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10. Klasse TOP 10 Grundwissen 10 Bogenmaß 10 - Digitale Schule

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Erkl¨arung
Wegen des Kreisumfangs 2rπ = 2π (f¨ur r = 1) ist dementsprechend
✬✩
1✓ b
✓ϕ
✫✪
360◦ = 2π
¨ Umrechnungen
Beispiele fur
Gradmaß → Bogenmaß: 17◦ ist
17
des Vollwinkels, also 17◦ = 360
· 2π.
π
1
Bogenmaß → Gradmaß: π3 ist 3 = des Vollwinkels, also π3 = 60◦ .
2π
6
π
◦
Merke auswendig: 2 = 90 .
17
360
Taschenrechner und Gradmaß/Bogenmaß
Bei Verwendung der trigonometrischen Funktionen sin, cos, tan ist der Taschenrechner zuvor je nach Bedarf auf Gradmaß oder Bogenmaß einzustellen (siehe Bedienungsanleitung
des Taschenrechners, bei manchen z. B. mit den Tasten MODE 4/MODE 5 oder durch wiederholtes Dr¨ucken einer DRG-Taste). Im Display des Taschenrechners wird dies meist durch
RAD beim Bogenmaß und DEG (oder nichts) beim Gradmaß angezeigt.
√
√
Beispiel: Im Gradmaß ist sin 45◦ = 12 2 ≈ 0,71, im Bogenmaß sin π4 = 12 2 ≈ 0,71.
Wann Bogenmaß, wann Gradmaß?
Dies h¨angt nat¨urlich von der Situation und der Aufgabenstellung ab. Sofern nichts anderes
verlangt ist, kann man sich an folgenden Anhaltspunkten orientieren:
• Geometrische Berechnungen an Dreiecken und Vierecken: Gradmaß.
• Wenn das ◦ -Zeichen in der Aufgabenstellung vorkommt: Gradmaß.
• Wenn π in verwendeten Formeln oder der Aufgabenstellung vorkommt: Bogenmaß.
• Beim Zeichnen von Funktionsgraphen, wenn nichts anderes verlangt ist: Bogenmaß.
• In der Physik bei Formeln zur Kreisbewegung und zu Schwingungen, z. B.
y = a sin ωt: Bogenmaß.
✝✆
✝✆
Letzteres hat seinen Namen daher, die Bogenl¨ange, die der Winkel aus
einem Kreis mit Radius 1 ausschneidet, als Maß f¨ur den Winkel zu verwenden.
✝✆
✝✆
Winkel k¨onnen gemessen werden im Gradmaß (Vollwinkel = 360◦ ) oder im Bogenmaß (Vollwinkel = 2π).
✝✆
✝✆
10
10
www.strobl-f.de/grund100.pdf
10. Klasse TOP 10 Grundwissen
Bogenmaß
Beispiel 1:
Dividend
Divisor
(x3 − 4x2 + 10x − 12) : (x − 2) = x2 . . .
x3 − 2x2
Bis jetzt steht also da:
Da jetzt subtrahiert werden muss (hier
−(x3 − 2x2 ) = −x3 + 2x2 ), ist
es zweckm¨aßig, die Vorzeichen durch
dar¨uberschreiben zu a¨ ndern und dann
zu rechnen:
Das Verfahren wird nun fortgesetzt
(h¨ochste Potenzen dividieren:
−2x2 : x = −2x anschreiben, dann
mit Divisor multiplizieren: −2x · x =
−2x2 und −2x · (−2) = +4x notieren), dann steht da:
Wieder werden die Vorzeichen gea¨ ndert, die entsprechende Rechnung
durchgef¨uhrt (hier 10x − 4x = 6x),
die n¨achste Stelle heruntergeholt und
abermals das ganze Verfahren durchgef¨uhrt, bis dasteht:
(x3 − 4x2 + 10x − 12) : (x − 2) = x2 . . .
−x3 + 2x2
↓
↓
↓
Man rechnet
↓
−4x2 +2x2 =−2x2
↓
↓ n¨achste Stelle herunterholen
2
− 2x + 10x
(x3 − 4x2 + 10x − 12) : (x − 2) = x2 − 2x . . .
