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Lineare Funktionen - its raphaël

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Lineare Funktionen
(Niveau: Sekundarstufe, Lehrperson: Raphaël Fauquex)
THEORIE
A1. Funktionsgleichung und Graph
Bei einer Funktion wird jedem Element einer Menge (x-Werte) genau ein Element einer
anderen Menge (y-Werte) zugeordnet. Weiterhin bedeutet linear eigentlich nichts anderes
als gerade. Somit ist eine lineare Funktion eine Gerade, bei der jedem x-Wert genau ein yWert zuordnet wird. Die allgemeine Form einer linearen Funktionsgleichung sieht
folgendermassen aus:
y = a·x + b
Dabei ist a die Steigung. Entweder man kann die Steigung anhand eines Steigungsdreiecks
beim Graph ablesen oder man berechnet sie mit Hilfe zweier Punkte P(x1/y1) und Q(x2/y2),
die auf der Geraden liegen.
a=
y2 − y1
x2 − x1
Tipp: Jede Gerade kann durch zwei Punkte definiert werden.
Die Variable b heisst y-Achsenabschnitt und gibt an, wo die Gerade die y-Achse schneidet.
Entweder man kann den y-Achsenabschnitt beim Graph ablesen (also der Schnittpunkt der
Geraden mit der y-Achse) oder man setzt einen Punkt P(x1/x2), der auf der Geraden liegt, in
die Geradengleichung ein.
Beispiel:
g
Die Gerade g: y = 2x + 1 hat die Steigung a = 2. Somit hat das Steigungsdreieck die
Werte y = 2 und x = 1. Weiterhin hat die Gerade den y-Achsenabschnitt b = 1. Sie
schneidet also die y-Achse beim Wert 1.
A2. Punkte
Eine Gerade besitzt unendlich viele Punkte. Wie oben genannt wird sie im Grunde schon
durch zwei Punkte definiert.

Wie prüft man, ob ein Punkt auf einer Geraden liegt?
Um zu prüfen, ob ein Punkt P(x/y) auf der Funktionsgleichung g: y = ax + b liegt, muss man
den Punkt in die Gleichung einsetzen. Falls die Gleichung stimmt, liegt der Punkt auf der
Gerade. Falls die Gleichung nicht stimmt, liegt er nicht auf der Gerade.
Beispiel:
Liegen die Punkte P(2/3) und Q(1/3) auf der
Geraden g: y = 2x + 1?
1. P in die Geradengleichung einsetzen:
(3) = 2·(2) + 1
/TU (Termumformung)
3=4+1
/TU
3=5
Die Gleichung stimmt nicht, P liegt nicht
auf der Geraden g.
2. Q in die Geradengleichung einsetzen:
(3) = 2·(1) + 1
/TU
3=2+1
/TU
3=3
Die Gleichung stimmt, Q liegt auf der
Geraden g.

Wie berechnet man die fehlende Komponente/Koordinate eines Punktes?
Um die fehlende Koordinaten eines Punktes P(x/?) oder Q(?/y) auf der Geraden g: y = ax + b
zu berechnen, kann man einfach die jeweilige bekannte Koordinate in die
Funktionsgleichung einsetzen.
Beispiel:
Berechne die fehlenden Koordinaten der Punkte P(5/?) und Q(?/7) auf der Geraden
g: y = 3x – 2.
1. Die bekannte Koordinate des Punktes P in die Funktionsgleichung einsetzen:
y = 3·(5) – 2
/TU
y = 15 – 2
/TU
y = 13
Der Punkt P ist demzufolge P(5/13).
2. Die bekannte Koordinate des Punktes Q in die Funktionsgleichung einsetzen:
(7) = 3x – 2
/TU
9 = 3x
/:3
3=x
Der Punkt Q ist demzufolge Q(3/7).
Tipp: Besondere Punkte sind:
- Schnittpunkte mit der x-Achse, y = 0 (genannt Nullstellen): P(x/0)
- Schnittpunkte mit der y-Achse, x = 0: P(0/y)
A3. Geraden
Zwei Geraden können unterschiedliche Lagen haben.
1. sich schneidende Geraden:
Sich schneidende Geraden haben einen
Schnittpunkt S. Der Schnittpunkt liegt
auf beide Geraden.
Sich schneidende Geraden haben immer
unterschiedliche Steigungen.
Nimmt man 2 sich schneidende Geraden
g und h an:
ag ≠ ah
2. parallele und identische Geraden:
Parallele Geraden haben immer dieselbe
Steigung.
Nimmt man 2 parallelen Geraden g und h
an:
ag = ah
Falls sie identisch sind, dann haben sie
dazu noch denselben y-Achsenabschnitt.
Nimmt man 2 identische Geraden g und h
an:
ag = ah und bg = bh
3. senkrechte Geraden:
Senkrechte Geraden stehen im 90° Winkel
zueinander. Ihre Steigungen sind somit abhängig voneinander.
Nimmt man 2 senkrechte Geraden g und h
an:
ag = -
1
ah
A4. Funktionsgleichungen berechnen

Zwei Punkte sind gegeben. Wie berechnet man die Gerade, auf der sie liegen?
Da jede Gerade durch zwei Punkte definiert werden kann, kann man anhand der zwei
Punkte die Steigung der Geraden berechnen. Anschliessend setzt man einen der zwei
Punkte in die Funktionsgleichung ein, um den y-Achsenabschnitt zu erhalten.
Beispiel:
Berechne die Funktionsgleichung der Geraden, auf der die Punkte P(3/-1) und
Q(-2/5) liegen.
1. Zuerst berechnet man die Steigung anhand des Steigungsdreieck:
a=
y2 − y1
x2 − x1
=
(5) − (−1)
(−2) − (3)
5+1
=
−2−3
=-
6
5
2. Danach setzt man einen der zwei Punkte in die Funktionsgleichung ein:
6
Punkt P (3/-1) in g: y = - x + b einsetzen:
5
(-1) = -1 = 13
5
6
·(3)+ b
/TU
+b
/+
5
18
5
18
5
=b
6
13
5
5
3. Die Funktionsgleichung der Gerade ist g: y = - x +
A5. Schnittpunkt zweier Geraden berechnen

Zwei Geraden schneiden sich. Wie berechnet man ihren Schnittpunkt?
Alle Geraden mit unterschiedlicher Steigung schneiden sich irgendwo, also kann man auch
ihren Schnittpunkt berechnen. Der Schnittpunkt hat die besondere Eigenschaft, dass er auf
beide Geraden liegt. Er hat somit dieselben x und y Koordinaten/Komponenten bei beiden
Funktionsgleichungen. Man setzt zuerst die beiden Funktionsgleichungen gleich, berechnet
die x-Komponente und setzt dann diese in einer der beiden Funktionsgleichungen ein, um
die y-Komponente zu erhalten.
Beispiel:
Die Geraden g: y = 2x + 3 und h: y = x sind gegeben. Berechne ihren Schnittpunkt.
1. Da der Schnittpunkt auf beiden Geraden liegt, ist die y-Komponente gleich. Man kann
sie gleich setzen:
y = 2x + 3 = x
2x + 3 = x
x+3=0
x = -3
/-x
/-3
2. Jetzt kann man die x-Komponente in einer der beiden Gleichungen einsetzen:
g: y = 2x + 3
y = 2·(-3) + 3
/TU
y = -6 + 3
/TU
y = -3
oder:
h: y = x
y = (-3)
y = -3
/TU
3. Man hat den Schnittpunkt S(-3/-3) erhalten.
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Gesundheitswesen
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