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Leseprobe - Mathe-Aufgaben

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Skript für die Oberstufe und das Abitur 2015
Baden-Württemberg
berufl. Gymnasien (AG, BTG, EG, SG, TG, WG)
Analysis (Lehrbuch)
(Taschenrechner Texas Instruments und Sharp)
Dipl.-Math. Alexander Schwarz
Im Weinberg 9
74389 Cleebronn
E-Mail: aschwarz@mathe-aufgaben.com
Homepage: www.mathe-aufgaben.com
Wichtiger Hinweis:
Ich bitte den Eigentümer dieses Skriptes, weder das gesamte Skript noch
Teilauszüge daraus zu kopieren, einzuscannen oder auf andere Art und Weise
zu vervielfältigen, um es an andere weiterzugeben.
Der Preis dieser Unterlagen steht in keinem Verhältnis zu dem Zeitaufwand,
den ich dafür investiert habe und für den Inhalt, den man bekommt.
Ich bitte um Fairness und danke dafür – Alexander Schwarz
1
Vorwort
Vorwort
Zunächst einmal bedanke ich mich für das Vertrauen, das ihr mir mit dem Kauf dieses Skriptes für die
Abiturprüfung in Mathematik entgegengebracht habt !
Der darin enthaltene Stoff der Analysis ist auf die Abiturprüfung 2015 der beruflichen Gymnasien
(AG,BTG, EG, SG, TG, WG) von Baden-Württemberg abgestimmt.
Da in dem Skript auch die angewandte Analysis abgedeckt wird (z.B. exponentielles Wachstum) sind
auch die Prüfungsaufgaben, die unter der Überschrift "Anwendungsorientierte Aufgaben" gestellt
werden, mit diesem Lehrbuch abgedeckt.
Dieses Lehrbuch dient sowohl zur Vorbereitung auf die Abiturprüfung als auch auf die Klausuren in
der Oberstufe.
Ich habe mir daher zum Ziel gesetzt, alle Themen so verständlich wie möglich darzustellen und auf
„fachchinesisch“ zu verzichten (gemäß Albert Einstein: „Alles sollte so einfach wie möglich gemacht
werden, aber nicht einfacher“).
In jedem Kapitel werden die wesentlichen Inhalte zu jedem Thema ausführlich beschrieben.
Die vielen Beispielrechnungen und Schaubilder dienen dazu, die Beschreibungen noch konkreter zu
erläutern.
Dabei habe ich in dem Skript bewusst auch die wichtigsten Themen und Formeln aufgenommen, die
bereits in der Mittelstufe behandelt wurden, sofern sie für die Abiturprüfung relevant sind.
Das Symbol am Rand taucht in dem Lehrbuch an folgenden Stellen auf:
• es handelt sich um eine Regel bzw. Formel, die man für die Prüfung bzw. Klausur auswendig
lernen muss
• es handelt sich um ein rechnerisches Vorgehen, das man sowohl im Pflicht- als auch im
Wahlteil im Kopf haben muss
Nach meiner Erfahrung hilft es Schülern, wenn man nicht nur darstellt, wie etwas gemacht wird,
sondern auch, wie (und warum) etwas nicht gemacht werden darf.
Ich habe daher in dem Lehrbuch auch typische Fehler und Irrtümer dargestellt, die Schüler aufgrund
meiner langjährigen Erfahrung immer wieder machen. Sie sind durch das entsprechende Symbol am
Rand gekennzeichnet.
Wer diese "Fettnäpfchen" kennt, kann ihnen besser ausweichen.
Das alleinige Durcharbeiten des Lehrbuches reicht natürlich zur Vorbereitung auf eine Klausur bzw.
eine Abiturprüfung nicht aus. Man muss auch selbst möglichst viele Übungsaufgaben durchrechnen.
Hierzu steht euch das Aufgabenskript (inkl. Musterlösungen) zur Verfügung, das hinsichtlich der
Themen genauso wie das Lehrbuch aufgebaut ist.
Zum Erlernen eines bestimmten Stoffgebietes arbeitet man daher zunächst das entsprechende
Lehrbuchkapitel durch und rechnet im nächsten Schritt die Übungsaufgaben aus dem Aufgabenskript.
Hinweis zum GTR:
Die GTR-Befehlsangaben im Skript orientieren sich am GTR von Texas Instruments (TI -84 Plus).
Da die Bedienung des GTR von Sharp ähnlich ist wie bei Texas Instruments, können auch die Nutzer
eines Sharp-Rechners die Befehlsangaben zum größten Teil nutzen.
Im Anhang des Lehrbuches ausführlich dargestellt, wie einzelne Aufgabenstellungen mit dem GTR
gelöst werden.
