close

Anmelden

Neues Passwort anfordern?

Anmeldung mit OpenID

Das Computeralgebrasystem des TI-92 Plus - eine - Fakultät 1

EinbettenHerunterladen
Alexander Lichti, André Saeckel
Das Computeralgebrasystem des TI-92 Plus eine Einführung
1.Einleitung
Computeralgebra ist der Teil der Informatik, der sich mit der Erstellung,
Analyse, Implementierung und Anwendung algebraischer Algorithmen
befaßt.
Als am Markt etabliertes, leicht zu handhabendes und weit verbreitetes
Computeralgebrasystem (CAS) bietet sich die in der TI Baureihe von Texas Instruments
implementierte Variante von „Derive“ für viele Interessentengruppen an.
Hier sind insbesondere Schüler, Studenten und Wissenschaftler gemeint, die die Vorteile
eines leistungsfähigen CAS mit der Portabilität eines normalen Taschenrechners kombiniert
sehen wollen.
Da die Bedeutung von algebraischen Berechnungen in Zukunft weiter zunehmen wird, ist es
für den Anwender wichtig zu wissen, was die einzelnen CAS zu leisten vermögen.
Als bekannteste rechnergestützte CAS sind zu nennen:
Mathematica
Maple V
Derive
Axiom
Macsyma
MuPAD
Nun verfügt nicht jeder über einen Zugang zu beispielsweise Mathematica, daher sollen im
weiteren die Fähigkeiten und Grenzen vom TI-92 aufgezeigt werden.
Merkmale:
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Batterien: 4 x AA
Speicherkapazität:
œ 256 kB RAM (gesamt)
œ 188 kB RAM (verfügbar)
œ 702 kB*** Flash-ROM (verfügbar):
Größe (H x B x T): 127 x 216 x 38 mm
Gewicht: 590 g
Laden neuer Software-Versionen und Anwendungen zur Aktualisierung möglich
Erlaubt die Verbindung mit TI-89, TI-92 Plus, Voyage™ 200, CBL II™ , CBR™ und
dem Computer
Pull-Down- Menü
Text- und Dateneditor
"Pretty Print"-Option zeigt Ein- und Ausgabe in mathematischer Schreibweise
Erweiterung für Assemblerprogrammierung
Katalog eingebauter Funktionen: Der Katalog bietet Syntax-Anzeigen für alle Befehle
und Funktionen
Split Screen Modus:
Durch die Teilung des Bildschirms können zwei Anwendungen gleichzeitig betrachtet
werden
Implementierte Programmbibliotheken bieten:
œ ComputerAlgebraSystem (CAS) Funktionen
œ Mathematische Funktionen
œ Wissenschaftliche Funktionen
œ Statistische Funktionen
œ Matrizen Funktionen
œ Programmierung
œ Viele Geometrieanwendungen optional möglich
Aufgaben von Computeralgebrasystemen
Steigende Bedeutung algebraischer Berechnungen:
1. Vorbereitung effizienter numerischer Berechnungen
2. theoretische Zwecke (Theorembeweise)
3. liefern im Gegensatz zur Numerik exakte Ergebnisse
Prinzip:
"Äquivalenzumformer"
"symbolischer Text" -----------------------------------> "äquivalenter symbolischer Text"
Beispiele:
Äquivalente Umformung von Polynomen
Implementierung\Einleitung\einleitung.sav
Ausmultiplizieren:
expand[ ( x - 1 ) ^ 10 ]
Faktorisieren:
factor[ ( 1 – 10*x + 45*x^2 – 120*x^3 + 210*x^4 – 252*x^5 + 210*x^6 – 120*x^7 +
45*x^6 – 120*x^7 + 45*x^8 – 10*x^9 + x^10 ]
Anmerkungen:
Die Beispiele der einzelnen Abschnitte wurden als Rom-Abbild abgespeichert.