−x3 + 2x2
− 2x2 + 10x
− 2x2 + 4x
(x3 − 4x2 + 10x − 12) : (x − 2) = x2 − 2x + 6
−x3 + 2x2
− 2x2 + 10x
+ 2x2 − 4x
6x − 12
− 6x + 12
0
Bleibt Rest 0, so ist die Polynomdivision ist aufgegangen.
Beispiel 2: Division mit Rest
(Den Vorzeichenwechsel m¨oge der Leser mit Farbstift in den jeweils unterstrichenen Zeilen selbst vornehmen)
(2x5 + 6x4 − x3 + 4x2
− 70) : (x + 3) = 2x4 − x2 + 7x − 21 −
✸
✑
✑
2x5 + 6x4 ↓
↓
✑
✑
0 − x3 + 4x2
Man denke sich 0 · x
✑
3
2
✑
− x − 3x
✑
✑
7x2
✑
✑
7x2 + 21x
✑
✑
✑
− 21x − 70
✑
✑
− 21x − 63
✑
−7 ✑
7
x+3
✝✆
✝✆
Die Polynome werden — wenn nicht schon geschehen — nach fallenden Potenzen geordnet.
Man beginnt mit der Division der h¨ochsten Potenzen von Dividend und Divisor, hier also
x3 : x. Das Ergebnis (hier x2 ) schreibt man rechts vom Gleichheitszeichen an; dieses Ergebnis multipliziert man mit dem Divisor (hier also x2 · (x − 2) = x3 − 2x2 ) und notiert dies
unter dem Dividenden.
✝✆
✝✆
(x3 − 4x2 + 10x − 12) : (x − 2)
✝✆
✝✆
10
01
www.strobl-f.de/grund101.pdf
10. Klasse TOP 10 Grundwissen
Polynomdivision
x3 + 4x2 − 11x + 6 = 0
(∗)
x1 = 1. Polynomdivision
(x3 + 4x2 − 11x + 6) : (x − 1) = x2 + 5x − 6.
√
x2/3 = −2,5 ± 6,25 + 6, also x2 = 1, x3 = −6. Somit
x1/2 = 1 doppelte L¨osung,
x3 = −6 einfache L¨osung,
Faktorzerlegung
x3 + 4x2 − 11x + 6 = (x − 1)2 (x + 6)
• Bleibt im 3. Schritt eine quadratische Gleichung ohne L¨osung, so ist keine weitere
Faktorzerlegung m¨oglich. Beispiel: x3 − 2x2 + x − 2 = (x − 2)(x2 + 1)
Zum Erraten einer L¨osung
Kandidaten sind die Teiler der Konstanten. In (∗) kommen also ±1, ±2, ±3, ±6 in Frage.
(Denn: Beim umgekehrten Ausmultiplizieren der Faktorzerlegung erkennt man, dass die Konstante das Produkt der L¨osungen ist).
In speziellen Situationen (z. B. Schnittpunkt zweier Funktionsgraphen, Hinweise im Text einer Pr¨ufungsaufgabe) kann es vorkommen,
dass eine L¨osung schon bekannt ist.
✝✆
✝✆
Spezialf¨alle
• Mehrfache L¨osungen sind entsprechend zu kennzeichnen. Beispiel:
✝✆
✝✆
Beispiel:
x4 − 4x2 − 2x = x3
1. Schritt: Gleichung nach 0 aufl¨osen:
x4 − x3 − 4x2 − 2x = 0
2. Schritt: Falls die Konstante fehlt, x ausklammern:
x(x3 − x2 − 4x − 2) = 0
Das Produkt ist 0, wenn einer der Faktoren 0 ist, also:
x1 = 0 oder . . .
3. Schritt:
x3 − x2 − 4x − 2 = 0
L¨osung erraten“ (siehe unten):
x2 = −1
”
3
2
2
(x − x − 4x − 2) : (x + 1) = x − 2x − 2
Polynomdivision durch
x minus L¨osung“
x3 + x2
”
(→ Grundwissen 10. Klasse: Polynomdivision; den dort er−2x2 − 4x
kl¨arten Vorzeichenwechsel m¨oge der Leser mit Farbstift in den
−2x2 − 2x
jeweils unterstrichenen Zeilen selbst vornehmen)
− 2x − 2
− 2x − 2
0
Die Polynomdivision muss aufgehen, andernfalls hat man beim Raten der L¨osung oder bei
der Polynomdivision einen Fehler gemacht.
