M )) = σGal(L|M )σ−1 .
(iii) Sei M ein Zwischenkörper und U = Gal(L|M ). Genau dann ist U ein Normalteiler von G,
wenn die Erweiterung M |K normal ist. In diesem Fall existiert ein natürlicher Isomorphismus G/U ∼
= Gal(M |K ) von topologischen Gruppen.
(iv) Eine Teilerweiterung M |K von L|K ist genau dann endlich, wenn der Index (G : Gal(L|M ))
endlich ist. In diesem Fall gilt [M : K ] = (G : Gal(L|M )).
Beweis:
zu (i) Die Gültigkeit der Gleichungen L idL = L, Gal(L|L) = {idL } und Gal(L|K ) = G ist offensichtlich. Die Glei-
chung LG = K folgt aus Gal(L|K ) = G und der Tatsache, dass die Zuordnungen M → Gal(L|M ) und U → LU zueinander
invers sind.
zu (ii) Für alle τ ∈ G gilt die Äquivalenz
τ ∈ Gal(L|σ(M ))
⇔
τ(σ(α)) = σ(α) ∀ α ∈ M
σ−1 ◦ τ ◦ σ = Gal(L|M )
⇔
⇔
(σ−1 ◦ τ ◦ σ)(α) = α ∀ α ∈ M
⇔
τ ∈ σGal(L|M )σ−1 .
Also gilt Gal(L|σ(M )) = σGal(L|M )σ−1 .
zu (iii)
Die Untergruppe U ist genau dann Normalteiler von G, wenn σU σ−1 = U für alle σ ∈ G gilt. Nach (ii) ist
das äquivalent zu Gal(L|σ(M )) = Gal(L|M ) für alle σ ∈ G, nach dem Hauptsatz der Galoistheorie also zur Gleichung
σ(M ) = M für alle σ ∈ G.
Aus der Algebra ist bekannt, dass die Erweiterung M |K genau dann normal ist, wenn für jeden K -Homomorphismus
σ : M → L alg jeweils σ(M ) ⊆ M gilt, wobei L alg einen algebraischen Abschluss von L bezeichnet. Ist dies erfüllt, dann
gilt nach Lemma Lemma 4.24 auch σ(M ) = M für jeden solchen K -Homomorphismus, damit erst recht σ(M ) = M für
alle σ ∈ G. Setzen wir dies nun umgekehrt voraus, und sei σ : M → L alg ein K -Homomorphismus. Weil die Erweiterung
L|K normal ist, gilt σ(L) ⊆ L. Auf Grund von Lemma Lemma 4.24 ist σ damit ein Element von G. Die Voraussetzung
liefert nun σ(M ) = M . Dies zeigt, dass M |K normal ist.
Sei H = Gal(M |K ). Zum Beweis des Isomorphismus G/U ∼
= H betrachten wir die Abbildung φ : G → H , σ → σ|M . Weil
M |K normal ist, handelt es sich bei σ|M tatsächlich um ein Element von H . Die Abbildung ist surjektiv, denn aus der
Algebra ist bekannt, dass jeder Automorphismus τ ∈ Gal(M |K ) zu einem K -Homomorphismus τ˜ : L → L alg fortgesetzt
˜ =τ
werden kann. Weil L|K eine Galois-Erweiterung ist, handelt es sich bei τ˜ um eine Element der Gruppe G, das φ(τ)
erfüllt. Außerdem ist stimmt der Kern von φ ofenbar mit dem Normalteiler U G überein. Der Homomorphisatz liefert
uns einen Isomorphismus φ¯ : G/U → H von Gruppen.
Um zu zeigen, dass die Abbildung φ stetig ist, genügt es nachzuweisen, dass das Urbild einer Nebenklasse τN unter
φ offen ist, für τ ∈ H und einen offenen Normalteiler N von H , denn die Teilmengen diese Form bilden eine Umgebungsbasis von τ. Auf Grund der Offenheit ist (H : N ) von endlichem Index, es gibt also eine endliche normale
Teilerweiterung M 1 |K von M |K mit N = Gal(M |M 1 ). Das Urbild von N unter φ ist Gal(L|M 1 ), und diese Untergruppe
—– 57 —–
§ 4.
Projektive Limiten und unendliche Galoistheorie
ist wegen [M 1 : K ] < ∞ eine offene Untergruppe von G. Bezeichnet nun τ˜ ∈ G ein beliebiges Urbild von τ, dann ist
˜
φ−1 (τN ) = τGal(L|M
1 ) wiederum offen in G.
Andererseits ist die Abbildung φ auch offen. Sei dazu N ⊆ G ein offener Normalteiler von G und σ ∈ G. Es genügt zu
zeigen, dass φ(σN ) eine offene Teilmenge von H ist. Auf Grund der Offenheit von N gibt es eine endliche normale
Teilerweiterung M 1 |K von L|K mit N = Gal(L|M 1 ). Die Einschränkungsabbildung φ bildet N auf Gal(M |M 1 ∩ M ) ab.
Mit M 1 |K und M |K ist auch M 1 ∩ M |K eine endliche normale Erweiterung. Folglich sind φ(N ) und φ(τN ) = φ(τ)N
offene Teilmengen von H .
¯ Das Urbild von τN unter φ¯ ist genau das
Übertragen wir nun die Stetigkeit und Offenheit von der Abbildung φ auf φ.
˜
Bild von τGal(L|M
1 ) in G/U . Nach Definition der Quotiententopologie auf G/U ist dieses ebenfalls offen, dies beweist
¯ Andererseits ist die Abbildung φ¯ auch offen. Ist nämlich V¯ ⊆ G/U eine offene Teilmenge, dann
die Stetigkeit von φ.
gilt π(π−1 (V¯ ) = V¯ auf Grund der Surjektivität von π. Außerdem ist V = π−1 (V¯ ) offen nach Definition der Quotiententopologie. Es gilt nun
¯ V¯ )
φ(
−1 ¯
¯
φ(π(π
(V )))
=
=
φ(π−1 (V )).
¯ V¯ ). Als bijektive, stetige und offene Abbildung ist φ¯ ein
Weil π−1 (V ) offen und φ offen ist, folgt daraus die Offenheit φ(
Homöomorphismus.
zu (iv)
Sei M |K eine endliche Teilerweiterung von L|K . Dann ist Gal(L|M ) eine offene Untergruppe von G und
hat somit einen endlichen Index. Zum Beweis der Gleichung [M : K ] = (G : Gal(L|M )) verwenden wir, dass es ei∼ Gal(M 1 |K ), also
ne endliche normale Teilerweiterung M 1 |K von L|K mit M 1 ⊇ M gibt. Nach (iii) gilt G/Gal(L|M 1 ) =
(G : Gal(L|M 1 )) = [M 1 : K ]. Ebenso erhält man (Gal(L|M ) : Gal(L|M 1 )) = [M 1 : M ], denn die Erweiterung M 1 |M ist ebenfalls normal. Mit dem Gradsatz folgt nun
[M : K ]
=
[M 1 : K ]
[M 1 : M ]
=
(G : Gal(L|M 1 ))
(Gal(L|M ) : Gal(L|M 1 ))
=
(G : Gal(L|M )).
Ist M |K dagegen unendlich, dann gibt es eine unendliche Folge (τn )n∈N von K -Homomorphismen M → K alg , die zu
unendlich vielen verschiedenen Elementen τ˜n ∈ G fortgesetzt werden können. Für m = n gilt jeweils τ˜m |M = τ˜n |M
und somit τ˜m Gal(L|M ) = τ˜n Gal(L|M ). Dies zeigt, dass es unendlich viele Nebenklassen von Gal(L|M ) gibt, der Index
(G : Gal(L|M )) also unendlich ist.
Zum Abschluss bestimmen wir die Galois-Gruppen von zwei konkret vorgegebenen unendlichen Erweiterungen. Für
jedes n ∈ N sei ζn = e
2π
n
, eine primitive n-te Einheitswurzel. Wir definieren S = {ζn | n ∈ N} und nennen Qcyc =
Q(S) die maximale zyklotomische Erweiterung von Q. Ein Ergebnis der globalen Klassenkörpertheorie, der Satz von
Kronecker-Weber besagt, dass diese mit der maximalen abelschen Erweiterung von Q übereinstimmt. Weil Qcyc von
den Kreisteilungskörpern der Form Q(ζn ) ausgeschöpft wird und jeder Kreisteilungskörper abelsch ist, lautet eine
äquivalente Formulierung, dass jede abelsche Erweiterung von Q in einem Kreisteilungskörper enthalten ist.
Satz 4.26
Es gibt natürliche Isomorphismen
alg
Gal Fq |Fq
∼
=
ˆ , +)
(Z
und
in der Kategorie der topologischen Gruppen.
—– 58 —–
Gal Qcyc |Q
∼
=
ˆ×
Z
§ 4.
Projektive Limiten und unendliche Galoistheorie
alg
Beweis: Wegen Fq =
n∈N Fq n
bilden die Galoisgruppen Gal(Fq n |Fq ) nach Proposition 4.21 ein projektives System,
alg
ˆ , +) ein projektiver Limes der Gruppen
dessen direkter Limes die Gruppe Gal(F |Fq ) ist. Außerdem ist die Gruppe (Z
q
(Z/n Z, +). Es genügt deshalb, einen Isomorphismus projektiver Systeme zwischen (Z/n Z, +) und Gal(Fq n |Fq ) anzugeben. Für jedes n ∈ N sei ϕn ∈ Gal(Fq n |Fq ) der Frobenius-Automorphismus gegeben durch ϕn (α) = αq für α ∈ Fq n .
Aus der Algebra ist bekannt, dass Gal(Fq n |Fq ) zyklisch von Ordnung n ist und von ϕn erzeugt wird. Daraus folgt,
∼
dass durch a¯ → ϕna ein Isomorphismus f n : Z/n Z → Gal(Fq n |Fq ) definiert ist, wobei a ∈ Z jeweils einen beliebigen
Repräsentanten von a¯ ∈ Z/n Z bezeichnet.
Sind m, n ∈ N mit m|n, dann bezeichnen wir mit f mn : Z/n Z → Z/m Z die Abbildung a + n Z → a + m Z und mit g mn :
Gal(Fq n |Fq ) → Gal(Fq m |Fq ), σ → σ|Fq m die Restriktionsabbildung. Zum Beweis der Kommutativität des Diagramms
fn
Z/n Z
f mn
Z/m Z
fm
/ Gal(Fq n |Fq )
g mn
/ Gal(Fq m |Fq )
a
sei a + n Z ∈ Z/n Z vorgegeben, mit a ∈ Z. Dann gilt einerseits (g mn ◦ f n )(a + n Z) = g mn (ϕna ) = ϕna |Fq m = ϕm
, anderera
seits auch ( f m ◦ f mn )(a +m Z) = f m (a +n Z) = ϕm
. Auf Grund der Kommutativität ist durch ( f n )n∈N ein Isomorphismus
projektiver Systeme definiert. Nach Folgerung 4.7 erhält man dadurch einen Isomorphismus zwischen den projektiˆ und Gal(Falg |Fq ).
ven Limiten Z
q
Für den Nachweis des zweiten Isomorphismus verwenden wir entsprechend die Gleichung Qcyc = n∈N Q(ζn ) so∼
ˆ × der projektive Limes der primen Restklassengruppen (Z/n Z)× ist. Mit f n : (Z/n Z)× →
wie die Tatsache, dass Z
Gal(Q(ζn )|Q) bezeichnen wir den aus der Algebra bekannten Isomorphismus, der jeder primen Restklasse a +n Z den
Automorphismus σa gegeben durch σa (ζn ) = ζna zuordnet. Bezeichnen wir mit f mn : Z/n Z× → Z/m Z× die Abbildung
a + n Z → a + m Z und mit g mn : Gal(Q(ζn )|Q) → Gal(Q(ζm )|Q) wieder die Restriktionsabbildung, dann lässt sich die
Kommutativität des Diagramms
(Z/n Z)×
f mn
(Z/m Z)×
fn
fm
/ Gal(Q(ζn )|Q)
g mn
/ Gal(Q(ζm )|Q)
ebenso mühelos überprüfen wie im ersten Fall. Wiederum ist ( f n )n∈N damit ein Isomorphismus projektiver Systeme,
ˆ × und Gal(Qcyc |Q).
und wie zuvor erhalten wir einen Isomorphismus zwischen den projektiven Limiten Z
—– 59 —–
§ 5. Das Henselsche Lemma
In diesem Abschnitt werden wir ein wichtiges Hilfsmittel kennenlernen, mit dem in vielen Fällen die Lösbarkeit von
Polynomgleichungen über vollständigen Körpern entschieden werden kann. Wir erinnern daran, dass ein Polynom
f ∈ A[x] über einem faktoriellen Ring A als primitiv bezeichnet wird, wenn der größte gemeinsame Teiler seiner
Koeffizienten gleich 1 ist. Gilt unter dieser Voraussetzung also f = ag mit a ∈ A und g ∈ A[x], dann muss a eine
Einheit in A sein. Ist A = O v ein Bewertungsring, dann bezeichnen wir ein Polynom f ∈ O v [x] als primitiv, wenn
zumindest einer der Koeffizienten von f eine Einheit ist. Dies ist gleichbedeutend damit, dass das Bild von f in κv [x]
nicht verschwindet.
(Henselsches Lemma)
Satz 5.1
Sei (K , v) vollständig, f ∈ O v [x] ein primitives Polynom und f¯ sein Bild in κv [x]. Weiter setzen
wir voraus, dass f¯ eine Zerlegung f¯ = g¯ · h¯ in teilerfremde Polynome g¯ , h¯ ∈ κv [x] besitzt. Dann
existieren Polynome g , h ∈ O v [x] mit der Eigenschaft, dass f = g h erfüllt ist, grad(g ) = grad(g¯ ) gilt
und die Bilder von g , h in κv [x] mit g¯ , h¯ übereinstimmen.
¯ b¯ ∈ κv [x] mit a¯ g¯ + b¯ h¯ = 1¯ . Seien
Sei d = grad( f ) und r = grad(g¯ ). Weil g¯ und h¯ teilerfremd sind, gibt es a,
¯ wobei wir grad(g 1 ) = grad(g¯ ) und
¯ b¯ und g 1 , h 1 ∈ O v [x] Urbilder von g¯ , h,
a, b ∈ O v [x] beliebig gewählte Urbilder von a,
Beweis:
¯ ≤ d − r voraussetzen. Bezeichnen wir mit π den Koeffizienten in den Polynomen ag 1 + bh 1 − 1 und
grad(h 1 ) = grad(h)
f − g 1 h 1 mit der kleinsten positiven Bewertung, dann gilt
ag 1 + bh 1 ≡ 1 mod π
g 1 h 1 ≡ f mod π.
und
Wir zeigen nun durch vollständige Induktion über n, dass es für jedes n ∈ N Polynome g n , h n ∈ O v [x] gibt, so dass
g m ≡ g n mod πm
,
h m ≡ h n mod πm
f ≡ g n h n mod πn
,
für alle m ∈ N mit m ≤ n erfüllt ist und außerdem grad(g n ) = r und grad(h m ) ≤ d −r gilt. Für n = 1 haben die Polynome
g 1 , h 1 nach Definition die gewünschten Eigenschaften.
Sei nun n ∈ N, und setzen wir voraus, dass g n , h n ∈ O v [x] wie angegeben existieren. Wir setzen die Polynome g n+1 und
h n+1 nun in der Form
g n+1 = g n + πn p n
und
h n+1 = h n + πn q n
mit
p n , q n ∈ O v [x]
an.
Dann sind die Bedingungen g m ≡ g n+1 mod πm und h m ≡ h n+1 mod πm für m ≤ n + 1 auf jeden Fall erfüllt. Setzen wir
u n = π−n ( f − g n h n ), dann gilt außerdem
g n+1 h n+1 ≡ f mod πn+1
⇔
⇔
(g n + πn p n )(h n + πn q n ) ≡ f mod πn+1
q n g n + p n h n ≡ u n mod π
⇔
⇔
g n h n + πn (q n g n + p n h n ) ≡ f mod πn+1
q n g 1 + p n h 1 ≡ u n mod π.
Auf Grund der Definition von g 1 , h 1 gilt ag 1 + bh 1 ≡ 1 mod π und damit au n g 1 + bu n h 1 ≡ u n mod π. Wir könnten also
q n = au n und p n = bu n setzen, würden dadurch allerdings zu große Polynomgrade erhalten. Statt dessen führen wir
—– 60 —–
§ 5.
Das Henselsche Lemma
eine Division mit Rest durch und schreiben bu n = q g 1 + p n mit q, p n ∈ O v [x] und grad(p n ) < grad(g 1 ) = r . Dies ist
möglich, weil der Leitkoeffizient von g 1 eine Einheit ist. Durch Einsetzen erhalten wir
au n g 1 + (q g 1 + p n )h 1 ≡ u n mod π
⇔
(au n + qh 1 )g 1 + p n h 1 ≡ u n mod π
Wegen grad(u n ) ≤ d und grad(p n h 1 ) < r + (d − r ) = d können wir das Polynom au n + qh 1 modulo π zu einem Polynom q n ∈ O v [x] vom Grad ≤ d − r abändern. Es gilt dann grad(g n+1 ) = r , grad(h n+1 ) ≤ d − r , und die Kongruenz
f ≡ g n+1 h n+1 mod πn+1 ist erfüllt.
Damit ist der Induktionsbeweis abgeschlossen. Nach Konstruktion konvergieren die Polynome g n , h n koeffizientenweise gegen g , h ∈ O v [x], und aus f ≡ g n h n mod πn folgt f ≡ g h mod πn für alle n ∈ N, also f = g h. Wegen grad(p n ) <
r stimmen die Leitkoeffizienten der Polynome g n jeweils mit dem Leitkoeffizient von g überein. Deshalb ist auch
grad(g ) = r erfüllt.
Folgerung 5.2
Sei (K , v) vollständig, f ∈ O v [x] ein primitives Polynom und a˜ ∈ O v ein Element
˜ ≡ 0 mod pv und f (a)
˜ ≡ 0 mod pv . Dann gibt es ein a ∈ O v mit f (a) = 0 und a ≡ a˜ mod pv .
mit f (a)
Sei a¯ das Bild von a˜ in κv und f¯ das Bild von f in κv [x]. Nach Voraussetzung ist a¯ keine Nullstelle von f¯ .
¯ h¯ mit h¯ ∈ κv [x], dann sind x − a¯ und h¯ also teilerfremd. Wir können somit
Schreiben wir f¯ in der Form f¯ = (x − a)
Beweis:
das Henselsche Lemma anwenden und erhalten Polynome g , h ∈ O v [x], deren Reduktion modulo pv mit x − a¯ und h¯
"bereinistmmt. Außerdem ist g ∈ O v [x] linear und hat eine Einheit als Leitkoeffizient. Damit besitzt g eine Nullstelle
in O v , deren Bild in κv mit a¯ übereinstimmt, also a ≡ a˜ mod pv erfüllt.
Ein bewerteter Körper (K , v), in dem das Henselsche Lemma gültig ist, wird henselscher Körper genannt. Wie wir
später sehen werden, existieren auch nicht-vollständige Körper mit dieser Eigenschaft.
Proposition 5.3
(i) Sei p eine ungerade Primzahl, a ∈ Z×
p und u ∈ Z mit a ≡ u mod p Zp . Genau dann ist a ein
Quadrat in Zp , wenn u ein quadratischer Rest modulo p ist.
(ii) Sei p eine beliebige Primzahl. Ein Element a ∈ Q×
p ist genau dann ein Quadrat in Qp , wenn
2n 2
ein n ∈ Z und eine Einheit u ∈ Z×
p existieren, so dass a = p u erfüllt ist.
Beweis:
zu (i) „⇐“ Sei f = x 2 − a ∈ Zp [x]. Nach Voraussetzung gibt es ein v ∈ Z mit a ≡ u ≡ v 2 mod p Zp . Es gilt
also f (v) ≡ 0 mod p Zp . Die Primzahl p ist wegen a ∈ Z×
p kein Teiler von a und damit auch kein Teiler von v. Weil p
ungerade ist, gilt für die Ableitung f = 2x somit f (v) = 2v ≡ 0 mod p. Durch Anwendung von Satz 5.4 erhalten wir
2
ein w ∈ Zp mit f (w) = 0 ⇔ w 2 = a. „⇒“ Ist a ein Quadrat in Zp , dann gibt es ein v ∈ Z×
p mit a = v . Wählen wir ein
2
2
2
w ∈ Z mit w ≡ v mod p Z×
p , dann folgt w ≡ v = a ≡ u mod p Zp und somit u ≡ w mod p im Ring Z. Also ist u ein
quadratischer Rest modulo p.
2n 2
zu (ii) „⇒“ Sei b ∈ Q× mit b 2 = a. Schreiben wir b = up n mit n = v p (b) ∈ N0 und u ∈ Z×
p , dann folgt a = p u .
„⇐“ Hat a die angegebene Form, dann ist a offenbar ein Quadrat von b = p n u.
˜ ≡ 0 mod pv aus Folgerung 5.2 als zu restriktiv. Beispielsweise
Für viele Anwendungen erweist sich die Bedingung f (a)
hat diese Einschränkung zur Folge, dass die Quadrate in Q2 mit diesem Kriterium nicht bestimmt werden könen.
—– 61 —–
§ 5.
Das Henselsche Lemma
Deshalb beweisen wir eine allgemeinere Aussage, die wir im Folgenden als verfeinerte Nullstellenliftungs-Eigenschaft
bezeichnen.
˜ > 2v( f (a)).
˜ Dann gibt es eine Nullstelle a ∈ O v
Sei f ∈ O v [x] und a˜ ∈ O v mit v( f (a))
Satz 5.4
˜ > v( f (a))
˜ − 2v( f (a)).
˜
von f mit v(a − a)
Beweis:
Wir definieren eine Folge (a n )n∈N in K durch a 0 = a˜ und
a n+1
=
an −
f (a n )
.
f (a n )
˜ − 2v( f (a))
˜ ∈ R+ . Durch vollständige Induktion beweisen wir die folgenden drei Aussagen
Sei außerdem s = v( f (a))
für alle n ∈ N0 .
(i) a n ∈ O v
(iii) v( f (a n )) − 2v( f (a n )) ≥ 2n s
˜ ≥s
(ii) v(a n − a)
Für n = 0 sind alle drei Aussagen auf Grund unserer Voraussetzungen erfüllt. Sei nun n ∈ N0 , und setzen wir (i) bis (iii)
für dieses n voraus. Es gilt
v(a n+1 − a n )
≥
v −
f (a n )
f (a n )
v( f (a n )) − v( f (a n ))
≥
≥
v( f (a n )) − 2v( f (a n ))
2n s
≥
>
0.
Daraus folgt v(a n+1 ) ≥ min{v(a n+1 − a n ), v(a n )} ≥ 0, also ist (i) für n + 1 erfüllt. Ebenso gilt
˜
v(a n+1 − a)
≥
˜
min{v(a n+1 − a n ), v(a n − a)}
≥
min{2n s, s}
≥
s
,
damit ist auch (ii) erfüllt. Zum Beweis von (iii) schreiben wir das Polynom f in der Form f =
d
c (x
k=0 k
− a n )k , mit
d = grad( f ) und c k ∈ O v für 0 ≤ k ≤ d . Dann ist c 0 = f (a n ) und c 1 = f (a n ). Es gilt somit
f (a n+1 )
=
f (a n ) + f (a n )(a n+1 − a n ) + c(a n+1 − a n )2
c(a n+1 − a n )2
=
=
=
c
f (a n ) + f (a n ) −
f (a n )
f (a n )
f (a n )
+ c(a n+1 − a n )2
f (a n )
2
für ein geeignetes c ∈ O v . Daraus folgt v( f (a n+1 )) ≥ 2v( f (a n ))−2v( f (a n )). Wir zeigen nun, dass v( f (a n )) = v( f (a n+1 ))
gilt. Stellen wir die Ableitung f von f in der Form f =
d −1
d (x − a n )k
k=0 k
dar, mit d k ∈ O v für 0 ≤ k ≤ d − 1, dann gilt
d 0 = f (a n ) und
f (a n+1 )
f (a n ) + d (a n+1 − a n )
=
=
f (a n ) + d
f (a n )
f (a n )
für ein d ∈ O v . Wegen v( f (a n )) − 2v( f (a n )) ≥ 2n s > 0 gilt insbesondere v( f (a n )) − v( f (a n )) > v( f (a n )) und somit
v d
f (a n )
f (a n )
≥
f (a n )
f (a n )
v
=
v( f (a n )) − v( f (a n ))
>
v( f (a n )) ,
woraus die gewünschte Gleichung v( f (a n )) = v( f (a n+1 )) folgt. Wir erhalten nun
v( f (a n+1 )) ≥ 2v( f (a n )) − 2v( f (a n ))
v
⇔
v( f (a n+1 )) − 2v( f (a n+1 )) > 2v( f (a n )) − 4v( f (a n ))
f (a n+1 )
f (a n )
> 2v
≥ 2n+1 s.
f (a n+1 )2
f (a n )
—– 62 —–
⇔
§ 5.
Das Henselsche Lemma
Damit ist auch die Ungleichung (iii) für n + 1 bewiesen. Wir zeigen nun, dass aus den drei Ungleichungen die Aussage
des Satzes folgt. Wie wir bereits gesehen haben, gilt v(a n+1 − a n ) ≥ 2n s für alle n ∈ N. Damit ist (a n )n∈N eine Cauchy˜ ≥ s für alle
folge in O v , die auf Grund der Vollständigkeit des Körpers gegen ein a ∈ O v konvergiert. Wegen v(a n − a)
˜ ≥ s. Aus (iii) folgt v( f (a n )) ≥ 2n für alle n ∈ N und damit auch v( f (a)) ≥ 2n für jedes n. Dies
n ∈ N gilt auch v(a − a)
zeigt, dass a eine Nullstelle von f ist.
