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Materialien zu FTH II

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Prof. Dr. Norbert Steinmetz
Lehrstuhl Funktionentheorie
Institut f¨
ur Mathematik
Technische Universit¨
at Dortmund
Aufgabenbla¨tter und Anmerkungen
zur Vorlesung Funktionentheorie II im WS 2014/15
Die k¨
urzeste Verbindung zwischen zwei
Aussagen u
uhrt u
¨ber reelle Zahlen f¨
¨ber
komplexe Zahlen. Jacques Hadamard
Lehrbu
¨ cher
L. V. Ahlfors, Complex analysis
J. Conway, Functions of one complex variable I
W. Fischer, I. Lieb, Funktionentheorie
R. Nevanlinna, V. Paatero, Einf¨
uhrung in die Funktionentheorie
Th. Gamelin, Complex analysis
F. Lorenz, Funktionentheorie
W. Rudin, Real and complex analysis,
auch als Reelle und komplexe Analysis
E. Stein, R. Shakarchi, Complex analysis
Aufgabensammlungen
G. P´olya, G. Szeg¨o, Aufgaben und Lehrs¨atze aus der Analysis I, II
L. Volkovyskii, G. Lunts, I. Aramanovich, A collection of problems on
complex analysis
∗∗∗
Die Aufgaben sind mehr Denk- als Rechenaufgaben (der Mathematik als der
Wissenschaft vom Denken angemessen). Sie werden nicht korrigiert, vielmehr
¨
gemeinsam in den Ubungen
besprochen. Dies erfordert nat¨
urlich eine einge¨
hende Vorbereitung. Die Probleme der Woche sind, anders als die Ubungsaufgaben, nicht unmittelbar an den aktuellen Vorlesungsstoff angepasst.
∗∗∗
1
10. Aufgabenblatt
Aufgabe 1 Es seien a, b und c holomorph im Gebiet D. Bestimmen Sie in
D holomorphe Funktionen α, β, γ, δ, so dass sich jede L¨osung der Riccatischen
Differentialgleichung
w = a(z) + b(z)w + c(z)w2
lokal in der Form w = u/v mit linear unabh¨angigen (lokalen) L¨osungen u
und v des linearen Systems
u = α(z)u + β(z)v, v = γ(z)u + δ(z)v
darstellen l¨asst.
Aufgabe 2 Eine im Gebiet D meromorphe Funktion f heisst lokal
schlicht, wenn sie keine kritischen Punkte hat (also f und (1/f ) = 0 sind).
Zeigen Sie:
f
1 f 2
a) Die Schwarzsche Ableitung Sf =
−
von f erf¨
ullt
f
2 f
S1/f = Sf und ist holomorph in D.
b) f kann lokal in der Form f = u1 /u2 dargestellt werden, wobei u1 und
u2 linear unabh¨angige (lokale) L¨osungen der linearen Differentialgleichung
1
u + Sf (z)u = 0
2
√
sind. (Hinweis: Setzen Sie lokal u2 = 1/ f und dann u1 = f u2 ; logarithmisch
differenziert’s sich leichter.)
c) Umgekehrt gilt: Ist D einfach zusammenh¨angend und q holmorph in
D, so sind die L¨osungen der (hochgradig) nichtlinearen Differentialgleichung
Sf = 2q(z) in D lokal schlichte meromorphe Funktionen (d.h., man kann Sf
vorschreiben).
d) Fast ohne Rechnung: F¨
ur jede M¨obiustransformation T gilt ST ◦f = Sf .
Problem des Jahres 2014. Es sei A eine polynomiale n×n-Matrix und
b ein polynomialer n-Vektor (d.h., die Eintr¨age aµν und bν sind Polynome).