Also ist x3 −x2 −4x−2 = (x+1)(x2 −2x−2),
und dieser Ausdruck ist 0, wenn x2 = −1 oder
x2 − 2x − 2 = 0 ist.
Das Verfahren (L¨osung erraten, Polynomdivision) wird so lange durchgef¨uhrt, bis sich eine
Gleichung ergibt, die mit einem Standardverfahren gel¨ost werden kann (quadratische Gleichung).
2
4. Schritt: L¨ose die quadratische Gleichung:
√0
√x − 2x − 2 =
x3/4 = 1 ± √1 + 2 = 1 ± √3
Die L¨osungen sind also:
x1 = 0, x2 = −1, x3 = 1 + 3, x4 = 1 − 3
Eine Gleichung n-ten Grades (hier 4. Grades) kann bis zu n L¨osungen haben.
√
√
Faktorzerlegung:
x4 − x3 − 4x2 − 2x = x(x + 1)(x − (1 + 3))(x − (1 − 3))
(Faktoren x minus L¨osung“; hier sieht man nochmal, dass das Produkt 0 ist, wenn einer der
”
Faktoren 0 ist)
✝✆
✝✆
10
2
www.strobl-f.de/grund102.pdf
10. Klasse TOP 10 Grundwissen
Gleichungen h¨oheren Grades
Bezeichnungen: ax heißt Potenz, a Basis, x Exponent
a · a · ... · a
x St¨uck gleiche Faktoren
✝✆
✝✆
Bedeutung: ax =
✝✆
✝✆
10
03
www.strobl-f.de/grund103.pdf
10. Klasse TOP 10 Grundwissen
Rechnen mit Potenzen
Allgemeine Rechenregeln:
✝✆
✝✆
• Multiplizieren bei gleicher Basis: ax · ay = ax+y . Beispiel: a2 · a3 = a5
• Multiplikation/Division bei gleichem Exponenten: ax · bx = (ab)x ;
ax
bx
= ( ab )x
• Potenzen potenzieren: (ax )y = ax·y . Beispiel: (35 )2 = 35 · 35 = 310
1
Negative Exponenten sagen: Ich stehe im Nenner“: a−x = x
”
a
Beispiel: ms−1 = ms
Umgekehrt ergeben sich oft bequeme Rechnungen, wenn man anstelle eines Nenners einen
5
Ausdruck mit negativem Exponenten schreibt: aa2 = a5 · a−2 = a3
√
1
¨
Bruche
als Exponenten sagen: Ich bin eine Wurzel“: a n = n a
”
Beispiele:
√
1
x2 = x
√
√
√
√ √ √
√
3
1
3
1
x 2 = (x3 ) 2 = x3 = x2 · x = x x oder x 2 = (x 2 )3 = x x x = x x oder
√
3
1
1
x 2 = x1+ 2 = x1 · x 2 = x x
√
√
3
a· 6a
=
Umgekehrt lassen sich Wurzeln oft bequemer als Potenzen weiterverarbeiten, z. B. √
a
1
1
1
a 3 · a 6 · a− 2 = a0 = 1
Vorsicht:
• Summen/Differenzen (z. B. a5 − a7 ) k¨onnen nicht zusammengefasst werden.
Sondern: Gemeinsame Faktoren ausklammern, eventuell binomische Formeln suchen,
sonst stehen lassen. Beispiel: a5 − a7 = a5 (1 − a2 ) = a5 (1 + a)(1 − a).
1
• Bei Summen/Differenzen (z. B. (a + b)3 , (x − 1)− 4 ) nicht einzeln potenzieren!
Sondern: Ausmultiplizieren (binomische Formeln): (a + b)3 = a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3 ,
1
1
1
[(x − 1)− 4 ]2
oder zusammenfassen: √
= (x − 1)− 2 · (x − 1)− 2 = (x − 1)−1 =
x−1
sonst stehen lassen.
1
,
x−1
Zehnerpotenzen
verwendet man zur Angabe sehr großer oder sehr kleiner Zahlen (z. B. 103 = 1000 hat 3
Nullen; 3,5 · 10−3 = 3,5 · 1013 = 0,0035: Kommaverschiebung um 3 Stellen).
Manche Taschenrechner zeigen Zehnerpotenzen im Display z. B. so an: 1,4−04 ; dies muss
aber mit 10 hoch“ auf das Papier geschrieben werden: 1,4 · 10−4 .