Es wird in den einzelnen Abschnitten auf die jeweiligen Dateien verwiesen.
Bsp.: Implementierung\Einleitung\einleitung.sav
Laden der jeweiligen Rom-Abbilder mittels rechter Maustaste und „Load state image“.
Ein Durchblättern sämtlicher Terme mittels einer Funktion erschien den Autoren nicht geeignet, da im
Funktionsausgabebildschirm des TI-92 überlange Terme „abgeschnitten“ werden.
Die Groß – und Kleinschreibung für Funktionsbefehle ist nicht einheitlich.
Der TI-92 ist nicht case-sensitive, doch wird im folgenden auf die in der Bedienungsanleitung
verwendete Schreibweise Bezug genommen.
Wichtige Tastenkombinationen für die weitere Benutzung:
Enter Näherungsweise Berechnung eines Resultats
2nd Apps Wechsel der Ausgabebildschirme
on Abbruch einer Berechnung
Kontrast heller/dunkler
2nd Var-Link Anzeige und Verwaltung( löschen, umbenennen etc) sämtlicher belegten Variablen und
Funktionen
2. Numerik
Allgemeine Merkmale:
•
Keine Typvereinbarungen für Variable oder Funktion (integer , real, array, …)
soweit möglich, exakte Ergebnisse
Beispiele:
Implementierung\Einleitung\numeric.sav
1/3 + 2/7
3^100
330!
im Scientific-Modus dargestellt, da ganzzahlige Werte im Speicher nur mit einer Länge von
bis zu 614 Stellen gespeichert & angezeigt werden. Beliebige Genauigkeit mit dem Befehl
round(Term, Stellen) möglich
factor (70612139395722186)
•
„beliebige Genauigkeit“ erreichbar
round (Sqrt( 10 ), 10 )
MATH/Number-Menü
(Genauigkeit wird bei Gleitkomma mit max. FLOAT 12 Stellen angezeigt. Bei Überschreitung
wird auf eine max. dreistellige Exponentenschreibweise gerundet. Einzustellen unter MODE
Display Digits. Voreinstellung: FLOAT6)
NORMAL:
SCIENTIFIC:
12345.6
1.23456.E 4
kann das Ergebnis nicht durch die im Display
Digits-Modus eingestellt werden, schaltet TI-92
Automatisch von NORMAL auf SCIENTIFIC
1.23456 x 10^4
•
es existiert eine Vielzahl numerischer Funktionen
Beispiele:
™ [A [ hier ist eine Berechenung mit einer Grenze über 10^3 nicht empfehlenswert.
Bei einer Berechnung mit 10^6 eine Wartezeit von mehr als 10 Minuten.
cSolve(x^5+x+1=0,x)
Beim Versuch, die Aufgabe nur mit solve zu lösen, würde der TI 92 plus die komplexen
Ergebnisse nicht mitberechnen.
Direkte Zuweisung der Intervallgrenzen für die nachfolgende Graphik:
-5
5
xmin
xmax
Auch möglich unter Window die Intervallgrenzen für x einzugeben.
Voreinstellungen bei (x,y-min,max,-10,10).
DrawFunc ( x^3 – 2*x^2 + 2 )
Mit der Tastenfolge 2nd, APPS ist es nun möglich, zwischen dem Home- &
Graphenbildschirm hin & her zu switchen. Desweiteren kann man unter
Mode/Splitscreen/Left-Right einen geteilten Bildschirm einstellen. Der dicke Rahmen zeigt
an, in welchen Bildschirm man sich befindet.
fMin(x^3-2*x^2+2,x) | x>1
Bei TI92 wird an der Stelle des Minimums der Funktion nur der x-Wert ausgegeben.
•
weitere Beispiele
2.4^45
( 24 * 10 ^-1 )^45
round(ans(1),10)
Für numerische Darstellung von Brüchen kann die Funktion approx() oder die
Tastenkombination Enter benutzt werden. Die Anzeige des Ergebnisses wird in diesem
Fallbeispiel von der Einstellung im Display Digits (Anzeigestellen) beeinflusst.
