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PS 12
Magnetismus
Version vom 27. März 2014
Inhaltsverzeichnis
1 Magnetismus
1.1 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Begriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.3 Materie im Magnetfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.4 Diamagnetismus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.5 Paramagnetismus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.6 Ferromagnetismus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.7 Ferromagnetika im Transformator . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Aufgabenstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Versuchsaufbau und Durchführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1 Bestimmung der magnetischen Suszeptibilität nach Faraday und Gouy
1.3.2 Suszeptibilität von Graphit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.3 Suszeptibilität von Titan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.4 Experimente mit ferromagnetischen Werkstoffen . . . . . . . . . . .
1.4 Literaturangaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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1 Magnetismus
Lehr/Lernziele
• Wiederholung und Vertiefung der bekanntesten Formen von Magnetismus der Materie.
• Kenntnis des Verhaltens von Dia- und Paramagneten im zeitlich konstanten Magnetfeld.
• Kenntnis des Verhaltens von Ferromagneten im magnetischen Wechselfeld.
• Erweiterung der Fertigkeiten bezgl. computergestützter Messwerterfassung und Datenverarbeitung.
1 Magnetismus
1.1 Grundlagen
1.1.1 Begriffe
Ferro-, Para-, und Diamagnetismus; magnetische Werkstoffe, Transformator, Hysterese.
1.1.2 Einleitung
Wird ein Stoff einem Magnetfeld ausgesetzt, so finden Wechselwirkungen zwischen dem
Feld und den magnetischen Momenten der Elektronenhüllen der Atome und Moleküle statt.
Der Stoff wird durch das Feld magnetisiert, das Feld seinerseits durch die Magnetisierung
verändert.
Nach ihrem unterschiedlichen Verhalten im Magnetfeld unterscheidet man diamagnetische,
paramagnetische und ferromagnetische Stoffe. Letztere zeichnen sich dadurch aus, dass sie
besonders stark magnetisiert werden können. Sie finden deshalb als magnetische Werkstoffe Verwendung: zum Beispiel in Elektromotoren, Schaltschützen, Relais, Transformatoren,
elektrodynamischen Messwerken, magnetischen Speichern u. a. An magnetische Werkstoffe werden je nach Verwendungszweck sehr unterschiedliche Anforderungen gestellt. Zur
Herstellung von Permanentmagneten verwendet man sogenannte hartmagnetische Werkstoffe mit großer Remanenz und hoher Koerzitivfeldstärke. Dynamobleche bestehen aus
verlustarmen weichmagnetischen Stoffen mit schmalen Hystereseschleifen und großer Permeabilität.
-1-
PS 12
1 Magnetismus
Im vorliegenden Versuch werden Sie die magnetischen Kenngrößen von Materialien der
oben genanten drei magnetischen Stoffeigenschaften untersuchen und zudem die Hystereseschleifen und Kommutierungskurven ferromagnetischer Werkstoffe aufnehmen und daraus
magnetische Stoffkenngrößen bestimmen.
1.1.3 Materie im Magnetfeld
Die Elektronen der Atomhüllen stellen bewegte Ladungen dar und besitzen daher magnetische Momente. Es sind quantenmechanische Effekte, welche die magnetischen Eigenschaften der einzelnen Atome begründen: Bahndrehimpuls der Elektronen, Spin der Elektronen
und Kernspin 1 der jeweiligen Atome beeinflussen Richtung und Größe des magnetischen
Moments. Der Bahndrehimpuls, dessen Name vom historischen Bohr’schen Atommodell2
herrührt, ergänzt sich mit dem Spin zum jeweiligen magnetischen Moment (Spin-BahnKopplung).
Die magnetischen Momente überlagern sich in einer vom Atombau (und ggf. der chemischen Bindung) abhängigen Weise zum resultierenden magnetischen Moment des Atoms
(bzw. Moleküls), dem sogenannten permanenten atomaren (bzw. molekularen) Dipolmoment. Die permanenten Dipolmomente sind bei diamagnetischen Stoffen Null, da in abgeschlossenen Elektronenschalen3 sich die Spins aller Elektronen gegenseitig aufheben. Nun
haben aber speziell Atome mit nicht abgeschlossenen Elektronenschalen auffallende magnetische Eigenschaften, da sie permanente magnetische Dipole besitzen (z.B. Para- und
Ferromagnetismus).
Ferromagnetische Stoffe (z. B. Eisen, Kobalt, Nickel und bestimmte Legierungen) verhalten
sich als Festkörper oberhalb einer für den jeweiligen Stoff charakteristischen Temperatur
(CURIE-Temperatur TC , nach PIERRE CURIE, 1859 - 1906) paramagnetisch. Ferromagnetismus wird erst beobachtet, wenn für T < TC die atomaren Dipole in den Festkörperkristallen geordnet vorliegen. Innerhalb größerer Bereiche (ca. 10−5 m), der sogenannten
WEISS’schen Bezirke (nach PIERRE ERNEST WEISS, 1865 - 1940), findet man jeweils
parallel angeordnete atomare Dipole und somit ein großes Dipolmoment. Aber auch die
Dipolmomente der WEISS’schen Bezirke sind im Festkörpervolumen zunächst ungeordnet
verteilt, ein magnetisch unvorbehandeltes Eisenstück zeigt keinen Permanentmagnetismus.
Beim Anlegen eines Feldes erfahren die atomaren Dipolmomente der Paramagnetika Drehmomente. Diese Drehmomente bewirken eine Richtungsverteilung der Dipole, bei der die
Feldrichtung bevorzugt ist. Eine vollständige Einstellung der Dipole in Feldrichtung wird
von der Wärmebewegung verhindert.
