close

Anmelden

Neues Passwort anfordern?

Anmeldung mit OpenID

46 seitiges Handbuch als PDF-Datei. - MatheAss

EinbettenHerunterladen
MatheAss 8.2
Handbuch
© 2011: Bernd Schultheiss, Wiesloch
MatheAss 8.2
Allgemeines
Seite 2
Das Hauptmenü.................................................... 5
Die Werkzeugleiste .............................................. 5
2D-Grafik .............................................................. 6
3D-Grafik .............................................................. 6
Optionen .............................................................. 6
Koordinatensystem .............................................. 7
Erlaubte Funktionsterme ..................................... 8
Syntaxregeln ......................................................... 8
Das regelmäßige Prisma .....................................22
Der senkrechte Kreiszylinder ..............................23
Die regelmäßige vierseitige Pyramide ................23
Der senkrechte Kreiskegel ..................................24
Die Kugel .............................................................24
Koordinatensysteme...........................................25
Gerade durch zwei Punkte .................................25
Ebene durch drei Punkte ....................................26
Kugel durch vier Punkte......................................26
Schnitt von zwei Geraden im Raum....................27
Schnitt von Ebene und Gerade ...........................27
Schnitt von zwei Ebenen.....................................28
Schnitt von Kugel und Gerade ............................28
Schnitt von Kugel und Ebene ..............................29
Schnitt von zwei Kugeln ......................................29
Abstände zwischen Punkten, Geraden und
Ebenen ................................................................30
Algebra
Analysis
Primzahlen............................................................ 9
Primfaktorzerlegung............................................. 9
ggT und kgV ........................................................ 10
Dezimalzahlen in Brüche .................................... 10
Brüche in Dezimalzahlen .................................... 11
Binome n-ten Grades ......................................... 11
Gleichungen 4.Grades ........................................ 12
Diophantische Gleichungen ............................... 12
Pythagoreische Tripel ......................................... 13
Rechnen in Stellenwertsystemen ....................... 13
Rechnen mit Brüchen ......................................... 13
Rechnen mit komplexen Zahlen ......................... 14
Polynomdivision ...............................................311
Funktionsplotter .................................................31
Abschnittsweise definierte Funktionen ..............32
Parameterkurven ................................................33
Kurvenscharen ....................................................33
Kurvendiskussion ................................................34
Newton-Iteration ................................................35
Reihenentwicklung .............................................35
Integralrechnung ................................................36
Flächenfunktionen ..............................................36
Was ist MatheAss ? .............................................. 3
Copyright .............................................................. 3
Registration .......................................................... 3
Haftungsausschluss .............................................. 4
Installation und Deinstallation ............................. 4
Bedienung
Geometrie 2D
Rechtwinklige Dreiecke ...................................... 15
Dreiecke aus drei Größen................................... 15
Dreiecke aus drei Punkten ................................. 16
Regelmäßige Vielecke ........................................ 16
Beliebige Vielecke .............................................. 17
Abbilden von Vielecken ...................................... 17
Wahl der Abbildungsarten ................................. 18
Kreis und Kreisteile............................................. 18
Schnitt von Kreis und Gerade ............................. 19
Schnitt von zwei Kreisen .................................... 19
Geometrie 3D
Das Tetraeder ..................................................... 20
Das Hexaeder ..................................................... 20
Das Oktaeder ...................................................... 21
Das Dodekaeder ................................................. 21
Das Ikosaeder ..................................................... 22
Stochastik
Statistik ...............................................................37
Regression...........................................................37
Formeln zur Regression ......................................38
Kombinatorik ......................................................38
Binomialverteilung..............................................39
Hypergeometrische Verteilung...........................39
Normalverteilung ................................................40
Lineare Algebra
Lineare Gleichungssysteme ................................41
Linearkombination..............................................42
Skalarprodukt .....................................................42
Vektorprodukt ....................................................43
Spatprodukt ........................................................43
Matrizeninversion ...............................................44
Pseudoinverse Matrix .........................................45
Matrizenmultiplikation .......................................46
MatheAss 8.2
Seite 3
Allgemeines
Was ist MatheAss ?
Das Programm MatheAss ist eine umfangreiche Sammlung von Routinen, die vielen Aufgaben aus der
Schulmathematik ihren Schrecken nehmen.
Es ist nicht als Mathematik-Lernprogramm zu verstehen, sondern als Mathematik-Assistent für Lehrer und
Schüler und alle, die außerhalb der Schule mit mathematischen Problemen konfrontiert sind. Damit wird natürlich
nicht ausgeschlossen, dass Schüler, die mit dem Programm ihre Hausaufgaben überprüfen, dabei etwas lernen.
Die verwendeten Algorithmen habe ich in mehreren Jahren gesammelt und zu dem vorliegenden Programm
zusammensetzt. Sollten sie einen Aufgabentyp vermissen oder über interessante Algorithmen verfügen, die in den
Rahmen des Programms passen, würde ich mich über einen Brief oder eine Email von Ihnen sehr freuen. Email:
bs@matheass.de
Das Programm wird laufend überarbeitet und erweitert, und jedem registrierten Benutzer werden neue Versionen
gegen eine geringe Updategebühr angeboten. Außerdem finden Sie die neuste Version immer im Internet unter
www.matheass.de.
Copyright
© 1986-2011 :
Bernd Schultheiss
Hufschmiedstr. 3
D-69168 Wiesloch
Email: bs@matheass.de
Das Programm Mathe-Ass ist ein 'Shareware-Programm', das heißt:
 Es darf und soll ausprobiert, kopiert und weitergegeben werden !!!
 Wenn Sie das Programm danach weiter einsetzen wollen, werden Sie durch Überweisung der
Registrationsgebühr autorisierter Benutzer.
Jede Änderung des Programms oder der zugehörigen Dateien verstößt gegen das Urheberrecht.
Registration
Die Registrationsgebühr beträgt
29 Euro für Privatpersonen
69 Euro für Schulen u.a. Institutionen
Die Updategebühr von Version 7 oder 8.0 beträgt
5 Euro für Privatpersonen
20 Euro für Schulen u.a. Institutionen
zu zahlen an:
Bernd Schultheiß
Hufschmiedstr. 3
D-69168 Wiesloch
per Überweisung auf mein Konto
Kto-Nr. 72104-759 bei der Postbank Karlsruhe (BLZ 660 100 75)
IBAN DE81 6601 0075 0072 1047 59, BIC PBNKDEFF
oder per PayPal auf meiner Homepage www.matheass.de
MatheAss 8.2
Seite 4
Nach Bezahlung der Registrations- bzw. Updategebühr erhalten Sie Ihre persönliche Seriennummer.
Mit ihr machen Sie aus der Shareware- die Vollversion ohne die Warteschleife beim Programmstart.
Um die Seriennummer eingeben zu können, müssen Sie das Programm als Administrator ausführen.
Starten Sie dazu das Programm mit der rechten Maustaste und wählen "Ausführen als Administrator".
Anschließend geben Sie im Menü Datei/Registration Ihre Daten (Name, Wohnort, Seriennummer) ein. Das
Programm berechnet aus Name und Wohnort Ihre Seriennummer und vergleicht sie mit der eingegebenen
Seriennummer. Stimmen beide überein, erhalten Sie die Meldung "Registration erfolgreich abgeschlossen"
andernfalls die Meldung "Anschrift passt nicht zur Seriennummer".
Bei Schulen ist eine schriftliche Bestellung erforderlich, da von Stadt- bzw. Kreiskassen meist statt der
Schulanschrift nur eine Haushaltsstellennummer auf der Gutschrift angegeben wird.
Bei privaten Überweisungen schreiben Sie bitte Ihre Adresse in das Feld für den Verwendungszweck, da
Ergänzungen im Absender-Feld nicht übermittelt werden. Der Hinweis, dass Sie sich für das Programm MatheAss
registrieren lassen wollen, erübrigt sich, da es sich bei dem angegebenen Konto um ein Sonderkonto nur für
diesen Zweck handelt.
Haftungsausschluss
--- BITTE LESEN SIE DIESE INFORMATIONEN SORGFÄLLTIG --DER AUTOR GEWÄHRT KEINERLEI GARANTIE, WEDER AUSDRÜCKLICH NOCH IMPLIZIT, EINSCHLIESSLICH DER
EIGNUNG FÜR EINEN BESTIMMTEN ZWECK.
DIE HAFTUNG FÜR DIE VERWENDUNG DER SOFTWARE IST BESCHRÄNKT AUF DIE REGISTRATIONSGEBÜHR.
DER AUTOR ÜBERNIMMT KEINERLEI HAFTUNG FÜR ZUSÄTZLICHE SCHÄDEN, EINSCHLIESSLICH ENTGANGENEM
GEWINN ODER ANDERER FOLGESCHÄDEN, DIE AUS DER NUTZUNG ODER NICHTEIGNUNG DER SOFTWARE
UND DER DAZUGEHÖRIGEN DOKUMENTATION ENTSTEHEN, SELBST WENN DER AUTOR DARÜBER INFORMIERT
WURDE. DIES GILT AUCH, ABER NICHT AUSSCHLIESSLICH, FÜR SCHÄDEN, DIE DURCH FALSCHE ODER
UNGENAUE ERGEBNISSE ENTSTEHEN.
Nebenbei sei besonders darauf hingewiesen, dass sich das Programm nicht zum Trocknen von Pudeln eignet. ;-)
Installation und Deinstallation
Lokale Installation
Mit der Installationsdatei ma82_setp.exe wird das Programm lokal installiert, das heißt das Programm und alle
dazugehörigen Dateien werden in das Verzeichnis C:\Programme\MatheAss 8.2 kopiert. Außerdem wird eine
Verknüpfung im Startmenü eingetragen und es wird ein Icon auf dem Desktop angelegt. Die Datei DEMO.DAT
und die eigenen MatheAss-Daten werden für jeden Benutzer in seinem eigenen Verzeichnis
AppData\Local\MatheAss gespeichert und können daher geändert werden. Die Registrationsdaten werden