”
Umgekehrt: Eingabe einer Zehnerpotenz mit dem Taschenrechner: Meist Exp- oder EETaste. Beispiele:
73 Millionen = 73 · 106 = 7,3 · 107 : Tippe 7,3 Exp 7
10−12 = 1 · 10−12 : Tippe 1 Exp 12 +/− (Display: 1−12 )
Je nach Taschenrechner kann man die Anzeige von Zehnerpotenzen mit gewissen Tastenkombinationen a¨ ndern,
z. B. MODE 9 oder ENG oder FSE, siehe Bedienungsanleitung des Taschenrechners.
In manchen F¨allen sind zus¨atzliche Umformungen (z. B. Klammern ausmultiplizieren, Terme zusammenfassen)
oder Substitutionen (bei mehrfachem Vorkommen eines Rechenausdrucks) erforderlich.
8 − 10x2 = 0
Nach x2 aufl¨osen.
0, 1 oder 2 L¨osungen!
Alles auf eine Seite;
x ausklammern
Mit HN multiplizieren.
Definitionsmenge!
−x2 = x2 − 2x
1
x
−2=
5
8+5x
Reinquadratisch
Keine Konstante
Bruchgleichung
√
x− 1 − x2 = 1 Wurzelgleichung
Definitionsmenge!
Wurzel isolieren;
quadrieren; Probe!
Weitere Sonderformen und Genaueres siehe grund91.pdf
10x4 + 6x3 − Gleichung
x ausklammern, falls
24x2 + 8x = 0
h¨oheren
keine Konstante;
Grades
L¨osung raten,
Polynomdivision
(→ grund102.pdf)
4
x =5
Reine
Umkehroperation
4
x = −5
Potenzhoch 4 ↔ hoch 14 .
x3 = 5
Gleichung
Auf Vz und Exponenten
3
x = −5
(Basis x)
[gerade/ungerade] achten.
√
4
x=5
WurzelUmkehroperation
√
3
x = −5
gleichung
hoch 14 ↔ hoch 4
1,05x = 2
ExponenBeide Seiten
tialgl.
logarithmieren
(Exponent x)
log10 x = 3
sin x = 0,6
Logarithmisch
Trigonometrische
Gleichung
sin x+cos x = 1 Trigonometrische
Gleichung
Beispiel
5x = −8; x = − 85
10x2 + 16x √
−8=0
−16±
162 −4·10·(−8)
x1/2 =
2·10
x1 = −2; x2 = 0,4
√
8
x2 = 10
; x = ± 0,8
;
2x2 − 2x = 0; x(2x − 2) = 0;
x1 = 0, x2 = 1
D = IR\{0; − 85 };
8 + 5x − 2x(8 + 5x) = 5x;
x
√1 = −2, x2 = 0,4
1 − x2 = x−1; D = [−1; 1]
1 − x2 = x2 − 2x + 1
♣
x1 = 0 ♣♣♣ ❄; x2 = 1
x1 = 0;
x2 = 1 erraten“. Pol.div.
”
(10x3 + 6x2 − 24x + 8) : (x −
1) = 10x2 + 16x − 8;
x3 = −2, x4 = 0,4
√
1
x = ±5 4 = 4 5
Keine L¨osung
√
1
x = 53 = 3 5
√
1
x = −5 3 = − 3 5
x = 54
Keine L¨osung
log 1,05x = log 2;
x log 1,05 = log 2;
2
x = loglog1,05
≈ 14,2
log x
Umkehroperation
10
= 103 ;
logb ↔ b hoch . . .
x = 103 = 1000
Spezielle Werte weiß x1 ≈ 0,64, x2 = π − x1 ≈
man; sonst Taschen- 2,50 (hier Bogenmaß).
rechner (SHIFT) sin−1 Sich Funktionsgraph vorstellen!
Weitere Lsgen 2π-periodisch
√
2
2
Mit sin + cos = 1 Mit cos x = ± 1 − sin2 x
(und eventuell Addi- und Substitution
folgt:
√
2
tionstheorem)
alles u ± 1 − u = 1;
z. B. durch sin aus- u1 = 0 (nur f¨ur +“), u2 = 1.
”
dr¨ucken, Substitution sin x = 0 liefert x = 0
u = sin x.
(x = π nicht wegen Probe),
Je nach Situation auch sin x = 1 liefert x = π2 .
andere L¨osungsverfahren!