Im Volumen V des magnetisierten Körpers wird durch das Anlegen eines äußeren Magnet-
1
Effekt kaum beeinflussend für makroskopische magnetische Eigenschaften
Laut Bohr’schem Atommodell bewegen sich Elektronen auf diskreten Kreisbahnen um den Kern. Es
ist zwar ein Meilenstein der Physikgeschichte, hat sich jedoch bereits in der ersten Hälfte des 20.
Jahrhunderts eindeutig als „fachlich falsch“ erwiesen.
3
auch „Edelgaskonfiguration“ genannt
2
-2-
PS 12
1 Magnetismus
feldes in der Materie ein magnetisches Moment m hervorgerufen:
m=
M dV
(1)
V
Die Magnetisierung M verändert als Beitrag des magnetischen Materials die magnetische
(Feld-)Flussdichte4 B und es gilt:
B = µ0 (H + M )
(2)
mit der magnetischen Induktionskonstante5 µ0 = 4π · 10−7 V sA−1 m−1 . Bei kleinen Feldstärken ist M proportional zu H:
M = χH
(3)
Der Proportionalitätsfaktor χ, die Suszeptilität, ist eine Materialeigenschaft. Mit Gleichung
2 und Gleichung 3 findet man
B = (χ + 1) µ0 H = µr µ0 H
(4)
wobei µr = χ + 1 als relative Permeabilität oder Permeabilitätszahl bezeichnet wird. Für
µ = µr µ0 wird der Begriff Permeabilität verwendet.
Formelzeichen
m
M
V
µ0
H Am−1
B
Einheit
Am2
Am−1
m3
V sA−1 m−1
magnetische Feldstärke
V sm−2 magnetische Flussdichte
Bezeichnung
Magnetisches Moment
Magnetisierung
Volumen
Induktionskonstante
Mit Hilfe von χ lassen sich die 3 Hauptarten von Magnetismus in Materie unterscheiden
(siehe auch Abb. 1):
• Diamagnetismus
M < 0 und µr < 1
− 10−4 < χ < −10−9
Diamagnetische Materialien führen zu einer leichten Abschwächung des äußeren Magnetfeldes.
4
B wird manchmal auch Induktion oder einfach Magnetfeld genannt. Die magnetische Feldstärke H wird
manchmal auch magnetische Erregung genannt. An den hier besprochenen physikalischen Zusammenhängen ändert diese Namensgebung aber nichts.
5
weitere Namen für µ0 sind: magnetische Feldkonstante oder Vakuumpermeabilität
-3-
PS 12
• Paramagnetismus
M > 0 und µr > 1
1 Magnetismus
10−6 < χ < 10−3
Paramagnetische Materialien bewirken eine leichte Verstärkung des äußeren Magnetfeldes.
• Ferromagnetismus
M >> 0 und µr >> 1
0, 3 < χ < 109
Ferromagnetische Materialien führen zu einer deutlichen Verstärkung des äußeren
Magnetfeldes.
Abbildung 1: Unterscheidung der Arten des Magnetismus anhand der Suszeptibilität χ
-4-
PS 12
1 Magnetismus
1.1.4 Diamagnetismus
Die Atome diamagnetischer Materialien weisen keine permanenten magnetischen Momente
auf. Erst in einem äußeren Magnetfeld werden magnetische Momente induziert. Mit der
Lenz’schen Regel kann man sich vorstellen, dass in Diamagneten „Kreisströme“ induziert
werden, die ihrer Ursache entgegenwirken, also das äußere Magnetfeld abschwächen. Dabei
erfahren die diamagnetische Stoffe auch eine Abstoßung (in Richtung geringerer magnetischer Flussdichte). Diamagnetismus ist ein sehr schwacher Effekt, der eine Eigenschaft
aller Stoffe ist, aber leicht von anderen Effekten überlagert werden kann. Diamagneten
sind Elemente oder Verbindungen mit abgeschlossener Elektronenschale, wie z.B. C (Graphit und Diamant), Ag, Au, Cu, Bi, H2 , H2 O etc. Typ I-Supraleiter sind unterhalb der
kritischen Temperatur ideale Diamagneten mit χ = −1. Der Diamagnetismus tritt grundsätzlich bei allen Stoffen auf, wird jedoch bei gleichzeitigem Auftreten von Para- oder
Ferromagnetismus von diesen verdeckt.
Die Kraft F auf den Diamagneten des Volumens V in einem inhomogenen Magnetfeld kann
man über den Gradienten der potentiellen Energie (gradW ) des magnetischen Moments
m im Magnetfeld B (analog zum elektrischen Dipol) bestimmen:
F = grad W = m · grad B
(5)
Mit Gl.1 und Gl.3 sowie der Beziehung B = µ0 H folgt
F = M · V · grad B =
χ
· V · B · grad B
µ0
(6)
wobei grad B, der sogenannte Vektorgradient, ein Tensor ist und das Produkt B ·grad B =
Bx · grad Bx + By · grad By + Bz · grad Bz wieder ein Vektor ist. Aufgrund des negativen
Wertes für χ sieht man, dass auch die Kraft F ein negatives Vorzeichen besitzt und somit
wie oben beschrieben in Richtung geringerer magnetischer Flussdichte zeigt.
1.1.5 Paramagnetismus
Paramagnetische Stoffe besitzen permanente magnetische Momente, die durch ein äußeres
Magnetfeld in Richtung des Feldes ausgerichtet werden können. Der Verstärkungseffekt
des äußeren Magnetfeldes ist jedoch sehr klein. Paramagnetische Stoffe erfahren im Magnetfeld eine Anziehung (in Richtung höherer magnetischer Flussdichte, unabhängig von
der Richtung des Magnetfeldes). Die Kraft F eines inhomogenen Magnetfeldes auf den
Paramagneten des Volumens V kann man auf die gleiche Weise bestimmen, wie auch bei
Diamagneten. Aufgrund des positiven Wertes für χ sieht man, dass auch die Kraft F ein
positives Vorzeichen besitzt und somit wie oben beschrieben in Richtung größerer magnetischer Flussdichte zeigt.