dagegen im Programmverzeichnis abgelegt und können daher nur als Administrator geändert werden.
Portable Installation
Um MatheAss portable, z.B. auf einem USB-Stick, zu installieren kopieren Sie einfach das gesamte Verzeichnis
C:\Programme\Matheass 8.2 auf den Stick und setzen in der Datei ma82.ini die Option portable=true.
Danach werden alle Daten im gleichen Verzeichnis abgelegt, für das man natürlich Schreibrechte haben muss.
Deinstallation
Um das Programm zu deinstallieren rufen Sie im Verzeichnis C:\Programme\MatheAss 8.2\ die Datei
unins000.exe auf. Dabei werden das Programmverzeichnis sowie die Verknüpfungen im Startmenü und auf
dem Desktop entfernt.
MatheAss 8.2
Seite 5
Bedienung
Das Hauptmenü
Das Hauptmenü besteht aus folgenden Untermenüs:
Datei:
Öffnen, Speichern, Schließen und Drucken stehen nur zur Verfügung, wenn ein Programmfenster geöffnet ist.
Geladen bzw. gespeichert werden die Eingabedaten des aktiven Programmfensters.
Drucker und Programm-Optionen können ausgewählt und das Programm registriert werden.
Algebra, Geometrie, Analysis, Stochastik und Lineare Algebra
enthalten die einzelnen Programmpunkte.
Fenster:
Erlaubt die Anordnung der Programmfenster, wenn mehrere Fenster gleichzeitig geöffnet sind.
Hilfe:
Inhaltsverzeichnis der Hilfedatei und Programm-Info
Die Werkzeugleiste
Die Werkzeugleiste enthält die folgenden Schaltflächen:
Öffnen: Zum Laden der Eingabedaten des aktuellen Programmfensters
Speichern: Zum Speichern der Eingabedaten des aktuellen Programmfensters
Ausschneiden,
Kopieren und
Einfügen funktionieren nur innerhalb eines Textfensters.
Zum Ausschneiden und Kopieren muss Text markiert sein.
Drucken: Druckt die Ergebnisse und ggf. die Grafik des aktuellen Fensters.
Schnappschuss: Speichert die Grafik des aktuellen Fensters in der Zwischenablage.
Um Texte in der Zwischenablage zu speichern verwendet man die Schaltfläche Kopieren (Text vorher markieren).
Koordinatensystem
Hier lassen sich bei 2D-Grafiken der Zeichenbereich, sowie die Darstellung der Gitterlinien und Kurven einstellen.
Beenden: Beendet das Programm
Hilfe: Inhaltsverzeichnis der Hilfedatei
Am unteren Bildschirmrand kann durch Anklicken der Flaggen die Sprache gewechselt werden.
MatheAss 8.2
Seite 6
2D-Grafik
Einstellen des Koordinatensystems:
Klickt man mit der rechten Maustaste in den Zeichenbereich, so öffnet sich ein lokales Menü, in dem zwischen
verschieben und zoomen gewählt werden kann.
Im Verschiebe-Modus lässt sich die Grafik durch Ziehen mit der linken Maustaste beliebig verschieben.
Im Zoom-Modus kann die Grafik durch Ziehen mit der linken Maustaste in x- bzw. y-Richtung vergrößert oder
verkleinert werden.
Durch die Option 1 : 1 kann die Skalierung in beiden Richtungen vereinheitlicht werden.
Der Punkt Einstellungen öffnet das Fenster Koordinatensystem, das auch über die entsprechende Schaltfläche in
der Werkzeugleiste erreicht wird.
Speichern der Grafik
Mit der Schaltfläche Schnappschuss der Werkzeugleiste wird die Grafik in die Zwischenablage kopiert. Von dort
kann sie praktisch mit jedem Grafikprogramm durch Bearbeiten/Einfügen geladen, bearbeitet, gespeichert und
ausgedruckt werden. Entsprechend kann sie auch in ein Worddokument eingefügt werden.
Drucken der Grafik
Mit der Schaltfläche Drucken der Werkzeugleiste werden alle Ergebnisse des aktiven Programmfensters
einschließlich der Grafik ausgedruckt. Will man nur die Grafik ausdrucken, speichert man diese in die
Zwischenablage und lädt sie von dort mit einem Grafikprogramm.
3D-Grafik
Einstellen des Blickwinkels
Durch Ziehen mit der linken Maustaste lässt sich die 3D-Grafik auf dem Bildschirm drehen.
Einstellen des Maßstabs
Durch Ziehen mit der rechten Maustaste lässt sich die 3D-Grafik vergrößern oder verkleinern.
Speichern der Grafik
Mit der Schaltfläche Schnappschuss der Werkzeugleiste wird die Grafik in die Zwischenablage kopiert. Von dort
kann sie praktisch mit jedem Grafikprogramm durch Bearbeiten/Einfügen geladen, bearbeitet, gespeichert und
ausgedruckt werden. Entsprechend kann sie auch in ein Worddokument eingefügt werden.
Drucken der Grafik
Mit der Schaltfläche Drucken der Werkzeugleiste werden alle Ergebnisse des aktiven Programmfensters
einschließlich der Grafik ausgedruckt. Will man nur die Grafik ausdrucken, speichert man diese in die
Zwischenablage und lädt sie von dort mit einem Grafikprogramm.
Optionen
Dieser Programmpunkt dient dazu die Einträge in der Datei matheass.ini zu editieren.
Im Einzelnen sind dies:
die Sprache:
die Größe:
deutsch, englisch oder französisch.
zwischen 80% und 150%
Hier müssen Sie normalerweise nichts ändern, wichtig ist dies nur wenn Sie auf einem kleinen Monitor mit großer
Auflösung arbeiten.
Darstellung:
Mehrere oder nur ein aktives Fenster zulassen.
Programm im Vollbild oder im Fenstermodus starten.
MatheAss 8.2
Ausdruck und Gitterlinien:
Diese Optionen entsprechen den Einstellungen im lokalen Menü der Funktionsplotter (Koordinatensystem) und
sind hier aufgeführt, damit diese Einstellungen dauerhaft gespeichert werden können.
Schriften:
Nur ändern, wenn die verwendeten Schriften auf Ihrem Rechner nicht installiert sind.
Verzeichnisse:
Bei der lokalen Installation liegt das Programm im Windows-Programmverzeichnis und die Daten im
Datenverzeichnis des Benutzers.
Bei der portablen Installation, zum Beispiel auf einem USB-Stick, werden Programm und Daten im gleichen
Verzeichnis abgelegt.
Um MatheAss auf einem USB-Stick zu installieren kopieren Sie einfach das gesamte Verzeichnis
C:\Programme\Matheass auf den Stick und setzen in der Datei ma82.ini die Option Portable=true.
Speichern:
Das Wappensymbol
auf der Taste Speichern zeigt an, dass Sie zum Speichern Schreibrechte im
Programmverzeichnis haben müssen. Wenn Sie die Optionen dauerhaft ändern wollen, müssen Sie daher das
Programm als Administrator ausführen. Sie müssen sich dazu nicht unbedingt als Administrator anmelden. Es
reicht, wenn Sie das Programm mit der rechten Maustaste starten und "Als Administrator ausführen" auswählen.
(Bei einer portablen Installation, zum Beispiel auf einem USB-Stick, brauchen Sie selbstverständlich keine AdminRechte.)
Externe Sprachdatei:
Die englischen Programmtexte sind zusätzlich in eine externe Sprachdatei ausgelagert und können dort z.B.
übersetzt werden. Um Ihre eigene Sprachdatei in MatheAss einzubinden, müssen Sie den Namen Ihrer
Sprachdatei (ohne txt) in der Datei ma82.ini unter extern eintragen.
Voreingestellt ist italiano und die Datei italiano.txt enthält eine experimentelle Version einer italienischen
Sprachdatei, die automatisch übersetzt wurde und darauf wartet von einem italienischen Muttersprachler
korrigiert zu werden.
Wenn Sie auch noch eine passende Flagge anzeigen wollen, so legen Sie diese im Format bmp mit 32x20 Pixel
unter dem gleichen Namen wie die Sprachdatei im Programmverzeichnis ab.
Koordinatensystem
In denjenigen Programmteilen, die zweidimensionale Grafiken ausgeben, kann über die Schaltfläche
Koordinatensystem der Werkzeugleiste oder über die Option Einstellungen des lokalen Menüs (rechte
Maustaste) ein Fenster mit folgenden Registern geöffnet werden:
Zeichenbereich:
Zeichenbereich in x- bzw. y-Richtung
Skalierung der x- bzw. y-Achse linear oder logarithmisch
Winkelmaß für trigonometrische Funktionen
DEG (degree = Altgrad), RAD (radiant = Bogenmaß) oder GON (grad = Neugrad)
Gitterlinien:
Linienstil (Linie, Striche, Punkte, keine)
Abstände der Gitterlinien in x- bzw. y-Richtung
Farben der Gitterlinien, der Zeichenfläche, der Beschriftung usw.
Schaubilder:
Die Auflösung mit der die Kurven gezeichnet werden.
Maßstab des Ausdrucks in s/w oder Farbe.
Farbe und Strichstärke der Schaubilder (ihre Anzahl hängt vom gewählten Programmpunkt ab)
Seite 7
MatheAss 8.2
Seite 8
Erlaubte Funktionsterme
Die Funktionsterme dürfen außer den Rechenzeichen + - * / ^ ( ) die folgenden Funktionen enthalten:
sqr(x) oder sqrt(x)
die Quadratwurzelfunktion √x (square root)
abs(x)
der Absolutbetrag |x|
int(x)
die Gaußklammer [x] (größte ganze Zahl kleiner gleich)
sgn(x)
die Signumfunktion ( -1 für x<0, 0 für x=0, 1 für x>0 )
exp(x), ex
die natürliche Exponentialfunktion
ln(x), log(x)
der natürliche Logarithmus und der 10er-Logarithmus
sin(x), cos(x),
tan(x), cot(x)
die trigonometrischen Funktionen
immer mit Klammern schreiben !!!
asin(x), acos(x),
atan(x)
die Arcusfunktionen der trig. Funktionen
sinh(x), cosh(x),
tanh(x)
Sinus, Cosinus und Tangens hyperbolicus
fac(n) = 1·2·...·n
die Fakultät einer natürlichen Zahl n
Syntaxregeln
Zahlschreibweisen
Fixkommadarstellung mit Dezimalpunkt oder -komma: 1000.5 oder 1000,5
Fließkommadarstellung mit Zehnerexponent: 1.2e3 für 1.2·10³
Die Kreiszahl π = 3.1415926535898 kann als pi eingegeben werden.
Rechenzeichen
+ Addition
* Multiplikation
- Subtraktion
/ Division
^ Potenzieren
( ) Klammern
Es gelten die üblichen Hierarchieregeln („Punkt vor Strich“).
Termschreibweise
Brüche werden in einer Zeile geschrieben, der Zähler und der Nenner bei Bedarf in Klammern gesetzt.
wird geschrieben als
f(x) = (3*x+4)/(x-1)
Exponenten werden mit dem Caret-Zeichen ^ eingegeben.
MatheAss 8.2
Seite 9
Algebra
Primzahlen
Primzahlen sind alle natürlichen Zahlen mit genau zwei Teilern. Die Eins ist damit keine Primzahl, die Zwei ist die
einzige gerade Primzahl. Bereits Euklid hat bewiesen, dass es unendlich viele Primzahlen gibt. Ebenfalls bewiesen
ist, dass es in der Folge der Primzahlen beliebig große Lücken gibt.
Primzahlzwillinge sind zwei Primzahlen mit der Differenz 2, wie zum Beispiel 10007 und 10009 oder 1000018709
und 1000018711.
Aus programmtechnischen Gründen können immer nur Bereiche von maximal 50000 Zahlen auf einmal nach
Primzahlen durchsucht werden. Ist die Differenz zwischen oberer und unterer Grenze größer als 50000, wird der
Bereich automatisch abgeschnitten.
Beispiel:
Primzahlen zwischen 1000000000 und 1000001000
1000000007 1000000009 1000000021 1000000033 1000000087
1000000093 1000000097 1000000103 1000000123 1000000181
1000000207 1000000223 1000000241 1000000271 1000000289
1000000297 1000000321 1000000349 1000000363 1000000403
1000000409 1000000411 1000000427 1000000433 1000000439
1000000447 1000000453 1000000459 1000000483 1000000513
1000000531 1000000579 1000000607 1000000613 1000000637
1000000663 1000000711 1000000753 1000000787 1000000801
1000000829 1000000861 1000000871 1000000891 1000000901
1000000919 1000000931 1000000933 1000000993