Weitere Lsgen 2π-periodisch
✝✆
✝✆
L¨osungsverfahren
x’e auf eine Seite
Alles auf eine Seite;
Formel
√
2
x1/2 = −b± 2ab −4ac
✝✆
✝✆
Typ
Name
8 + 5x = 0
Linear
2
8−11x−10x = Quadrati5x
sche
Gleichung
✝✆
✝✆
10
04
www.strobl-f.de/grund104.pdf
10. Klasse TOP 10 Grundwissen
L¨osen von Gleichungen (10. Klasse)
¨
Dabei ist die Kreiszahl π ≈ 3,14, f¨ur Uberschlagsrechnungen
π ≈ 3.
ϕ
360◦
(bzw.
ϕ
,
2π
✬✩
b
wenn ϕ im Bogen-
€€
✫✪
Kugel:
Volumen V = 43 πr3 , Oberfl¨ache O = 4πr2 .
Tipp: Bei Berechnungen Einheitenkontrolle: Fl¨achen m¨ussen sich wegen r2“ in der Einheit m2 , dm2 , cm2 , . . .
”
ergeben, Volumina wegen r3“ in m3 , dm3 =Liter, cm3 , . . .
”
Zylinder
Volumen (wie beim Prisma Grundfl¨ache mal H¨ohe h): V = r2 πh
Mantelfl¨ache (in der Abbildung punktiert, denke man sich abgewickelt!): M = 2πrh
Oberfl¨ache (Mantel + Deckel + Boden): O = 2πrh + 2r2 π
Pyramide
Volumen V = 13 Gh (G=Grundfl¨ache)
Oberfl¨ache: Grundfl¨ache + dreieckige Seitenfl¨achen, deren Maße man
oft mit Pythagoras ermitteln kann.
❉❅
❉ ❅
❉ ❅
❉
✂✂
❍❍
❉ ✂
❍
❍❍ ❉ ✂
❉
❍✂
Kegel
Volumen (wie bei der Pyramide 13 Grundfl¨ache mal H¨ohe): V = 13 r2 πh
Mantelfl¨ache (l¨asst sich zum Kreissektor abwickeln!): M = πrm.
Dabei ist m die Mantellinie von der Spitze
zum Umfang unten, die mit Pytha√
2
goras berechnet werden kann: m = r + h2
Oberfl¨ache (Mantel + Boden): O = πrm + r2 π
✂❇
✂ ❇
✂
✂
✂ h
✂
✂
✂
✂
❇
❇m
❇
❇
❇
❇
❇
r
Kegelstumpf
Hierf¨ur gibt es auch fertige“ Formeln, die man in der Regel nicht auswendig weiß, sondern
”
in der Formelsammlung nachschl¨agt oder sich selbst herleitet. Hierzu beachte man, dass sich
mit der H¨ohe in gleichem Maß der Radius a¨ ndert (Strahlensatz verwenden!).
✝✆
✝✆
Kreissektor mit Winkel ϕ:
Fl¨ache A und Bogenl¨ange b sind Bruchteil
maß) von Kreisfl¨ache bzw. Kreisumfang:
ϕ
ϕ
ϕr 2
2
2
A = 360
),
◦ · r π (bzw. A = 2π · r π =
2
ϕ
ϕ
b = 360◦ · 2rπ (bzw. b = 2π · 2rπ = rϕ)
✝✆
✝✆
Kreis mit Radius r:
Fl¨ache A = r2 π, Umfang u = 2rπ.
✝✆
✝✆
10
05
www.strobl-f.de/grund105.pdf
10. Klasse TOP 10 Grundwissen
Kreis, Kugel, Zylinder, Pyramide, Kegel
Hypotenuse
✟
(dem rechten Winkel ✟✟
✟
gegen¨uber)
✟✟
✟
b ✛
✟
r
✟✟
a
✟✟ϕ
Ankathete
(am Winkel ϕ anliegend)
Gegenkathete
(dem Winkel ϕ
gegen¨uber)
Beispiele:
1. Gegeben: α = 50◦ , b = 2
b✪
♣
✪❧
✪
✪
✪α
❧a
❧
❧
c
✡
✡r
✡
✡
✡
q P (x|y)
Ankathete , sin ϕ = b = Gegenkathete ,
= Hypotenuse
r
Hypotenuse
b
b
Gegenkathete
sin ϕ
= ar = =
tan ϕ = cos
ϕ
a
Ankathete
r
cos ϕ =
a
r
Hier ist b die Ankathete von α, a die Gegenkathete.
cos α = cb ⇒ c = cosb α = cos250◦ ≈ 3,1
sin α = ac ⇒ a = c sin α ≈ 2,4 (oder Pythagoras!)
