close

Anmelden

Neues Passwort anfordern?

Anmeldung mit OpenID

Fotografie pdf free - PDF eBooks Free | Page 1

EinbettenHerunterladen
Lineare Algebra
Prof. Richard Pink
D-MATH, HS 2014
Serie 4
1. [Aufgabe] Berechnen Sie das folgende Produkt von



1 0 0 0 0
1 0 0 0 0
1 0 0 0
a 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0



 b 0 1 0 0 0 e 1 0 0 0 0 1 0



 c 0 0 1 0 0 f 0 1 0 0 0 h 1
d 0 0 0 1
0 g 0 0 1
0 0 i 0
Matrizen:

0
1 0
0 1
0


0
 0 0
0 0 0
1
0 0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
j

0
0

0
.
0
1
1. [L¨
osung]

1
a

Das Ergebnis ist 
b
c
d
0
1
e
f
g
0
0
1
h
i
0
0
0
1
j

0
0

0
 .
0
1
2. [Aufgabe] Zeigen Sie durch vollst¨andige Induktion: Falls a = c ist, so gilt f¨
ur
≥0
jede nicht-negative ganze Zahl m ∈ Z
a b
0 c
m
m
=
m
−c
am b a a−c
0
cm
.
Leiten Sie eine a¨hnliche Formel f¨
ur den Fall a = c her.
2. [L¨
osung]
a = c: Wir benutzen vollst¨andige Induktion u
¨ber m. Im Basisfall m = 0 gilt
a b
0 c
0
0
= I2 =
−c
a0 b aa−c
0
c0
0
.
Angenommen, die Behauptung gilt f¨
ur ein m ∈ Z≥0 . Dann gilt
a b
0 c
m+1
=
a b
0 c
m
a b
0 c
·
m
m
=
−c
am b a a−c
0
cm
=
−c
c
am+1 am b + b a a−c
0
cm+1
IV
a b
0 c
·
m
m
.
Wegen
am b + b
am+1 b − am bc + bam c − bcm+1
am+1 − cm+1
am − c m
c=
=b
a−c
a−c
a−c
folgt damit die Aussage auch im Fall m + 1.
a = c: Um eine Formel im Fall a = c zu finden, nehmen wir zuerst an, dass
a = c = 0 ist. Dann gilt
m
a b
0 a
=a
1 ab
0 1
m
m
.
(1)
1 e
0 1
Wir k¨onnen uns deshalb auf den einfacheren Fall
f¨
ur ein beliebiges
e ∈ K beschr¨anken. Da f¨
ur alle e, f ∈ K
1 e
1 f
·
0 1
0 1
1 e+f
0
1
=
(2)
gilt, folgt
1 e
0 1
2
1 2e
,
0 1
=
1 e
0 1
3
=
1 3e
,
0 1
... .
(3)
Die Gleichungen (1), (2), (3) und eine Betrachtung des Falls a = c = 0
f¨
uhren deshalb zu der folgenden Behauptung.
Behauptung: F¨
ur alle a, b ∈ K und f¨
ur alle m ≥ 0 gilt
a b
0 a
m
=
am mam−1 b
,
0
am
wobei wir im Fall m = 0 den Ausdruck mam−1 als 0 interpretieren.
Beweis. Der Fall m = 0 folgt aus
a b
0 a
0
= I2 =
a0 0 · b
0 a0
.
F¨
ur den Fall m ≥ 1 verwenden wir vollst¨andige Induktion u
¨ber m. Wegen
a b
0 a
1
=
a b
0 a
=
a1 1 · a0 · b
0
a1
gilt der Basisfall m = 1. Angenommen, die Behauptung gilt f¨
ur ein m ≥ 1.
Dann gilt
a b
0 a
m+1
m
=
a b
0 a
=
am+1 am b + mam−1 ba
0
am+1
·
a b
0 a
IV
=
am mam−1 b
a b
·
m
0
a
0 a
=
Es folgt damit die Aussage auch im Fall m + 1.
am+1 (m + 1)am b
0
am+1
.
3. [Aufgabe] Wenden Sie elementare Zeilenumformungen auf die Matrix