49 Primzahlen
Anwendung:
Bei der RSA-Verschlüsselung (Public-Key-Kryptographie) wird das Produkt aus großen Primzahlen als öffentlicher
Schlüssel verwendet. Der private Schlüssel besteht aus den dazugehörenden Primfaktoren. Die Sicherheit des
Verfahrens beruht darauf, dass selbst mit den heutigen technischen Möglichkeiten die Faktorisierung eines
genügend großen Schlüssels nicht praktikabel ist.
Primfaktorzerlegung
Jede natürliche Zahl n > 1 besitzt eine bis auf die Reihenfolge der Faktoren eindeutige Darstellung als Produkt
von Primzahlen. (Fundamentalsatz der Zahlentheorie)
Die eindeutige Darstellung n = p1e1 · p2e2 . . . pnen als Produkt der Primzahlpotenzen heißt kanonische
Primfaktorzerlegung von n.
Das Programm zerlegt jede natürliche Zahl n, die kleiner als 1014 ist, in ihre Primzahlpotenzen.
Beispiele:
123456789 = 3^2 * 3607 * 3803
99999999999901 = 19001 * 5262880901
99999999999001 = 107 * 401 * 1327 * 1756309
99999999990001 = Primzahl
999330136292431 = 99971^2 * 99991
1596644705119 = 909091 * 1756309
MatheAss 8.2
Seite 10
ggT und kgV
Zu zwei oder mehr Zahlen werden der größte gemeinsame Teiler, das kleinste gemeinsame Vielfache und ihre
Teilermengen bestimmt.
Der ggT ist das größte Element im Durchschnitt der Teilermengen von a und b. In der Bruchrechnung ist der ggT
von Zähler und Nenner die größte Zahl, mit der der Bruch gekürzt werden kann.
Das kgV ist das kleinste Element im Durchschnitt der Vielfachenmengen von a und b. In der Bruchrechnung
bezeichnet man das kgV zweier Nenner als den Hauptnenner.
Hat man den ggT(a,b) bereits bestimmt, so erhält man das kgV(a,b) nach der Formel kgV(a,b) = a·b / ggT(a,b)
Beispiel:
a = 24
b = 256
größter gemeinsamer Teiler
kleinstes gemeinsames Vielfaches
ggT = 8
kgV = 768
Teilermengen:
T(a) = { 1 2 3 4 6 8 12 24}
T(b) = { 1 2 4 8 16 32 64 128 256}
Verfahren
Der größte gemeinsame Teiler zweier Zahlen kann aus ihren Primfaktorzerlegungen ermittelt werden. Ist bei
großen Zahlen aber die Primfaktorzerlegung nur schwer zu ermitteln, hilft der nach Euklid benannte Algorithmus
weiter.
Euklid nutzte aus, dass sich der ggT zweier Zahlen nicht ändert, wenn man die kleinere von der größeren abzieht.
Heute verwendet man statt dem Subtraktionsalgorithmus meist den schnelleren Divisionsalgorithmus, bei dem die
Differenz der Zahlen durch den Rest bei der Division ersetzt wird.
Divisionsalgorithmus in PASCAL:
function ggT(a,b:integer):integer;
var
r: integer;
begin
repeat
r := a mod b;
a := b;
b := r;
until r=0;
result := a;
end;
Dezimalzahlen in Brüche
Jede abbrechende oder periodische Dezimalzahl lässt sich als Bruch darstellen. Bei abbrechenden Dezimalbrüchen
setzt man einfach das Komma nach rechts und nimmt als Nenner die entsprechende Zehnerpotenz.
Für periodische Dezimalbrüche folgen hier die Grundformeln:
_
_
_
0.1 = 1/9 , 0.2 = 2/9 , ... , 0.9 = 9/9 = 1
_
_
0.01 = 1/90 , 0.02 = 2/90 , ...
__
__
___
0.01 = 1/99 , 0.02 = 2/99 , ... 0.000001 = 1/999000
Das Programm wandelt periodische und abbrechende Dezimalbrüche in Brüche um. Dazu werden der
nichtperiodische Teil der Zahl und die Ziffern der Periode getrennt eingegeben.
MatheAss 8.2
Seite 11
Beispiel:
Nichtperiodischer Teil : 1.20
Periode : 045
___
1.20045 = 120/100 + 1/2220 = 533/444
Brüche in Dezimalzahlen
Jeder Bruch lässt sich als Dezimalzahl schreiben. Wiederholen sich dabei Ziffern in einer festen Reihenfolge, so
spricht man von einem periodischen Dezimalbruch. Die sich wiederholende Ziffernfolge wird Periode genannt und
durch Überstreichen gekennzeichnet.
Das Programm wandelt Brüche in periodische Dezimalbrüche um und bestimmt die Periode und ihre Länge.
Eingegeben werden Zähler und Nenner des Bruchs.
Zähler : 533
Nenner : 444
___
533/444 = 1.20045
periodisch ab der 3. Stelle nach dem Komma
die Periode ist 3 Ziffern lang
Ist die Dezimalbruchdarstellung der Zahl länger als eine Zeile, so wird durch drei Punkte angezeigt, dass
abgebrochen wurde.
13/11011 =
0.00118063754427390791027154663518299881936245572609208...
periodisch ab der 1. Stelle nach dem Komma.
die Periode ist 66 Ziffern lang.
13/111101 =
0.0001170106479689651758310006210565161429690101799263...
nach 1000 Nachkommastellen noch nicht periodisch.
Binome n-ten Grades
Zu den bekanntesten Formeln der Schulmathematik gehört sicher die Binomische Formel
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
Das Programm berechnet den allgemeineren Fall (a·x + b·y)n mit 2 ≤ n ≤ 44 .
Beispiel:
(3·x + -4·y)^7 = +
+
+
+
-
2187 · x^7
20412 · x^6 · y
81648 · x^5 · y^2
181440 · x^4 · y^3
241920 · x^3 · y^4
193536 · x^2 · y^5
86016 · x · y^6
16384 · y^7
MatheAss 8.2
Seite 12
Für a=1 und b=1 erhält man die Zahlen des Pascalschen Dreiecks, also die Binomialkoeffizienten, von denen jede
die Summe der beiden darüber stehenden Zahlen ist.
1
1
1
1
1
1
1
3
4
5
6
1
2
6
10
15
1
3
1
4
10
20
1
5
15
1
6
1
Gleichungen 4.Grades
Das Programm bestimmt die reell wertigen Lösungen einer Gleichung 4. oder kleineren Grades.
a·x4 + b·x3 + c·x2 + d·x + e = 0
Beispiel:
Um die Lösungsmenge der Gleichung x4 + 2x3 - 8x2 -18x - 9 = 0 zu bestimmen, gibt man die Koeffizienten a
bis e folgendermaßen ein:
und erhält die Lösungsmenge:
x^4 + 2x^3 - 8x^2 - 18x - 9 = 0
L = {-1; -3; 3}
Die Formel für quadratische Gleichungen lernt jeder Schüler. Die Formel für kubische Gleichungen, also 3.
Grades, wurde von Scipione del Ferro um 1530 hergeleitet, aber erst nach seinem Tode von seinem Schüler
Ceralamo Cardano veröffentlicht. Die Erweiterung auf Gleichungen 4. Grades schrieb Cardano selbst seinem
Schüler Lodovico Ferrari zu.
1824 gelang dem norwegischen Mathematiker Niels Henrik Abel der Nachweis, dass es für Gleichungen höher als
4. Grades, abgesehen von Sonderfällen, keine Lösungsformel geben kann. Es bleiben dann noch
Näherungsrechnungen wie sie bei der Bestimmung der Nullstellen im Programmteil Kurvendiskussion angewendet
werden.
Einen Ausweg bietet manchmal die Polynomdivision, wenn durch Probieren eine Lösung gefunden wurde.
Zum Beispiel findet man durch Probieren für die Gleichung x5 - 12x3 - 2x2 + 27x + 18 = 0 die Lösung x1 = 2 .
Die linke Seite der Gleichung muss sich also ohne Rest durch (x - 2) dividieren lassen.
Die Polynomdivision ergibt: (- 18x5 + 45x4 - 2x3 - 12x2 + 1 ) : (x - 2 ) = x4 + 2x3- 8x2 - 18x - 9
Die Gleichung x4 + 2x3- 8x2 - 18x - 9 = 0 liefert dann die restlichen Lösungen.
Diophantische Gleichungen
Benannt nach Diophantos von Alexandria (um 250), der in seinem Buch Arithmetica das Lösen linearer und
quadratischer Gleichungen, insbesondere deren ganzzahlige Lösungen behandelt.
Das Programm berechnet die ganzzahligen Lösungen der Gleichung a·x + b·x + c = 0 .
Damit lassen sich zum Beispiel die ganzzahligen Punkte auf einer Geraden bestimmen.
Beispiel:
Die ganzzahligen Punkte der Geraden mit der Gleichung y = 7/3·x - 5/3 erhält man aus
7·x - 3·y - 5 = 0 ;
x,y ganzzahlig
L = { ( 2 + 3t | 3 + 7t ) }
Es sind dies die Punkte in L = { (2ǀ3), (5ǀ10), (8ǀ17), ... }
MatheAss 8.2
Seite 13
Pythagoreische Tripel
Pythagoreische Zahlentripel sind die ganzzahligen Lösungen (x,y,z) der Gleichung x2 + y2 = z2 , die für die
Seiten in rechtwinkligen Dreiecken gilt.
Das Programm berechnet alle teilerfremden Pythagoreischen Zahlentripel, die nicht größer als eine vorgegebene
Zahl sind.
Beispiel:
Für x, y, z < 60 erhält man:
( 3, 4, 5 )
( 8, 15, 17 )
( 20, 21, 29 )
( 12, 35, 37 )
( 5,
( 7,
( 9,
( 28,
12,
24,
40,
45,
13
25
41
53
)
)
)
)
Ein Beispiel für die Anwendung Pythagoreischer Tripel ist die Zwölfknotenschnur, mit der ein rechtwinkliges
Dreieck mit den Seiten 3, 4 und 5 gelegt werden kann.
Rechnen in Stellenwertsystemen
Dieser Taschenrechner erlaubt es die vier Grundrechenarten in jedem Stellenwertsystem mit einer Basis zwischen
2 und 16 durchzuführen. Gerechnet wird in der Menge der ganzen Zahlen, die Division wird als Ganzzahldivision
ohne Rest ausgeführt.
Mit den Tasten
(Clear Entrance) und
(All Clear) können die letzte bzw. alle Eingaben gelöscht werden.
Sie können ihre Werte mit der Maus oder der Tastatur eingeben und es gelten die Hierarchieregeln der Algebra
('Punkt vor Strich').
Die zweite Anzeige erlaubt es, die Ergebnisse in einem zweiten Stellenwertsystem, meist dem 10er-System, zu
verfolgen.
Beispiel:
Im Zweiersystem ist 100100 + 1100 = 110000 .
Im Zehnersystem (1·32 + 1·4) + (1·8 + 1·4) = (1·32 + 2·16) oder 36 + 12 = 48 .
Im Hexadezimal- oder 16er-System ist das Ergebnis 30 , da 3·16 + 0·1 = 48 ist.
Rechnen mit Brüchen
Dieser Taschenrechner erlaubt es die vier Grundrechenarten sowie das Potenzieren von Brüchen mit natürlichen
Zahlen durchzuführen. Zähler und Nenner werden getrennt eingegeben. Gewechselt wird mit der Tabulator-Taste
oder durch Anklicken des gewünschten Eingabefensters.
Mit den Tasten
(Clear Entrance) und
(All Clear) können die letzte bzw. alle Eingaben gelöscht werden.
Sie können ihre Werte mit der Maus oder der Tastatur eingeben und es gelten die Hierarchieregeln der Algebra
('Punkt vor Strich').
Die zweite Anzeige erlaubt es, die Ergebnisse als gemischte Zahl, als Dezimalbruch oder als Prozentwert zu
verfolgen.
MatheAss 8.2
Seite 14
Beispiel:
9/16 + 24/5 = 429/80
Als gemischte Zahl 5 29/80 , als Dezimalbruch 5,3625 und als Prozentwert 536,25%
Rechnen mit komplexen Zahlen
Dieser Taschenrechner erlaubt es die vier Grundrechenarten sowie die wichtigsten Funktionen mit komplexen
Zahlen durchzuführen. Realteil und Imaginärteil werden getrennt eingegeben. Gewechselt wird mit der TabulatorTaste oder durch Anklicken des gewünschten Eingabefensters.
Mit den Tasten
(Clear Entrance) und
(All Clear) können die letzte bzw. alle Eingaben gelöscht werden.
Sie können ihre Werte mit der Maus oder der Tastatur eingeben und es gelten die Hierarchieregeln der Algebra
('Punkt vor Strich'). Funktionen können mit ihren Anfangsbuchstaben aufgerufen werden, die Wurzelfunktion SQR
durch 'W'.
Die zweite Anzeige liefert die Polarkoordinaten, d.h. die Länge und die Richtung des zugehörigen Ortsvektors in
der Gaußschen Zahlenebene. Durch Anklicken der Anzeige kann zwischen den Winkelmaßen Altgrad (°) und
Radiant gewechselt werden.
Beispiel:
( 3 + 4i )( 3 - 4i ) = 25
MatheAss 8.2
Seite 15
Geometrie 2D
Rechtwinklige Dreiecke
Ein rechtwinkliges Dreieck ist meist durch zwei Größen zusammen mit dem rechten Winkel eindeutig bestimmt.
Das Programm erlaubt es, aus den folgenden Größen zwei auszuwählen und ihre Werte einzugeben:
 Katheten a und b




