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Bilanz Saison 2014/2015

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2
Vortrag Kanti
1
Der Eiffelturm (1889)
Die Kanten des Eiffelturms werden von vier ebenen Kurven gebildet. Auf vielen Postkarten sieht man in etwa die
Parallelprojektion dieser Kurven in die Ebene E. Die wahre Kurve und die Postkartenkurve sind affin zueinander, so
dass Eigenschaften der einen leicht auf die andere u
¨ bertragen
werden k¨onnen. Wir versuchen die Postkartenkurve mathematisch zu beschreiben.
Abb.1: Der Eiffelturm von oben
Um die Struktur des Turmes zu vereinfachen, f¨
ullen wir ihn mit
einem homogenen Material gleicher totaler Masse. Aus Gr¨
unden
der Statik setzen wir zudem voraus, dass der Druck auf eine horizontale Schnittfl¨ache auf jeder H¨ohe gleich ist. In einem geeigneten
Koordinatensystem liefert dies die Gleichung
H
f 2 (t) dt
p=
g·m
= c1 ·
A
x
f 2 (x)
= konst
Man macht gleichnamig, verwendet den Hauptsatz der
Differential- und Integralrechnung und findet der Reihe nach
H
f 2(t) dt = c2 · f 2 (x)
x
f 2(x) = c3 · f (x) · f (x)
f (x) = c3 · f (x)
f (x) = A · ex/B
Abb.2: Eiffelturm von vorn
Aus den wahren Abmessungen liest man zwei Anfangsbedingungen aus,
z.B. f (0) = 64.5 (halbe Basisl¨ange) und f (115) = 18 (2. Plattform).
Daraus errechnen sich A = 64.5 und B = −91.
Die Qualit¨at der Rechnung zeigt folgende Tabelle und nebenstehendes
Bild:
H¨ohe
wahre Quadratseite
gerechnete Quadratseite
Boden
0
64.5
64.5
1. Plattform
57
33
34
2. Plattform
115
18
18
3. Plattform
274
8
3
4. Plattform
300
7
2.3
Abb.3: Theorie und Realit¨
at
B. Ruh, 1999
3
Vortrag Kanti
Anregungen
1. Berechne Volumen und Dichte (m=8090 t) des Turms.
2. Zu wie vielen Prozent ist der Turm tats¨
achlich ausgef¨
ullt (ρFe = 7.86).
3. Unter welchem Winkel steigt die Kurve an und welche L¨
ange hat sie?
4. Ist der Druck tats¨achlich konstant?
2
Die Golden Gate Bridge (1937)
Welche Form haben die Kabel zwischen den beiden Hauptpfeilern? Wir treffen diesmal die Annahme, dass das Gewicht der Kabel gegen¨
uber dem Gewicht der Fahrbahn vernachl¨
assigt werden kann
(tats¨achlich betr¨agt ihr Anteil 24%).
Die drei an einem St¨
uck Kabel angreifenden Kr¨
afte T, T0
und FG sind im Gleichgewicht. Somit ist
T0 = T cos α und FG = T sin α
und deshalb
T sin α
FG
=
T cos α
T0
f (x) =
Abb.4: Die 3 auf das Kabel wirkenden Kr¨
afte
Nun ist T0 eine Konstante und FG = c · x (unsere Annahme), wobei c das Gewicht eines Laufmeters
der Br¨
ucke bezeichnet. Das eher u
¨berraschend einfache Resultat ist damit die Parabelfunktion
f (x) =
c 2
x
2 T0
Aus den technischen Daten
L
H
B
c
=
=
=
=
L¨ange zwischen den Pfeilern
H¨ohe der Pfeiler
H¨ohe der Br¨
ucke
Gewicht pro Laufmeter
=
=
=
=
1280 m
227 m
84 m
37 t/m
ergibt sich
f (x) =
143 2
x
6402
und T0 = 53000 t
Anregungen
1. Berechne αmax und daraus Tmax .
2.
a) Berechne ann¨ahernd die L¨ange des Kabels zwischen den Pfeilern.
b) Das Kabel besteht aus 61 Str¨angen. Jeder Strang besteht aus 452 Dr¨
ahten. Welche L¨
ange
besitzen alle Dr¨ahte zusammen?