Paramagneten sind etwa Atome oder mit einer ungeraden Zahl von Elektronen (der Gesamtspin kann in diesem Fall nicht null sein), freie Atome und Ionen mit einer teilweise
-5-
PS 12
1 Magnetismus
Abbildung 2: a) Nicht ausgerichtete atomare magnetische Momente. b) Bereiche spontan
ausgerichteter magnetischer Momente (Weiss’sche Bezirke).
Abbildung 3: Weiss’sche Bezirke: Schnitt durch ein ferromagnetisches Material. Farben
(und Vektoren) kennzeichnen die unterschiedlichen räumlichen Ausrichtungen der magnetischen Momente. Die schwarzen Abgrenzungen stellen
die Bloch-Wände dar.
gefüllten inneren Schale, z.B. bei Alkalimetallen (Li, Na, K,...), Seltenerden und Aktiniden aber auch Moleküle wie Sauerstoff oder Metalle wie Aluminium Titan oder Mangan.
Trotzdem findet man bei paramagnetischen Körpern augenscheinlich keinen Permanentmagnetismus, weil die Wärmebewegung die atomaren Dipole im Körper ohne Vorzugsrichtung
verteilt. Die Suszeptibilität von Paramagnaten sinkt mit steigender Temperatur.
1.1.6 Ferromagnetismus
Ferromagnetismus tritt auf in Metallen auf, deren permanente magnetische Dipolmomente
wechselwirken. Die permanenten magnetischen Dipole können sich (spontan) in die gleiche
Richtung ausrichten. Die einzelnen Momente summieren sich und es bilden sich Regionen mit großen magnetischen Gesamtmomenten (siehe Abb. 2). Diese Regionen werden
Weiss’sche Bezirke genannt und besitzen im magnetisierbaren Material unterschiedlich
ausgrichtete Gesamtmomente (siehe Abb. 3), die sich in Summe ausgleichen.
-6-
PS 12
1 Magnetismus
Abbildung 4: Bloch-Wände: Dünne Bereiche (≈ 30 nm), in welchen die atomaren Dipole
ihre Ausrichtung ändern.
Die Weiss’schen Bezirke werden durch die sogenannten Bloch-Wände von einander getrennt. In der Bloch-Wand klappen die atomaren magnetischen Momente auf sehr engem Raum in jene Richtung um, in welcher die magnetischen Momente des angrenzenden
Weiss’schen Bezirks orientiert sind. Die Illustration in Abb. 4 verdeutlicht es.
Wird ein solcher (unmagnetisierter) ferromagnetischer Stoff mittels eines äußeren Magnetfeldes magnetisiert, so werden die Ausrichtungen der magnetischen Momente der
Weiss’schen Bezirke beeinflusst und verändert. Die Blochwände verschieben sich und es
werden jene Weiss’schen Bezirke dadurch vergrößert, deren magnetisches Moment am ehesten zum äußeren Magnetfeld parallel verläuft. Abb. 5 veranschaulicht diese Vorgänge.
Abbildung 5: Prozesse bei der Magnetisierung M eines Ferromagneten durch ein äußeres
Magnetfeld H, dessen Richtung vom Pfeil in (d) dargestellt ist.
Damit wachsen M und B. Steigert man die Feldstärke H weiter, so werden die Dipolmomente weiterer Weiss’scher Bezirke zum Feld ausgerichtet, die magnetische Flussdichte
steigt entsprechend der Neukurve N (Abb. 6) an. Sind die Dipolmomente aller Weiss’schen
Bezirke ausgerichtet, erreicht B einen Sättigungswert BS . Zwischen B und H herrscht im
Bereich der Sättigung kein linearer Zusammenhang. Will man Gleichung 3 und Gleichung
4 aufrechterhalten, so muss man µr und χ als Funktionen von H auffassen. Man erhält µr
dB
dB
aus der lokalen Ableitung dH
. Für Feldstärken H > HS wird dH
= µ0 und µr = 1.
-7-
PS 12
1 Magnetismus
Abbildung 6: Magnetisierungszyklus eines Ferromagneten, beginnend beim unmagnetisierten Ausgangszustand (links oben).
Ferromagnetische Permeabilitäten und Suzeptibilitäten erreichen sehr große Werte: (103 ...
105 , vgl. Abb. 1).
In Abbildung 6 sind die einzelnen Abschnitte des Magnetisierungzykluses eines Ferromagneten grafisch dargestellt. Beginnend vom unmagnetisierten Ausgangszustand nimmt die
magnetische Flussdichte mit der Feldstärke zunächst in einem nichtlinearen Zusammenhang zu, bis der Sättigungspunkt S (+HS , +BS ) erreicht ist. Bei weiterer Erhöhung der
Feldstärke nimmt die magnetische Flussdichte linear zu. Wird die Feldstärke reduziert, folgt
die magnetische Flussdichte bis zum Sättigungspunkt dem linearen Verlauf. Verringert man
die Feldstärke weiter, so wird die Neukurve nicht einfach in umgekehrter Richtung durchlaufen. Für H = 0 gelangt man vielmehr zur magnetisched Flussdichte +Br (Remanenz ).