Proposition 5.5
Ein Element c ∈ Z×
2 ist genau dann ein Quadrat in Z2 , wenn c ≡ 1 mod 8Z2 gilt.
2
„⇒“ Setzen wir voraus, dass c ein Quadrat in Z2 ist. Dann gibt es ein v ∈ Z×
2 mit c = v . Auf Grund der
∼ Z/8Z und wegen 2 v ist das Element v modulo dem Ideal 8Z2 kongruent zu einer der Zahlen
Isomorphie Z2 /8Z2 =
Beweis:
1, 3, 5 oder 7. Wegen 12 ≡ 32 ≡ 52 ≡ 72 ≡ 1 mod 8 folgt daraus c ≡ 1 mod 8Z2 .
˜ ≡ 1−1 ≡ 0 mod 8Z2 und somit v 2 ( f (a))
˜ ≥ 3. Andererseits
„⇐“ Sei f = x 2 −c und a˜ = 3. Dann gilt a˜ 2 ≡ 1 mod 8, also f (a)
˜ = 6 und v 2 ( f (a))
˜ = 1. Insgesamt ist v 2 ( f (a))
˜ > v 2 ( f (a))
˜ erfüllt und somit Satz 5.4 anwendbar.
ist f = 2x, also f (a)
2
Wir erhalten ein a ∈ Z×
2 mit f (a) = 0 ⇔ a = c . (An Stelle der 3 hätte man auch jede andere ungerade ganze Zahl als
Startwert verwenden können.)
Sei K ein Körper. Man sagt, zwei Elemente a, b ∈ K × liegen in derselben Quadratklasse, wenn ein c ∈ K × mit b = ac 2
existiert. Während die Faktorgruppe Q× /(Q× )2 offenbar unendlich ist (beispielsweise liefert jede Primzahl eine eigene
Quadratklassen), ergibt sich für die Körper der p-adischen Zahlen das folgende Bild.
Folgerung 5.6
Sei p eine Primzahl.
× 2∼
(i) Ist p = 2, dann gilt Q×
p /(Qp ) = Z/2Z × Z/2Z. Ist u ∈ Z ein quadratischer Nichtrest modulo
× 2
p, dann bildet {1, u, p, up} ein Repräsentatensystem von Q×
p /(Qp ) .
× 2∼
×
3
∼
(ii) Ist p = 2, dann gilt Q×
2 /(Q2 ) = (Z/8Z) ×Z/2Z = (Z/2Z) . Hier ist ein Repräsentansystem
durch {±1, ±2, ±5, ±10} gegeben.
Beweis:
Für jeden Körper K ist die Faktorgruppe G = K × /(K × )2 eine abelsche Gruppe vom Exponenten 2. Handelt
es sich um eine endliche Gruppe, dann ist ihre Struktur durch die Anzahl ihrer Elemente bereits eindeutig festgelegt:
Ist |G| = 2n für ein n ∈ N, dann folgt G ∼
= (Z/2Z)n . Es genügt also in (i) und (ii) also jeweils zu überprüfen, dass die
angegebenen Mengen tatsächlich ein Repräsentantensystem der Quadratklassen bilden.
zu (i)
×
Nach Proposition 5.3 (ii) gilt v p (a) ∈ 2Z für jedes Quadrat a in Q×
p . Zwei Elemente a, b ∈ Qp können also
nur dann in derselben Quadratklasse liegen, wenn für m = v p (a) und n = v p (b) jeweils m ≡ n mod 2 gilt. Also können
höchstens 1, u und p, up jeweils in derselben Quadratklassen liegen. Aber dies würde bedeuten, dass es sich bei u ∈ Z×
p
um ein Quadrat handelt, was nach Proposition 5.3 (i) ausgeschlossen ist.
Es bleibt zu zeigen, dass jedes vorgegebene a ∈ Q×
p in derselbe Quadratklasse wie eines der vier Elemente 1, u, p, up
liegt. Weil die Multiplikation mit einer ganzzahligen Potenz von p 2 die Quadratklasse von a nicht ändert, können wir
v p (a) ∈ {0, 1} annehmen. Betrachten wir zunächst den Fall v p (a) = 1. Dann gilt a = pb für ein b ∈ Z×
p . Das Element
a liegt genau dann in derselben Quadratklasse wie p oder pu, wenn b in derselben Quadratklasse wie 1 oder u liegt.
Deshalb genügt es, den Fall v p (a) = 0 ⇔ a ∈ Z× zu behandeln. Sei c ∈ Z mit a ≡ c mod p Zp . Ist c ein quadratischer
—– 63 —–
§ 5.
Das Henselsche Lemma
Rest, dann ist a nach Proposition 5.3 (i) ein Quadrat in Zp , liegt also in derselben Quadratklasse wie 1. Ist c ein quadratischer Nichtrest, dann muss cu ein quadratischer Rest sein. Wegen cu ≡ au mod p Zp folgt aus Proposition 5.3,
dass au in Zp ein Quadrat ist. Dies zeigt, dass a in derselben Quadratklasse wie u −1 und u liegt.
zu (ii) Anhand der Bewertung v 2 sieht man zunächst wieder, dass höchstens die Elemente ±1, ±5 und ±2, ±10 jeweils in derselben Quadratklasse liegen. Aber auch dies ist unmöglich, denn die Elemente ±1, ±5 sind paarweise nicht
kongruent modulo 8. Würde die Multiplikation von zwei verschiedenen Elemente aus {±1, ±5} (oder zwei verschiedenen Elementen aus {±2, ±10}) ein Quadrat liefern, dann wäre eine Zahl a ∈ Z×
2 mit a ≡ 1 mod 8Z2 ein Quadrat, im
Widerspruch zu Proposition 5.5.
Als weitere Anwendung notieren wir noch
Folgerung 5.7
Sei p eine Primzahl.
(i) Auf keinem der Körper Qp existiert eine Anordnung.
(ii) Ist q eine Primzahl mit q = p, dann sind Qp und Qq keine isomorphen Körper.
Ebenso ist Qp nicht isomorph zu R.
(iii) Weder der Körper Qp noch R besitzen nichttriviale Automorphismen.
Beweis:
zu (i)
Sei zunächst p ungerade und a ∈ Z ein beliebiger quadratischer Rest modulo p mit 0 < a < p.
Dann ist auch b = a − p mit −p < b < 0 ein quadratischer Rest, und nach Proposition 5.3 ist b ein Quadrat in Qp .
Nehmen wir nun an, dass Q+
p ⊆ Qp eine Anordnung auf Qp ist. Quadrate von Elementen ungleich Null sind in einem
+
angeordneten Körper stets positiv, also liegen b und 1 = 12 in Q+
p . Aber daraus folgt, dass auch b + (−b) · 1 ∈ Qp gilt,
was den Anordnungsaxiomen widerspricht. Dies zeigt, dass auf Qp keine Anordnung existiert. Für den Fall p = 2
verwendet man entsprechend, dass −7 nach Proposition 5.5 wegen −7 ≡ 1 mod 8 ein Quadrat in Q2 ist.
zu (ii) Der Körper Qp ist für keine Primzahl p isomorph zu R, weil nach (i) auf Qp keine Anordnung existiert, im
Gegensatz zum Körper R. Seien nun p, q zwei verschiedene Primzahlen, r ∈ Z eine ganze Zahl mit r ≡ 0 mod p und
r ≡ 1 mod q und f ∈ Z[x] gegeben durch f = x 2 + r x + pq. Nach dem Eisenstein-Kriterium (angewendet auf den
faktoriellen Ring Zp ) ist f in Qp irreduzibel. Andererseits sit das Bild von f in Fq [x] gleich f¯ = x 2 + x = x(x + 1¯ ). Weil
die Faktoren x, x + 1¯ teilerfremd sind, ist f nach dem Henselschen Lemma über Qq reduzibel. Nehmen wir nun an, es
gibt einen Isomorphismus σ : Qq → Qp . Weil σ das Polynom f auf sich selbst abbildet, müsste f auch in Qp reduzibel
sein, im Widerspruch zur vorherigen Feststellung.
zu (iii) Der Körper Q ist sowohl in Qp als auch in R ein dichter Teilkörper, und jeder Automorphismus σ von Qp oder
R bildet die Elemente a ∈ Q auf sich selbst ab. Wenn wir zeigen können, dass σ stetig ist, dann folgt daraus σ = id.
Denn für jedes a ∈ Qp (bzw. R) können wir auf Grund der Dichtheit eine Folge (a n )n∈N mit limn a n = a wählen, und
aus der Stetigkeit folgt dann σ(a) = limn σ(a n ) = limn a n = a.
Betrachten wir zunächst den Fall, dass σ ein Automorphismus von R ist. In R sind die Quadrate ungleich Null genau
die positiven Zahlen. Daraus folgt, dass die Teilmenge R+ ⊆ R unter σ invariant ist, und dies wiederum bedeutet, dass
für alle a, b ∈ R die Äquivalenz a < b ⇔ σ(a) < σ(b) erfüllt ist. Für alle a ∈ R und r ∈ Q+ gilt damit |a| < r ⇔ |σ(a)| <
σ(r ) = r , und mit Hilfe dieser Äquivalenz beweist man leicht die Stetigkeit von σ auf ganz R.
—– 64 —–
§ 5.
Das Henselsche Lemma
Sei nun σ ein Automorphismus von Qp . Wenn wir zeigen können, dass für jedes a ∈ Qp die Gleichung v p (σ(a)) = v p (a)
×
gilt, dann folgt daraus offenbar die Stetigkeit von σ. Nehmen wir an, dass σ(Z×
p ) ⊆ Zp gilt. Nach Satz 1.19 besitzt jedes
n
×
n
a ∈ Q×
p eine eindeutige Darstellung der Form a = up mit u ∈ Zp und n ∈ Z. Es folgt dann σ(a) = σ(u)p und somit
v p (σ(a)) = v p (a) wegen σ(u) ∈ Z×
p.
Somit genügt es zu zeigen, dass die Menge der Einheiten von σ auf sich abgebildet wird. Dazu beweisen wir die folgende algebraische Charakterisierung der Einheiten.
p−1
Ein Element u ∈ Qp ist genau dann in Z×
für unendlich viele n ∈ N in Qp eine n-te Wurzel
p enthalten, wenn u
besitzt.
„⇐“ Nehmen wir an, dass für unendlich viele n ∈ N jeweils ein Element a n ∈ Qp mit a nn = u p−1 existiert. Dann gilt
(p − 1)v p (u) = v p (u p−1 ) = v p (a nn ) = nv p (a n ). Dies zeigt, dass (p − 1)v p (u) für unendlich viele natürliche Zahlen n ein
Vielfaches von n ist. Dies ist nur möglich, wenn (p − 1)v p (u) = 0, also u ∈ Z×
p gilt.
¯ von u in Fp ungleich Null. Wegen u¯ p−1 = 1¯ gilt für alle n ∈ N jeweils
„⇒“ Setzen wir u ∈ Z×
p voraus, dann ist das Bild u
x n − u¯ p−1
=
x n − 1¯
=
(x − 1¯ )(x n−1 + ... + x + 1¯ ).
Falls n nicht von p geteilt wird, ist 1¯ keine Nullstelle von x n−1 + ... + x + 1¯ , die beiden Faktoren in der Zerlegung von
x n − u¯ p−1 sind also teilerfremd in Fp [x]. Nach dem Henselschen Lemma besitzt das Polynom x n − u p−1 ∈ Zp [x] dann
eine Nullstelle in Qp , und u p−1 hat in Qp eine n-te Wurzel.
×
×
Aus dieser Charakterisierung der Einheiten folgt nun σ(Z×
p ) ⊆ Zp . Ist nämlich u ∈ Zp vorgegeben, dann existiert für
unendlich viele n ∈ N ein a ∈ Qp mit a n = u p−1 . Es folgt σ(a)n = σ(u)p−1 für unendlich viele natürliche Zahlen, und
damit ist σ(u) eine Einheit.
Wir untersuchen nun, welche Konsequenzen sich für die algebraischen Erweiterungen eines vollständigen, diskret
bewerteten Körpers (K , v) aus dem Henselschen Lemma ergeben. Ist f = a n x n + ... + a 1 x + a 0 ein beliebiges Polynom
in K [x], dann definieren wir
v( f )
=
min v(a k ) 0 ≤ k ≤ n .
Das Polynom f ist genau dann das Nullpolynom, wenn v( f ) = +∞ gilt. Die Bedingung f ∈ O v [x] ist äquivalent zu
v( f ) ≥ 0, und f ist in O v [x] genau dann primitiv, wenn v( f ) = 0 gilt.
Proposition 5.8
Sei (K , v) ein vollständiger (oder auch nur henselscher) Körper und f = a n x n +
...+a 1 x+a 0 ein irreduzibles Polynom in K [x]. Dann gilt v( f ) = min{v(a 0 ), v(a n )}. Ist insbesondere
f normiert und a 0 ∈ O v , dann folgt f ∈ O v [x].
Beweis:
Nach Multiplikation von f mit einer Konstanten c = 0 können wir voraussetzen, dass f ∈ O v [x] gilt und
mindestens einer der Koeffizienten eine Einheit ist. Es gilt dann v( f ) = 1. Ist nun min{v(a 0 ), v(a n )} > 1, dann gibt es
ein r ∈ {1, ..., n} mit der Eigenschaft a k ≡ 0 mod pv für 0 ≤ k < r und a r ≡ 0 mod pv . Das Bild von f in κv [x] hat damit
die Form
f¯
=
a¯n x n + ... + a¯r x r
=
x r (a¯n x n−r + ... + a¯r )
—– 65 —–
§ 5.
Das Henselsche Lemma
mit a¯r = 0¯ . Die Faktoren x r und g¯ = a¯n x n−r + ... + a¯r sind teilerfremd, da 0¯ keine Nullstelle von g¯ ist. Auf Grund des
Henselschen Lemmas existiert damit eine Zerlegung von f in zwei nicht-konstante Faktoren, im Widerspruch zur
Irreduzibilität von f .
Sei (K , | · |) ein Körper mit einer Betragsbewertung. Eine Norm auf einem K -Vektorraum V ist eine Abbildung · :
V → R+ mit der Eigenschaft, dass die Bedingungen v = 0 ⇔ v = 0, λv = |λ| v und v + w ≤ v + w für alle
v, w ∈ V und λ ∈ K erfüllt sind. Ist ·
Konstanten γ, δ ∈ R+ mit v
eine weitere Norm, so bezeichnen wir · und ·
≤ γ v und v ≤ δ v
als äquivalent auf V , wenn
für alle v ∈ V existieren.
Wie in der Analysis überprüft man, dass V durch die Wahl einer Norm · eine Topologie erhält. Auf Grund der Ungleichung | v − w | ≤ v − w für alle v, w ∈ V ist die Normfunktion v → v bezüglich dieser Topologie stetig. Der
Begriff der Konvergenz und die Cauchyfolgen werden genau wie im Fall der R-Vektorräume definiert. Man bezeichnet
V als vollständig, wenn jede Cauchyfolge in V konvergiert.
Der folgende Satz ist für die reellen Zahlen bereits aus der Analysis bekannt. Wir beweisen ihn nun für beliebige vollständige bewertete Körper.
Sei (K , | · |) ein vollständiger betragsbewerteter Körper und V ein endlich-
Proposition 5.9
dimensionaler K -Vektorraum.
auf V sind äquivalent.
(i) Je zwei Normen · und ·
(ii) Der K -Vektorraum V ist bezüglich jeder Norm auf V vollständig.
Beweis:
zu (i) Sei d = dimV und (v 1 , ..., v d ) eine geordnete Basis von V . Wie man unmittelbar überprüft, ist durch
d
ak v k
k=1
max{|λk | | 1 ≤ k ≤ d }
=
∞
eine Norm auf V definiert. Ist nun · eine beliebige vorgegebene Norm, so genügt es zu zeigen, dass · und ·
äquivalent sind. Jeder Vektor v ∈ V kann in der Form v =
d
λ v
k=1 k k
∞
mit λ1 , ..., λn ∈ K dargestellt werden, und wir
erhalten
|λk | v k
≤
d
k=1
v
Konstante δ ∈ R mit v
+
k
v
≤
k=1
Also ist durch γ =
d
d
d
v
∞
vk
k=1
eine Konstante mit v ≤ γ v
vk
≤
v
∞.
k=1
∞
für alle v ∈ V gegeben. Um zu zeigen, dass auch eine
∞ ≤ δ v existiert, betrachten wir die Menge
S
Ist δ1 = inf S positiv, dann gilt v ≥ δ1 v
∞
⇔ v
v
=
∞
v
∞
=1 .
−1
≤ δ−1
1 v für alle v ∈ V , wir können also δ = δ1 setzen. Nehmen
wir nun an, dass inf S = 0 ist. Dann gibt es ein Folge (w n )n∈N in S mit limn w n = 0. Stellen wir jeden Vektor w n als
d
λ(n) v k der Basis dar, dann folgt aus w n ∞ = 1 jeweils |λ(n)
| ≤ 1 für 1 ≤ k ≤ d , für alle
k=1 k
k
(n)
n ∈ N. Insbesondere ist (λ1 )n∈N eine Folge in der kompakten Teilmenge {a ∈ K | |a| ≤ 1} von K . Weil jeder kompakte
metrische Raum insbesondere folgenkompakt ist, besitzt (λ(n)
1 )n∈N eine konvergente Teilfolge.
Linearkombination w n =
Wenden wir dasselbe Argument für 2 ≤ k ≤ d an, dann können wir (w n )n∈N sukzessiv zu einer Folge ausdünnen
mit der Eigenschaft, dass sämtliche Komponentenfolgen (λ(n)
)
in K konvergieren. Dies ist gleichbedeutend mit
k n∈N
—– 66 —–
§ 5.
Das Henselsche Lemma
der Konvergenz von (w n )n∈N bezüglich
Normfunktion ·
∞
gilt w
∞
·
∞.
Sei w ∈ V der Grenzwert dieser Folge. Auf Grund der Stetigkeit der
= 1. Für alle n ∈ N gilt andererseits die Abschätzung
w
≤
wn + w − wn
wn + γ w − wn
≤
∞
,
und für n → ∞ erhalten wir mit limn w n = 0 die Gleichung w = 0. Auf Grund der Normeigenschaften folgt w = 0,
was aber mit w
∞
= 1 unvereinbar ist. Der Widerspruch zeigt, dass die Annahme inf S = 0 falsch war.
zu (ii) Wegen (i) genügt es zu zeigen, dass V bezüglich der Norm ·
∞
vollständig ist, denn für äquivalente Normen
stimmen die konvergenten Folgen und die Cauchyfolgen jeweils überein. Sei also (w n )n∈N eine Cauchyfolge in V , und
sei wiederum w n =
·
d
λ(n) v k
k=1 k
die Darstellung von w n als Linearkombination der Basis. Nach Definition der Norm
(n)
∞ ist (λk )n∈N für 1 ≤ k ≤ d jeweils eine Cauchyfolge. Setzen wir
λk
=
für 1 ≤ k ≤ d
lim λ(n)
k
n→∞
dann ist w der Grenzwert von (w n )n∈N bezüglich ·
d
und
w
=
λk w k
,
k=1
∞ , wie man unmittelbar nachrechnet.
Wir erinnern an die folgende Definition aus der Algebraischen Zahlentheorie: Sei L|K eine Körpererweiterung vom
endlichen Grad n und a ∈ L. Dann ist durch µa : L → L, c → ac ein Endomorphismus von L als K -Vektorraum definiert.
Den konstanten Term des charakteristischen Polynoms von µa bezeichnet man als die Norm NL|K (a) des Elements a.
Offenbar gilt NL|K (b) = b n für alle b ∈ K . Außerdem ist die Norm multiplikativ, d.h. für alle a, b ∈ L gilt NL|K (ab) =
NL|K (a)NL|K (b). Ist L|K separabel, L alg ein algebraischer Abschluss von K und sind σ1 , ..., σn die verschiedenen K Einbettungen von L in L alg , dann gilt
n
NL|K (a)
=
σk (a)
für alle a ∈ L.
k=1
Die Elemente σk (a) werden die Konjugierten von a in L alg genannt. Im Fall einer nicht-separablen Erweiterung L|K
kann eine ähnliche Formel für die Norm aufgestellt werden, indem man die Nullstellen des charakteristischen Polynoms von a aufmultipliziert und dabei Vielfachheiten berücksichtigt.
Satz 5.10 Sei (K , v) henselsch und L ein algebraischer Erweiterungskörper von K . Dann existiert
eine eindeutig bestimmte Bewertungsfortsetzung w von v. Ist der Erweiterungsgrad n = [L : K ]
endlich, dann ist die Fortsetzung gegeben durch
w(a)
=
1
v NL|K (a)
n
für alle a ∈ L.
Ist L|K endlich und K außerdem vollständig, dann ist L bezüglich w ein vollständiger Körper.
Beweis:
Zunächst führen wir die Aussage auf den Fall einer endlichen algebraischen Erweiterung zurück. Sei also
L|K eine unendliche algebraische Erweiterung, und setzen wir die Aussage für endliche Erweiterungen voraus. Für
jede endliche Teilerweiterung L i von L|K sei w i die eindeutig bestimmte Fortsetzung von v auf L i . Ist nun a ∈ L
beliebig vorgegeben, dann wählen wir eine beliebige endliche Teilerweiterung L i mit a ∈ L i und setzen w(a) = w i (a).
Diese Definition ist unabhängig von der Wahl des Körper L i . Liegt nämlich a auch in L j und setzen wir L k = L i ∩
L j , dann stimmen w i und w k auf L k auf Grund der Eindeutigkeit der Bewertungsfortsetzung überein, ebenso die
Bewertungen w j und w k . Es folgt dann w i (a) = w k (a) = w j (a). Man überprüft nun ohne Schwierigkeiten, dass w
—– 67 —–
§ 5.
Das Henselsche Lemma
eine Bewertungsfortsetzung von v auf L ist. Auch die Eindeutigkeit ist offensichtlich: Ist w eine beliebige Fortsetzung
von v auf L und a ∈ L, dann gibt es eine endliche Teilerweiterung L i mit a ∈ L i , und es gilt w (a) = w i (a) = w(a).
Somit können wir von nun an voraussetzen, dass L|K eine endliche Körpererweiterung ist. Zunächst zeigen wir, dass
durch w(0) = ∞ und w(a) = n1 v(NL|K (a)) für a ∈ L × eine Bewertungsfortsetzung von v auf L gegeben ist, wobei n den
Erweiterungsgrad von L|K bezeichnet. Sei O v ⊆ K der Bewertungsring von v und O der ganze Abschluss von O v in L.
Wir beweisen die Gleichung
O
=
{a ∈ L NL|K (a) ∈ O v }.
Ist a ∈ O , dann ist a ganz über O v und das Minimalpolynom f ∈ K [x] von a über K in O v [x] enthalten. Weil das
charakteristische Polynom stets eine Potenz des Minimalpolynoms ist, folgt daraus NL|K (a) ∈ O v . Sei umgekehrt a ∈ L ×
mit NL|K (a) ∈ O v vorgegeben. Sei wieder f ∈ K [x] das Minimalpolynom von a über K und a 0 der konstante Term von
f . Dann ist NL|K (a) bis auf Vorzeichen eine Potenz von a 0 , folglich ist a 0 in O v enthalten. Nach Proposition 5.8 folgt
daraus f ∈ O v [x] und damit die Ganzheit von a über O v , also a ∈ O .
Nach dieser Vorbereitung überprüfen wir nun für die Abbildung w die Bewertungseigenschaften. Die Äquivalenz
w(a) = ∞ ⇔ a = 0 gilt nach Definition. Für a, b ∈ L × gilt außerdem
w(ab)
=
v(NL|K (ab))
v(NL|K (a)NL|K (b))
=
=
v(NL|K (a)) + v(NL|K (b))
=
w(a) + w(b).
Der Beweis der Ungleichung w(a + b) ≥ min{w(a), w(b)} kann mit Division durch a oder b auf den Nachweis der
Ungleichung w(a + 1) ≥ min{w(a), 0} und damit auf die Implikation w(a) ≥ 0 ⇒ w(a + 1) ≥ 0 reduziert werden. Diese
ist gleichbedeutend mit
NL|K (a) ∈ O v
⇒
NL|K (a + 1) ∈ O v
,
und auf Grund der oben bewiesenen Gleichung ist dies wiederum äquivalent zu a ∈ O ⇒ a + 1 ∈ O . Dies aber ist
offensichtlich, weil es sich bei O um einen Teilring von L handelt. Wir bemerken noch, dass O mit dem Bewertungsring
O w übereinstimmt.
Kommen wir nun zum Beweis der Eindeutigkeit und nehmen wir an, dass w eine weitere Fortsetzung von v auf L
ist. Die Gleichheit der Bewertung w und w ist gleichbedeutend mit ihrer Äquivalenz. Wegen Satz 1.8 genügt es, die
Inklusion O w ⊆ O w nachzuweisen. Nehmen wir an, dass ein Element a ∈ O w \ O w existiert. Dann ist das Minimalpolynom f = x d +
w(a
−1
d −1
a xk
k=0 k
von a über K in O v enthalten. Andererseits gilt w (a) < 0, damit w(a −1 ) > 0 und somit
) ∈ pw . Dividieren wir die Gleichung a d = −
1
=
d −1
a ak
k=0 k
durch a d , so erhalten wir
−a d −1 a −1 + ... + a 1 a 1−d + a 0 a −d
∈ pv
im Widerspruch dazu, dass pw ein maximales Ideal ist. Also muss O w ⊆ O w gelten.
