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Rechnernutzung in der Physik
Vorlesung:
Block 3: Datenanalyse
Funktionen von Zufallsgrößen und Fehlerfortpflanzung
Günter Quast
http://www.ekp.kit.edu/~quast
Fakultät für Physik
Institut für Experimentelle Kernphysik
WS 2013/14
Funktionen von Zufallsgrößen
Einfacher Fall: lineare Funktionen von Zufallsvariablen
Zufallsvariable:
Erwartungswert E[x]:
Varianz V[x]:
Bitte nicht die Kovarianzen vergessen, nur für unkorrelierte
Zufallsvariable gilt die einfache Fehlerfortpflanzung
bzw.
Variablentransformation
Eine Funktion u(x) einer Zufalls- Variablen x mit pdf f(x)
ist ebenfalls eine Zufallsvariable mit pdf g(u)
Oft ist die Kenntnis von g(u) notwendig:
- kinetische Energie ist eine Funktion des Quadrats der Geschwindigkeiten
- eine Größe ist eine Funktion verschiedener Messgrößen;
außer dem Fehler interessiert oft auch die Verteilungsdichte
- Erzeugung beliebiger Verteilungen durch Transformation von
gleichverteilten Zufallszahlen
Für diskrete Verteilungen ist die Berechnung trivial:
uk = u(xk) (u ist umkehrbar eindeutige Funktion von x)
Prob [ u(xk) ] = Prob [ xk ] für jedes k
Variablentransformation II
Kontinuierliche Verteilungen
u(x) ist eindeutig umkehrbare
Funktion von x
Es muss gelten:
P(x1 < x < x2) = P(u1<u<u2)
mit u1=u(x1), u2=u(x2)
(blau unterlegte Flächen)
Differentiell geschrieben:
| g(u) du | = | f(x) dx | oder
g(u) = f(x) |dx / du|
durch Integration folgt Gleichheit der
Verteilungsfunktionen: F(x) = G(u)
Variablentransformation III
Spezialfall: u(x) nicht eindeutig
Wenn u mehrdeutig ist, muss
über die Beiträge der einzelnen
Funktionsäste summiert werden:
g(u) =
{f(x) |dx / du| }
Ast1
{
+ f(x) |dx / du|
}
Ast1
+...
Variablentransformation - Beispiele
u = - ln(x) ;
|dx/du|=
exp (- u)
x gleichverteilt in ]0,1], d.h. f(x)=1
=>
g(u) = exp(-u)
u = exp (x) ;
dx/du = 1/ u
x gleichverteilt in ]0,1]
=>
g(u) = 1/ u
Oder andersherum: x=ln(u) gleichverteilt → pdf 1/u
Variablentransformation - Beispiele
x normalverteilt,
u= (x - μ)2 / σ2
dx/ = (2σ √u )-1
du
=>
Beiträge beider Äste sind gleich, also:
χ2- Verteilung für einen Freiheitsgrad
Variablentransformation in mehreren Dimensionen
„Multivariate Verteilungsdichten“
Wahrscheinlichkeitsdichte f(x,y);
x und y werden transformiert in u=u(x,y) und v=v(x,y)
Wieder muss gelten:
g(u,v) du dv = f(x,y) dx dy
d.h. g(u,v) = f(x,y) ∙ |J| ; dabei ist
|J| = det
(
∂x/∂u ∂x/∂v
∂y/∂u ∂y/∂v
)
die Jakobi- oder Funktional-Determinante
Ganz analog:
Erweiterung auf n Dimensionen, xi = xi(u1, u2, … , un), i=1, … , n
Funktionen von Zufallsgrößen
– Fehlerfortpflanzung
Fehlerfortpflanzung
Problem: eine Größe y hängt von Zufallsgrößen xi ab;
was ist die Varianz von y ?
Fragestellung tritt auch auf bei der Mittelung von Messungen
(der Mittelwert ist schließlich eine Funktion aller Einzelmessungen xi)
Falls die Verteilungsdichten der xi bekannt sind, könnte man mittels Variablentransformation die Verteilungsdichte von y bestimmen und die Varianz berechnen.