Zeigen Sie, dass die Komponenten der L¨osungen von
w = A(z)w + b(z)
2
ganze Funktionen von endlicher Ordnung sind. (Hinweis: F¨
ur z = reiθ , 0 ≤
n
r ≤ R und v(r) = |w(z)| (Euklidnorm in C ) ist eine Ungleichung der Form
r
v(r) ≤ |w(0)| + BRβ+1 + ARα
v(t) dt (0 ≤ r ≤ R)
0
herzuleiten. Woher m¨ogen die Konstanten A, B, α, β wohl kommen? Und
was ist dann zu tun?
∗∗∗
9. Aufgabenblatt
Aufgabe 1 F¨
ur ein kanonisches Produkt gilt (zu den Bezeichnungen vgl.
die Vorlesung) q ≤ ≤ q + 1. Geben Sie je ein Beispiel an mit = q bzw.
= q + 1.
Aufgabe 2 Es sei L ein Gitter, (ω1 , ω2 ) eine Basis und τ = ω2 /ω1 . Zeigen
Sie, dass es genau eine Basis gibt, so dass
(a) Im τ > 0,
(b) − 21 < Re τ ≤ 12 ,
(c) |τ | ≥ 1 und
(d) Re τ ≥ 0 falls |τ | = 1.
Aufgabe 3 (fortgesetzt) Es sei ℘ die P-Funktion zu dem von ω1 und ω2
mit Im τ = Im (ω2 /ω1 ) > 0 aufgespannten Gitter, mit kritischen Punkten
2
e1 = ℘( ω21 ), e2 = ℘( ω22 ), e3 = ℘( ω1 +ω
) und e4 = ∞. Zeigen Sie, dass durch
2
λ(τ ) = (e1 , e2 , e3 , e4 )
(Doppelverh¨altnis) in Im τ > 0 eine nur von τ abh¨angige holomorphe Funktion definiert wird. (Hinweis: Untersuchen Sie e1 −e3 und analog e2 −e3 mittels
der Mittag-Leffler-Reihe der P-Funktion.)
Aufgabe 4 (fortgesetzt) Zeigen Sie:
(a) λ(τ ) = 1, 0, ∞
aτ + b
(b) λ
= λ(τ ) mit a, b, c, d ∈ Z, ad − bc = 1 genau dann, wenn a
cτ + d
und d ungerade und b und d gerade sind.
(c) λ(τ + 1) = 1 − λ(τ ) und λ(−1/τ ) = 1/λ(t).
(Hinweis: Untersuchen Sie, was mit den kritischen Werten bei einem Basiswechsel ω2 = aω2 + bω1 , ω1 = cω2 + dω1 passiert.)
3
Problem der Woche. Mittels der Differentialgleichung der P-Funktion
℘ 2 = 4(℘ − e1 )(℘ − e2 )(℘ − e3 ) = 4℘3 − g2 ℘ − g3
zum Gitter L (aufgespannt von ω1 , ω2 mit Im τ = Im (ω2 /ω1 ) > 0 wird J(τ ) =
4(1 − λ + λ2 )3
g23
gebildet. Zeigen Sie (a) J =
mit der Funktion λ
g23 − 27g32
27λ2 (1 − λ)2
aτ + b
= J(τ ) f¨
ur alle M¨obiustransformationen
aus Aufgabe 3 sowie (b) J
cτ + d
mit Koeffizienten a, b, c, d ∈ Z, ad − bc = 1.
∗∗∗
8. Aufgabenblatt
Aufgabe 1 Bestimmen Sie zu vorgegebenem 0 ≤
< ∞ eine ganze
Funktion der Wachstumsordnung mittels ihrer unendlich vielen Nullstellen.
Aufgabe 2 Beweisen Sie die Ungleichung von Borel-Caratheodory:
Ist f holomorph in |z| < R, f (0) = 0 und Re f (z) < A, so gilt
|f (z)| ≤
2A|z|
.
R − |z|
(Hinweis: Untersuchen Sie die M¨obiustransformation T (w) =
w
oder
2A − w
wenden Sie das Subordinationsprinzip auf f (Rz) an.)
Aufgabe 3 Zeigen Sie als Folgerung: Hat g(z) = ef (z) , f ganz, endliche
Wachstumsordnung, so ist f ein Polynom.