Auch wenn ich mir viel Mühe gebe, Tipp- und Flüchtigkeitsfehler zu vermeiden, kann ich diese
natürlich nicht komplett ausschließen. Solltet ihr Fehler entdecken, bin ich für eine Mitteilung dankbar.
Auch Anregungen und konstruktive Kritik werden von mir gerne entgegengenommen und bei der
Aktualisierung berücksichtigt.
Viel Erfolg bei der Bearbeitung dieses Skriptes und alles Gute für eure Abiturprüfung !
Alexander Schwarz
Inhaltsverzeichnis
Inhaltsverzeichnis
Vorwort
Inhaltsverzeichnis
1. Lösen von Gleichungen und Ungleichungen
1.1 Polynomgleichungen
1.2 Lineare und quadratische Ungleichungen
1.3 Exponentialgleichungen
1.4 Einfache Logarithmengleichungen
1.5 Trigonometrische Gleichungen
1.5.1 Sinus und Kosinus am Einheitskreis
1.5.2 Exakte Lösung von einfachen trigonometrischen Gleichungen
1.5.3 Exakte Lösung von komplizierten trigonometrischen Gleichungen
2. Spezielle Funktionstypen und ihre Besonderheiten
2.1 Funktionsbegriff, Definitionsmenge, Wertemenge
2.2 Ganzrationale Funktionen (Polynomfunktionen)
2.2.1 Verhalten für x → ±∞ von ganzrationalen Funktionen
2.3 Exponentialfunktionen
2.3.1 Verhalten für x → ±∞ von Exponentialfunktionen
2.4 Trigonometrische Funktionen
2.4.1 Die verallgemeinerte Sinus- und Kosinusfunktion
2.5 Logarithmusfunktionen
2.6 Wurzelfunktionen
2.7 Parabeln und Geraden
2.8 Abschnittsweise definierte Funktionen
2.9 Verschiebung, Spiegelung und Streckung von Schaubildern
3. Ableitungsregeln und Bedeutung von Ableitungsfunktionen
3.1 Definition der Ableitungsfunktion mit Differenzenquotient
3.2 Ableitungsregeln
3.2.1 Ableitungsregeln der Grundfunktionen
3.2.2 Produktregel
3.2.3 Kettenregel
3.2.4 Kombination Produkt- und Kettenregel
3.2.5 Quotientenregel
3.3 Interpretation der ersten und zweiten Ableitungsfunktion
3.4 Ableitungen bei Anwendungsaufgaben und Sachzusammenhängen
4. Ausgewählte Elemente einer Funktionsuntersuchung
4.1 Symmetrieuntersuchung der Funktion
4.1.1 Symmetrie zum Ursprung und zur y-Achse
4.2 Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen
4.2.1 Schnittpunkt mit der y-Achse
4.2.2 Nullstellen und Schnittpunkte mit der x-Achse
4.3 Extrempunkte (Hoch- und Tiefpunkte)
4.4 Monotonie
4.5 Wendepunkte und Sattelpunkte
5. Funktionenscharen
6. Tangenten, Normalen, Schnittwinkel und Berührung
6.1
Aufstellen von Tangenten- und Normalengleichungen
6.2 Schnittwinkel zweier Schaubilder
6.3 Berührung zweier Schaubilder
7. Aufstellen von Funktionsgleichungen
7.1 Aufstellen von ganzrationalen Funktionen
7.2 Aufstellen von trigonometrischen Funktionen
7.3 Aufstellen von Exponentialfunktionen
8. Integralrechnung
1. Lösen von Gleichungen und Ungleichungen
8.1 Berechnung von Stammfunktionen
8.2 Integrale
8.3 Anwendungen der Integralrechnung
8.3.1 Flächenberechnung zwischen Schaubildern
8.3.3 Flächenrotation um x-Achse
8.3.4 Flächenrotation um y-Achse, Umkehrfunktionen
8.3.5 Mittelwertberechnung bei Funktionen
8.3.6 Flächen unterhalb von Änderungsraten-/Geschwindigkeitsfunktionen
8.4 Veranschaulichung von Stammfunktionen
8.5 Die Integralfunktion
9. Zusammenhang zwischen Ableitungs- und Stammfunktionen
9.1
Eigenschaften der Ableitung f’(x) bei gegebener Funktion f(x) erkennen
9.2 Eigenschaften der Stammfunktion F(x) bei gegebener Funktion f(x)
10. Optimierungsaufgaben / Extremwertaufgaben
10.1 Globales Minimum/Maximum
10.2 Trigonometrie bei rechtwinkligen Dreiecken
10.3 Vorgehen beim Lösen von Extremwertaufgaben
11. Exponentielles Wachstum
11.1 Prozentrechnen
11.2 Exponentielles Wachstum
11.3 Funktionsanpassungen / Regressionsrechnung
12. Das Newton-Verfahren
Anhang: GTR Bedienungsanleitung für Texas Instruments
1. Lösen von Gleichungen und Ungleichungen
1. Lösen von Gleichungen und Ungleichungen
Gleichungen zu lösen gehört zum wichtigsten Grundhandwerkszeug in Klausuren und der
Abiturprüfung.