Die Vollständigkeit von L bezüglich w ist eine direkte Konsequenz aus Proposition 5.9 (ii). Bezeichnen wir nämlich
mit | · |v und | · |w den Bewertungen v und w zugeordnete Betragsbewertungen, so dass | · |w eine Fortsetzung von | · |v
ist, dann wird L durch | · |w zu einem endlich-dimensionalen, normierten K -Vektorraum.
Der Beweis von Satz 5.10 hat auch das folgende Resultat ergeben: Ist (K , v) ein henselscher Körper, L|K eine algebraische Erweiterung und w die eindeutige Fortsetzung von w auf L, dann stimmt der Bewertungsring O w mit dem
ganzen Abschluss von O v in L überein.
—– 68 —–
§ 5.
Das Henselsche Lemma
Wir werden nun zeigen, dass die Eindeutigkeit der Bewertungsfortsetzung umgekehrt das Henselsche Lemma impliziert und dafür die Polynome über bewerteten Körpern mit geometrischen Methoden untersuchen. Dazu benötigen wir einige Grundlagen aus der Elementargeometrie. Die Verbindungsstrecke durch zwei Punkte x, y ∈ R2 mit
x = (x 1 , x 2 ) und y = (y 1 , y 2 ) ist nach Definition die Punktmenge
[x, y]
(1 − t )(x 1 , x 2 ) + t (y 1 , y 2 ) 0 ≤ t ≤ 1 .
=
Eine Teilmenge T ⊆ R2 wird konvex genannt, wenn für alle Punkte x, y ∈ T jeweils [x, y] ⊆ T gilt. Die konvexe Hülle
conv(S) einer beliebigen Teilmenge S ⊆ R2 ist die kleinste konvexe Teilmenge T ⊆ R2 mit T ⊇ S. Die konvexe Hülle
einer endlichen Teilmenge S ⊆ R2 nennt man ein konvexes Polygon.
Eine Funktion f : [a, b] → R auf einem abgeschlossenen Intervall nennt man affin-linear, wenn es s, c ∈ R gibt, so dass
f (t ) = st +c für alle t ∈ [a, b] gilt. Dabei bezeichnet man s als die Steigung der affin-linearen Funktion. Wir bezeichnen
eine Funktion f : [a, b] → R als stückweise affin-linear, wenn es Punkt a = x 0 < ... < x n = b gibt, so dass f |[xk−1 ,xk ]
jeweils für 1 ≤ k ≤ n jeweils affin-linear ist.
Im folgenden betrachten wir für endliche Teilmengen konvexe Hüllen von endlichen Punktmengen der speziellen
Form S = { (k, v k ) | k ∈ N0 , k ≤ n }, wobei n ∈ N und v k ∈ R für 0 ≤ k ≤ n gilt. Man kann leicht zeigen, dass in diesem
Fall eindeutig bestimmte, stückweise affin-lineare Funktionen u, o : [0, n] → R existieren mit der Eigenschaft, dass die
konvexe Hülle von S in der Form
conv(S)
(x, y) ∈ R2 0 ≤ x ≤ n , u(x) ≤ y ≤ o(x)
=
dargestellt werden kann. Dabei hat die untere konvexe Hülle immer die folgende spezielle Form: Es gibt eindeutig
bestimmte Zahlen 0 = i 0 < i 1 < ... < i r = n, so dass u|[i
Steigungen s 1 < ... < s r , außerdem u(i
−1 ) = v i
−1
−1 ,i
]
jeweils affin-linear mit Steigung s ist, wobei für die
, u(i ) = v i und u(k) ≥ v k für jedes k mit i
−1
< k < i gilt.
Für 0 ≤ k ≤ n sei jeweils p k = (k, u(k)). Dann nennen wir für 1 ≤ ≤ r die Verbindungsstrecken [p i
von u. Die Differenz i − i
−1
−1
, p i ] die Strecken
bezeichnen wir jeweils als die Länge und die Zahl s als die Steigung der Strecke.
Definition 5.11 Sei (K , v) ein bewerteter Körper und f = a n x n +...+a 1 x +a 0 ∈ K [x] ein Polynom
vom Grad ≥ 1 mit a 0 a n = 0. Für 0 ≤ k ≤ n setzen wir v k = v(a k ) falls a k = 0 und v k = max{v(a ) |
0 ≤ ≤ n} falls a k = 0 ist. Dann wird die untere konvexe Hülle der Punktmenge
S( f )
=
(k, v k ) 0 ≤ k ≤ n
das Newton-Polygon von f genannt.
Betrachten wir beispielsweise das Polynom f = x 4 − 9x 3 + 28x 2 − 36x + 16 ∈ Q2 [x] bezüglich der Bewertung v 2 des
Körpers Q2 der 2-adischen Zahlen. Es gilt v 2 (a 0 ) = v 2 (16) = 4, v 2 (a 1 ) = v 2 (−36) = 2, v 2 (a 2 ) = v 2 (28) = 2, v 2 (a 3 ) =
v(−9) = 0 und v 2 (a 4 ) = v 2 (1) = 0. Die Punktmenge S( f ) ist in diesem Fall also gegeben durch
S( f )
=
{(0, 4), (1, 2), (2, 2), (3, 0), (4, 0)}.
Zeichnet man das Newton-Polygon, also die untere konvexe Einhüllende dieser Punktmenge auf, so erkennt man,
dass das Polynom eine Strecke der Steigung −1 mit Länge 2 und jeweils eine Strecke der Länge 1 mit den Steigungen
−2 und 0 besitzt.
Im allgemeinen lassen sich die Nullstellen eines Polynoms mit dem Newton-Polygon nun folgendermaßen geometrisch interpretieren.
—– 69 —–
§ 5.
Das Henselsche Lemma
Proposition 5.12
Sei (K , v) ein bewerteter Körper und f ∈ K [x] ein Polynom wie oben mit
a 0 a n = 0. Sei L ⊇ K ein Zerfällungskörper von f und w eine Fortsetzung der Bewertung v auf den
Körper L, außerdem s ∈ N und m ∈ R. Besitzt das Polynom f im Körper L genau c Nullstellen
α1 , ..., αc mit w(αk ) = m für 1 ≤ k ≤ c, dann gibt es im Newton-Polygon von f eine Strecke der
Länge c mit Steigung −m.
Beweis:
Multipliziert man das Polynom f mit einer Konstanten ungleich Null, dann ändert sich nichts an den Null-
stellen von f , und das Newton-Polygon wird nur nach oben oder unten verschoben. Wir können deshalb voraussetzen, dass f normiert ist, also a 0 = 1 gilt. Seien nun m 1 < ... < m r die verschiedenen Bewertungen, die für die Nullstellen von f auftreten, und für 1 ≤
≤ r sei c jeweils die Anzahl der Nullstellen mit Bewertung m , mit Vielfachheiten
gerechnet. Dann ist
d
ci
=
i =1
jeweils die Anzahl der Nullstellen mit Bewertung ≤ m . Setzen wir außerdem d 0 = 0, dann ergeben sich folgenden
Abschätzungen für die Bewertungen v(a k ) der Koeffizienten a k des Polynoms: Zunächst ist v(a n ) = v(1) = 0. Sei nun
n
f
=
(x − α j )
j =1
die Zerlegung des Polynoms f über L in Linearfaktoren. Für 1 ≤ k ≤ n ist a n−k jeweils die k-te elementarsymmetrische
Funktion in den Nullstellen, also die Summe sämtlicher Terme der Form αi 1 ·...·αi k , wobei {i 1 , ..., i k } die k-elementigen
Teilmengen von {1, ..., n} durchläuft. Gilt nun d
−1
< k < d für ein ∈ {0, ..., r }, dann ist die kleinstmögliche Bewertung
eines Summanden gegeben durch
−1
c i m i + (k − d
−1 )m
.
i =1
Insbesondere ist für k < c 1 = d 1 die kleinstmögliche Bewertung eines Summandens jeweils km 1 , denn dann gibt es
mehr als k Nullstellen mit der minimalen Bewertung m 1 . Ist nun andererseits k = d für ein , dann gibt es genau
einen Summanden mit Bewertung
i =1 c i m i , die Bewertung aller übrigen Summanden ist echt größer. Wir erhalten
−1
v(a n−k ) ≥
c i m i + (k − d
−1 )m
für d
−1
<k <d
und
c i m i für k = d .
v(a n−k ) =
i =1
i =1
Definieren wir nun die Funktion u : [0, n] → R für d
−1
≤ t ≤ d jeweils durch
−1
u(n − t )
c i m i + (t − d
=
−1 )m
,
i =1
dann gilt v(a n−k ) ≥ u(n − k) für d
−1
< k < d und v(a n−k ) = u(n − k) im Fall k = d für ein ∈ {1, ..., r }. Dies zeigt, dass
u die charakteristischen Eigenschaften des Newton-Polygons von f besitzt. Die Einschränkung von u auf das Intervall
[n −d , n −d
−1 ] ist jeweils affin-linear, und die Steigung von u
besitzt also jeweils eine Strecke der Länge c = d − d
in diesem Bereich ist gleich −m . Das Newton-Polygon
−1 mit Steigung −m .
—– 70 —–
§ 5.
Das Henselsche Lemma
Die Aussage von Proposition 5.12 lässt sich folgendermaßen zusammenfassen: Ist f =
n
a xk
k=0 k
= an
n
i =1 (x − αi ) ∈
K [x] mit a 0 a n = 0 und sind −m r < ... < −m 1 die Steigungen des Newton-Polygons, dann besitzt das Polynom f über L
eine Faktorisierung der Form
n
f
=
fj
an
,
fj
=
(x − αi ).
(1)
w(αi )
j =1
Dabei stimmt der Grad von f j jeweils mit der Streckenlänge des Newton-Polygons mit Steigung −m j überein. Das
Polynom f ∈ Q2 [x] von oben besitzt die Zerlegung (x − 1)(x − 2)2 (x − 4) in Linearfaktoren. Es gibt also eine doppelte
Nullstelle mit Bewertung v 2 (2) = 1 und jeweils eine Nullstelle mit den Bewertungen v 2 (1) = 0 bzw. v 2 (4) = 2. Wie aus
der Proposition hervorgeht, konnten wir dies zuvor bereits am Steigungsverhalten des Newton-Polygons ablesen.
Satz 5.13
Besitzt die Bewertung v auf den Zerfällungskörper L nur eine Fortsetzung, dann
existiert die Zerlegung (2) bereits über dem Grundkörper K . Es gilt also f j ∈ K [x] für 1 ≤ j ≤ r .
Beweis:
Zunächst beweisen wir die Aussage für den Fall, dass f über K irreduzibel ist. Sei α ∈ L eine Nullstelle
von f 1 und β ∈ L eine beliebige Nullstelle von f . Weil f irreduzibel ist, gibt es auf Grund des Fortsetzungssatzes aus
der Algebra einen K -Automorphismus σ : L → L mit σ(α) = β. Weil w die einzige Fortsetzung von v auf L ist, gilt
w ◦ σ = w. Es folgt w(β) = (w ◦ σ)(α) = w(α) = m 1 . Somit ist auch β eine Nullstelle von f 1 . Weil β als Nullstelle von f
beliebig vorgegben war, folgt daraus f = f 1 . Damit ist die Aussage des Satzes für den Fall eines irreduziblen Polynoms
f bewiesen.
Im allgemeinen Fall beweisen wir die Aussage durch vollständige Induktion über den Grad von f . Der Fall grad( f ) = 1
ist trivial. Sei nun grad( f ) > 1, α eine Nullstelle von f 1 und p ∈ K [x] das Minimalpolynom von α über K . Dann gibt es
ein Polynom g ∈ K [x] mit f = pg . Wegen grad(g ) < grad( f ) können wir die Induktionsvoraussetzung auf g anwenden
und erhalten eine Zerlegung g =
m
j =1 g j
mit g j ∈ K [x], wobei jede Nullstelle β von g j jeweils die Bewertung w(β) = m j
besitzt. Wie im letzten Absatz gezeigt wurde, haben alle Nullstellen von p dieselbe Bewertung, also die Bewertung
w(α) = m 1 . Für j > 1 sind die Linearfaktoren x − αi mit w(αi ) = m j also keine Teiler von p, sondern von g . Daraus
folgt f j = g j ∈ K [x] für j > 1. Dies wiederum bedeutet, dass auch das Polynom f 1 in K [x] liegt.
Folgerung 5.14
Ist f ∈ K [x] irreduzibel und gibt es nur eine Fortsetzung von v auf den Zer-
fällungskörper L, dann besteht das Newton-Polygon von f nur aus einer Strecke, und es gilt
v( f ) = min{v(a 0 ), v(a n )}.
Beweis:
Würde das Newton-Polygon von f aus mehr als einer Strecke bestehen (und gäbe es dementsprechend
Nullstellen von f mit unterschiedlichen Bewertungen), dann wäre f nach Satz 5.13 reduzibel. Weil die Werte v(a k )
für 0 ≤ k ≤ n alle auf oder oberhalb des Newton-Polygons liegen, tritt die minimale Bewertung an einem der beiden
Endpunkte der Strecke auf.
Proposition 5.15 Sei (K , v) ein bewerteter Körper mit der Eigenschaft, dass die Bewertung v auf
jede algebraische Erweiterung von K eine eindeutig bestimmte Fortsetzung besitzt. Sei f ∈ O v [x]
ein irreduzibles und primitives Polynom und f¯ ∈ κv [x] das Bild von f über dem Restklassenkörper. Dann ist f¯ entweder konstant, oder es gibt eine Zerlegung der Form f¯ = a¯ g¯ m , wobei a¯ ∈ κ×
v
und g¯ ∈ κv [x] normiert und irreduzibel ist.
—– 71 —–
§ 5.
Das Henselsche Lemma
Beweis:
Weil f irreduzibel ist, besteht das Newton-Polygon von f nur aus einer Strecke. Wir können voraussetzen,
dass der höchste Koeffizient a n von f eine Einheit ist, denn ansonsten liegt die Strecke nicht auf der x-Achse, und
folglich ist f¯ konstant.
Sei nun L ein Zerfällungskörper von f , w die eindeutig bestimmte Fortsetzung von v auf L und O w der zugehörige Bewertungsring. Sei pw sein maximales Ideal und λ = O w /pw der Restklassenkörper. Auf Grund der Eindeutigkeit
der Bewertungsfortsetzung gilt für jedes σ ∈ AutK (L) jeweils w ◦ σ = w und somit σO w ⊆ O w und σpw ⊆ pw . Somit
¯ in Autκ (λ). Wir werden nun zeigen, dass je zwei Nullstellen α,
¯ β¯ von f¯ durch
induziert σ einen Automorphismus σ
v
einen solchen Automorphismus ineinander überführt werden. Daraus folgt dann die gewünschte Aussage. Ist näm¯ α)
¯ unter dem κv -Automorphismus
lich g¯ ∈ κv [x] das Minimalpolynom von α¯ über κv , dann ist auch das Bild β¯ = σ(
eine Nullstelle von g¯ . Dies zeigt, dass in der Zerlegung von f¯ keine verschiedenen normierten irreduziblen Faktoren
auftreten können.
Um die Existenz dieser κv -Automorphismen zu beweisen, sei nun α ∈ L eine Nullstelle von f . Wir zeigen, dass α ∈
O w gilt. Nehmen wir an, dies wäre nicht der Fall, also w(α) < 0. Ist αi ∈ L eine beliebige weitere Nullstelle von f ,
dann existiert auf Grund der Irreduzibilität von f ein σ ∈ AutK (L) mit σ(α) = αi , und auf Grund der Eindeutigkeit
der Bewertungsfortsetzung würden wir w(αi ) = (w ◦ σ)(α) = w(α) < 0 erhalten. Damit wäre also w(αi ) < 0 für alle
Nullstellen αi von f in L. Weil der konstante Term a 0 von f das Produkt aller Nullstellen ist, würden sich daraus
v(a 0 ) < 0 ergeben, im Widerspruch zu f ∈ O v [x].
¯ β¯ ∈ λ beliebige Nullstellen von f¯. Dann
Somit liegen also alle Nullstellen von f in O w . Seien nun die Nullstellen α,
¯ β¯ sind. Wegen der Irreduzibilität von f gibt es ein
gibt es Nullstellen α, β ∈ O w von f , die zugleich Urbilder von α,
¯
¯ ∈ Autκv (λ) von σ gilt σ(
¯ α)
¯ = β.
σ ∈ AutK (L) mit σ(α) = β, und für das Bild σ
Proposition 5.16
Sei (K , v) ein bewerteter Körper mit der in Proposition 5.15 beschriebenen
Eigenschaft. Dann gilt für (K , v) das henselsche Lemma.
Beweis:
Sei f ∈ O v [x] ein primitives Polynom und f¯ = g¯ h¯ eine Zerlegung des Bildes f¯ ∈ κv [x] in teilerfremde Fakto-
ren. Sei f =
m
i =1 f i
eine Zerlegung von f in irreduzible Polynome f i ∈ K [x]. Nach Multiplikation der f i mit geeigneten
Konstanten können wir davon ausgehen, dass jedes f i in O v [x] liegt und primitiv ist. Betrachten wir nun diese Zerlegung modulo pv , so erhalten wir die Gleichung
f¯
m
=
f¯i
,
i =1
wobei f¯i ∈ κv [x] jeweils das Bild von f i bezeichnet. Nach Proposition 5.15 ist jedes f¯i entweder konstant oder Potenz von eines irreduziblen Polynoms aus κv [x]. Weil g¯ und h¯ teilerfremd sind, folgt daraus, dass jedes f¯i im nicht¯ b¯ ∈ κ× mit a¯ b¯ = 1 und eine disjunkte Zerlekonstanten Fall entweder Teiler von g¯ oder Teiler von h¯ ist. Es gibt also a,
gung {1, ..., m} = I ∪ J mit
g¯
=
f¯i
a¯
und
h¯
i ∈I
=
b¯
f¯i .
i ∈J
Dabei kann die Menge I so gewählt werden, dass grad( f¯i ) = grad( f i ) für alle i ∈ I gilt. Wählen wir nun Urbilder a, b ∈
O v× mit ab = 1 und setzen wir f = a i ∈I f i und g = b i ∈J f i , dann gilt f = g h, und die Bilder von g , h in κv [x] stimmen
mit g¯ und h¯ überein. Außerdem ist grad(g¯ ) = grad(g ) erfüllt.
—– 72 —–
§ 5.
Das Henselsche Lemma
Aus Satz 5.10 und Proposition 5.16 folgt nun unmittelbar
Satz 5.17
Ein bewerteter Körper (K , v) ist genau dann henselsch, wenn die Bewertung v auf
jede algebraische Erweiterung von w eine eindeutige Fortsetzung besitzt.
Als nächstes sehen wir uns an, welche Auswirkung die Eindeutigkeit der Bewertungsfortsetzung auf die algebraischen
Erweiterungen eines henselschen Körpers hat. Im folgenden sei (K , v) ein henselscher Körper. Die eindeutige Fortsetzung von v auf den separablen Abschluss K sep von K bezeichnen wir ebenfalls mit v. Außerdem sei |·|v eine beliebige
der Bewertung v zugeordnete Betragsbewertung auf K sep .
(Krasnersches Lemma)
Satz 5.18
Seien α, β ∈ K sep und α1 , ..., αr ∈ K sep die zu α konjugierten Elemente, wobei α1 = α sei. Gilt nun
v(β − α) > v(αi − α)
für 2 ≤ i ≤ r
,
liegt also β näher bei α als alle von α verschiedenen Konjugierten, dann folgt K (β) ⊇ K (α).
Beweis:
Nach dem Hauptsatz der unendlichen Galoistheorie (§4) genügt es zu zeigen, dass unter der angegebenen
Voraussetzung Gal(K sep |K (β)) ⊆ Gal(K sep |K (α)) gilt. Sei also σ ∈ Gal(K sep |K (β)) vorgegeben, dann ist σ(α) = α zu
zeigen. Auf Grund der Eindeutigkeit der Bewertungsfortsetzung gilt v ◦ σ = v. Aus dieser Gleichung und σ(β) = β folgt
v(σ(α) − β)
=
v(σ(α) − σ(β))
=
(v ◦ σ)(α − β)
=
v(α − β)
und weiter v(σ(α)−α) = v(σ(α)−β+β−α) ≥ min{v(σ(α)−β), v(α−β)} = v(α−β). Das Element σ(α) ist zu α konjugiert,
und für alle von α verschiedenen Konjugierten αi gilt v(αi − α) < v(β − α) = v(α − β). Daraus folgt σ(α) = α.
Lemma 5.19
Ist f ∈ K [x] ein normiertes Polynom vom Grad n und α ∈ K eine Nullstelle von f ,
dann gilt v(α) ≥ n1 v( f ).
Beweis: Sei f = x n +
n−1
a xk
k=0 k
∈ K [x] mit v( f ) ≥ γ und α ∈ K eine Nullstelle von f . Wir können o.B.d.A. voraussetzen,
dass α = 0 ist. Aus f (α) = 0 folgt dann αn = −
n−1
a αk ,
k=0 k
also v(αn ) ≥ min{v(a k αk ) | 0 ≤ k < n} und damit v(αn ) ≥
v(a k αk ) für ein k ∈ {0, ..., n − 1}. Wir erhalten
nv(α) ≥ v(a k ) + kv(α)
⇒
(n − k)v(α) ≥ v(a k )
⇒
v(α) ≥
1
1
n−k v(a k ) ≥ n v( f
).
Das soeben bewiesene Lemma ist für beliebige bewertete Körper (K , v) gültig, die Eigenschaft „henselsch“ braucht
nicht vorausgesetzt werden.
Satz 5.20
Sei (K , v) ein henselscher Körper, f ∈ K [x] ein normiertes, irreduzibles separables
Polynom vom Grad n, und seien α1 , ..., αn ∈ K sep die Nullstellen von f . Wir setzen
δ
=
max{v(αi − α j ) | 1 ≤ i < j ≤ n}.
Dann gibt es eine Konstante γ mit der folgenden Eigenschaft: Ist g ∈ K [x] vom Grad n und gilt
v(g − f ) > γ, dann ist auch g irreduzibel und separabel, und für jede Nullstelle β von g gibt es ein
i mit v(β − αi ) > δ und K (αi ) = K (β).
—– 73 —–
§ 5.
Das Henselsche Lemma
Beweis:
n−1
a xk
k=0 k
Sei f = x n +
und primitiv ist. Sei d ( f ) ∈ K die Diskriminante von f . Weil f separabel ist, gilt
d ( f ) = 0. Ist g ein Polynom gleichen Grades mit v(g − f ) hinreichen groß, dann wird v(d (g ) − d ( f )) beliebig groß,
denn die Diskriminante ist ein Polynomausdruck in den Koeffizienten. Für hinreichend großes v(g − f ) folgt d (g ) = 0,
dann ist auch das Polynom g separabel.
Sei nun γ ∈ R eine Konstante mit der Eigenschaft, dass alle Polynome g vom Grad n mit v(g − f ) > γ separabel sind. Die
Koeffizienten der Polynome g mit der Eigenschaft v(g − f ) > γ sind bezüglich | · |v beschränkt. Nach Lemma 5.19 gilt
für jede Nullstelle β ∈ K sep eines solchen Polynoms g die Abschätzung v(β) ≥ n1 v(g ). Mit dem Polynom g ist also auch
jede Nullstelle β bezüglich | · |v beschränkt. Wählen wir g hinreichend nah an f , dann werden die Koeffizienten von
g − f beliebig klein. Für vorgegebenes ε ∈ R+ können wir deshalb die Konstante γ so vergrößern, dass |(g − f )(β)|v =
|g (β) − f (β)|v = | f (β)|v < ε für jedes g ∈ K [x] mit v(g − f ) > γ und jede Nullstelle β von g gilt. Wegen
n
f (β)
=
(β − αi )
i =1
bedeutet dies, dass jeweils für eine der Konjugierten |β−αi |v < ε gilt. Wählen wir ε hinreichend klein, dann können wir
erreichen, dass v(β − αi ) > δ erfüllt ist. Nach dem Krasnerschen Lemma folgt daraus K (αi ) ⊆ K (β). Wegen grad(g ) =
grad( f ) muss dann mit f auch g irreduzibel sein. Es folgt [K (αi ) : K ] = n = [K (β) : K ] und somit K (αi ) = K (β).
Folgerung 5.21
Sei f ∈ K [x] ein separables, normiertes irreduzibles Polynom. Ist g ∈ K [x] ein
Polynom gleichen Grades und v(g − f ) hinreichend groß, dann erzeugen die Nullstellen von f
und g in K sep dieselben algebraischen Erweiterungen. Es gilt also
{ K (α) | α ∈ K sep Nullstelle von f }
=
{ K (β) | β ∈ K sep Nullstelle von g }.
(2)
Insbesondere stimmen die Zerfällungskörper von f und g in K sep überein.
Beweis:
Seien α1 , ..., αn ∈ K sep die Nullstellen von f . Liegt g ∈ K [x] hinreichend nah bei f , dann ist g nach Satz 5.20
ebenfalls irreduzibel und separabel. Seien β1 , ..., βn ∈ K sep die Nullstellen von g . Außerdem gibt es für jedes j ∈ {1, ..., n}
ein µ( j ) ∈ {1, ..., n} mit K (αµ( j ) ) = K (β j ). Dabei ist µ allerdings möglicherweise nicht injektiv, bisher also nur der Teil
„⊇“ der Gleichung (2) bewiesen. Um Gleichheit zu erhalten, setzen wir
n
fµ
=
(x − αµ( j ) )
für jede Abbildung µ : {1, ..., n} → {1, ..., n}.
j =1
Durch Verringerung des Abstandes von f und g kann erreicht werden, dass der Abstand zwischen β j und der zugehörigen Nullstelle αµ( j ) von f µ beliebig klein wird. Damit wird auch der Abstand zwischen den Koeffizienten von g und
f µ beliebig klein. Für jedes ε ∈ R+ gibt es also ein δ(ε) ∈ R mit der Eigenschaft, dass für jedes g mit v(g − f ) > δ(ε) eine
Abbildung µ existiert, so dass die Koeffizienten von g − f µ bezüglich | · |v kleiner als ε sind. Wir setzen
ε
=
min{ | f µ − f |v | µ Abbildung mit f µ = f } ,
wobei | f µ − f |v den Maximalabstand der Koeffizienten von f µ und f bezeichnet. Dann ist für alle g mit v(g − f ) > δ(ε)
sichergestellt, dass die zugehörige Abbildung µ mit |g − f µ |v < ε die Bedingung f = f µ erfüllt, also bijektiv ist. Es gibt
dann also für jedes i ∈ {1, ..., n} ein zugehöriges j , so dass K (αi ) = K (β j ) erfüllt ist.