Aufgabe 4 Es seien f1 und f2 ganze Funktionen der Wachstumsordnung
bzw.
1
2 . Zeigen Sie:
s = f1 + f2 und p = f1 f2 haben die Wachstumsordnung ≤ max{ 1 , 2 },
wobei Gleichheit sicher dann besteht, wenn 1 = 2 ist. (Hinweis: Im Fall des
Produktes hilft das Problem der Woche.)
Problem der Woche. Es sei f eine ganze nichtkonstante Funktion; der
Einfachheit halber sei |f (0)| = 1. Zeigen Sie (log+ x = log max{x, 1} und
2π
1
log+ |f (reit )| dt gesetzt):
m(r, f ) =
2π 0
4
a) m(r, f ) ≤ log+ M (r, f )
R+r
m(R, f ) (r < R)
b) log+ M (r, f ) ≤
R−r
(Hinweis: Poisson-Jensen-Formel).
2π
1
c)
| log |f (reit )|| dt ≤ 2m(r, f )
2π 0
(Hinweis: Jensensche Formel und x+ = 12 (|x| + x) f¨
ur x ∈ R).
Welche M¨oglichkeiten ergeben sich so f¨
ur die Definition der Wachstumsordnung?
∗∗∗
7. Aufgabenblatt
Aufgabe 1 Zeigen Sie, dass ein m-fach zusammenh¨angendes Gebiet (2 <
m < ∞) nur endlich viele konforme Selbstabbildungen zul¨asst. Zeigen Sie
dazu als erstes, dass eine konforme Selbstabbildung, welche die Randkomponenten als ganze festl¨asst, die Identit¨at ist. (Hinweis: Betrachten Sie Kreisringschlitzgebiete.)
¨
Aufgabe 2 Bestimmen Sie eine Uberlagerungsabbildung
von D auf das
Ringgebiet Ar = {z : r < |z| < 1}, wobei r = 0 oder 0 < r < 1 vorgegeben
ist. (Hinweis: Schalten Sie eine konforme Abbildung −→ D Halbebene bzw.
Parallelstreifen vor.)
Aufgabe 3 Eine Gebietsfolge (Dn ) heisst regul¨are Aussch¨opfung des Gebietes D, wenn Dn ⊂ Dn+1 und D = n∈N gilt, und jedes Dn eine Greensche
Funktion g(z, z0 , Dn ) besitzt (z0 ist immer dasselbe). Zeigen Sie, dass es immer eine regul¨are Aussch¨opfung gibt, und dass g(z) = limn→∞ g(z; z0 , Dn )
in D punktweise existiert. Ist g die Greensche Funktion von D (sofern die
existiert)?
Problem der Woche. Es sei D ein hyperbolisches Gebiet und f : D −→
¨
D irgendeine universelle Uberlagerungsabbildung.
Weiter sei
dD (p, q) = log
1+
1−
p−q
1−¯
pq
p−q
1−¯
pq
D (z) |dz|
= inf
: γ Weg von q nach q in D
γ
die invariante (Poincar´e)-Metrik von D (sie ist im Zusammenhang mit dem
2
Lemma von Schwarz-Pick aufgetreten) mit der Dichte D (z) =
.
1 − |z|2
5
Tats¨achlich kommt es auf die genaue Form von dD und D nicht an! Zeigen Sie:
dD (a, b) = inf(dD (p, q) : f (p) = a, f (q) = b} ist eine Metrik auf D.
Die Definition von dD ist unabh¨angig von f .
dD besitzt die wohlbestimmte Dichte D : f¨
ur w = f (z) gilt
D (w)
=
D (z)/|f
(z)|.
dD (a, b) = inf γ γ D (z) |dz|, wobei das Infimum u
¨ber alle Kurven zu nehmen ist, die a mit b in D verbinden.