(Taschenrechner auf DEGREE, siehe auch grund100.pdf)
❧
❧
2. Gegeben: P (−2| − 3)
y✻
ϕ
x = −2
✲
x
✡
✡
y = −3
Denkt man sich das nebenstehende Dreieck mit dem Faktor 1r
gestreckt (bzw. gestaucht), so erh¨alt man eines mit Hypotenuse 1,
Ankathete ar und Gegenkathete rb und kann obige Erkl¨arung von
sin und cos am Einheitskreis anwenden:
√
√
Pythagoras liefert r = x2 + y 2 = 13.
tan ϕ = xy = −3
= 32 .
−2
Je nach Taschenrechner ermittelt man meist mit den Tasten
(SHIFT) tan−1 vor oder nach Eingabe des Wertes 32 einen
Winkel von ca. 56,3◦ .
Da P im III. Quadranten liegt, sind 180◦ zu addieren, somit
r ≈ 3,6, ϕ ≈ 236,3◦ .
✝✆
✝✆
Beispiel:
F¨ur den Punkt mit r = 1, ϕ = 120◦ ( Polarkoordinaten“) erh¨alt man x = sin 120◦ = − 12 =
√
”
−0,5, y = cos 120◦ = 12 3 ≈ 0,87 ( kartesische Koordinaten“)
”
Tangens, Kotangens
sin ϕ
ϕ
tan ϕ = cos
, cot ϕ = cos
= tan1 ϕ
ϕ
sin ϕ
Trigonometrischer Pythagoras
Wegen x2 + y 2 = 1 ist (sin ϕ)2 + (cos ϕ)2 = 1, Kurzschreibweise: sin2 ϕ + cos2 ϕ = 1.
Additionstheoreme
sind Formeln f¨ur sin(α + β), sin(2α) usw. → Formelsammlung
sin, cos, tan am rechtwinkligen Dreieck
✝✆
✝✆
Sinus, Kosinus am Einheitskreis (= Kreis mit Radius r = 1)
y✻
cos ϕ = x, sin ϕ = y
II
I
1
Insbesondere ergibt sich also z. B.
(x|y)
• f¨ur ϕ √= 30◦ ein halbes“ gleichseitiges Dreieck mit
r
1✧
✧✛ y
”
✧
x = 12 3, y = 12 ,
✧ϕ
✲
x 1 x
0
• f¨ur ϕ = 45◦ ein√gleichschenkliges
Dreieck ( halbes Qua√
”
drat“) mit x = 12 2, y = 12 2.
III
IV
Weitere Werte → Formelsammlung/Taschenrechner.
Ferner ergeben sich die Vorzeichen in den einzelnen Quadranten I–IV (zum Winkel im Bogenmaß → grund100.pdf):
ϕ
0◦ = 0 I 90◦ = π2 II 180◦ = π III 270◦ = 3π
IV 360◦ = 2π
2
cos ϕ = x
1
+
0
−
−1
−
0
+ periodisch
sin ϕ = y
0
+
1
+
0
−
−1
− von vorne
✝✆
✝✆
10
06
www.strobl-f.de/grund106.pdf
10. Klasse TOP 10 Grundwissen
sin, cos, tan am rechtwinkligen Dreieck
sin
sin
tan = cos
y✻
cos
y✻
y✻
1
1
−1
−1
1
✲
2π x
π
2
Merke: Der cos-Graph geht im Koordinatensystem durch
den Punkt (0|1), der sin-Graph steigend durch den Punkt
(0|0).
sin und cos sind 2π-periodisch.
✲
2π x
π
2
−1
π-periodisch,
D = IR\{± π2 , ± 3π
, . . .}
2
Verschiebung und Streckung von Funktionsgraphen
Allgemeine Form: y = a sin(b(x + c)) + d = a sin(bx + e) + d
Man unterscheide dabei den außen“ stehenden Faktor a und Summanden d, die den Graphen
”
in y-Richtung ver¨andern, und den innen“ bei x stehenden Faktor b und Summanden c bzw.
”
e.