Das Lösen einer Gleichung benötigen wir beispielsweise bei der Berechnung von Nullstellen,
Extrem- und Wendepunkten.
Aus Zeitgründen sollten komplizierte Gleichungen immer mit Hilfe des GTR gelöst werden.
Manchmal muss man eine Gleichung jedoch auch ohne GTR lösen. Beispielsweise bei der
Aufgabenformulierung "Lösen Sie exakt..." oder wenn in der Gleichung neben der Variablen
noch ein Parameter auftaucht.
In Kapitel 1 lernen wir, wie man Gleichungen unterschiedlichen Typs ohne GTR löst.
Wie wir mit dem GTR Gleichungen lösen, findet man im Anhang in Kapitel 4.
Satz vom Nullprodukt
Wichtigste Regel für das Lösen von Gleichungen:
Satz vom Nullprodukt: (Abkürzung "SvNp")
Die Gleichung a ⋅ b = 0 ist dann erfüllt, wenn a = 0 oder b = 0 ist.
Diese Regel müssen wir immer dann anwenden, wenn in einer Gleichung auf einer Seite
eine Multiplikation mindestens zweier Terme steht, die auf der anderen Seite = 0 gesetzt
sind.
Beispiel 1.1:
a) Die Gleichung ( x + 3) ⋅ ( x − 4) ⋅ ( x + 5) = 0 müssen wir mit dem "SvNp" lösen.
Es werden hierzu die einzelnen Multiplikatoren gleich Null gesetzt und x berechnet.
Gleichung I): x + 3 = 0 ⇔ x = −3
Gleichung II): x − 4 = 0 ⇔ x = 4
Gleichung III): x + 5 = 0 ⇔ x = −5
Lösungsmenge: L= {-3 ; 4 ; -5}
(
)
b) Die Gleichung e2x ⋅ x 2 − 4 = 0 müssen wir mit dem "SvNp" lösen.
2x
Gleichung I): e = 0 diese Gleichung besitzt keine Lösung
Gleichung II): x 2 − 4 = 0 ⇒ x 2 = 4 ⇒ x = ±2 (2 Lösungen !) LösungsmengeL = {-2 ; 2 }
Bei Gleichungen wie in Beispiel 1.1 versuchen manche, zunächst die Klammern in der
Gleichung aufzulösen - da man dies bei Gleichungen in der Mittelstufe häufig auch gemacht
hat.
Es ist auch nicht grundsätzlich falsch, in einer Gleichung vorhandene Klammern aufzulösen.
Aber in dem Fall, wo auf einer Seite der Gleichung ein Produkt steht, so dass der "SvNp"
angewandt werden kann, darf man die Klammern eben nicht auflösen.
Da die Regel des Satzes vom Nullprodukt bei allen Gleichungstypen vorkommt, müssen wir
diese Regel immer im Gedächtnis haben.
1.1 Polynomgleichungen
1. Lösen von Gleichungen und Ungleichungen
In Polynomgleichungen kommen nur Variablen vor, deren Hochzahl eine natürliche Zahl ist.
Die Menge der natürlichen Zahlen ist = {0,1,2,3,4,...}
Es dürfen bei der Variablen also nur die Hochzahlen 0, 1, 2, 3, 4... stehen.
Grad der Gleichung = höchste Variablenhochzahl in der Gleichung
Beispiele für Polynomgleichungen:
a) 3x 3 − 2x 2 + 4 = 0 : Gleichung 3.Grades
b) −0,5x + 2x 5 = −7 : Gleichung 5.Grades
c) ( x − 1) ⋅ ( x + 3 ) ⋅ ( x − 7 ) = 0 : Gleichung 3.Grades (erkennbar nach Auflösung der
Klammern)
Je nach Grad der Gleichung gibt es unterschiedliche Lösungsstrategien, die nun einzeln
vorgestellt werden:
Gleichungen 1. Grades
Diese Gleichungen können wir einfach nach Sortierung der Terme nach x auflösen:
Beispiel 1.2:
3 ⋅ ( x + 2) = x − 6
Klammer aufl.