Hypotenuse c
Winkel α und β
Hypotenusenabschnitte p und q
Höhe h
 Flächeninhalt A
Werden zwei der neun Größen eingegeben, so berechnet das Programm die restlichen Größen. Die graphische
Darstellung kann mit dem Programmpunkt Dreiecke aus drei Größen erfolgen.
Beispiel:
Gegeben :
Kathete a = 3
Hypotenuse c = 5
Ergebnisse :
Kathete b
Winkel Alpha
36,869898°
Winkel Beta
53,130102°
Hypotenusenabschnitt p
Hypotenusenabschnitt q
Höhe h
Flächeninhalt A
= 4
=
=
=
=
=
=
1,8
3,2
2,4
6
Dreiecke aus drei Größen
Dreiecke werden durch drei äußere Größen ( Seiten oder Winkel ) eindeutig bestimmt, wenn einer der
Kongruenzsätze erfüllt ist:




sss
drei Seiten sind gegeben.
sww eine Seite und zwei Winkel sind gegeben.
sws
zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel sind gegeben.
Ssw
zwei Seiten und der Winkel, der der größeren gegenüberliegt, sind gegeben.
In diesen Fällen berechnet das Programm die Seiten, die Winkel, die Höhen, die Seiten- und die
Winkelhalbierenden (Strecken von der Ecke bis zum Schnittpunkt mit der Seite gegenüber), den Umfang und den
Flächeninhalt, sowie die Mittelpunkte und Radien von Inkreis und Umkreis des Dreiecks.
Außerdem wird das Dreieck mit In- und Umkreis gezeichnet.
Gibt man zwei Seiten und den Winkel ein, der der kleineren Seite gegenüberliegt (sSw), gibt es meist keine
eindeutige Lösung. Es werden dann beide Lösungen angezeigt.
MatheAss 8.2
Seite 16
Beispiel:
Gegeben: a=6, b=4 und α=60°
Ecken
Seiten
Winkel
Höhen
Seitenh.
Winkelh.
:
:
:
:
:
:
A(1|1)
6
60°
3,98313
4,77472
4,38551
B(7,899|1)
4
35,2644°
5,97469
6,148
6,11664
Umkreis : M(4,44949|1,31784)
Inkreis : O(3,44949|2,41421)
Fläche : A = 11,9494
C(3|4,4641)
6,89898
84,7356°
3,4641
3,75513
3,5464
ru = 3,4641
ri = 1,41421
Umfang : u = 16,899
Dreiecke aus drei Punkten
Werden von einem Dreieck die Koordinaten der drei Eckpunkte eingegeben, berechnet das Programm alle
'äußeren' und 'inneren' Größen, das heißt die Seiten, die Winkel, die Höhen, die Seiten- und die
Winkelhalbierenden, den Umfang und den Flächeninhalt, sowie die Mittelpunkte und Radien des Umkreises und
Inkreises des Dreiecks. Außerdem wird das Dreieck mit In- und Umkreis gezeichnet.
Beispiel
Ecken
Seiten
Winkel
40,2364°
Höhen
Seitenh.
Winkelh.
: A(1|0)
: 5,38516
: 57,5288°
B(5|1)
6,32456
82,2348°
C(3|6)
4,12311
: 4,0853
: 4,60977
: 4,37592
3,47851
3,60555
3,51849
5,33578
5,5
5,46225
Umkreis : M(2,40909|2,86364)
Inkreis : O(3,11866|1,96195)
Fläche : A = 11
ru = 3,19154
ri = 1,38952
Umfang : u = 15,8328
Regelmäßige Vielecke
Von einem regelmäßigen n-Eck werden die folgenden Größen berechnet, wenn eine davon gegeben ist:
Seite a , Umkreisradius ru , Inkreisradius ri , Umfang u und Fläche A.
Beispiel:
Gegeben :
Eckenzahl n = 6
Umkreisradius ru = 1
Ergebnisse :
Seite a = 1
Inkreisradius ri = 0,8660254
Umfang u = 6
Fläche A = 2,5980762
MatheAss 8.2
Seite 17
Beliebige Vielecke
Zunächst müssen die Koordinaten der Eckpunkte eines Vielecks eingegeben werden.
Danach werden der Flächeninhalt, der Umfang und die Koordinaten des Ecken- und des Flächenschwerpunktes
bestimmt, und das Vieleck wird gezeichnet.
Beispiel:
Ecken:
A(0|0)
B(4|1)
C(6|0)
D(5|6)
Fläche
A = 15
Umfang
u = 20,252186
Eckenschwerpunkt:
ES(3,75|1,75)
Flächenschwerpunkt:
FS(3,73333|2,33333)
Abbilden von Vielecken
Das Programm erlaubt es, auf ein n-Eck die folgenden Abbildungen anzuwenden.
 Parallelverschiebung




Punktspiegelung
Geradenspiegelung
Drehung
Streckung
 Scherung
Zunächst müssen die Koordinaten der Eckpunkte eines Vielecks eingegeben werden. Es können maximal 14
Punkte eingegeben werden. Danach erfolgt die Wahl der Abbildungsarten
Ausgegeben werden zu jeder Abbildung der Verkettung die Koordinaten der Eckpunkte und die Bildfigur.
Beispiel:
Urbild
A(1|1), B(5|1), C(3|5),
1. Verschiebung: dx = 2, dy = 1
A(3|2), B(7|2), C(5|6)
2. Geradenspiegelung: a=(PQ), P(1/0), Q(0/1)
A(-1|-2), B(-1|-6), C(-5|-4)
3. Drehung: Z(0/0), alpha = 45°
A(0,70711|-2,1213), B(3,5355|-4,9497), C(0,70711|-6,364)
4. Zentr. Streckung: Z(0/0), k = -2
A(-1,4142|4,2426), B(-7,0711|9,8995),
C(1,4142|12,728)
MatheAss 8.2
Seite 18
Wahl der Abbildungsarten
Sie können mehrere Abbildungen verketten und dabei jeweils aus den folgenden sechs Abbildungstypen
auswählen:

Verschiebung um dx in x-Richtung und dy in y-Richtung




Geradenspiegelung an der Gerade (PQ)

Scherung an der Gerade (PQ) mit Winkel α
Punktspiegelung an dem Punkt Z
Drehung um den Punkt Z mit Drehwinkel α
Zentrische Streckung aus Z mit Faktor k
Um eine Abbildung zu definieren, wählen Sie das entsprechende Register und geben die Parameter der Abbildung
ein.
Durch "hinzufügen" wird die Abbildung in die Liste der Abbildungen aufgenommen.
Durch "löschen" wird die letzte Abbildung aus der Liste entfernt.
Es sind auch mehrere Abbildungen vom gleichen Typ möglich. Man kann also auch Mehrfachspiegelungen an
verschiedenen Geraden auf das n-Eck anwenden.
Kreis und Kreisteile
Sind zwei der folgenden Größen eines Kreissektors gegeben, so werden die anderen berechnet:
Radius r , Bogen b , Sehne s , Fläche A und Mittelpunktswinkel α.
Außerdem werden die Fläche des Kreissegments, der Abstand der Sehne vom Mittelpunkt und die Pfeilhöhe, d.h.
der maximale Abstand zwischen Sehne und Bogen, berechnet.
Beispiel:
Gegeben :
Bogen b = 1
Winkel alpha = 45°
Ergebnisse :
Radius r
Sehne s
Kreissektor A1
Abstand d
Pfeilhöhe h
Kreissegment A2
=
=
=
=
=
=
1,2732395
0,97449536
0,63661977
1,17632
0,096919589
0,063460604
Kreisfläche A = 5,0929582
Kreisumfang u = 8
MatheAss 8.2
Seite 19
Anwendung:
Zu einem Bruchstück eines Tellers soll die Größe des ursprünglichen Tellers berechnet werden. Gemessen werden
eine Sehne s und die zugehörige Pfeilhöhe h.
Gegeben:
Sehne s = 21
Pfeilhöhe h = 6
Ergebnisse:
Radius r
Winkel α
Bogen b
Kreissektor A1
Abstand d
Kreissegment A2
=
=
=
=
=
=
12,1875
118,97953°
25,308373
154,2229
6,1875
89,254148
Der Teller hatte also einen Radius von 12,2cm.
Kreisfläche A = 466,63696
Kreisumfang u = 76,576321
Schnitt von Kreis und Gerade
Bestimmt werden die Schnittpunkte von einem Kreis und einer Geraden.
Beispiel:
Kreis und Gerade :
k : M(5|0)
r = 5
g : x + y = 0
Schnittpunkte :
S1(5|-5)
S2(0|0)
Schnitt von zwei Kreisen
Das Programm bestimmt die Schnittpunkte von zwei Kreisen und die Verbindungsgerade.
Beispiel:
Gegeben sind die Kreise :
k1 : M1(5|5)
k2 : M2(0|0)
r1 = 5
r2 = 5
Schnittpunkte :
S1(5|0)
S2(0|5)
Verbindungsgerade :
x + y = 5
MatheAss 8.2
Seite 20
Geometrie 3D
Das Tetraeder
Ein Tetraeder (Vierflach) ist eine regelmäßige dreiseitige Pyramide. Seine Oberfläche setzt sich aus vier
kongruenten gleichseitigen Dreiecken zusammen. Damit gehört es zu den fünf Platonischen Körpern.
Von einem Tetraeder werden die folgenden Größen berechnet, wenn eine davon gegeben ist:
 Kante a
 Flächenhöhe h1
 Raumhöhe h2




Gegeben:
Umkugelradius
Umkugelradius ru
Inkugelradius ri
Volumen V
Oberfläche O
ru = 1
Ergebnisse:
Kante a
Flächenhöhe h1
Raumhöhe h2
Umkugelradius ru
Inkugelradius ri
Volumen V
Oberfläche O
=
=
=
=
=
=
=
1,6329932
1,4142136
1,3333333
1
0,33333333
0,51320024
4,6188022
Das Hexaeder
Ein Hexaeder (Sechsflach) ist ein Würfel. Seine Oberfläche setzt sich aus sechs kongruenten Quadraten
zusammen. Damit gehört es zu den fünf Platonischen Körpern.
Von einem Hexaeder werden die folgenden Größen berechnet wenn eine davon gegeben ist:




