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Dieter Brandt Mathematik unterrichten mit TI-83 und TI-83 Plus in

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Brandt: Mathematik unterrichten mit TI-83 und TI-83 Plus in Klassenstufe 12 und 13 – Analysis
Materialien für die Graphikrechner TI-83 und TI-83 Plus
Dieter Brandt
Mathematik unterrichten
mit TI-83 und TI-83 Plus
in Klassenstufe 12 und 13
– Baden-Württemberg –
© 2001 Texas Instruments
1
2
Materialien zum neuen Lehrplan
Inhaltsverzeichnis
VORWORT ................................................................................................................................................ 3
1. DER TI-83 PLUS – ALLGEMEINES....................................................................................................... 4
2. EINE KURZE EINFÜHRUNG IN DAS ARBEITEN MIT DEM TI-83 PLUS .............................................. 5
3. FUNKTIONSUNTERSUCHUNG MIT DEM TI-83 PLUS ....................................................................... 10
4. TANGENTEN UND NORMALEN ......................................................................................................... 19
5. WEITERFÜHRUNG DER DIFFERENTIALRECHNUNG ....................................................................... 22
6. GEBROCHENRATIONALE FUNKTIONEN: POLE, ASYMPTOTEN.................................................... 26
7. EINFÜHRUNG IN DIE INTEGRALRECHNUNG ................................................................................... 27
8. ANWENDUNGEN DER INTEGRALRECHNUNG ................................................................................. 32
9. NÄHERUNGSVERFAHREN................................................................................................................. 35
10. FOLGEN ............................................................................................................................................ 40
11. EINE ABITURAUFGABE ................................................................................................................... 44
12. WAS TUN WENN ... ? ........................................................................................................................ 50
STICHWORTVERZEICHNIS.................................................................................................................... 51
Das vorliegende Werk wurde sorgfältig erarbeitet. Trotzdem übernimmt der Autor und Texas
Instruments für die Richtigkeit der Angaben, Hinweise und Ratschläge sowie für eventuelle Druckfehler keine Haftung.
Flash ist ein Warenzeichen von Texas Instruments.
Copyright © 2001 Texas Instruments Incorporated.
Alle Rechte vorbehalten.
© 2001 Texas Instruments
Brandt: Mathematik unterrichten mit TI-83 und TI-83 Plus in Klassenstufe 12 und 13 – Analysis
3
Vorwort
Die vorliegende Handreichung ist sowohl für die Lehrerfortbildung wie auch als Vorlage für den
Unterricht gedacht. Die Auswahl der Themen und Befehle entspricht der Konzeption des neuen
Lehrplans 2002 für die Neue Gymnasiale Oberstufe (Klassen 12 und 13) in Baden-Württemberg. In
anderen Bundesländern – z.B. in Sachsen – werden grafische Taschenrechner schon seit einigen Jahren auch im Abitur eingesetzt. Diese Handreichung bezieht sich teilweise auf dort gesammelte Erfahrungen. So stammt die behandelte Abituraufgabe in Kapitel 11 aus Sachsen.
Einige Hinweis zur Benutzung dieser Handreichung:
•
•
•
•
•
Für Neueinsteiger wird empfohlen, zunächst Kapitel 2 – Eine kurze Einführung in das Arbeiten
mit dem TI-83 Plus – durchzuarbeiten. Dort werden allgemeine Vorgehensweisen und Eigenschaften des Rechners vorgestellt.
Alternativ kann der an einer praxisbezogenen Einführung Interessierte auch gleich mit Kapitel 3 –
Funktionsuntersuchung mit dem TI 83 Plus – beginnen. Dort werden alle Schritte ausführlich
dargestellt, später wird für Details bei Standardaufgaben teilweise darauf verwiesen.
Kapitel 3 hat für den Unterricht grundlegende Bedeutung, weil nach dem neuen Lehrplan vor
allem Funktionsuntersuchungen mit grafischen Taschenrechnern durchgeführt werden sollen. Die
weiteren Kapitel bieten auf unterschiedlichem Niveau Möglichkeiten, den Rechner für weitere
Themen des Oberstufenunterrichts einzusetzen.
Jedes Kapitel kann weitgehend unabhängig von den anderen bearbeitet werden.
Das Vorgehen ist kleinschrittig, in der Regel wird jeder erforderliche Tastendruck nach dem
Symbol
angegeben. Die Eingaben sind mit einem Zeichensatz angegeben, der den Tasten des
Rechners entspricht. Nur Ziffern bei Zahleneingaben in Termen und Buchstaben von Variablen
sind in der Regel nicht in diesem Zeichensatz wiedergegeben. Bei der Eingabe sollte man verfolgen, was die Tastenfolgen bewirken, damit man Fehler leichter korrigieren kann.
Es wird nur ein minimaler Befehlssatz verwendet, der sich in der Unterrichtspraxis bewährt hat.
Im Vordergrund steht das Arbeiten mit Schaubildern. Berechnungen werden möglichst unmittelbar am Schaubild interaktiv durchgeführt und nur bisweilen - wenn es nicht anders möglich oder
ungünstig ist - gesondert.
Wenn der Rechner nicht so arbeitet wie gewünscht, bietet Kapitel 12 einige Hilfen für Fehlersuche oder –beseitigung. Das Stichwortverzeichnis ermöglicht das schnelle Auffinden benötigter
Vorgehensweisen.
Mit der Zeit wird man sich von der engen Führung lösen, die diese Einführung bietet. Anfangs
sollte man sich dabei auf die grafischen Möglichkeiten konzentrieren, die in Kapitel 3 zu einem
großen Teil erklärt sind. Man studiere dort genau den Umgang mit der Grafik, damit man das
Prinzip erkennt. Mit ein wenig Übung wird der Rechner dann ohne große Probleme auch ohne
Vorlage zu bedienen sein.
Diese Einführung kann nicht das Handbuch ersetzen, in dem alle Möglichkeiten des Rechners
beschrieben sind. Hier geht es eher darum, mit möglichst wenig Aufwand ein unterrichtsorientiertes Kennenlernen des Rechners zu ermöglichen.
Das Material kann auch für den TI-83 sowie teilweise für den TI-82 verwendet werden.
•
•
•
•
•
© 2001 Texas Instruments
4
Materialien zum neuen Lehrplan
1. Der TI-83 Plus – Allgemeines
Der TI-83 Plus ist ein graphisch-numerischer Taschenrechner mit einem 95x63 Pixel großen Bildschirm. Er ermöglicht u.a. die grafische Darstellung und Untersuchung von Funktionsschaubildern,
Ausgabe von Wertetabellen sowie numerische Berechnungen wie z.B. Flächeninhaltsberechnung.
Die Tasten
sind zwei- bis dreifach belegt, die Belegungen sind durch Farben gekennzeichnet. Mit der
gelben
-Taste werden die gelben Zweitbelegungen, mit der grünen ✁
-Taste die grünen
Drittbelegungen (vorwiegend Buchstaben z.B. für Variablenbezeichner) aktiviert. Außerdem gibt es
blaue Tasten: In der obersten Reihe werden damit Grafikfunktionen aufgerufen, die blauen Pfeiltasten ermöglichen im Grafikmodus die Cursorsteuerung. Die blauen Operatortasten neben dem weißen
Ziffernblock sind wie üblich gekennzeichnet. Wichtig ist noch die blaue [APPS]-Taste in der vierten
Reihe, mit der Anwendungen aufgerufen werden können. Nach dem Abschalten bleiben alle Einstellungen und Eingaben erhalten.
Der Rechner-Bildschirm kann mit Hilfe eines Overhead-Displays an die Wand projiziert werden,
wenn ein projektionsfähiger TI-83 Plus verwendet wird. Zwischen zwei Rechnern können Daten mit
Hilfe eines Verbindungskabels übertragen werden. Der Rechner kann mit einem PC verbunden werden. So können Daten übertragen werden, um z.B. Arbeitsblätter in einem beliebigen Textprogramm
zu erstellen. Die Flash-Technologie des TI-83 Plus ermöglicht es, die Rechner auf neue Versionen
des Betriebssystem aufzurüsten. Ferner können auch Flash-Applikationen wie z. B. ein Periodensystem auf die Rechner übertragen werden. (abzurufen unter www.ti.com/calc).
Mit Hilfe der [ ✂☎✄✆✄✞✝ ]-Taste können wir den Rechner umstellen auf
Ein✟ und Ausgabe in deutscher Sprache.
[ ✂☎✄✆✄✞✝ ]
anschließend die Nummer vor „Deutsch“ drücken
Wir drücken zur Demonstration:
✟
✠
und sehen (fast) alle Ausgaben in Deutsch.
Auf die gleiche Weise kann der Rechner wieder nach „Englisch“
zurückversetzt werden.
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Brandt: Mathematik unterrichten mit TI-83 und TI-83 Plus in Klassenstufe 12 und 13 – Analysis
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Wir geben in dieser Einführung alle Befehle in Englisch ein, da es dem Standard für solche Rechner
und Computeralgebrasysteme für PCs entspricht. Erfahrungsgemäß haben die Schülerinnen und
Schüler damit wenig Probleme und lernen nebenbei mathematische Begriffe auch gleich in Englisch.
2. Eine kurze Einführung in das Arbeiten mit dem TI-83 Plus
Dieses Kapitel bietet eine Übersicht über die Möglichkeiten des Rechners. Der an konkreten Anwendungen interessierte Leser kann auch mit Kapitel 3 beginnen und später Details hier nachlesen.
I. Grundprinzip des Rechners
ist das Arbeiten in mehreren Fenstern, die miteinander vernetzt sind. Die wichtigsten Fenster sind
✁
1. Das Rechenfenster, auch Home-Bildschirm genannt
Es erscheint bei Einschalten des Rechners:
Dort werden die üblichen Berechnungen vorgenommen.
Weitere grundlegende Operationen und Vorgehensweisen sind
anschließend unter III. zusammengestellt.
2. Das Zeichenfenster (auch Grafikbildschirm genannt)
Wir können damit Schaubilder ausgeben und untersuchen. Eine Übersicht über die vielfältigen grafischen Möglichkeiten des Rechners ist anschließend unter IV. zu finden. Die Handhabung wird im
Kapitel 3 (Funktionsuntersuchungen) ausführlich an einem Beispiel beschrieben.
Weitere Fenster werden zum Teil in den folgenden Abschnitten ausführlich beschrieben. Wir beschränken uns hier auf Themen, die im neuen baden-württembergischen Lehrplan für die reformierte
Oberstufe im Bereich Analysis vorkommen. Der Rechner kann dort bei vielen Themen eine wertvolle
Hilfe sein, nicht nur bei Funktionsuntersuchungen. Er ermöglicht in besonderem Maße experimentelles Untersuchen von Problemstellungen, vor allem durch die Schülerinnen und Schüler. So können
Eigenschaften vermutet und Behauptungen untermauert werden. Natürlich bleiben strenge Herleitungen und Beweise einer symbolischen Rechnung vorbehalten, die der TI 83 Plus nicht leisten kann.
II. Am Anfang einer Sitzung
Der Rechner behält nach dem Ausschalten alle Einstellungen und Eingaben bei. Anfangs ist es empfehlenswert, den Speicher zurückzusetzen, damit eine Grundeinstellung vorgenommen wird. Das ist
vor allem bei der Einführung des Rechners in einer Schulklasse zu empfehlen, damit alle Schüler gleiche Starteinstellungen haben.
✂☎✄✝✆
Wir nehmen folgendermaßen ein Reset vor:
✆
✂☎✄
Dabei wird zunächst über die Tastenkombination
(MEM)
das nebenstehende Fenster aufgerufen, das ein Auswahlmenü enthält. Durch die Eingabe von wird daraus Reset ausgewählt.
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✁
6
Materialien zum neuen Lehrplan
✂
löscht alle Variablen und Programme, setzt Systemvariable auf die
Voreinstellung (Ausgangszustand),
setzt Systemvariable auf Voreinstellungen.
Anfangs empfiehlt sich die erste Variante.
✁
Nach der Eingabe
✁
erscheint das nebenstehende Fenster. Falls wir doch kein Reset
wollen, geben wir
ein und verlassen das Fenster ohne Konsequenzen.
✂
Sonst geben wir ein:
Es erscheint der Home-Bildschirm mit nebenstehender Anzeige.
Wir können nun Eingaben vornehmen, der Rechner befindet sich
im Ausgangszustand.
III. Eingabe - Operationen im Home-Bildschirm
Es empfiehlt sich, die folgenden Eingaben mit einfachen Berechnungen wie unter IV zu testen.