⇒
−6;− x
:2
3x + 6 = x − 6 ⇒ 2x = −12 ⇒ x = −6
Gleichungen 2.Grades (quadratische Gleichungen)
1.Fall: Typ x 2 = a
Falls a > 0 ist, ergeben sich zwei Lösungen: x = ± a (die Lösung − a wird gerne
vergessen)
Falls a = 0 ist, existiert nur eine Lösung x = 0
Falls a < 0 ist, ist die Gleichung nicht lösbar.
Beispiel 1.3:
a) x 2 − 9 = 0
⇔ x2 = 9
⇔ x = ± 9 = ±3
2
b) x = −9 besitzt keine Lösung
2.Fall: Typ ax 2 + bx = 0
Ausklammern von x und dann Anwendung des Satzes vom Nullprodukt
Beispiel 1.4:
x 2 − 2x = 0
Ausklammern von x:
x ⋅ ( x − 2) = 0
mit SvNp folgt x1 = 0 und x 2 = 2 .
3.Fall: Typ ax 2 + bx + c = 0
Hier steht uns eine Lösungsformel („Mitternachtsformel“) zur Verfügung:
Die Gleichung ax ² + bx + c = 0 besitzt die Lösungsformel
x 1,2 =
− b ± b² − 4ac
2a
1. Lösen von Gleichungen und Ungleichungen
Die Anzahl der Lösungen der quadratischen Gleichung hängt vom Ausdruck b² − 4ac unter
der Wurzel ab. Diesen Term nennt man auch Diskriminante.
b2 − 4ac > 0 : Die quadratische Gleichung besitzt zwei verschiedene Lösungen.
b2 − 4ac = 0 : Die quadratische Gleichung besitzt genau eine Lösung.
b2 − 4ac < 0 : Die quadratische Gleichung besitzt keine Lösung.
Beispiel 1.5:
2
a) −2x + 3x − 1 = 0 ergibt x1,2
−3 ± 32 − 4 ⋅ ( −2) ⋅ ( −1) −3 ± 1
=
=
mit x1 = 1 und x 2 = 0,5 .
2 ⋅ ( −2)
−4
b) Die Gleichung x 2 + x + 5 = 0 besitzt keine Lösung, da die Diskriminante
b2 − 4ac = 12 − 4 ⋅ 1 ⋅ 5 = −19 < 0 ist und die Wurzel aus einer negativen Zahl nicht existiert.
Hinweis: Alternativ zu der "abc-Formel" gibt es auch die "pq-Formel", die man ebenfalls
verwenden könnte. Da ich die abc-Formel jedoch für praktischer halte, werde ich in dem
Skript nur mit dieser Lösungsformel arbeiten.
Gleichungen ab Grad 3
Hier können folgende unterschiedliche Fälle auftreten:
1.Fall: Typ a ⋅ xn = b
Hier können wir die Gleichung direkt nach x auflösen.
Beispiel 1.6:
a) 2x 3 = 54
b) 2x 3 = −16
⇔ x 3 = 27
⇔ x 3 = −8
⇔ x = 3 27 = 3
⇔ x = − 3 8 = −2
c) 4x 4 = 8
d) 2x 4 = −2
⇔ x4 = 2
⇔ x 4 = −1
⇔ x = ±4 2
(2 Lösungen !)
diese Gleichung ist nicht lösbar
In Bsp. 1.6 a) gibt es im Gegensatz zu Bsp. 1.6 c) nur eine Lösung. Dies liegt daran, dass
die Hochzahl ungerade ist.
Merke: Die Gleichung xn = a besitzt nur dann 2 Lösungen, wenn n gerade und a positiv ist.
Dafür existiert in Bsp. 1.6 b) im Gegensatz zu Bsp. 1.6 d) ebenfalls eine Lösung aufgrund der
ungeraden Hochzahl. Da unter einer Wurzel keine negative Zahl stehen darf, müssen wir
das Minuszeichen vor die Wurzel schreiben.
Die Lösung darf nicht in der Form x = 3 −8 aufgeschrieben werden (auch wenn die meisten
Taschenrechner bei dieser Eingabe die Zahl -2 als Ergebnis ausgeben).
2.Fall: Typ a ⋅ (…) ⋅ (…) = 0
Hier können wir sofort den Satz vom Nullprodukt anwenden (ohne die Klammern aufzulösen
!)
