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Mathematische Strukturen fu
¨ r Studierende der Statistik
Georg Schollmeyer
L¨
osungsskizze
¨
1. Ubungsblatt
Aufgabe 1
Bei A handelt es sich nicht um einen Verband, denn die Menge M := {{a, b, c}, {a, b, d}}
besitzt die unteren Schranken M = {{a}, {b}, ∅} und diese Menge besitzt kein gr¨oßtes
Element, denn {a} {b}; {b} {a} und ∅ {a}.
Bei B handelt es sich um einen Verband. F¨
ur x, y ∈ B mit x ⊆ y gilt immer {x, y} = x,
denn die Menge der unteren Schranken M = {. . . , x, . . .} von M = {x, y} enth¨alt das
Element x und jede weitere untere Schranke von M ist kleinergleich x, denn x ist aus M .
Analog gilt {x, y} = y.
Bleibt noch, die unvergleichbaren Elemente zu betrachten:
{{a}, {b}} = {a, b}; denn die Menge der ogeren Schranken ist
M = {{a, b}, {a, b, c}, {a, b, d}, Ω} und diese besitzt ein
kleinstes Element{a, b}.
{{a}, {b}} = ∅, denn ∅ ist die einzige untere Schranke.
{{a, b, c}, {a, b, d}} = Ω
{{a, b, c}, {a, b, d}} = {a, b}.
Aufgabe 2
Setze
≤i = {(x, y) | x, y ∈ X, ∀i ∈ I : x ≤i y}.
:=
i∈I
Dann ist
❼ reflexiv, denn ∀x ∈ X : x
x, denn ∀i ∈ I : x ≤i x, denn alle ≤i sind reflexiv.
❼ transitiv, denn aus x y z folgt x
y ≤i z und alle ≤i sind transitiv.
z, denn ∀i ∈ I : x ≤i z, denn ∀i ∈ I : x ≤i
❼ antisymmetrisch, denn f¨
ur x, y mit x y x folgt f¨
ur ein beliebiges i ∈ I (falls I
nicht leer ist), dass x ≤i y ≤i x und somit x = y, denn ≤i war antisymmetrisch.
Was ist im Fall I = ∅? Wenn man als Infimum, also als gr¨oßte untere Schranke (bez¨
uglich der Mengeninklusion) begreift, w¨are in diesem Fall {} die gr¨oßte untere Schranke der
leeren Menge, also gewissermaßen das gr¨oßte Element, das eine leere Bedingung erf¨
ullt,
also das gr¨oßte Element u
¨berhaupt, also die Allrelation X × X und diese ist zumindest
reflexiv und symmetrisch (, also zumindest eine Pr¨ordnung).
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1. Ubungsblatt
Aufgabe 3
a)
=⇒
=⇒
=⇒
=⇒
B ∈ F, A ∈ A
A ∩ B ∈ F, A ∩ B ⊆ A
A ∩ B = ∅ oder A ∩ B = A ( bzw. ¨aquuivalent: A ⊆ B)
(∀ω ∈ A =⇒ ω ∈
/ B) oder (∀ω ∈ A =⇒ ω ∈ B)
(∀ω ∈ A : 1B (ω) = 0) oder (∀ω ∈ A : 1B (ω) = 1)
¨
Bemerkung: Offensichtlich sind alle messbaren Mengen auch auf den Aquivalenzklassen der Ununterscheidbarkeitsrelation konstant.
¨
b) Jede messbare Aquivalenzklasse
der Ununterscheidbarkeitsrelation ist ein Atom: Sei
¨
also [ω] eine messbare Aquivalenzklasse
aber kein Atom. Dann g¨abe es ein B ∈ F
mit
B [ω] und B ∩ [ω] = ∅.
Es w¨
urde also ein ω aus [ω]\B und ein ω aus [ω] ∩ B existieren. Es w¨
urde also ein
Paar (ω , ω ) existieren mit
ω ∼F ω
und
w ∈
/ B & w ∈ B,
was ein Widerspruch ist, denn B war aus F und da ω und ω ununterscheidbar sind
bez¨
uglich F kann B die Elemente ω und ω nicht unterscheiden.