Um den Funktionsgraphen ausgehend vom normalen sin-Graphen zu zeichnen, denke man
sich eine Wertetabelle. Man erkennt dann:
+d bewirkt, dass alle y-Werte um d gr¨oßer werden, d. h. der Funktionsgraph wird um d
nach oben verschoben (bzw. bei negativem d nach unten).
·a bewirkt, dass die y-Werte mit a multipliziert werden, d. h. der Funktionsgraph wird in
y-Richtung um den Faktor a gestreckt (bzw. bei |a| < 1 gestaucht), bei negativem a
zus¨atzlich an der x-Achse gespiegelt.
·b bewirkt, dass man f¨ur x jetzt das 1b -fache einsetzen muss, um das gleiche Ergebnis zu
erhalten wie ohne diesen Faktor, d. h. der Graph wird in x-Richtung um den Faktor
1
gestaucht (bzw. bei |b| < 1 gestreckt), bei negativem b zus¨atzlich an der y-Achse
b
gespiegelt.
+c bewirkt, dass f¨ur x jetzt um c weniger eingesetzt werden muss, um das gleiche Ergebnis zu erhalten wie ohne diesen Summanden, d. h. der Graph wird in x-Richtung um
c nach links verschoben (bzw. bei negativem c nach rechts); beim obigen Term mit c
muss man den sin-Graphen zuerst stauchen, dann verschieben, beim zweiten Term mit
e zuerst um e verschieben, dann von der y-Achse aus stauchen.
In Zweifelsf¨allen fertigt man am besten eine kleine Wertetabelle.
Beispiel:
y = sin(2(x + π4 ))
y = sin(2x)
y✻
1
−1
y = −1,5 sin(2(x + π4 )) y = −1,5 sin(2(x + π4 )) + 2
y✻
✛
✲
π
2
1
✲
2π x
−1
y✻
✛
y✻
1
✲
2π x
π
2
Stauchung in x-Richtung Verschiebung um
auf halbe Periodenl¨ange nach links
π
4
−1
1
✻
π
2
✲
2π x
❄
−1
π
2
✻
✲
2π x
Streckung in y-Richtung Verschiebung in y-Richum Faktor 1,5; Spiege- tung um 2 nach oben
lung an x-Achse
✝✆
✝✆
✲
2π x
π
2
✝✆
✝✆
Hier wird meist der Winkel im Bogenmaß verwendet (→ grund100.pdf).
Wertetabelle → grund106.pdf
✝✆
✝✆
10
07
www.strobl-f.de/grund107.pdf
10. Klasse TOP 10 Grundwissen
sin, cos, tan: Graphen
Sinussatz:
sin α
a
=
b
sin β
❚
γ
b α
❚
❚ a
❚
❚
❚
β❚
c
(Die Seitenl¨angen verhalten sich wie die Sinuswerte der gegen¨uberliegenden Winkel)
Kosinussatz:
a2 = b2 + c2 − 2bc cos α
( verallgemeinerter Pythagoras“)
”
Problem bei Winkelberechnungen mit dem Sinussatz:
Die Gleichung sin α = s mit 0 < s < 1 hat im Intervall [0; 180◦ ] zwei L¨osungen (man
denke an den Graphen der sin-Funktion!), n¨amlich die vom Taschenrechner angezeigte ϕ1
y✻
und ϕ2 = 180◦ − ϕ1 .
1
s
ϕ1
−1
π
2
✲
2π x
ϕ2
Durch Zusatz¨uberlegungen (z. B. muss der gr¨oßeren Seite der gr¨oßere Winkel gegen¨uberliegen) findet man die richtige L¨osung, es kann aber auch sein, dass beide L¨osungen m¨oglich
sind.
Beispiel:
Man berechne den Winkel δ in der nebenstehenden Skizze.
Gegeben: a = 5, b = 4, c = 3, d = 4.