✄☎
Eingabe
Systemantwort
Eingabezeile übergeben
Zeile löschen
✆
✝✞✆ ✡✟ ✠☞☛
✝ ✌ ✍✎✠☞☛
✞
✝ ✄ ✏☞✠✡✑✓✒✕✔
✖✘✗
(
)
(
)
(
)
Bemerkungen
wenn der Cursor in einer neuen Zeile
steht, löscht Clear im Hauptfenster
den ganzen Bildschirm
Clear löscht auch Zeilen in anderen
Fenstern
Zeichen unter dem Cursor Eingabe eines neuen Zeichens überlöschen
schreibt vorhandenes Zeichen
Cursor ändert die Form auf anschließend Zeichen vor dem Cursor
klein
einfügen, auch mehrere Zeichen
letztes Ergebnis einfügen
Bei Beginn einer Zeile mit +,-,*, ...
wird am Anfang automatisch das
letzte Ergebnis eingesetzt
letzte Eingabe
mehrfach betätigen, um vorherige
Eingaben anzuzeigen
Cursor in der Eingabe nach dient bei langer Ausgabe auch zum
links oder rechts bewegen
Scrollen(Hin-und Herrollen) in der
Ausgabe;
bei Eingabe über mehrere Zeilen auch
Cursor oben/unten einsetzbar
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IV. Rechnen im Home-Bildschirm
✁✂
✄✆☎
✄☎ ✆☎
☎✟✠ ✝ ✝✞✂
✡☛✂ ✟✌☞✎✍
Wir rechnen im Home-Bildschirm im wesentlichen wie gewohnt mit einem normalen Taschenrechner.
Jede Eingabe ist mit der
–Taste zu übergeben.
✂
Eingabe
2*(3.5-2.8)
3.8
2.5
3
+
12
✂
✠✂
Systemantwort
1.4
Bemerkungen
Rechenterme wie gewohnt eingeben,
Dezimalpunkt statt Komma.
3.8
Der Variablen X wird der Wert 3,8
zugewiesen. In allen Variablen A bis
Z können Werte gespeichert werden.
2.5
13.75
Terme mit Variablen werden sofort
ausgewertet.
( 12 ) 3.464
4
(sin(π/4))
bei eingebauten Funktionen setzt der
Rechner die öffnende Klammer.
Winkelmodus RADIAN bzw.
DEGREE, ggf. mit MODE-Taste
ändern
.707...
V. Alles für die Grafik : Die blauen Tasten direkt unterhalb des Displays
✑✟✌✑ ✏
✥✟ ✥
✬✟✌✬
✱
✟✱
✴
✟✴
Es folgt eine Übersicht über die Tasten für die grafischen Möglichkeiten des TI 83 Plus. Zu ihrer
Anwendung siehe Kapitel 3 „Funktionsuntersuchungen“.
Taste
✒✔✓✖✕✘✗✘✕✚✙✜✛✔✢✣✕ ✤
✒✦✕★✧✩✛✪✓✩✫✔✕ ✤
✒✣✭✔✢★✮✪✯✣✗✘✕✰✤
✒✔✲✖✗✳✛✪✲ ✤
✒✦✕✘✗★✧✩✛✣✫ ✤
Wirkung
Fenster für die Eingabe von Funktionstermen
Fenster zum Definieren von statistischen Diagrammen (z.B. Histogrammen)
Fenster zum Ändern der Einstellungen des Zeichenfensters
Fenster für Einstellungen des Tabellenfensters
Fenster zum Vergrößern/Verkleinern des Zeichenfensters
Fenster zum Ändern des Formats beim Zeichenfenster
Modus zum “Laufen” auf Funktionsschaubildern bzw. Ablesen von
Funktionswerten
Fenster zum Durchführen numerischer Berechnungen bei
Schaubildern
Zeichenfenster für die Darstellung und Untersuchung von Funktionsschaubildern
Fenster zur Ausgabe von Wertetabellen
VI. Menüs
✵✶
Menüs dienen zum Aufrufen diverser Funktionen des Rechners. Menüs bestehen in der Regel aus
• einer Kopfzeile mit Untermenüs, die mit Hilfe der Pfeiltasten
ausgewählt werden,
• einer nummerierten Liste von Befehlen, die durch Eingabe der betreffenden Nummer ausgewählt
werden.
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✂✁☎✄
Materialien zum neuen Lehrplan
Als Beispiel zur Handhabung rufen wir die Funktion
vom Hauptfenster aus auf.
Wir schalten den Rechner ein, löschen ggf. das Hauptfenster
✆
✝✟✞
und rufen das Menu mit mathematischen Funktionen auf:
✆
✠
Dann
✆ ✌ schalten wir um auf das Untermenu
Wir
daraus die Funktion
✆ wählen
✍
✡☎☛☎☞ :
✂✁☎✄ aus:
Die Funktion – mit öffnender Klammer – wird ins Hauptfenster
übertragen.
Wir
nun den Befehl:
✆ vervollständigen
✎
5✏
Manchmal passen nicht alle Befehle eines Menüs in das Auswahlfenster. Dies wird durch einen Pfeil neben der untersten Befehlsnummer
angezeigt. Sie werden erreicht durch Rollen mit den
✑✓
✒
–Tasten. Im Bild wurde so in dem ✡☎☛☎☞ – Menu der Befehl
✔✖✕✖✗ erreicht (größter gemeinsamer Teiler). Er wird mit
✆
✘
aus diesem Menu ausgewählt.
Die Syntax der Befehle ist im Handbuch in der alphabetisch georneten Funktions-und Befehlsübersicht beschrieben.
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VII. Einstellungen
Zur Einstellung des Rechners für unterschiedliche Aufgaben gibt es folgende Auswahlmenus. Die
Standardeinstellungen stehen jeweils zuerst. Innerhalb der Menus bewegen wir uns mit den
- Pfeiltasten
(Menu für Standardeinstellungen)
Zahlenformate Normal - Wissenschaftlich – Ingenieur ................
Anzahl der Fließkommastellen 0 bis 9..........................................
Winkelmodus Bogenmaß - Grad ................................................
Zeichenobjekt Funktion - Parameterdarstellung - Polarkoo - Folge
Schaubild zusammenhängend - punktiert zeichnen.....................
mehrere Schaubilder der Reihe nach - gleichzeitig zeichnen .......
Darstellung komplexer Zahlen.....................................................
Zeichenfenster ungeteilt - horizontal geteilt – Grafik/Tabelle .......
✆
✂✁✂✄✂☎
✝✟✞
( FORMAT -Menu zur Einstellung des Zeichenfensters)
Cursorkoordinaten rechtwinklig – polar ......................................
Anzeige der Cursorkoordinaten an – aus .....................................
Zeichengitter aus – an .................................................................
Achsenanzeige an – aus...............................................................
Achsenbezeichner aus – an.........................................................
Funktionstermanzeige an – aus.....................................................
✠
Weitere Einstellungsfenster wie z.B.
, wo die Grenzen des Zeichenbereichs eingestellt werden können, werden in den folgenden Kapiteln explizit beschrieben, wenn sie benötigt werden.
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Materialien zum neuen Lehrplan
3. Funktionsuntersuchung mit dem TI-83 Plus
Der TI-83 Plus bietet verschiedene Befehle und Möglichkeiten an, um Funktionsuntersuchungen mit
grafischen bzw. numerischen Mitteln durchzuführen. Symbolische Berechnungen müssen begleitend
manuell erfolgen.
Der Rechner verwendet dazu mehrere Fenster für Darstellungen und Einstellungen, zwischen denen
wir hin- und herschalten können.
Wir geben eine vollständige Funktionsuntersuchung am Beispiel der Funktion f mit
15
f ( x ) = x 4 + x 3 + 3x 2
4
Diese Funktion soll im gesamten Kapitel 3 unverändert gültig bleiben.
Zu Beginn einer Aufgabe sollte – zumindest anfangs - ein Reset durchgeführt werden (siehe Seite 4).
I. Darstellung des Schaubildes
✁
Wir rufen das Fenster zur Eingabe des Funktionsterms auf
✂
✡
✂
✄
und geben den Funktionsterm ein - zur Eingabe von x verwenden
wir die Taste
neben der grünen
–Taste:
4 15
4
3 3
2
Bei Tippfehlern bewegen wir den Cursor mit den Pfeiltasten
durch den Term und überschreiben fehlerhafte Eingaben. Mit
können wir auch die gesamte Eingabe löschen.
Wir lassen das Schaubild zeichnen:
☎ ✆
✝
✂
☎ ✆ ✂
☎
✞✠✟
☛
☞
Wir verändern das Grafikfenster mit der Taste
Wir haben verschiedene Möglichkeiten, das Grafikfenster zu vergrößern oder zu verkleinern.
Einige Beispiele :
Wir wählen einen quadratischen Bildausschnitt (gleiche Einheiten
auf beiden Achsen) mit
.
☞✘✗
☞✘✦
✌✎✍✑✏✎✒ ✓ ✔✖✕
Wir wählen die Standardeinstellung mit
✌✎✙✛✚✎✓✑✜✑✢✑✓✣✔✖✢✥✤
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Wir vergößern mit
✡
☛✌☞
✂✁✄✁✆☎✞✝✠✟
. Zunächst geben wir ein
Der Cursor blinkt in der Mitte des Grafikfensters. Wenn wir ihn
✍dort auch bei der Vergrößerung lassen wollen, geben wir nur
ein. Sonst wählen wir mit den Cursortasten den neuen
Mittelpunkt
✍
✡
✎✑✏✑✒✑✓ …
Die manuelle Einstellung des Zeichenfensters nehmen wir so vor:
✡
✔✕
✍
✍4
2✍
✕1
6
✍
3
✍
Dann zeichnen wir mit diesen Einstellungen das Schaubild neu:
✡
✖
II. Koordinaten und Funktionswerte bestimmen
Wir bestimmen Funktionswerte im Zeichenfenster:
✡
✖
Wir bewegen den Cursor mit den blauen Pfeiltasten ✎✑✏✑✒✑✓
und können so seine Koordinaten ablesen (nicht notwendig auf
dem Schaubild).
Auf
✗✙✘✆✚✄dem
✛✄✜ Schaubild fahren wir mit Hilfe der Pfeiltasten im
-Modus entlang und lesen dabei Funktionswerte ab:
✡
✢
, dann Pfeiltasten ✒✑✓ bedienen.
Die x-Werte ändern sich in einfachen Dezimalschritten, wenn wir
zuvor mit
✡
☛
✣
die Schrittweite auf 0,1 einstellen. (Ohne Abbildung)
Wir bestimmen Funktionswerte im Table-Fenster. Dazu rufen wir
das Table-Fenster auf:
✡
✗✄✦★✧✪✩✬✫
✤✥✖
(
)
Durch die Tabelle können wir uns mit Hilfe der blauen Pfeiltasten
bewegen (“rollen”).
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✂✁☎✄✝✆✟✞
Materialien zum neuen Lehrplan
✞✟✡✂☛✝☞
✠
Mit
ändern wir den Startwert auf -2 und
die Schrittweite auf 0.5:
✌
✍✏✎
✌
✑
✗
✓✒✂✔
✠✂✕
✖
2✘
0.5 ✘
Mit den blauen Pfeiltasten können wir den Cursor in dem Fenster
bewegen.
Die geänderte Tabelle erhalten wir mit
✌
✍✏✙
✑
✝✚✓✒✂✔ ✖
✕
III. Nullstellen
Wir berechnen die Nullstelle zwischen x = -2 und x = -1.
Wir rufen das Graph-Fenster auf
✌
✙
stellen die Standardeinstellungen wieder her und vergrößern das
Schaubild:
✌
✛✢✜
✛
✢
✣
✛
✢
✤ ✘
✌
✌
Wir rufen das Berechnungsfenster auf:
✌
✍✏✥
✑✧✦
✚★✔ ✖
✦
Das Fenster ermöglicht die Wahl von numerischen Berechnungen
der Nullstellen, Extrema etc.
Wir wählen
✌
✤
✑✧✩
✞✂✪✬✫★✖
Wir werden aufgefordert, eine linke Grenze (Left Bound?) für die
Nullstellenberechnung einzugeben. Das geht auf zwei Arten:
1) Wir bewegen den Cursor mit den blauen Pfeiltasten an eine
Stelle links von der zu bestimmenden Nullstelle.
2) Wir geben einen Wert ein, der kleiner ist als die zu bestimmende Nullstelle.
✌
✘
zur Übergabe des Wertes
Nun müssen wir eine rechte Grenze (Right Bound?) für die Nullstellenberechnung eingeben. Das geht entsprechend:
1) Wir bewegen den Cursor mit den blauen Pfeiltasten an eine
Stelle rechts von der zu bestimmenden Nullstelle.
2) Wir geben einen Wert ein, der größer ist als die zu bestimmende Nullstelle.
✌
✘
zur Übergabe des Wertes
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✞
Die eingegebenen Grenzen werden durch Pfeile angezeigt und wir
werden noch nach einer Schätzung für die Nullstelle gefragt
(Guess?). Wir geben diese ein wie die linke und die rechte Grenze
und drücken
zur Übergabe des Wertes
Schließlich erscheint das Ergebnis der numerischen Berechnung
und der Cursor blinkt an der Nullstelle.
✁
IV. Extremstellen
✂☎
✄
✆
✂☎
✂☎✝ ✞
✟✡✠ ☛✌☞✎✍✑✏✒☞✑✓
✔ ☛✖✕✘✗✎✙✛✚✌✕✢✜✒✕✣✓
Wir berechnen das Maximum zwischen x = -1 und x = 0. Dazu rufen wir das Graph-Fenster auf:
stellen die Standardeinstellungen wieder her und vergrößern:
Wir rufen das Berechnungsfenster auf:
Das Fenster ermöglicht die Wahl von numerischen Berechnungen
der Nullstellen, Extrema etc.