Eine wichtige Konsequenz der zuletzt bewiesen Aussagen besteht darin, dass alle algebraischen Erweiterungen der
p-adischen Zahlen Qp durch rationale Polynome beschrieben werden können.
—– 74 —–
§ 5.
Das Henselsche Lemma
Folgerung 5.22
Sei L|Qp eine endliche Erweiterung von Qp . Dann gibt es eine endliche Erwei-
terung K ⊆ Qp von Q, so dass [K : Q] = [L : Qp ] gilt und L mit dem Kompositum K · Qp übereinstimmt.
Beweis:
Wegen char(Qp ) = 0 gibt es ein α ∈ L mit L = Qp (α). Sei f ∈ Qp [x] das Minimalpolynom von α über Qp .
Weil die rationalen Zahlen in Qp dicht liegen, gibt es Polynome g ∈ Q[x] mit grad(g ) = grad( f ), die beliebig nahe an
f liegen. Auf Grund von Folgerung 5.21 gibt für g hinreichend nahe bei f eine Nullstelle β von g mit Qp (α) = Qp (β),
wobei g ∈ Q[x] über Qp und damit auch über Q irreduzibel ist. Setzen wir K = Q(β), dann gilt K · Qp = Qp (β) =
Qp (α) = L, außerdem [K : Q] = grad(g ) = grad( f ) = [L : Qp ].
Später werden wir aus diesem Resultat noch ableiten, dass es für jedes vorgegebene n ∈ N nur endlich viele Erweiterungen L|Qp mit n = [L : Qp ] gibt.
—– 75 —–
§ 6. Lokale Körper
Im Mittelpunkt dieses Kapitels steht die folgende
Definition 6.1
Ein lokaler Körper ist ein Körper ausgestattet mit einer hausdorffschen, lokal-
kompakten, nicht-diskreten Topologie.
Offenbar ist R ein lokaler Körper, denn für jeden Punkt a ∈ R bildet die abgeschlossene Kreisscheibe B¯1 (a) vom Radius
1 eine kompakte Umgebung, zugleich ist die Topologie auf R aber nicht diskret. Aus demselben Grund sind auch C
und die Körper Qp für jede Primzahl p lokale Körper, ebenso der Laurentreihenkörper Fq ((t )) über einem beliebigen
endlichen Körper Fq . Das erste Etappenziel in diesem Kapitel ist der Nachweis, dass jeder lokale Körper zu einem
der Körper R, C, Fq ((t )) oder zu einer algebraischen Erweiterung von Qp topologisch isomorph ist, für eine geeignete
Primzahl p.
Um dieses Ziel zu erreichen, werden wir als erstes zeigen, dass die Topologie auf einem lokalen Körper immer durch
eine Betragsbewertung induziert ist. Wesentliches Hilfmittel dabei wird das aus der Topologie bekannte Haarsche
Maß sein. Wir erinnern daran, dass eine Borelsche σ-Algebra auf einer Menge X ein System von Teilmengen ist, dass
∅ und X enthält und unter Komplementbildung und abzählbaren Vereinigungen abgeschlossen ist. Ist X ein topologischer Raum, dann bezeichnet man als Borelsche σ-Algebra die kleinste σ-Algebra, die alle offenen Teilmengen von
X enthält. Ein Maß auf einer σ-Algebra B ist eine Abbildung µ : B → R+ ∪{∞} mit µ(∅) = 0, die σ-additiv ist. Letzteres
bedeutet, dass für jede disjunkte Familie (Ui )i ∈I bestehend aus paarweise disjunkten Teilmengen Ui ∈ B jeweils die
Gleichung
µ
Ui
i ∈I
µ(Ui )
=
erfüllt ist.
i ∈I
Ein Borelmaß heißt von innen regulär auf einer Menge U , wenn µ(U ) = sup { µ(K ) | K ⊆ U , K kompakt } gilt, und von
außen regulär, wenn µ(U ) = inf { µ(V ) | V ⊇ U ,V offen } erfüllt ist.
Definition 6.2
Sei X ein lokal-kompakter Hausdorff-Raum.
(i) Ein Borelmaß auf X ist ein Maß auf der Borelschen σ-Algebra von X .
(ii) Ein Borelmaß bezeichnet man als Radonmaß, wenn es auf den kompakten Mengen endlich, auf den Borelmengen von außen regulär und auf den offenen Mengen von innen regulär ist.
Sei nun G eine topologische Gruppe. Man bezeichnet ein Borelmaß µ auf G als links- bzw. rechts-invariant, wenn
µ(gU ) = µ(U ) bzw. µ(U g ) = µ(U ) für alle Borelmengen U und alle g ∈ G erfüllt ist. Der folgende Satz spielt in für die
Analysis auf lokal-kompakten Gruppen eine sehr wichtige Rolle. Der Beweis kann zum Beispiel im Buch „Maß- und
Integrationstheorie“ von J. Elstrodt nachgelesen werden.
Satz 6.3
Sei G eine hausdorffsche, lokal-kompakte Gruppe. Dann gibt es auf G ein nicht ver-
schwindendes, links-invariantes Radonmaß. Dieses ist bis auf einen (endlichen) positiven Faktor
eindeutig bestimmt.
—– 76 —–
§ 6.
Lokale Körper
Ein Maß mit diesen Eigenschaften wird auch ein Haarsches Maß auf der Gruppe G genannt. Ist G = (Rn , +), dann ist
das Lesbesgue-Maß ein Haarsches Maß auf G. Für die multiplikative Gruppe R× erhält man ein Haarsches Maß durch
µ(U )
=
U
dx
x
für jede Borelmenge U
,
wobei d x das Lebesgue-Maß auf R bezeichnet. Auf der additiven Gruppe (Qp , +) existiert ein eindeutig bestimmtes
Haarsches Maß µ mit µ(Zp ) = 1. Auf Grund der Linksinvarianz gilt µ(a + Zp ) = µ(Zp ) = 1 für alle a ∈ Qp . Weil Zp als
disjunkte Vereinigung der p Linksnebenklassen a + p Zp mit 0 ≤ a ≤ p − 1, a ∈ Z dargestellt werden kann, gilt µ(Zp ) =
p−1
µ(a+p Zp ) = pµ(p Zp ), also µ(p Zp ) = p −1 . Durch einen einfachen Induktionsbeweis folgt daraus µ(p n Zp ) = p −n
k=0
für alle n ∈ Z.
Eine Teilmenge U ⊆ G einer topologischen Gruppe G wird symmetrisch genannt, wenn U = {u −1 | u ∈ U } erfüllt ist, U
also mit seinem Bild unter der Invertierungsabbildung ι : g → g −1 übereinstimmt.
Proposition 6.4
Sei G eine topologische Gruppe, und U eine offene Umgebung des Neutralele-
ments e. Dann gibt es eine symmetrische Umgebung von e mit V V ⊆ U .
Beweis:
Weil die Multiplikationsabbildung stetig ist, gibt es offene Umgebungen V1 ,V2 des Neutralelements mit
V1 V2 ⊆ U . Setzen wir V3 = V1 ∩ V2 , dann ist V3 V3 ⊆ U erfüllt. Bilden wir nun noch den Durchschnitt V = V3 ∩ ι−1 (V3 ),
dann besitzt V alle gewünschten Eigenschaften.
Proposition 6.5
Sei G eine hausdorffsche lokal-kompakte Gruppe und µ ein Haarsches Maß.
(i) Ist U offen und nichtleer, dann gilt µ(U ) > 0.
(ii) Genau dann gilt µ(G) < ∞, wenn G kompakt ist.
Beweis:
G=
g ∈G
zu (i) Weil µ = 0 und von innen regulär ist, gibt es eine kompakte Teilmenge K ⊆ G mit µ(K ) > 0. Wegen
gU wird K von (gU )g ∈G überdeckt. Auf Grund der Kompaktheit von K gibt es eine endliche Teilüberdeckung,
und daraus folgt µ(gU ) > 0 für ein g ∈ G (ansonsten würde man den Widerspruch µ(K ) = 0 erhalten). Auf Grund der
Linksinvarianz ist damit auch µ(U ) > 0.
zu (ii) Die Richtung „⇐“ folgt direkt aus der Definition von µ als Radonmaß. „⇒“ Setzen wir voraus, dass G nicht
kompakt ist, und sei K eine kompakte Umgebung des Neutralelements e. Weil jede endliche Vereinigung kompakter
Mengen kompakt ist, wird G nicht von endlich vielen Translaten g K von K überdeckt. Es gibt also eine Folge (g n )n∈N
von Gruppenelementen mit der Eigenschaft, dass jeweils
n−1
gn
gk K
∉
gilt.
k=1
Nach Proposition 6.4 existiert eine symmetrische Umgebung von e mit UU ⊆ K . Mit einem solchen U sind die Mengen
g n U paarweise disjunkt. Denn wäre der Schnitt von g m U und g n U für ein Paar m, n natürlicher Zahlen mit m < n
nichtleer, dann gäbe es u, v ∈ U mit g m u = g n v ⇔ g n = g m uv −1 ∈ g m U und somit g n ∈ g m K , im Widerspruch zu
unserer vorherigen Feststellung. Nach Teil (i) ist µ(U ) > 0. Wegen G ⊇
—– 77 —–
n∈N g n U
folgt µ(G) ≥
∞
n=1 µ(U ) = ∞.
§ 6.
Lokale Körper
Sei nun K ein lokal-kompakter Körper und µ ein Haarsches Maß auf der Gruppe (K , +). Für jedes a ∈ K × ist auch
durch µa (U ) = µ(aU ) ein Haarsches Maß auf K definiert. Auf Grund der Eindeutigkeitsaussage in Satz 6.3 gibt es eine
positive Konstante |a|K mit µa = |a|K µ. Die Abbildung K × → R+ gegeben durch a → |a|K und erweitert auf ganz K
durch 0K → 0 wird der Modul des Körpers K genannt. Für jede kompakte Menge X mit µ(X ) > 0 (beispielsweise eine
kompakte Umgebung von e) gilt
|a|K
µ(a X )
.
µ(X )
=
Offenbar ist der Modul unabhängig von der Wahl des Haarschen Maßes. Die Abbildung x → ax ist für jedes a ∈ K ×
ein Homömorphismus auf K , damit besitzt für jede kompakte Teilmenge X mit µ(X ) > 0 auch die Menge a X diese
Eigenschaften. Daraus folgt für alle a, b ∈ K × die Gleichung
|ab|K
=
µ((ab)X )
µ(X )
µ(a X ) µ(b(a X ))
µ(X ) µ(a X )
=
=
|a|K |b|K
,
und offenbar ist diese Gleichung auch für a = 0K oder b = 0K erfüllt.
Für die reellen Zahlen mit der Modul | · |R mit dem gewöhnlichen Absolutbetrag überein, bei den komplexen Zahlen
ist es das Quadrat des Absolutbetrags. Für Qp ist der Modul die in §1 definierten Betragsbewertung | · |p , für die Komplettierungen K p der Zahlkörper bezüglich der Primideale p die Betragsbewertung | · |p , die über die Absolutnorm von
p definiert war. Insgesamt stimmt der Modul also immer mit den Faktoren in den Produktformel aus Satz 2.5 und Satz
2.17 überein.
Lemma 6.6
Beweis:
Der Modul | · |K definiert eine stetige Funktion auf dem Körper K .
Sei V eine kompakte Umgebung von 0K . Dann gilt µ(V ) > 0. Weil µ regulär von außen ist, gibt es für jedes
a ∈ K und jedes ε ∈ R+ eine offene Menge U ⊇ aV mit µ(U ) < µ(aV ) + ε. Weil die Multiplikationsabbildung stetig ist,
gibt es eine offene Umgebung W von a mit W V ⊆ U . Für jedes x ∈ W gilt dann µ(xV ) ≤ µ(U ) < µ(aV ) + ε, somit
µ(xV )
µ(V )
<
µ(aV )
ε
+
µ(V )
µ(V )
und |x|K < |a|K + ε˜ mit ε˜ = µ(V )−1 ε. Die Urbildmenge von [0, |a|K + ε˜ [ unter | · |K enthält also die offene Umgebung W
von a. Dies beweist die Stetigkeit von |·|K jedenfalls im Punkt a = 0K . Für den Fall a ∈ K × bemerken wir zunächst, dass
nach dem Bisherigen die Urbildmenge von 0, |a −1 |K + ε˜ unter |·|K eine offene Umgebung W1 von a −1 enthält. Es gilt
also
|x|K < |a −1 |K + ε˜
⇔
|a|K
< |x|−1
K
1 + ε˜ |a|K
˜ 1 eine offene Umgebung von a mit
˜ 1 = {x ∈ K × | x −1 ∈ W1 }, dann ist W
für alle x ∈ W1 . Setzen wir W
˜ 1 . Insgesamt ist W ∩ W
˜ 1 also eine offene Umgebung von a im Urbild von
alle x ∈ W
|a|K
1+˜ε|a|K
|a|K
1+˜ε|a|K
< |x|K für
, |a|K + ε˜ . Damit ist die
Stetigkeit auch für a = 0K bewiesen.
Ist K ein lokal-kompakter topologischer Körper, dann bezeichnen wir für jedes r ∈ R+ mit B r bzw. B¯r die offene bzw.
abgeschlossene Kreisscheibe vom Radius r um 0K bezüglich des Moduls | · |K , also
B r = {x ∈ K | |x|K < r }
und
B¯r = {x ∈ K | |x|K ≤ r }.
Auf Grund der Stetigkeit von | · |K ist B r stets offen und B¯r abgeschlossen. Wir werden weiter unten zeigen, dass B¯r
darüber hinaus auch kompakt ist.
—– 78 —–
§ 6.
Lokale Körper
Lemma 6.7
Sei K ein topologischer Körper und V eine kompakte Umgebung von 0K . Dann gibt
es eine offene Umgebung W von 0V mit W V ⊆ V .
Beweis:
Weil die multiplikative Verknüpfung auf K stetig ist, gibt es für jedes a ∈ V eine offene Umgebung Wa von 0K
und eine offene Umgebung Va ⊆ V von a mit Wa Va ⊆ V . Es ist (Va )a∈V eine offene Überdeckung von V , und auf Grund
der Kompaktheit von V gibt es eine endliche Teilüberdeckung (Vai )i ∈I . Der endliche Durchschnitt W =
i ∈I
Wai ist
offen. Ist nun a ∈ V beliebig vorgegeben, dann gibt es ein i ∈ I mit a ∈ Vai . Es gilt W Vai ⊆ Wai Vai ⊆ V und damit
insbesondere W {a} ⊆ V . Damit ist die Inklusion W V ⊆ V nachgewiesen.
Für den folgenden Satz benötigen wir die folgende elementare Aussage aus der Topologie: Jede Folge (x n )n∈N in einem
kompakten topologischen Raum X besitzt einen Häufungspunkt. Wäre dies nicht der Fall, dann müsste es sich bei S =
{x n | n ∈ N} um eine unendliche Menge handeln. Dennoch könnten wir für jeden Punkt a ∈ X eine offene Umgebung
U a finden, die jeweils nur endlich viele Folgenglieder enthält. Aus der offenen Überdeckung (U a )a∈X könnte eine
endliche Teilüberdeckung (U ai )i ∈I gewählt werden. Daraus würde dann folgen, dass S insgesamt nur endlich viele
Punkt enthält, im Widerspruch zur Annahme.
Wir bemerken noch, dass in dem speziellen Fall, dass X ein metrischer Raum ist, sich aus der Existenz eines Häufungspunktes die Existenz einer konvergenten Teilfolge ergibt. Für allgemeine topologische Räume braucht dies aber nicht
der Fall zu sein: Wir benötigen eine abzählbare Umgebungsbasis für den Häufungspunkt, um eine solche Teilfolge zu
konstruieren.
Proposition 6.8
Für jedes r ∈ R+ ist B¯r eine kompakte Teilmenge von K .
Beweis: Auf Grund der Stetigkeit von |·|K ist B r eine offene Teilmenge von K mit 0 ∈ B r . Wegen der Lokalkompaktheit
existiert eine kompakte Umgebung V ⊆ B r von 0K . Wie in Lemma 6.7 sei W eine offene Umgebung von 0K mit W V ⊆
V . Wir zeigen nun zunächst, dass ein Element c ∈ V ∩W existiert, so dass 0K ein Häufungspunkt der Folge (c n )n∈N ist.
Weil die Topologie auf K nicht-diskret ist, enthält die offene Menge V ∩ W ∩ B 1 nicht nur den Nullpunkt. Es existiert
deshalb ein c ∈ V ∩ W mit 0 < |c|K < 1. Durch vollständige Induktion über n sieht man, dass die Folge (c n )n∈N ganz in
V enthalten ist. Weil V kompakt ist, besitzt die Folge einen Häufungspunkt. Dabei kann es sich nur um 0K handeln.
Ist nämlich c ∈ K ein beliebiger Häufungspunkt, dann gibt es auf Grund der Stetigkeit von |·|K für jedes ε ∈ R+ jeweils
unendlich viele n ∈ N mit ||c n |K − |c |K | < ε. Wegen limn |c n |K = limn |c|nK = 0 folgt daraus |c |K = 0 und c = 0K .
Sei nun X der Abschluss von V \ (cV ). Diese Menge ist kompakt, und 0K ist nicht in X enthalten. Ansonsten gäbe es
nämlich in jeder Umgebung von 0K einen Punkt aus V \ (cV ), insbesondere auch in cV . Auf Grund der Kompaktheit
und der Stetigkeit von | · |K wird das Infimum µ = inf{ |x|K | x ∈ X } auf X angenommen und ist wegen 0K ∉ X positiv.
n
Sei nun n 0 ∈ N so gewählt, dass |c|K0 ≤
µ
r
gilt. Wir zeigen, dass die Inklusion
B¯r
n0
⊆
c −k V
erfüllt ist.
k=0
Daraus folgt dann die Kompaktheit von B¯r , denn damit haben wir B¯r als abgeschlossene Teilmenge einer endlichen
Vereinigung kompakter Mengen dargestellt. Zum Beweis sei a ∈ B¯r \ V vorgegeben. Weil die Multiplikation mit a ein
Homömorphismus auf K ist, besitzt auch (c n a)n∈N0 den Punkt 0K als (einzigen) Häufungspunkt. Weil V eine Umgebung von 0K ist, gibt es ein minimales n 1 ∈ N mit c n1 a ∈ V . Für dieses n 1 gilt dann c n1 a ∈ V \ cV , also c n1 a ∈ X und
n
n
n
damit µ ≤ |c n1 a|K . Es folgt |c|K0 r ≤ µ ≤ |c n1 a|K = |c|K1 |a|K ≤ |c|K1 r und somit n 1 ≤ n 0 . Also ist a in c −n1 V ⊆
enthalten.
—– 79 —–
n0
c −k V
k=0
§ 6.
Lokale Körper
Folgerung 6.9
Die Mengen der Form B¯r mit r ∈ R+ bilden eine Umgebungsbasis von 0K .
Beweis:
Sei V eine kompakte Umgebung von 0K . Auf Grund der Stetigkeit nimmt die Funktion | · |K auf V ihr Maximum m ∈ R+ an, es gilt also V ⊆ B¯m . Sei X der Abschluss von B¯m \ V . Als abgeschlossene Teilmenge einer kompakten
Menge ist X ebenfalls kompakt, und die Funktion | · |K nimmt auf X ein Minimum m ∈ R+ an. Wegen 0 ∉ X gilt
0 < m ≤ m. Sei nun r ∈ R+ mit r < m . Dann gilt B r ⊆ B¯m , andererseits B r ∩ X = ∅ nach Definition von m und damit
B r ⊆ V . Weil die kompakten Umgebungen von 0K eine Umgebungsbasis bilden folgt daraus die Aussage.
Seien K ein Körper, γ, δ ∈ R+ Konstanten und |·| : K → R+ eine Abbildung mit den
Lemma 6.10
Eigenschaften
(i) |x| = 0 ⇔ x = 0
(iii) |x + y| ≤ γ max{|x|, |y|}
(ii) |x y| = |x||y|
(iv) |n · 1K | ≤ δn
für alle x, y ∈ K und n ∈ N. Dann ist | · | eine Betragsbewertung auf K .
Zunächst bemerken wir, dass für jedes r ∈ N0 und beliebige x 1 , ..., x n ∈ K mit n = 2r aus (iii) die Ungleichung
Beweis:
n
xk
≤
γr max{ |x k | | 0 ≤ k ≤ n}
k=1
folgt. Diese erhält man durch einen einfachen Induktionsbeweis über r . Wir beweisen nun für ein beliebig vorgegebenes x ∈ K × die Abschätzung |1K + x| ≤ 1 + |x|. Sei dazu k ∈ N und m = 2k − 1. Auf Grund der Ungleichung von oben
gilt
|1K + x|m
=
|(1K + x)m |
m
=
i =0
γk δ max
m i
x
i
m
|x|i 0 ≤ i ≤ m
i
Aus |1K + x|m ≤ γk δ(1 + |x|)m folgt
|1K +x|
1+|x|
≤
γk max
≤
γk δ
m
i =0
m
|x|i
i
m i
x
i
≤
0≤i ≤m
≤
γk δ (1 + |x|)m .
≤ (γk δ)1/m . Durch Grenzübergang m → ∞ erhalten wir
|1K +x|
1+|x|
≤ 1 und day
mit |1K + x| ≤ 1 + |x| wie behauptet. Sind nun x, y ∈ K mit x = 0 vorgegeben, dann erhalten wir |x + y| = |x||1 + x | ≤
|y|
|x| 1 + |x| = |x| + |y|. Zusammen mit den Eigenschaften (i) und (ii) folgt daraus, dass | · | eine Bewertung auf K ist.
Lemma 6.11
Sei K ein lokal-kompakter Körper und | · |K der zugehörige Modul. Dann gibt es
eine Konstante γ ∈ R+ mit |x + y|K ≤ γ max{|x|K , |y|K } für alle x, y ∈ K .
Beweis: Sei γ = sup{ |1+ x|K | |x|K ≤ 1}. Nach Proposition 6.8 ist B¯1 kompakt. Also nimmt die stetige Funktion |·|K auf
B¯1 ihr Maximum an, somit gilt γ ∈ R+ . Seien nun x, y ∈ K . Wir zeigen, dass die Ungleichung |x + y|K ≤ γ max{|x|K , |y|K }
mit dieser Konstanten erfüllt ist. Im Fall x = y = 0K ist die Ungleichung offenbar gültig. Ansonsten können wir (nach
eventueller Vertauschung von x und y) voraussetzen, dass x = 0K und |y|K ≤ |x|K gilt. Setzen wir z = y x −1 , dann gilt
|z|K ≤ 1. Auf Grund der Definition von γ folgt |1 + z|K ≤ γ, und durch Multiplikation mit
|x + y|K
=
|1 + z|K |x|K
≤
|x|K
=
—– 80 —–
max{|x|K , |y|K }.
§ 6.
Lokale Körper
Lemma 6.12
Sei f : N0 → R+ eine Funktion mit den folgenden beiden Eigenschaften.
(i) Es gilt f (mn) = f (m) f (n) für alle m, n ∈ N0 .
(ii) Es gibt eine Konstante γ ∈ R+ mit f (m + n) ≤ γ max{ f (m), f (n)} für alle m, n ∈ N0 .
Dann gilt f (m) ≤ 1 für alle m ∈ N0 , oder es gibt ein λ ∈ R+ mit f (m) = m λ für alle m ∈ N.
Beweis:
Ist die Funktion f nicht konstant gleich 0, dann gibt es ein m ∈ N0 mit f (m) = 0, und aus f (m) = f (1) f (m)
folgt f (1) = 1. Ebenso gilt: Ist f nicht konstant gleich 1, dann existiert ein m ∈ N0 mit f (m) = 1, und die Gleichung
f (0) = f (m) f (0) liefert f (0) = 0. Wir setzen von nun an voraus, dass f weder konstant 0 noch 1 ist. Laut Voraussetzung
gilt f (m k ) = f (m)k für alle k, m ∈ N. Wir definieren eine neue Funktion g : N → R durch
g (m)
max { 0, ln f (m) }
=
und setzen γ˜ = ln γ. Es gilt dann g (m k ) = k f (m), g (mn) ≤ g (m) + g (n) und g (m + n) ≤ γ˜ + max { g (m), g (n) } für alle
k ∈ N0 und m, n ∈ N.