∗∗∗
Lo
¨sungsskizze. Bei gegebenem p ∈ D mit f (p) = a existiert ein q mit
f (q) = b und dD (p, q) = inf{dD (p, q ) : f (q ) = b}; dies liegt an dD (p, q ) → ∞
f¨
ur |q | → 1, so dass das Infimum zum Minimum wird:
dD (a, b) = inf inf dD (p, q) = inf dD (p, q)
p
q
p
f¨
ur ein q und so dD (a, b) = dD (p, q) f¨
ur geeignete p, q. Damit wird der Nachweis der Metrikeigenschaften einfach.
Die Definition der Poincar´emetrik ist unabh¨angig von f, dies liegt am
¨
Lemma von Schwarz-Pick: Sind f, f˜ : D −→ D Uberlagerungsabbildungen,
˜
gilt also f = f ◦ T mit einer MT T : D −→ D, so ist
dD (T (p), T (q)) = dD (p, q)
dD (a, b) = inf{dD (p, q) : f˜(p) = a, f˜(q) = b}.
Ist D = C einfach zusammenh¨angend und φ : D −→ D eine konforme
Abbildung, so gilt D (z) = D (φ(z))|φ (z)|, also mit f = φ−1 und f (w) =
1/φ (z): D (f (w)) = D (w)/|f (w)|.
Die Poincar´edichte l¨aßt sich allgemein ebenso verpflanzen: Sind f, f˜ uni¨
verselle Uberlagerungsabbildungen,
also f˜ = f ◦T (f˜ = f = f ◦T erlaubt), so
˜
ist f (w) = f (T (w))T (w) und D (w) = D (T (w))|T (w)| nach Schwarz-Pick,
also
˜
D (w)/|f (w)| = D (T (w))/|f (T (w))|.
Die Definition D (z) = D (ζ)/|f (ζ)| ist unabh¨angig von ζ ∈ D mit f (ζ) = z
und auch von f selbst. Sie kann aber auch nachtr¨aglich gewonnen werden,
D (z)
dD (z + h, z)
.
h→0
|h|
= lim
6
Es wird inf Γ Γ D (z) |dz| = inf γ γ D (w) |dw|, da Kurven γ in D von p nach
q Kurven in D von f (p) nach f (q) entsprechen.
∗∗∗
6. Aufgabenblatt
Aufgabe 1 Zeigen Sie, dass sich ein n-fach zusammenh¨angendes und
nicht ausgeartetes Gebiet D durch wiederholte Anwendung des Riemannschen Abbildungssatzes auf ein von n analytischen Jordankurven berandetes Gebiet konform abbilden l¨asst, wobei eine der Randkurven als Kreislinie
gew¨ahlt werden kann. (Hinweis: Ist E eine Zusammenhangskomponente von
C\E, so ist C\E ein Gebiet! Wie wird diese topologische Aussage bewiesen?)
Aufgabe 2 Gegeben sei der (nichtkonzentrische) Kreisring R(a, ρ) = {z :
|z| < 1, |z − a| > ρ} (0 < a < a + ρ < 1 fest gegeben). Bstimmen Sie eine
konforme Abbildung auf einen (konzentrischen) Kreisring R(0, r). Dabei ist
bekanntlich r zu bestimmen.
Aufgabe 3 Die Klasse Σ besteht aus allen konformen Abbildungen
∞
bn z −n
f (z) = z +
n=0
von ∆ = {z : |z| > 1}. F¨
ur R > 1 wird die Kreislinie |z| = R von f ∈ Σ
auf die geschlossene analytische Jordankurve ΓR : w = f (Reit ), 0 ≤ t ≤ 2π,
abgebildet. ΓR berandet ein Gebiet der Fl¨ache A(R) = 2i1 ΓR w¯ dw. Zeigen
∞
Sie A(R) = π(1 −
∞
Gronwall
n|bn |2 R−2n ) und folgern Sie den Fl¨
achensatz von
n=1
n|bn |2 ≤ 1. Insbesondere gilt |b1 | ≤ 1, mit Gleichheit nur f¨
ur
n=1
f (z) = z + b0 + eiα /z; bestimmen Sie in diesem Fall das Bild von ∆.