Kante a
Flächendiagonale d1
Raumdiagonale d2
Umkugelradius ru
 Inkugelradius ri
 Volumen V
 Oberfläche O
Gegeben:
Umkugelradius
ru = 1
Ergebnisse:
Kante a
Flächendiagonale d1
Raumdiagonale d2
Umkugelradius ru
Inkugelradius ri
Volumen V
Oberfläche O
=
=
=
=
=
=
=
1,1547005
1,6329932
2
1
0,57735027
1,5396007
8
MatheAss 8.2
Seite 21
Das Oktaeder
Ein Oktaeder (Achtflach) ist eine regelmäßige vierseitige Doppelpyramide. Seine Oberfläche setzt sich aus acht
kongruenten gleichseitigen Dreiecken zusammen. Damit gehört es zu den fünf Platonischen Körpern.
Von einem Oktaeder werden die folgenden Größen berechnet, wenn eine davon gegeben ist:
 Kante a
 Flächenhöhe h1
 Raumhöhe h2




Umkugelradius ru
Inkugelradius ri
Volumen V
Oberfläche O
Beispiel:
Gegeben:
Umkugelradius
ru = 1
Ergebnisse:
Kante a
Flächenhöhe h1
Raumhöhe h2
Umkugelradius ru
Inkugelradius ri
Volumen V
Oberfläche O
=
=
=
=
=
=
=
1,4142136
1,2247449
2
1
0,57735027
1,3333333
6,9282032
Das Dodekaeder
Die Oberfläche eines Dodekaeder (Zwölfflach) setzt sich aus zwölf kongruenten gleichseitigen Fünfecken
zusammen. Damit gehört es zu den fünf Platonischen Körpern.
Von einem Dodekaeder werden die folgenden Größen berechnet, wenn eine davon gegeben ist:
 Kante a
 Flächendiagonale d
 Flächenhöhe h
 Umkugelradius ru
 Inkugelradius ri
 Volumen V
 Oberfläche O
Beispiel:
Gegeben:
Umkugelradius
ru = 1
Ergebnisse:
Kante a
Flächendiagonale d
Flächenhöhe h
Umkugelradius ru
Inkugelradius ri
Volumen V
Oberfläche O
=
=
=
=
=
=
=
0,71364418
1,1547005
1,0981855
1
0,79465447
2,7851639
10,514622
MatheAss 8.2
Seite 22
Das Ikosaeder
Die Oberfläche eines Ikosaeders (zwanzigflach) setzt sich aus zwölf kongruenten gleichseitigen Dreiecken
zusammen. Damit gehört es zu den fünf Platonischen Körpern.
Von einem Ikosaeder werden die folgenden Größen berechnet, wenn eine davon gegeben ist:
 Kante a
 Flächenhöhe h1
 Raumhöhe h2




Umkugelradius ru
Inkugelradius ri
Volumen V
Oberfläche O
Beispiel:
Gegeben:
Umkugelradius
ru = 1
Ergebnisse:
Kante a
Flächenhöhe h1
Raumhöhe h2
Umkugelradius ru
Inkugelradius ri
Volumen V
Oberfläche O
=
=
=
=
=
=
=
1,0514622
0,910593
2
1
0,79465447
2,5361507
9,5745414
Das regelmäßige Prisma
Ein regelmäßiges Prisma hat ein regelmäßiges n-Eck, d.h. mit n gleichen Seiten und n gleichen Winkeln, als
Grundfläche und senkrechte Seitenkanten.
Von einem regelmäßigen Prisma werden die folgenden Größen berechnet wenn zwei davon gegeben sind:

Seite a und Höhe h




In- und Umkreisradius ri , ru
Volumen V
Grundfläche G
Oberfläche O
Beispiel:
Gegeben:
Eckenzahl n = 6
Umkreisradius ru = 1
Volumen V = 1
Ergebnisse:
Eckenzahl n = 6
Seite a = 1
Höhe h = 0,38490018
Umkreisradius ru = 1
Inkreisradius ri = 0,8660254
Volumen V = 1
Grundfläche G = 2,5980762
Oberfläche O = 7,5055535
MatheAss 8.2
Seite 23
Der senkrechte Kreiszylinder
Von einem senkrechten Kreiszylinder werden die folgenden Größen berechnet wenn zwei davon gegeben sind:



Radius r




Volumen V
Höhe h
Umfang u
Grundfläche G
Mantelfläche M
Oberfläche O
Beispiel:
Gegeben:
V = 1
O = 1
Ergebnisse:
Radius
Höhe
Umfang
Volumen
Grundfläche
Mantelfläche
Oberfläche
r
h
u
V
G
M
O
=
=
=
=
=
=
=
-0,63894167
0,7797003
-0,098088893
1
1,2825441
-3,1301762
1
Die regelmäßige vierseitige Pyramide
Von einer regelmäßigen vierseitigen Pyramide werden die folgenden Größen berechnet wenn zwei davon gegeben
sind:


Grundkante a




Seitenkante s

Oberfläche O
Raumhöhe h1
Seitenhöhe h2
Volumen V
Seitenfläche A
Beispiel:
Gegeben:
a = 1
V = 1
Ergebnisse:
Grundkante a
Seitenkante s
Raumhöhe h1
Seitenhöhe h2
Volumen V
Oberfläche O
Seitenfläche A
=
=
=
=
=
=
=
1
3,082207
3
3,0413813
1
7,0827625
1,5206906
MatheAss 8.2
Seite 24
Der senkrechte Kreiskegel
Von einem senkrechten Kreiskegel werden die folgenden Größen berechnet wenn zwei davon gegeben sind:



Radius r




Volumen V
Höhe h
Mantellinie s
Grundfläche G
Mantelfläche M
Oberfläche O
Beispiel:
Gegeben:
V = 1
O = 1
Ergebnisse:
Radius
Höhe
Mantellinie
Volumen
Mantelfläche
Grundfläche
Oberfläche
r
h
s
V
M
G
O
=
=
=
=
=
=
=
0,56418958
3
3,0525907
1
5,4105761
1
6,4105761
Die Kugel
Von einer Kugel werden die folgenden Größen berechnet wenn eine davon gegeben ist. Außerdem wird zu einem
vorgegebenen Mittelpunktswinkel α Radius und Umfang des zugehörigen Breitenkreises bestimmt.