3. Computeralgebra
Einige Beispiele:
Implementierung/Computeralgebra/Computeralgebra.sav
•
Summen und Grenzwerte
™QA Q ’
limit( sin( x )/ x , x , 0 )
•
Lösen von Gleichungen und Gleichungssystemen sowie Ungleichungen
solve( x^2+2x-7=0,x )
solve( a*x + y = 0 and 2x +(1-a)*y =1, { x, y })
solve( x^2 – 2 = 0,x) | x> 0
•
Listen
[1, 2, 3, 4 ,5 ]!
->Fakultät wird auf alle Listenelemente angewandt
ln(ans(1))
->Logarithmus wird auf alle Listenelemente angewandt
ans(i) liefert das Ergebniss einer vorheringen Operationn aus dem Speicher an der Stelle i.
Bei der Anzeige der Ergebnisse in numerischer Darstellung muss die Tastenkombination
Enter benutzt werden.
•
Transformationsregeln
Define f(x)=x^2
f(3)+f(a+b)
Globale Wertzuweisung auch für Variablen mittels define
Define a=3
a^3
Lokale Wertzuweisung für Variablen und Funktionen innerhalb von Programmen
mittels local möglich
•
Integration
œ x^n, x )
œ ORJ [ A [A [ [ d((ans(1)),x)
œ sin( sin( x ) ), x , 0 , 1 )
4. Graphik
2D-Graphik
•
Polynome
Implementierung/Graphik/Polynom.sav
Define f(x)=a*x^3 + 3x^2 -2
Define d1f= d (f(x),x)
Define d2f= d (d1f,x)
d1f
d2f
1 D
DrawFunc f(x)
DrawFunc d1f
DrawFunc d2f
CyclePic “pol”,21,.5,1,1
Animation liegt schon fertig berechnet vor.
RclPic polges
•
Logarithmusfunktionen
Implementierung/Graphik/Ln-Funktion.sav
Define h(x)= ln(a*x+b)^2*sin(x)
Define d1f= d (h(x),x)
Define d2f= d (d1f,x)
d1f
d2f
1 D
2 E
DrawFunc h(x)
DrawFunc d1h
DrawFunc d2h
•
3D-Graphik
Implementierung/Graphik/graph3d.sav
Implementierung/Graphik/graph3d_seite.sav
Implementierung/Graphik/graph3d_contour.sav
Implementierung/Graphik/graph3d+contour.sav
Erstellung einer 3D Graphik anhand eines Beispiels:
o Mode / Graph / 3d
o Eingabe der Funktion im Menü Y( : o Sin(x y)
o ) Coordinate=Rect, Axes=Box, Labels=On, Style=Hidden Surface
o ( H\H ƒ H\H ƒ H\H ƒ [PLQ [PD[ \PLQ \PD[ ]PLQ 1, zmax=+1, xgrid=20, ygrid=20, ncontour=5
o 5
o Drehen der Graphik durch Cursortasten oder durch genaue Eingabe der
Winkelansicht, hier:
o ( eye °=-96, eye °=90, eye °=2
o 5
o Ausgabe der Contour der Graphik unter
o ) Style=Contour Levels
o
o
o
o
o
MODE / Splitscreen = LEFT-RIGHT
Split 1 App = Graph
Split 2 App = Graph
Number of Graphs = 2
Graph 2 = 3D
Oder mittels setMode Funktion im Vorfeld:
o setMode ({„split screen“ , „Left-Right“ , „Split 1 App“ , „Graph“ , “Split 2 App”,
“Graph”, “Number of Graphs” , “2” , “Graph2” , “3d”
Mit 2nd Apps ist es nun möglich, zwischen den beiden Bildschirmen zu switchen und
jeden getrennt voneinander, wie man es im Vollmodus gewöhnt ist,- zu bearbeiten.