5. Problem der Woche. Es sei g die Greensche Funktion des Kreisrings
R : r < |z| < 1/r mit Pol in a ∈ (r, 1/r). Zeigen Sie, dass man g durch
Spiegelung nach C \ {0} bis auf die Stellen an = ar4n und bn = r4n−2 /a
(n ∈ Z) harmonisch fortsetzen kann. Zeigen Sie g(z) → +∞ f¨
ur z → an und
4
2
g(z) → −∞ f¨
ur z → bn sowie g(r z) = g(z) und g(r z) = −g(1/z). Geben Sie
7
eine in C \ {0} meromorphe Funktion f an, die in den an einfache Nullstellen
und den bn einfache Polstellen hat. Wie h¨angen g und log |f | zusammen?
∗∗∗
5. Aufgabenblatt
Aufgabe 1 Es seien D und G Gebiete mit D ⊂ G und gemeinsamem
Randpunkt ζ0 . Zeigen Sie: Ist ζ0 regul¨ar bez¨
uglich G, so auch bez¨
uglich D.
Aufgabe 2 Es sei D eine Gebiet mit Randpunkt 0 (o.B.d.A.). Zeigen
Sie, ohne auf S¨atze der Vorlesung zur¨
uckzugreifen: 0 ist regul¨ar bez¨
uglich D,
wenn
√
a) D ∩ (−∞, 0) = ∅ ist (Hinweis: Man betrachte Re 3 z), oder
b) D eine Strecke von 0 zu einem Punkt a nicht trifft, oder
c) eine Kurve mit γ ∩ D = ∅ in 0 endet.
Aufgabe 3 Es sei D ein regul¨ares Gebiet und C bzw. H der Raum der
auf ∂D stetigen bzw. der in D harmonischen und auf D stetigen Funktionen,
beide R¨aume mit der Maximumnorm versehen. Zeigen Sie, dass die Abbildung C −→ H, die h ∈ C die L¨osung des Dirichletproblems ∆u = 0 in D,
u = h auf ∂D zuordnet, eine lineare Isometrie ist.
∞
Aufgabe 4 Es sei h(eiθ ) =
ck eikθ reellwertig mit
k=−∞
∞
|ck | < ∞,
k=−∞
u die zugeh¨orige L¨osung des Dirichletproblems ∆u = 0 in D, u = h auf
|z| = 1, und v(r, θ) = u(reiθ ) = u(r cos θ, r sin θ). Zeigen Sie v(reiθ ) =
∞
c0 + 2
Re (ck rk eikθ ), und dr¨
ucken Sie u2x + u2y durch rvr und vθ , und das
k=1
Dirichletintegral D (u2x + u2y ) durch die Koeffizienten ck aus. (Hinweis: Die
Parsevalsche Formel hilft.)
4. Problem der Woche. Es sei H die rechte Halbebene, ia und ib
(a < b) Punkte auf der imagin¨aren Achse und θ(z, a, b) der Winkel bei z ∈ H
im Dreieck mit Ecken ia, z, ib. Zeigen Sie
limz→it θ(z, a, b) = π f¨
ur a < t < b und
limz→it θ(z, a, b) = 0 sowohl f¨
ur t < a als auch f¨
ur t > b, und
limRe z→+∞ θ(z, a, b) = 0.
∞
Was kann man u
¨ber Θ(z) =
θ(z, aν , bν ) aussagen, wenn die Intervalle
ν=1
8
∞
(aν , bν ) paarweise disjunkt sind, und was, wenn zus¨atzlich
(bν − aν ) konν=1
vergiert?
∗∗∗
4. Aufgabenblatt
Aufgabe 1 Bestimmen Sie das Bildgebiet G des Kreisrings D = {z :
r < |z| < 1/r} (0 < r < 1 vorgegeben) unter der Joukowskyabbildung
f (z) = 12 (z + z1 ) und zeigen Sie, dass f : D −→ G eine eigentliche Abbildung
vom Grad 2 ist.