3. Der Durchmesser des Kabels betr¨agt 92 cm. Welcher maximale Druck wirkt auf das Kabel?
B. Ruh, 1999
4
Vortrag Kanti
3
Der Gateway Arch von Saint Louis (1965)
¨
Im Jahre 1947 schrieb die Stadt Saint Louis einen Wettbewerb f¨
ur ein Bauwerk aus, das die Offnung
Amerikas symbolisieren sollte.Der erste Preis ging an den Finnen Eero Saarinen, dessen Werk - eine
Art Triumphbogen - erst nach jahrelangem Planen im Jahre 1965 vollendet wurde, 4 Jahre nach
Saarinens Tod.
Die Form des Bogens entspricht jener einer h¨
angenden Kette (Kettenlinie), welche nach oben gedreht
wurde. Bekanntlich besteht ein Zusammenhang zwischen dem Graphen der Funktion
f (x) = cosh(x) =
ex + e−x
2
und der Kettenlinie. Hier die Herleitung:
Im Unterschied zum Br¨
uckenproblem ist nun FG = c · s. Wegen
x
1 + (f (t))2 dt
s=
0
folgt
x
FG
f (x) =
=c
T0
Abb.5: Die 3 auf eine Kette wirkenden Kr¨
afte
2
1 + (f (t)) dt .
0
Differenzieren liefert die Differentialgleichung
f
2
= c2 1 + f
2
,
welche mit etwas Technik gel¨ost werden kann. Etwas einfacher geht es, wenn man noch einmal differenziert
2f f
= 2c2 f f
f
= c2 f
f
= c2 f
osung lautet also
Bekannte L¨osungen sind f1 (x) = ecx und f2 (x) = e−cx . Die allgemeine L¨
f (x) = Aecx + Be−cx
Die Integrationskonstanten findet man aus f (0) = 0 und f (0) = 1c . Es folgt
f (x) =
1
1 ecx + e−cx
= cosh(cx)
c
2
c
Anregungen
1. Berechne die Gleichung des ¨ausseren Bogens (H¨
ohe = Breite = 192 m) und jene des inneren
Bogens (H¨
ohe = 187 m, Breite = 163 m). Zeichne die Kurven.
2. Berechne die L¨angen und die gr¨ossten Steigungswinkel der Kurven.
B. Ruh, 1999
5
Vortrag Kanti
Bemerkung
Die Sch¨
ulerinnen und Sch¨
uler sollten erleben, dass die Kettenlinie keine Parabel ist. Dazu eignet sich
z.B. ein festes Blatt, auf dem man in den Punkten (−5/25) und (5/25) eine Kette h¨
angt, die durch
2
den Ursprung geht. Die entsprechende Parabel y = x unterscheidet sich klar von der Kettenlinie.
Abb.6: Parabel und Kettenlinie
4
Schlusswort (1999)
Der Unterricht in den mathematischen F¨achern wird sich im Zusammenhang mit der ber¨
uchtigten
MAR ziemlich ver¨andern (m¨
ussen). So ist das Fach ’Anwendungen der Mathematik’ mit dem Kapitel
darstellende Raumgeometrie nur noch im Schwerpunktfach ’Physik und Anwendungen der Mathematik’ ein Thema (was die k¨
unftigen Chemiker sicher bald bedauern werden.)