Radius r




Durchmesser d
Umfang u
Volumen V
Oberfläche O
Beispiel:
Gegeben:
Oberfläche O = 1
Ergebnisse:
Radius
Durchmesser
Umfang
Oberfläche
Volumen
r
d
u
O
V
=
=
=
=
=
0,28209479
0,56418958
1,7724539
1
0,094031597
Breitenkreis : 48°
Radius r'= 0,18875826
Umfang u'= 1,1860031
MatheAss 8.2
Seite 25
Koordinatensysteme
Mit diesem Programm lassen sich dreidimensionale kartesische Koordinaten in dreidimensionale Polarkoordinaten
( Kugelkoordinaten ) oder Zylinderkoordinaten umrechnen und umgekehrt.
Die kartesischen Koordinaten (x/y/z) eines Punktes beziehen sich auf ein
Koordinatensystem bei dem die Achsen senkrecht zueinander verlaufen und auf allen
Achsen die gleiche Längeneinheit verwendet wird.
Die Polarkoordinaten (r/phi/Theta) eines Punktes geben seinen Abstand r zum Ursprung
an, den Drehwinkel phi in der Äquatorebene und den Erhebungswinkel Theta aus der
Äquatorebene heraus.
Die Zylinderkoordinaten (rho/phi/z) eines Punktes geben seinen Abstand rho zur
Zylinderachse an, den Drehwinkel phi um die Achse und die Höhe z über dem Ursprung.
Beispiel:
kartesisch
x = 1
y = 1
z = 1
polar
r = 1,7320508
phi = 45°
Theta= 35,26439°
zylindrisch
rho = 1,4142136
phi = 45°
z = 1
Gerade durch zwei Punkte
Zwei Punkte im Raum bestimmen genau eine Gerade. Gibt man die Koordinaten von zwei Punkten ein, so
bestimmt das Programm die Punkt-Richtungs-Form der Gerade, sowie ihren Abstand vom Ursprung. Zusätzlich
wird die Lage zu den Koordinatenebenen ermittelt
Beispiel:
Gerade durch A(1|1|1), B(2|5|6)
Parameterdarstellung
====================
-> | 1 |
| 1 |
x = | 1 | + t·| 4 |
| 1 |
| 5 |
Lage zur yz-Ebene
=================
senkr. Proj.: 5·y - 4·z = 1
Schnittpunkt: S2(0|-3|-4)
Schnittwinkel: 8,8763951°
Abstand vom Ursprung
====================
d = 0,78679579
Lage zur xz-Ebene
=================
senkr. Proj.: 5·x - z = 4
Schnittpunkt: S3(0,75|0|-0,25)
Schnittwinkel: 38,112927°
Lage zur xy-Ebene
=================
senkr. Proj.: 4·x - y = 3
Schnittpunkt: S1(0,8|0,2|0)
Schnittwinkel: 50,490288°
MatheAss 8.2
Seite 26
Ebene durch drei Punkte
Drei Punkte im Raum, die nicht auf einer Geraden liegen, bestimmen genau eine Ebene. Gibt man die
Koordinaten von drei Punkten ein, so bestimmt das Programm die Punkt-Richtungs-Form und die
Koordinatengleichung der zugehörigen Ebene, sowie ihren Abstand vom Ursprung. Dabei werden die
Richtungsvektoren und der Normalenvektor auf ganze Zahlen erweitert. Zusätzlich wird die Lage der Ebene im
Raum durch ein Schrägbild veranschaulicht, das ihre Schnittgeraden mit einem achsensymmetrischen Würfel,
sowie die Spurpunkte der Ebene enthält.
Beispiel:
Ebene durch die Punkte:
A(1|2|3), B(2|3|3), C(1|0|1)
Punkt-Richtungs-Form:
=====================
-> | 1 |
| 1 |
| 0 |
x = | 2 | + r·| 1 | + s·| 1 |
| 3 |
| 0 |
| 1 |
Koordinatengleichung:
=====================
x - y + z = 2
Abstand vom Ursprung:
=====================
d = 1,1547005
Spurpunkte:
===========
Sx(2|0|0)
Sy(0|-2|0)
Sz(0|0|2)
Die Figur lässt sich mit der linken Maustaste drehen
und mit der rechten Maustaste zoomen.
Kugel durch vier Punkte
Eine Kugel ist durch vier Punkte, die nicht in einer Ebene liegen, eindeutig bestimmt.
Das Programm bestimmt aus den Koordinaten von vier Punkten die Gleichung der Kugel, ihren Mittelpunkt und
Radius.
Beispiel:
Kugel durch die Punkte:
A(1|0|0), B(0|2|0), C(0|0|3), D(1|0|1)
Normalform:
===========
| ->
|-2,5 | |2
K : | x
- |-0,5 | |
|
| 0,5 | |
Mittelpunkt und Radius:
=======================
M(-2,5|-0,5|0,5)
r = 3,5707142
= 12,75
MatheAss 8.2
Seite 27
Schnitt von zwei Geraden im Raum
Das Programm bestimmt zu zwei Geraden den Schnittpunkt, sowie den Schnittwinkel und die Abstände vom
Ursprung. Die Geraden können in Parameterdarstellung oder durch zwei Punkte eingegeben werden.
Haben die Geraden keinen Punkt
gemeinsam,
wird gemeldet: 'Die Geraden sind parallel'
oder
'Die Geraden sind windschief'.
Beispiel:
-> | 5 |
| 0 |
g : x = | 0 | + r·| 1 |
| 0 |
| 1 |
-> | 0 |
| 1 |
h : x = | 5 | + s·| 0 |
| 0 |
| 1 |
Schnittpunkt von g und h : S(5|5|5)
Winkel zwischen g und h
: 60°
Abstände zum Ursprung :
d(O,g)=5
d(O,h)=5
Die Figur lässt sich mit der linken Maustaste drehen
und mit der rechten Maustaste zoomen.
Schnitt von Ebene und Gerade
Zu einer Ebene und einer Geraden werden der Schnittpunkt und der Schnittwinkel bestimmt.
Die Ebene kann in Parameterdarstellung oder als Koordinatengleichung eingegeben werde, die
Gerade in Parameterdarstellung oder durch zwei Punkte.
Beispiel:
Ebene E :
=========
E : x + y + z = 5
Gerade g :
==========
-> | 5 |
| 0 |
g : x = | 0 | + r·| 1 |
| 0 |
| 1 |
Schnittpunkt von E und g:
=========================
S(5|0|0)
Schnittwinkel von E und g :
===========================
alpha = 54,73561°
Die Figur lässt sich mit der linken Maustaste drehen
und mit der rechten Maustaste zoomen.
MatheAss 8.2
Seite 28
Schnitt von zwei Ebenen
Das Programm bestimmt zu zwei Ebenen die Schnittgerade, den Abstand der Gerade vom Ursprung
und den Winkel zwischen den beiden Ebenen.
Die Ebenen könnte in Parameterdarstellung oder als Koordinatengleichungen eingegeben werden.
Gezeichnet werden die Schnitte der Ebenen mit einem achsensymmetrischen Würfel und die
Schnittgerade der beiden Ebenen.
Beispiel:
Gegeben sind die beiden Ebenen:
===============================
E1 : 5·x - 2·y = 5
E2 : 2·x - y + 5·z = 8
Schnittgerade der Ebenen:
=========================
-> |-11 |
| 10 |
g : x = |-30 | + r·| 25 |
| 0 |
| 1 |
Abstand vom Ursprung:
=====================
d = 1,5057283
Schnittwinkel der Ebenen:
=========================
alpha = 65,993637°
Die Figur lässt sich mit der linken Maustaste
drehen und mit der rechten Maustaste zoomen.
Schnitt von Kugel und Gerade
Das Programm bestimmt die Schnittpunkte einer Kugel und einer Geraden.
Die Kugel wird mit Mittelpunkt und Radius, die Gerade in Parameterdarstellung oder durch zwei Punkte
eingegeben.
Beispiel:
Kugel :
=======
K : M(5|5|5) ,
r = 5
Gerade :
========
-> | 1 |
| 1 |
g : x = | 0 | + r·| 1 |
| 0 |
| 1 |
Schnittpunkte :
===============
S1(2,818665|1,818665|1,818665)
S2(8,514668|7,514668|7,514668)
Länge der Sehne :
=================
s = 9,8657657
Die Figur lässt sich mit der linken Maustaste drehen
und mit der rechten Maustaste zoomen.
MatheAss 8.2
Seite 29
Schnitt von Kugel und Ebene
Aus der Koordinatengleichung einer Ebene, dem Mittelpunkt und dem Radius einer Kugel bestimmt das
Programm den Mittelpunkt und den Radius des Schnittkreises.
Beispiel:
Ebene :
=======
E : 5·x - 4·y + 5·z = -3
Kugel :
=======
| ->
| 1 ||2
K : | x - | 2 || = 16
|
| 3 ||
Schnittkreis von K und E :
==========================
M(-0,1363636|2,909091|1,863636)
r = 3,5483671
Die Figur lässt sich mit der linken Maustaste drehen
und mit der rechten Maustaste zoomen.
Schnitt von zwei Kugeln
Aus den Koordinaten des Mittelpunkts und den Radien von zwei Kugeln bestimmt das Programm den Mittelpunkt
und Radius des Schnittkreises sowie die Koordinatengleichung der Schnittkreisebene.
Gibt man bei einer Kugel als Radius Null und als Mittelpunkt einen Punkt auf der anderen Kugel ein, so erhält man
die Gleichung der Tangentialebene.
Beispiel:
Gegeben sind die beiden Kugeln:
===============================
K1 : M1(3|3|3) , r1 = 3
K2 : M2(1|1|1) , r2 = 3
Schnittkreis:
=============
M(2|2|2) , r = 2,4494897
Schnittebene:
=============
E : x + y + z = 6
Die Figur lässt sich mit der linken Maustaste drehen und mit der rechten Maustaste zoomen.
MatheAss 8.2
Seite 30
Abstände zwischen Punkten, Geraden und Ebenen
Entfernung zwischen zwei Punkten
Sie wird mit der Formel von Pythagoras berechnet: d = √( (x1 - x2)2 + (y1 - y2)2 + (z1 - z2)2)
Abstand zwischen Punkt und Gerade
Man eine Ebene E in Normalenform, die als Stützvektor den Ortsvektor des Punktes P und als Normalenvektor
den Richtungsvektor der Geraden g hat. Schneidet die Gerade g die Ebene E im Punkt S, dann ist die Entfernung
zwischen P und S der gesuchte Abstand von P zu g
Abstand zwischen Punkt und Ebene
Man schneidet die Lotgerade vom Punkt auf die Ebene mit der Ebene. Die Entfernung zwischen dem Schnittpunkt
und dem gegebenen Punkt ist der gesuchte Abstand zwischen Punkt und Ebene.
Abstand zwischen zwei Geraden:
Siehe Schnitt von zwei Geraden
Abstand zwischen Gerade und Ebene:
Abstand zwischen zwei Ebenen:
Siehe Schnitt von Ebene und Geraden
Siehe Schnitt von zwei Ebenen
MatheAss 8.2
Seite 31
Analysis
Polynomdivision
Das Programm berechnet das Produkt und den Quotienten von zwei Polynomen.
Musteraufgabe:
Ausgabe:
1.Polynom : 3x^4 - 2x + 1
2.Polynom : 2x + 5
Produkt : 6x^5 + 15x^4 - 4x^2 - 8x + 5
Quotient: 1,5x^3 - 3,75x^2 + 9,375x - 24,438
Rest
: 123,19
Anwendung:
Die gebrochen-rationale Funktion
hat die Näherungsfunktionen
für x → ∞
für x → -2,5.
Funktionsplotter
Es können bis zu zehn Funktionen gleichzeitig in einem Koordinatensystem gezeichnet werden. Erlaubt sind auch
Verknüpfungen oder Ableitungen von bereits definierten Funktionen.
Mögliche Verknüpfungen:
Sei f1(x)=sin(x) und f2(x)=3*sqr(x),
dann ersetzt
f3(x)=2*y1^2-y2
3*sqr(x)
f4(x)=f2(y1)
f5(x)=y2'
f3(x)=2*sin(x)^2f4(x)=3*sqr(sin(x))
f5(x)=3/(2*sqr(x))
Durch Doppelklicken mit der linken Maustaste kann zwischen Verschieben und Zoomen der Grafik gewechselt
werden. Zu erkennen ist dies am geänderten Mauszeiger. Mit der rechten Maustaste öffnet man ein lokales Menü,
das weitere Einstellungen ermöglicht.
MatheAss 8.2
Beispiel:
Abschnittsweise definierte Funktionen
Gezeichnet wird eine abschnittsweise definierte Funktion, die durch neun Teilfunktionen f1 bis f9 gegeben ist.
Für jede der Teilfunktionen werden der Definitionsbereich und die Art des Intervalls eingegeben.
 Intervall