Aufgabe 2 Geben Sie in zwei Schritten ein n-fach zusammenh¨angendes Gebiet D und eine eigentliche Abbildung f von D auf ein einfach zusammenh¨angendes Gebiet G an. Hinweis: 1. Schritt: Ein Blaschkeprodukt
B : D −→ {w : ρ < |w| < 1} vom Grad n (B vorgeben, D bestimmen). Und
dann? Kann der Abbildungsgrad von f beliebig gross sein?
Aufgabe 3 Es sei f : D −→ G eine eigentliche Abbildung mit den
kritischen Werten w1 , . . . , wm (Bilder der kritischen Punkte). Zeigen Sie, dass
jede lokale Umkehrfunktion in G \ {w1 , . . . , wm } unbeschr¨ankt fortgesetzt
werden kann.
Aufgabe 4 Es sei D ⊂ C ein Gebiet, v1 , v2 subharmonisch, u harmonisch und f holomorph in D. Zeigen Sie, dass nachstehende Funktionen in
D subharmonisch sind:
v = max{v1 , v2 } (punktweise zu bilden).
v = φ◦u, wobei φ im Wertebereich (a, b) von u zweimal stetig differenzierbar und φ ≥ 0 ist. Wann gilt das auch f¨
ur subharmonisches u ∈ C 2 (D)?
p
v = |f | (p > 0 vorgegeben).
v = max{log |f |, p} (p ∈ R vorgegeben).
3. Problem der Woche. Es sei Ar = {z : r < |z| < 1} ein Standardkreisring (0 < r < 1 beliebig) und f : Ar −→ AR eine eigentliche Abbildung
vom Grad d. Zeigen Sie: Entweder gilt
|f (z)| → R f¨
ur |z| → r und |f (z)| → 1 f¨
ur |z| → 1 oder
|f (z)| → R f¨
ur |z| → 1 und |f (z)| → R f¨
ur |z| → 1.
log R
,
Untersuchen Sie im ersten Fall u(z) = log |f (z)| − λ log |z| mit λ =
log r
9
um zuerst auf |f (z)| = |z|λ , dann auf f (z) = eiα z λ und dann auf λ = d, also
f (z) = eiα z d und R = rd zu schliessen. Was ergibt sich im zweiten Fall?
∗∗∗
3. Aufgabenblatt
Aufgabe 1 Es seien (φ, D) und (ψ, ∆) algebraische Funktionselemente
(zu ein und derselben oder verschiedenenen algebraischen Gleichung(en)).
Zeigen Sie, dass auch
• (φ + ψ, D), (φψ, D) und (φ/ψ, D) f¨
ur D = ∆,
• (φ−1 , D ) f¨
ur geeignetes D ⊂ φ(D) (besonders einfach!) und
• (φ ◦ ψ, ∆) f¨
ur ψ(∆) ⊂ D
algebraische Funktionselemente sind. (Hinweis: Es m¨
ussen alle FE φν und
ψµ zugleich untersucht werden.)
Aufgabe 2 Zeigen Sie, dass die eigentlichen Abbildungen D −→ D gerade
d z −a
ν
sind.
die Blaschkeprodukte eiα
1
−
a
¯
νz
ν=1
Aufgabe 3 Welche der folgenden Abbildungen sind eigentlich?
a) f (z) = z 2 als Abbildung von C \ (−∞, 0] −→ C.
b) P : C −→ C ein beliebiges nichtkonstantes Polynom.
c) f (z) = ez als Abbildung von C −→ C \ {0}.
d) Ein beliebiges nichtkonstantes Polynom als Abbildung von DR =
P −1 ({w : |w| > R}) −→ {w : |w| > R}, R > 0 vorgegeben. Ist DR u
¨berhaupt
ein Gebiet?
Aufgabe 4 Es sei f eine (lokale) Umkehrfunktion der elliptischen Modulfunktion λ in |w − w0 | < r. Zeigen Sie, dass sich f
a) in die Kreisscheibe |w − w0 | < min{|w0 ||w0 − 1|} = dist(w0 , {0, 1}) und
b) in C \ {0, 1} unbeschr¨ankt fortsetzen l¨asst.