Wenn wir unter diesen Voraussetzungen zeigen können, dass ein λ ∈ R+ mit g (m) = λ ln(m) für alle m ≥ 2 existiert,
dann folgt daraus die Aussage des Satzes. Ist nämlich λ = 0, dann gilt max { 0, ln f (m) } = 0 und somit ln f (m) ≤ 0 für
alle m ≥ 2, und daraus folgt f (m) ≤ 1 für alle m ∈ N0 . Ist λ dagegen positiv, dann erhalten wir
max { 0, ln f (m) } = λ ln(m)
ln f (m) = λ ln(m)
⇒
für alle m ≥ 2. Es folgt dann f (m) = m λ für alle m ∈ N0 wie angegeben. Um die Existenz eines λ ∈ R+ mit dieser
Eigenschaft nachzuweisen, bemerken wir zunächst, dass man durch vollständige Induktion über r die Ungleichung
r
g
mi
γ˜ + max { g (m i ) | 1 ≤ i ≤ r }
≤
(1)
i =1
erhält, für beliebige r ∈ N und m 1 , ..., m r ∈ N. Seien nun m, n ∈ N vorgegeben, und es gelte n r ≤ m < n r +1 für ein
r ∈ N0 . Indem wir m zur Basis m darstellen, erhalten wir natürliche Zahlen 0 ≤ e i < n, so dass m =
r
i
i =0 e i n
erfüllt ist.
Setzen wir b = max{g (0), g (1), ..., g (n − 1)}, dann gilt
f (e i n i )
≤
f (e i ) + i f (n)
b + i f (n) ,
≤
und mit (1) folgt f (m) ≤ r γ˜ + b + r f (n). Wegen n r ≤ m gilt r ln(n) ≤ ln(m) ⇔ ln(m)/r ≥ ln(n). Wir erhalten
f (m)
ln(m)
≤
r γ˜
b
r f (n)
+
+
ln(m) ln(m) ln(m)
r
=
γ˜ + f (n)
b
+
ln(m)
ln(m)
≤
γ˜ + f (n)
b
+
.
ln(n)
ln(m)
Ersetzen wir in dieser Ungleichung m durch m k , dann bleibt die linke Seite unverändert, auf der rechten Seite wird
b
ln(m)
ersetzt durch
b
k ln(m) . Durch den Grenzübergang k
f (m)
ln(m)
→ ∞ erhalten wir
≤
γ˜ + f (n)
.
ln(n)
Ersetzen wir nun n durch n k , so erhalten wir rechts den Ausdruck
˜ f (n)
γ+k
k ln(n) ,
und für k → ∞ folgt
Vertauschung der Rollen von m und n erhalten wir Gleichheit, die Abbildung n →
λ ∈ R+ . Mit diesem Wert gilt f (m) = λ ln(m), für alle m ∈ N mit m ≥ 2.
—– 81 —–
f (n)
ln(n)
f (m)
ln(m)
≤
f (n)
ln(n) .
Durch
hat also einen konstanten Wert
§ 6.
Lokale Körper
Satz 6.13
Sei K ein lokaler Körper und f : N0 → R gegeben durch m → |m · 1K |K .
(i) Ist f beschränkt, dann ist | · |K eine nicht-archimedische Bewertung auf K .
(ii) Ist f unbeschränkt, dann gibt es ein s ∈ R+ , so dass a → |a|Ks eine archimedische
Bewertung auf K ist.
In beiden Fällen stimmt die gegebene Topologie auf K mit der Topologie überein, welche durch
die Bewertung auf K induziert wird.
Beweis:
Ist f beschränkt, dann folgt direkt aus Lemma 6.11 und Lemma 6.10, dass | · |K eine Bewertung ist. Weil
f beschränkt ist, muss es sich um eine nicht-archimedische Bewertung handeln. Setzen wir nun voraus, dass f unbeschränkt ist. Nach Lemma 6.12 gibt es eine Konstante λ ∈ R+ mit f (m) = m λ für alle m ∈ N. Setzen wir |a| = |a|Ks
mit s = λ−1 , dann ist Punkt (iv) aus Lemma 6.10 mit δ = 1 erfüllt, und (iii) ist mit der Konstanten γs gültig. Also ist
| · | eine Betragsbewertung auf K . Wie f ist diese auf N unbeschränkt, es handelt sich deshalb um eine archimedische
Bewertung. Die Aussage über die induzierte Topologie ergibt sich in beiden Fällen direkt aus Folgerung 6.9.
Jeder lokal-kompakte Körper K ist also mit einer Betragsbewertung ausgestattet, der diese Topologie induziert. Da jeder lokal-kompakte metrische Raum vollständig ist, ist K bezüglich seiner Betragsbewertung vollständig. Wir werden
nun diese vollständigen bewerteten Körper genauer bestimmen. Zunächst betrachten wir den archimedischen Fall.
Beim Beweis des folgenden Satzes werden häufig die folgende, aus der Algebra bekannte Aussage verwenden: Ist φ :
K → L ein Körperhomomorphismus, dann existiert ein Erweiterungskörper L˜ von K und ein K -Isomorphismus φ˜ :
˜
L˜ → L. Existiert auf L eine Betragsbewertung | · |, dann erhält man auf L˜ eine Bewertung | · |L˜ durch |a|L˜ = |φ(a)|,
und
˜
bezüglich dieser Bewertung wird φ zu einer Isometrie.
Satz 6.14
(Satz von Ostrowski)
Sei K ein Körper, der bezüglich einer archimedischen Betragsbewertung | · | vollständig ist. Dann
s
für alle a ∈ K .
gibt es ein s ∈ ]0, 1] und einen Isomorphismus σ auf R oder C mit |a| = |σ(a)|∞
Beweis:
Zunächst bemerken wir, dass unter der Voraussetzung, dass ein Isomorphismus σ nach R oder C und ein
s ∈ R mit |σ(a)| = |a|s für alle a ∈ K existieren, die Konstante s im Intervall ]0, 1] liegen muss. Ansonsten würde
+
nämlich
|1K + 1K |
=
|2 · 1K |
=
s
|σ(2 · 1K )|∞
=
s
|2|∞
>
2
s
s
und |1K |+|1K | = |σ(1K )|∞
+|σ(1K )|∞
= 1+1 = 2 gelten, die Dreiecksungleichung wäre also für |·| nicht erfüllt. Es genügt
also zu zeigen, dass ein s ∈ R+ mit der angegebenen Eigenschaft existiert.
Weil auf K eine archimedische Bewertung existiert, besteht die Menge {m ·1K | m ∈ N} aus unendlich vielen (verschiedenen) Elementen. Es muss also char(K ) = 0 gelten, und damit ist der Primkörper K 0 von K isomorph zum Körper
Q der rationalen Zahlen. Es existiert somit eine Einbettung Q → K , und dies wiederum bedeutet, dass ein Erweiterungskörper K˜ von Q und ein isometrischer Isomorphismus zwischen K˜ und K existieren. Es genügt, die Aussage für
diesen Erweiterungskörper K˜ von Q zu beweisen. Wir können also K durch K˜ ersetzen und somit davon ausgehen,
dass K ein Erweiterungskörper von Q ist. Die Einschränkung der Betragsbewertung | · | auf Q ist archimedisch und
—– 82 —–
§ 6.
Lokale Körper
nach Proposition 2.3 somit äquivalent zu | · |∞ . Nach Ersetzung von | · | durch eine äquivalente Bewertung können wir
annehmen, dass die Einschränkung von | · | auf Q mit | · |∞ übereinstimmt.
¯ von Q in K ist eine Komplettierung von Q. Es existiert also ein Isomorphismus zwiDer topologische Abschluss Q
¯ und R, und dieser Isomorphismus ist zugleich eine Isometrie, weil Q in beiden Körpern dicht liegt und die
schen Q
¯ bzw. |·|∞ jeweils die eindeutig bestimmte Fortsetzung der Bewertung |·|∞ auf Q bilden. Es gibt
Bewertungen |·| auf Q
also eine Einbettung R → K und damit auch einen Erweiterungskörper K˜ ⊇ R und einen isometrischen Isomorphismus zwischen K˜ und R. Wieder können wir K durch K˜ ersetzen und somit annehmen, dass K ein Erweiterungskörper
von R ist.
Wir betrachten nun zunächst den Fall, dass das Polynom x 2 +1 ∈ R[x] im Körper K eine Nullstelle j besitzt. Der Körper
R( j ) ist dann isomorph zu C, es existiert also eine Einbettung C → K . Erneut können wir K durch einen isometrischisomorphen Körper ersetzen und K ⊇ C annehmen. Weil es nach Lemma 3.7 nur eine Fortsetzung der Bewertung |·|∞
von R auf C gibt, stimmt die Einschränkung der Bewertung | · | auf C mit dem komplexen Absolutbetrag überein. Die
Aussage des Satzes ist beweisen, wenn wir K = C zeigen können.
Nehmen wir an, dass K
C gilt, und sei a ∈ K \C. Die Abbildung C → R+ , z → |z−a| ist stetig. Sei r = inf { |z−a| | z ∈ C}.
Um zu zeigen, dass ein z 0 ∈ C mit |z 0 − a| = r existiert, betrachten wir die Menge T = {z ∈ C | |z − a| ≤ r + 1}. Auf Grund
der Stetigkeit ist diese abgeschlossen. Sind z 1 , z 2 ∈ T vorgegeben, dann gilt |z 1 − z 2 | ≤ |z 1 − a| + |z 2 − a| ≤ 2r + 2. Also
ist T auch beschränkt, damit insgesamt eine kompakte Teilmenge von C. Als stetige Funktion nimmt z → |z − a| auf C
ihr Minimum an. Dies zeigt, dass ein z 0 ∈ C mit |z 0 − a| = r existiert. Wegen z 0 = a ist r positiv. Die Menge
D
{z ∈ C | |z − a| = r }
=
ist nach dem bereits Gezeigten nichtleer und abgeschlossen. Wir zeigen nun, dass D auch offen in C ist. Dazu weisen
wir nach: Sind z 1 , z ∈ C vorgegeben mit |z 1 −a| = r und |z −z 1 | < r , dann folgt |z −a| = r . Setzen wir a 1 = z 1 −a und w =
z 1 − z, dann lauten die Voraussetzungen |a 1 | = r und |w| < r , und es ist |a 1 − w| = r zu zeigen. Ist nun n ∈ N und ζ ∈ C×
eine primitive n-te Einheitswurzel, dann gilt a 1n − w n = (a 1 − w)
n−1
(a − ζk w). Wegen |a 1 − ζk w| = |z 1 − a − ζk w| ≥ r
k=1 1
folgt daraus
n−1
|a 1 − w|
|a 1 − ζk w| ≤ |a 1 |n + |w|n
⇒
|a 1 − w|r n−1 ≤ |a 1 |n + |w|n = |a 1 |n 1 +
k=1
|a 1 − w|r n−1 ≤ r n 1 +
|w|n
|a 1 |n
|a 1 − w| ≤ r 1 +
⇒
|w|n
|a 1 |n
⇒
|w|n
|a 1 |n
Durch Grenzübergang n → ∞ erhalten wir |a 1 − w| ≤ r , auf Grund der Minimalität von r insgesamt Gleichheit. Die
Menge D ist also offen, abgeschlossen und nichtleer, damit gilt D = C, also |z − a| = r für alle z ∈ C. Für beliebige
z 1 , z 2 ∈ C folgt daraus |z 1 − z 2 | ≤ |z 1 − a| + |z 2 − a| = 2r . Aber dies ist unmöglich, weil C bezüglich des komplexen
Absolutbetrags nicht beschränkt ist. Die Annahme a ∉ C hat also zu einem Widerspruch geführt.
Betrachten wir nun den Fall, dass das Polynom x 2 + 1 über K irreduzibel ist. In diesem Fall existiert ein Erweiterungskörper L von K mit einer Nullstelle j ∈ L, so dass L = K ( j ) erfüllt ist. Die Bewertung |·| kann auf L durch die Festlegung
|a + j b|2 = |a|2 +|b|2 fortgesetzt werden. Wie oben können wir L durch einen isometrisch-isomorphen Körper ersetzen
und damit L ⊇ C annehmen. Nach dem soeben durchgeführten Beweis gilt L = C. Nun ist
[C : K ]
=
[L : K ]
=
2
zusammen mit R ⊆ K erhalten wir K = R.
—– 83 —–
=
[C : R] ,
§ 6.
Lokale Körper
Wenden wir uns nun den nicht-archimedisch bewerteten Körpern zu. Ist v eine Bewertung auf ein Körper K , dann
bezeichnen wir mit | · |v wie immer eine beliebige zugeordnete Betragsbewertung.
Proposition 6.15
Sei (K , v) ein nichttrivial bewerteter Körper, O v sein Bewertungsring und κv
der Restklassenkörper. Genau dann ist O v kompakt, wenn K bezüglich v vollständig, die Bewertung diskret und der Restklassenkörper κv endlich ist.
Beweis:
„⇒“ Ist O v kompakt, dann ist K lokal-kompakt. Seien nämlich a ∈ K und eine Umgebung U von a vorge-
geben. Nach Definition der Topologie auf K gibt es ein r ∈ R+ , so dass B r (a) = {x ∈ K | |x − a|v < r } in U enthalten ist.
Sei c ∈ K × ein beliebiges Element mit |c| < r . Dann ist a + cO v in U enthalten und eine kompakte Umgebung von a.
Wir haben bereits oben erwähnt, dass lokal-kompakte metrische Räume vollständig sind, also ist K ein vollständiger
bewerteter Körper.
Sei S ⊆ O v ein Repräsentantensystem von κv . Wären κv und damit S unendlich, dann wäre durch (a + mv )a∈S eine
disjunkte offene Überdeckung von O v gegeben, aus der keine endliche Teilüberdeckung gewählt werden kann, im
Widerspruch zur Kompaktheit. Also ist κv endlich. Nehmen wir nun an, dass die Bewertung v nicht diskret ist. Dann
gibt es eine Folge (c n )n∈N von Elementen in mv mit c n = 0 für alle n ∈ N und limn v(c n ) = 0. Die Mengen der Form
a + c n O v mit a ∈ S und n ∈ N bilden dann wiederum eine offene Überdeckung von O v . Ist nämlich b ∈ O v vorgegeben,
dann gibt es ein a ∈ S und ein d ∈ mv mit b = a + d . Wählen wir n ∈ N so groß, dass v(d ) ≥ v(c n ) erfüllt ist, dann gilt
d ∈ c n O v und b ∈ a + c n O v . Aber andererseits kann in dieser Überdeckung keine endliche Teilüberdeckung gewählt
werden, denn in jeder endlichen Teilüberdeckung gäbe es eine Menge der Form c n O v mit maximalem n. Ist nun
0K = b ∈ mv ein Element mit v(b) < v(c n ), dann ist b in keiner Menge der endlichen Teilüberdeckung enthalten.
Unsere Annahme steht also erneut im Widerspruch zur Kompaktheit von O v .
„⇐“ Aus der Topologie ist bekannt, dass ein metrischer Raum genau dann kompakt ist, wenn er vollständig und
total beschränkt ist. Letzteres bedeutet, dass der für jedes r ∈ R+ eine endliche Überdeckung durch Bälle vom Radius
≤ r besitzt. Diese Eigenschaft muss für O v nachgewiesen werden. Sei also r ∈ R+ vorgegeben. Weil v diskret und
nichttrivial ist, gibt es ein Element π ∈ K mit v(π) = 1. Weil κv endlich ist, existiert ein endliches Repräsentantensystem
R ⊆ O v von κv . Sei nun n ∈ N so groß gewählt, dass |πn |v < r erfüllt ist. Für vorgegebenes c ∈ O v existiert nach Satz
3.12 eine Folge (a k )k∈N0 in S mit c =
∞
a πk . Insbesondere gilt
k=0 k
c ≡ a 0 + a 1 π + ... + a n−1 πn−1 mod (πn ).
Weil die Koeffizienten a k aus der endlichen Menge S stammen, gibt es also eine endliche Anzahl von Elementen
c 1 , ..., c r ∈ O v , so dass jedes a ∈ O v in einer der Nebenklassen c k + πn O v enthalten ist. Da außerdem c k + πn O v ⊆ B r (c k )
für 1 ≤ k ≤ n gilt, ist die Totalbeschränktheit und damit die Kompaktheit von O v bewiesen.
Satz 6.16
Ein bewerteter Körper (K , v) ist genau dann ein lokaler Körper, wenn die Bewertung
v nichttrivial und diskret, K bezüglich v vollständig und der Restklassenkörper κv endlich ist.
Beweis:
„⇒“ Sei K ein lokaler Körper. Dann besitzt 0V eine kompakte Umgebung U . Nach Satz 6.13 stimmt die
Topologie von K mit der durch die Bewertung v induzierten Topologie überein. Es gibt also r ∈ R+ mit B r (0K ) ⊆ U .
Weil v nichttrivial ist, gibt es ein a ∈ K × mit v(a) > 0. Nach Potenzierung von a können wir |a|v < r annehmen. Es ist
dann aO v ⊆ B r (0K ) ⊆ U eine abgeschlossene Teilmenge der kompakten Menge U ; daraus folgt die Kompaktheit von
aO v und von O v . Nach Proposition 6.15 ist K damit vollständig, die Bewertung diskret und der Restklassenkörper κv
endlich.
—– 84 —–
§ 6.
Lokale Körper
„⇐“ Setzen wir die angegebenen Eigenschaften von v, K und κv voraus, dann ist O v nach Proposition 6.15 kompakt.
Wie wir bereits im Beweis von Proposition 6.15 gezeigt haben, folgt aus der Kompaktheit von O v , dass K lokal-kompakt
ist. Als metrischer Raum ist K außerdem hausdorffsch, insgesamt also ein lokaler Körper.
Proposition 6.17
Sei K ein lokaler Körper, v eine Bewertung, welche die Topologie auf K defi-
niert, und (V, · ) ein normierter K -Vektorraum. Genau dann ist V endlich-dimensional, wenn
V lokal-kompakt ist.
Beweis:
„⇒“ Ist V endlich-dimensional, dann können wir (nach Ersetzung von V durch einen isomorphen K -
Vektorraum) V = K n für ein n ∈ N voraussetzen. Da je zwei Normen auf einem endlich-dimensionalen Vektorraum
äquivalent sind, können wir außerdem davon ausgehen, dass · die Maximums-Norm auf V ist. Für jeden Vektor
v ∈ V sei B¯1 (v) = {w ∈ V | w − v = 1} der abgeschlossene Ball vom Radius 1. Da V vollständig ist (siehe ...), ist B¯1 (v)
als abgeschlossene Teilmenge von V ebenfalls vollständig. Es gilt
B¯1 (v)
=
{v + (a 1 , ..., a n ) | a k ∈ O v für 1 ≤ k ≤ n}.
Nach Proposition 6.15 und Satz 6.16 ist O v kompakt und somit total beschränkt. Für jedes r ∈ R+ kann O v also durch
eine endliche Anzahl B r (c 1 ) × ... × B r (c m ) offener Bälle überdeckt werden (mit c 1 , ..., c m ∈ O v ). Die Menge B¯1 (v) wird
also durch die endlich vielen offenen Bälle der Form
v + B r (d 1 ) × ... × B r (d n )
mit d 1 , ..., d n ∈ {c 1 , ..., c m } überdeckt.
Insgesamt ist B¯1 (v) total beschränkt und vollständig, also kompakt. Der K -Vektorraum V ist damit lokal-kompakt.
„⇐“ Sei V ein lokal-kompakter K -Vektorraum, U eine kompakte Umgebung von 0V und U ◦ ihr Inneres. Auf Grund
der Kompaktheit gibt es eine endliche Anzahl v 1 , ..., v m ∈ U von Vektoren mit U ⊆
m
(v
=1
+ 21 U ◦ ). Setzen wir W =
〈v 1 , ..., v m 〉, dann gilt insbesondere U ⊆ W + 12 U ◦ . Wir zeigen nun durch vollständige Induktion, dass
U
⊆
W + 2−n U ◦
für alle n ∈ N
gilt. Die Aussage für n = 1 ist bereits bewiesen. Für den Induktionsschritt bemerken wir zunächst, dass 21 U ⊆ 21 (W +
2−n U ◦ ) ⊆ W + 2−n+1U ◦ gilt und erhalten damit
U
⊆
W + 12 U ◦
⊆
W + (W + 2−(n+1)U ◦ )
=
W + 2−(n+1)U ◦ .
∞
−n
n=1 (2 U +W ) ⊆ W . Ist x ein Element im Durchschnitt, dann gibt es für jedes n ∈ N
ein v n ∈ U und ein w n ∈ W mit x = 2−n v n + w n . Weil U kompakt ist, liegt die Folge (v n )n∈N in einer beschränkten
Teilmenge von V , also gilt limn 2−n v n = 0V . Daraus folgt limn w n = x. Als endlich-dimensionaler K -Vektorraum ist W
Nun beweisen wir die Inklusion
vollständig und damit eine abgeschlossene Teilmenge von V . Weil die Folge (w n )n∈N in W enthalten ist, folgt damit
x ∈W.
Aus U ⊆
∞
n=1 (W
+ 2−n U ◦ ) und
∞
n=1 (W
+ 2−n U ) ⊆ W folgt insgesamt U ⊆ W . Wir zeigen nun, dass V = W gilt. Sei
dazu v ∈ V beliebig vorgegeben, wobei wir v = 0V annehmen können, und r ∈ R+ mit B r (0V ) ⊆ U . Sei α ∈ K ein
Körperelement mit α < r v
−1
. Dann liegt der Vektor αv in B r (0V ) und somit in U ⊆ W . Die Gleichung V = W zeigt,
dass V endlich-dimensional ist.
—– 85 —–
§ 6.
Lokale Körper
Satz 6.18
Sei K ein lokaler Körper und v eine Bewertung, deren induzierte Topologie mit der
auf K vorgegebenen Topoloie übereinstimmt.
(i) Ist char(K ) = 0, dann ist K topologisch isomorph zu einer endlichen Erweiterung von Qp
für eine Primzahl p.
(ii) Ist p = char(K ) positiv, dann gibt es eine p-Potenz q = p a (a ∈ N), so dass K topologisch
isomorph zum Laurentreihenkörper Fq ((t )) ist.
Beweis:
zu (i) Wegen char(K ) = 0 ist der Primkörper von K isomorph zu Q. Nach Ersetzung von K durch einen
isometrisch-isomorphen Körper können wir Q ⊆ K annehmen. Wie in §2 gezeigt, ist die Einschränkung von v auf Q
äquivalent zu v p für eine Primzahl p. Weil K nach Satz 6.16 vollständig ist, gilt dasselbe auch für den Abschluss Q von
Q in K . Darüber hinaus ist Q eine Komplettierung bezüglich v (oder v p ), auf Grund der Eindeutigkeit der Komplettierung also isomorph zu Qp . Wieder können wir K durch einen isometrisch-isomorphen Körper ersetzen und Qp ⊆ K
annehmen. Weil es sich bei K nun um einen Qp -Vektorraum mit einer lokal-kompakten Topologie handelt, können
wir Proposition 6.17 anwenden und erhalten [K : Qp ] < ∞.
zu (ii) In diesem Fall ist der Primkörper von K isomorph zu Fp , nach Ersetzung von K durch einen isometrischisomorphen Körper können wir also Fp ⊆ K voraussetzen. Sei κ der algebraische Abschluss von Fp in K und κv der
Restklassenkörper der Bewertung v. Weil Fp endlich ist, existiert auf Fp nur die triviale Bewertung (siehe Proposition
¯ = 0 für alle a¯ ∈ Fp . Jedes Element aus κ liegt in einer endlichen Erweiterung von Fp , deshalb ist
1.2), also gilt v(a)
v auf κ konstant Null. Dies zeigt, dass κ ∩ mv = {0} gilt; der kanonische Epimorphismus O v → κv induziert also eine
Einbettung ι : κ → κv .
Nun ist κv nach Proposition 6.15 und Satz 6.16 endlich. Jedes Element aus κv ist also algebraisch über Fp , somit gilt
∼ Fq für eine Potenz q von p. Dies zeigt auch, dass die Elemente aus κ ein Repräsentantensystem von
ι(κ) = κv und κ =
O v /mv bilden. Außerdem ist die Bewertung v diskret, es existiert also eine Ortsuniformisierende π. Weil die Elemente
aus K × nach Satz 3.12 auf eindeutige Weise als Laurentreihe in π darstellbar sind, gilt K ∼
= κ((π)) ∼
= Fq ((t )).
Unser letztes Thema in diesem Abschnitt ist die Bestimmung der Struktur der multiplikativen Gruppe K × eines lokalen Körpers K . Zunächst reduzieren wir diese Aufgabe auf die Bestimmung der Struktur von U (1) , der ersten Einseinheitengruppe (siehe Def. 1.20).
Proposition 6.19
Sei K ein lokaler Körper und q die Anzahl der Elemente seines Restklassen-
körpers. Dann gibt es einen Isomorphismus topologischer Gruppen
K×
Beweis:
∼
=
Z × Z/(q − 1)Z ×U (1) .
Sei v eine diskrete Bewertung, welche die Topologie auf K induziert, und π ∈ K × eine Ortsuniformisierende
bezüglich v. Nach Satz 1.19 hat jedes Element a ∈ K × eine eindeutige Darstellung der Form a = πn u mit n ∈ Z und
u ∈ O v× . Dies zeigt, dass die Abbildung φ : Z × O v× → K × , (n, u) → πn u ein Bijektion ist. Offenbar handelt es sich sogar
um einen Isomorphismus von Gruppen. Außerdem ist φ ein Homömorphismus. Denn für jedes Element a = πn u ∈ K ×
bilden die Teilmengen der Form a(1+pm ) = aU (m) mit m ∈ N eine Umgebungsbasis, wobei p = (π) ist. Das Urbild einer
solchen Menge ist {n}×uU (m) , und diese ist in Z ×O v× offen. Umgekehrt bilden die Mengen der Form {n}×uU (m) eine
Umgebungsbasis von (n, u) ∈ Z × O v× , und das Bild aU (m) einer solchen Menge ist offen.
—– 86 —–
§ 6.