Wir wählen
Wir werden aufgefordert, eine linke Grenze (Left Bound?) für die
Extremstellenberechnung einzugeben. Das geht auf zwei Arten:
1) Wir bewegen den Cursor mit den blauen Pfeiltasten an eine
Stelle links von der zu bestimmenden Extremstelle.
2) Wir geben einen Wert ein, der kleiner ist als die zu bestimmende Extremstelle.
zur Übergabe des Wertes
✞
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Materialien zum neuen Lehrplan
Nun müssen wir eine rechte Grenze (Right Bound?) für die
Extremstellenberechnung eingeben. Das geht auf zwei Arten:
1) Wir bewegen den Cursor mit den blauen Pfeiltasten an eine
Stelle rechts von der zu bestimmenden Extremstelle.
2) Wir geben einen Wert ein, der größer ist als die zu bestimmende Extremstelle.
zur Übergabe des Wertes
✞
✞
Die eingegebenen Grenzen werden durch Pfeile angezeigt und wir
werden noch nach einer Schätzung für die Extremstelle gefragt
(Guess?). Wir geben diese ein wie die linke und die rechte Grenze
und drücken
zur Übergabe des Wertes
Schließlich erscheint das Ergebnis der numerischen Berechnung
und auch hier blinkt der Cursor im Maximum.
V. Integral- und Flächenberechnung
Wir berechnen die Fläche zwischen Schaubild und x-Achse im Bereich der negativen Nullstellen und
stellen sie grafisch dar.
✁
✂☎
✄
✆
✂☎
✂☎✝ ✞
✟✡✠ ☛✌☞✎✍✑✏✒☞✑✓
✔
Wir rufen das Graph-Fenster auf
stellen die Standardeinstellungen wieder her und vergrößern:
Wir rufen das Berechnungsfenster auf:
Das Fenster ermöglicht die Wahl von numerischen Berechnungen
der Nullstellen, Extrema etc.
Wir wählen
∫ f ( x)dx :
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Brandt: Mathematik unterrichten mit TI-83 und TI-83 Plus in Klassenstufe 12 und 13 – Analysis
Wir werden aufgefordert, eine linke Grenze (Lower Limit?) für
die Integralberechnung einzugeben. Dazu bewegen wir den Cursor mit den blauen Pfeiltasten an die linke Grenze - hier die linke
negative Nullstelle oder wir geben die linke Grenze ein und können so mit größerer Genauigkeit arbeiten.
✁
zur Übergabe des Wertes
Nun müssen wir eine rechte Grenze (Upper Limit?) für die
Integralberechnung eingeben. Das geht wie bei der Eingabe der
linken Grenze.
✁
zur Übergabe des Wertes
Das Integral wird berechnet und dargestellt. Der zu berechnende
Flächeninhalt beträgt also etwa 1,79.
Das angezeigte Resultat ✂ ✄✆☎✞✝✠✟✡☎☛☎☛☎ zeigt übrigens, dass wirklich
das Integral und nicht nur der Flächeninhalt berechnet wurde.
Zum Wiederherstellen des Schaubildes ohne Flächenmarkierung rufen wir den Befehl
dem ✏✍✕✔✖☛✗ -Menü auf:
☞✍✌✍✎✠✏✍✎✒✑✔✓
aus
✘✚✙✜✛
VI. Ableitung
Der TI-83 Plus kann zwar nicht symbolisch Ableitungen berechnen, aber numerisch. Die numerisch
bestimmten Ableitungen können wir grafisch darstellen.
Wir berechnen zunächst numerische Ableitungswerte. Dazu schalten wir in den Home-Bildschirm
und
löschen ihn:
✘✚✢✤✣
Wir wählen das MATH-Menü und daraus den Befehl für die
numerische Ableitung ✥✍✏✠✦✧✎☛★✒✩
✪✬✫
(Der Befehl ✟✡✭✞✥✍✏✠✦✧✎☛★✒✩ wird nur sichtbar, wenn wir mit den
Pfeiltasten den Cursor nach unten bewegen)
Der Befehl wird in den Home-Bildschirm übernommen.
Nun setzen wir die abzuleitende Funktion Y1 ein:
✮
✯✰✛ ✛
Hierbei wird im ✱✒✖✆✕✒✲ - Menü durch Betätigen der CursorRechts-Taste ✯ und Wahl von ✛ (:Function) das Untermenü mit
den Funktionsnamen ausgegeben, aus dem wir mit der zweiten ✛
den Funktionsbezeichner Y1 auswählen können.
✛ ✛ erzeugt werden.)
(Y1 kann nicht durch ✳
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Materialien zum neuen Lehrplan
✁ ✂
✁ ✄ ☎✝✆
Es folgen, mit Kommata abgetrennt, zwei Parameter:
1
das erste X gibt an, wonach abzuleiten ist, der zweite die Stelle,
an der abzuleiten ist. Wir wählen die Stelle –1; das Vorzeichen ist
dabei mit der Vorzeichentaste
einzugeben.
Das Ergebnis wird genähert ausgegeben, wir runden auf 1,25.
✄
✞✟✆
✠☛✡✌☞✎✍✑✏✓✒ ✔
✕✖✕✖✕
☎✝✆
Wenn wir weitere Werte berechnen wollen, holen wir mit
die letzte Eingabe in die Anzeige und bewegen den Cursor zur
Eingabe einer neuen Stelle an die entsprechende Position und
überschreiben die alte Stelle, z.B. mit
2,5
Um die Ableitungsfunktion grafisch darzustellen, stellen wir die
Standardeinstellungen wieder her und vergrößern:
✗✙✘
✗✙✚
✗✙✛ ✆
Wir rufen das Fenster zur Eingabe des Funktionsterms auf, dort
ist bisher nur Y1 eingetragen.
✜
Den Cursor bewegen wir mit den Pfeiltasten hinter das Gleichheitszeichen von Y2 und nehmen die Eingabe des Funktionsterms
für die Ableitung vor.
✤✢ ✣✌✥✧✦✩★☛✪
✮✰✯✱✢✤✣✌✥✧✦✩★☛✪
✜
Wir wählen das MATH-Menü und daraus den Befehl für die
numerische Ableitung
✫✭✬
(Der Befehl
wird nur sichtbar, wenn wir mit den
Pfeiltasten den Cursor nach unten bewegen)
Der Befehl wird nun ins -Fenster übernommen.
✲✴✳✶✵ ✵
Nun setzen wir die abzuleitende Funktion Y1 ein:
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Es folgen, mit Kommata abgetrennt, zwei Parameter:
✁
✂
✁
✂
✄
das erste X gibt an, wonach abzuleiten ist, der zweite die Stelle,
hier ebenfalls X, da Y2 eine Funktion der Stelle x ist.
Nun zeichnen wir die Schaubilder:
☎
Außerdem stellen wir die Schaubilder noch etwas besser dar.
Wir wählen zunächst einen besser geeigneten Bildausschnitt:
✆
✝
4
✝
2
1
✞
3
6
✞
✞
✞
✞
Außerdem zeichnen wir zur Unterscheidung die Ableitungsfunktion dick. Dazu rufen wir wieder das Eingabefenster auf
✟
und bewegen den Cursor links neben Y2, so dass der dort befindliche schräge Strich blinkt und betätigen einmal die
-Taste,
so dass der Strich dick blinkt (Durch mehrfaches Betätigen der
-Taste können wir noch andere Einstellungen wählen).
✞
✞
Wir zeichnen die Schaubilder nochmals.
☎
VII. Wendestellen
Da der TI-83 Plus im Berechnungsfenster keine Möglichkeit bietet, Wendestellen numerisch zu berechnen, untersuchen wir die numerisch erstellte zweite Ableitungsfunktion auf Vorzeichenwechsel.
Wir bestimmen den am weitesten links gelegenen Wendepunkt.
Dazu unterdrücken wir das Zeichnen von Y2.
✠
Wir bewegen den Cursor auf das Gleichheitszeichen hinter Y2,
geben einmal
ein und bewegen den Cursor nach rechts.
Wir sehen, dass das Gleichheitszeichen nicht mehr wie bei Y1
schwarz markiert ist; so wird Y2 nicht gezeichnet.
Wieder markieren von Y2 funktioniert genauso.
✞
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✁✄
✂
☎
✁✄
✁✄✆ ✝
18
Materialien zum neuen Lehrplan
Wieder markieren von Y2 funktioniert genauso.
Wir stellen die Standardeinstellungen wieder her und vergrößern:
✞
✞✠☛✌✟✡☞✟
✙✛✚✡✜ ✆✣✢ ✤ ✢ ✤ ✍✏✎✒✑✔✥ ✖✓ ✕✘✗
✦
Wie unter VI. beschrieben, geben wir die Ableitungsfunktion von
Y2 - also die zweite Ableitung von Y1 - im -Fenster als Y3 ein.
(Position hinter Y3 ansteuern)
(Ableitungsfunktion
auswählen)
(Parametereingabe)
Wir zeichnen das Schaubild:
✧
Wir verwenden besser den Ausschnitt wie auf der vorhergehenden Seite, den wir wieder mit
eingeben.
Zwar ist hier Y3 nicht ganz zu sehen, aber es geht uns ja nur um
Nullstellen bzw. Vorzeichenwechsel.
✩✫★ ✪ ✆ ✬✏✑✔✓✘✭
✮✝ ✮✝ ✮ ✝
✪ ✝
★
Die Nullstellen von Y3 bestimmen wir wie in III. Allerdings müssen wir dabei mit dem Cursorpfeil nach oben zunächst auf das
Schaubild der Funktion Y3 wechseln.
(
auswählen)
(wechseln auf das Schaubild von Y3)
2
1
1.5
(Grenzen/Schätzung)
Bei x = -1.553 liegt also eine Wendestelle von f, denn hier hat die
zweite Ableitung eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel.
Zum Bestimmen der Ordinate des Wendepunktes geben wir unmittelbar nach der Nullstellenberechnung ein:
-1.553
Wir lesen gerundet die Ordinate y = - 0.994 ab.
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4. Tangenten und Normalen
Gegeben ist die Funktion f (die im ganzen Kap. 4 Gültigkeit haben soll) mit
f ( x) =
12 x
x2 + 3
I. Tangente an das Schaubild zeichnen und ihre Gleichung bestimmen
Wir betrachten die Stelle x0 = 1.
✁
Wir rufen das Fenster zur Eingabe des Funktionsterms auf:
✂
und löschen zuerst alle vorherigen Einträge mit
✄ ✂
✄ ✂
Wir geben den Funktionsterm ein (Klammern im Nenner beachten):
12
3
☎
✆✞✝✟☎
✠☛✡ ☞✟✌
✍✏✎
und stellen gleiche Einheiten für die Achsen ein:
✍✏✑
Wir wählen zum Zeichnen die Standardeinstellung
Das Schaubild wird gezeichnet.
✧✩★✏✑
Wir rufen den Befehl
✒✔✓✖✕✖✗✖✘✖✕✚✙ ✛ im ✣✜ ✢✤✓✦✥ -Menü auf :
Der Rechner schaltet wieder in den Graphik Bildschirm und erwartet unsere Eingabe.
✪✫✌
Wir geben die betreffende Stelle x=1 ein:
Alternative : Wir bewegen den Cursor an den Punkt (1|1); das gelingt allerdings nur näherungsweise, da die Stelle x=1 i.a. nicht
exakt einem Pixel (Bildschirmpunkt) entspricht.
Das Schaubild der Funktion und die Tangente werden gezeichnet.
Die Gleichung der Tangente wird angegeben. Die kleinen Rundungsfehler beruhen auf der numerischen Berechnung der Ableitung.
Die Aufgabe kann auch mit dem Verfahren unter III. (Normalenbestimmung, s.u.) gelöst werden.
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20
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II. Tangente vom Punkt R(-1|0) an das Schaubild von f.
Die Tangente hat die Gleichung y = f ’(x0)(x-x0) + f(x0) , wobei x0 die – noch unbekannte - Stelle ist,
an der die Tangente das Schaubild berührt. Da der Punkt R auf der Tangente liegt, muss er die Gleichung erfüllen, d.h. es gilt
0 = f ’(x0)(-1-x0) + f(x0)
✁
Wir definieren die rechte Seite als eine Funktion Y2 und bestimmen ihre Nullstelle.
Wir rufen das Fenster zur Eingabe des Funktionsterms auf:
✂☎✏✌✑ ✄✝✒✝✆✟☞ ✞✡✠✍✌✠✝✓✔✆✟
☛ ☞ ✞✡✠ ☛✌✠ ☞ ✏ ☞ ✍✌✎ ✍
✕
✖✘✗
Den Cursor bewegen wir mit den Pfeiltasten hinter Y2 und fügen
den Funktionsterm für Y2 hinzu; dabei muss die Stelle x0 als Variable x eingegeben werden:
1
Wir blenden zunächst noch Y1 aus. Dazu bewegen wir den Cursor
auf das Gleichheitszeichen hinter Y1 und geben
ein.