Ein Teil der durch das Feld ausgerichteten Dipole behält also auch ohne Feld seine Orientierung bei. Diese Remanenz nutzt man bei der Herstellung von Permanentmagneten. Um
das Material zu entmagnetisieren, muss eine Gegenfeldstärke (Koerzitivfeldstärke −Hc )
angelegt werden. Danach kann das Material weiter ummagnetisiert werden. Es erreicht
wiederum einen Sättigungspunkt bei −HS , −BS . Danach ist der Zusammenhang −B(−H)
wiederum linear. Bei Umkehr der Feldstärke erreicht zunächst die magnetische Flussdichte
B = −Br für H = 0. Eine vollständige Entmagnetisierung tritt bei H = +Hc ein. Bei einer
weiteren Erhöhung von H entspricht der obere Kurvenverlauf (im positiven Quadranten
der Darstellung) dem unteren (im negativen Quadranten gezeigten) +B(+H) = −B(−H).
Die geschlossene Kurve heißt Hystereseschleife. Ihr Verlauf bleibt bei der Wiederholung des
Zyklus konstant. Nimmt man eine Schar von Hysterseschleifen mit unterschiedlichen Umkehrpunkten (Feldstärkeamplituden) auf, so liegen ihre Spitzen alle auf der sogenannten
Kommutierungskurve. Der Verlauf der Kommutierungskurve entspricht jenem der Neukurve kann jedoch aus dem Nullpunkt verschoben sein.
-8-
PS 12
1 Magnetismus
Zur Änderung des Feldes ist (pro Volumeneinheit) die Arbeit W12 zu leisten:
H2
BdH
W12 =
(7)
H1
Berechnet man Gleichung 7 für einen vollständigen Umlauf um die Hystereseschleife, so
findet man, dass der von der Schleife umschlossene Bereich die Verlustarbeit W pro Volumeneinheit darstellt. In diesem Praktikums-Versuch wird der Kern einem harmonischen
Wechselfeld ausgesetzt. Alle für den Magnetwerkstoff ermittelten Werte sind also dynamische Werte. Wenn ein Wechselstrom mit der Frequenz f einen Kern mit dem Volumen V
ständig ummagnetisert, tritt eine mittlere Verlustleistung
P = fV W
(8)
auf. Sie wird für das Ummagnetisieren des Materials und zur Induktion von Wirbelströmen
verbraucht und letztlich Wärmeleistung umgewandelt.
1.1.7 Ferromagnetika im Transformator
Abbildung 7: Darstellung von Aufbau (links), Wirkungsweise (mitte) und elektronischem
Schaltkreis eines Transformators. (Quelle: Wikipedia)
Im Transformator erzeugt eine an die erste Spule (Primärspule) angelegte Wechselspannung nach dem Induktionsgesetz ein veränderliches Magnetfeld im Kern. Dieses Feld durchsetzt die zweite Spule (Sekundärspul e) und erzeugt hier durch Induktion wiederum eine
Spannung. Nahezu alle Transformatoren nutzen einen ferromagnetischen Kern aus Eisenblechen, Eisendrähten oder Ferrit, um die Induktivität Lω und damit die Impedanz der
Primärspule zu vergrößern und dadurch den Primärstrom klein zu halten. Das ist vor allem
bei niedrigen Frequenzen (50 Hz) entscheidend, da der Ohmsche Widerstand R des Kupferdrahts (der Primärspule) klein ist. Ohne einen Kern mit hoher Permeabilitätszahl wären
die Transformatorverluste durch Joulesche Erwärmung der Spule auch ohne Belastung erheblich. Bei hohen Frequenzen verliert der Kern an Bedeutung. Das Übertragungsverhalten
eines Wechselsignals ist in Abb. 8 dargestellt.
-9-
PS 12
1 Magnetismus
Abbildung 8: Übertragung eines Wechselsignals in einem Transformator (schematisch).
Da die induzierte Spannung in der Sekundärspule nur von der zeitlichen Ableitung des
magnetischen Flusses dΦ
∝ dB
abhängt, wirkt sich ein konstanter Beitrag der Magnetidt
dt
sierung des Kerns nicht auf die transformierte Wechselspannung aus. Andererseits würde
jedoch ein konstanter Beitrag zum Primärstrom des Transformator zu einer Änderung des
Übertragungsverhaltens führen.
Für die Wahl des Materials für den Transformatorkern grundlegend ist, dass im Bereich
dB
annähernd konstant (B ändert sich linear mit H) und mögvon H = 0 die Ableitung dH
lichst groß ist (Vergleiche dazu Abb.8). Materialien die diese Eigenschaften erfüllen nennt
man weichmagnetisch. Im Gegensatz dazu verwendet man bei magnetischen SpeichermedB
(H = 0)
0
dien hartmagnetische Werkstoffe. Sie sind dadurch gekennzeichnet, dass dH
gilt. Je nach Anwendungszweck des Transformators ist bei der Wahl des Werkstoffs für
den Kern entweder die Linearität oder die Größe der Änderung wichtiger. In Abb.8 können Sie erkennen, dass Abweichungen vom linearen Verhalten erstens eine Verzerrung des
übertragenen Signals bewirken und zweitens die Ursache für Magnetisierungsverluste sind.
Die Eignung eines Materials als Transformatorkern für eine bestimmte Anwendung kann
anhand der Hystereseschleife (Abb. 6) beurteilt werden. Für Transformatoren ergeben sich
idealerweise BS
BR und HS ≈ HC . Dadurch kann man einen großen Übertragungsbereich von Primärströmen und Sekundärspannungen abdecken. Beachten Sie dabei, dass
die Fläche der kompletten Hysteresekurve noch keinen Hinweis auf mögliche Ummagnetisierungsverluste während des Betriebs gibt (vergleiche dazu die Flächen in Abb.8).
- 10 -
PS 12
1 Magnetismus
1.2 Aufgabenstellung
1. Bestimmen Sie die magnetische Suszeptibiltät χ von Graphit (Diamagnet) über
Kraftmessung in einem inhomogenen Magnetfeld nach dem Methode von Faraday.