Beispiel 1.7:
a) (2x − 6) ⋅ (x + 8)2 = 0 Lösung mit dem SvNp
Gleichung I) 2x − 6 = 0 ⇔ x = 3
1. Lösen von Gleichungen und Ungleichungen
Gleichung II)
(
2
x + 8 = 0 ⇔ x = −8
)(
Lösungsmenge L= {3 ; -8}
)
3
b) 0,2 ⋅ x − 3 ⋅ x + 5 = 0 Lösung mit dem SvNp
Gleichung I)
Gleichung II)
2
⇔ x2 = 3
3
3
x −3 =0
x +5=0
⇔ x = −5
⇔x=± 3
⇔ x = −3 5
Lösungsmenge L = {± 3; − 3 5}
3.Fall: Typ ax 3 + bx 2 + cx = 0 bzw. ax 4 + bx 3 + cx 2 = 0
Hier müssen wir x oder x² oder x³ ausklammern und den Satz vom Nullprodukt anwenden.
Beispiel 1.8:
x ausklammern
a) 2x 3 + x 2 − 3x = 0
⇔
(
)
x ⋅ 2x 2 + x − 3 = 0
Lösung mit SvNp
Gleichung I): x = 0
MNF
Gleichung II): 2x 2 + x − 3 = 0 ⇒ x1,2 =
−1 ± 1 + 24 −1 ± 5
=
⇒ x = 1 und x = -1,5
4
4
Lösungsmenge L= {0 ; -1,5 ; 1}
b) x 3 = x 2
Gleichung gleich Null setzen: x 3 − x 2 = 0
Gleichung I):
Gleichung II):
c) x 4 − 9x 2 = 0
x2 = 0 ⇒ x = 0
x −1= 0 ⇒ x = 1
x 2 ausklammern
⇔
x 2 ausklammern
⇔
x 2 ⋅ (x − 1) = 0 Lösung mit SvNp
Lösungsmenge L= {0 ; 1}
x 2 ⋅ (x 2 − 9) = 0 Lösung mit SvNp
Gleichung I):
x2 = 0 ⇒ x = 0
Gleichung II):
x2 − 9 = 0
⇔ x2 = 9
⇒ x = ±3
Lösungsmenge L = {0 ; 3 ; -3 }
Bei Gleichungen wie in Beispiel 1.8 b) passiert ab und zu folgender Umformungsfehler:
x3 = x 2 | : x2
⇒ x =1
Vergleicht man diese Lösung mit der Lösung aus dem Beispiel 1.8 b) fällt auf, dass x = 1
zwar eine Lösung ist, aber die Lösung x = 0 verloren gegangen ist.
Dies liegt daran, dass die Gleichung durch x 2 dividiert wurde und diese Umformung für x = 0
nicht zulässig ist.
Merke: Wenn wir eine Gleichung durch einen Term dividieren, der die Variable x enthält,
können Lösungen verloren gehen. Deshalb darf man dies nicht machen !
4.Fall: Typ ax 4 + bx 2 + c = 0 bzw. ax 6 + bx 3 + c = 0 bzw. ax 8 + bx 4 + c = 0
Hier können wir die Gleichung nur durch eine Substitution lösen.
Die Substitution sorgt dafür, dass wir die gegebene Gleichung in eine quadratische
Gleichung umwandeln, für die wir die Lösungsformel anwenden können.
ax 4 + bx 2 + c = 0 : Substitution x 2 = u liefert die Gleichung au2 + bu + c = 0
ax 6 + bx 3 + c = 0 : Substitution x3 = u liefert die Gleichung au2 + bu + c = 0
ax 8 + bx 4 + c = 0 : Substitution x 4 = u liefert die Gleichung au2 + bu + c = 0
1. Lösen von Gleichungen und Ungleichungen
Beispiel 1.9:
x 4 − 3x 2 + 2 = 0 Lösung mit Substitution x 2 = u
Die substituierte Gleichung lautet u2 − 3u + 2 = 0
3 ± 9 −8 3 ±1
Mit der Lösungsformel folgt u1,2 =
=
und damit u1 = 2 und u2 = 1
2
2
Mit Hilfe der Rücksubstitution müssen wir die Variable u wieder in x umwandeln.
Hierzu setzen wir die Lösungen von u wieder in die Gleichung x 2 = u ein:
u1 = 2 ⇒ x 2 = 2 ⇒ x = ± 2
u2 = 1 ⇒ x 2 = 1 ⇒ x = ±1 Lösungsmenge L = {1; -1;
2,
− 2}
Wäre in Beispiel 1.9 eine Lösung u = −2 (also negativ) gewesen, so hätte sich bei der
Rücksubstitution keine Lösung für x ergeben: u1 = −2 ⇒ x 2 = −2 ist nicht lösbar.
Damit wären zwei der maximal vier möglichen Lösungen weggefallen.
