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Hubert Langlotz und Wilfried Zappe
Schülermaterial zum Einsatz des TI-89 in
der Klasse 10 an Thüringer Gymnasien
Schülermaterial zum Einsatz des TI-89 in der Klasse 10 an Thüringer Gymnasien Seite 1
INHALTSVERZEICHNIS
VORBEMERKUNGEN......................................................................................... 2
DIE ERSTEN STUNDEN MIT DEM TASCHENCOMPUTER (TC) IN KLASSE 10 ............ 4
1
PARABELN - QUADRATISCHE FUNKTIONEN ....................................................... 4
2
VERSCHIEBEN, STRECKEN UND SPIEGELN VON PARABELN ................................ 6
3
SCHAREN VON PARABELN ............................................................................... 8
4
BESTIMMUNG VON PARABELN, LÖSEN VON GLEICHUNGSSYSTEMEN ................... 9
TI-89-EINFÜHRUNGSLEHRGANG ..................................................................... 11
1
SORGE FÜR EINEN „SAUBEREN“ RECHNER! .................................................... 11
2
EINGEBEN VON ZAHLEN UND TERMEN ............................................................. 12
3
UMFORMEN VON TERMEN .............................................................................. 14
4
MIT VARIABLEN ARBEITEN ............................................................................. 16
5
GLEICHUNGEN UND UNGLEICHUNGEN LÖSEN, UMSTELLEN VON FORMELN......... 20
6
LÖSEN VON GLEICHUNGSSYSTEMEN ............................................................... 23
7
ARBEITEN MIT FUNKTIONEN ........................................................................... 24
8
AUSWERTUNG VON MESSWERTEN MIT DEM DATA-MATRIX-EDITOR DES TI-89 ... 27
BEISPIELE FÜR AUFGABEN, DIE OHNE HILFSMITTEL ZU LÖSEN SIND .................. 35
 2003 TEXAS INSTRUMENTS
Hubert Langlotz, Wilfried Zappe
Schülermaterial für den Einsatz des TI-89 in
der Klasse 10 an Thüringer Gymnasien
Thüringer Institut für Lehrerfortbildung
Lehrplanentwicklung und Medien, (ThILLM)
Heinrich-Heine-Allee 2-4
99438 Bad Berka
(036458) 56-0
www.thillm.th.schule.de
Texas Instruments –E&PSHaggertystr. 1
D-85350 Freising
Customer Support Center
06196 – 975015
Texas Instruments GmbH
Laxenburgerstr. 52
A-1100 Wien
Customer Support Center
01 – 502910007
Texas Instruments ITC
Leutschenbachstr. 95
CH-8050 Zürich
Customer Support
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Zürich: 01 – 2730688
Geneve: 022 – 7100010
ti-cares@ti.com
ti-cares@ti.com
ti-cares@ti.com
www.ti.com/calc/deutschland www.ti.com/calc/oesterreich www.ti.com/calc/schweiz
Umweltfreundlich gedruckt auf chlorfrei gebleichtem Papier
Schülermaterial zum Einsatz des TI-89 in der Klasse 10 an Thüringer Gymnasien Seite 2
VORBEMERKUNGEN
Liebe Schülerinnen und Schüler,
dieses Heft soll Euch helfen, schnell den Zugang zu Eurem neuen Taschencomputer (TC)
TI-89(bzw. Voyage 200) zu finden. Es untergliedert sich in zwei Teile, wobei der erste Teil
(Die ersten Stunden …) anhand eines Euch bekannten Themengebietes eine knappe Einführung in ganz wesentliche Anwendungen gibt. Der zweite Teil (TI-Einführungslehrgang) bietet
eine etwas systematischere und ausführlichere Einführung in Bedienungselemente, die für
den Unterricht in Klasse 10 besonders wichtig sind.
Wir wollen hiermit nicht das Mathematik- oder das Handbuch ersetzen, sondern Euch besonders für den ersten Einsatz des TC eine Orientierung und Hilfe in die Hand geben.
Neben sehr ausführlichen Hinweisen haben wir zu jedem Abschnitt auch einige Übungsaufgaben bereitgestellt. Der Mathematikunterricht wird nach einer Einführungsphase, in welcher
der TC mehr im Vordergrund stehen muss, so gestaltet, dass nicht „Mathematik für den TI89“ betrieben, sondern „Mathematikunterricht mit dem TI-89“ praktiziert wird.
Der TC ist ein wertvolles Hilfsmittel, um Routineaufgaben, komplexere Rechnungen oder
grafische Darstellungen auf einfache Art sicher und schnell durchzuführen.
Die hierbei gewonnene Zeit sollte genutzt werden, um ein besseres Grundverständnis mathematischer Inhalte und Verfahren zu erreichen (Definieren, Beweisen, Finden von Lösungsansätzen, Aufstellen von Strategien u.a.m.).
Der TC bietet vielfältige neue Möglichkeiten zum mathematischen Experimentieren, eröffnet
Möglichkeiten zur Gruppenarbeit und kann selbstverständlich auch in allen anderen naturwissenschaftlichen Fächern bis zum Abitur eingesetzt werden.
Einfache Rechnungen und Herleitungen müsst Ihr natürlich auch weiterhin ohne den TC beherrschen. Das ist wichtig, um nicht vom Rechner abhängig zu werden und um stets den
Überblick über das mathematisch Wesentliche zu behalten. Deshalb wird es im Unterricht
immer Phasen geben, in denen der Rechner zur Seite gelegt wird. Am Ende dieses Heftes
sind einige Beispiele für Aufgaben aufgeführt, die man u. E. ohne jedes Hilfsmittel (außer mit
„Bleistift und Papier“) lösen können sollte. Solche Aufgaben können auch Bestandteil von
Leistungsüberprüfungen werden.
Wir haben uns in dieser Darstellung für die englische Sprachversion entschieden. Es gibt für
den TC aber auch eine deutsche Sprachversion, die leicht installiert werden kann und in vielen Fällen die Arbeit mit dem TC noch einfacher macht.
Sehr viele Hinweise haben wir von den Mitgliedern des Arbeitskreises „Computeralgebrasysteme“ beim Thüringer Institut für Lehrerfortbildung, Lernplanentwicklung und Medien
(ThILLM) erhalten. Dafür bedanken wir uns.
 2003 TEXAS INSTRUMENTS
Schülermaterial zum Einsatz des TI-89 in der Klasse 10 an Thüringer Gymnasien Seite 3
Anregungen zu den Übungsaufgaben stammen zum Teil aus dem Lehrbuchwerk „MatheNetz“ beim Westermann-Schulbuchverlag. Einige Tipps haben wir dem Buch „Mathematikrezepte für den TI-89 und den TI-92 Plus“ von Beat Eicke entnommen.
Wenn Ihr Fehler in diesem Heft entdeckt oder Anregungen für eine bessere Darstellung habt,
dann lasst es uns wissen.
In mehrjähriger eigener Unterrichtserfahrung haben wir erlebt, dass Mathematikunterricht mit
Taschencomputern für alle Beteiligten interessant und erfolgreich sein kann.
Auch Euch wünschen wir viel Freude und Erfolg bei der Arbeit mit dem TC!
Hubert Langlotz und Wilfried Zappe
 2003 TEXAS INSTRUMENTS
Schülermaterial zum Einsatz des TI-89 in der Klasse 10 an Thüringer Gymnasien Seite 4
DIE ERSTEN STUNDEN MIT DEM TASCHENCOMPUTER (TC) IN KLASSE 10
1
PARABELN - QUADRATISCHE FUNKTIONEN
Gegeben ist die Funktion f durch y = f(x) =
x2 x
− − 1 mit x ∈ ℜ .