Wir wählen die Standardeinstellung:
Das Schaubild von Y2 wird gezeichnet.
✙✛✚✢✜
Wir bestimmen die Nullstelle des Schaubildes von Y2:
Details zur Nullstellenbestimmung siehe Seite 11.
Wir geben passende linke und rechte Grenzen sowie eine Schätzung ein, z.B. 0 bzw. 2 bzw. 1 und erhalten als Nullstelle
x0 = 1.
✂☎✏✌✑ ✄✝✒✝✆✟☞ ✞✡✠✍✌✠✝✓✔✆✟
☛ ☞ ✞✡✠ ☛ ✠ ✏ ✍✌✎ ✍
✕
✕
Wir geben die nun bestimmte Tangentengleichung bei Y3 ein.
1
1
1
Wir blenden Y2 aus und Y1 wieder ein. Dazu bewegen wir den
Cursor auf das Gleichheitszeichen hinter Y1 und geben
ein.
Dann bewegen wir den Cursor auf das Gleichheitszeichen hinter Y2
und geben
ein.
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✁
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Das Schaubild der Funktion mit der Tangente vom Punkt R aus
wird gezeichnet.
✂☎✄ ✄✝✆ ✞
✂ ✞
Den Punkt R können wir folgendermaßen markieren:
1
Die Taste dient dabei zum Wechseln auf die Tangente.
Mit der Eingabe
1
bestimmen wir noch den Berührpunkt B(1|3).
✟✡☛✌✠ ☞✎✍✑✏✝✒ ✒✎✓ ✔ ✓ ✕
Im Home-Bildschirm können wir uns auch die Steigung der Tangente ausgeben lassen:
(umschalten auf den Home-Bildschirm)
1
Also hat die Tangente die Gleichung y = 1,5 (x-1) + 3
III. Normale an das Schaubild zeichnen
Wir betrachten die Stelle x0 = 1. Die Normale hat die Gleichung y = −
✖
geben diese Funktion im Y= - Fenster als Y2 ein.
✗
✆✜ ✔ ✘✙☛✌✢ ☞✎✕✛✍✑✣✤✍✑✏✝✒ ✏✝✒✎✒ ✓ ✒ ✔ ✜ ✕ ✓ ✕✛✚
✥✧✦
✥✧★
Wir rufen das Fenster zur Eingabe des Funktionsterms auf:
Die Funktion Y1 wurde bereits unter I. eingegeben, die anderen
Terme bei Y2 bzw. Y3 löschen wir mit
.
Wir geben bei Y2 die Normalengleichung ein.
1
1
1
1
Wir wählen die Standardeinstellung
und stellen gleiche Einheiten für die Achsen ein:
Das Schaubild von f und die Normale werden gezeichnet.
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1
(x − x0 )+ f (x0 ).Wir
f ' (x0 )
22
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5. Weiterführung der Differentialrechnung
Mit dem TI-83 Plus können wir mit Hilfe von Visualisierungen die Ableitungsregeln veranschaulichen und so zu deren Verständnis einen Beitrag liefern.
I. Visualisierung zur Kettenregel
Gegeben ist die Funktion f mit f (x ) = sin 2 x . Es soll verdeutlicht werden, wieso bei der Ableitung
der Faktor 2 auftritt. Wir zeichnen zunächst die Schaubilder der Funktion und ihrer Ableitung.
✁
✂☎✄✝✆ ✞✠✟
Dazu rufen wir das Fenster zur Eingabe des Funktionsterms auf,
löschen alte Einträge und geben den Funktionsterm ein:
✡☞☛
Wir wählen die Standardeinstellung für trigonometrische Funktionen:
Das Schaubild wird gezeichnet.
✌
✎✒✑✔✓ ✣
✕✏✖✒✗✔✘✚✙✜✛
✍✏✢✤
✥✧✦✩★ ★
✪✠✆ ✪✠✆ ✞ ✟
Wir rufen das Fenster zur Eingabe des Funktionsterms zur Eingabe
des Ableitungsterms auf; dort ist bisher nur Y1 eingetragen.
Den Cursor bewegen wir mit den Pfeiltasten hinter Y2 und rufen
im
-Menü die Funktion
auf:
Nun müssen wir die abzuleitende Funktion Y1 einsetzen:
Wir vervollständigen die Eingabe:
✫
Das Schaubild der Funktion und das ihrer Ableitung wird gezeichnet.
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✁✄✂
☎✝✆
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Wir lesen Funktionswerte der Ableitungsfunktion ab:
Danach bedienen wir die Pfeiltasten
.
Wir sehen, dass die Ableitungsfunktion die Amplitude 2 hat. Die
kleine Abweichung beruht darauf, dass die Ableitungsfunktion nur
numerisch berechnet worden ist.
✞✟ ☎ ✠
✟ ✆ ✡☞☛ ✍✌ ✠
✎✑✏ ✠ ✔✒ ✓✕✓✗✖ ✘✚✙
Wie können wir die Amplitude 2 bei der Ableitung veranschaulichen ?
Wir zeichnen zum Schaubild der Funktion f das von
g(x) = sin x hinzu; das der Ableitung von f blenden wir derweil aus.
(Ausblenden von Y2, Details siehe S.16)
Bei der Darstellung der Schaubilder wählen wir noch eine
Vergrößerung:
(
)
Wir erkennen, dass der Faktor 2 bei sin 2x gegenüber sin x eine
Stauchung in Richtung der x-Achse (Streckfaktor ½)
bewirkt. Dabei wird z.B. die Steigung im Ursprung entsprechend
vergrößert, also von 1 bei sin x auf 2 bei sin 2x.
Daher muss auch bei der Ableitung dieser Faktor 2 auftreten.
II. Visualisierung zur Produktregel
✛ ☛ ✢✜ ✡☞☛ ✌✣✠
✎✑✤
Gegeben ist die Funktion f mit f (x ) = x ⋅ sin x .
Wir rufen das Fenster zur Eingabe des Funktionsterms auf und
geben den Funktionsterms ein:
Wir wählen die Standardeinstellung für trigonometrische Funktionen:
Das Schaubild wird gezeichnet.
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✁ ✂☎✄✝✆✟✞✡✠ ✠ ☛✌☞ ☛✌☞ ✍✌✎
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✎
Wir bewegen mit den Pfeiltasten den Cursor hinter Y2 und tragen
die numerisch bestimmte Ableitungsfunktion von Y1 dort ein.
Für eine bessere Darstellung lassen wir das Schaubild von f dick
zeichnen. Dazu bewegen wir den Cursor vor Y1 und geben
ein.
✏
Das Schaubild der Funktion (dick) und das ihrer Ableitung wird
gezeichnet.
Wir setzen entsprechend der Produktregel die Ableitungsfunktion
aus den beiden Summanden
f1’(x) = sin x bzw. f 2’(x) = x cos x zusammen, die wir als
Y3 bzw. Y4 im Y= - Editor definieren.
Wir zeichnen zunächst nur die Summanden Y3 und Y1 und blenden
Y1 und Y2 aus. Dazu bewegen wir den Cursor hinter Y1 bzw. Y2
auf das Gleichheitszeichen und geben jeweils
ein.
✏
✎
Das Schaubild der beiden Summanden der Ableitungsfunktion wird
gezeichnet.
Die Ordinatenaddition der beiden Summanden ergibt das Schaubild
der Ableitungsfunktion.
✆✟
✡
✞
✠
✝
✑
✌
✒
✓
☞
✌
✍
✔
✆✟✞✡✠ ✕✝✒✌☞✓✍
✎ ✎
✏
Das weisen wir noch nach, indem wir Y5 als Y3+Y4 definieren.
Y5 lassen wir dick zeichnen. Dazu bewegen wir den Cursor vor Y5
und geben
ein. Wir blenden noch Y2 wieder ein und Y3 und
Y4 aus. Dazu bewegen wir den Cursor hinter Y2 bzw. Y3 bzw. Y4
und geben jeweils
ein.
Das Schaubild der FunktionenY1 und Y1 wird gezeichnet.
Nachdem das erste Schaubild gezeichnet wurde, arbeitet der Rechner weiter- erkennbar an dem wandernden Balken rechts oben aber offenbar wird nur das erste Schaubild nochmals dick nachgezeichnet. Die numerisch bestimmte Ableitung stimmt also im Rahmen der Zeichengenauigkeit überein mit der durch die Produktregel bestimmten Ableitungsfunktion.
III. Visualisierung zur Quotientenregel
Gegeben ist die Funktion f mit f (x ) =
sin x
, x ≠ 0.
x
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✁
✂☎✄ ✆✞✝✟✄ ✠
✠
Wir rufen das Fenster zur Eingabe des Funktionsterms auf und
geben den Funktionsterm ein:
Für eine bessere Darstellung lassen wir das Schaubild von f dick
zeichnen. Dazu bewegen wir den Cursor links neben Y1 und geben
ein.
Wir wählen die Standardeinstellung für trigonometrische Funktionen und vergößern:
✡☞☛ ✡☞✌✍✠
Das Schaubild wird gezeichnet.
Der Rechner ist allerdings nicht in der Lage, die Definitionslücke
darzustellen, darauf muss gesondert hingewiesen werden.
✎ ✏
✑✓✒ ✔✖✕✘✗ ✗ ✙✞✄ ✙✞✄ ✆
Wir tragen wieder die numerisch bestimmte Ableitungsfunktion
von Y1 als Y2 mit ein.
✚
Das Schaubild der Funktion (dick) und das ihrer Ableitung wird
gezeichnet.
✎ ✏✘✏
✛ ✟✝ ✄ ✄ ✍✜ ✦✥ ✢✣✠ ✄ ✆✞✤ ✜✍✂☎✄ ✆
✠
✠
✚
Wir bilden entsprechend der Quotientenregel die Ableitungsfunktion, die wir als Y3 im Y= - Editor definieren.
1
Wir blenden Y1 aus. Dazu bewegen wir den Cursor auf das Gleichheitszeichen hinter Y1 und geben
ein.
Das Schaubild von Y3 lassen wir dick zeichnen. Dazu bewegen wir
den Cursor links neben Y3 und geben
ein.
Die Schaubilder von Y2 und Y3 werden gezeichnet.
Nachdem das erste Schaubild gezeichnet wurde, arbeitet der Rechner weiter - erkennbar an dem wandernden Balken rechts oben aber offenbar wird nur das erste Schaubild nochmals dick nachgezeichnet. Die numerisch bestimmte Ableitung stimmt also im Rahmen der Zeichengenauigkeit überein mit der durch die Quotientenregel bestimmten Ableitungsfunktion.
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6. Gebrochenrationale Funktionen: Pole, Asymptoten
Die möglichen Polstellen können wir als Nullstellen des Nenners bestimmen. Parallel dazu berechnen
wir die Zählernullstellen. Nennernullstellen, die keine Zählernullstellen sind, liefern Polstellen. Bei
gemeinsamen Nennernullstellen und Zählernullstellen prüfen wir, ob die Funktion dort stetig erweiterbar ist oder ob es eine Polstelle ist. Hier soll nur untersucht werden, wie wir Pole und
Asymptoten darstellen können.
5x
Gegeben ist die Funktion f mit f (x ) =
.
2x − 4
I. Pol und senkrechte Asymptote
Wir betrachten die Stelle x0 = 2.
Wir rufen das Fenster zur Eingabe des Funktionsterms auf und
geben den Funktionsterms ein:
✁
5
✂
✄✆☎ 2 ✂
✝ 3✠
✞ ✟
✡☞☛
Wir wählen die Standardeinstellung:
Das Schaubild wird gezeichnet.
Der Rechner verbindet alle Zeichenpixel miteinander geradlinig,
daher wird die senkrechte Asymptote näherungsweise mitgezeichnet.
II. Waagrechte Asymptote
Wir bestimmen zunächst die Asymptoten mit Hilfe der Polynomdivision ohne Rechner. Wir erhalten
5
5
f (x ) = +
.
2 x−2
Also hat die Asymptote die Gleichung y = 2,5. Wir fügen die Asymptote ein.
Dazu rufen wir das Fenster zur Eingabe des Funktionsterms auf
und geben den Funktionsterm für Y2, also 2.5 ein:
✁ ✌
2.5
✍
Wir lassen die Schaubilder zeichnen:
Analog können schräge Asymptoten oder Näherungskurven gezeichnet werden.
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7. Einführung in die Integralrechnung
I. Flächenberechnung mit Unter- und Obersummen
Wir nähern die Fläche unter der Normalparabel an durch Rechtecke unter bzw. über der Parabel.
Wir rufen das Fenster zur Eingabe des Funktionsterms auf und
geben den Funktionsterm ein:
✁ ✂
✄✆☎
✝
Wir wählen einen passenden Ausschnitt mit Hilfe der Eingaben wie
im Bild.
✞
Das Schaubild wird gezeichnet:
✟ ✠✡✠ ☎
☎
Wir geben ein Programm ein, das Rechtecke im Bereich von a bis b
mit der Schrittweite h von unten in die gesuchte Fläche einzeichnet.