2. Bestimmen Sie die magnetische Suszeptibiltät χ von Titan (Paramagnet) über Kraftmessung in einem inhomogenen Magnetfeld nach der Methode von Gouy.
Die folgenden Aufgaben gelten für einen der beiden mit F und W gekennzeichneten
Transformatoren:
3. Für einen konstanten Primärstrom mit einer Frequenz von 50 Hz erfassen Sie die
Hysteresekurve und ermitteln die Remanenz BR und die Koerzitivfeldstärke HC ,
sowie den Sättigungspunkt charakterisiert durch BS und HS .
4. Bei einer konstanten Frequenz von etwa 50 Hz variieren Sie den Primärstrom. Bestimmen Sie die Umkehrpunkte der Hysterese BS und HS . Tragen Sie die Ergebnisse in eine Funktionsdarstellung B(H) ein und bilden Sie die numerische Ableitung
dB/dH = µ (H). Ermitteln Sie aus der grafischen Darstellung den Maximalwert der
relativen Permeabilität µr und daraus χ.
1.3 Versuchsaufbau und Durchführung
1.3.1 Bestimmung der magnetischen Suszeptibilität nach Faraday und Gouy
Wie bereits in den Grundlagen erläutert, kann man die magnetische Suszeptibilität χ eines bekannten Probenvolumens V aus dem Proportionalitätsfaktor zwischen Kraft F und
B · grad B in einem inhomogenen Magnetfeld bestimmen (Gl. 6). Wenn man die Probe so
montiert, dass allein die x-Komponente der Kraft gemessen wird (z.B. mit einer starren
Verbindung zum Kraftsensor (vgl. Abb. 9, a)), so vereinfacht sich die Beziehung zu
χ
dB
Fx =
·V ·B·
(9)
µ0
dx
Man muss also die Änderung der magnetische Flussdichte in Abhängigkeit des Ortes in xRichtung, den Betrag der magnetischen Flussdichte am Ort des Probenmittelpunktes und
die Kraft auf die Probe in x-Richtung kennen, um χ zu bestimmen. Damit dB
möglichst
dx
groß und im gesamten Probenvolumen möglichst konstant ist, werden parabolisch-konische
Polschuhe verwendet, deren Spitzen in einem Abstand von 8 mm zu einander montiert werden. Dieser Versuchsaufbau heißt Methoden nach Faraday und wird für die diamagnetische
Graphitprobe verwendet. Wenn man eine zylindrisch in x-Richtung langgestreckte Probe
mit dem Querschnitt A verwendet, so muss die Kraft durch Integration längs der Zylin-
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PS 12
1 Magnetismus
Abbildung 9: Schema für das Experiment zur Bestimmung von χ aus der Kraftmessung
nach a) der Methode von Faraday und b) der Methode von Gouy.
derachse von x1 bis x2 berechnet werden:
Fx =
χ
·A
µ0
x2
B
x1
χ
dB
dx =
· A · (B 2 (x2 ) − B 2 (x1 ))
dx
2µ0
(10)
Wird das Zylinderende bei x1 (näherungsweise) außerhalb des (homogenen) Magnetfeldes
platziert, dann ist B(x1 ) = 0 und man erhält
χ
Fx =
· A · B 2 (x2 )
(11)
2µ0
Dieser Versuchsaufbau wird als Methode nach Gouy bezeichnet (siehe Abb. 9,b) und dient
der Bestimmung von χ der paramagnetischen Titanprobe.
1.3.2 Suszeptibilität von Graphit
Bei den folgenden zwei Experimenten werden Sie mit dem großen Elektromagneten der
historischen Sammlung der Fakultät für Physik arbeiten. Er ist mehr als 100 Jahre alt,
funktioniert jedoch einwandfrei. Bitte behandeln sie ihn und sein Zubehör mit größter
Sorgfalt! Achten Sie darauf, dass Sie keinesfalls plötzliche Änderungen des Stromflusses
hervorrufen (z.B. durch Abdrehen, Ausstecken etc.), das würde zu enormen InduktionsSpitzen führen, die gefährlich hohe Spannungen hervorrufen und den Magneten sehr belasten und verschleißen.
Sicherheitshinweis:
Personen mit aktiven Implantaten (z.B. Herzschrittmacher) wird dringend
geraten, während des Betriebes einen Sicherheitsabstand von mind. 50cm
zum Magneten einzuhalten!
- 12 -
PS 12
1 Magnetismus
• Montage der Polschuhe
Für einen Wechsel oder die Montage der Polschuhe entfernen Sie die Probe, die
Magnetfeldsonde und das Lineal. Montieren Sie nun die parabolisch-konischen Polschuhe. Diese lassen sich in das fix eingebaute Gewinde einschrauben, ohne dass die
Lage der Spulen auf dem Bock verändert werden muss. Ziehen Sie diese nur handfest
an. Ein Polschuhabstand von 8 mm sollte sich dadurch automatisch ergeben.
• Bedienung des Hochstrom-Netzgeräts
Das EA PS 7032-200 ist ein Netzgerät, das Gleichströme von bis zu 20A bei max. 32V
liefern kann. Der Elektromagnet darf jedoch dauerhaft nicht mit mehr als 10 A belastet werden. B steigt linear mit dem Strom I, daher muss I variiert werden. Weil das
Netzgerät eine Spannungsquelle ist erreicht man die Regelung des Stromes nur über
den Strombegrenzer (das sind die rechten beiden Drehknöpfe mit den Bezeichnungen
„Coarse“ für grobe und „Fine“ für feine Einstellung). Daher wird vor Inbetriebnahme
der Spannungsgrobregler (linke Seite) auf eine beliebige, hohe Spannung aufgedreht
und die beiden Stromregler werden abgedreht. So stellen Sie sicher, dass beim Einschalten nicht plötzlich Strom durch den Elektromagneten fließt. Verbinden Sie die
Anschlusskabel des Elektromagneten erst nach dem Einschalten des Netzgerätes.