1
2 1 0
A := −1 0 3 5
1 −2 1 1
u
¨ber Q an, sodass die resultierende Matrix R auf der linken Seite die 3 × 3Einheitsmatrix enth¨alt. Geben Sie explizit eine invertierbare Matrix W an,
sodass gilt
W · A = R.
Berechnen Sie auch W −1 .
3. [L¨
osung] Es gilt


1 0 0 −7/8
R = 0 1 0 −1/4
0 0 1 11/8
und


3/8 −1/4 3/8
0
−1/4 .
W = 1/4
1/8 1/4
1/8
Die Inverse von W ist dann

W −1

1
2 1
= −1 0 3 .
1 −2 1
4. [Aufgabe] Bestimmen Sie mit Hilfe des Gaußschen Eliminationsverfahrens, f¨
ur
welche Werte des Parameters α die folgende Matrix u
¨ber Q invertierbar ist:

1
3 −4
2
2
1 −2
1 


 3 −1 −2 −2α
−6 2
1 α2 .

4. [L¨
osung] Durch Anwenden des Gaußschen Eliminationsverfahrens erh¨alt man
die Matrix


1 3 −4
2
0 −5 6
−3 


0 0 −2
−2α 
0 0
0 α2 − α .
Eine obere Dreiecksmatrix ist genau dann invertierbar, wenn ihre Diagonaleintr¨age
ungleich null sind. Es folgt, dass die Matrix der Aufgabe genau dann invertierbar ist, wenn f¨
ur α gilt:
α2 − α = α(α − 1) = 0.
Dies ist a¨quivalent zu α ∈
/ {0, 1}.
5. [Aufgabe] Sei K ein beliebiger K¨orper und sei n ∈ Z>0 eine beliebige positive
ganze Zahl. Zeigen Sie, dass die Permutationsmatrizen der Gr¨osse n × n u
¨ber
dem K¨orper K eine Gruppe bilden.
5. [L¨
osung] Sei G die Menge der Permutationsmatrizen der Gr¨osse n × n. Wir
zeigen zuerst, dass die Menge G abgeschlossen ist unter Matrixmultiplikation.
Behauptung: F¨
ur beliebige A, B ∈ G gilt: A · B ∈ G.
Beweis. Seien A = (aij ) und B = (bij ) zwei beliebige Elemente in G. Das
Produkt von A und B ist gegeben durch
n
A·B =
aij bjk
j=1
.
1≤i,k≤n
Wir m¨
ussen zeigen, dass f¨
ur jede Zeile und f¨
ur jede Spalte von A · B gilt: Es
gibt genau einen Eintrag, der 1 ist, und alle anderen Eintr¨age verschwinden.
F¨
ur ein beliebiges k mit 1 ≤ k ≤ n, sei m der Index des nicht-verschwindenen
Eintrages in der k-ten Spalte von B. Es gilt also bjk = δjm , wobei
δmk =
1
0
f¨
ur m = k
f¨
ur m = k.
das Kroneckerdelta bezeichnet. Dann gilt f¨
ur die k-te Spalte von A · B:
n
aij bjk
j=1
= (aim bmk )1≤i≤n = (aim )1≤i≤n .
1≤i≤n
Es folgt, dass die k-te Spalte von A · B gleich der m-te Spalte von A ist. Da in
der m-ten Spalte von A nach Vorraussetzung es genau einen Eintrag mit Wert
1 gibt und alle anderen Eintr¨age verschwinden, haben wir dies damit auch f¨
ur
die k-te Spalte von A · B gezeigt.
F¨
ur ein beliebiges i mit 1 ≤ i ≤ n, sei r der Index des Eintrages in der i-ten
Zeile von A, der gleich 1 ist. Dann gilt f¨
ur die i-te Zeile von A · B
n
aij bjk
j=1
= (air brk )1≤k≤n = (brk )1≤k≤n .
1≤k≤n
Es folgt, dass die i-te Zeile in A · B gleich der r-te Zeile in B ist. Da in der r-ten
Zeile von B es genau einen Eintrag mit Wert 1 gibt und alle anderen Eintr¨age