Anschließend geben wir einen Namen für das zu erstellende Programm ein, wir wählen den Namen INTA:
INTA
(grüne Buchstabentasten ohne
–Taste
drücken)
☛
☎ ✌☞ ☛ ✍✎☛ ✏✌✑✒☛ ✓✔☛
☛ ✓✔✂
✟✙
✎
✕
✌
☞
☛
✗
✗
☛
✏
✖
✚✎☛ ☞✌✂ ✗ ✛✜
✗ ✛✜
✠✡✢ ✢ ☞✌✢ ✂ ☞✌✂ ✏✌✏ ✏✌✗
✂ ✟✖
✣
✡
✠
✢
✘✘✙
✟
✖
✎
✚
✌
☞
✂
✗
✗
✂
✗
✜
✛
✠
✡
✢
✢
✌
☞
✂
✌
✏
✏
✘✙✟✖✎✚ ☞✌✂ ✣ ☛ ✗ ✗ ✂ ✣
✛ ✠✡✓✔
✢ ✢ ✂ ☞✌✂ ✏✌✏
✂☛ ✣ ✗ ☛ ✜
✟✖✤
Wir geben die Programmzeilen ein; jede Zeile mit
abschließen.
B
A
N
H ......
A
..........................................................
I
1
N
H
0
........................
H
H
0
H
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✄
✁☎ ✂
✆✞✝ ✟
✝
✟
✆✞
✆✞✝ ✟
✠
✁✄✡☞☛
28
Materialien zum neuen Lehrplan
Wir gehen nun in den Home-Bildschirm und löschen ihn:
Nun speichern wir die Parameter:
0
A
1
B
5
N
Wir zeichnen das Schaubild der Parabel:
Falls nötig löschen wir den Bildschirm und zeichnen die Parabel
neu:
(ClrDraw)
✁✄✂
✡☞☛
✟
Wir gehen zurück zum Home-Bildschirm:
und rufen unser Programm auf:
Das Programm läuft ab und zeichnet die gewünschten Rechtecke
ein.
✡☞✌✍✌✍✟
✟
✟ ✎✏✝ ✑✒✝ ✓✏✔✕✝ ✆✞✝
✁✄✙ ✖✞✌✍✌✍✗✒✁✄✖✞✌✍✗✒✝ ✘
✝ ✝ ✓
✛ ✝ ✌✍☛ ☛ ✛ ✎✏✝✛ ✝ ✚✒✝ ✑ ✓✏✓✏✘✒✆✞
✝
✁✄✂
✡☞✜ ✟
✝ ✟
Wir geben nun ein Programm ein, das den Flächeninhalt der gezeichneten Rechtecke berechnet.
Anschließend geben wir einen Namen für das zu erstellende Programm ein, wir wählen den Namen INTB:
INTB
Wir geben nebenstehende Programmzeilen ein. Jede Zeile mit
abschließen:
B
A
N
H
H
A
K
H
K
0
N 1
U
U
Wir gehen zurück zum Home-Bildschirm:
und rufen das Programm auf:
Es wird der berechnete Flächeninhalt ausgegeben, der außerdem
noch in der Variablen U gespeichert ist:
U
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Durch Eingabe größerer Werte von N lässt sich die Näherung verbessern.
Ein entsprechendes Programm INTC für die Obersumme ist nebenstehend wiedergegeben.
Sein Aufruf im Homebildschirm liefert einen etwas zu großen
Wert. Mit Hilfe von U und O erhalten wir mit wachsendem N eine
Intervallschachtelung für den gesuchten Flächeninhalt.
II. Flächen- bzw. Integralberechnung mit TI 83 Plus – Befehlen
Für die Integralberechnung hat der TI 83 Plus ein numerisches Verfahren eingebaut, das man entweder über die Grafik interaktiv oder im Homebildschirm verwenden kann. Wir verwenden es im Folgenden, um experimentell auf Zusammenhänge zwischen Differenzieren und Integrieren zu kommen.
Wir stellen das Vorgehen am Beispiel der Normalparabel vor.
Wir rufen das Fenster zur Eingabe des Funktionsterms auf und geben den Funktionsterm ein (Abbildung Seite 26):
✁
✂
✄
Wir wählen einen passenden Ausschnitt und nehmen die Eingaben
wie im Bild vor.
☎
Das Schaubild wird gezeichnet.
✆
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Materialien zum neuen Lehrplan
✁✄✂ ☎
✆ ✆
Wir bestimmen im Grafikfenster den Flächeninhalt unter dem
Schaubild für die Grenzen a = 0 und b = 1
und geben die untere Grenze 0 (Lower Limit) und obere Grenze 1
(Upper Limit) ein:
0
1
Die betreffende Fläche wird schraffiert und ihr Inhalt ausgegeben.
✁✞✝✠✟
✗✙✘ ☞✡ ☛✍✌✎☛✑✏ ✒✔✓✑✏✖✕
✚ ✛✢✜ ✚ ✜ ✜ ✣✤✆
Um die Fläche im Home-Bildschirm zu berechnen, gehen wir folgendermaßen vor. Zunächst schalten wir in den Home-Bildschirm
um und löschen ihn:
Wir rufen die Funktion
aus dem
-Menu ab:
Wir setzen die Parameter ein:
0
1
Der Flächeninhalt wird berechnet.
III. Ein experimenteller Weg zum Hauptsatz
Nun variieren wir die obere Grenze und erhalten dadurch eine Funktion der oberen Grenze, die allgemein den Flächeninhalt bei fester unterer Grenze angibt. Am einfachsten geht das im Grafikfenster.
✦✥ ✚ ✛✢✆
✗✯✘✱☞✡ ☛✍✲✰ ✌✎☛✑✚✏★✧✎✩ ✪ ✫ ✩✬✛✢✫ ✭✬✜ ✫ ✩★✚✮ ✜ ✜ ✚ ✣✤✆
✆
✳✵✴
✳✵✶
Wir rufen das Fenster zur Eingabe des Funktionsterms auf;
und geben
bei Y2 ein:
0
Y1 blenden wir aus, indem wir den Cursor mit den Pfeiltasten hinter Y1 setzen und
eingeben.
Wir wählen die Standardeinstellung:
und stellen gleiche Einheiten für die Achsen ein:
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Wir stellen fest, dass das Schaubild der Funktion Y2 sehr dem einer
ganzrationalen Funktion 3. Grades ähnelt.
Eine kurze Experimentierphase zeigt, dass die Funktion folgende
1
Gleichung hat: F (x ) = x 3
3
Auf ähnliche Weise können wir weiteres Material sammeln und den Hauptsatz der Differential- und
Integralrechnung vermuten.
Natürlich müssen wir noch darauf eingehen, dass sich auch negative Werte für den „Flächeninhalt“
ergeben und einen allgemeinen Integralbegriff einführen.
IV. Stammfunktion
Mit dem in II. erarbeiteten Verfahren können wir Stammfunktionen grafisch ermitteln. Gegeben sei
die Funktion f mit f (x ) = sin x .
Wir bestimmen eine numerisch berechnete Stammfunktion und stellen sie grafisch dar.
✁ ☎✂ ✄ ✆✞✝
✟✡✠☞☛✍✌✏✎ ✎☞✑ ✄ ✑ ✑✒✄ ✆✞✝
Dazu rufen wir das Fenster zur Eingabe des Funktionsterms auf
und geben den Funktionsterms bei Y1 ein:
Dann geben wir den Befehl für eine Stammfunktion bei Y2 ein:
0
✓✕✔
Wir wählen die Standardeinstellung für trigonometrische Funktionen:
Das Schaubild wird gezeichnet.
Wir erhalten das Schaubild der Funktion F mit der Gleichung
F (x ) = 1− cos x .
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32
Materialien zum neuen Lehrplan
8. Anwendungen der Integralrechnung
I. Flächenberechnung bei Flächen teils oberhalb,
✂✁☎✄✆✁✞✝ teils unterhalb der x-Achse.
Im Grafikbildschirm bzw. mit dem eingebauten Befehl
ermöglicht der TI 83 Plus die Berechnung von Integralen (siehe Seite 29).
Wir wenden beide Methoden bei der Berechnung der Fläche an, die von der x-Achse, den Geraden
x = -1, x = 2.3 und dem Schaubild der Funktion f mit f (x ) = x 3 − 4 x eingeschlossen wird.
Wir rufen das Fenster zur Eingabe des Funktionsterms auf und geben den Funktionsterms bei Y1 ein:
✟
✠
✟
✡
☛ 3☞ 4✡
✌
Wir wählen einen passenden Ausschnitt
✟
✍
mit Eingaben wie im Bild.
✟
✎
Das Schaubild wird gezeichnet.
Wir bestimmen im Grafikfenster das Integral für die Grenzen
a = -1 und b = 2.3 .
✟
✏✒✑
✓
(Integralberechnung aufrufen)
Wir geben die untere Grenze -1 und obere Grenze 2.3 ein:
✟
✔ 1✌
2.3 ✌
Das Integral wird visualisiert und sein Wert ausgegeben.
Das ist aber nicht der gesuchte Flächeninhalt. Daher geben wir statt
der Ausgangsfunktion die zugehörige Betragsfunktion ein.
Wir rufen das Fenster zur Eingabe des Funktionsterms auf und geben den Funktionsterms bei Y1 mit Hilfe der ✕✗✖✞✘ - Funktion ein.
Die ✕✗✖✞✘ -Funktion fügen wir aus dem Menü ✙✞✚✂✛✢✜ ✣ ✤✞✥✞✙ ein:
✟
✠ ✦★✧✪✩ ✡
☛ 3☞ 4✡
✫
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✁✄✂ ☎
✆ ✝ ✝
Damit können wir im Grafikfenster den gesuchten Flächeninhalt
bestimmen.
Wir geben die untere Grenze -1 und obere Grenze 2.3 ein:
1
2.3
Die Fläche wird schraffiert und ihr Inhalt ausgegeben.
Um die Fläche im Home-Bildschirm zu berechnen, gehen wir folgendermaßen vor.
Zunächst schalten wir in den Home-Bildschirm um und löschen ihn:
✁✟✞✡✠
☛
✌
✎
☞
✏
✍
✒
☞
✑
✓
✕
✒
✔
✖
✒
✗
✌
✘
✛
✙
✚
✜✣✢ ✜✣✤✦✥
✧ ✆ ✫ ★ ✪✬✩ ✝ ✧ ✪ ✫ ✧ ✫
Wir rufen die Funktionen
bzw.
ab und setzen die Parameter ein:
aus dem
-Menü
3 4
1
2.3
Der Flächeninhalt wird berechnet. Dafür braucht der Rechner mit
seinem numerischen Verfahren eine Weile, damit eine passable Genauigkeit erzielt wird.
II. Fläche zwischen zwei Kurven.
Wir bestimmen den Flächeninhalt zwischen den Schaubildern der Funktionen f und g mit
✭ ✧ ★ ✩ ✧ ✰✮ ✯ ✧ ✝
✆ ✧ ✮✰✯ ✧ ✝
f (x ) = x 3 − 6 x 2 + 9 x und g (x ) = −0,5 x 2 + 2 x .
Wir rufen das Y=-Fenster auf und geben die Funktionsterme ein:
3 6
9
.5
2
✱
Wir wählen einen passenden Ausschnitt
mit Eingaben wie im Bild.
✲
Das Schaubild wird gezeichnet.
Wir bestimmen zunächst die Schnittpunkte der Kurven. Den am
weitesten links gelegenen Schnittpunkt (0|0) können wir hier ablesen.
Den am weitesten rechts gelegenen berechnen wir folgendermaßen:
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✄✁ ✂✆☎✞✝✟✝
✝
✝
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Materialien zum neuen Lehrplan
Mit den
-Befehlen werden dabei die zu schneidenden Kurven
ausgewählt. Es folgt eine Schätzung (Guess) für die Schnittstelle:
3
Der betreffende Schnittpunkt wird berechnet.
Wir lesen ab: S(3,5|0,875).
✁✡✠
☛ ☞✍✌
Wir können die Schnittstelle für die weitere Berechnung abspeichern. Dazu schalten wir in den Home-Bildschirm
und speichern den berechneten X-Wert z.B. in A :
A
✑
✎ ☛ ✏✞✚ ✁✡✚✛✒✞✝✟
✕
✓
✗
✔
✞
✖
✞
✖
✞
✘
✕
✓
✗
✔
✞
✖
✞
✙
✚
✌ ✜✛✝
Die Fläche zwischen den beiden Kurven können wir nun berechnen,
indem wir das Integral über den Betrag der Differenzfunktion
Y1-Y2 bestimmen :
0
A
Der Flächeninhalt beträgt rund 4,88.
II. Volumenberechnung von Drehkörpern
Analog wie Flächen mit Hilfe von Rechtecken kann man Drehkörper durch Zylinderscheiben annähern. Aus diesem Vorgehen können wir für das Volumen eines Drehkörpers mit Randfunktion f über
dem Intervall [a;b] bekanntlich die Formel herleiten:
b
V = π ∫ f ( x ) 2 dx
a
Diese Formel können wir mit dem TI 83 Plus ohne weiteres anwenden.