• Messung von B(x)
Montieren Sie das Lineal und platzieren Sie die höhenverstellbare Magnetfeld-Sonde
auf Höhe der Polschuhspitzen. Mit dem Programm CassyLab können Sie den Sensor aktivieren (B-Sensor, tangential, Messbereich ± 1000 mT) und so die aktuelle
magnetische Flussdichte am Ort der Sonde (Hall-Sonde an der vorderen Spitze, erkennbar als schwarzes, rechteckiges Plättchen) messen und ablesen. Stellen Sie einen
Betriebsstrom von I=10A am Netzgerät ein und nehmen Sie nun in mm-Schritten
B(x) auf im Bereich von x=0mm bis x=12mm. Achten Sie auf einen raschen Ablauf,
der Magnet soll nicht zu lange mit 10A belastet werden. Mit einem geeigneten Auswerteprogramm (z.B. QTI-Plot) bestimmen Sie nun den linearen Bereich von B(x)
.
und durch lineare Regression in diesem Bereich bestimmen Sie dB
dx
• Messung der Kraft auf die Graphitprobe
Die Graphitprobe sollte mindestens 20 Minuten vor der Messung am Kraftsensor
montiert werden, da dieser mittels Biegeelementen funktioniert und im Bereich der
höchsten Auflösung eine deutliche (thermische) Drift nach Lasteinbringung zu erkennen ist. Nach etwa 20 Minuten hat sich das Biegeelement stabilisiert. Die Graphitprobe hat einen Holzstab als Aufhängung, der genau in die untere Öffnung des
Kraftsensors passt. Wenn Sie etwa 5-10 mm tief eingebracht ist, sollte sie von alleine
halten. Während des Einbringens halten Sie den Aufhängungsbock mit 2 Findern so
fest, dass er nicht überdehnt wird!
Bringen Sie nun die Graphitprobe mittig genau in jenen Bereich entlang des vermessenen B-Feldes zwischen die Polschuhe ein, der die lineare Änderung aufweist
(siehe Abb. 10). Mit dem Programm CassyLab können Sie den Kraftsensor aktivieren, wählen Sie den Messbereich „automatisch“ und lassen Sie über 1 Sekunde
gemittelte Werte anzeigen. Nun müssen Sie den Sensor, der die Gewichtskraft der
Probe samt Halterung anzeigt, auf Null stellen. Danach regeln Sie den Strom wieder
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PS 12
1 Magnetismus
hoch auf 10A und messen die Kraft (samt Richtung!) auf die Probe.
• Bestimmung von χ (Graphit)
Das Probenvolumen der pyrolytischen Graphitprobe beträgt Vp = (0, 20 ± 0, 01) ml,
jenes der polykristallinen Probe von natürlichem Graphit(in der Küvette) beträgt
Vp = (0, 35 ± 0, 05) ml
Nun können Sie mit Gl. 9 χ von Graphit bestimmen.
Der Literaturwert der magnetischen Suszeptibilität von Kohlenstoff liegt zwischen
χDiamant = −2, 2 · 10−5 und χGraphit = −4, 5 · 10−4 . Je nach Grad der Verunreinigung
und unterschiedlicher Dichte weichen Messergebnisse von verschiedenen Probenmaterialien oft von den Referenzwerten ab!
Abbildung 10: Schema für die Positionierung der Proben und Sensoren. Links: Methode
von Gouy. Rechts: Methode von Faraday.
1.3.3 Suszeptibilität von Titan
• Montage der Polschuhe
Für den Wechsel der Polschuhe entfernen Sie die Probe, die Magnetfeldsonde und
das Lineal. Montieren Sie nun die flachen Polschuhe. Dazu schieben Sie die Montagestangen durch den hohlen Innenraum der Spulen und schrauben die Polschuhe an
deren Innengewinde fest. Achten Sie dabei darauf, dass die Flächen der Polschuhe
sich exakt gegenüberstehen und nicht etwa gegeneinander verschoben sind. Wieder
nur handfest anziehen, keinen Imbusschlüssel verwenden, der ist nur für „Notfälle“.
• Messaufbau
Hängen Sie die Graphitprobe aus und den Kunststoffhaken samt Titanprobe in den
Kraftsensor ein. Das sollte mindestens 30 Minuten vor der Messung geschehen, wegen
der oben beschriebenen Drifteigenschaften des Sensors.
Nun wird die zylindrische Titanprobe zwischen den Polschuhen mittig eingebracht,
sodass der untere Teil der Probe im homogenen B-Feld zwischen den Polschuhen
und andere (längere) Teil der Probe außerhalb des B-Feldes der Polschuhe hängt.
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PS 12
1 Magnetismus
Das B-Feld am äußeren Probenende ist mehr als 10 Mal kleiner als jenes zwischen
den Polschuhen, also kann es näherungsweise vernachlässigt werden. Danach bringen
Sie die B-Feld-Sonde so zwischen den Polschuhen ein, dass sie etwa auf mittlerer
Höhe neben der Titanprobe die Indukton misst (vgl. Abb. 10).