verschwinden, gilt dies auch f¨
ur die i-te Zeile in A · B.
Wir u
¨berpr¨
ufen die Gruppenaxiome:
(i) Assoziativit¨at. Die Multiplikation auf G ist gegeben durch Matrixmultiplikation. Da diese assoziativ ist (siehe Vorlesung), folgt dass auch das
Produkt auf G assoziativ ist.
(ii) Einheitselement. Die Identit¨atsmatrix In ist eine Permutationsmatrix. Es
folgt, dass In ∈ G ein linksneutrales Element ist.
(iii) Linksinverses Element. Sei B = (bjk )j,k=1...n ∈ G beliebig. Die transponierte
Matrix B T = (bji )i,j=1...n liegt dann ebenfalls in G, weil die Definition von
Permutationsmatrizen invariant unter Vertauschung von Zeilen und Spalten ist. Es gen¨
ugt also zu zeigen, dass B T · B = In ist.
Betrachte daf¨
ur beliebige 1 ≤ i, k ≤ n. Nach Definition der Matrixmultiplikation hat B T · B in Zeile i und Spalte k den Eintrag
n
cik :=
bji bjk .
j=1
Nach Definition einer Permutationsmatrix existiert zu k ein Index mit
b k = 1 und bjk = 0 f¨
ur alle j = l. In der angegebenen Summe verschwinden
daher alle Summanden f¨
ur j = , und der Summand f¨
ur j = ist gleich
b i · 1. Da b k = 1 ist, gilt b r = 0 f¨
ur alle r = k. Daher ist cik = b i = 1,
falls i = k ist und 0 sonst. Insgesamt folgt daher cik = δik , und somit ist
B T · B die Einheitsmatrix.
6. [Aufgabe] Zeigen Sie, dass die Menge
H :=
a −b
b a
a, b ∈ C
zusammen mit der Addition und Multiplikation von Matrizen ein nichtkommutativer Schiefk¨orper mit Einselement I2 ist.
6. [L¨
osung] F¨
ur zwei beliebige Elemente
M1 :=
a −b
,
b a
M2 :=
u −v
v u
in H gilt
M1 · M2 =
M1 + M2 =
au − bv −av − bu
ub + av −bv + au
a + u −(b + v)
b+v
a+u
=
au − bv
−(av + bu)
(av + bu)
(au − bv)
.
Insbesondere liegen M1 · M2 und M1 + M2 in H. Daher ist die Menge H unter
Addition und Multiplikation abgeschlossen.
Die Nullmatrix und die Identit¨atsmatrix liegen in H. Daher folgen alle Axiome
eines Schiefk¨orpers, mit Ausnahme der Existenz von additiven und multiplikativen Inversen, aus den Eigenschaften von 2 × 2-Matrizen.
a −b
Wir zeigen die Existenz der Inversen: Sei A =
∈ H ein beliebiges
b a
Element. Dann ist −A ∈ H und A + (−A) = 0. Das zeigt die Existenz der
additiven Inversen von A. F¨
ur A = 0, sei
B=
|a|2
1
+ |b|2
a b
.
−b a
Dann ist B ∈ H und B · A = I2 . Das zeigt auch die Existenz einer multiplikativen Inverse. Wir schliessen, dass die Menge H ein Schiefk¨orper ist.
Wegen
0 −1
0 −i
·
1 0
−i 0
=
i 0
,
0 −i
0 −i
0 −1
·
−i 0
1 0
=
−i 0
0 i
ist das Kommutativgesetz in H nicht erf¨
ullt: Der Schiefk¨orper H ist nichtkommutativ.
Document
Kategorie
Gesundheitswesen
Seitenansichten
12
Dateigröße
134 KB
Tags
1/--Seiten
melden