•
Animationsgraphik
Implementierung/Graphik/animation.sav
Zu animierende Funktion:
a*sin(x*y)
Programm erzeugt alle zur Animation nötige Bilder und speichert diese ab. Danach werden
die Bilder für die Animation nacheinander abgespielt. In diesem Beispiel muss die Funktion
immer wieder neu berechnet werden, daher längere Berechnungsphase.
:Schl()
:Prgm
:Local i,d
:setMode(„Graph“,“3D“)
:setGraph(„axes“,“axes“)
:-60 H\H
:-43 H\H
:2 H\H
:0 [PLQ
:3 [PD[
:0 \PLQ
:3 \PD[
:-2 ]PLQ
:2 ]PD[
:a*sin(x*y) ]x,y)
:for i,1,10,1
:i/10 D
:StoPic #(„pics“&string(i))
:Endfor
:CyclePic “pics”,10,.2,25,-1
:EndPrgm
5. Spezielle Anwendungen
5.1 Lineare Gleichungssysteme
Implementierung/Spezielle Anwendungen/LGS.sav
•
eine Lösung
solve ( x + 3y – z = 4 and -2x + y + 3z = 9 and 4x + 2y + z = 11 , { x, y, z } )
•
unendlich viele Lösungen
solve ( x + 2y – z = 4 and 2x + 5y + 2z = 9 and x + 4y + 7z = 6 , { x, y, z } )
Der TI92 plus gibt hier für eine Variable einen symbolischen Wert @ aus.
Bei älterer ROM-Version kann er aber auch eine Null für die erste Variable ausgeben.
•
Keine Lösung
solve ( -2y + z = -4 and 2x + y – z = -2 and 4x – z = -4 , {x, y, z } )
Gibt symbolischen Wert „false“ zurück.
„true“ wird zurückgegeben, wenn jeder reelle Wert die Gleichung/Ungleichung erfüllt.
Bsp: x=x
5.2 Kurvendiskussion von Funktionenscharen (Polynom 2. Grades)
•
Definition
Define f(x)=ax^2 + bx + c
Globale Zuweisung von a, b, c
.3
D
.5
E
1 F
lokale Zuweisung von Parametern innerhalb von Funktionen und Programmen
mittels local möglich
f(x)
f(3)
Löschen der Zuweisung für a, b, c
DelVar a, b, c
•
Ableitung
Define d1f=d(f(x),x)
d1f
Define d2f=d(d1f,x)
d2f
Ableitung mittels konkreter Zuweisung
.3
D
.5
E
1 F
d1f
•
Graphische Darstellung
DrawFunc f(x)
DrawFunc d1f
DrawFunc d2f
5.3 Funktionenscharen bei Parameteränderung
Implementierung/spezielle Anwendungen/Polynom.sav
•
Ein Polynom 2. Grades
Define f(x)=a*x^2+b*x+c
0.5 E
1 F
f(x)
Für f(x) soll eine Animation erstellt werden.
Hierfür soll der Parameter a von 0 bis 2 im Abstand 0.1 laufen.
In der Funktion schleife() wird für das Polynom f(x) für jeden Wert von a ein Bild erzeugt und
abgespeichert. Das dauert recht lange, da das Polynom jedes Mal komplett neu berechnet und
dargestellt werden muss.
Anschließend werden alle erstellten Bilder für die Animation verwandt.
:schleife()
:Prgm
:Local i,d
:setMode(„Graph“,“function“)
:-3 [PLQ
:3 [PD[
:-1.5 \PLQ
:!0 \PD[
:a*x^2+b*x+c \[
:for i,1,20,1
:i/10 D
:StoPic #(„pics“&string(i))
:Endfor
:CyclePic “pics”,10,.5,5,1
:EndPrgm
Document
Kategorie
Internet
Seitenansichten
3
Dateigröße
73 KB
Tags
1/--Seiten
melden