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12 Freies Elektronengas

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FREIES ELEKTRONENGAS
12 Freies Elektronengas
Ausgabe: Do 18.12.2014
Abgabe: Do 08.01.2015
Besprechung: 12.01.15-16.01.15
Aufgabe 34: Fermi-Dirac vs Maxwell-Boltzmann (∗Optional für Bachelor plus und Lehramt)
Zeigen Sie, dass für das freie Elektronengas aus der Fermi-Verteilungsfunktion
1
f (k) =
e
E(k)−μ
kB T +1
,
im Grenzfall E − μ >> kB T , die Maxwell-Boltzmann Verteilung
fM (v) = n(
(mv 2 )
m
−
)3/2 e 2kB T
2πkB T
hervorgeht.
Hinweis: Das chemische Potential μ kann durch die Teilchendichte n =
2
+∞
werden und −∞ e−ax dx = π/a.
f (v)d3 v ausgedrückt
Aufgabe 35: Zustandsdichte eines 1D-Elektronengases
Es ist technologisch möglich ”Quantendrähte” herzustellen, in denen sich Elektronen nur in einer
Dimension bewegen können. Dadurch reduziert sich auch die Dispersionsrelation der Elektronen
auf eine Dimension. Berechnen Sie die energetische Zustandsdichte g(E) von eindimensionalem
Elektronengas und skizzieren Sie das Ergebnis.
Hinweis: Nehmen Sie hierfür an, dass sich die Elektronen frei entlang der z-Richtung im konstanten Potenzial V(z)=0 bewegen und berücksichtigen Sie dabei periodische Randbedingungen.
Der z-Anteil der Schrödinger-Gleichung und dessen Lösungsansatz für einen Quantendraht der
Länge Lz lauten entsprechend:
h2
¯
ΔΨ(z) = EΨ(z)
2m
mit dem Lösungsansatz
1
Ψ(z) = √ eikz z
Lz
Aufgabe 36: Fermi-Energie und Fermi-Radius
a) Berechnen Sie für Aluminium die Elektronenkonzentration ne [cm−3 ] in der Näherung freier
˚−1 ] der Fermi-Kugel aus
Elektronen sowie die Fermi-Energie EF [eV ] und den Radius kF [A
folgenden Angaben:
Das metallische Aluminium kristallisiert in der kubisch flächenzentrierten Struktur.
˚
Die Gitterkonstante der kubischen Elementarzelle beträgt a = 4.05A.
Jedes Al-Atom im Metall soll 3 freie Elektronen an das Elektronengas abgeben.
˚ Abgabe
b) Vergleichen Sie die Zahlenwerte mit denen für K und Ca (Kalium bcc mit a = 5.225A,
˚
von 1 Elektron, Calcium fcc mit a = 5.58A, Abgabe von 2 Elektronen).
·ZE
(ZA =Anzahl der Atome pro EleHinweis: Die Elektronenkonzentration ergibt sich aus ZVAEZ
mentarzelle und ZE =Anzahl der abgegebenen Elektronen pro Atom).
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