] [ : beidseitig offen

] ] : links offen und rechts abgeschlossen


[ [ : links abgeschlossen und rechts offen
[ ] : beidseitig abgeschlossen
Außerdem kann bestimmt werden, ob die Randpunkte gezeichnet werden oder nicht. Sie werden als gefüllte
Kreise oder offene Quadrate gezeichnet, je nachdem, ob sie zum Definitionsbereich dazu gehören oder nicht.
Beispiel:
Seite 32
MatheAss 8.2
Seite 33
Parameterkurven
Mit diesem Programm lassen sich Kurven zeichnen, die nicht durch einen expliziten Funktionsterm gegeben sind,
sondern durch zwei Funktionen für die horizontale und vertikale Auslenkung.
Beispiele:
1. Der Kreis
2. Die Spirale
x(k) = sin(k)
x(k) = k/8*sin(k)
y(k) = cos(k)
y(k) = k/8*cos(k)
k von -Pi bis Pi
k von 0 bis 20
3. Die Lissajou-Figuren
x(k) = sin(3*k)
y(k) = cos(5*k)
k von -Pi bis Pi
Lissajou-Figuren erhält man,
wenn man an ein Oszilloskop
zwei Wechselspannungen mit
verschiedenen Frequenzen
anlegt.
Kurvenscharen
Das Programm zeichnet die Schaubilder von beliebigen Funktionen, die einen Scharparameter k enthalten.
Die Werte für k können aufgelistet oder durch Anfangswert, Endwert und Schrittweite bestimmt werden.
Beipiele:
1. Übersicht über Potenzfunktionen
f(x,k) = x^k
k ∈ { 0, 1/2, -1/2, 1, -1, 2, -2 }
2. Sinuskurven mit verschiedenen
Phasenverschiebungen
f(x,k) = sin(x+k)
k von -2 bis 2 mit Schrittweite Pi/4
MatheAss 8.2
Seite 34
Kurvendiskussion
Das Programm führt für eine beliebige Funktion die Kurvendiskussion durch. Das heißt, es werden die
Ableitungen bestimmt, die Funktion wird in einem vorgegebenen Bereich auf Nullstellen, Extrema und auf
Wendepunkte untersucht, die Schaubilder von f, f' und f" werden gezeichnet, und eine Wertetabelle wird
ausgegeben.
Eingabe
Außer dem Funktionsterm werden der Bereich der Untersuchung, die Genauigkeit der Untersuchung und der
Winkelmodus eingegeben. Der Untersuchungsbereich ist das Intervall, in dem die Funktion auf Nullstellen,
Extrema und Wendepunkte untersucht wird. Er darf nicht zu groß gewählt werden, da gleichzeitig die Schrittweite
erhöht wird, mit der die Funktion auf Vorzeichenwechsel untersucht wird. Die Untersuchung erfolgt bei kleiner
Genauigkeit (0:grob) schneller als bei großer. Bei Funktionen mit sehr schnellem Vorzeichenwechsel können dabei
jedoch Nullstellen übersehen werden.
Ausgabe
Die Ableitungen f' und f" von f werden durch symbolisches Differenzieren nach den üblichen Ableitungsregeln
bestimmt. Ausgegeben werden die Nullstellen, die Hoch- und Tiefpunkte und die Wendepunkte der Funktion im
Untersuchungsbereich.
Definitionslücken kann das Programm nicht erkennen, allein deswegen, weil sie wegen der binären Arithmetik
meist nicht im Rechenbereich liegen oder übersprungen werden. Aus diesem Grund können dort versehentlich
Extrema oder Wendepunkte angezeigt werden. Was für die Definitonslücken gesagt wurde, gilt entsprechend
auch für die Stetigkeit und Differenzierbarkeit von f, f' und f". Hier bleibt zwangsläufig ein Stück Eigenarbeit
übrig.
Beispiel:
Funktion :
==========
f (x) = x^4-2*x^3+1
Untersuchung im Bereich von -10
bis
10
Ableitungen :
=============
f'(x) = 4*x^3-6*x^2
f"(x) = 12*x^2-12*x
Nullstellen :
=============
N1(1|0)
N2(1,83929|0)
m = - 2
m = + 4,5912
Extrema :
=========
T1(1,5|-0,6875)
m = 0
Wendepunkte :
=============
W1(0|1)
W2(1|0)
m = + 0
m = - 2
Für die Wertetabelle kann der Bereich und die Schrittweite bestimmt werden, mit der die Wertetabelle von f, f'
und f" erstellt werden soll. Vorgegeben wird der Untersuchungsbereich der Kurvendiskussion. Stellen, an denen
eine der Funktionen nicht definiert ist, werden durch --- gekennzeichnet.
MatheAss 8.2
Seite 35
Newton-Iteration
Bei der Newton-Iteration handelt es sich um ein Näherungsverfahren zur Berechnung einer Nullstelle von f(x).
Gibt man einen Startwert x0 ein, der nahe genug an der gesuchten Nullstelle liegt, so wird als nächste Näherung
der Schnitt der Tangente an den Graph von f im Punkt P(x0 /f(x0)) berechnet. Dies führt auf die Rekursionsformel
xn+1 = xn - f(xn) / f'(xn)
Das Verfahren konvergiert, wenn für x0 gilt : f(x0) · f"(x0) > 0 .
Beispiel:
f(x) = x-cos(x)
x
f(x)
f'(x)
---------------------------------------------x0
= 1
x1
= 0,75036387
0,45969769
1,841471
x2
= 0,73911289
0,018923074
1,681905
x3
= 0,73908513
0,00004646
1,6736325
x4
= 0,73908513
0,00000000
1,673612
x5
= 0,73908513
0
1,673612
x6
= 0,73908513
0
1,673612
Reihenentwicklung
Gezeichnet wird eine als Reihe f (x,k) gegebene Funktion, wobei die Reihenentwicklungen für verschiedene
Parameterbereiche verglichen und zur besseren Unterscheidung in y-Richtung versetzt werden können.
Für k und natürlichzahlige Terme von k steht die Fakultät als Funktion fak(k) zur Verfügung, die bei vielen
Reihenentwicklungen gebraucht wird.
Beispiel:
MatheAss 8.2
Seite 36
Integralrechnung
Berechnet wird der orientierte und der absolute Inhalt der Fläche zwischen zwei Funktionskurven in einem
gewünschten Intervall.
Außerdem werden bestimmt :
 die Drehmomente bei Drehung um die x- bzw. y-Achse
 die dabei überstrichenen Rotationsvolumen und
 der Schwerpunkt der Fläche
Beispiel:
f1 (x) = 4-x^2
f2 (x) = (x-1)^2
Integrationsintervall [a;b]
von 0
bis 3
Orientierter Inhalt: A1 = 0,000001
Absoluter Inhalt
: A2 = 9,50675
Drehmomente
: Mx = 9
My = -9
Rotationsvolumen
: Vx = 56,5487
Vy = -56,5486
Schwerpunkt
: S(-8E6|8E6)
Flächenfunktionen
Gezeichnet wird eine Flächenfunktion f(x,y), das heißt das dreidimensionale Schaubild einer Funktion mit zwei
Variablen. Da bei vielen Flächenfunktionen Terme mehrfach verwendet werden, besteht die Möglichkeit, einen
Term u(x,y) separat zu definieren und als u im Funktionsterm zu verwenden.
Beipiele:
a) f(x,y) = sin(u)/u
u(x,y) = sqr(x*x+y*y)
-8 ≤ x ≤ 8 ; -8 ≤ y ≤ 8 ; -0,5≤z≤1,5
a) f(x,y) = abs(sin(x)) + abs(cos(x))
1 ≤ x ≤ 8 ; 1 ≤ y ≤ 8 ; 0≤z≤2
MatheAss 8.2
Seite 37
Stochastik
Statistik
Zu einer Urliste werden der Mittelwert (arithmetisches Mittel), der Zentralwert (Median), die Varianz und die
Standardabweichung bestimmt. Zusätzlich wird die Verteilung als Histogramm ausgegeben.
Formeln:
Mittelwert:
_
x = 1/n · Σ x(i)
_
s2 = 1/(n-1)·Σ(x(i) -x)2
__
Standardabw.: s = √s2
Varianz:
_
bzw. 1/n·Σ(x(i) -x)2
Beispiel:
Daten:
1 2 3 4 5 4 3 4 5 4 3 2
Anzahl der Daten
n = 12
Maximum
max = 5
Minimum
min = 1
Mittelwert
m = 3,3333333
Zentralwert
c = 3,5
Varianz
v = 1,5151515
Standardabweichung
s = 1,2309149
+-------------------------+---------------+---------------+
|
x
|
H
|
h
|
+-------------------------+---------------+---------------+
|
1 <= x < 2
|
1
|
0,0833333
|
|
2 <= x < 3
|
2
|
0,166667
|
|
3 <= x < 4
|
3
|
0,25
|
|
4 <= x < 5
|
4
|
0,333333
|
+-------------------------+---------------+---------------+
Regression
Mit dieser Routine können Sie zu einer Messreihe mit maximal 1023 Wertepaaren eine Kurvenanpassung
durchführen lassen.
Zur Wahl stehen die folgenden Anpassungen und bei Bedarf können alle Punkte in x- oder y-Richtung verschoben
bzw. gestreckt werden.
 Urprungsgerade
 Lineare Regression




y = b·x
y = a + b·x
Polynomregression n-ter Ordnung y = a0 + ... + an · xn
Geometrische Regression
y = a·xb
Exponentielle Regression
y = a·bx
Logarithmische Regression
y = a + b · ln(x)
Ausgegeben werden der Funktionsterm der Näherungskurve, das Bestimmtheitsmaß, der Korrelationskoeffizient
und die Standardabweichung, außerdem das Schaubild der Näherungskurve und eine Wertetabelle.
MatheAss 8.2
Seite 38
Beispiel:
Polynom-Regression
y =
- 2,6299435
+ 3,8516949 x
- 0,43361582 x^2
Bestimmtheitsmaß
= 0,98338318
Korrelationskoeff. = 0,99165679
Standardabweichung = 0,46028731
Formeln zur Regression
Bei der linearen Regression durch die Gerade y = a + b·x werden die folgenden Formeln verwendet. Bei der
geometrischen Regression müssen x und y durch ln x und ln y ersetzt werden, bei der exponentiellen Regression
nur y und bei der logarithmischen Regression nur x.
a = (Σy - b·Σx)/n
b = (n·Σxy - Σx·Σy)/(n·Σx2 - Σx·Σx)
r2 = h1/h2
__
r = √r2
Bestimmtheitsmaß
Korrelationskoeff.
s2 = (h2 - h1)/(n-2)
__
s = √s2
Varianz
Standardabweichung
mit
h1 = b·(Σxy - 1/n·Σx·Σy)
h2 = Σy2 - 1/n·Σy·Σy
und
Kombinatorik
Berechnet werden die Anzahlen der Möglichkeiten, aus n Elementen k auszuwählen, wenn auf die Reihenfolge
Wert gelegt wird oder nicht und wenn Wiederholungen zugelassen sind oder nicht.
Beispiel:
n = 49
k = 6
Geordnete Auswahl
Geordnete Auswahl
Ungeordnete Ausw.
Ungeordnete Ausw.
ohne
mit
ohne
mit
Permutationen von k :
Wiederh.=
Wiederh.=
Wiederh.=
Wiederh.=
10
13
13
25
068
841
983
827
347 520
287 201
816
165
k! = 720
Die ungeordnete Auswahl ohne Wiederholung liegt beispielsweise beim Zahlenlotto "6 aus 49" vor. Das heißt wir
erhalten die 13 983 816 Möglichkeiten von 49 Feldern 6 anzukreuzen.
MatheAss 8.2
Seite 39
Binomialverteilung
Berechnet werden für eine b(k;n;p) verteilte Zufallsgröße X bei festem n und festem p ein Stabdiagramm der
Wahrscheinlichkeiten P( X = k ), ihre numerischen Werte in einem Intervall [k-min;k-max] und die
Wahrscheinlichkeit P( k-min ≤ X ≤ k-max).
Theorie:
Aus einer Urne mit einem Anteil von p roten Kugeln werden n Kugeln mit Zurücklegen gezogen. Die Zufallsgröße
X gibt an, wie viel rote Kugeln gezogen wurden. Die Wahrscheinlichkeit, dass k der gezogenen Kugeln rot
sind, wird mit P(X=k) = b(k;n;p) bezeichnet.
Eingegeben werden die Werte für n und p, wobei p als Wahrscheinlichkeit zwischen 0 und 1 liegen muss. Danach
gibt ein einfaches Stabdiagramm einen ersten Überblick über die Werte von P( X=k ). In einer Wertetabelle
werden die numerischen Werte ausgegeben.
Beispiel:
n = 200
p = .75
k
P(X=k)
--------------113
0,00000001
114
0,00000001
115
0,00000003
116
0,00000006
117
0,00000013
118
0,00000027
119
0,00000057
120
0,00000115
121
0,00000227
122
0,00000442
123
0,00000840
124
0,00001565
125
0,00002855
--------------P(100<=k<=125)=0,00006153
P(0<=X<=k)
---------0,00000001
0,00000002
0,00000005
0,00000011
0,00000024
0,00000051
0,00000108
0,00000223
0,00000450
0,00000892
0,00001732
0,00003297
0,00006153
----------
Hypergeometrische Verteilung
Berechnet werden für eine h(k;n;m;r) verteilte Zufallsgröße X bei festem n, m und festem r ein Stabdiagramm
und eine Wertetabelle für die Wahrscheinlichkeiten P(X=k).
Die Routine ist besonders nützlich, da wegen der vier Eingabegrößen kaum Tabellen für die hypergeometrische
Verteilung existieren und die Berechnung der Wahrscheinlichkeiten sehr aufwendig ist.
Theorie:
Eine Urne enthält m Kugeln, von denen r rot sind. Werden n Kugeln ohne Zurücklegen gezogen, so gibt die
Zufallsgröße X an, wie viel rote Kugeln gezogen wurden. Die Wahrscheinlichkeit, dass k der gezogenen Kugeln rot
sind, wird mit P(X=k) = h(k,n,m,r) bezeichnet.
Eingegeben werden die Zahl der gezogenen Kugeln n, die Gesamtzahl m und die Anzahl der roten Kugeln r. Da
ohne Zurücklegen gezogen wird, muss n<m sein, außerdem natürlich r<m.
MatheAss 8.2
Seite 40
Beispiel:
n = 20;
m = 100;
k
---------0
1
2
3
r = 50
P(X=k)
---------0,00000009
0,00000284
0,00004126
0,00036010
P(0<=X<=k)
---------0,00000009
0,00000292
0,00004419
0,00040429
0,00036010
0,00004126
0,00000284
0,00000009
---------1,00000000
0,99995581
0,99999708
0,99999991
1,00000000
----------
...
17
18
19
20
---------P(0<=k<=20) =
Normalverteilung
Berechnet werden für eine N(μ,σ2) verteilte Zufallsgröße X mit gegebenem Erwartungswert μ und Varianz σ2
1(
1
f ( x) 
e 2
 2
- die Dichtefunktion
- und die Verteilungsfunktion
( x) 
x 2