Gegeben sei die Funktion f mit f (x ) = sin x , 0 ≤ x ≤ π .
Ihr Schaubild wird um die x-Achse gedreht. Das dabei entstehende Volumen soll berechnet werden.
✢
Wir löschen den Home-Bildschirm:
✡✁✡✁ ✣✗✣✗✎✑
✜✛✝ ✏✞✤ ☛ ✜✛✥ ✚ ☛ ✚ ✚
und geben die Berechnungsformel ein:
0
Das numerisch berechnete Ergebnis wird ausgegeben.
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Brandt: Mathematik unterrichten mit TI-83 und TI-83 Plus in Klassenstufe 12 und 13 – Analysis
35
9. Näherungsverfahren
I. Numerische Ableitung
Der TI 83 Plus kann keine symbolischen Berechnungen durchführen. Insbesondere kann er die Ableitung nur numerisch berechnen. Eine numerische Ableitung kann man durch Ersetzen der Ableitung
durch den Differenzenquotient erhalten. Für betragsmäßig hinreichend kleines h stellt der Ausdruck
f (x + h ) − f (x )
f s (x ) =
h
eine Näherung für die Ableitung von an der Stelle x dar.
Wir betrachten zu der Funktion f mit f (x ) = 0,1x 3 − x das Schaubild der Funktion fs mit einigen Werten von h und zum Vergleich die vom Rechner gezeichnete Kurve der Ableitungsfunktion.
✁ ☎✂ ✄ ✆
☎✂ ✄ ✆
✝☛✌☞✎✞ ✍✑✏✡✟✏ ☛✌✠✡✞ ✞ ✒✡✆ ✄
✑
✍
✡
✏
✡
✏
✌
☛
✞
✌
✓
✌
✓
✕
✔
✄
☞✎
☛☞✎
✌☞✎✍✑✏✡✍✑✏✡✏✡☛✌✏ ✞☛✌✞ ✓✌✓✌✒✡✄✔✕✄
✖✘✗
Zuerst löschen wir den Home-Bildschirm und geben dann zwei
kleine Zahlen für h in die Variablen H und K ein :
0.1
0.01
H
K
✓ ✆✠
✓ ✆✠
Wir rufen das Y=-Fenster auf und geben die Funktionsterme ein:
0.1
3
H
H
K
K
Wir wählen die Standardeinstellung:
Es entstehen zwei parabelartige Kurven, die so dicht beieinander
liegen, dass man sie kaum unterscheiden kann. Sie sind offenbar
gute Näherungen für die Ableitungsfunktion.
✝✚✙✛✙✛✙✑✜✣✢✡☞✎✍✑✏ ✏✡✤ ✞ ✤ ✞ ✓
Wir fügen nun noch die Ableitung hinzu, die der Rechner numerisch berechnet. Zuerst den Cursor nach Y4 bewegen:
✆ Wir lassen sie aber nur mit unserer Approximation für H zeichnen.
Dazu blenden wir Y1 und Y3 aus, indem wir den Cursor auf das
Gleichheitszeichen hinter Y1 bzw. Y3 bewegen und
eingeben.
✥
Wir zeichnen die Schaubilder der beiden Ableitungsfunktionen:
Wir sehen fast keinen Unterschied.
Trotz der numerischen Berechnung können wir mit Hilfe der näherungsweise bestimmten Ableitungsfunktion viele Problemstellungen
bearbeiten.
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36
Materialien zum neuen Lehrplan
II. Newtonverfahren.
Falls es keine exakten Verfahren zur Nullstellenberechnung gibt – dies haben wir bislang im Schulunterricht weitgehend vermieden, ist aber bei vielen Aufgabenstellungen der Fall – können wir trotzdem
prinzipiell beliebig gute Näherungen berechnen. Ein gut brauchbares, schnelles Verfahren stammt
von Newton. Es geht von der Idee aus, die gegebene Funktion in der Nähe der gesuchten Nullstelle
durch die Tangente an einer Stelle x0 (Startwert) nahe bei der Nullstelle linear zu approximieren.
Durch Wiederholung des Verfahrens gelangt man so zu der Iterationsvorschrift
f (xn )
xn +1 = xn −
, n = 0,1,2,...
f ' (xn )
Wir führen das Newtonverfahren am Beispiel der Funktion f mit f (x ) = x 3 + 2 x − 2 durch.
✁✂ ✄ ☎ ✂ ✆ ✝
✞✠✟
Wir rufen das Fenster zur Eingabe des Funktionsterms auf und geben den Funktionsterm ein:
3
2
2
Mit dem Schaubild verschaffen wir uns einen Überblick :
Wir wählen den Startwert x0 = 2.
✡☞☛✍✌
Wir schalten um in den Home-Bildschirm und löschen ihn :
Wir geben den Startwert ein:
2
Wir geben nun die Iterationsvorschrift ein; dabei geben wir ANS
für xn ein, denn dann setzt der Rechner die zuletzt ausgegebene
Zahl ein:
✂✆✏✎✒✣✖✑✔✡☞✓✏✓✏✗✖✕✖✘ ✡☞✝ ✗✖✘✖✙✛✚✢✜✏✎✒✑✔✓✏✓✏✣
✝
Die erste Näherung wird berechnet.
Jetzt wird es einfach, denn wir brauchen nur noch wiederholt
zu drücken, dann wird immer wieder die letzte Eingabe wiederholt.
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Brandt: Mathematik unterrichten mit TI-83 und TI-83 Plus in Klassenstufe 12 und 13 – Analysis
37
So können wir die Genauigkeit weiter erhöhen. Wir sehen, wie gut
das Newtonverfahren konvergiert. Schon nach wenigen Schritten
„steht“ das Ergebnis.
✁✄✂✆☎✝☎✝✞✠✟☛✡✠☞✠✌
Wir machen noch die Probe :
Natürlich ist das Ergebnis nur im Rahmen der Rechengenauigkeit
Null.
✡
Wir können das Verfahren leicht wiederholen, ohne die Iterationsvorschrift neu einzugeben, denn der TI 83 Plus hat einen Eingabespeicher. Wir geben dazu einen neuen Startwert ein, z.B.
1
und drücken dann so lange
✟☛✌ ✍✏✎✒✑✔✓✖✕✘✗ ✙
bis die Iterationsvorschrift wieder erscheint.
✌
Nun können wir durch wiederholtes Betätigen der
mit einer anderen Folge die Nullstelle approximieren.
–Taste
III. Numerische Integration: Keplersche Fassregel und Simpsonverfahren
Zur näherungsweisen Berechnung von Integralen ist die Rechteckmethode eher von theoretischem
Wert, für praktische Zwecke konvergiert sie zu langsam. Wesentlich schneller ohne wesentlich größeren Rechenaufwand ist ein Verfahren, das auf Kepler zurückgeht und in seiner Verallgemeinerung
auch Simpsonverfahren genannt wird. Die Keplersche Fassregel lautet:
b
∫ f (x )dx ≈
a

b−a 
a +b
f (a ) + 4 f 
 + f (b )

6 
 2 

π
Wir wenden die Formel auf das Integral ∫ sin x dx an.
0
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38
Materialien zum neuen Lehrplan
✁
✂ ✄ ☎
Wir rufen das Fenster zur Eingabe des Funktionsterms auf und geben den Funktionsterm ein:
✆✞✝✠✟
✡☞☛ ✌
✆✞✍✎✡☞☛ ✌
Wir schalten um in den Home-Bildschirm und löschen ihn:
Dann geben wir die Integrationsgrenzen a und b ein:
0
A
B
✑✏ ☛ ✒✓☛ ☎✑✔ ✕
✏✑✚✚ ✖✘
✖ ✎✗✗✎✙✓✙✓✙✓✙✓✏✑✏✑✏✛☛ ☛ ☎ ✚ ☛ ✑☎ ✔ ☎
✘
✖✘✎✗ ✙✓✙✓✏✑☛ ☎✑☎✑✌
✜✣✢✓✖✘✗✎✙✓✙✓✤✑✄ ✤✑☛ ✑✤ ☎
☛ ☎✑✌
Und schließlich die Keplerformel:
B
A
6
A
A
B
2
B
Zum Vergleich der numerisch vom TI 83 Plus berechnete Wert:
A
B
Wir sehen trotz der großen Intervalllänge eine gute Übereinstimmung.
Die Keplerregel liefert natürlich nur eine grobe Näherung, die wir folgendermaßen verbessern können. Wir unterteilen den Integrationsbereich [a;b] in n Teilintervalle und wenden auf jeden Teil die
Keplerregel an. Da wir dazu auch noch jeweils die Intervallmitten brauchen, haben wir insgesamt 2n
Teilintervalle mit den Stützstellen a=x0,x1, ..., x2n=b.
b−a
Die Breite h jedes Teilintervalls ist dann h =
. Damit ergibt sich die Simpsonregel:
2n
b
h
∫a f ( x)dx ≈ 3 [ f (x0 ) + 4 f (x1 ) + 2 f (x2 ) + 4 f (x3 ) + 2 f (x4 ) + ...+ f (x2 n )]
✥✦✗✎✗✎✌✧✙
✌
Diese Regel realisieren wir in einem kleinen Programm.
☛
Anschließend geben wir einen Namen für das zu erstellende Programm ein, wir wählen den Namen INTSIMP.
INTSIMP
(grüne Buchstabentasten ohne
–
Taste drücken)
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✂
☎
✁
✄
✄
✆✝
✌✌✎✎✏ ✍
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In den folgenden Bildern ist der Programmtext wiedergegeben.
Zur Eingabe von Y1 geben wir ein :
Variablennamen mit Hilfe der
-Taste eingeben.
Jede Programmzeile mit
abschließen.
Die Taste
wird als Rechtspfeil wiedergegeben.
Den
-Befehl folgendermaßen eingeben:
Den End-Befehl folgendermaßen eingeben:
Zum Programmaufbau :
Zuerst werden die Randwerte bei a und b in der Summationsvariablen S gespeichert. X durchläuft die Stützstellen. In der ersten
For-Schleife werden die mit Faktor 4 gewichteten Funktionswerte
der Intervallmitten aufaddiert.
In der zweiten For-Schleife werden die mit Faktor 2 gewichteten
Funktionswerte der inneren Intervallränder aufaddiert.
Zum Schluss wird S noch mit H/3 multipliziert und S als Ergebnis
ausgegeben.
Um das Programm ablaufen zu lassen, schalten wir zurück in den
Home-Bildschirm und löschen den Bildschirm:
✞✟✡✠☞☛
✑ ✒✔✓ ✕
✑✑✑ ✒✔✞✖✗☎✞✖✆ ✆ ✝ ✝
✞✑ ✖✆ ✝
✌✎✘✙✝
Nun geben wir die Parameter für das obige Beispiel ein.
0
A
B
5
N
✘
Dann rufen wir das Programm auf :
(ggf. Zahl vor INTSIMP statt
eingeben)
Wir sehen, dass schon für n = 5 eine sehr gute Näherung für den
exakten Wert 2 herauskommt.
✑ ✞✖✆ ✝ ✒✚✝
Um das Programm noch mit dem Wert n = 10 ablaufen zu lassen,
geben wir ein:
10
N
Dann drücken wir zweimal
und rufen so den Programmnamen aus dem Eingabespeicher wieder auf und dann
.
Das Ergebnis ist schon eine ausgezeichnete Näherung.
✝
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39
40
Materialien zum neuen Lehrplan
10. Folgen
I. Grafik und Wertetabellen im Sequence-Modus
Neben der üblichen grafischen Darstellung von Funktionen erlaubt der TI 83 Plus u.a. auch die Darstellung und Untersuchung von
✂✁✂Folgen.
✄
Dazu stellen wir den Modus
ein:
☎
✆✞✝✟✝✟✝✟✠✟✠✟✠✟✡
Entsprechend können wir auch einen anderen Modus einstellen
(siehe auch Seite 7).
Nun rufen wir das Fenster zur Eingabe der Funktionsterme auf:
☎
☛
Das Aussehen hat sich gegenüber dem Modus ☞✍✌✏✎✂✑ geändert, da
dort jetzt Folgen definiert werden können. Es können drei verschiedene Folgen u, v, w eingegeben werden.
Wir geben die Folge u(n) = 1/n ein :
☎
✂✁✂✄
1 ✒✔✓
(Die Taste ✓
ergibt im
-Modus n )
Wir stellen im ✕✗✖✙✘✂✚✍✛✏✕ -Fenster die Fenstergröße ein; wir rufen das
Fenster auf mit
☎
✜
und geben ✢✍✣✥✤✍✎✧✦★✢✍✣✪✩✍✫✬✦✮✭✂✣✥✤✍✎ und ✭✂✣✪✩✍✫ ein wie im Bild.
Jede Eingabe mit ✡
übergeben.
Nun erstellen wir das Schaubild:
☎
✯
Mit der Taste
☎
✰
können wir mit Hilfe der Pfeiltasten ✱✲✠
und so Punkte abfragen.
das Schaubild „abtasten“
Wir können eine
✪✷ Wertetafel ausgeben; dazu rufen wir zunächst das
✳ auf, um Anfangswert und Schrittweite auf 1 zu
Fenster ✳✵✴✪✶
setzen.