Was passiert bei Fortsetzung l¨angs einer geschlossenen Kurve in C \ {0, 1}?
√
2. Problem der Woche. Es sei c = (−1 + i 3)/2 und
P (z, w) = w3 − 3((¯
c − 1)z − 2)zw2 − 3(2z − c + 1)zw − z 3
10
(vgl. Annales Fennicae Scientiarum). Bestimmen Sie (mittels Computer-algebra)
die Diskriminante ∆P (z) von P bzgl. w, somit die kritischen Punkte von
P (z, w) = 0. Zeigen Sie
a) P (0, w) = 0 ⇔ w = 0,
b) P (c, w) = 0 ⇔ w = 1,
c) P (−1, w) = 0 ⇔ w = −c
d) Q(0, ω) = 0 ⇔ ω = 0 f¨
ur Q(ζ, ω) = ζ 3 ω 3 P (1/ζ, 1/ω).
2
3
Zeigen Sie, dass es bei z = 0 einen regul¨aren
√ Zweig w = a√2 z + a3 z + · · ·
(a2 = 0) und zwei singul¨are Zweige w = ±b1 z + b2 z + b3 z z + · · · (b1 = 0)
gibt. (Hinweis: Der Ansatz w = Az α + · · · liefert die m¨oglichen α, A.) Was
passiert bei z = −1, z = a, z = ∞?
∗∗∗
2. Aufgabenblatt
Aufgabe 1 Es gibt sechs M¨obiustransformationen, welche die Punkte
1, 0, ∞ vertauschen. Bestimmen Sie alle. Drei davon: S0 =id, S1 , S2 , bilden
die obere Halbebene und das Gebiet Ω aus Aufgabe 3, Blatt 1, jeweils auf
sich ab. Zeigen Sie Sν ◦ λ = λ ◦ Sν , ν = 1, 2.
Aufgabe 2 Zeigen Sie, dass die Funktion λ eine Fourierentwicklung
∞
λ(τ ) = c−1 e
−iπτ
1
c2k+1 e(2k+1)πiτ
+ +
2 k=0
(Im τ > 0)
besitzt; alle Koeffizienten sind reell. (Hinweis: Verwenden Sie λ(τ + 1) =
1 − λ(τ ) und betrachten Sie λ(it) f¨
ur t > 0.)
n
n
Aufgabe 3 Es sei Pn (z) = z 4 (1 − z)4 und pn der betragsgr¨osste Koef∞
fizient des Polynoms Pn . Zeigen Sie, dass durch
n=0
1
P (z)
pn n
eine im Gebiet
D = {z : |z| < 1} ∪ {z : |z − 1| < 1} holomorphe Funktion f dargestellt
∞
wird, die Taylorreihe f (z) =
an z n den Konvergenzradius 1 hat, aber die
n=0
Folge der Partialsummen (s2·4n ) in ganz D gegen f konvergiert. (Hinweis: Pn
n
n
‘beginnt’ mit der Potenz z 4 und ‘endet’ mit der Potenz z 2·4 .)
1. Problem der Woche: Der Lu
¨ ckenreihensatz von Hadamard.
∞
nk
Es sei f (z) =
ak z eine Hadamard-Lu
¨ ckenreihe, d.h. eine Potenzreihe
k=0
11
mit Konvergenzradius R = 1 und
Zeigen Sie:
1
nk+1
> 1+ f¨
ur ein p ∈ N und alle k ∈ N0 .
nk
p
• Φ(w) = f ( 21 (wp + wp+1 )) ist holomorph in einem Gebiet D ⊃ D \ {1}.
∞
•
ak pnk
w (1 + w)nk ist nach dem ‘Ausmultiplizieren’ die Taylorreihe
n
k
2
k=0
von Φ um w = 0. Sie konvergiert f¨
ur kein w > 1. (Hinweis: w > 1 ⇒
1
p
p+1
z = 2 (w + w ) > 1.)