)

f(t )  dt
Das Schaubild der Dichtefunktion f wird oft als Gauß-Kurve oder wegen seiner Form als Glockenkurve bezeichnet.
Die Verteilungsfunktion Φ heißt auch Gauß-Fehlerfunktion, da man nach Gauß für die zufälligen Fehler
astronomischer Beobachtungen diese Verteilung annimmt.
Eingegeben werden der Erwartungswert μ und die Varianz σ2. Für μ=0 und σ=1 erhält man die
standardisierte Normalverteilung.
Beispiel:
My = 5
Sigma = .75
x
---------2
2,33333333
2,66666666
2,99999999
3,33333332
3,66666665
3,99999998
4,33333331
4,66666664
4,99999997
5,3333333
5,66666663
5,99999996
6,33333329
6,66666662
6,99999995
7,33333328
7,66666661
7,99999994
f(x)
---------0,00017844
0,00095649
0,00420802
0,01519465
0,04503153
0,10953585
0,21868009
0,35832381
0,48189843
0,53192304
0,48189845
0,35832383
0,21868012
0,10953586
0,04503154
0,01519465
0,00420802
0,00095649
0,00017844
Phi(x))
---------0,00003167
0,00018859
0,00093192
0,00383038
0,01313415
0,03772017
0,09121120
0,18703139
0,32836063
0,49999998
0,67163934
0,81296859
0,90878878
0,96227982
0,98686585
0,99616962
0,99906808
0,99981141
0,99996833
MatheAss 8.2
Seite 41
Lineare Algebra
Lineare Gleichungssysteme
Das Programm bestimmt den Lösungsvektor von einem System linearer Gleichungen (LGS) mit n Gleichungen
und n Unbekannten. Eingeben werden der Grad n und die Koeffizienten des Gleichungssystems, das zuvor auf
folgende Form gebracht werden muss:
a1,1 ·x1 + ... + a1,n ·xn = b1
:
:
an,1 ·x1 + ... + an,n ·xn = bn
Als Zwischenergebnis kann man sich die ref (Row Echelon Form = Dreiecksform) und die rref (Reduced Row
Echelon Form = Diagonalform) der Koeffizientenmatrix ausgeben lassen.
Beispiel mit eindeutiger Lösung:
1·x1 + 1·x2 + 1·x3
4·x1 + 2·x2 + 1·x3
16·x1 + 4·x2 + 1·x3
=
=
=
3
1
9
L = { ( 2; -8; 9; ) }
Beispiel mit eindim. Lösungsraum:
2·x1 + 3·x2 + 4·x3
1·x1 - 1·x2 - 1·x3
3·x1 + 2·x2 + 3·x3
=
=
=
0
1
1
L = { ( 0,6-0,2t; -0,4-1,2t; t ) | t ∈ R }}
Beispiel mit zweidim. Lösungsraum
0·x1
1·x1
2·x1
1·x1
+
+
+
+
0·x2
1·x2
2·x2
1·x2
+
+
-
2·x3
1·x3
4·x3
7·x3
+
+
+
1·x4
1·x4
5·x4
5·x4
=
=
=
=
1
4
5
0
L = { ( 3,5-s-1,5t; s; 0,5+0,5t; t ) | s,t ∈ R }
Anwendung zum ersten Beispiel:
Sucht man eine Parabel durch die Punkte P(1|3), Q(2|1) und R(4|9), so führt dies auf folgendes
Gleichungssystem
Ansatz: f(x) = a·x2 + b·x + c
P(1|3) ∈ Cf :
1·x1 + 1·x2 + 1·x3 = 3
Q(2|1) ∈ Cf :
4·x1 + 2·x2 + 1·x3 = 1
R(4|9) ∈ Cf :
16·x1 + 4·x2 + 1·x3 = 9
Das Gleichungssystem hat den Lösungsvektor:
(2, -8, 9)
Die Parabel hat also die Gleichung y = 2x2 - 8x + 9.
MatheAss 8.2
Seite 42
Popup-Menü:
Mit der rechten Maustaste öffnen sie ein lokales Menü, das Ihnen die folgenden Funktionen für die KoeffizientenMatrix anbietet.
 Matrix ausschneiden, Matrix kopieren und Matrix einfügen
Damit kann die Matrix über die Zwischenablage etwa in die Matrizenmultiplikation kopiert werden.
 Matrix exportieren bzw. Matrix importieren
Exportiert bzw. importiert wird im CSV-Format (Comma separated values), mit dem Daten mit einer ExcelDatei ausgetauscht werden können.
Linearkombination
Das Programm bestimmt die Linearkombination eines Vektors aus drei gegebenen Vektoren. Sind diese linear
abhängig, so wird das durch eine Fehlermeldung angezeigt.
Die Routine eignet sich auch dazu, die lineare Unabhängigkeit von drei Vektoren im Raum zu prüfen, das heißt zu
prüfen, ob die drei Vektoren in einer Ebene liegen.
Beispiel 1:
| 1 |
| 1 |
| 1 |
| 2 |
a·| 0 | + b·| 1 | + c·| 1 | = | 3 |
| 0 |
| 0 |
| 1 |
| 4 |
Lösung :
a = -1
b = -1
c = 4
Beispiel 2:
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
a·| 2 | + b·| 1 | + c·| 5 | = | 3 |
| 0 |
| 1 |
|-1 |
| 7 |
Die Vektoren sind linear abhängig
Skalarprodukt
Das Programm berechnet zu zwei Vektoren deren Skalarprodukt, die Länge der beiden Vektoren und den
eingeschlossenen Winkel.
Beispiel:
-> | 1 |
a = | 3 |
| 1 |
-> | 5 |
b = | 0 |
| 3 |
Skalarprodukt der Vektoren = 8
Länge des ersten Vektors
= 3,3166248
Länge des zweiten Vektors
= 5,8309519
eingeschlossener Winkel
= 65,564402°
MatheAss 8.2
Seite 43
Vektorprodukt
Das Programm berechnet zu zwei Vektoren das Vektorprodukt, sowie seinen Betrag.
Das Vektorprodukt steht auf dem von seinen Vektoren aufgespannten Parallelogramm senkrecht, und sein Betrag
ist gleich dem Flächeninhalt des Parallelogramms.
Beispiel:
-> | 1 |
a = | 2 |
| 3 |
-> -> | 5 |
a x b = | 17 |
|-13 |
-> | 7 |
b = | 1 |
| 4 |
-> ->
|a x b|= 21,977261
Anwendung:
Berechnet werden soll der Flächeninhalt des Dreiecks mit den Ecken A(0|0|0), B(1|2|3) und C(7|1|4).
Es wird aufgespannt von den beiden Vektoren im Beispiel, sein Flächeninhalt ist also gleich dem Betrag deren
Vektorprodukt A ≈ 22 FE.
Spatprodukt
Das Programm berechnet zu drei Vektoren das Spatprodukt, dessen Betrag das Volumen des verschobenen
Quaders (Spat) angibt, der von den drei Vektoren aufgespannt wird.
Für linear abhängige Vektoren ist das Spatprodukt Null, da die Vektoren in einer Ebene liegen.
Beispiel 1:
-> | 2 |
a = | 3 |
| 5 |
-> | 2 |
b = |-1 |
| 7 |
-> | 3 |
c = | 9 |
| 2 |
-> ->
->
( a x b ) · c = 26
Beispiel 2:
-> | 1 |
a = | 2 |
| 1 |
-> | 2 |
b = | 1 |
| 1 |
-> |-1 |
c = | 4 |
| 1 |
-> ->
->
( a x b ) · c = 0
Die drei Vektoren sind also linear abhängig.
MatheAss 8.2
Seite 44
Matrizeninversion
Das Programm berechnet zu einer quadratischen Matrix der Ordnung n die Determinante, den Rang und die
inverse Matrix.
Beispiel:
Matrix :
1 0 2
0 1 0
3 0 1
Inverse Matrix :
-0,2 0 0,4
0 1
0
0,6 0 -0,2
Ordnung = 3, Rang = 3, Determinante = -5
Popup-Menü:
Mit der rechten Maustaste öffnen sie ein lokales Menü, das Ihnen die folgenden Funktionen für die KoeffizientenMatrix anbietet.
 Matrix ausschneiden, Matrix kopieren und Matrix einfügen
Damit kann die Matrix über die Zwischenablage etwa in die Matrizenmultiplikation kopiert werden.
 Matrix exportieren bzw. Matrix importieren
Exportiert bzw. importiert wird im CSV-Format (Comma separated values), mit dem Daten mit einer ExcelDatei ausgetauscht werden können.
MatheAss 8.2
Seite 45
Pseudoinverse Matrix
Sind die Spalten einer Matrix A linear unabhängig, so ist AT· A invertierbar und man erhält mit folgender
Formel die Pseudoinverse: A+ = ( AT· A )-1· AT
Dabei ist A+ eine Linksinverse von A , das heißt es gilt: A+ · A = E .
Sind dagegen die Zeilen der Matrix linear unabhängig, so erhält man die Pseudoinverse mit der Formel: A+ = AT·
( A · AT )-1
Sie ist eine Rechtsinverse von A , das heißt: A · A+ = E .
Sind sowohl die Spalten als auch die Zeilen der Matrix linear unabhängig, so ist die Matrix invertierbar und die
Pseudoinverse ist gleich der Inversen der Matrix.
Beispiel:
Matrix A
========
1 1 1
5 7 7
AT· A
=====
26
36
36
46
36
50
50
64
Probe durch Multiplikation
==========================
1
9
36
50
50
64
1. Matrix
=========
1 1 1
5 7 7
46
64
64
82
AT· A nicht invertierbar
A · AT
======
4
28
28 204
( A · AT )-1
============
6,375 -0,875
-0,875 0,125
( A )
1
9
2. Matrix ( A+ )
=========
2 -0,25
0,25
0
0,25
0
-1,5 0,25
Produktmatrix ( A·A+)
=============
1
0
0
1
Rechtsinverse: AT·( A·AT )-1
============================
2 -0,25
0,25
0
0,25
0
-1,5
0,25
Popup-Menü:
Mit der rechten Maustaste öffnen sie ein lokales Menü, das Ihnen die folgenden Funktionen für die KoeffizientenMatrix anbietet.
 Matrix ausschneiden, Matrix kopieren und Matrix einfügen
Damit kann die Matrix über die Zwischenablage etwa in die Matrizenmultiplikation kopiert werden.
 Matrix exportieren bzw. Matrix importieren
Exportiert bzw. importiert wird im CSV-Format (Comma separated values), mit dem Daten mit einer ExcelDatei ausgetauscht werden können.

Matrix exportieren bzw. Matrix importieren
Exportiert bzw. importiert wird im CSV-Format (Comma separated values), mit dem Daten mit einer Excel-Datei
ausgetauscht werden können.
MatheAss 8.2
Seite 46
Matrizenmultiplikation
Das Programm berechnet zu zwei Matrizen die Produktmatrix.
Die Zeilenzahl der zweiten Matrix muss mit der Spaltenzahl der ersten Matrix übereinstimmen.
Beispiel:
1. Matrix :
1
0
0
1
2
0
2. Matrix :
-0,2
0
0,6
0 0,4
1
0
0 -0,2
1
1
1
Produktmatrix:
1
0
0
1
0
0
3
1
Popup-Menü:
Mit der rechten Maustaste öffnen sie ein lokales Menü, das Ihnen die folgenden Funktionen für die KoeffizientenMatrix anbietet.
 Matrix ausschneiden, Matrix kopieren und Matrix einfügen
Damit kann die Matrix über die Zwischenablage etwa in die Matrizenmultiplikation kopiert werden.
 Matrix exportieren bzw. Matrix importieren
Exportiert bzw. importiert wird im CSV-Format (Comma separated values), mit dem Daten mit einer ExcelDatei ausgetauscht werden können.

Matrix exportieren bzw. Matrix importieren
Exportiert bzw. importiert wird im CSV-Format (Comma separated values), mit dem Daten mit einer Excel-Datei
ausgetauscht werden können.
Document
Kategorie
Gesundheitswesen
Seitenansichten
102
Dateigröße
1 332 KB
Tags
1/--Seiten
melden