2 2
Erläutere, wie graphische Darstellung, Scheitelpunkt und Nullstellen von f ohne TC ermittelt
werden.
Wir wollen nun erste Erfahrungen sammeln, wie man diese Aufgabe mit dem TC lösen kann.
Eingeben der Funktionsgleichung in den # Editor aus dem
Home – Bildschirm:
Taste "
Tasten ¥ƒ
Eingabe falls notwendig mit 0 korrigieren und mit ¸
abschließen.
Wertetabelle anschauen mit ':
Taste "
Tasten ¥‡
Mit den Tasten CD kann man in der Tabelle „scrollen“.
Der Anfang und die Schrittweite für die Tabelle können unter
& mit ¥† eingestellt werden.
Graphische Darstellung erzeugen mit %:
Taste "
Tasten ¥…
Darstellungsfenster verändern mit $:
Taste "
Tasten ¥„ und neue Darstellung mit ¥…
 2003 TEXAS INSTRUMENTS
Schülermaterial zum Einsatz des TI-89 in der Klasse 10 an Thüringer Gymnasien Seite 5
In der graphischen Darstellung kann man nun mit der Taste
„… Trace“ einen Punkt auf dem Graphen markieren und mit
den Tasten AB auf dem Graphen „entlang wandern“. Dabei
werden stets die aktuellen Koordinaten angezeigt.
Auf diese Weise kann man Näherungswerte für den Scheitelpunkt und die Nullstellen ermitteln.
Der TC kann die Nullstellen auch exakt berechnen. Dazu
gehen wir in den Home - Bildschirm zurück (Taste ").
Mit der Taste „öffnen wir das Algebrafenster und wählen
1: solve mit der Taste ¸.
In der Eingabezeile erscheint der solve – Befehl.
Wir geben die zu lösende Gleichung, danach ein Komma und
die schließende Klammer ein.
Mit ¸ werden die Lösungen berechnet.
(Wenn nötig, erhält man mit ¥ ¸ dezimale Näherungslösungen angezeigt.)
Die Koordinaten des Scheitelpunktes erhalten wir z. B. auf
folgende Weise:
Weil wir wissen, dass die gegebene Funktion f durch eine
nach oben geöffnete Parabel beschrieben wird, ist der Scheitelpunkt der tiefste Punkt der Parabel.
Dieses Minimum lässt sich folgendermaßen ermitteln:
Aus dem Home – Bildschirm gehen wir mit … in das Calculusmenü und wählen dort mit D und ¸ 6:fMin aus.
Da wir die Funktion im #-Editor unter y1(x) gespeichert haben, geben wir dieses nun ein: fMin(y1(x),x) und schließen
mit ¸ ab.
Wir erkennen, dass f an der Stelle x = ½ ihr Minimum hat.
 2003 TEXAS INSTRUMENTS
Schülermaterial zum Einsatz des TI-89 in der Klasse 10 an Thüringer Gymnasien Seite 6
Mit y1(1/2) ¸ erhalten wir den zugehörigen y-Wert des
Scheitelpunktes.
Übungen:
1. Stelle die Funktion f zu y = f(x) = x² - x - 1 graphisch dar und ermittle ihren Scheitelpunkt und ihre Nullstellen exakt und als dezimale Näherungswerte.
2. Untersuche die Funktion y = -x² - 8 auf Nullstellen.
3. Begründe, weshalb man die Nullstellen von f(x) = 3x(x – 5) schneller im Kopf berechnen kann als mit dem TC. Stelle die Funktion mit dem TC graphisch dar.
2
VERSCHIEBEN, STRECKEN UND SPIEGELN VON PARABELN
Ergänze die folgende Tabelle und mache dir die Bedeutung der einzelnen Parameter
klar! Experimentiere mit dem TC!
Hinweis: Einige der folgenden Bilder sind mit einem Voyage 200 erstellt, der einen
etwas größeren Bildschirm hat.
 2003 TEXAS INSTRUMENTS
Schülermaterial zum Einsatz des TI-89 in der Klasse 10 an Thüringer Gymnasien Seite 7
Änderung
am Neue FunktionsTerm gegenüber
Gleichung
y = x²
Abbildungen
Graphen
Verschieben um
e Einheiten entlang der y-Achse
e addieren
(e=2, -3)
y1(x) = x2
y2(x)= y1(x)+e
y2(x)= x2 +e
x durch x -d
ersetzen
(d= 3, -2, 0.5)
y1(x)=x2
z. B.
y2(x)=y1(x-3)
mit a > 0
Strecken von der
x-Achse aus mit
dem Faktor a
parallel
zur
y-Achse
multiplizieren
(a=2, 0.5)
mit (-1)
Spiegeln an
multiplizieren
mit a< 0
multiplizieren
(a=-2, -0.5)
f(x) = ax2 ; a < 0
1. x durch (x-d)
ersetzen, (d=2)
2. mit a
multiplizieren
(a=3)
3. e addieren
(e=2)
 2003 TEXAS INSTRUMENTS
Schülermaterial zum Einsatz des TI-89 in der Klasse 10 an Thüringer Gymnasien Seite 8
Zusatz: Finde allgemeine Regeln bzw. weise die Richtigkeit der gegebenen Vorschriften
nach, für
Spiegeln des Bildes einer Funktion an der x-Achse: g(x) = -f(x)
Spiegeln des Bildes einer Funktion an der y-Achse: g(x) =
Spiegeln des Bildes einer Funktion an einer beliebigen Geraden x = u
g(x) =
Spiegeln des Bildes einer Funktion an einer beliebigen Geraden y = v g(x) =
3
SCHAREN VON PARABELN
1. Stelle die Funktionen
Graph und gemeinsame Eigenschaften:
y =x2 -4x+t für verschiedene
Werte von t graphisch dar
und beschreibe, welche gemeinsamen
Eigenschaften
die Funktionen dieser Schar
haben.
2. Stelle die Funktionen
y =x2 –4tx + 2 für verschiedene t graphisch dar und beschreibe, welche gemeinsamen Eigenschaften diese
Funktionen dieser Schar haben. Versuche Begründungen für die gemeinsamen
Eigenschaften zu finden! Im
Bild ist zusätzlich ein weiterer
fettgedruckter Graph dargestellt. Welche Beziehung hat
dieser Graph zur Funktionenschar? Finde einen Funktionsterm!
Graph und gemeinsame Eigenschaften
3. Gib die Gleichung der Funktionenschar an, zu der die
Funktionsgraphen gehören! Beschreibe dabei deine Überlegungen!
 2003 TEXAS INSTRUMENTS
dargestellten
Schülermaterial zum Einsatz des TI-89 in der Klasse 10 an Thüringer Gymnasien Seite 9
4
BESTIMMUNG VON PARABELN, LÖSEN VON GLEICHUNGSSYSTEMEN
In der folgenden Aufgabe soll u. a. die Gleichung einer Parabel bestimmt werden. Begründe
zunächst, warum man im Allgemeinen drei verschiedene Punkte benötigt, um diese Gleichung zu finden und löse dann die Aufgabe!
In der Zeichnung ist das Foto eines Wasserstrahls dargestellt. Wo trifft der Strahl auf
dem Erdboden auf? Wo hat er seinen höchsten Punkt?
Zunächst definiert man im Home - Bildschirm eine allgemeine Funktion zweiten Grades
(Taste§):
Anschließend lösen wir das Gleichungssystem, bestehend aus den drei Gleichungen
f(0) = 1,2 und f(4) = 3 und f(6) = 2 nach a, b und c auf.