☎
☎
✸✹✜
1✡
1✡
Mit den blauen Pfeiltasten können wir den Cursor in dem Fenster
bewegen.
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Brandt: Mathematik unterrichten mit TI-83 und TI-83 Plus in Klassenstufe 12 und 13 – Analysis
✁✄✂
bewegen.
Nun geben wir die Tabelle aus mit
☎✝✆✟✞✡✠☞☛✍✌✡✎
Durch die Tabelle können wir uns mit Hilfe der Pfeiltasten bewegen.
II. Folgen im Homebildschirm
✁✄✑
✒
✁✄✓✕✔ ✖✘✗
✏
Wir können auf Folgen, die wir zuvor im –Fenster definiert haben, unmittelbar im Home-Bildschirm zugreifen:
Dort löschen wir den Bildschirm:
Nun können wir z.B. für die Ausgabe im Bild eingeben:
3
Weitere Möglichkeiten sind nebenstehend aufgeführt:
Wir können als Argument eine Liste eingeben; Mengenklammern
geben wir mit den Tasten
bzw.
ein.
Bei der letzten Variante werden als Parameter Startindex, Endindex und (optional) Schrittweite eingegeben.
✁✄✔ ✁✄✖
✙✛✚
Mit Hilfe der Pfeiltasten
können wir durch die Ergebnisliste
rollen, falls sie nicht auf den Bildschirm passt.
✏
✟
✜
✟
✢
✣
✦★✆ ✚✛✫✕✬ ✭✯✮✘✬ ✮ ✮ ✖✘✗
✁✄☛✥✤✧✩✪
Auch ohne zuvor im –Fenster eine Folge definiert zu haben,
können wir im Home-Bildschirm mit Hilfe des
-Befehls aus
dem
-Menü eine Teilfolge erzeugen :
1
5
Teilfolgen werden als Listen ausgegeben.
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41
42
Materialien zum neuen Lehrplan
III. Rekursive Folgen
Eine rekursive Folge ist definiert durch eine Vorschrift der Form un = g(un-1) , n = 2,3,4, ... mit gegebenem Startwert u1.
Ein Beispiel einer Rekursion haben wir schon im Abschnitt Näherungsverfahren mit dem Newtonverfahren behandelt. Als weiteres Beispiel betrachten wir die Rekursion mit der Funktion g(x) = cos x
mit Starwert u1 = 0,2.
Wir stellen den Modus
☎
✂✁✂✄
ein :
✆✞✝✟✝✟✝✟✠✟✠✟✠✟✡
Für die Berechnung der cos-Funktion stellen wir den Winkelmodus
Radian ein:
☎
✆☛✝✟✝✟✡
Nun rufen wir das Fenster zur Eingabe der Funktionsterme auf:
☎
☞
Wir geben die Folge u(n) = cos(u(n-1))
☎
✌✎✍✑✏✓✒✕✔
✖ 1 ✗✕✡
und den Startwert 0.2 bei ✘✚✙✜✛✣✢✚✤✥✛✧✦ ein:
☎
0.2 ✡
Wir stellen den Zeichenbereich ein:
☎
★
Dann geben wir die Werte ein wie in den beiden Bildern.
Nun erstellen wir das Schaubild
☎
✩
Wir sehen, dass die Folge sich vermutlich einem Wert nähert.
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✁
Mit
können wir mit Hilfe der Pfeiltasten
✂☎✄
die Näherung verfolgen.
Wenn man neben der Funktion g(x) die Werte u(n) auf der x-Achse
und die Werte u(n+1) auf der y-Achse aufträgt, kann man die Konvergenz mit Hilfe eines „Spinnweb“-Diagramms darstellen. Dazu
stellen wir im
-Menü
ein:
✕✗✖✘✆✞✄✚✝✠✟☛✙ ✡✌☞✎✍
Jetzt stellen wir im
✏✒✑✔✓
✏✜✛☛✢✎✣✤✝✌✏ -Fenster für ✥✤✦✒✧✤★
den Wert 1.5 ein.
✩
Nun erstellen wir das Schaubild:
Neben dem Schaubild von g(x) wird automatisch außerdem die
erste Winkelhalbierende gezeichnet, die für die Spinnweb-Kurve
erforderlich ist.
✁✪✄✚✄✚✄
Nun geben wir ein :
...
Damit entsteht das Spinnweb-Diagramm.
✍✬✫✞✦✒✑✜✭
Nachdem wir die Darstellung beendet haben, stellen wir immer
zurück auf die Standardeinstellung
✕✗✖✘✙
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43
44
Materialien zum neuen Lehrplan
11. Eine Abituraufgabe
In Sachsen sind seit dem Schuljahr 1998/99 beim Abitur grafische Taschenrechner zugelassen. Folgende Analysis-Aufgabe wurde u.a. gestellt (Bearbeitungszeit ca. 120 Minuten):
Für jedes reelle a, a > 2, ist eine Funktion f a gegeben durch
( x − 1) 2 ( x + 4)
y = f a ( x) =
( x + a)( x + 2)
( x ∈ D fa ) .
a) Ermitteln Sie für die Funktion fa den größtmöglichen Definitionsbereich.
Untersuchen Sie die Funktion fa für die Fälle a = 4 und a ≠ 4 auf Nullstellen und Polstellen.
Geben Sie diese an.
b) Zeigen Sie, dass die Funktion f4 durch die Gleichung
9
y = f 4 ( x) = x − 4 −
( x ∈ D f4 )
x+2
beschrieben werden kann.
Ermitteln Sie eine Gleichung einer Stammfunktion der Funktion f4. Bestimmen Sie eine Gleichung
derjenigen Stammfunktion F4, für die F4(-1)=9 gilt.
Der Graph der Funktion f4, die x-Achse und die Gerade mit der Gleichung x=3 begrenzen eine
Fläche vollständig. Ermitteln Sie den Inhalt dieser Fläche.
c) Ermitteln Sie die Polstellen der Funktion f3. Begründen Sie ohne Verwendung von Ableitungen,
dass die Funktion f3 im Intervall –3 < x < -2 eine lokale Maximumstelle besitzen muss.
d) Zeigen Sie, dass der Graph der Funktion y = g(x) = x – 3 Asymptote des Graphen der Funktion f3
ist. Jede Gerade der Gleichung x = u (u positiv reell) schneidet den Graphen der Funktion f3 im Punkt
Pu und den Graphen von g im Punkt Qu. Für jedes u bilden die Punkte R(0|-3), Pu und Qu ein
Dreieck.
Ermitteln Sie den Flächeninhalt dieses Dreiecks in Abhängigkeit von u.
Es existiert genau ein u, so dass der Inhalt dieses Dreiecks maximal wird. Geben Sie diesen Wert u
an.
e) Die Funktion p ist eine ganzrationale Funktion 3.Grades. Sie hat an den Stellen x1=-1, x2=0 und
x3=1 dieselben Funktionswerte wie die Funktion f3 und an der Stelle x1 den Anstieg –13.
Ermitteln Sie eine Gleichung von p.
Der Graph von p schließt im 1.Quadranten mit den Koordinatenachsen eine Fläche ein.
Ermitteln Sie den Inhalt dieser Fläche.
Zur Lösung:
Der Rechner kann Schülerinnen und Schülern vor allem dabei helfen, einen Überblick über die
Schaubilder zu gewinnen und die Ergebnisse zu bestätigen. Dadurch gewinnen sie an Sicherheit bei
der Aufgabenlösung. Außerdem übernimmt der Rechner einige Berechnungen, z.B. von Integralen.
✁
a) Wir rufen das Fenster zur Eingabe des Funktionsterms auf
☎✂ ✄ ✆ ✝ ✞ ✟ ✂☎✄
☎✂ ✂☎✄ ✠ ✝☎✟ ✂☎✄
✠ ✠ ✝☎☎✝ ✝ ✡ ☛
und geben den Funktionsterm für verschiedene Werte von a ein:
1
2
4
3
2
Hier ist z.B. a=3 gewählt worden.
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✂✁☎✄✂✆✞✝✞✟✞✆✡✠☛✟
Wir wählen die Standardeinstellung mit
☞
45
✌✎✍
und zeichnen das Schaubild:
☞
✏
Bei dem Parameter a=5 ist z.B. das Zeichenfenster zu klein, so dass
wir manuell eine neue Einstellung des Zeichenfensters vornehmen:
✒
✒
☞
✑
15 ✓✕✔✖✔✖✔
30 ✓
Wir ändern hier also nur
✗☛✘✚✙
✝
und ✛✞✘✚✙
✝
ab.
Dann zeichnen wir mit diesen Einstellungen das Schaubild neu:
☞
✏
Natürlich müssen wir die geforderten Berechnungen wie üblich vornehmen und erhalten:
Größtmöglicher Definitionsbereich: {x | x ≠ −2, x ≠ − a}.
Nullstelle für a=4: x=1 ; Polstelle für a=4: x=-2 (Lücke bei x=-4)
Nullstellen sonst: x=1 und x=-4 ; Polstellen sonst: x=-2 und x=-a
b) Der Nachweis der Behauptung für die Darstellung der Funktion f4 wird mit Polynomdivision erbracht. Die Berechnung der geforderten Stammfunktionen wird wie üblich ohne Rechner vorgenommen; es ergibt sich:
1 2
1 2
∫ f 4 (x )dx = 2 x − 4 x + 9 ln x + 2 + c; eine Stammfunktion ist z.B.: 2 x − 4 x + 9 ln x + 2 ;
1
F4 (x ) = x 2 − 4 x + 9 ln x + 2 + 4,5 .
2
Zur Bestimmung der Fläche verschaffen wir uns mit dem Rechner
einen Überblick. Dazu rufen wir das Fenster zur Eingabe des Funktionsterms auf:
☞
✜
und geben den Funktionsterm von f4 ein:
☞
✢
✣ 4 ✤ 9 ✥✧✦ ✢
✤ 2★
✓
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46
Wir wählen die Standardeinstellung mit
☞
Materialien zum neuen Lehrplan
✂✁☎✄✂✆✞✝✞✟✞✆✡✠☛✟
✌✎✍
und zeichnen das Schaubild:
☞
✏
Da f4 bei x=1 eine Nullstelle hat, geht es also um die Fläche zwischen den Geraden x=1, x=3, der xAchse und dem Schaubild von f4 .
Mit der Stammfunktion F4 ergibt sich der Flächeninhalt als A =-4 + 9 ln5 –9 ln3 = 0,5974 (gerundet).
Zur Kontrolle nehmen wir die numerische Berechnung im Grafikfenster vor (Details siehe Seite 13).
Wir rufen aus dem Grafikfenster das Berechnungsfenster auf:
☞
✑✓✒
( ✔☛✕✗✖✘✔ )
und wählen die Integraltaste:
☞
✙
Wir geben die Grenzen ein:
☞
1✚
3✚
und erhalten eine Näherung des gesuchten Flächeninhalts.
c) Wir verschaffen uns mit dem Rechner zunächst einen Überblick
über den Verlauf des Schaubildes von f3 im Bereich zwischen den
Polstellen x=-3 und x=-2, indem wir das Fenster geeignet wählen.
Zunächst erfolgt die Eingabe des Funktionsterms:
☞
✛
☞
✜✣✢
✜✣✜✣✢
✤ 1✥ ✦ 2 ✧ ✣
✜ ✢
★ 3 ✥✣✧ ✜✣✢
★ 4 ✥✣✩
★ 2 ✥✣✥ ✚
,
dann eine passende Einstellung des Zeichenfensters:
☞
✪
✫
✫
3.1 ✚
1.9 ✚✭✬
✫
100 ✚
Wir ändern hier also nur ✮☛✯✱✰
✝
,
✮☛✯
✆☛✲
und ✳✞✯✱✰
✝
ab.
Dann zeichnen wir mit diesen Einstellungen das Schaubild neu:
☞
✏
Wir erkennen eine Maximumstelle und können daraus eine Begründung entnehmen: Eine Maximalstelle liegt zwischen –3 und -2
vor, weil die Funktion in diesem Intervall stetig ist und bei Annäherung an die Polstellen die Funktionswerte gegen − ∞ streben.
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✁ ✂✄ ☎
✁✝ ✆ ✞ ✞✟✂
✝ ✞ ✞ ✠☛✡✌☞☛✍ ✠☛✡✏✎☛✑ ✒✓✡✏✎☛✑ ✒✓✡✌☞☛✍
✁✁ ✔✕✗✖✙✘
✞
47
Die Untersuchung des Grenzverhaltens erfolgt dabei wie gewohnt analytisch.
d) Dass das Schaubild der Funktion g mit g(x) = x – 3 Asymptote des Schaubildes der Funktion f3 ist,
wird wieder mit Polynomdivision gezeigt.
Das Dreieck im zweiten Teil der Aufgabe kann man per Hand skizzieren oder auch mit dem Rechner
darstellen. Dazu geben wir im -Fenster zunächst den Term von g als Y2 ein:
3
Dann stellen wir ein passendes Fenster ein:
.1
5
3
3
Wir ändern hier also nur
,
und
,
ab.