✔❅
❅b
✔ d✧✧δ❅
✔✧✧
❅
γ❅
✔ ε
✧
c✔
a
Vor¨uberlegung: Zur Berechnung von δ muss man das untere Teildreieck betrachten und
ben¨otigt hier eine weitere Gr¨oße; hierf¨ur bietet sich der Winkel γ an, da dieser auch im
ganzen Dreieck vorkommt und dort schon drei Seitenl¨angen bekannt sind. Von Sinussatz
und Kosinussatz kommt hierf¨ur nur der Kosinussatz in Frage, da er derjenige ist, in dem drei
Seitenl¨angen vorkommen.
c2 = a2 + b2 − 2ab cos γ ⇒ cos γ =
a2 +b2 −c2
2ab
=
25+16−9
2·5·4
= 0,8 ⇒ γ ≈ 36,9◦
Im unteren Teildreieck verwenden wir den Sinussatz (auch der Kosinussatz w¨are m¨oglich;
dabei w¨are dann eine quadratische Gleichung zu l¨osen).
sin δ
a
sin γ · a
= ⇒ sin δ =
= 0,75 ⇒ δ1 ≈ 48,6◦ oder δ2 ≈ 131,4◦
sin γ
d
d
Im ersteren Fall w¨are (Winkelsumme im unteren Teildreieck) ε ≈ 94,5◦ der gr¨oßte Winkel in
diesem Dreieck; da dort a die gr¨oßte Seite ist, muss jedoch der a gegen¨uberliegende Winkel
δ der gr¨oßte sein, also ist δ ≈ 131,4◦ .
✝✆
✝✆
Allgemeines Dreieck
Je nach gegebenen Gr¨oßen w¨ahlt man einen der folgenden
S¨atze:
✝✆
✝✆
Rechtwinklige Dreiecke → grund106.pdf
Gleichseitiges Dreieck → grund99.pdf
Gleichschenklige Dreiecke: Zerlegung durch die Symmetrieachse in zwei rechtwinklige Dreiecke
✝✆
✝✆
10
08
www.strobl-f.de/grund108.pdf
10. Klasse TOP 10 Grundwissen
Dreiecksberechnungen
✲
1
x
Achsensymmetrisch
bei geradem Exponenten
0
1
1
✲
1
x
0
✝✆
✝✆
0
1
✲
1
x
0
✲
1
x
Punktsymmetrisch
bei ungeradem Exponenten
Definitionsbereich: IR\{0}.
Ann¨aherung an die x-Achse f¨ur x → ±∞
(Asymptote)
√
1
Wurzelfunktionen
y = 3 x = x3
y✻
sind Umkehrfunktionen (→ grund110.pdf) der Potenzfunktionen
(Spiegelung des Graphen an der Winkelhalbierenden des I. Quadranten).
1
Definitionsbereich: IR+
0 = [0; ∞[
0
Exponentialfunktionen
y = 2x
y = 10−x
y✻
y✻
1
0
1
✲
1
x
Definitionsbereich: IR
Wertebereich: IR+ =]0; ∞[
0
✲
1
x
✲
1
x
Anwendungsbeispiele:
Zins und Zinseszins: Ein Guthaben steigt jedes Jahr um 5 %, d. h. mit Faktor 1,05. Nach
x Jahren liegt dann das Guthaben 1,05x vor
(exponentiell steigend).
Radioaktiver Zerfall: Der Vorrat an noch
nicht zerfallenen Atomkernen f¨allt in einer
gewissen Zeit jeweils auf die H¨alfte. Nach x
solchen Zeitabschnitten liegt dann nur noch
( 12 )x = 2−x von der Anfangsmenge vor (exponentiell fallend).
Logarithmusfunktionen
sind Umkehrfunktionen der Exponentialfunktion, und zwar
ist der Logarithmus zur Basis b, abgek¨urzt logb , die Umkehrung zur Exponentialfunktion mit Basis b.
Insbesondere steht am Taschenrechner mit der log-Taste
die Logarithmusfunktion zur Basis 10 zur Verf¨ugung, also
die Umkehrfunktion zur Exponentialfunktion mit der Gleichung y = 10x .
Rechenregeln: log(ab) = log a + log b
logb bx = x
log( ab ) = log a − log b
blogb x = x
log(ar ) = r log a
logb b = 1
y = log2 x
y✻
1
0
✲
1
✝✆
✝✆
1
Hyperbeln n-ter Ordnung
(negativer Exponent)
y = x−2 = x12
y = x−3 = x13
y✻
y✻
✝✆
✝✆
Potenzfunktionen
Parabeln n-ter Ordnung
(positiver Exponent)
y = x4
y = x3
y✻
y✻
10
09
www.strobl-f.de/grund109.pdf
10. Klasse TOP 10 Grundwissen
Potenz-, Wurzel-, exp-, log-Funktion
x
D = IR+
W = IR
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Gesundheitswesen
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