In den TC können wir dazu solve(f(0)=1.2 and f(4)=3 and f(6)=2, {a,b,c}) eingeben.
Die Anweisung “and” kann man aus dem Katalog holen, in dem sämtliche Befehle alphabetisch aufgelistet sind (Taste ½), die geschweiften Klammern sind als Zweitbelegungen
von cd mit der Taste 2 zu erreichen).
Damit ist die gesuchte quadratische Funktion gefunden: y = - 0,158x² +1,083x + 1,2.
Ihren Scheitelpunkt und den Auftreffpunkt auf den Boden (Nullstelle) kann man nun wie vorn
beschrieben ermitteln. (Ergebnis S(3,427; 3,056), Nullstellen bei x = 7,825 und x = -0,971,
wobei der Auftreffpunkt bei 7,825 liegt)
Übungen:
 2003 TEXAS INSTRUMENTS
Schülermaterial zum Einsatz des TI-89 in der Klasse 10 an Thüringer Gymnasien Seite 10
1. Löse folgende Gleichungssysteme erst schriftlich und dann mit dem TC:
a) 2x + y = 3
3x – y = - 1
b) 3x + 4y = 8
- 3x – 4y = -7
c) 3x = 7 – 4y
-4y = 3x – 7
2. Die in Aufgabe 1 gegebenen Gleichungssysteme mit ihren Lösungsmengen lassen
sich auch graphisch interpretieren. Begründe dies und verwende zur Veranschaulichung den TC.
3. Die Parabel zu f(x) = ax² + bx + c hat den Scheitelpunkt S(1; 4) und geht durch den
Punkt P(3; 0). Ermittle die Nullstellen der Funktion f.
 2003 TEXAS INSTRUMENTS
Schülermaterial zum Einsatz des TI-89 in der Klasse 10 an Thüringer Gymnasien Seite 11
TI-89-EINFÜHRUNGSLEHRGANG
Mit dem TI-89 steht uns ein sehr leistungsfähiger Taschencomputer für den Unterricht zur
Verfügung. Auch später in Beruf und Studium wird er vielfältigen Gebrauch finden.
Schritt für Schritt wollen wir den Rechner stets im Zusammenhang mit mathematischen
Sachverhalten kennen lernen. Natürlich leistet auch das Handbuch, das es in gedruckter und
in elektronischer Form gibt, gute Dienste.
1
SORGE FÜR EINEN „SAUBEREN“ RECHNER!
Einschalten
Schaltet man mit der Taste ´ den
Rechner ein, wird der Bildschirm angezeigt, der als letzter vor dem Ausschalten
aktiv war.
(Ausschalten: 2´)
Lösche als Anfänger zu Beginn jeder Die Tastenfolge 2{ (MEM) lie- RESET
Rechnersitzung den Inhalt des Arbeits- fert
speichers RAM, damit es keine Kollisionen zwischen alten und neuen Eingaben
gibt.
Dabei gehen alle nichtarchivierten Dateien verloren und der Rechner wird in seinen ursprünglichen Zustand zurück versetzt.
Die Taste ƒ bewirkt
Später werden wir lernen, wie man wichtige Dateien sichert.
Taste ¸ und dann 1: All RAM
und nun dreimal die Taste ¸
bewirken das RESET
Mit der Taste HOME gelangt man in den
Hauptbildschirm.
Menüleiste
Historybereich
Nun sind aber vielleicht immer noch nicht
der Bildschirm und die Eingabezeile
„sauber“.
Eingabezeile
löschen
Ein- oder zweimaliges Drücken von
M löscht die ganze Eingabezeile.
Mit ƒ nClear Home kann der Bildschirm gelöscht werden.
(Hinweis: Gespeicherte Variablen werden damit nicht gelöscht!)
HomeBildschirm
Bildschirm
Statuszeile
Eingabezeile
 2003 TEXAS INSTRUMENTS
löschen
Schülermaterial zum Einsatz des TI-89 in der Klasse 10 an Thüringer Gymnasien Seite 12
2
EINGEBEN VON ZAHLEN UND TERMEN
Addition «
1
+ 3
2
3
−π
4
Subtraktion |
Multiplikation p
Division e
Eingeben von
Zahlen
und
Termen
Vorzeichen-
Vorzeichenminus ·
Potenzieren (auch Quadrieren) Z.
Wurzelziehen 2p
Kreiszahl π 2Z
Auf dem Bildschirm sieht man links
minus
den eingegebenen Ausdruck (Kontrollmöglichkeit!) und rechts einen
gleichwertigen, vom TI-89 aber oft
Wurzel
umgestellten Term.
Das kleine schwarze Quadrat links
im Historybereich kennzeichnet hier Fakultät
den Hauptbruchstrich.
Fakultät (n!= 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ ... ⋅ n) ¥e
Dezimalpunkt (nicht Komma!) ¶
Klammertasten c d
Soll eine Berechnung ausgeführt werden, wird die Eingabe mit ¸ abgeschlossen.
Das Ergebnis wird als Näherungswert
angezeigt, wenn ein Dezimalbruch in
der Eingabe vorkommt, oder wenn man
sie mit der Tastenfolge ¥¸ abschließt.
Ergebnis als
Näherungswert
11
Wenn man sich bei der Eingabe ver- 3 12 ⋅ 17
tippt, hat man die Möglichkeit, die Eingabe in der Eingabezeile mit Hilfe der
Taste 0 zu korrigieren. Mit Hilfe der
Cursortasten
ABCD bewegt man den Cursor hinter das zu korrigierende Zeichen und
löscht es mit 0.
Mit der Taste Mlöscht man alles,
was rechts vom Cursor in der Eingabezeile steht.
x +1
x
−
x
x −1
 2003 TEXAS INSTRUMENTS
Korrektur
von Eingabefehlern
Schülermaterial zum Einsatz des TI-89 in der Klasse 10 an Thüringer Gymnasien Seite 13
Manche Eingabefehler erkennt der TI89. Er gibt dann eine Fehlermeldung
an.
Fehlermeldung
Mit der Taste N wird die Fehlermeldung geschlossen und man gelangt in
die Eingabezeile zurück, häufig – aber
nicht immer! - an die Stelle, an welcher
der Fehler steckt.
Ein Verzeichnis der Fehlermeldungen
findet man im Handbuch.
Wenn die Anzeige nicht auf den Bildschirm oder in die Eingabezeile passt,
erscheint das Zeichen ú am Rand. Man
kann dann die Anzeige mit den Cursortasten „über den Rand“ hinweg erreichen (scrollen).
Scrollen
Übungen:
1. Der TI-89 vereinfacht eingegebene Terme häufig selbstständig. Vollziehe die Rechnungen
mit deinem TC nach und erkläre die Rechneranzeige!
2. Ein Tarifabschluss legt die Lohnerhöhung auf 2,6% fest, jedoch mindestens auf 60 Euro.
Ermittle, wie die Gehälter steigen, die vorher 1500 Euro, 2500 Euro bzw. 3500 Euro betrugen. Für welche Gehälter macht der Tarifabschluss 60 Euro aus?
 2003 TEXAS INSTRUMENTS
Schülermaterial zum Einsatz des TI-89 in der Klasse 10 an Thüringer Gymnasien Seite 14
3
UMFORMEN VON TERMEN
Einfache Rechenoperationen mit Zahlen und Termen haben wir bereits durchgeführt. Wir
wollen nun einige Anweisungen des TI-89 kennen lernen, mit denen Terme umgeformt werden können.