Lokale Körper
Es bleibt zu zeigen, dass O v× topologisch isomorph zu Z/(q − 1)Z × U (1) ist. Sei κ ∼
= Fq der Restklassenkörper von
q−1
¯
¯
¯
K und f = x
− 1 ∈ O v [x]. Das Bildpolynom f ∈ κ[x] ist wegen f = 0 separabel und zerfällt in q − 1 verschiedene
Linearfaktoren. Nach dem Henselschen Lemma zerfällt f damit in O v [x]. Dies zeigt, dass O v eine primitive (q − 1)-te
Einheitswurzel ζ enthält. Die Potenzen ζk mit 0 ≤ k ≤ q − 2 bilden zusammen mit 0 ein Repräsentantensystem des
Restklassenkörpers, die Abbildung 〈ζ〉 → κ× , ζk → ζ¯k ist also bijektiv.
v
Die Bijektivität zeigt, dass die Abbildung φ : 〈ζ〉×U (1) → O v× , (ζk , u) → ζk u eine Gruppenisomorphismus ist. Ist nämlich
c ∈ O × vorgegeben, dann gibt es ein k ∈ {0, ..., q −2} mit c¯ = ζ¯k . Wegen c¯ζ¯−k = 1¯ ist u = cζ−k eine Einseinheit, und es gilt
v
¯ Also ist φ surjektiv. Die Homomorphismus-Eigenschaft von φ ist unmittelbar klar. Ist nun ζk u =
φ(ζk , u) = φ(c) = c.
¯ =
φ(ζk , u) = 1 mit 0 ≤ k ≤ q − 2 und u ∈ U (1) , dann gilt zunächst ζ¯k = ζ¯k u¯ = 1¯ , weil u eine Einseinheit ist. Wegen ord(ζ)
q − 1 folgt k = 0 und damit auch u = ζ0 u = 1. Damit ist die Injektivität nachgewiesen. Schließlich handelt es sich
auch um einen Homömorphismus, denn für jedes Paar (ζk , u) wird die Umgebungsbasis bestehend aus den Mengen
{ζk }×uU (m) mit m ∈ N auf die Umgebungsbasis von ζk u bestehend aus den Mengen ζk uU (m) , m ∈ N abgebildet. Weil
〈ζ〉 zyklisch von Ordnung q − 1 ist, erhalten wir insgesamt O × ∼
= 〈ζ〉 ×U (1) ∼
= Z/(q − 1)Z ×U (1) .
v
Um nun die Einseinheitengruppe U (1) genauer zu untersuchen, beschränken wir uns zunächst auf den Fall char(K ) =
0. Nach Satz 6.18 können wir K als endliche Erweiterung von Qp betrachten. Es sei π eine Ortsuniformisierende von K ,
v die eindeutig bestimmte Bewertung von K mit v(π) = 1 und v(K × ) = Z, und e = v(p). Damit ist v p = 1e v die eindeutig
bestimmte Fortsetzung der normierten Bewertung v p auf Qp . Die wesentliche Idee besteht darin, die Logarithmusund Exponentialreihe
∞
log(x)
(−1)n+1
=
n=1
xn
n
xn
n=0 n!
∞
und
exp(x)
=
zu verwenden, um die multiplikative Gruppe U (1) mit einer geeigneten Untergruppe von (K , +) zu vergleichen.
Die Logarithmusreihe konvergiert auf U (1) und definiert einen stetigen Grup-
Proposition 6.20
penhomomorphismus logp : U (1) → K . Für jedes m ∈ N mit m >
e
p−1
wird U (m) nach pm
v abgebil-
det.
Beweis:
c=p
v p (a)
Zunächst zeigen wir, dass die Logarithmusreihe log auf U (1) konvergiert. Sei 1 + a ∈ U (1) vorgegeben und
> 1. Für jedes n ∈ N gilt p v p (n) ≤ n und somit v p (n) ≤
ln n
ln p ,
wobei ln den gewöhnlichen (natürlichen) Loga-
+
rithmus auf R bezeichnet. Diese Ungleichung wiederum liefert
vp
an
n
=
nv p (a) − v p (n)
≥
n
ln c ln n
−
.
ln p ln p
n
Die Reihenglieder (−1)n−1 an der Logarithmusreihe bilden also eine Nullfolge. Damit ist die Konvergenz von log im
Punkt 1 + a bewiesen. Auf Grund der Identität log((1 + x)(1 + y)) = log(1 + x) + log(1 + y) formaler Potenzreihen ist logp
darüber hinaus ein Gruppenhomomorphismus zwischen U (1) und (K , +).
Als nächstens zeigen wir, dass U (m) für jedes m ∈ N mit m >
für jedes n ∈ N die Ungleichung
v p (n)
n−1
≤
1
p−1
e
p−1
nach pm
v abgebildet wird. Dafür beweisen wir, dass
gilt. Für v p (n) = 0 ist dies offensichtlich. Ansonsten gilt n = p a m für
geeignete a, m ∈ N, wobei m und p teilerfremd sind. Wir erhalten
v p (n)
n −1
=
a
p am
−1
≤
a
−1
pa
=
1
a
p − 1 (1 + p + ... + p a−1 )
—– 87 —–
≤
1
.
p −1
§ 6.
Lokale Körper
e
p−1
Für jedes z ∈ K × mit v(z) >
vp
⇔ v p (z) >
zn
− v p (z)
n
1
p−1
und jedes n ∈ N gilt also
(n − 1)v p (z) − v p (n)
=
e
p−1
Dies zeigt, dass für jedes 1 + z ∈ U (m) mit m >
(n − 1)
>
v p (n)
1
−
p −1 n −1
≥
0.
jeweils v(logp (1 + z)) = v(z) gilt, also U (m) tatsächlich nach pm
abgebildet wird.
Aus der soeben bewiesenen Aussage folgt, dass logp im Punkt 1 stetig ist. Damit ist logp auch in jedem anderen Punkt
a ∈ U (1) stetig. Ist nämlich (a n )n∈N eine Folge in U (1) , die gegen a konvergiert, dann gilt limn a n a −1 = 1. Auf Grund der
Stetigkeit von logp in 1 und der Homomorphismus-Eigenschaft von logp folgt
lim logp (a n ) − logp (a)
lim logp (a n a −1 )
=
n→∞
n→∞
=
logp (1)
0
=
und somit limn logp (a n ) = logp (a).
Nun untersuchen wir das Konvergenzverhalten der Exponentialreihe. Als Vorbereitung beweisen wir
Lemma 6.21
Sei n ∈ N und n =
r
und r ∈ N0 mit p ≤ k < p
r +1
r
a pk
k=0 k
v p (n!)
Beweis:
≤ r gilt jeweils
Für 1 ≤
die Darstellung von n zur Basis p, also 0 ≤ a k ≤ p − 1
. Dann gilt
n
p
=
r
k=
r
n
r
1
a k (p k − 1).
p − 1 k=0
=
a k p k− , und dies ist genau die Anzahl der Zahlen m ∈ N0 mit m ≤ n,
die durch p teilbar sind. Es folgt
v p (n!)
=
=1
r
k
ak
=
k=1
p
k=1
stetige Isomorphismen zwischen U
Beweis:
r
(m)
ak
=
k=1
=0
e
p−1
m
und p
k
=
a k p k−
k=1 =1
r
p
Für jedes m ∈ N mit m >
Proposition 6.22
a k p k−
k−1
ak
=
=1
r
=1 k=
r
p k−
r
=
pk − 1
p −1
=
r
1
a k (p k − 1).
p − 1 k=0
sind durch logp und expp zueinander inverse,
definiert.
n
Zunächst bestimmen wir die Bewertung der Terme v p ( an ) für alle n ∈ N und stellen dazu n wie in Lemma
6.21 in der Form n = a 0 + a 1 p + ... + a r p r dar, mit 0 ≤ a k ≤ p − 1 für 1 ≤ k ≤ r . Setzen wir s n = a 0 + ... + a r , dann gilt
v p (n!)
=
r
1
a k (p k − 1)
p − 1 k=0
=
1
(n − (a 0 + ... + a r ))
p −1
=
n − sn
.
p −1
Für jedes a ∈ K gilt also
vp
an
n!
=
nv p (a) −
n − sn
p −1
=
n v p (a) −
—– 88 —–
1
sn
+
.
p −1
p −1
§ 6.
Lokale Körper
Dies zeigt, dass die Exponentialreihe konvergiert, sobald v p (a) >
1
p−1
⇔ v(a) >
e
p−1
erfüllt ist. Für m >
e
p−1
ist die
Funktion expp also wohldefiniert, und auf Grund die formale Identität exp(x + y) = exp(x) exp(y) zeigt, dass es sich
um einen Gruppenhomomorphismus handelt. Ist darüber hinaus a ∈ K × und n > 1, dann gilt
vp
an
− v p (a)
n!
Dies zeigt, dass für v p (a) >
m
p nach U
(m)
1
p−1
=
(n − 1)v p (x) −
n − 1 sn − 1
+
p −1 p −1
>
jeweils v p (exp(a) − 1) = v p (a) gilt. Für m >
sn − 1
p −1
e
p−1
≥
0.
bildet die Exponentialfunktion also
ab. Dies beweist die Stetigkeit von expp im Nullpunkt. Wie bei der Logarithmusfunktion folgt daraus
die Stetigkeit auf dem gesamten Definitionsbereich: Sei a ∈ pm und (a n )n∈N eine Folge in pm , die gegen a konvergiert.
Dann folgt limn (a n −a) = 0 und limn expp (a n −a) = expp (0) = 1 auf Grund der Stetigkeit im Nullpunkt. Dies wiederum
zeigt limn expp (a n ) = limn exp(a n − a) expp (a) = expp (a). Dass die Funktionen expp und logp zueinander invers sind,
folgt aus den formalen Gleichungen log(exp(x)) = x und exp(log(x)) = x in Q[[x]].
Definition 6.23
Sei R ein topologischer Ring. Ein topologischer R-Modul ist eine abelsche
topologische Gruppe (M , +) mit einer stetigen Abbildung · : R ×M → M , so dass (M , +, ·) zu einem
R-Modul (im gewöhnlichen, algebraischen Sinn) wird.
Sei K ein lokaler Körper, der Qp als Teilkörper enthält. Dann wird K durch die Abbildung Zp × K → K , (a, b) → ab
zu einem topologischen Zp -Modul. Die Moduleigenschaften können unmittelbar nachgerechnet werden, und die
skalare Multiplikation des Moduls ist stetig, weil die Multiplikationsabbildung auf K stetig ist.
Sei nun (K , v) ein lokaler Körper der Charakterstik 0 oder p > 0 und q = |κv | die Kardinalität des Restklassenkörpers. Dann lässt sich auch auf der Einseinheitengruppe U (1) von K folgendermaßen die Struktur eines topologischen Zp -Moduls definieren. Nach Satz 1.22 gilt U (n) /U (n+1) ∼
= κv für alle n ∈ N. Es gilt also (U (n) : U (n+1) ) = q und
(U (1) : U (n+1) ) = q n für alle n ∈ N. Ist nun z ∈ U (1) und sind a, b ∈ Z mit a ≡ b mod q n , dann folgt z a U (n+1) = z b U (n+1) ,
also z a ≡ z b mod pn+1 . Ist nun a ∈ Zp , dann wählen wir eine Folge (a n )n∈N in Z mit limn a n = a. Die Elemente z an
bilden dann in U (1) eine Cauchyfolge, und wir können
za
=
lim z an
n
definieren. Diese Definition ist unabhängig von der Wahl der Folge (a n )n∈N . Ist nämlich (b n )n∈N eine weitere Folge
in Z mit Grenzwert a, dann gibt es für jedes vorgegebene r ∈ N wegen limn a n = a = limn b n ein N ∈ N mit a n ≡
b n mod q r für alle n ≥ N . Wie oben bemerkt, folgt daraus z an ≡ z bn mod pr +1 . Also konvergieren die Folgen (z an )n∈N
und (z bn )n∈N gegen denselben Grenzwert.
Man überprüft unmittelbar, dass durch φ : Zp × U (1) → U (1) auf U (1) die Struktur eines Zp -Moduls definiert ist. Außerdem ist die Abbildung stetig. Zum Nachweis dieser Eigenschaft seien a ∈ Zp , z ∈ U (1) und ε ∈ R+ vorgegeben. Wie
oben gezeigt, gibt es ein δ ∈ R+ , so dass für a 0 , b 0 ∈ Z aus |a 0 − b 0 |p < δ jeweils |z a0 − z b0 |v < ε folgt. Sei nun b ∈ Zp
mit |b − a|p < δ. Nach Definition der Abbildung z → z a können wir a 0 , b 0 ∈ Z so wählen, dass |a − a 0 |p , |b − b 0 |p < δ
und |z a − z a0 |, |z b − z b0 | < ε gilt. Mit Hilfe der verschärften Dreiecksungleichung erhalten wir |a 0 − b 0 |p < δ, damit
|z a0 −z b0 |v < ε und daraus wiederum |z a −z b |v < ε. Damit ist die Stetigkeit von φ in der ersten Komponente bewiesen.
Sei nun n ∈ N und w ∈ U (1) mit w ≡ z mod pn+1 , also w = zU (n+1) . Sei a 0 ∈ Z so gewählt, dass z a ≡ z a0 mod pn+1
und w a ≡ w a0 mod pn+1 gilt. Wegen z a0 ≡ w a0 mod pn+1 folgt dann z a ≡ w a mod pn+1 , also ist φ auch in der zweiten
Komponente stetig.
—– 89 —–
§ 6.
Lokale Körper
Lemma 6.24
Die Abbildung logp : U (1) → O v ist ein Homomorphismus topologischer Zp -
Moduln.
Beweis:
Sei u ∈ U (1) . Weil logp ein Gruppenhomomorphismus ist, gilt logp (u a ) = a logp (u) für alle a ∈ Z. Sei nun
a ∈ Zp vorgegeben. Ist (a n )n∈Z eine beliebige Folge in Z mit limn a n = a, dann gilt limn u an = u a . Auf Grund der
Stetigkeit von logp und der Multiplikation auf O v erhalten wir
logp (u a )
=
lim logp (u an )
n→∞
=
lim a n logp (u)
n→∞
=
a logp (u).
Für den folgenden Beweis erinnern wir an den Hauptsatz über endlich erzeugte Moduln über Hauptidealringen. Ist R
ein Hauptidealring und M ein endlich erzeugter R-Modul, dann gibt es Elemente a 1 , ..., a r ∈ R und ein d ∈ N0 , so dass
ein Isomorphismus
∼
=
M
R d × R/(a 1 ) × ... × R/(a n )
von R-Moduln existiert. Dabei bezeichnet man d als den Rang von M , dieser ist von der Wahl des Isomorphismus
unabhängig. Aus §1 ist bekannt, dass es sich bei Zp um einen Hauptidealring handelt.
Satz 6.25
Sei K |Qp eine Erweiterung vom Grad d , q die Anzahl der Elemente im Restklassen-
körper und a ∈ N die eindeutig bestimmte natürliche Zahl mit der Eigenschaft, dass U (1) genau
p a Einheitswurzeln enthält. Dann gibt es einen topologischen Isomorphismus
K×
Beweis:
Z × Z/(q − 1)Z × Z/p a Z × Zdp .
∼
=
Nach Proposition 6.19 genügt es zu zeigen, dass U (1) isomorph zu Z/p a Z × Zdp ist. Wegen Proposition 6.22
ist U (n) als Gruppe für hinreichend großes n topologisch isomorph zu pn . Nach Lemma 6.24 handelt es sich sogar um
einen Isomorphismus von Zp -Moduln. Es gilt pn ∼
= O v , denn die Multiplikation mit πn definiert einen topologischen
Isomorphismus zwischen (O v , +) und (pn , +), und wegen πn (au) = a(πn u) für a ∈ Zp und u ∈ U (n) ist dieser Gruppenisomorphismus erneut verträglich mit der Zp -Modulstruktur. Wie wir im Anschluss an Satz 5.10 bemerkt haben, ist
O v der ganze Abschluss von Zp in K . Wir verwenden nun die folgende Aussage aus der Algebraischen Zahlentheorie:
Ist A ein Hauptidealring, K sein Quotientenkörper, L|K eine endliche separable Körpererweiterung und B der ganze
Abschluss von A in L, dann ist B ein freier A-Modul vom Rand d . Dies zeigt, dass O v (und somit U (n) ) als Zp -Modul
isomorph zu Zdp ist. Insgesamt gibt es also einen Isomorphismus
∼
=
U (n)
Zdp
von Zp -Moduln.
Wegen Satz 1.22 gilt (U (1) : U (n) ) = q n−1 , insbesondere ist der Index endlich. Daraus folgt, dass U (1) und U (n) denselben Rang besitzen. Nach dem oben erwähnten Hauptsatz gibt es also ein n ∈ N, Elemente c 1 , ..., c n ∈ Zp und einen
Isomorphismus
U (1)
∼
=
Zp /(c 1 ) × ... × Zp /(c n ) × Zdp
von Zp -Moduln. Die Hauptideale (c k ) sind von der Form (p ak ), für geeignete a k ∈ Z. Damit hat der Torsionsanteil
Tor(U (1) ) von U (1) die Form Z/p a1 Z × ... × Z/p ak Z, es handelt sich also um einen endliche abelsche Gruppe von
p-Potenzordnung. Als endliche Untergruppe der multiplikativen Gruppe eines Körpers ist Tor(U (1) ) zyklisch, also isomorph zu Z/p a Z für ein a ∈ N0 . Insgesamt erhalten wir also einen Isomorphismus U (1) ∼
= Z/p a Z × Zd von Zp p
Moduln.
—– 90 —–
§ 6.
Lokale Körper
Sei p eine Primzahl, q eine Potenz von p und K = Fq ((t )). Dann gibt es einen topolo-
Satz 6.26
gischen Isomorphismus
Beweis:
Z × Z/(q − 1)Z × ZN
p .
∼
=
K×
Bewertungsring und maximales Ideal von K sind gegeben durch O v = Fq [[t ]] und pv = (t ). Der Restklassen-
körper κv = O v /pv ist kanonisch isomorph zu Fq . Es sei f = [Fq : Fp ] und S = {ω1 , ..., ω f } ⊆ Fq eine Basis von Fq als
Fp -Vektorraum. Wegen Proposition 6.19 genügt es, einen topologischen Isomorphismus U (1) ∼
= ZN anzugeben. Dazu
p
werden wir zeigen, dass U (1) ein freier Zp -Modul ist, und dass die Elemente der Form 1+ωi πn mit 1 ≤ i ≤ f und n ∈ N
mit p n eine Basis dieses Moduls bilden.
Sei n ∈ N mit p n vorgegeben, außerdem s ∈ N0 und m = np s . Wir betrachten die Abbildung g n gegeben durch
f
f
g n : Zp → U (1)
(1 + ωi t n )ai .
(a 1 , ..., a f ) →
,
i =1
Offenbar ist g n ein Gruppenhomomorphismus. Wir zeigen, dass durch g n jeweils ein Isomorphismus zwischen den
f
f
f
Faktorgruppen p s Zp /p s+1 Zp und U (m) /U (m+1) induziert wird. Zunächst einmal ist g n (p s Zp ) in U (m) enthalten, denn
für beliebige a 1 , ..., a f ∈ Zp und 1 ≤ i ≤ f gilt
(1 + ωi t n )p
sa
i
(1 + ωi t n )p
=
sa
i
ps
s
s
(1p + ωi t np )ai
=
ps
(1 + ωi t m )ai
=
U (m) .
∈
f
Nun zeigen wir, dass die induzierte Abbildung g¯n : Zp → U (m) /U (m+1) surjektiv ist. Jede Restklasse in U (m) /U (m+1)
s
wird repräsentiert durch ein Element der Form 1 + ωt m , wobei ω die Elemente von Fq durchläuft. Weil ω → ωp ein
ps
Automorphismus von Fq ist, können bilden auch die Elemente der Form 1+ω t m mit ω ∈ Fq ein Repräsentantensystem. Außerdem bemerken wir, dass für alle ω1 , ω2 ∈ Fq die Kongruenz (1+ω1 t m )(1+ω2 t m ) ≡ 1+(ω1 +ω2 )t m mod pm+1
v
erfüllt ist. Sei nun ω =
f
a ω
i =1 i i
∈ Fq vorgegeben, mit a 1 , ..., a m ∈ Z. Dann gilt
f
s
n
g n (p a 1 , ..., p a f )
(1 + ωi t )
=
pn
f
n p n ai
(1 + ωi t )
=
a i ωi t
1+
≡
i =1
i =1
1 + ωt n
pn
=
pn
f
n ai
n
=
i =1
s
1 + ωp t m mod pm+1
.
v
f
Damit ist die Surjektivität nachgewiesen. Nun beweisen wir noch die Gleichung ker(g¯n ) = p s+1 Zp . Seien (a 1 , ..., a f ) ∈
f
Zp , b1 , ..., b f
∈ Z Elemente mit a k ≡ b k mod Zp /p Zp , außerdem ω =
(p s a 1 , ..., p s a f ) ∈ ker(g¯n )
s
ωp ∈ pv
⇔
⇔
ω ∈ pv
f
b ω . Dann gilt die Äquivalenz
k=1 k k
g n (p s a 1 , ..., p s a f ) ≡ 1 mod pm+1
v
⇔
⇔
b k ≡ 0 mod p für 1 ≤ k ≤ f
⇔
s
1 + ωp t m mod pm+1
v
⇔
a k ∈ p Zp für 1 ≤ k ≤ f
f
(p s a 1 , ..., p s a f ) ∈ p s+1 Zp .
⇔
Wir definieren nun eine Abbildung g durch
f
Zp −→ U (1)
g:
,
((a n1 , ..., a n f ))p
p n
n
g n ((a n1 , ..., a n f )).
→
p n
f
Dabei läuft das Produkt über alle natürlichen Zahlen n ∈ N mit p n. Wegen g n (Zp ) ⊆ U (n) für alle solchen n konvergiert g auf dem gesamten Definitionsbereich. Wir zeigen, dass die Funktion g im Nullpunkt stetig ist. Wie im Beweis
—– 91 —–
§ 6.
Lokale Körper
von Proposition 6.20 folgt aus der Stetigkeit im Nullpunkt und der Homomorphismus-Eigenschaft dann die Stetigkeit
auf dem gesamten Definitionsbereich. Sei m 0 ∈ N vorgegeben, m 0 = n 0 p s0 mit s 0 ∈ N0 und p n 0 . Zu zeigen ist, dass
das Urbild von U (m0 ) unter g eine Umgebung der Null enthält. Seien n 1 , ..., n r ∈ N die endlich vielen natürlichen Zahlen mit p n k und n k < m 0 für 1 ≤ k ≤ r . Für jedes k wählen wir jeweils ein s k ∈ N0 mit m k = n k p sk ≥ m 0 . Wie bereits
oben gezeigt, gilt
f
g n k p s k Zp
⊆
U (mk )
U (m0 )
⊆
f
für 1 ≤ k ≤ r . Für alle n ∈ N mit n ≥ m 0 ist die Inklusion g n (Zp ) ⊆ U (n) ⊆ U (m0 ) ohnehin erfüllt. Für jedes
r
((a n1 , ..., a n f ))p
∈
n
f
p s k Zp
f
Zp .
×
k=1
konvergiert
n g n (a n ) wegen U
p n
n ≥ m0
(a)
U (b) ⊆ U (a) für a, b ∈ N mit a ≤ b gegen ein Element aus U (m0 ) .
f
Als Abbildung Zp → U (1) ist g surjektiv. Sei nämlich m ∈ N vorgegeben. Wie wir oben gezeigt haben, wird jede Nebenf
klasse in U (m) /U (m+1) durch ein Element aus g n (Zp ) repräsentiert, für ein geeignetes n ∈ N mit p n. Das Bild liegt
also dicht in U (1) . Weil der Definitionsbereich von g nach dem Satz von Tychonoff kompakt und die Abbildung g stetig
ist, ist auch die Bildmenge kompakt. Daraus folgt die Surjektivität von g .
Als nächstens beweisen wir die Injektivität. Sei ((a n1 , ..., a n f ))p
N
=
n
ein Element im Definitionsbereich ungleich Null und
n ∈ N p n, a n = 0
f
Zp
.
f
Für jedes n ∈ N gibt es ein minimales s n ∈ N0 mit a n ∉ p sn Zp . Setzen wir m n = np sn , so folgt daraus, wie oben gezeigt,
dass g n (a n ) in U (mn ) \ U (mn +1) liegt. Sei nun n ∈ N so gewählt, dass m n minimal ist. Dann gilt g ((a n1 , ..., a n f )p n ) ≡
m n +1
g n (a n ) mod pv
und damit g ((a n1 , ..., a n f )p n ) = 1.
Es bleibt zu zeigen, dass es sich bei g um eine offene Abbildung handelt. Seien n 0 ∈ N und s 0 ∈ N0 vorgegeben. Wir
bestimmen das Bild der Teilmenge
B
=
f
f
p s 0 Zp ×
Zp
f
Zp
⊆
n∈N \{n 0 }
p n
unter der Abbildung g . Für m = np s mit n = n 0 oder s ≥ s 0 sind alle Nebenklassen aus U (m) /U (m+1) im Bild enthalten.
Seien n 1 , ..., n r ∈ N die endlich vielen Elemente mit n k ≤ n 0 und
˜
m
=
max { p s n k | 1 ≤ k ≤ r , s < s 0 }.
˜ gilt dann s ≥ s 0 oder n = n 0 , also sind die Nebenklassen aus U (m) /U (m+1) in g (B ) enthalten.
Für jedes m ∈ N mit m > m
−1
(m)
Die Menge B˜ = g (U ) ∩ B ist komapkt als abgeschlossene Teilmenge der kompakten Menge B , und g (B˜ ) liegt in
U (m) dicht. Daraus folgt g (B˜ ) = U (m) . Dies zeigt, dass g (B ) die offene Untergruppe U (m) enthält, und damit ist g (B )
selbst offen in U (1) . Auf Grund der Homomorphismus-Eigenschaft ist auch das Bild jeder Nebenklasse von B in U (1)
offen. Weil die Mengen der Form B eine Subbasis der Topologie von
nachgewiesen.