Beispiel 1.10:
x 7 + x 4 − 6x = 0
Zunächst müssen wir x ausklammern: x ⋅ (x 6 + x 3 − 6) = 0 Lösung mit dem SvNp
Gleichung I): x = 0
Gleichung II): x 6 + x 3 − 6 = 0
Durch die Substitution: x3 = u erhalten wir die quadratische Gleichung u2 + u − 6 = 0 .
−1 ± 1 − 4 ⋅ 1⋅ ( −6) 1 ± 5
=
2
2
3
3
Rücksubstitution: u1 = 2 ⇒ x = 2 ⇒ x = 2
Mitternachtsformel: u1,2 =
u2 = −3 ⇒ x 3 = −3 ⇒ x = − 3 3
⇒ u1 = 2 , u2 = −3
Lösungsmenge L= {0 ;
3
2 ; −3 3 }
6. Tangenten, Normalen, Schnittwinkel und Berührung
6. Tangenten, Normalen, Schnittwinkel und Berührung
6.1 Aufstellen von Tangenten- und Normalengleichungen
Eine Tangente ist eine Gerade, die das
Schaubild von f in einem Kurvenpunkt B
berührt.
(Diese Tangenteneigenschaft ist übrigens
unabhängig davon, ob die Tangente an
anderer Stelle das Schaubild von f(x)
nochmals durchschneidet oder nicht)
Eine Normale ist eine Gerade, die
senkrecht zur Tangente steht und durch
den Berührpunkt B der Tangente verläuft.
Eine Tangente, die das Schaubild im Wendepunkt von f(x) berührt, nennt Wendetangente.
Die zugehörige Normale heißt Wendenormale.
Für das Aufstellen einer Tangenten- oder Normalengleichung sind diese Formeln notwendig:
Gleichung der Tangente an f(x) im Berührpunkt B(u / f(u)) (an der Berührstelle x = u)
Allgemeine Tangentenformel: y = f ′(u) ⋅ ( x − u ) + f(u)
Gleichung der Normale an f(x) im Punkt B(u / f(u)) (an der Stelle x = u)
1
Allgemeine Normalenformel: y = −
⋅ ( x − u ) + f(u)
f ′(u)
Zwischen den Steigungen der Tangente und der Normale existiert folgende Beziehung:
mTangente ⋅ mNormale = −1
Aufgabentyp 1: Aufstellen einer Tangenten-/Normalengleichung an eine vorgegebene
Berührstelle der Funktion f(x)
Gegeben ist die Funktion f(x) sowie der x-Wert eines Punktes B vom Schaubild von f(x).
Gesucht ist die Gleichung der Tangente und/oder Normale im Punkt B.
Zur Berechnung der Tangenten-/Normalengleichung muss man den x-Wert von B in die
Tangenten-/Normalenformel für u einsetzen.
Beispiel 6.1:
a) Bestimme die Gleichung der Tangente, die das Schaubild von f ( x ) = 4 x ³ − 3 x ² an der
Stelle x = 1 berührt. Wie lautet die zugehörige Normale ?
Allgemeine Tangentenformel: y = f ′(u) ⋅ ( x − u ) + f(u)
Einsetzen von u = 1: y = f ′(1) ⋅ (x − 1) + f(1)
Es ist f(1) = 1 . Mit f ′(x) = 12x 2 − 6x folgt f ′(1) = 6 .
Tangentengleichung: y = 6 ⋅ (x − 1) + 1 ⇒ y = 6x − 5
6. Tangenten, Normalen, Schnittwinkel und Berührung
Allgemeine Normalengleichung: y = −
Einsetzen von u = 1: y = −
1
⋅ ( x − u ) + f(u)
f ′(u)
1
⋅ (x − 1) + f(1)
f ′(1)
1
1
7
⋅ (x − 1) + 1 ⇒ y = − x +
6
6
6
2x
b) Bestimme die Tangenten- und Normalengleichung an das Schaubild von f(x) = e im
Punkt B(-1/f(-1)).
Allgemeine Tangentengleichung: y = f ′(u) ⋅ ( x − u ) + f(u)
Einsetzen von u = -1: y = f ′( −1) ⋅ (x + 1) + f( −1)
Mit f(1) = 1 und f ′(1) = 6 lautet die Normalengleichung y = −
Es ist f( −1) = e −2 . Mit f ′(x) = 2e2x folgt f ′( −1) = 2e −2 .