Mit der Taste „ erreicht man aus dem Algebramenü
Home-Bildschirm das Algebramenü.
Mit der Cursortaste kann man hier eine
der angebotenen Anweisungen auswählen.
x² - y² soll faktorisiert werden.
Faktorisieren
(a + b)² soll ausmultipliziert werden.
Ausmultiplizieren
Wir wählen 2:factor (mit
¸ bestätigen) Es muss
der zu faktorisierende Term
eingegeben werden.
Mitunter muss auch die Variable, nach der faktorisiert
werden soll, mit angegeben
werden.
Die Buchstaben (außer x, y , z und t) erreichen wir über die lilafarbene alpha
Taste.
Klammersetzung beachten!
Hauptnenner
den
Der Term wird in einen
Bruchterm
umgewandelt,
wobei Zähler und Nenner
vollständig
ausmultipliziert
werden.
 2003 TEXAS INSTRUMENTS
bil-
Schülermaterial zum Einsatz des TI-89 in der Klasse 10 an Thüringer Gymnasien Seite 15
Bei der Eingabe von mehreren Variablen ist es notwendig, zwischen den Variablen
ein Multiplikationszeichen mit
p zu setzen.
Variable durch
In der oberen Zeile fasst der Rechner den
Ausdruck „ab“ als eine einzige Variable
auf.
Multiplikationszeichen trennen
Man
kann
nur
darauf
verzichten, wenn eine Zahl
vor der Variablen steht.
Zerlegung in gemischte Terme
Der Term wird in einen ganzrationalen (falls ein solcher
enthalten ist) und einen
gebrochenrationalen
Term
umgewandelt.
Übungen:
1. Vollziehe die Rechnungen mit deinem TC nach, erkläre die Rechneranzeige und bestäti
ge sie durch eine handschriftliche Probe!
Suche nach einer Gesetzmäßigkeit und beweise sie!
 2003 TEXAS INSTRUMENTS
Schülermaterial zum Einsatz des TI-89 in der Klasse 10 an Thüringer Gymnasien Seite 16
2. Ein Quadrat soll in ein Rechteck umgewandelt werden, das um 1 cm länger und um 1 cm
schmaler ist als das Quadrat.
Vergleiche die Flächeninhalte und die Umfänge beider Figuren!
4
MIT VARIABLEN ARBEITEN
Variablennamen können aus bis zu acht Buchstaben oder Ziffern bestehen. Das erste Zeichen darf keine Ziffer sein. Manche Variablennamen sind schon durch den Rechner reserviert.
Die Zuweisung von Termen
zu Variablennamen erfolgt
durch die Taste § (store =
speichern) und die Zuweisung wird auf dem Bildschirm
mit → wiedergegeben.
Variablen-
Alle Variablen werden im
aktuellen Ordner gespeichert.
Als Anfänger begnügen wir
uns mit dem vorgegebenem
Ordner „main“.
VarLink
Zuweisung
Taste §
Ordner einsehen
Die Einsicht in den Ordner
erreichen wir mit den Tasten
Unter dem Variablennamen „ranger“ ist hier
z. B. vom Benutzer ein zusätzliches Pro2| Var Link
gramm abgespeichert, das zur Erfassung
Das Zeichen vor diesem Va- von Messwerten dient.
riablennamen bedeutet, dass
das Programm „ranger“ archiviert wurde und bei dem
auf Seite 1 beschriebenen
Reset nicht verloren geht.
 2003 TEXAS INSTRUMENTS
Schülermaterial zum Einsatz des TI-89 in der Klasse 10 an Thüringer Gymnasien Seite 17
Die gewünschte zu archivierende Variable vorher mit †
auswählen.
Variable archivieren
Mit F6 contents
(2ƒ) Außerdem sehen wir unsere Variablen x, y
kann man sich den Inhalt der und z, ihre Art und ihren Speicherumfang
jeweils dunkel unterlegten angezeigt.
Variablen ansehen.
Wenn man eine neue Aufgabe beginnt, sollte man alle
nicht benötigten Variablen
löschen, weil es sonst zur
unerwünschten
Beeinflussung der neuen Rechnung
durch schon verwendete Variablen kommen kann.
Löschen im Varlink
Mit der Taste † werden alle Variablen, die löschen
man löschen will, durch ein Häkchen geim VarLinkkennzeichnet.
Fenster
Dafür gibt es verschiedene
Möglichkeiten:
Das Reset (s. Seite 1)
Löschen im VarLink
Variable
Unter ƒ wählt man 1: Delete
NewProb
Zweimal ¸löscht diese Variable(n).
NewProb nimmt verschiede- Wählt man aus dem Home-Bildschirm F6.
Cl
U (T
2ƒ)
 2003 TEXAS INSTRUMENTS
Schülermaterial zum Einsatz des TI-89 in der Klasse 10 an Thüringer Gymnasien Seite 18
ne Operationen vor, unter Clean Up (Tasten: 2ƒ)
anderem werden alle aus
einem Zeichen bestehende
Variablen im aktuellen Ordner
und der Home-Bildschirm
gelöscht.
NewProb
Zweimal ¸ liefert folgenden Bildschirm:
Funktionen lassen sich auch Das Reziproke einer Zahl x wird als Funktion Funktionen als
Variable
als Variablen speichern.
z(x) gespeichert.
Die doppelte Summe zweier Zahlen a und b
wird als Funktion u(a,b) gespeichert.
Übungen
1. Was müsste der Rechner für die oben definierten Funktionen z(x) und u(a,b) bei folgenden Belegungen anzeigen? Gib erst eine Vermutung durch Nachdenken an, überprüfe dann mit dem TC!
a) z(0)
b)z(1/x)
c) z(x + y)
d) z(z(x))
 2003 TEXAS INSTRUMENTS
Schülermaterial zum Einsatz des TI-89 in der Klasse 10 an Thüringer Gymnasien Seite 19
e) z( 56 − 65 )
f) z(u)
g) z(u(4,4))
h) u(0,d)
i) u(c,0)
j) u(1)
k) u(z)
l) u(x²,1/x) m) u(z(1),z(-2))
2. Wir betrachten die Dreieckszahlen d(n):
n
1 2 3
d(n) 1 3 6
a) Zeichne das Muster der Dreieckszahlen für n = 4 und n = 5.
Gib d(4), d(5) und d(10) an.
b) Begründe, dass gilt: d (n) =
n ⋅ (n + 1)
.
2
c) Suche nach einer Gesetzmäßigkeit für d(n) + d(n+1).
Begründe deine Vermutung durch handschriftliche Überprüfung!
d) Untersuche, ob folgende Behauptung stimmt:
Das Achtfache einer Dreieckszahl, um 1 vermehrt, ist eine Quadratzahl.
e) Berechne d²(n+1) – d²(n) und d ²(n) − d (n + 1) ⋅ d (n − 1) .
Formuliere jeweils das Ergebnis als Satz.
3. Setze fort!
Wie heißt die n-te Gleichung? Wie kann man sie begründen?
1+2=3
4+5+6=7+8
9 + 10 + 11 + 12 = 13 + 14 + 15
 2003 TEXAS INSTRUMENTS
Schülermaterial zum Einsatz des TI-89 in der Klasse 10 an Thüringer Gymnasien Seite 20
5
GLEICHUNGEN UND UNGLEICHUNGEN LÖSEN, UMSTELLEN VON FORMELN
Zum Lösen von Gleichungen, verwendet man Man gibt nach dem Solve- Solve
Befehl die zu lösende
den Befehl „solve“.