• z = 1 ist eine Singularit¨at von f .
• Alle z0 ∈ ∂D sind singul¨ar f¨
ur f .
∗∗∗
1. Aufgabenblatt
Aufgabe 1 Es sei
das Innere eines gleichseitigen Dreiecks und f eine konforme Abbildung von
auf D, wobei der Umkreismittelpunkt 0 auf
0 abgebildet wird. Zeigen Sie, dass f durch fortgesetzte Spiegelung in die
ganze Ebene, ausgenommen die bei der Spiegelung entstehenden Eckpunkte,
meromorph(!) fortgesetzt werden kann; diese Stellen sind aber hebbar! Bestimmen Sie die Null- und Polstellen der Fortsetzung und zeigen Sie mit der
Formel von Schwarz-Christoffel f (z)3 = f (0)3 (1 − f (z)3 )2 , wenn man die
Eckpunkte 1, e2πi/3 und e−2πi/3 w¨ahlt. F¨
ur welche Dreiecke kann man eine
uhren?
¨ahnliche Konstruktion durchf¨
Aufgabe 2 Algebraische Kurven γ werden implizit durch reelle Polynomgleichungen P (x, y) = 0 beschrieben (Beispiel: Parabel x − y 2 = 0, Hyperbel xy = 1, Lemniskate ∞ |(x + iy)2 − 1|2 = 1 usw.). Man kann sie
auch komplex durch Q(z, z¯) = 0 beschreiben, indem man x = 21 (z + z¯) und
y = 2i1 (z − z¯) in P einsetzt. Zeigen Sie: Der Spiegelpunkt z ∗ von z an γ erf¨
ullt
Q(z ∗ , z¯) = 0 (betrachten Sie dazu eine lokale konforme Parameterdarstellung
uhren Sie dies an
φ mit z = φ(t) ⇒ z ∗ = φ(t¯) sowie h(t) = Q(φ(t), φ(t¯))). F¨
2
der Parabel y = 4px durch (p > 0 entspricht dem Brennpunkt der Parabel)
und versuchen Sie herauszufinden, welche Punkte man spiegeln kann, und
welche nicht. Dasselbe f¨
ur die Hyperbel x2 − y 2 = 1.
12
Aufgabe 3 Das Gebiet Ω in Im τ > 0 wird berandet von den Geraden
Re τ = 0 und Re τ = 1 sowie dem Kreisbogen |τ − 1/2| = 1/2 (siehe Skizze),
und von λ konform auf die obere Halbebene Re w > 0 abgebildet; die Bezeichnungen τ = s + it und λsind klassisch.
Man kann (noch ohne Beweis)
 0
 0
1 f¨
1 in Ω ausgehen, wodurch
von der Normierung λ(τ ) →
ur τ →


∞
∞
λ eindeutig bestimmt wird. Zeigen Sie:
1. λ kann durch fortw¨ahrende Spiegelung in die ganze obere Halbebene
Im τ > 0 holomorph fortgesetzt werden.
2. Die Fortsetzung bildet je zwei aneinandergrenzende Gebiete zusammen
mit der trennenden Randline konform ab.
τ¯
3. F¨
ur die Fortsetzung gilt λ(−¯
τ ) = λ(2 − τ¯) = λ
= λ(τ ).
2¯
τ −1
4. Es gilt λ(S(τ )) = λ(τ ) f¨
ur alle M¨obiustransformationen S in der von
τ
τ → τ + 2 und τ →
erzeugten Gruppe von M¨obiustransforma1 − 2τ
aτ + b
mit a, b, c, d ∈ Z, ad − bc = 1.
tionen τ →
cτ + d
5. Es gilt λ(τ ) = F (eiπτ ), wobei F in 0 < |ζ| < 1 holomorph ist. Welche
Sigularit¨at hat F in ζ = 0 (man beachte |ζ| = e−πIm τ )?
∗∗∗
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