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Blatt 6 - Mathematik - Universität des Saarlandes

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¨ DES SAARLANDES
UNIVERSITAT
Fachrichtung 6.1 (Mathematik)
Prof. Dr. Mark Groves
Funktionalanalysis 1, WS 2014/15
¨
Ubungsblatt
6
1. In dieser Aufgabe verwenden wir den Satz von Riesz mit m = n = 2, T1 = x + y und
T2 = x − y:
• Es seien T1 , . . . , Tn : Cm → C lineare Abbildungen und
a
n
1/a
|Ti (x1 , . . . , xm )|
Ma,b := max
i=1
b
m
|xi
.
|1/b
i=1
Dann ist f (a, b) := log Ma,b konvex im Dreieck {(a, b) : 0 ≤ a ≤ b ≤ 1}. [Im Falle
c
|zi |1/c durch seinen Grenzwert max |zi | zu ersetzen.]
c = 0 ist
(a) Zeigen Sie: f ( 21 , 12 ) = 12 log 2, f (0, 1) = 0, f (0, 0) = log 2.
(b) Es seien r, s reelle Zahlen derart, dass ( 1r , 1s ) im Dreieck mit Eckpunkten (0, 0), (0, 1),
( 12 , 21 ) liegt. Folgern Sie aus (a):
(|x + y|r + |x − y|r )1/r ≤ 21−1/s (|x|s + |y|s )1/s
(c) Es seien p ∈ (1, 2] und
1
p
+
1
q
f¨
ur alle x, y ∈ C.
= 1. Folgern Sie aus (b):
|x + y|q + |x − y|q ≤ 2(|x|p + |y|p )q/p
f¨
ur alle p ∈ (1, 2] und x, y ∈ C.
(d) Es sei t ∈ (0, 1). Zeigen Sie: f1 t + f2 t ≤ f1 + f2 t f¨
ur alle nichtnegativen
Funktionen f1 , f2 ∈ Lt (Ω). [Hinweis: (Lt (Ω), · t ) ist kein normierter Raum f¨
ur
t ∈ (0, 1).]
(e) Leiten Sie die zweite Clarksonsche Ungleichung
f +g
2
q
f −g
+
2
p
q
≤
p
1
f
2
p
p
1
+ g
2
p
p
q
p
f¨
ur alle f , g ∈ Lp (Ω)
aus (c) und (d) her und folgern Sie, dass Lp (Ω) gleichm¨
aßig konvex ist. [Hinweis:
q
q
h p = |h| p−1 .]
2. Der normierter Raum X heißt strikt konvex, falls
x+y
x = 1, y = 1,
=1
2
Zeigen Sie:
⇒
x = y.
(i) Jeder gleichm¨
aßig konvexe Raum ist strikt konvex.
(ii) Die R¨
aume
1
,
∞
, c0 , C[0, 1], L1 (0, 1), L∞ (0, 1) sind nicht strikt konvex.
3. Es sei X ein separabler Banachraum.
a) Zeigen Sie: Es gibt eine Surjektion T ∈ B( 1 , X).
∞
1
, wobei {xn }∞
[Hinweis: Definiere T ({an }) =
ur {an }∞
n=1 eine
n=1 ⊂
n=1 an xn f¨
∞
abz¨
ahlbare Teilmenge von B 1 (0) ⊂ X mit {xn }n=1 = B 1 (0) ist.]
b) Beweisen Sie den Satz von Banach und Mazur : Es gibt eine abgeschlossene Teilmenge
M von 1 , so dass X isometrisch isomorph zum Quotientenraum 1 /M ist.
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