Tangentengleichung: y = 2e −2 ⋅ (x + 1) + e −2 ⇒ y = 2e−2 x + 3e−2
1
Allgemeine Normalengleichung: y = −
⋅ ( x − u ) + f(u)
f ′(u)
1
Einsetzen von u = -1: y = −
⋅ (x + 1) + f( −1)
f ′( −1)
Mit f( −1) = e −2 und f ′( −1) = 2e −2 f(1) = 1 lautet die Normalengleichung
1
y = − −2 ⋅ (x + 1) + 2e−2 ⇒ y = −e2 ⋅ x − e2 + 2e −2
e
Aufgabentyp 2: Aufstellen einer Tangenten-/Normalengleichung an das Schaubild von f(x)
mit vorgegebener Tangenten-/Normalensteigung
Gegeben ist die Funktion f(x) sowie die Steigung der Tangente oder der Normale.
1.Fall: Steigung der Tangente mT an g ist gegeben:
Mit dem Ansatz f ′(x) = mT an g wird der x-Wert des Berührpunktes B berechnet (Berührstelle).
Zur Berechnung der Tangentengleichung wird diese Berührstelle als u-Wert in die
allgemeine Tangentenformel eingesetzt.
2.Fall: Steigung der Normale mNorm ist gegeben:
Zunächst muss man die Tangentensteigung mit der Formel mTang = −
Mit dem Ansatz f ′(x) = mTang
1
berechnen.
mNorm
wird der x-Wert des Punktes B berechnet, an dem die Normale
das Schaubild von f(x) senkrecht schneidet. Dieser x-Wert wird dann für u in die allgemeine
Normalenformel eingesetzt.
Beispiel 6.2:
a) Bestimme den Berührpunkt der Tangente an das Schaubild von f(x) = 2e x −1 + 3 , die
parallel zur Geraden y = 2x + 2 ist. Bestimme auch die Tangentengleichung.
Aus der Parallelität folgt, dass die Tangente und die Gerade dieselbe Steigung besitzen,
also mTang = 2 . Damit lautet der Ansatz f ′(x) = 2
Mit f ′(x) = 2e x −1 folgt 2e x −1 = 2
0
⇒ e x −1 = 1
⇒ x − 1 = ln(1)
Mit f(1) = 2e + 3 = 5 ergibt sich der Berührpunkt B(1/5).
⇒ x =1
6. Tangenten, Normalen, Schnittwinkel und Berührung
Allgemeine Tangentengleichung: y = f ′(u) ⋅ ( x − u ) + f(u)
Tangentengleichung: y = f ′(1) ⋅ (x − 1) + f(1) ⇒ y = 2(x − 1) + 5 ⇒ y = 2x + 3
b) Bestimme die Gleichung der Normalen an das Schaubild von f(x) = x 2 − x , die die
Steigung -0,5 besitzt.
1
Es gilt mNorm = −0,5 ⇒ mTang = −
=2
−0,5
Es muss gelten: f ′(x) = 2 . Mit f ′(x) = 2x − 1 folgt daraus 2x − 1 = 2 ⇒ x = 1,5
1
⋅ ( x − u ) + f(u)
Allgemeine Normalengleichung: y = −
f ′(u)
1
⋅ ( x − 1,5 ) + f(1,5)
Einsetzen von u = 1,5: y = −
f ′(1,5)
1
Mit f(1,5) = 0,75 und f ′(1,5) = 2 gilt: y = − ⋅ ( x − 1,5 ) + 0,75 ⇒ y = −0,5x + 1,5
2
Anhang: GTR Bedienungsanleitung für Texas Instruments
Anhang: GTR Bedienungsanleitung für Texas Instruments
Im Wahlteil der Abiturprüfung ist die Nutzung des GTR nicht nur erlaubt, sondern auch
erforderlich. Es gibt hinsichtlich der GTR-Nutzung 3 Aufgabentypen
Typ 1: GTR muss benutzt werden
Bei diesen Aufgaben stößt man auf Rechnungen (zum Beispiel komplizierte Gleichungen
oder komplizierte Integrale), die man per Hand gar nicht ausrechnen kann. Hier ist man auf
die Nutzung des GTR angewiesen, ansonsten erhält man kein Ergebnis.
Typ 2: GTR kann benutzt werden
Diese Aufgaben könnte man auch ohne GTR „per Hand“ berechnen.
Allerdings ist der Zeitaufwand ohne GTR häufig deutlich höher als mit GTR.
Daher kann man auch hier nur empfehlen, den GTR zum Einsatz zu bringen.
Typ 3: GTR darf nicht benutzt werden
Dies kann bei folgenden Aufgaben vorkommen:
• In der Aufgabe sind exakte Ergebnisse verlangt. In diesem Fall müssen die Aufgaben
„per Hand“ gerechnet werden. Natürlich kann der GTR aber zur Ergebniskontrolle
verwendet werden (entspricht das exakte Ergebnis „per Hand“ der Kommazahl des
GTR ?)