Wenn die Varianz der xi so klein ist, dass sich die Funktion y(x) im Bereich der Variation
der xi durch eine Gerade annähern lässt, hilft eine Taylor-Entwicklung um den Vektor
der Mittelwerte xm
y(x) = y(xm) + (∂y/∂x1 , … ,
∂y/∂xn
) (x-xm) + ...
geht, falls y näherungsweise lineare Funktion der xi ist
Fehlerfortpflanzung (2)
Betrachten allgemeinen Fall eines Vektors yj von Funktionen der xi, y(x)
(der Fall von eben entspricht z.B. y1=y(x1,...,xn) , y2=x2, ..., yn=xn)
=> y(x) ≈ y(xm) + T (x-xm),
Der Erwartungswert von y ist
(
)
Tij = ∂yi/∂xj
ist Matrix der ersten Ableitungen
< y> = ym = y(xm)
Die Kovarianz-Matrix der yj ergibt sich zu
Vy = < (y – ym) (y – ym)T >
=
=
< (y(xm)+ T(x-xm) - ym ) (y(xm)+ T(x-xm) - ym )T >
< ( T(x-xm) ) ( T(x-xm) )T >
< T (x-xm) (x-xm)T TT >
=
= T <(x-xm) (x-xm)T > TT
=
T Vx TT
Anmerkunen:
Zu den Fehlern von y tragen die Transformation
& die Kovarianzmatrix der xi entscheidend bei !
bei unkorrelierten xi können durch Transformation Korrelationen entstehen
korrelierte xi lassen sich durch geeignete Transformation „dekorellieren“
Fehlerfortplanzung
(3)
Falls die Kovarianzmatrix-Elemente der xi verschwinden (bzw. vernachlässigbar sind),
Cx also eine Diagonalmatrix ist, erhält man das bekannte Fehlerfortpflanzungsgesetz
für x1, x2 unkorreliert:
Quadrierter absoluter Fehler auf Summe
(oder Differenz) zweier Zahlen ist die
quadratische Summe ihrer absoluten Fehler
≈
Quadrierter relativer Fehler auf Produkt
(oder Verhältnis) zweier Zahlen ist die
quadratische Summer ihrer relativen Fehler
Fehlerfortplanzung (4)
Achtung: Korrelationen verändern das Bild sehr stark:
Beispiel:
aber mit Korrelationskoeffizient ρ=1
!
Tücken der
Fehlerfortpflanzung
Achtung: Bei nichtlinearen Transformationen y(x)
auf den Erwartungswert aufpassen:
Es gilt NICHT allgemein
E [y(x)] = y( E[x] )
sondern
Der zweite Term wird wichtig, wenn sich die
Steigung der Transformationsfunktion innerhalb
einer Standardabweichung von x erheblich ändert,
d.h. bei großer Krümmung.
Tücken der
Fehlerfortpflanzung (2)
Einfache Operationen mit gaußverteilten Zufallsvariablen (wie z.B. Anfängerpraktikum)
z=x+y
oder z=x-y klarer Fall: lineare Transfomation → z gaußförmig
z=x*y ? nach Vorschrift:
, aber ist z gaußverteilt ???
jedenfalls nicht immer !
Tücken der
z=x/y
Fehlerfortpflanzung (3)
, aber wie ist z verteilt ???
wieder nach Vorschrift:
z folgt nicht exakt einer Gaußverteilung !
Für normalverteilte x,y mit μ=0 und σ=1
folgt z sogar einer Cauchy-Verteilung:
σ ist hier gar nicht endlich !
Falls μy /y so groß, das y nicht negativ wird:
s. W.T. Eadie et al. (1971)
Was tun ?
Simulation zur Überprüfung der statistischen Verfahren !
Verteilung des Produktes zweier Zufallszahlen, Verteilung des Quotienten zweier Zufallszahlen,
je Gauss(μ=1, σ=0.3), u. Gauß-Funktion mit
Gauss(μ=6, σ=1) u. Gauss(μ=2, σ=1), u. GaußParametern aus naiver Fehlerfortpflanzung
Funktion mit Parametern aus naiver Fehlerfort(Beispiel xtimesy.C)
pflanzung
(Beispiel xovery.C)
Simulation mit Zufallszahlen ist der nächste Teil dieser Vorlesung !
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Gesundheitswesen
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