Gleichung,
dann
ein
Man erreicht ihn z. B.
aus dem Home- Komma und danach die
Bildschirm über das Menu „:
Lösungsvariable ein. Die
Eingabe wird mit einer
Klammer und ¸ abgeschlossen.
Der Solve-Befehl wird mit der Taste ¸ in
die Eingabezeile kopiert.
Das Umstellen von Formeln geht genauso.
Beispiel:
Formel umstellen
Für
den
Gesamtwiderstand
R
bei
Parallelschaltung zweier Widerstände R1 und
R2 gilt:
1
1
1
. Diese Formel soll nach
=
+
R R1 R2
R2 umgestellt werden.
Die Anzeige „true“ („wahr“) signalisiert, dass
die Gleichung für jede Belegung von x eine
wahre Aussage ist.
unendlich viele
oder
keine
Lösungen einer
Gleichung
Die Anzeige „false“ („falsch“) bedeutet, dass
die Gleichung für keine Belegung von x wahr
ist.
Der TI-89 löst nur lineare Ungleichungen ohne
Parameter sicher.
Ungleichungen
Die Lösung der einfachen quadratischen Ungleichung gelingt nicht.
Oftmals braucht man eine Näherungslösung.
Diese erreicht man z. B., indem vor der Taste
¸ die grüne Taste ¥ mit der Raute ged ü kt i d
 2003 TEXAS INSTRUMENTS
Näherungslösungen
Schülermaterial zum Einsatz des TI-89 in der Klasse 10 an Thüringer Gymnasien Seite 21
drückt wird.
Die zweite Zeile zeigt die genauen Lösungen,
die letzte Zeile die Näherungslösungen.
Der Variablengrundbereich kann auch eingeschränkt werden. Dazu verwendet man die
Taste Í, den „with“-Operator.
Grundbereich
einschränken;
with-Operator
Für „ ≤ “ drückt man die Tasten ¥µ,
für „ ≥ “ die Tasten ¥¶.
Besteht die Einschränkung aus zwei Bedingungen, so sind diese durch die Anweisung
„and“ zu trennen.
(Die Bedingung als Doppelungleichung, also
z.B. 0 ≤ x ≤ 1 , versteht der TI-89 nicht.)
Das Wort “and” kann man wie jeden Befehl über die Buchstabentasten eingeben, darf aber
davor und dahinter das Leerzeichen nicht vergessen! (alpha-Taste und ·).
„ ≤ “ und „ ≥ “
Doppelungleichung
CATALOG
Zweckmäßiger ist die Verwendung der CATALOG – Taste. Im CATALOG stehen sämtliche
Anweisungen, die der TI-89 kennt, in alphabetischer Reihenfolge.
Mit den Cursortasten kann man sich im Katalog bewegen, drückt man vorher auf 2, bewegt man sich in größeren Sprüngen..
Zum Anfang jeder Buchstabengruppe gelangt
man, indem man die Taste drückt, mit der die
Buchstabengruppe beginnt.
Will man z.B. vom „and“ zum „or“, drückt man
bei geöffnetem CATALOG die Taste |, weil
deren alpha-Belegung das „o“ ist. Dabei
braucht man vorher nicht die Alpha-Taste
selbst zu drücken.
Der Rechner löst viele Gleichungen korrekt,
aber er hat auch Grenzen. Einige Beispiele
sollen das veranschaulichen.
Die Gleichung
 2003 TEXAS INSTRUMENTS
Grenzen
Rechners
des
Schülermaterial zum Einsatz des TI-89 in der Klasse 10 an Thüringer Gymnasien Seite 22
3
1
2x + 8
−
=
x − 2 x + 2 x² − 4
besitzt alle reellen Zahlen als Lösungen bis auf
die Zahlen 2 und –2, weil dafür jeweils zwei
Nenner nicht definiert sind.
Der Rechner erkennt die
Definitionslücken nicht.
Die Gleichung
x−3
=
2
x² − 7
besitzt keine reellen Lösun12
gen, der Rechner zeigt fälschlicherer Weise
zwei Lösungen an, denn weder für 2 noch für 1
sind die Wurzeln definiert.
Vor allem bei Bruchgleichungen oder bei Wurzelgleichungen sollte man sich die Rechnerergebnisse immer kritisch anschauen und auf
eine Probe nicht verzichten!
Der Rechner erkennt nicht, Probe
dass die Terme für x = 2
und x = 1 nicht definiert
sind.
Übungen:
1. Ermittle die Lösungsmengen folgender Gleichungen im Bereich der reellen Zahlen!
a) 8(x-3) = 4-10x
d)
g)
2
6
=
x+2 x−2
b) 3x – 5 = 7x – 4(x +1)c) 2(x – 0.5) + x = 3x – 1
e)
2x − 4 3
=
3x − 6 2
f) x³- x = 2x² + 1
x + 2 + 2 x − 4 = 4 h) 2x² - x – 4= 0 für 0 ≤ x ≤ 2
2. Untersuche, wie die Anzahl der Lösungen der Gleichung x +
1
= t vom reellen Parameter
x
t abhängt!
3. Gegeben ist die Bruchgleichung
1
= m + 1 . Dabei sollen x und m reelle Zahlen sein.
x−m
Betrachte x als Lösungsvariable und m als Parameter und ermittle die vollständige Lösungsmenge der Gleichung.
Betrachte nun m als Lösungsvariable und x als Parameter und ermittle die vollständige
Lösungsmenge der Gleichung.
4. Begründe, warum man die Lösung der Gleichung(x – 2)(x + 3)(x – 5)(x +120) = 0 schneller
im Kopf als mit TC ermittelt. Wie lauten die Lösungen? Kannst du den Sachverhalt verallgemeinern?
 2003 TEXAS INSTRUMENTS
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6
LÖSEN VON GLEICHUNGSSYSTEMEN
Beispiel:
Solve … and
Das lineare Gleichungssystem
x+y=1
x–y=2
soll gelöst werden.
Solve(x+y=1 and x-y=2,{x,y})
Die geschweiften Klammern sind die Zweitbelegungen von c bzw. d.
Gleichungssysteme mit unendlich vielen Lösungen, z. B.
x+y=1
Unendlich
viele Lösungen;
x+y=1
Zählvariable
Die Zählvariable @1 steht für jede reelle Zahl.
Die Anzeige ist also so zu lesen:
Wenn y eine beliebige reelle Zahl t ist, dann ist
x = -(y – 1) = 1 – t.
Bei Gleichungssystemen, die nicht lösbar sind,
wird „false“ angezeigt.
Unlösbare
Gleichungssysteme
Eine etwas andere Form des Lösens von Gleichungssystemen ist über den With-Operator Í
möglich. Das lässt sich z. B. gut nutzen beim
Operieren mit Formeln, wie folgendes Beispiel
zeigt: Ein anfahrendes Auto erreicht nach t Sekunden eine Geschwindigkeit von v Meter/ Sekunde. Welchen Weg legt es dabei zurück?
Wegen des Anfahrens legt man eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung zugrunde mit
s=
a 2
v
t und a = .
2
t
Übungen:
 2003 TEXAS INSTRUMENTS
with-Operator
nutzen
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1. Vollziehe die Eingabe nach, erkläre sie, gib die Lösungsmenge vollständig an und
beschreibe den Sachverhalt aus geometrischer Sicht!
2. Ersetze die Parameter a und b so durch Zahlen, dass das Gleichungssystem
a⋅x+ y = 3
x+ y =b
a) die Lösung (0; 3) b) die Lösung (5;-1)
c) keine Lösung
d) unendlich viele Lösungen hat.