—– 92 —–
f
p n Zp
bilden, ist damit die Offenheit von g
§ 6.
Lokale Körper
Aus Satz 6.25 und Satz 6.26 ergibt sich insgesamt
Folgerung 6.27
Sei (K , v) ein nicht-archimedisch bewerteter lokaler Körper, κv sein Restklas-
senkörper, p = char(κv ) und q = |κv |. Dann gibt es einen topologischen Isomorphismus
(i) K × ∼
= Z × Z/(q − 1)Z × Z/p a Z × Zdp im Fall char(K ) = 0, für geeignete a, d ∈ N0
(ii) K × ∼
= Z × Z/(q − 1)Z × ZN , falls char(K ) = p gilt.
p
Als arithmetische Anwendung dieses Struktursatzes bestimmen wir noch in jedem lokalen Körper n die Faktorgruppe
von K × nach den n-ten Potenzen.
Folgerung 6.28
Sei (K , v) ein bewerteter lokaler Körper, n ∈ N mit char(K ) n und µn (K ) die
Untergruppe der n-ten Einheitswurzeln in K × .
(i) Ist char(K ) = 0 und K eine Erweiterung von Qp vom Grad d , dann gilt
(K × : (K × )n ) = np d v p (n) |µn (K )|.
(ii) Ist char(K ) = p, dann gilt (K × : (K × )n ) = n|µn (K )|.
Beweis:
Nach Proposition 6.19 gilt K × ∼
= Z × Z/(q − 1)Z × U (1) ∼
= Z × O v× . Daraus folgt (K : (K × )n ) = n(O v× : (O v× )n ).
Bezeichnen wir mit µ(K ) die Gruppe der Einheitswurzeln in K , dann liefert der Homomorphiesatz, angewendet auf
die Potenzierungsabbildung µ(K ) → µ(K ), ζ → ζn , einen Isomorphismus µn (K ) ∼
= µ(K )/µ(K )n .
Betrachten wir zunächst den Fall char(K ) = 0. Nach Satz 6.25 gilt O v× ∼
= µ(K ) × Zdp . Daraus folgt
O v× /(O v× )n
∼
=
µ(K )/µ(K )n × (Zp /n Zp )d
∼
=
µn (K ) × (Zp /n Zp )d .
Daraus folgt (O v× : (O v× )n ) = |µn (K )|p d v p (n) und (K × : (K × )n ) = n|µn (K )|p d v p (n) . Im Fall char(K ) = p gilt O v× ∼
= µ(K )× ZN
p
und n Zp = Zp wegen p n. In diesem Fall erhalten wir
O v× /(O v× )n
∼
=
µ(K )/µ(K )n × (Zp /n Zp )d
∼
=
µn (K ) ,
also (O v× : (O v× )n ) = |µn (K )| und (K × : (K × )n ) = n|µn (K )|.
Ist speziell p eine ungerade Primzahl, K = Qp und n = 2, dann gilt d = 1, v p (n) = 0 und p d v p (n) = 1, außerdem |µn (K )| =
×
× 2
2, denn die zweiten Einheitswurzeln in Q×
p sind ±1. Wir erhalten dann mit (Qp : (Qp ) ) = 4 das Ergebnis aus Folgerung
× 2
5.6 zurück. Ist dagegen p = 2, dann gilt v p (n) = 1, also p d v p (n) = 2. Es folgt (Q×
2 : (Q2 ) ) = 8, in Übereinstimmung mit
× ×
Folgerung 5.6. Natürlich kann nicht nur die Ordnung, sondern auch die Struktur der Faktorgruppe Q×
p /(Qp ) mit Hilfe
von Satz 6.25 bestimmt werden.
—– 93 —–
§ 7. Bewertungsfortsetzungen und Verzweigungstheorie
Sei (K , v) ein bewerteter Körper. Sei K v eine Komplettierung von K bezüglich v; wir bezeichnen die natürliche Fortalg
setzung von v auf K ebenfalls mit v. Bezeichnen wir mit K v den algebraischen Abschluss von K v , dann existiert nach
§5 eine eindeutig bestimmte Fortsetzung v a von v auf K alg . Ist nun L|K eine endliche Erweiterung, dann liefert jeder
alg
K -Homomorphismus τ : L → K v durch w = v a ◦ τ eine Fortsetzung der Bewertung v auf L.
Definition 7.1
alg
Wir bezeichnen zwei K -Homomorphismen τ, τ : L → K v
als konjugiert über
alg
K v , wenn ein σ ∈ AutK v (K v ) mit τ = σ ◦ τ existiert.
alg
Durch die Beziehung konjugiert wird eine Äquivalenzrelation auf der Menge der K -Homomorphismen L → K v
de-
finiert. Die Äquivalenzklassen dieser Relation stehen nun in einer natürlichen bijektiven Korrespondenz mit den Bewertungsfortsetzungen von v auf L.
Lemma 7.2
Sei (K , v) ein bewerteter Körper und L|K eine endliche Erweiterung. Sei w eine
Fortsetzung von v auf L, L w eine Komplettierung von L bezüglich w und K v der Abschluss von K
in L w . Dann ist L w |K v eine endliche Körpererweiterung, und es gilt L w = L · K v .
Beweis:
Als endliche Erweiterung ist L|K auch endlich erzeugt. Es gibt also ein n ∈ N und Elemente α1 , ..., αn ∈ L,
algebraisch über K , mit L = K (α1 , ..., αn ). Offenbar gilt L · K v = K v (α1 , ..., αn ), also ist die Erweiterung L · K v |K v endlich.
Als endlich-dimensionaler K v -Vektorraum ist L · K v nach Proposition 5.9 vollständig. Weil L w eine Komplettierung
von L ist, folgt daraus L · K v = L w .
Satz 7.3
Sei (K , v) ein bewerteter Körper und L|K eine endliche Erweiterung.
(i) Jede Bewertungsfortsetzung w von v auf L hat die Form w = v a ◦ τ für einen geeigneten
K -Homomorphismus τ : L → K alg .
(ii) Sind τ, τ : L → K alg zwei K -Homomorphismen, so stimmen die Bewertungen w = v a ◦ τ
und w = v a ◦ τ genau dann überein, wenn τ und τ über K konjugiert sind.
Beweis:
zu (i) Sei L w eine Komplettierung von L bezüglich w; wie oben verwenden wir die Bezeichnung w auch für
die natürliche Fortsetzung der Bewertung auf L w . Weil L w vollständig ist, kann die Einbettung K ⊆ L ⊆ L w zu einem
isometrischen K -Homomorphismus K v → L w fortgesetzt werden. Nach Ersetzung von L w durch einen isomorphen
Körper können wir K v ⊆ L w annehmen. Nach Lemma 7.2 ist L w |K v eine endliche Körpererweiterung, und w ist die
nach Satz 5.10 eindeutig bestimmte Fortsetzung von v auf K v .
alg
alg
Weil K v algebraisch abgeschlossen und L w |K v algebraisch ist, gibt es eine K v -Einbettung τw : L w → K v . Auf Grund
der Eindeutigkeit der Bewertungsfortsetzung w gilt w = v a ◦τw . Durch Einschränkung von τw auf L erhalten wir einen
K -Homomorphismus τ mit der gewünschten Eigenschaft w = v a ◦ τ.
—– 94 —–
§ 7.
Bewertungsfortsetzungen und Verzweigungstheorie
alg
zu (ii) „⇐“ Seien τ1 , τ2 : L → K v zwei über K v konjugierte K -Homomorphismen. Dann gibt es nach Definition ein
alg
σ ∈ AutK v (K v ) mit τ2 = σ ◦ τ1 . Weil
folgt v a ◦ τ2 = v a ◦ σ ◦ τ1 = v a ◦ τ1 .
alg
v a die eindeutig bestimmte Fortsetzung von v auf K v ist, gilt v a ◦ σ = v a . Daraus
Sei w 1 = v a ◦ τ1 und w 2 = v a ◦ τ2 . Nach Voraussetzung gilt w 1 = w 2 . Die Abbildung σ = τ2 ◦ τ−1
1 ist ein K -
„⇒“
alg
Isomorphismus zwischen den Teilkörpern τ1 (L) und τ2 (L) von K v . Darüber hinaus ist σ eine Isometrie bezüglich
v a , denn für alle τ1 (α) ∈ τ1 (L) mit α ∈ L gilt
v a (σ(τ1 (α)))
=
v a (τ2 (α))
=
w 2 (α)
=
w 1 (α)
v a (τ1 (α)).
=
alg
Mit L|K ist auch τ1 (L)|K eine endliche Erweiterung, und damit ist das Kompositum τ1 (L) · K v in K v endlich über K v .
Als endlich-dimensionaler K v -Vektorraum ist τ1 (L) · K v vollständig und stimmt deshalb mit dem Abschluss von τ1 (L)
alg
alg
in K v überein. Ebenso ist τ2 (L)·K v der Abschluss von τ2 (L) in K v . Damit kann die stetige Abbildung σ auf eindeutige
Weise zu einem stetigen K v -Isomorphismus τ1 (L)·K v → τ2 (L)·K v fortgesetzt werden. Durch algebraische Fortsetzung
alg
˜ von AutK v (K v ). Aus τ2 = σ ◦ τ1 folgt τ2 = σ
˜ ◦ τ1 ,
können wir diesen K v -Isomorphismus erweitern zu einem Element σ
also sind τ1 und τ2 konjugiert über K v .
alg
Statt Äquivalenzklassen von K -Einbettungen L → K v kann man für die Beschreibung von Bewertungsfortsetzungen
auch Polynome verwenden. Nehmen wir dazu an, dass L|K eine einfache algebraische Körpererweiterung ist, also
L = K (α) für ein α ∈ L gilt. Sei f ∈ K [x] das Minimalpolynom von α über K und
r
f
mj
=
j =1
fj
die Zerlegung von f in irreduzible Polynome f j ∈ K v [x]. Ist L|K separabel, dann gilt natürlich m j = 1 für 1 ≤ j ≤ r .
alg
Wählen wir für jedes j eine Nullstelle β j ∈ K v , dann erhalten wir einen eindeutig bestimmten K -Homomorphismus
alg
τ j : L → K v mit τ j (α) = β j , und durch w j = v a ◦ τ j ist jeweils eine Fortsetzung v auf L definiert.
Satz 7.4
(i) Die Fortsetzung w j ist unabhängig von der Wahl der Nullstelle β j .
(ii) Durch w 1 , ..., w r sind r verschiedene Bewertungsfortsetzungen von v gegeben.
(iii) Jede Bewertung w, die v auf L fortsetzt, stimmt mit einer der Bewertungen w j überein.
alg
zu (i) Ist β j ∈ K v eine weitere Nullstelle von f j , dann gibt es einen K v -Homomorphismus K v (β j ) → K v (β j )
Beweis:
alg
˜ ∈ AutK v (K v ) fortgesetzt werden. Weil jeder K -Homomorphismus
mit σ(β j ) = β j , und dieser kann zu einem Element σ
alg
L → Kv
durch das Bild von α eindeutig festgelegt ist, gilt τ j = σ ◦ τ j . Die K -Homomorphismen τ j und τ j sind also
über K v konjugiert. Nach Satz 7.3 stimmen also die Bewertungen w j und w j = v a ◦ τ j überein.
zu (ii)
˜ ∈
Stimmen w i und w j überein, dann sind τi und τ j nach Satz 7.3 über K v konjugiert. Es gibt also ein σ
alg
˜ ◦ τi . Daraus folgt
AutK v (K v ) mit τ j = σ
˜ i)
σ(β
=
˜ ◦ τi )(α)
(σ
=
τ j (α)
=
βj .
˜ um einen K v -Homomorphismus handelt, müssen βi und β j Nullstellen desselben irreduziblen
Weil es sich bei σ
Polynoms in K v [x] sein. Es gilt also f i = f j und i = j .
—– 95 —–
§ 7.
Bewertungsfortsetzungen und Verzweigungstheorie
zu (iii) Sei w eine beliebige Fortsetzung von v auf L. Nach Satz 7.3 gilt dann w = v a ◦τ für einen K -Homomorphismus
alg
τ : L → K v . Mit α ist auch τ(α) Nullstelle von f und damit Nullstelle von f j für ein j ∈ {1, ..., r }. Es gilt also τ(α) = β j
alg
für eine Nullstelle β j ∈ K v
von f j . Wie in Teil (i) folgt daraus, dass τ und τ j über K v konjugiert sind. Wegen Satz 7.3
stimmen w und w j damit überein.
Sei L|K eine Erweiterung von Zahlkörpern, O K der Ganzheitsring von K und p ein maximales Ideal von O K . Wie aus
der Algebraischen Zahlentheorie bekannt, gibt es eine (bis auf Reihenfolge der Faktoren eindeutige) Darstellung
pOL
=
Pe11 · ... · Per r
des Ideals pO L als Produkt von maximalen Idealen Pk von O L . In §2 hatten wir p eine Bewertung v p des Zahlkörpers K
zugeordnet. Für jedes maximale Ideal P von O L ist v P bis auf Äquivalenz offenbar genau dann eine Fortsetzung von v p
auf L, wenn P ∩ O K = p oder die äquivalente Bedingung P ⊇ pO L erfüllt sind. Weil nach §2 alle Bewertungen von L bis
auf Äquivalenz mit den Bewertungen der Form v P übereinstimmen, gibt es also genau r verschiedene Fortsetzungen
von v p auf L, nämlich v P1 , ..., v Pr . Nach Satz 7.4 erhalten wir dieselbe Information, wenn wir ein Element α ∈ L mit
L = K (α) wählen und die Zerlegung des Minimalpolynoms f ∈ K [x] von α im Polynomring K p [x] betrachten, wobei
K p die Komplettierung von K bezüglich v p bezeichnet.
Um die Bewertungsfortsetzungen genauer untersuchen zu können, ordnen wir ihnen die folgenden Invarianten zu.
Definition 7.5
Sei (K , v) ein bewerteter Körper, L|K eine Erweiterung und w eine Fortsetzung
von v auf L. Dann ist die Wertegruppe v(K × ) eine Untergruppe von w(L × ). Den Index
e(w|v)
=
(w(L × ) : v(K × ))
bezeichnet man als Verzweigungsindex der Fortsetzung w|v. Die Inklusion O v ⊆ O w induziert
einen natürlichen Homomorphismus κv → κw zwischen den Restklassenkörpern. Wir können
κw damit als Erweiterungskörper von κv auffassen. Der Erweiterungsgrad
f (w|v)
=
[κw : κv ]
wird der Trägheitsgrad von w|v genannt.
Setzen wir im oben beschriebenen Zahlkörperfall v = v p , dann ist für ein beliebiges k ∈ {1, ..., r } die Bewertung w =
1
ek
w Pk eine Fortsetzung von v auf L. Wegen v(K × ) = Z und w(L × ) =
1
ek
Z ist e(w|v) = ( e1k Z : Z) = e k . Der bewertungs-
theoretische Verzweigungsindex stimmt also mit dem aus der Algebraischen Zahlentheorie bekannten Verzweigungs∼ O K /p und κw = O L /Pk . Dies zeigt,
index des Ideals Pk in p überein. Für die Restklassenkörper von v und w gilt κv =
dass f (w|v) = [κw : κv ] mit dem Trägheitsgrad von Pk in p übereinstimmt.
Unser Ziel besteht nun darin, eine allgemeine Gesetzmäßigkeit für die Werte e(w|v) und f (w|v) herzuleiten. Dazu
betrachten wir wieder die oben beschriebene Erweiterung L = K (α) eines bewerteten Körpers (K , v) und die Produktzerlegung f =
r
j =1 f j
im Polynomring K v [x]. Für jede Fortsetzung w von v auf L induziert der Homomorphismus
ιw : K v → L w definiert durch die stetige Fortsetzung der identischen Einbettung K → L w eine K -lineare Abbildung
L ⊗K K v → L w gegeben durch a ⊗ b → a · ιw (b). Offenbar handelt es sich sogar um einen Homomorphismus von K v Algebren. Fasst man nun diese Abbildungen für alle Bewertungsfortsetzungen w von v zusammen, so erhält man
einen Homomorphismus ϕ : L ⊗K K v →
w|v
L w von K v -Algebren.
—– 96 —–
§ 7.
Bewertungsfortsetzungen und Verzweigungstheorie
Ist die Erweiterung L|K separabel, dann ist durch ϕ ein Isomorphismus von
Proposition 7.6
K v -Algebren definiert.
Beweis:
Für jede Fortsetzung w von v sei f w ∈ K v [x] der nach Satz 7.4 zugehörige Faktor in der Produktzerlegung
von f über K v . Weil mit L|K auch f separabel ist, gilt f =
K v [x]/( f w )
∼
=
ιw (K v )[x]/(ιw ( f w ))
w|v f w . Nach Lemma 7.2 gilt für jedes
∼
=
ιw (K v )(α)
L · ιw (K v )
=
=
Lw
w jeweils
,
denn ιw (K v ) ist der topologische Abschluss von K in L w . Also sind K v [x]/( f w ) und L w als K v -Algebren isomorph.
Die Zuordnung K v [x] → L ⊗K K v , x → α ⊗ 1 bildet f auf f (α) ⊗ 1 = 0 ab und induziert somit einen Homomorphismus
K v [x]/( f ) → L⊗K K v von K v -Algebren. Dieser ist surjektiv. Setzen wir nämlich n = [L : K ], dann wird L⊗K K v von αk mit
0 ≤ k < n aufgespannt, und dies sind gerade die Bilder von x k mit 0 ≤ k < n. Wegen dimK v K v [x]/( f ) = grad( f ) = n =
dimK v (L⊗K K v ) ist der Homomorphismus auch surjektiv, insgesamt also ein Isomorphismus von K v -Algebren. Weil die
Polynome f w in K v [x] teilerfremd sind, gilt schließlich noch K v [x]/( f ) ∼
K v [x]/( f w ) auf Grund des Chinesischen
=
w|v
Restsatzes. Insgesamt erhalten wir ein Diagramm bestehend aus K v -Algebren,
/
K v [x]
K v [x]/( f w )
w|v
/
L ⊗K K v
Lw
w|v
wobei der linke, obere und rechte Pfeil Isomorphismen sind. Dieses Diagramm ist kommutativ, denn die Restklasse
x + ( f ) wird vom oberen Pfeil auf (x + ( f w ))w|v und vom rechten Pfeil auf (α)w|v geschickt, während der linke Homomorphismus die Restklasse zunächst auf α ⊗ 1 und der untere dieses Element dann auf (α)w|v abbildet. Also ist auch
der untere Pfeil ein Isomorphismus von K v -Algebren.
Folgerung 7.7
Mit den Bezeichnungen und Voraussetzungen wie in Proposition 7.6 gilt
[L w : K v ] und für alle γ ∈ L jeweils
[L : K ] =
w|v
TrL|K (γ) =
TrL w |K v (γ) und NL|K (γ) =
v|w
Beweis:
NL w |K v (γ).
v|w
Die erste Gleichung folgt direkt aus dem Isomorphismus L ⊗K K v ∼
=
w|v
L w von K v -Algebren, denn mit
n = [L : K ] gilt einerseits dimK v (L ⊗ K v ) = n, andererseits dimK v L w = [L w : K v ], wobei der Erweiterungsgrad [L w : K v ]
über die Einbettung ιw : K v → L w definiert ist.
Für die übrigen beiden Gleichungen betrachten wir den Endomorphismus µγ der K v -Algebra L ⊗K K v gegeben durch
Multiplikation mit γ. Die Operation von µγ auf der K v -Basis {αk ⊗ 1 | 0 ≤ k < n} von L ⊗K K v entspricht der entsprechenden Multiplikations-Operation von γ auf der K -Basis {αk | 0 ≤ k < n} von L. Deshalb gilt TrL|K (γ) = Tr(µγ ) und
NL|K (γ) = det(µγ ). Andererseits entspricht die Operation von µγ auf der K v -Algebra
tenweisen Multiplikation mit γ. Daraus folgt Tr(µγ ) =
w|v
TrL w |K v (γ) und det(µγ ) =
w|v
L w ebenfalls der komponen-
w|v
NL w |K v (γ).
Für den nächsten Satz verwenden wir das Nakaya-Lemma aus der Kommutativen Algebra: Ist (R, m) ein lokaler Ring
und M ein endlich erzeugter R-Modul mit mM = 0, dann folgt M = 0.
—– 97 —–
§ 7.
Bewertungsfortsetzungen und Verzweigungstheorie
Der Erweiterungsgrad [L w : K v ] hängt nun mit dem Verzweigungsindex und dem Trägheitsgrad folgendermaßen zusammen.
Satz 7.8
Sei (K , v) ein henselscher Körper, L|K eine endliche Erweiterung und w die eindeutig
bestimmte Fortsetzung von v auf L. Setzen wir e = e(w|v) und f = f (w|v), dann gilt [L : K ] ≥ e f .
Ist die Erweiterung L|K separabel und v diskret, dann ist sogar [L : K ] = e f erfüllt.
Beweis:
Seien ω1 , ..., ω f ∈ O w Repräsentanten einer κv -Basis von κw und π0 , ..., πe−1 ∈ O w ein System von Elementen
= 0 mit der Eigenschaft, dass die Werte w(πi ) ∈ w(L × ) ein Repräsentantensystem von w(L × )/v(K × ). Wir zeigen, dass
die Elemente
πi ω j
0≤i ≤e , 1≤ j ≤ f
mit
über K linear unabhängig sind und beweisen damit die Ungleichung [L : K ] = dimK L ≥ e f . Seien also a i j ∈ K Elemente mit der Eigenschaft
e−1 f
a i j πi ω j
=
0
i =0 j =1
und nehmen wir an, dass a i j = 0 für mindestens ein Paar (i , j ) gilt. Wir zeigen zunächst, dass dann auch die Summe
si =
f
a ω
j =1 i j j
ungleich Null ist. Dividieren wir s i durch den Koeffizienten a i j mit der kleinsten Bewertung, dann
erhalten wir eine O v -Linearkombination der Elemente ω1 , ..., ω f , wobei einer der Koeffizienten gleich 1 ist. Weil die
Bilder der Elemente ω j in κw über κv linear unabhängig sind, ist die O v -Linearkombination ≡ 0 mod pw . Daraus
wiederum folgt w(s i ) = w(a i j ) ∈ v(K × ).
In der Gleichung
e−1
i =0 s i πi
= 0 müssen zumindest zwei Summanden s i πi und s k πk dieselbe Bewertung unter w ha-
ben, denn ansonsten wäre die Summe (wegen w(α + β) = min{w(α), w(β)} für w(α) = w(β)) ungleich Null. Es gilt also
w(s i ) + w(πi ) = w(s k ) + w(πk ) und somit
w(πi )
=
w(s k ) + w(πk ) − w(s i )
=
v(s k ) + w(πk ) − v(s i )
≡
w(πk ) mod v(K × )
im Widerspruch zur Wahl der Elemente π0 , ..., πe−1 . Damit ist der Nachweis der linearen Unabhängigkeit abgeschlossen.
Setzen wir nun voraus, dass L|K separabel und v diskret ist. Nach Satz 5.10 ist die eindeutig bestimmte Fortsetzung
w gegeben durch
1
n (v
◦ NL|K ) mit n = [L : K ]. Dies zeigt, dass mit v auch die Bewertung w diskret ist. Außerdem ist
der Bewertungsring O w ein freier O v -Modul vom Rang n, denn O w ist der ganze Abschluss von O v in der separablen
Erweiterung L|K vom Grad n (vgl. Beweis von Satz 6.25). Bezeichnen wir mit πL eine beliebige Ortsuniformisierende
von w, dann bilden die Werte der Elemente πi = πiL mit 0 ≤ i ≤ e − 1 ein Repräsentantensystem von w(L × )/v(K × ). Wir
betrachten nun den O v -Modul
e−1 f
M
=
O v πi ω j .
i =0 j =1
Auf Grund der linearen Unabhängigkeit der Elemente πi ω j handelt es sich um einen freien O v -Modul vom Rang e f .
Wenn wir zeigen können, dass M = O w gilt, dann folgt daraus die gewünschte Gleichung n = e f . Setzen wir N =
f
O ω , dann gilt offenbar
j =1 v j
M = N + πL N + ... + πe−1
L N . Nun gilt zunächst
Ow
=
N + pw
=
N + πL O w
—– 98 —–
,
§ 7.
Bewertungsfortsetzungen und Verzweigungstheorie
denn weil die Bilder der Elemente ω j eine Basis von κw als κv -Vektorraum bilden, gibt es für jedes α ∈ O w jeweils
Elemente a 1 , ..., a f ∈ O v mit α ≡
Ow
f
a ω
j =1 j j
N + πL O w
=
=
...
=
mod pw . Es folgt
=
N + πL N + π2L O w
=
N + πL N + π2L N + π3L O w
N + πL N + ... + πLe−1 N + πeL O w
=
M + pv O w .
¯ = O w /M , dann ist mit O w auch M
¯ ein endlich erzeugter O v -Modul, und auf Grund der soeben bewieseSetzen wir M
¯ = 0. Mit dem Nakayama-Lemma erhalten wir M
¯ = 0 und somit M = O w .
nen Gleichung gilt pv M
Ist L = K (α) eine endliche, separable Erweiterung und f ∈ K [x] das Minimalpolynom von α, dann sind auch die irreduziblen Polynome f w ∈ K v [x] in der f =
w|v f w
und damit die Erweiterungen L w |K v alle separabel. Aus Folgerung
7.7 und Satz 7.8 folgt somit
Folgerung 7.9
Ist K ein Körper, v eine diskrete Bewertung auf K und L|K eine endliche, sepa-
rable Erweiterung, dann gilt
[L : K ]
e(w|v) f (w|v).