¨
Jedes Atom ist eine messbare Aquivalenzklasse:
Sei dazu A ein Atom, also insbesondere messbar und nicht leer. Sei weiter ω ein
beliebiges, im Folgenden fixes Element aus A. Dann ist nur noch zu zeigen, dass die
¨
Aquivalenz
ω ∼F w ⇐⇒ ω ∈ A
gilt:
=⇒ “ : ω ∼F ω
”
A∈F & ω∈A
=⇒
ω ∈ A.
⇐=“: Sei ω ∈ A. W¨are dann ω F ω, so g¨abe es ein B ∈ F mit 1B (ω ) = 1B (ω) und
”
dies w¨are ein Widerspruch, da nach a) alle messbaren Funktionen auf den Atomen
konstant sind. Also muss insgesamt ω ∼F ω gelten.
c) F¨
ur ein beliebiges w ∈ Ω ist
At(ω) :=
B
B∈F ,B ω
ein Atom, das ω enth¨alt, denn nach Konstruktion enth¨alt B das Element ω und ist
als Schnitt endlich vieler messbarer Mengen messbar. Bleibt noch zu zeigen, dass es
kein C ∈ F mit C
At(ω) und C = ∅ gibt. G¨abe es ein solches C, dann w¨
urde,
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falls ω in C liegt, nach Konstruktion von At(ω) folgen, dass At(ω) ⊆ C gilt (denn
C ist im Schnitt der Konstruktion von At(ω) enthalten), was im Widerspruch zu
C At(ω) steht. Falls ω ∈
/ C betrachte C˜ = C¯ ∩ At(ω) ∈ F. Dann gilt C˜ At(ω),
denn C war nichtleer und eine Teilmenge von At(ω). Da C˜ das Element ω enth¨alt
w¨are das wiederum ein Widerspruch zur Konstruktion von At(ω).
¨
Um zu sehen, dass alle Aquivalenzklassen
messbar sind falls jedes ω in einem Atom
¨
liegt, betrachte eine beliebige Aquivalenzklasse X und w¨ahle irgendein ω ∈ X. Dann
¨
liegt ω in einem Atom, also einer messbaren Aquivalenzklasse.
Da ω nur in genau
¨
einer Aquivalenzklasse liegt, muss es sich bei dem Atom, in dem ω liegt, genau um
¨
die Aquivalenzklasse
[ω] = X handeln, es gilt also X = [ω] = At(ω) und somit ist
X messbar. Dies zeigt auch, dass jedes ω nur in genau einem Atom liegt, was die
Schreibweise At(ω) rechtfertigt.
¨
d) Da alle Aquivalenzklassen
als messbar vorausgesetzt wurden ist die Menge der Ato¨
me gleich der Menge der Aquivalenzklassen und deshalb liegt jedes ω ∈ Ω in (genau)
¨
einer messbaren Aquivalenzklasse,
also (genau) einem Atom und man kann jede Men¨
ge B, deren Indikatorfunktion auf den Atomen (bzw. Aquivalenzklassen)
konstant
ist, schreiben als
At(ω).
{ω} =
B=
ω∈B
ω∈B
Diese Vereinigung vereinfacht sich nach Wegnahme von redundanten Mengen zu
einer endlichen oder abz¨ahlbaren Vereinigung (|A| war endlich oder abz¨ahlbar vorausgesetzt) messbarer Mengen und somit sind derartige Mengen B bzw. deren Indikatorfunktionen messbar.
Ist nun F endlich, dann ist nat¨
urlich auch die Menge der Atome endlich und die
messbaren Mengen sind genau die, die auf den Atomen konstant sind, d.h., um eine
messbare Menge zu erzeugen, kann man f¨
ur jedes Atom frei entscheiden, ob die zugeh¨orige Indikatorfunktion auf diesem Atom konstant 0 oder 1 ist und dies bedeutet,
dass es insgesamt 2|A| messbare Mengen gibt.
¨
Bemerkung: Obige Uberlegung
zeigt auch, dass eine σ-Algebra nie abz¨ahlbar unendlich sein kann, denn falls A endlich ist, so ist auch F endlich und wenn A abz¨ahlbar unendlich ist, dann sind die Indikatorfunktionen, die auf den Atomen konstant
¨
und auf den nicht-messbaren Aquivalenzklassen
null sind, auf alle F¨alle messbar und
diese Menge von Indikatorfunktionen ist bereits u
ur A u
¨berabz¨ahlbar. (F¨
¨berabz¨ahlbar ist nat¨
urlich auch F u
¨berabz¨ahlbar, da F ja mindestens alle Atome enth¨alt.)
e) F¨
ur Ω = R und F = B(R) sind die Atome die einelementigen Mengen (, denn jede
messbare Menge mit mehr als einem Element kann durch Wegnahme eines beliebigen Elements noch zu einer echt kleineren nichtleeren messbaren Menge verkleinert
werden). Dies bedeutet, dass die Indikatorfunktion jeder belibigen Menge auf den
Atomen konstant ist, also auch die Indikatorfunktion einer Vitali-Menge. Die VitaliMenge ist aber eben nicht messbar.
f) Betrachte die Abbildung
Φ : F −→ 2Ω : X → {[x] | x ∈ X}.