• Messung von F (B)
Aktivieren Sie in CassyLab den Kraftsensor (höchste Auflösung, über 1 Sekunde
gemittelte Werte) und den Magnetfeldsensor (± 1000 mT). Wählen Sie eine manuelle Aufnahme und in der Darstellung eine Auftragung F über B. Nun ist es wichtig, etwaigen Restmagnetismus der Polschuheisen durch Anlegen eines Gegenfeldes
(Koerzitivfeld, siehe unten) zu beseitigen. Hierzu müssen Sie -je nach Richtung- die
Anschlüsse am Netzgerät tauschen und mit dem Stromfeinregler ein kleines Gegenfeld erregen, bis der Restmagnetismus auf B = 0 ± 1mT gesunken ist. Dann muss
wieder der Kraftsensor auf Null gestellt werden.
Nun beginnt die eigentliche Messung. Regeln Sie den Strom in 1A-Schritten bis max.
10 A hoch und Messen Sie F und B mit Cassy. Da die Messwerte für die Kraft
stark schwanken werden (bei einer Auflösung von ±10µN stört jeder Luftzug, jede
kleine Erschütterung!), wiederholen Sie diesen Messvorgang mindestens 1 Mal (mit
Zwischenschritten: 0,5A; 1,5A; 2,5A;...) um mehr Messpunkte zu erhalten. Das können Sie auch in umgepolter Stromrichtung, denn die Richtung des Magnetfeldes hat
keinerlei Auswirkung auf die Richtung der Anziehungskraft auf die Probe!
• Bestimmung von χ (Titan)
Mit einem geeigneten Auswerteprogramm (z.B. QTI-Plot) kann nun der Anstieg von
F (B 2 ) bestimmt werden. Damit und mit der Querschnittsfläche, die Sie selbst aus
Messung des Duchmessers mit der Schiebelehre berechnen, kann über Gl. 11 die Suszeptibilität von Titan berechnen werden.
Der Literaturwert der magnetischen Suszeptibilität von Titan liegt bei
χT itan = 1, 8 · 10−4 . Je nach Grad der Verunreinigung und unterschiedlicher Dichte
weichen Messergebnisse von verschiedenen Probenmaterialien oft von den Referenzwerten ab!
Tipps zum Experimentieren: Die Effekte, die Sie messen, sind sehr klein. Mit den vorhandenen Geräten stoßen Sie auf die Grenzen der Messauflösung. Sie können mit Werten, die
im Bereich der Referenzgrößenordnungen liegen zufrieden sein.
Wenn die Ergebnisse jedoch um Größenordnungen von den Literaturwerten abweichen,
oder die Proben vom Elektromagneten augenscheinlich horizontal angezogen werden, dann
befindet sich oft Eisenstaub auf der Oberfläche, der vorsichtig mit einem feinen Schleifpapier und anschließend mit einem sauberen, trockenen Tuch abgerieben werden muss.
1.3.4 Experimente mit ferromagnetischen Werkstoffen
Messprinzip Hystereseschleife mit dem Transformator
Im Experiment messen Sie die Magnetisierung eines ferromagnetischen Transformator-
- 15 -
PS 12
1 Magnetismus
kerns. In der Primärspule wird das äußere Magnetfeld H(t) erzeugt, welches den Spulenkern magnetisiert. Die magnetische Flussdichte B(t) des Kerns (und das Wechselfeld der
Primärspule) induzieren in die Sekundärspule eine ihrer zeitlichen Änderung proportionale
Spannung.
Abb. 11 zeigt die verwendete Schaltung. Der Spannungsabfall UX am Vorwiderstand RV
der Primärwicklung des Transformators ist dem Magnetfeld erzeugenden Strom I und damit der magnetischen Feldstärke H(t) proportional:
H(t) =
Formelzeichen
n1
L
RV
n1
n1 UX
· I(t) =
·
L
L RV
Einheit
1
m
Ω
(12)
Bezeichnung
Windungsanzahl der Primärspule
Länge der Primärspule
Vorwiderstand der Primärspule
Abbildung 11: Messprinzip zur Aufzeichnung der Hysteresekurve
Aus der magnetischen Flussdichte B kann die Magnetisierung des Eisenkerns M direkt
ermittelt werden (2). Die Spannung US an der Sekundärspule des Transformators ist der
zeitlichen Änderung der resultierenden magnetischen Flussdichte B proportional. Es gilt:
US = n2 ·
dΦ
dB
= n2 · A ·
dt
dt
- 16 -
(13)
PS 12
1 Magnetismus
daraus folgt:
B=
Formelzeichen
Φ
US
n2
A
B
Einheit
Wb
V
1
m2
T
1
n2 · A
US dt
(14)
Bezeichnung
magnetischer Fluss
(induzierte) Spannung an der Sekundärspule
Windungsanzahl der Sekundärspule
Querschnittsfläche des Spulenkerns
Magnetische Flussdichte
Um aus dem Spannungssignal US (t) ein Uy (t) zu erhalten, welches zu B direkt proportional
ist, muss also US (t) über die Zeit t integriert werden. Diese Integration erfolgt elektrotechnisch mit einem RC-Glied (oder auch Integrierglied bzw. Tiefpass(filter)):
Uy =
1
·
R·C
US dt
(15)
daher ergibt sich B zu:
B=
R·C
· Uy
n2 · A
(16)
Die Abb. 12 zeigt die Wirkungsweise des Integriergliedes.
Durchführung des Experiments Hystereseschleife mit dem Transformator
Beachten Sie bitte vor Beginn des Experiments die folgenden Hinweise zur Bedienung der
Geräte:
• Vor dem Einschalten des des Netzgerätes (NTL Variable Transformer, 0-25V ≈)
vergewissern Sie sich, dass die Ausgangsspannung auf Null geregelt ist.
• Erst jetzt schalten Sie die Geräte ein.