=
w|v
Sei L|K eine Erweiterung von Zahlkörpern. Aus der Algebraischen Zahlentheorie ist bekannt, dass für jedes maximale
e
e
Ideal p von O K mit einer Produktzerlegung pO L = P11 · ... · Pr r die Gleichung [L : K ] =
r
e f
k=1 k k
gilt, wobei f k jeweils
den Trägheitsgrad von Pk über p bezeichnet. In der Bewertungstheorie entspricht dies nun der Gleichung [L : K ] =
r
e(w k |v p ) f
k=1
(w k |v p ), mit den Bewertungsfortsetzungen w k = e k−1 v Pk von v p .
Dieser Zusammenhang zwischen Ideal- und Bewertungstheorie liefer einen neuen Ansatz, die Primfaktorzerlegung
von pO L zu bestimmen. Zunächst wählt man ein Element α ∈ O L mit der Eigenschaft, dass L = K (α) erfüllt ist. Das
Minimalpolynom f von α über K ist dann in O K [x] enthalten. Betrachten wir nun die Zerlegung f =
r
f
k=1 k
in ir-
reduzible Polynome K p [x]. Weil f ∈ O K [x] normiert ist, handelt es sich bei den Faktoren f k um normierte Polynome
über dem Bewertungsring O v ⊆ K v von v = v p . Wie bereits ausgeführt wurde, entspricht jedem f k ein über p liegendes
Primideal Pk und eine zugehörige Bewertungsfortsetzung w k von v. Die Werte e(w k |v) und f (w k |v) bestimmt man
mit Hilfe der Gleichung
r
[L : K ]
e(w k |v) f (w k |v)
=
k=1
und durch explizite Bestimmung von Elementen in der Wertegruppe bzw. im Restklassenkörper. Wir illustrieren diese
Vorgehensweise anhand einer Reihe von Beispielen.
(i) Sei α ∈ C eine Nullstelle des irreduziblen Polynoms f = x 5 −x 4 +2x 3 +3x +5 ∈ Q[x] und K = Q(α). Das Ziel unserer Berechnung ist die Produktzerlegung des Hauptideals 5O K in Primideale, zusammen mit den zugehörigen
Verzweigungsindizes und Trägheitsgraden. Das Bild f¯ ∈ F5 [x] von f besitzt die Zerlegung f¯ = x(x + 2¯ )(x − 1¯ )3 .
Dabei sind die Faktoren x, x + 2¯ und (x − 1¯ )3 paarweise teilerfremd, können also nach dem Henselschen Lemma zu Polynomen in Z5 [x] geliftet werden. Über Q5 besitzt das Polynom f also eine Zerlegung in ein Produkt
f 1 · f 2 · f 3 in Polynome f k ∈ Z5 [x], wobei f 1 ≡ x mod 5, f 2 ≡ x + 2 mod 5 und f 3 ≡ (x − 1)3 mod 5 gilt. Dabei sind
f 1 und f 2 als Polynome vom Grad 1 natürlich irreduzibel in Q5 [x]. Um die Irreduziblität von f 3 zu untersuchen,
approximieren wir die Nullstellen von f 1 und f 2 genauer und erhalten so
f ≡ (x + 10)(x − 8)(x 3 − 3x 2 − 12x + 9) mod 25.
—– 99 —–
§ 7.
Bewertungsfortsetzungen und Verzweigungstheorie
Es gilt also f 3 ≡ x 3 −3x 2 −12x +9 mod 25. Wie man durch Einsetzen überprüft, hat das Polynom x 3 −3x 2 −12x +9
modulo 25 keine Nullstelle. Daraus folgt, dass f 3 in Q5 keine Nullstelle hat und somit in Q5 [x] irreduzibel ist.
Das Polynom f zerfällt in Q5 also in drei irreduzible Faktoren. Diesen drei Faktoren entsprechen drei Fortsetzungen w 1 , w 2 , w 3 der Bewertung v 5 auf K und drei Primideale P1 , P2 , P3 , die 5O K enthalten. Weil die Polynome f 1 , f 2 vom Grad 1 sind, gilt K w ∼
= Kw ∼
= Q5 und e(w 1 |v) = e(w 2 |v) = f (w 1 |v) = f (w 2 |v) = 1. Also haben P1
1
2
und P2 jeweils Verzweigungsindex und Trägheitsgrad 1. Weil f 3 ein Polynom vom Grad 3 ist, gilt
e(w 3 |v) f (w 3 |v)
[K w 3 : Q5 ]
=
=
3.
Wir zeigen nun noch, dass e(w 3 |v) = 3 und f (w 3 |v) = 1 gilt, indem wir ein passendes Element in der Wer×
tegruppe w 3 (K w
) bestimmen. Sei dazu γ ∈ O w 3 eine Nullstelle von f 3 . Dann bilden die Elemente 1, γ, γ2 ei3
ne Basis von K w 3 als Q5 -Vektorraum, und auf Grund der oben angegebenen Approximation von f 3 gilt γ3 ≡
−9 + 12α + 3α2 mod 25. Wir bestimmen nun die Norm NK w 3 |Q5 (γ − 1) des Elements γ − 1. Die Darstellungsmatrix A γ des Q5 -Vektorraum-Endomorphismus z → γz von K w 3 stimmt modulo 5 mit der Matrix


−1 0 −9


 1 −1 12 


0
1
2
überein. Daraus folgt NK w 3 |Q5 (γ − 1) ≡ det(A γ ) ≡ 5 mod 25. Wir erhalten w 3 (γ − 1) =
1
3 v 5 (5)
=
1
3.
Dies zeigt, dass e(w 3 |v) =
×
(w(K w
)
3
:
v(Q×
5 ))
1
3 v 5 (NK w 3 |Q5 (γ − 1))
=
≥ 3 ist. Zusammen mit e(w 3 |v) f (w 3 |v) = 3 folgt dar-
aus die Behauptung. Insgesamt erhalten wir die Primfaktorzerlegung 5O K = P1 P2 P33 , und der Trägheitsgrad
von P3 ist gleich 1.
(ii) Nun bestimmen wir noch die Primfaktorzerlegung von 11O K . Das Bild von f in F11 [x] hat die Zerlegung f¯ =
(x − 4¯ )(x 2 + 4¯ )(x 2 + 3¯ x − 1¯ ). Diese Faktoren sind in F11 irreduzibel, also insbesondere teilerfremd. Wir können
also wieder das Henselsche Lemma anwenden und erhalten eine Zerlegung f = f 1 · f 2 · f 3 von f in Polynome
f k ∈ Z11 [x], mit f 1 ≡ x − 4 mod 11, f 2 ≡ x 2 + 4 mod 11 und f 3 ≡ x 2 + 3x − 1 mod 11. Weil diese Polynome modulo
11 keine Nullstelle besitzen, sind sie in Q11 [x] irreduzibel. Die Bewertung v 11 besitzt also wieder drei Fortsetzungen w 1 , w 2 , w 3 auf K . Dabei gilt K w ∼
= Q11 und [K w : Q11 ] = [K w : Q11 ] = 2. Das zu w 1 gehörende Primide1
2
3
al P1 ⊇ 11O K hat Verzweigungsindex und Trägheitsgrad 2. Für die Bestimmung von e(w 2 |v) und f (w 2 |v) sei
γ ∈ K w 3 eine Nullstelle von f 2 . Weil das Bild γ¯ ∈ κw 2 Nullstelle des irreduziblen Polynoms x 2 + 4¯ ∈ F11 [x] ist, gilt
f (w 2 |v)
=
[κw 2 : F11 ]
≥
¯ : F11 ]
[F11 (γ)
=
2 ,
wegen e(w 2 |v) f (w 2 |v) = 2 also e(w 2 |v) = 1 und f (w 2 |v) = 2. Genauso zeigt man e(w 3 |v) = 1 und e(w 3 |v) = 2.
Insgesamt erhalten wir damit die Primidealzerlegung 11O K = P1 P2 P3 , wobei P1 vom Trägheitsgrad 1 und
P2 , P3 vom Trägheitsgrad 3 sind.
(iii) Nun sei α ∈ C eine Nullstelle des irreduziblen Polynoms f = x 3 − x 2 − 2x − 8 ∈ Q[x] und K = Q(α). Das Bild von
f in F2 [x] ist gegeben durch f¯ = x 2 (x + 1¯ ). Die Faktoren x 2 und x + 1¯ sind teilerfremd, lassen sich also nach dem
Henselschen Lemma zu Faktoren g , f 3 ∈ Z2 [x] liften, mit g ≡ x 2 mod 2 und f 3 ≡ x + 1 mod 2. Durch genauere
Approximation der Nullstelle erhält man für g die Näherung g ≡ (x + 4)(x + 2) mod 8. Es folgt g = 2x − 2, also
g (−4) ≡ −10 ≡ 2 mod 8 und g (−2) = −6 ≡ 2 mod 8. Damit ist die Bedingung v 2 (g (a)) = 3 > 2 · 1 = 2v 2 (g (a)) für
a = −4 und a = −2 erfüllt, und nach Satz 5.4 besitzt g damit zwei verschiedene Nullstellen in Q2 . Insgesamt zerfällt f über Q2 also in Linearfaktoren. Damit hat die Bewertung v 2 drei verschiedene Fortsetzungen w 1 , w 2 , w 3
—– 100 —–
§ 7.
Bewertungsfortsetzungen und Verzweigungstheorie
auf K , deren Trägheitsgrad und Verzweigungsindex jeweils gleich 1 sind. Wir erhalten eine Primfaktorzerlegung
der Form 2O K = P1 P2 P3 , und jedes der Primideale Pk hat Verzweigungsindex und Trägheitsgrad 1.
Der Zahlkörper K in Beispiel (iii) ist vor allem deshalb interessant, weil im Ganzheitsring O K kein Element γ existiert
mit der Eigenschaft, dass der Führer von Z[α] in O K teilerfremd zu 2 ist (siehe Neukirch, § III.2, Aufgabe 1). Dies bedeutet, dass mit dem allgemeinen Primzerlegungsgesetz für Zahlkörper die Faktorisierung von 2O K nicht ausgerechnet
werden kann.
Im Folgenden sei (K , v) ein henselscher Körper mit Restklassenkörper κ. Für jedes algebraische Erweiterung L|K sei
v L die eindeutig bestimmte Fortsetzung von v auf L, es sei O L der Bewertungsring, mL das maximale Ideal und κL =
O L /mL der Restklassenkörper von L. Außerdem sei K alg ein algebraischer Abschluss von K und K sep ⊆ K alg der darin
enthaltene separable Abschluss.
Proposition 7.10
(i) Für jede endliche Erweiterung L|K ist auch κL |κ endlich, und es gilt [κL : κ] ≤ [L : K ].
(ii) Ist L|K algebraisch, dann ist auch κL |κ eine algebraische Erweiterung.
(iii) Der Restklassenkörper von K alg ist ein algebraischer Abschluss von κ (den wir mit κalg
bezeichnen).
Beweis:
zu (i) Dies ist eine direkte Folgerung aus der Gleichung [L : K ] = e(v L |v) f (v L |v) aus Satz 7.8.
zu (ii) Ist α¯ ∈ κL und α ∈ O L ein Urbild. Weil L|K algebraisch ist, ist die Erweiterung K (α)|K endlich. Nach (i) ist auch
¯ : κ] endlich. Daraus folgt, dass κL |κ algebraisch ist.
[κ(α)
zu (iii) Sei λ der Restklassenkörper von K alg . Nach (ii) ist λ|κ jedenfalls eine algebraische Erweiterung. Um zu zeigen,
dass λ algebraisch abgeschlossen ist, sei f¯ ∈ κ[x] ein vorgegebenes irreduzibles, normiertes Polynom und f ∈ O K [x]
sein Urbild. Dieses besitzt f in K alg eine Nullstelle α, die darüber hinaus im Bewertungsring des Körpers enthalten ist.
¯ dann gilt f¯(α)
¯ = 0.
Bezeichnen wir das Bild von α in λ mit α,
Definition 7.11
Sei (K , v) ein henselscher Körper. Eine endliche Erweiterung L|K wird unver-
zweigt genannt, wenn die zugehörige Erweiterung λ|κ der Restklassenkörper separabel ist und
[L : K ] = [λ : κ] gilt. Eine beliebige algebraische Erweiterung L|K heißt unverzweigt, wenn jede
endliche Teilerweiterung M |K von L|K unverzweigt sind.
Ist K ein lokaler Körper der Charakteristik 0, dann ist die Bewertung diskret und jede algebraische Erweiterung L|K
separabel. Für jede endliche Erweiterung L|K gilt dann nach Satz 7.8 die Gleichung [L : K ] = e(w|v) f (w|v), wobei
w die eindeutig bestimmte Fortsetzung von v auf L bezeichnet. Weil der Restklassenkörper κ von K endlich ist, ist
der Restklassenkörper λ von L als algebraische Erweiterung automatisch separabel über κ. Insgesamt gilt damit die
Äquivalenz
L|K unverzweigt
⇔
f (w|v) = [L : K ]
⇔
e(w|v) = 1.
Im allgemeinen Fall ist e(w|v) = 1 zwar eine notwendige, aber keine hinreichende Bedingung für eine unverzweigte
Erweiterung.
—– 101 —–
§ 7.
Bewertungsfortsetzungen und Verzweigungstheorie
Sei L|K eine endliche, unverzweigte Erweiterung. Dann gibt es ein normiertes
Polynom f ∈ O K [x] mit der Eigenschaft, dass sowohl f als auch das Bild f¯ ∈ κ[x] irreduzibel und
Lemma 7.12
separabel sind, und eine Nullstelle α ∈ O L [x] von f mit L = K (α).
Mit L|K ist nach Proposition 7.10 auch die Erweiterung κL |κ endlich, außerdem separabel. Nach dem Satz
¯ und das Minimalpolynom f¯ ∈ κ[x] von
vom primitiven Element existiert deshalb ein Element α¯ ∈ κL mit κL = κ(α),
¯
α¯ über κ ist separabel. Sei f ∈ O K [x] ein normiertes Urbild von f . Dann ist f irreduzibel, denn ansonsten gäbe es
Beweis:
nach dem Lemma von Gauß eine Zerlegung von f eine Zerlegung f = g h in normierte, nicht-konstante Polynome
g , h ∈ O K [x], und durch Reduktion modulo pK würde man eine entsprechende Zerlegung in κ[x] enthalten. Außerdem
ist f separabel, denn jeder normierte gemeinsame Teiler von f und f in K [x] ist in O K [x] enthalten, und durch
Reduktion modulo pK erhält man einen normierten, gemeinsamen Teiler von f¯ und f¯ .
Nach dem Henselschen Lemma existiert ein Urbild α ∈ O L von α¯ mit f (α) = 0. Wegen K (α) ⊆ L und
[K (α) : K ]
=
grad( f )
=
grad( f¯)
=
¯ : κ]
[κ(α)
=
[λ : κ]
=
[L : K ]
folgt L = K (α). Weil das Polynom f separabel ist, gilt dasselbe für die Erweiterung L|K .
Proposition 7.13 Sei (K , v) ein henselscher Körper, K alg ein algebraischer Abschluss von K , und
seien L, K Teilkörper von K .
(i) Ist L|K unverzweigt, dann auch LK |K .
(ii) Für jeden Zwischenkörper M einer unverzweigten Erweiterung L|K sind auch die Erweiterungen M |K und L|M unverzweigt.
(iii) Das Kompositum zweier unverzweigter Teilerweiterungen von K alg |K ist unverzweigt.
Beweis:
zu (i) Zunächst führen wir die Aussage auf endliche unverzweigte Erweiterungen zurück. Nach Definition
genügt es zu zeigen, dass jede endliche Teilerweiterung von LK |K unverzweigt ist. Jede solche Teilerweiterung hat die
Form L 1 = K (α1 , ..., αn ) mit geeigneten αk ∈ L. Setzen wir L 1 = K (α1 , ..., αn ), dann gilt L 1 = L 1 K . Nach Definition ist
die endliche Erweiterung L 1 |K unverzweigt. Wenn wir die Aussage für endliche unverzweigte Erweiterungen bewiesen
haben, dann folgt daraus also die Unverzweigtheit von L 1 |K .
Setzen wir also voraus, dass L|K endlich und unverzweigt ist. Nach Lemma 7.12 gibt es ein normiertes Polynom f ∈
O K [x] mit Bild f¯ ∈ κ[x] und eine Nullstelle α ∈ O L mit Bild α¯ ∈ κL , so dass f und f¯ beide irreduzibel und separabel sind
und L = K (α) gilt. Es folgt dann L = K (α). Sei h ∈ O K [x] das Minimalpolynom von α über K und h¯ das Bild in κK [x].
Aus f (α) = 0 folgt h | f und h¯ | f¯, und als Teiler von f¯ ist auch h¯ separabel. Daraus folgt, dass h¯ irreduzibel ist, denn in
einer Zerlegung von h¯ = h¯ 1 h¯ 2 in nicht-konstante Polynome wären h¯ 1 und h¯ 2 teilerfremd, und die Zerlegung könnte
mit dem Henselschen Lemma nach O K [x] geliftet werden, im Widerspruch zur Irreduziblität von h. Es folgt nun
[κL : κK ]
≤
[L : K ]
=
deg(h)
=
¯
deg(h)
=
¯ : κK ]
[κK (α)
≤
[κL : κK ].
¯ gilt. Weil es sich bei α¯ um eine Nullstelle des separablen Polynoms h¯
Die Rechnung zeigt auch, dass κL = κK (α)
handelt, ist die Erweiterung κL | κK separabel.
zu (ii) Sei M ein Zwischenkörper von L|K . Nach (i) ist LM |M , also L|M unverzweigt. Es bleibt zu zeigen, dass M |K
unverzweigt ist. Handelt es sich bei L|K um eine unendliche Erweiterung, dann ist nach Definition jede endliche
—– 102 —–
§ 7.
Bewertungsfortsetzungen und Verzweigungstheorie
Teilerweiterung von L|K , also auch jede endliche Teilerweiterung von M |K unverzweigt. Daraus folgt dann, dass M |K
unverzweigt ist. Setzen wir also voraus, dass L|K endlich ist. Nach Voraussetzung ist die Erweiterung κL |κ der Restklassenkörper separabel, also auch die Teilerweiterung κM |κ. Weil L|M unverzweigt ist, gilt außerdem [L : M ] = [κL : κM ].
Mit dem Gradsatz folgt
[M : K ]
=
[L : K ]
[L : M ]
=
[κL : κ]
[κL : κM ]
=
[κM : κ].
zu (iii) Seien L|K und M |K zwei unverzweigte Teilerweiterungen von K alg |K . Dabei können wir uns auf den Fall beschränken, dass beide Erweiterungen endlich sind, denn jede endliche Teilerweiterung von LM |K ist als Kompositum
von endlichen Teilerweiterungen von L|K bzw. M |K darstellbar. Aus (i) folgt, dass LM |M unverzweigt ist. Mit κLM |κM
und κM |κ ist auch κLM |κ separabel. Außerdem gilt [LM : M ] = [κLM : κM ], [M : K ] = [κM : κ] und somit
[LM : K ]
=
[LM : M ][M : K ]
=
[κLM : κM ][κM : κ]
=
[κLM : κ].
Aus Teil (iii) von Proposition 7.13 folgt unmittelbar, dass auch das Kompositum einer beliebigen Familie (L i )i ∈I unverzweigter Teilerweiterungen wieder unverzweigt ist. Daraus folgt, dass jede algebraische Erweiterung L|K eine größte
unverzweigte Teilerweiterung enthält. Im speziellen Fall L = K alg bezeichnen wir diese mit K un .
Folgerung 7.14
Jede unverzweigte Erweiterung L|K ist separabel. Insbesondere ist K un also im
separablen Abschluss K sep von K enthalten.
Beweis: Nach Proposition 7.13 ist jede endliche Teierweiterung von L|K unverzweigt, und aus Lemma 7.12 folgt, dass
jede solche Teilerweiterung separabel ist. Also ist auch L|K separabel.
Proposition 7.15
Sei L|K eine unverzweigte Erweiterung und T die maximale unverzweigte
Teilerweiterung.
(i) Der Körper ist κT der separable Abschluss von κ in κL .
(ii) Für alle Zwischenkörper L 1 , L 2 von T |K gilt die Äquivalenz L 1 ⊆ L 2 ⇔ κL 1 ⊆ κL 2 . Die Zuordnung L 1 → κL 1 definiert also einen Verbandsisomorphismus zwischen der Menge der
Zwischenkörper von T |K und der Menge der Zwischenkörper von κT |κ.
zu (i) Sei α¯ ∈ κL separabel über κ. Zu zeigen ist, dass α¯ in κT enthalten ist. Sei dazu f¯ ∈ κ[x] das Minimalpolynom von α¯ über κ und f ∈ O K [x] ein normiertes Urbild. Weil f¯ in κ[x] irreduzibel ist, gilt dasselbe für f in K [x]. Auf
Beweis:
Grund der Separabilität von f¯ ist α¯ eine einfache Nullstelle von f¯. Wir können also das Henselsche Lemma anwenden
und erhalten eine einfache Nullstelle α ∈ O L von f . Wegen
¯ : κ]
[κ(α)
=
grad( f¯)
=
grad( f )
=
[K (α) : K ]
¯
und der Separabilität von κ(α)|κ
ist K (α)|K unverzweigt, also α ∈ T und damit α¯ ∈ κT .
zu (ii) Seien L 1 , L 2 Zwischenkörper von L|K . Setzen wir L 1 ⊆ L 2 voraus, dann folgt κL 1 ⊆ κL 2 , denn jedes α¯ ∈ κL 1
besitzt ein Urbild α ∈ O L 1 . Dieses liegt auf Grund der Voraussetzung in O L 2 , und es folgt α¯ ∈ κL 2 . Nehmen wir nun
—– 103 —–
§ 7.
Bewertungsfortsetzungen und Verzweigungstheorie
umgekehrt an, dass κL 1 ⊆ κL 2 gilt. Offenbar genügt es zu zeigen, dass O L 1 ⊆ L 2 gilt. Sei α ∈ O L 1 und α¯ das Bild in κL 1 .
Der Restklassenkörper von L 2 (α) ist
¯
κL 2 (α)
=
¯
κL 1 (α)
=
κL 1
=
κL 2 .
¯ : κL 2 ] = 1 und somit α ∈ L 2 .
Weil mit T |K auch die Erweiterug L 2 (α)|L 2 unverzweigt ist, gilt [L 2 (α) : L 2 ] = [κL 2 (α)
Die soeben bewiesene Äquivalenz zeigt, das die angegebene Zuordnung L 1 → κL 1 injektiv ist. Sei nun umgekehrt κ1
ein Zwischenkörper von κT |κ und beschränken wir uns zunächst auf den Fall, dass die Erweiterung endlich ist. Auf
¯ Wie soeben gezeigt, existiert ein Urbild α ∈ O L mit der EigenGrund der Separablität existiert ein α¯ ∈ κT mit κ1 = κ(α).
¯ = κ1 . Ist κ1 |κ
schaft, dass K (α)|K unverzweigt ist. Der Restklassenkörper der unverzweigten Erweiterung ist dann κ(α)
unendlich, dann kann κ1 als Kompositum einer Familie (κi )i ∈I von Zwischenkörpern κT |κ dargestellt werden. Für
jedes i ∈ I gibt es eine (endliche) unverzweigte Erweiterung L i |K mit κi als Restklassenkörper, und L i ist Zwischenkörper von T |K . Das Kompositum all dieser Körper ist dann ein Zwischenkörper von T |K mit κ1 als Restklassenkörper.
Aus dem soeben bewiesenen Satz folgt insbesondere, dass K un den Körper κsep als Restklassenkörper besitzt, denn
nach Proposition 7.10 ist der Restklassenkörper κalg von K alg ein algebraischer Abschluss von κ, und κsep ist der darin enthaltene separable Abschluss. Nach Teil (ii) existiert also ein Verbandisomorphismus zwischen den separablen
Erweiterungen von κ und den unverzweigten Erweiterungen von K (jeweils in einem festgewählten algebraischen
Abschluss).
Sei m ∈ N eine Zahl, die von p = char(κ) nicht geteilt wird, und im Fall char(κ) = 0 beliebig gewählt werden kann.
Sei ζ¯ ∈ κalg eine primitive m-te Einheitswurzel und f¯ das Minimalpolynom von β¯ über κ. Als Teiler von x m − 1¯ ist f¯
separabel, also liegt ζ¯ in κsep . Nach dem Henselschen Lemma kann der Faktor f¯ von x m − 1¯ zu einem normierten
Teiler f ∈ O K [x] von x m −1 geliftet werden, und mit f¯ ist auch f über dem Grundkörper K irreduzibel. Sei ζ ∈ K alg eine
¯ insbesondere separabel, und es gilt
Nullstelle von f . Dann ist der Restklassenkörper von K (ζ) gleich κ(ζ),
[K (ζ) : K ]
=
grad( f )
=
grad( f¯)
=
¯ : κ].
[κ(ζ)
Also ist die Erweiterung K (ζ)|K unverzweigt. Dies zeigt, dass K un die Menge S p sämtlicher Einheitswurzeln mit zu
p teilerfremder Ordnung enthält. Ist darüber hinaus κ endlich, dann sind alle Elemente in (κsep )× Einheitswurzeln
mit zu p teilerfremder Ordnung. In diesem Fall ist dann κsep der Restklassenkörper von K (S p )|K . Zusammen mit
K (S p ) ⊆ K un und Proposition 7.15 folgt daraus, dass K (S p ) und K un übereinstimmen. Insbesondere erhält man für
jede Primzahl p den Körper Qun
p durch Adjunktion aller Einheitswurzeln mit zu p teilerfremder Ordnung.
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