Löse die Aufgabe zuerst durch Nachdenken, kontrolliere deine Lösungen mit dem
TC.
3. Gib ein Beispiel an für ein lineares Gleichungssystem mit zwei (drei) Variablen und
zwei (drei) Gleichungen, welches
a) eindeutig lösbar ist, b) nicht lösbar ist c) unendlich viele Lösungen besitzt.
Kontrolliere mit dem TC!
4. Interpretiere das folgende Bild aus mathematischer Sicht! Findest du auch eine
physikalische Deutung?
7
ARBEITEN MIT FUNKTIONEN
Wir überzeugen uns zunächst davon, dass der
Rechner im Modus „Function“ eingestellt ist.
(Taste 3, mit ¸ bestätigen)
Modus „Function“
Wir können Funktionen z. B. im # Editor definieren. (Tasten ¥ƒ)
# Editor
Mit ¸ wird der Cursor in die Eingabezeile
gestellt und dort wird der Funktionsterm eingegeben. Mit¸ wird die jeweilige Funktion
unter y1 usw. gespeichert.
Wir zeichnen die Funktionen mit % durch
 2003 TEXAS INSTRUMENTS
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die Tastenfolge ¥….
%
Unter $ (Tastenfolge¥„)kann man
das Darstellungsfenster definieren:
Xmin und xmax: Minimaler und maximaler
Wert auf der x-Achse.
Ymin und ymax: Minimaler und maximaler
Wert auf der y-Achse.
Xscl und yscl geben die Skalierung auf den
Achsen an.
Xres legt fest ob jeder Punkt (xres = 1) oder
jeder n-te Punkt (n bis 10) der Kurve geplottet
wird.
Mit ' (¥‡) werden automatisch Wertetabellen der definierten und mit einem Häkchen ausgewählten Funktionen erzeugt.
Startwert und Schrittweite der Tabelle werden
durch &(¥†) definiert.
$
'
&
Hinweise:
Im Y-Editor, im Grafikfenster und in der Tabelle wird nur näherungsweise
(numerisch) gerechnet.
Man kann Funktionen auch im Home-Editor definieren und dann in den #-Editor übertragen. (Vergleiche auch Beispiele im Teil 1)
Übungen (Beachte das Handbuch ab S. 106!):
 2003 TEXAS INSTRUMENTS
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1. Rekonstruiere sämtliche Bilder aus obiger Tabelle auf deinem TC!
2. Erkunde im # Editor im Untermenü F1:Tools den Punkt 9:Formats. Ändere verschiedene Einstellungen und beobachte, wie sie sich auf die graphische Darstellung
auswirken.
3. Ändere die Einstellungen unter $ und beobachte ihre Auswirkung auf die graphische Darstellung!
4. Zeichne die Funktionen y1 und y2 in verschiedenen Darstellungsarten!
5. Unter % finden sich besonders viele Untermenüs. Wir wollen zunächst nur einige
besonders wichtige ausprobieren:
Die Graphen von y1 und y2 schneiden einander in zwei Punkten.
Vergrößere mehrfach die Umgebung eines der beiden Schnittpunkte mit ZoomBox
(„Funktionenmikroskop“): Zuerst wird die linke obere Ecke des gewünschten Bildausschnittes über die Cursortasten gesucht und mit ¸festgelegt, dann analog die
rechte untere Ecke.) Mit Trace kann man einen Näherungswert für den Schnittpunkt
ablesen.
Zeichne die Funktionen y1 und y2 mit ZoomDec und ermittle die Koordinaten
derSchnittpunkte mit dem Menu F5:Math 5:Intersection.
Probiere auch andere Werkzeuge aus.
6. Zeichne folgende Funktionen mit der angegebenen WINDOW-Einstellung.
(Bemerkung: Die Bilder mit den Symbolen „Säge“ und „Hammer“ links oben wurden
mit einem TI-92 erstellt.)
7. Versuche folgende Bilder mit geeigneten Funktionen zu erzeugen:
8. Untersuche, was folgende Eingabe für Auswirkungen auf die Graphen hat:
 2003 TEXAS INSTRUMENTS
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Eingabe der t-Werte durch: t ={1,2,3}
Setze für t auch negative Zahlen ein und beschreibe deine Beobachtungen.
Kannst du deine Beobachtungen verallgemeinern?
9. Ein Stein wird geworfen.
Seine Flugbahn kann durch die Gleichung y = -0,02x²+0,5x beschrieben werden,
wenn man den Luftwiderstand vernachlässigt. Untersuche, wie weit und wie hoch der
Stein fliegt, wenn x die Weite und y die Höhe in Metern bedeuten. Wie lang ist seine
Flugbahn?
10. Zeichne mit deinem TC vier Parabeln, die alle die Nullstellen –1 und 3 haben.
11. Aus einem Springbrunnen, dessen Wasserdüse im Ursprung eines passenden Koordinatensystems liegt, spritzt Wasser unter verschiedenen Winkeln heraus. Der Luftwiderstand wird vernachlässigt, so dass das Wasser schöne Parabeln beschreibt. Ein
mathematisches Modell kann man durch die Funktionen y = f t ( x) = t ⋅ x −
1 + t²
⋅ x²
24
angeben. Untersuche diese Springbrunnenparabeln.
Beantworte dazu folgende Fragen:
a) Wie liegen die Kurven zu t = -2 und t = 2 zueinander?
b) Für welchen Wert von t liegt der Scheitelpunkt am weitesten von der y-Achse
entfernt?
c) Wie hoch spritzt das Wasser höchstens?
d) In welchem Bereich wird die x-Achse nass?
12. Welche Parabel y =ax² + bx + c geht durch die Punkte
a) A(0;1), B(1; 0), C(-1; 4)
b) A(1; 1), B(-1; -1), C(3; -1)
c) P(1; 2), Q(2;1) ?
13. Untersuche, für welche x-Werte die y-Werte negativ sind!
a) y = -x² + 3 b) y = x² +5x
c) y = - x² + 2x –1
14. Du kennst schon die Dreieckszahlen:
Diese Zahlen werden jetzt Punkten zugeordnet: P1(1; 1), P2(2; 3), P3(3; 6) usw.
Die x-Koordinate gibt also die Anzahl der Punkte auf der Dreieckseite, die y-Koordinate
die Anzahl der Punkte auf der Dreiecksfläche an.
a)
Ermittle die Gleichung der quadratischen Funktion, deren Graph die Punkte
P1, P2 und P3 enthält. Überprüfe, ob auch P4 auf dieser Parabel liegt.
b) Untersuche, ob alle Punkte Pn auf dieser Parabel liegen!
8
AUSWERTUNG VON MESSWERTEN MIT DEM DATA-MATRIX-EDITOR DES TI-89
Für die Abkühlung von heißem Tee wurde folgende Messwerttabelle ermittelt.
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Schülermaterial zum Einsatz des TI-89 in der Klasse 10 an Thüringer Gymnasien Seite 28
Die Temperaturdifferenz zwischen der Zimmer- und der Teetemperatur beträgt zu Beginn
der Messung 60°C und wird im Abstand von 5 Minuten jeweils erneut gemessen:
Zeit in Minuten
0
5
10
15
20
25
30
Temperaturdifferenz
(°C)
60
48
39
31
25
20
16
Dazu sind folgende Aufgaben zu lösen:
Stelle die Werte graphisch dar.
Überprüfe, ob es sich angenähert um eine exponentielle Abnahme handelt.