• Stellen Sie den Primärstrom (Ablesen am Multimeter) über Erhöhung der Primärspannung mit dem Spannungsregler am Netzgerät ein. Geben Sie dabei acht, dass
der Primärstrom dabei folgende Maximalwerte nicht überschreitet:
TRAFO F: 0,150 A
TRAFO W: 0,350 A
• Nehmen Sie Änderungen der Einstellungen stets in kleinen Schritten vor.
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PS 12
1 Magnetismus
Abbildung 12: Wirkungsweise des Integriergliedes
• Realisieren Sie den Messaufbau laut Abb. 11. Das Integrationsglied liegt als fertige
Schaltung in einem Kunststoffkästchen vor. Die farbig unterlegten Teile in Abb. 11
wurden darin praktisch realisiert. Benutzen Sie die beschrifteten Buchsen (siehe dazu
auch Abb. 13). Die beiden Ausgänge werden mit den entsprechenden Eingängen am
Digitaloszilloskop per Koaxialkabel verbunden.
• Nehmen Sie nun erst alle Geräte in Betrieb:
Primärstrom zur Aufnahme der Hystereseschleife und Bestimmung der Sättigungsmagnetisierung bei 50Hz (1. Punkt der Aufgabenstellung):
– Trafo F: IP = 35 mA
– Trafo W: IP = 150 mA
• Optimieren Sie die Darstellung der gemessenen Spannungen am Oszilloskop zuerst
im Y/T-Modus und stellen Sie genau eine Schwingungsdauer (oder zeitlich etwas
mehr) dar und wählen Sie die größtmögliche Spannungsauflösung. Stellen Sie sicher,
dass beide Eingagssignale um das gleiche Nullpotential oszillieren. Wenn die Kurven
verrauscht sind, dann wählen Sie „Mittelwert“ im Acquire-Menü.
• Nun speichern Sie Daten auf die CF-Speicherkarte, da diese für die Berechnung der
fläche später benötigt werden.
• Wechseln Sie in den XY-Modus und betrachten Sie die Hystereseschleife. Sie können
nun die Spannungswerte der zu berechnenden Messgrößen mit dem Messraster des
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PS 12
1 Magnetismus
Abbildung 13: Realisierung der RC-Schaltung aus Abb. 11
Oszilloskops messen: Hc , Br , Hs , Bs .
Die technischen Daten des Integrationsgliedes und der beiden Transformatoren, die
Sie für die Berechnung der Größen brauchen, finden Sie in den untenstehenden Tabellen.
• Berechnung der Ummagnetisierungsenergie (freiwilige Zusatzaufgabe):
Um die, von den beiden Kurven eingeschlossene Fläche zu berechnen, müssen Sie
den gespeicherten Datensatz zuerst in ein geeignetes Auswerteprogramm (z.B. QTIPlot) importieren (achten Sie dabei auf konsistente Einstellungen bei Zahlenformat
und Spaltentrennzeichen etc.). Der Datensatz ist in YT-Modus aufgezeichnet (weil
das Oszilloskop nicht in XY-Modus speichern kann), daher müssen Sie zuerst anhand
der Zeitinformation die beiden Spannungen in eine Tabelle zusammenfügen. Dann
müssen die Spannungen in H und B umgerechnet werden bevor man die Hystereseschleife in einem Diagramm abbilden kann.
Nun muss der Datensatz weiter vorbearbeitet werden: Sie müssen jenen Teil der Daten herauschneiden, der die obere Kurve der Hystereseschleife alleine bildet und in
einem weiteren Diagramm den unteren Teil der Hystereseschleife abbilden. Sie können zum Erkennen der entsprechenden Datenreihen verschiedene Werkzeuge wie z.B.
den Datenleser verwenden.
Dann können die Teile der Kurve numerisch integriert werden (immer nur bezüglich
der H-Achse!). Achten Sie dabei darauf, dass das Integral einer Kurve, die die horizontale Achse schneidet oben und unten unterschiedliche Vorzeichen hat! Tipp: Die
Hystereseschleife sollte hinsichtlich der Fläche oberhalb und unterhalb der H-Achse
symmetrisch sein.
Eine andere Möglichkeit ist die Aufnahme der Kurve mit CassyLab, welches die
Fläche zwischen 2 beliebigen Funktionen automatisch berechnen kann.
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PS 12
1 Magnetismus
Technische Daten: Integrationsglied
Parameter
Bezeichnung
Wert, Einheit
R
Widerstand des Integriergliedes 70,7 kΩ
C
Kapazität des Integriergliedes 10,6 µF
RV
Vorwiderstand
46,4 Ω
Technische Daten: Transformatoren F und W
Parameter Transformator:
F
n1 Windungszahl Primärspule
420
L Länge Primärspule
30mm
n2 Windungszahl Sekundärspule 1680
A Querschnittsfläche des Kernes 2,52 cm2
V Volumen des Kerns
1,8·10−5 m3
W
197
20 mm
788
2,02 cm2
1,1·10−5 m3
Für den 4. Punkt der Aufgabenstellung messen Sie für eine Reihe von Einstellungen des
Primärstroms IP im Bereich zwischen 0 mA und dem oben genannten Sättigungswert die
Umkehrpunkte der Hystereseschleife +BS und +HS und tragen die Wertepaare in einem
geeigneten Auswerteprogramm (z.B. QTI-Plot) einem Diagramm ein. Legen Sie eine geeignete Regressionsfunktion oder Interpolationskurve durch den Datensatz und differenzieren
Sie dese (numerisch) um den Punkt des Maximums der Permeabilitätszahl µr (siehe Gleichung 4) zu finden. Daraus können Sie χ bestimmen.
1.4 Literaturangaben
• Demtröder; Experimentalphysik 2; Springer
• Bergmann, Schäfer; Elektromagnetismus; DeGruyter
• Wikipedia, http://de.wikipedia.org, Schlagwörter: Ferromagnetismus, Transformator
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