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Diese Abbildung ist eine Ordnungseinbettung1 von F in 2Ω , denn es gilt die Aquivalenz
X ⊆ Y ⇐⇒ Φ(X) ⊆ Φ(Y ) :
=⇒ “ : Sei X ⊆ Y und [z] ∈ Φ(X). Dann existiert ein x ∈ X mit [x] = [z] und es
”
folgt [z] = [x] ∈ Φ(Y ), denn x ist wegen X ⊆ Y auch aus Y .
⇐= “ : Sei Φ(X) ⊆ Φ(Y ) und x ∈ X. Dann gilt [x] ∈ Φ(X) und somit [x] ∈ Φ(Y ).
”
Also existiert ein y ∈ Y mit [y] = [x] x. Da 1Y (y) = 1 und da 1Y auf [y] konstant
ist (Y ist aus F), muss 1Y (x) = 1, also x ∈ Y gelten.
Nun zur m¨oglichen Surjektivit¨at von Φ:
Es zeigt sich, dass Φ nach Erweiterung des Definitionsbereiches von Φ auf die Menge
¨
G aller Mengen, deren Indikatorfunktionen auf den Aquivalenzklassen
konstant sind,
Ω
ein Ordnungsisomorphismus zwischen (G, ⊆) und (2 , ⊆) ist. Da wir im Beweis
¨
obiger Aquivalenz
nicht die Messbarkeit der beteiligten Mengen, sondern nur die
¨
Tatsache, dass die Mengen auf den Aquivalenzklassen
konstant sind, genutzt haben,
ist dazu nur noch zu zeigen, dass das so erweiterte Φ eine Bijektion ist. Betrachte
dazu die Umkehrfunktion
Φ−1 : 2Ω −→ G : Y → {x ∈ Ω | [x] ∈ Y }.
Dann folgt:
Φ−1 (Φ(X)) =
=
=
−1
Φ(Φ (Y )) =
=
=
{x ∈ Ω | [x] ∈ Φ(X)}
{x ∈ Ω | [x] = [y] f¨
ur ein y ∈ X}
X,
Φ({x ∈ Ω | [x] ∈ Y })
{[x] | [x] ∈ Y }
Y.
Dies bedeutet, dass im Fall F = G (also, z.B. auch im Fall c) oder d)) Φ ein Ordnungsisomorphismus ist und somit (F, ⊆) und (2Ω , ⊆) ismorph sind. Wenn es nicht
¨
messbare Mengen gibt, die auf allen Aquivalenzklassen
konstant sind, dann ist Φ
Ω
kein Ordnugsisomorphismus zwischen (F, ⊆) und (2 , ⊆) mehr (, was noch nicht
zwingend heißt, dass (F, ⊆) und (2Ω , ⊆) nicht isomorph sind).
¨
Bemerkung: Es gibt Messr¨aume (Ω, F), die Aquivalenzklassen
der zugeh¨origen Ununterscheidbarkeitsrelation ∼F besitzen, die nicht messbar sind.
Beispiel:
Setze Ω = R und
F = {A ⊆ R | (A coabz¨ahlbar & w ∈ A) oder (A abz¨ahlbar & w ∈
/ A)},
wobei ω ein beliebiges, fest gew¨ahltes Element aus Ω sei. Dann ist F eine σ-Algebra.
Das Element ω liegt aber in keinem Atom, denn jedes potentielle Atom A ∈ F,
1
Eine Ordnungseinbettung ist eine Abbildung Φ : (V, ≤) −→ (W, ) zwischen zwei geordneten Mengen, f¨
ur
die x ≤ y ⇐⇒ Φ(x) Φ(y) f¨
ur alle x, y ∈ V gilt. Eine Ordnungseinbettung ist insbesondere schon injektiv,
denn es gilt: Φ(x) = Φ(y) =⇒ Φ(x) Φ(y) Φ(x) =⇒ x ≤ y ≤ x =⇒ x = y.