Bestimme die Funktionsgleichung.
Mit O 6: Data/ Matrix – Editor öffnen wir diese
einfache Tabellenkalkulation.
Data-Matrix
–Editor
öffnen
Nach ¸ erscheint ein Untermenü. Wir müssen
uns entscheiden, ob wir uns weiter mit einer aktuellen Datei (Current) beschäftigen wollen, eine vorhandene Datei öffnen (0pen) oder eine neue Datei
anlegen wollen (New). Die Auswahl wird mit ¸
abgeschlossen.
Wir legen eine neue Datei an, geben ihr den Namen
„tee“ und gelangen nach ¸ in einer leeren Tabelle.
 2003 TEXAS INSTRUMENTS
Tabellenblatt öffnen
Schülermaterial zum Einsatz des TI-89 in der Klasse 10 an Thüringer Gymnasien Seite 29
In die Spalte c1 tragen wir die Zeiten und in c2 die
Temperaturen ein und kennzeichnen sie mit entsprechenden Vermerken.
Daten eintragen
Um die Werte graphisch darzustellen, gehen wir mit
F2 Plot Setup ¸ in das nebenstehende Menü.
Daten graphisch darstellen
Als Plot Type wählen wir „Scatter“ und als Markierung „Plus“ aus den entsprechenden Untermenüs.
Für die x-Werte tragen wir c1 ein (also die Zeiten)
und für y die Spalte c2 (also die Temperaturen). Mit
¸¸ schließen wir das ab und lassen uns mit
¥…die Messwerte plotten. Das Fenster kann man
automatisch mit Zoom 9: Data anpassen.
Merkmale
der Darstellung
auswählen
Man erhält eine monoton fallende Kurve, die unter anderem an eine abnehmende Exponentialfunktion erinnern könnte. Nun kann man versuchen, eine passende Funktion zu finden.
Auswertung der Messung
Variante 1: Für einen exponentiellen Wachstums- oder Abnahmeprozess ist typisch, dass
die sich in gleichen Zeitabständen ergebenden Werte quotientengleich sind:
y (n + 1)
= kony ( n)
stant.
Man kann im Data-Matrix-Editor auf die einzelnen Werte jeder Spalte „zugreifen“, und so
zum Beispiel diese Quotienten berechnen:
 2003 TEXAS INSTRUMENTS
Schülermaterial zum Einsatz des TI-89 in der Klasse 10 an Thüringer Gymnasien Seite 30
c 2[i + 1]
.
c 2[i ]
Da wir sieben Werte haben, lassen wir i von 1 bis 6 laufen, dann wird i+1 maximal sieben.
Der Befehl „seq(ausdruck, laufvariable, anfangswert, endwert,[schrittweite])“ erzeugt die entsprechende Zahlenfolge. Wenn schrittweite nicht angegeben ist, wird automatisch die
Schrittweite auf 1 gesetzt.
Damit die Werte dieser Zahlenfolge zum besseren Vergleich als dezimale Näherungswert
angegeben werden, fügen wir nach die Anweisung approx( ) ein.
c3 = seq(approx(c2[i+1]/c2[i]),i,1,6) liefert also in der Spalte c3 Näherungswerte der Quotienten zweier aufeinander folgender Glieder der Spalte c2.
Wir sehen, dass die Elemente der Spalte c3 relativ konstant
sind und um 0,8 schwanken.
Der Mittelwert der Elemente der Spalte c3 kann also als ein
Näherungswert für die Basis b einer Exponentialfunktion
y=
t
5
a ⋅b
t
5
aufgefasst werden. (Wir schreiben im Exponenten „ “,
weil die Messung in 5 - Minuten-Abständen erfolgte.)
Diesen Mittelwert berechnen wir unter c4 mit der Anweisung
„mean( Liste )“, die den arithmetischen Mittelwert von Liste
(hier also von der Spalte c3) berechnet.
a ist der Anfangswert für t = 0: a = 60
Mithin ergibt sich als Näherung für die Abkühlungsfunktion:
y=
t
60 ⋅ 0,8023 5
. Nach der Eingabe in den TI-89 sehen wir eine Umrechnung auf die Basis b ≈
0,96.
Wir lassen uns diese Funktion zeichnen und erhalten eine gute Übereinstimmung mit den
Messpunkten.
 2003 TEXAS INSTRUMENTS
Schülermaterial zum Einsatz des TI-89 in der Klasse 10 an Thüringer Gymnasien Seite 31
Hat man den Funktionsterm, lassen sich im Rahmen der Grenzen des Modells z. B. Voraussagen für die Temperaturdifferenz zu nicht tabellierten Zeiten oder Aussagen über die Abkühlungsgeschwindigkeit treffen.
Variante 2:
Ausgangssituation ist die Tabelle und die Vermutung, dass die Werte einer Exponentialfunktion genügen.
Der Rechner kann automatisch Gleichungen für Kurven finden, die sich sehr gut den
ermittelten Messwerten anpassen. (In der Regel berechnet der TC den Funktionsterm der
Ausgleichskurve so, dass die Summe der quadratischen Abweichungen der Funktionswerte
von Ausgleichskurve und Messwerten möglichst klein wird.) Man nennt so ermittelte
Graphen „Regressionskurven“.
Wir wählen das Menü F5 Calc und darin – weil wir einen exponentiellen Zusammenhang
vermuten - unter Calculations Type „4: Exp. Reg.“
Den x - Werten wird die Spalte c1 und den y- Werten die Spalte c2 zugewiesen.
Die Gleichung der Regressionskurve wird unter y1(x) abgespeichert. Der TI-89 berechnet
nun automatisch eine Gleichung der Regressionskurve. Durch einen Vergleich der Graphen
der Daten und der Regressionskurve kann man optisch eine Aussage über die Güte der Näherung angeben.
Mit „Zoom Data“ wird das Fenster automatisch angepasst.
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Schülermaterial zum Einsatz des TI-89 in der Klasse 10 an Thüringer Gymnasien Seite 32
Hinweise:
Die automatische Berechnung von Tabellenwerten kann man im Data-Matrix-Editor ein- und
ausschalten unter F1 Tools; 9: Format ; Auto-calculate. Mit dem Befehl „Cell Width“ lässt sich
die Spaltenbreite verändern.
Aus dem Data-Matrix-Editor findet man unter F6 Util noch einige nützliche Funktionen:
1. Insert: Man kann eine Zelle, Zeile oder Spalte einfügen.
2. Delete: Man kann eine Zelle, Zeile oder Spalte löschen.
3. Sort Column: Die Spalte wird sortiert.
4. Sort Col, adjust all: Wenn nach einer Spalte sortiert wird, werden alle anderen Spalten mit sortiert.
5. Clear Column: Löscht eine Spalte.
Der TI-89 kann durch solche Messwerte auch andere Regressionskurven legen. Es bleibt
dem Benutzer überlassen, sich für einen passenden Regressionstyp zu entscheiden. Dazu
kann man z. B. solche Argumente wie in der Variante 1 nutzen (Quotientengleichheit aufeinander folgender Messwerte) oder man schließt aus inhaltlichen Zusammenhängen auf einen
brauchbaren Funktionstyp. Häufig hilft auch ein „Zoom out“. Betrachtet man Messwerte und
Regressionskurve „aus größerer Entfernung“, also in einem größeren Intervall, kann man oft
gut erkennen, ob die Regression Prognosen über das Messintervall hinaus erlaubt.
Für andere Regressionstypen findet man im Handbuch S. 249/ 250 geeignete Hinweise.