• Aufgabenformulierung lautet „Zeigen Sie, dassX“ / „Weisen Sie nach, dass,X“
• Das gesuchte Ergebnis ist von einem Parameter abhängig (zum Beispiel bei
Funktionsscharen)
Kapitel 1: Allgemeine Anmerkungen
Schreibweise
•
Umrahmte Wörter stellen Tasten des GTR dar, zum Beispiel MATH
•
Ausdrücke in eckigen Klammern erreicht man über die 2nd – Taste, zum Beispiel
[QUIT|
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Ausdrücke in spitzen Klammern stellen Menüpunkte dar, zum Beispiel MATH
<FRAC>. Der ausgewählte Menüpunkt muss mit ENTER bestätigt werden.
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Die Variable X wird mit der Taste X,T, Θ, η
eingegeben
Zurücksetzen des GTR
Sollte einmal das Problem auftreten, dass man nicht weiß, wie man bestimmte GTREinstellungen wieder rückgängig machen kann, kann es helfen, den GTR in seinen
Ausgangszustand zurückzusetzen.
Dies geht so: [MEM] <Reset> ENTER <RAM> <All RAM> <Reset> ENTER
Hilfreiche Tasten
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Mit der Taste [ENTRY] kann der letzte Befehl, den man in das GTR-Fenster eingegeben
hat, wieder aufrufen, um diesen zu korrigieren. Man spart sich, den kompletten Befehl
nochmals neu einzugeben.
Anhang: GTR Bedienungsanleitung für Texas Instruments
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Unter [ANS] ist das letzte Rechenergebnis abgespeichert. Wenn man also mit dem
gerade berechneten Ergebnis weiterarbeiten möchte, kann man anstatt die Zahl
nochmals neu einzugeben, einfach [ANS] aufrufen.
Hat man im Rechenfenster ein Ergebnis berechnet und möchte dieses als Bruch
ausgeben, gibt man ein: MATH <FRAC> und dann zweimal ENTER
Bei der GTR-Eingabe passieren gerne Verwechslungen der Taste mit dem MinusRechenzeichen - und der Taste mit dem Minus-Vorzeichen (-)
Möchte man den Ausdruck – 4 – (-9 – 7) berechnen, dann ist das erste und das dritte
Minuszeichen ein Minus-Vorzeichen (also Taste (-) und das zweite und vierte
Minuszeichen ein Minus-Rechenzeichen (also Taste - )
Kapitel 2: Erstellen eines Schaubildes und einer Wertetabelle
Aufgabenstellung: Zeichne das Schaubild von f(x) = x 3 − 2x 2
1.) Mit Y= in den Funktionseditor wechseln und dort die Funktion eingeben
2.) Mit WINDOW kann man den Koordinatensystemausschnitt auswählen, in dem das
Schaubild gezeichnet werden soll.
3.) Mit GRAPH kann man das Schaubild zeichnen lassen
Hinweis: Falls man mit Y= kein Fenster entsprechend der linken Abbildung sieht, muss man
unter MODE den Menüpunkt <FUNC> auswählen.
Wenn man nach Drücken der Taste GRAPH das Schaubild nicht oder nur unzureichend
sieht, muss man die WINDOW-Einstellungen ändern.
Erklärung des Menüs unter WINDOW:
Xmin, Xmax, Ymin, Ymax gibt den Zeichenbereich der x –Achse bzw. der y-Achse an.
Xscl und Yscl gibt den Abstand der Markierungsstriche auf der x- und y-Achse an und steht
standardmäßig auf 1.
Xres: Gibt die Genauigkeit an, mit der das Schaubild gezeichnet wird. Wenn man zum
Beispiel Xres = 4 eingibt, wird das Schaubild viel schneller gezeichnet, aber (zeichnerisch)
dafür etwas ungenauer. Insbesondere beim Zeichnen von Ableitungs- oder
Integralfunktionen, bei denen der GTR lange braucht, kann durch eine Erhöhung von Xres
die Wartezeit verkürzt werden.
Da das GTR-Fenster nicht quadratisch aufgebaut ist und wir über WINDOW die Möglichkeit
haben, den Zeichenbereich der x- und y-Achse beliebig auszuwählen, sind die Winkel, mit
denen zwei Schaubilder aufeinandertreffen, in der Regel verzerrt.
Es ist also üblich, dass zum Beispiel zwei Geraden, die rechtwinklig zueinander sind, im
GTR-Schaubild nicht-rechtwinklig erscheinen.
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