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dass ω enth¨alt ist coabz¨ahlbar, enth¨alt also unendlich viele Elemente, so dass man
noch ein Element ungleich ω wegnehmen kann, und so eine nichtleere messbare echte
Teilmenge von A erh¨alt, so dass A kein Atom sein kann. Da aber ω in irgendeiner
¨
Aquivalenzklasse
der Ununterscheidbarkeitsrelation, n¨amlich der Klasse [x] = {x}
liegt, kann die Klasse [x] = {x} nicht messbar sein.
Bemerkung: Es zeigt sich, dass es ausreicht, f¨
ur die Konstruktion der Ununterscheidbarkeitsrelation nicht die σ-Algebra F, sondern lediglich einen Erzeuger von F zu betrachten,
denn f¨
ur beliebige Mengensysteme E gilt
∼E =∼σ(E) .
Dies kann man ausnutzen, um im endlichen Fall die von einem Mengensystem E erzeugte
σ-Algebra F = σ(E) effizient zu berechnen falls die M¨achtigkeit m von F im Verh¨altnis
zur M¨achtigkeit n des Grundraums Ω groß ist:
Beispiel:
Sei Ω = {a, b, c, d, e} und E = {{a, b}, {b, c, d}, {b, e}, {a, e}, {a, b, e}, {a, c, d}, Ω}. Dann
kann man die Ununterscheidbarkeitsrelation ∼E bestimmen, indem man z.B. alle Mengen aus E graphisch in einer Inzidenztabelle darstellt (ein Kreuz in Zeile i und Spalte j
bedeutet, dass das Element i in der Menge j enthalten ist):
ω\E
a
b
c
d
e
{a, b}
x
x
{b, c, d}
{b, e}
x
x
x
x
{a, e}
x
{a, b, e}
x
x
{a, c, d}
x
x
x
x
x
x
Ω
x
x
x
x
x
Aus dieser Kreuztabelle kann man leicht sehen, ob zwei verschiedene Elemente in dersel¨
ben Aquivalenzklasse
liegen, zwei Elemente sind n¨amlich genau dann ununterscheidbar,
wenn die zugeh¨origen Zeilen gleich sind. Hier w¨aren also das Element c und das Ele¨
ment d in einer Aquivalenzklasse,
alle anderen Elemente w¨aren jeweils in einer eigenen
¨
¨
Aquivalenzklasse, das System der Aquivalenzklassen w¨are hier also:
{{a}, {b}, {c, d}, {e}}.
Um dann die erzeugte σ-Algebra zu bestimmen muss man jetzt lediglich noch alle m¨ogli¨
chen 24 Vereinigungen von Aquivalenzklassen
bilden und erh¨alt so
F = {∅, {a}, {b}, {c, d}, {e}, {a, b}, {a, c, d}, {a, e}, {b, c, d}, {b, e},
{c, d, e}, {a, b, c, d}, {a, b, e}, {a, c, d, e}, {b, c, d, e}, Ω}.
Vergleiche von ElemenUm die Ununterscheidbarkeitsrelation zu berechnen w¨aren n(n−1)
2
ten, die jeweils o := |E| Elementarvergleiche beinhalten w¨
urden, n¨otig. Anschließend w¨are
noch die erzuegte σ-Algebra zu generieren, was m · n Elementaroperationen entspr¨ache.
Insgesamt w¨aren das
n(n − 1)
·o+m·n
2
Elementaroperationen.
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Im Vergleich dazu w¨
urde man bei einer naiven Erzeugung der σ-Algebra m Komplemente
von Mengen und m(m−1)
Vereinigungen von jeweils zwei Mengen betrachten, was insgesamt
2
m(m − 1)
·n+m·n
2
Elementaroperationen entspr¨ache. In unserem Beispiel w¨
urden wir n(n−1)
·o+m·n =
2
5·4
·7+16·5 = 150 Operationen f¨
ur die Berechnung u
¨ber die Ununterscheidbarkeitsrelation
2
m(m−1)
16·15
· n + m · n = 2 · 5 + 16 · 5 = 680 Operationen f¨
ur die naive Berechnung der
und
2
erzeugten σ-Algebra ben¨otigen, was schon etwas mehr ist.
6
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