Immerhin zwingt uns die Reform auch dazu, neue Akzente zu setzen, was sich durchaus auch positiv
auswirken kann. So sehen wir uns dazu aufgefordert, geeignete Probleme gemeinsam mit anderen
F¨
achern (insbesondere mit der Physik) zu behandeln. Dazu soll mein Vortrag eine Anregung sein. Zur
Vertiefung sei auf folgendes Buch hingewiesen:
Robert B. Bank, Towing Icebergs, Falling Dominoes, Princeton 1998
Die Unterlagen sind didaktisch nicht bis ins letzte Detail aufbereitet. Eine ’perfekte’ Vorlage ist meiner
Erfahrung nach nicht nur unn¨otig sondern sogar hinderlich, da jede Lehrkraft das Stoffgebiet dem
eigenen Stil anpassen muss (und will!).
B. Ruh, 1999
6
Vortrag Kanti
Anhang: ’Seiligumpe’
Wird ein h¨angendes Seil rotiert, so entsteht eine Kurve (Troposkein), deren mathematische Behandlung schwieriger ist.
Auf das Seil wirkt an jeder Stelle die Zentrifugalkraft
ω2 · y
= mω 2 y
y
FZ = m ·
Daher gilt
Abb.7: Rotierendes Seil
x
y·
a
1 + f (t)2 dt = −f (x),
a=
0
ρ ω2
,
T0
woraus die Differentialgleichung
−ay
1+f
2
=f
abgeleitet wird. Diese Differentialgleichung enth¨
alt die Variable x nicht und kann daher durch die
Einf¨
uhrung von p(y) = f (x), d.h. p · p = f , um einen Grad reduziert werden:
−ay
1 + p2 = p p
Separieren der Variablen und Integration f¨
uhrt auf
−a
p
y dy =
1 + p2
−cy 2 + A =
1 + p2 ,
dp
c=
a
2
Die Integrationskonstante wird aus p(H) = 0 berechnet. Es folgt nun
p(y) =
c(H 2 − y 2 ) (2 + c(H 2 − y 2 )) = f (x)
Nun wird wieder separiert:
dy
dx =
c(H 2 − y 2 ) (2 + c(H 2 − y 2 ))
Nach der Substitution y = H sin ϕ und etwas Algebra erh¨
alt man
x + B = F (k, ϕ)
,
k2 =
1
1+
4T0
ρ ω2 H 2
wobei
ϕ
dϕ
F (k, ϕ) =
0
1 − k2 sin2 ϕ
das elliptische Integral erster Art bezeichnet. Aus den Randbedingungen erh¨
alt man schliesslich die
Parameterdarstellung der Kurve:
x=d 1−
F (k, ϕ)
F (k, π2 )
,
y = H sin(ϕ)
B. Ruh, 1999
7
Vortrag Kanti
Beispiel: Schnell rotierendes Seil und h¨
angendes Seil gleicher L¨
ange (mit MAPLE)
>
restart;k:=99/100;d:=1;H:=1;
k :=
99
100
d := 1
H := 1
>
F:=phi->int(1/sqrt(1-k^2*sin(t)^2),t=0..phi):
Definition von x(ϕ)
>
x:=unapply(d*(1-F(phi)/F(Pi/2)),phi);
φ
x := φ → 1 −
>
y:=phi->-H*sin(phi):
>
x1:=D(x):y1:=D(y):
100
10000 − 9801 sin(t)2
99
)
EllipticK(
100
0
dt
Die L¨
ange des rotierenden Seiles
>
s:=evalf(int(sqrt(x1(phi)^2+y1(phi)^2),phi=0. .Pi));
s := 3.198599853
>
RotSeil:=plot([x(phi),y(phi),phi=0..Pi],color =black):
Das h¨
angende Seil
>
f:=x->cosh(c*x)/c+A:
>
f1:=D(f):
>
ss:=int(sqrt(1+f1(x)^2),x=-d..d):
>
fsolve({ss=s,f(1)=0},{c,A});
{c = 1.756087451, A = −1.697654548}
>
assign(");
>
Seil:=plot(f(x),x=-1..1,thickness=2,color=bla ck):
>
with(plots):display(RotSeil,Seil);
-1
x
0.5
-0.5
1
0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1
B. Ruh, 1999
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