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Schülermaterial zum Einsatz des TI-89 in der Klasse 10 an Thüringer Gymnasien Seite 33
Aufgaben:
1. Wie hoch ist der Turm?
Für nicht allzu große Höhen kann die Falldauer eines Gegenstandes darüber Auskünfte geben. Die Tabelle gibt für verschiedene Fallzeiten t (in Sekunden) die Höhe h (in Metern) an:
t 0 1
2
3
4
h 0 5
20 45 80
5
125
Welche Höhe ergibt sich für t = 6?
Ein Fehlschluss: Mit einer Stoppuhr misst man
t = 2,5s. Die Fallhöhe liegt also genau in der Mitte zwischen 20 und 45.
Warum ist das falsch? Wie ist es wirklich?
Wie lange dauert ein Sprung vom Zehnmeterbrett?
Gib für beide Richtungen der Zuordnung Falldauer-Fallhöhe eine Formel an.
2. Eine Schraubenfeder erhält schrittweise durch Wägestücke der Masse m die
Dehnung s:
m in g
50
100
150
200
250
300
s in cm
1,6
3,15
4,8
6,3
7,85
9,35
Stelle die Werte graphisch dar und ermittle eine Gleichung für den Zusammenhang zwischen
m und s durch Regression.
Welcher physikalische Zusammenhang wurde hier untersucht?
Erläutere Grenzen des mathematischen Modells.
3. Bei einem Wachstumsversuch mit Prunkbohnen ergaben sich folgende Werte.
T in Tagen
1 2
3
4
H in cm
1 1,5 2,5 4
5 6
7
8
9
10 11 12 13
6 10 14 24 34 45 56 68 76,5
14
15 16
17 18 19
80,5
83 86
87 88 88,5
Stelle die Messergebnisse graphisch dar. Erläutere, weshalb es sich nicht um einen
rein exponentiellen Wachstumsprozess handelt. Ermittle eine „passende“ Funktion.
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4. Man lässt einen Ball aus einer Anfangshöhe h senkrecht nach unten fallen. Er prallt
auf den Boden und steigt ein erstes Mal nach oben, wobei er eine Sprunghöhe erreicht, die unter der Anfangshöhe liegt. Er beginnt erneut zu fallen, prallt ein zweites
Mal auf, steigt wieder nach oben usw. Die Sprunghöhe wird von Mal zu Mal kleiner.
Mit einem Zollstock, der senkrecht aufgestellt wird, können die Sprunghöhen durch
Peilung recht gut geschätzt werden.
Tipp: Das Ablesen lässt sich besonders gut bewerkstelligen, wenn der Ball nach Erreichen des ersten Gipfels abgefangen wird und für die Bestimmung der zweiten Gipfelhöhe von der Höhe des ersten Gipfels fallen gelassen wird usw..
Stelle vor der Versuchsdurchführung eine Hypothese auf über die Sprunghöhen nach
dem 1., 2. und 3. Fall.
Sammle die Daten zu Sprungnummer und Sprunghöhe des Balls in einer Tabelle
und fertige eine graphische Darstellung der Daten an.
Verwende den Data-Matrix-Editor.
Überprüfe die Hypothese.
Untersuche den Zusammenhang zwischen Sprungnummer und Sprunghöhe und ermittle eine Gleichung für diesen Zusammenhang.
Bestimme mit Hilfe der ermittelten Funktion die Sprunghöhe nach dem vierten Aufprall rechnerisch, vergleiche mit dem experimentellen Wert.
Bei welcher Sprungnummer erreicht der Ball zum letzten Mal eine Sprunghöhe, die
unter 30 cm liegt ?
Welche Sprunghöhe erreicht der Ball nach dem ersten Aufprall, wenn die Anfangshöhe 1,7 m beträgt? Vergleiche rechnerische und experimentelle Lösung!
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BEISPIELE FÜR AUFGABEN, DIE OHNE HILFSMITTEL ZU LÖSEN SIND
Rechnen mit Zahlen
a)
92 − 24
5
b) log5 25
f) (4 + ½) : (1/3 – ¼)
c)
361
19 2
g) log x25 = 2
d) 3,456 ⋅ 6 − 0,456 ⋅ 6 e) 6-1 + 70 + 81/ 3
h) 2⋅ 665 + 4⋅ 665
i) √12 + √3
Umgehen mit Termen
Forme jeweils das Produkt in eine Summe um:
a) (12 − x) ⋅ ( y + 2)
b) (2a – 3b)²
Gib an, für welche Zahlen der Term nicht definiert ist und vereinfache den Term:
a)
a+3
a2 −9
b)
m ² − 2m + 1
m −1
Gleichungen/ Ungleichungen/ Gleichungssysteme
Ermittle jeweils die Lösungsmenge!
a) 3x – 29 = 5x + 3
d)
b) 15 – 2x > 0
c) x² + 16 = 0
x ⋅ (2 x − 1) ⋅ (3x + 3) = 0 e) 2(1-3x) >14
g) 2(1-3x)(x-5) = 0
h) 2(1-3x) = 5-6x
j) I 2x + y = 1
II x - y = 0
k) I 3x – 2y = 6
II 6x – 4y = 12
f) 2(1-3x) = 5-3(2x+1)
i) 2(1-3x) < 1-6x
l) I 0,2x + 0,3y = 0,1
II 15 x − 17 = − 103 y
Kenntnisse über Funktionen
a) Gib die Koordinaten der Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g an:
y = f(x) = - x² und y = g(x) = - x
b) Gib an, in welchem Intervall die Funktionen m und n jeweils monoton fallend sind:
y = m(x) = sin(x) (0 ≤ x ≤ π ) und y = n(x) = (x – 1)² +2
c) Ein Kapital von 1000 Euro wird mit einem Zinssatz von 4% p.a. für n Jahre (n ∈ N ; n ≥ 1)
fest angelegt. Die am Jahresende anfallenden Zinsen werden dem
Guthaben jeweils zugeschlagen und mit verzinst. Es wird nichts abgehoben. Gib eine
Funktionsgleichung an, die den Stand des Guthabens nach n Jahren beschreibt.
d) Gegeben sind Geraden g durch y = m⋅x + n .
Gib je einen Parameterwert für m und n so an, dass die Gerade g
(1) durch den I. und III. Quadranten
bzw. (2) durch den II., III. und IV. Quadranten
verläuft!
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Geometrie
a)
Eine Leiter ist a Meter lang. Wie hoch reicht sie, wenn sie in einem Abstand von b Metern an eine Wand gelehnt wird?
b)
Einem Kreis mit dem Radius r ist ein regelmäßiges Sechseck einbeschrieben. Gib den
Flächeninhalt des Sechsecks in Abhängigkeit von r an!
c)
Berechne die Seite c des rechtwinkligen Dreiecks :
b=0,5cm
c
a=1,3cm
d)
Es sei α der Winkel zwischen Raum- und Flächendiagonale eines Würfels
(mit der Kantenlänge a= 4cm). Berechne den Wert für den Ausdruck sin α !
Stochastik
Es wird einmal mit zwei Würfeln gewürfelt. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass dabei mindestens eine „Sechs“ geworfen wird.
Modellierung
a) Eine Strecke von 176m soll in drei Teilstrecken geteilt werden, wobei die zweite dreimal so
lang wie die erste und die dritte viermal so lang wie die zweite sein soll.
Wie lang sind die Teilstrecken?
b) Ein Quadrat A hat die doppelte Fläche eines Quadrates B.
Wie viel Prozent ist die Seitenlänge von A größer als die Seitenlänge von B?
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