Danach zeichnen wir mit diesen Einstellungen die Schaubilder von
f3 und g und zeichnen mit Hilfe des Line-Befehls das Dreieck ein.
Anfangs- und Endpunkte der Strecken werden dabei mit dem Cursor angesteuert und mit
markiert.
u 2 + 11u
Der gesuchte Flächeninhalt beträgt A(u ) = 2
, u > 0.
u + 5u + 6
Für diese Funktion wird mit dem Rechner die Maximalstelle im
Grafikfenster bestimmt. Zunächst erfolgt die Eingabe des Funktionsterms als Y3:
✁✁ ✛✜✄✂✚✂ ✢ ✣ ✄ ✤ ✥
✛✜✄ ✢ ✣ ✄ ✣ ✤✜✞ ✞
✁ ✦✙✧
✁ ✕✗★✪✩
✁✞ ✞ ✞
11
5
6
Y1 und Y2 werden ausgeblendet, indem wir den Cursor auf das
Gleichheitszeichen hinter Y1 bzw. Y2 setzen und
eingeben.
Wir wählen die Standardeinstellung mit Zstandard:
Dann bestimmen wir die Maximalstelle (Details siehe Seite 12):
Als Grenzen bzw. Schätzung (Guess) geben wir ein:
0
6
3
Wir erhalten die nach Aufgabenstellung eindeutige Maximalstelle
u=4,46 (gerundet).
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48
Materialien zum neuen Lehrplan
e) Für die ganzrationale Funktion p dritten Grades erhalten wir mit dem Ansatz
−a +b−c+d = 6
p( x) = ax 3 + bx 2 + cx + d aus den Bedingungen
2
2
d=
p(−1) = 6, p (0) = , p (1) = 0, p' (−1) = −13
3
3
a+b+c+d =0
das nebenstehende lineare Gleichungssystem.
3a − 2b + c = −13
✁✄✂✆☎✝☎ ✞✠✟☛✡✌☞✎✍
Wir lösen das Gleichungssystem mit Hilfe von Matrizen und dem eingebauten Gauß-Algorithmus.
Dazu rufen wir das Matrix-Menü auf:
(
)
Die Pfeiltasten bewegen den Cursor auf den Menüpunkt
.
✕
✕
✏✠✑✓✒✔✡
✕
Das Matrix-Eingabefenster erscheint und wir geben Zeilen- und
Spaltenzahl der erweiterten Matrix des Gleichungssystems ein:
4
5
Nun können wir zeilenweise die gesamte Matrix eingeben.
✖ ✕
✕✕
✕
1
0
1
3
✕✕ ✕ ✖ ✕ ✕ ✕ ✗ ✕✕
✕✖ ✕ ✕ ✕ ✕ ✕ ✕ ✖ ✕
1
1
0
1
0
1
2
1
1
1
1
2
0
0
6
3
13
✁✄✘ ✙✚✙
✁✄✞✠✟☛✂✆✡✌☞✎☎✝✍ ✥✞✠✟☛✡✤✣ ✁✄✂✆✦★✧ ✕
Wir schalten zurück in den Home-Bildschirm und löschen ihn:
Nun rufen wir das Gaußverfahren mit dem Befehl
Menü
auf:
B
✛☛✛✎✜☛✢
✛☛✛✎✜☛✢
aus dem
Die Ausgabe erfolgt entsprechend dem Gaußverfahren in einer
Form, die im Englischen mir reduced row echolon form bezeichnet
wird (abgekürzt
).
Wir lassen noch die Dezimalzahlen in Brüche umformen. Dazu
rufen wir aus dem Menü
den Befehl
auf:
✬✭✦ ✕
✞✠✟☛✡✤✣
✩✠✛✎✪☛✫
8
7
1
2
Am Ergebnis lesen wir in der rechten Spalte die Lösung ab: a = − , b = , c = − , d = .
3
3
3
3
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✁ ✄✂ ✂
☎✡ 8 ✆ 3✝
1✆ 3 ✝
Es folgt die Eingabe des Funktionsterms von p als Y4:
✞ 3✟ 7✆ 3 ✝ ✠
✟ 2 ✆ 3☛
Y wird ausgeblendet, indem wir den Cursor auf das Gleichheitszeichen hinter Y setzen und ☛
eingeben.
3
3
Zur Berechnung des Flächeninhalts benötigen wir die Nullstelle
von p im ersten Quadranten. Da f3(1)=0, ist diese Nullstelle bei
x=1. Zur Kontrolle lassen wir den Rechner die Nullstelle nochmals
berechnen (Details siehe Seite 11).
Wir stellen das Schaubild von p einem geeigneten Ausschnitt dar
3
3
3
3
und geben zur Berechnung der Nullstellen ein:
☞
☎ ☛
☛✌✂✄☎ ☛
✍✏✎ ✑
0☛ 2☛ 1☛
☛
Zur Berechnung des Integrals in den Grenzen 0 und 1 geben wir
ein:
✍✏✎✓✒
0☛ 1☛
Als (gerundetes) Ergebnis erhalten wir damit 0,61.
© 2001 Texas Instruments
49
50
Materialien zum neuen Lehrplan
12. Was tun wenn ... ?
Für einige Probleme sind hier Lösungsmöglichkeiten angeboten. Im Stichwortverzeichnis findet man
Beispiele zu den verwendeten Befehlen. Siehe auch im Handbuch im Anhang B.
✁
Problem
Entfernen einer vorhandenen Eingabe
Korrektur einer Eingabe
Beseitigung
Cursor mit den Pfeiltasten an die Korrekturposition
bringen und falsche Eingabe überschreiben
Cursor mit den Pfeiltasten vor die Eingabeposition
bringen,
(
),
betreffende(s) Zeichen einfügen.
(
)
Einfügen eines oder mehrerer Zeichen
✂☎✄ ✞✆ ✝✠✟
✂☎✡ ✌☛ ☞✍✆✏✎
✑
✒
✂☎✒ ✠✓ ✝✞✎✍✔✖✕
Verlassen eines irrtümlich gewählten Menüs
Der Rechner zeichnet kein Schaubild, obwohl
ein Funktionsterm eingegeben ist.
Mit den Pfeiltasten den Cursor im Zeichenfenster
Auswahl bzw. Ausblenden einer von mehreren vor den Funktionsterm auf das Gleichheitszeichen
setzen.
eingegebenen Funktionen zum Zeichnen.
Die letzte Eingabe im Home-Bildschirm soll
nochmals erscheinen
Das letzte Ergebnis im Home-Bildschirm soll
bei einer Eingabe eingefügt werden
Folgende Anzeige erscheint:
schaltet um von Zeichnen auf Nichtzeichnen und
umgekehrt. Das Gleichheitszeichen ist dann
schwarz unterlegt bzw. nicht unterlegt.
(
)
Bei mehrmaligem Drücken erscheinen auch die vorherigen Eingaben.
An der betreffenden Stelle
(
)
In diesem Fall wurde eine falsche Eingabe vorgenommen (Syntaxfehler).
✂☎✗ ✘✙✝✠✟
✚
✛
bewirkt, dass die Eingabe ignoriert wird,
Ein Programm läuft nicht oder liefert falsche
Ergebnisse
Ein Ergebnis passt nicht auf das Display
Einstellungen sind verändert
Löschen von Variablen
Nichts geht mehr
bewirkt, dass man an der Stelle mit dem Fehler eine
Korrektur vornehmen kann.
Ähnlich reagiert der Rechner bei anderen falschen
Eingaben.
Programm editieren:
(editiert Programm 1)
Alle Eingaben genau überprüfen. Sind die Parameter im Home-Bildschirm richtig eingegeben?
Mit den Pfeiltasten
rollen
Siehe Seite 7
(
) aufrufen
Siehe Seite 5 – Reset oder Handbuch Seite B-5
✜ ✢✣✚
✂☎✦✧✛ ★✙✓✞★
© 2001 Texas Instruments
✤✥✢
Brandt: Mathematik unterrichten mit TI-83 und TI-83 Plus in Klassenstufe 12 und 13 – Analysis
51
Stichwortverzeichnis
Ableitung ...............................................................14
✂✁☎✄ ....................................................................7, 31
Allgemeines .............................................................3
ANS.................................................................35, 49
Arbeiten in mehreren Fenstern .................................4
Asymptoten ............................................................25
Ausgabe in deutscher Sprache ..................................3
Bogenmaß................................................................8
Buchstabentasten................................................3,
26
✆☎✝✟✞ ✆
.................................................................6,
11
✆✂✠✂✡☎☛✂✡ ☞
..............................................................14
Dezimalzahlen in Brüche umformen ......................47
dick zeichnen .........................................................16
Differenzenquotient................................................34
Eingabe von Funktionstermen ..............................6, 9
Eingabespeicher ...............................................36, 49
Einstellungen
.....................................................8, 41
✌☎✍ ✎✑✏ ✒
....................................................... 15, 36, 49
Extremstellen .........................................................12
Fläche zwischen zwei Kurven ................................32
Flächenberechnung ..........................................13, 31
Flash-Applikationen.................................................3
✓✕✔✑✖ ✔✕✗
...................................................................29
Folge........................................................................8
Folge, rekursiv .......................................................41
Folgen....................................................................39
✘ ✙✚✡✟✛✕✛✕✛ ✌ ✔✕✜
..........................................................38
✘ ✢✑✏ ✣✕✝✕✎
.........................................................6,
8, 42
✘✕✡ ✕✤
.....................................................................47
Funktionsuntersuchung ............................................9
Funktionsvariable einfügen ....................................14
Funktionswerte.......................................................10
Gaußverfahren
.......................................................47
✥✕✤ ✜ ..........................................................................7
geeigneter Bildausschnitt .......................................16
gleiche Einheiten .....................................................9
Gleichungssystem...................................................47
grafische
✦✚✏ ✝✑✧ ★ Möglichkeiten ...........................................6
.................................................................6, 9
Hauptsatz ...............................................................29
Integral ................................................ 13, 26, 28, 31
Intervallschachtelung .............................................28
Iterationsvorschrift .................................................35
Keplersche Fassregel ..............................................36
Kettenregel.............................................................21
Listen.....................................................................40
manuelle Einstellung..............................................10
MATH ...................................................................14
mathematische Funktionen.......................................7
Matrix....................................................................47
✣✕✝✕✎✑✏☎✩
...................................................................47
Menüs ......................................................................6
Modus ✪✕✫✕✬ ............................................................39
✁
Modus
✔✂☛ ✡☎✮☎✭✯ ✫ ............................................................42
✫
.................................................................14
Newtonverfahren....................................................35
Normale.................................................................20
Nullstellen
.............................................................11
✍☎✰☎✣
.........................................................................7
Numerische Ableitung............................................34
Numerische Integration..........................................36
Ordinate.................................................................17
Ordinatenaddition ..................................................23
Overhead-Displays ...................................................3
Pixel ........................................................................3
Polstellen ...............................................................25
PRGM....................................................................26
Produktregel...........................................................22
Programm ........................................................ 26, 37
Quotientenregel......................................................24
Reset
✡✕✡ ✓ ........................................................................4
✫ .....................................................................47
Schaubild abtasten ........................................... 10, 39
Schaubild neu zeichnen..........................................14
Schaubild zeichnen ..................................................9
Schnittpunkt ..........................................................32
✄ ✫✕✬ .......................................................................40
Simpsonregel .........................................................37
Speicher zurücksetzen ..............................................4
speichern..................................................................6
Spinnweb-Diagramm .............................................42
Stammfunktion ......................................................30
Standardeinstellung
(Grafik) ....................................9
✎✕✝✕✎✑✧✂✞ ✢✕✎
✪
..............................................................6
Steigung.................................................................20
Tabelle...................................................................10
✎✕✝✚✱✚✞☎✌
10
✎ ✂✁ ✠ ...............................................................6,
✗✂✲✕✳
✫
✕
✪
✫
.......................................................11
✎ ✔ ✥ ✔✕✗
✫
..............................................................18
Tangente................................................................18
✎✚✱✚✞ ✌ ✎
✎✑✏ ✝✂✪✆✚✌ .............................................................6, 11
...................................................................10
trigonometrische Funktionen..................................21
Unter- und Obersummen ........................................26
Variablen .................................................................6
Variablenbezeichner...........................................3,
26
✴☎✝✑✏
✪ .....................................................................14
vergrößern oder verkleinern .....................................9
Volumenberechnung ..............................................33
Wendestellen..........................................................16
Wiederherstellen
des Schaubildes...........................14
✖ ✍✕☛ ✢
✭
✭ .............................................................6, 10
Winkelmodus...........................................................8
Wurzel
.....................................................................6
✒✂✵
............................................................................9
Zahlenformate..........................................................8
Zeichenfenster......................................................4, 8
zeichnen unterdrücken ...........................................16
Zeile
✶ ✢✕✢✕✣ löschen ............................................................5
...................................................................6, 9
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Materialien zum neuen Lehrplan
Dieter Brandt
Mathematik unterrichten
mit TI-83 und TI-83 Plus
in Klassenstufe 12 und 13
– Baden-Württemberg –
Texas Instruments – E&PS Haggertystr. 1
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