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Lehrerhandreichung - Analysis I - NEU! - Sharp

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EL-9900G SII
Grafikrechner
Teil 1:Analysis 1,
Wahrscheinlichkeiten
lehrerhandreichung
Für den effizienten Einsatz im Unterricht
Mathematik mit dem Sharp EL-9900G SII – Teil 1 – Analysis 1 – Wahrscheinlichkeiten
Inhaltsverzeichnis
Vorwort.............................................................................................................................3
Vorbemerkungen .............................................................................................................5
Einführung in das Rechnen mit dem EL-9900..............................................................9
Wurzeln und Potenzen .................................................................................................10
Lösen von Gleichungen / LGS.....................................................................................11
Lineare Gleichungs-Systeme .......................................................................................11
Beliebige Gleichungen (1) ...........................................................................................12
Formeln auswerten .......................................................................................................14
Schaubilder von Funktionen ........................................................................................15
Kurvenscharen..............................................................................................................17
Beliebige Gleichungen (2) ...........................................................................................18
Materialien zum Lehrplan ............................................................................................20
Geraden ........................................................................................................................20
Schnittpunkte von Geraden ..................................................................................... 20
Orthogonale Geraden............................................................................................... 21
Betragsfunktionen.................................................................................................... 25
Gauß’sche Klammerfunktion .................................................................................. 25
Abschnittweise definierte Funktionen..................................................................... 25
Geradenscharen ....................................................................................................... 27
Eine Anwendung ..................................................................................................... 28
Variationen von Funktionen.........................................................................................29
Potenzfunktionen..........................................................................................................30
Ganzrationale Funktionen ............................................................................................31
Symmetrie ....................................................................................................................33
Punktsymmetrie zu einem beliebigen Punkt................................................................34
Nullstellen ....................................................................................................................35
Vielfachheit von Nullstellen / Linearfaktorzerlegung............................................. 37
Differenzenquotient / Änderungsrate...........................................................................38
Zugang 1: Mittlere Änderungsrate .......................................................................... 38
Zugang 2: Steigung der Tangente............................................................................ 42
Zugang 3: Tangentengleichung ............................................................................... 45
Der Differenzenquotient.......................................................................................... 47
Zeichnen der Ableitungsfunktion ............................................................................ 48
Tangenten und Normalen.............................................................................................50
Ableitungsregeln ..........................................................................................................51
Faktorregel............................................................................................................... 52
Summenregel........................................................................................................... 53
Höhere Ableitungen................................................................................................. 54
Eine wichtige Anwendung ...................................................................................... 54
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Mathematik mit dem Sharp EL-9900G SII – Teil 1 – Analysis 1 – Wahrscheinlichkeiten
Grafische Funktionsuntersuchung................................................................................55
Nullstellen................................................................................................................ 56
Extrema.................................................................................................................... 57
Wendepunkte ........................................................................................................... 58
Wertetabelle............................................................................................................. 58
Funktionenscharen................................................................................................... 59
Eine anspruchsvolle Aufgabe – komplett mit dem GTR .............................................61
Modellierung – Bestimmung eines Funktionsterms ....................................................63
Extremwerte mit Nebenbedingungen...........................................................................66
Funktionen mit eingeschränktem Definitionsbereich ..................................................69
Regressionsgeraden......................................................................................................70
Wahrscheinlichkeiten ....................................................................................................73
Kombinatorik ...............................................................................................................73
Anzahl der Permutationen ohne Wiederholung (Fakultät)...................................... 73
Anordnung ohne Zurücklegen unter Berücksichtigung der Reihenfolge
(Permutationen) ....................................................................................................... 73
Anordnung ohne Zurücklegen ohne Berücksichtigung der Reihenfolge
Kombinationen - Binomialkoeffizienten n über r ................................................... 74
Binomialverteilung.......................................................................................................75
Binomialverteilung als Schaubild ........................................................................... 76
Anwendungen der Binomialverteilung ................................................................... 82
Normalverteilung .........................................................................................................84
Schlussbemerkung: ......................................................................................................88
STICHWORTVERZEICHNIS ....................................................................................89
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Mathematik mit dem Sharp EL-9900G SII – Teil 1 – Analysis 1 – Wahrscheinlichkeiten
Vorwort
Mit dem Modell SHARP EL-9900G SII und der ROM-Version 4.1 (oder höher) steht
ein grafikfähiger Taschenrechner (GTR) zur Verfügung, der alle für den Schuleinsatz
erforderlichen Funktionen zur Verfügung stellt. Als Nachfolger des bewährten EL-9650
besitzt der EL-9900G ein verbessertes Display mit höherem Kontrast, mehr Speicher,
einen schnelleren Bildaufbau, höhere Rechenleistung und einige zusätzliche Funktionen, die mit Einführung der ROM-Version 4.1 nochmals erweitert wurden.
Das berührungsempfindliche Display des Vorgängermodells wurde durch die Wendetastatur ersetzt, so dass man den EL-9900G mit vermindertem Funktionsumfang in der
SI (grüne Tastatur) und dem vollen Umfang (blaue Tastatur) in der SII einsetzen kann.
Zu beachten ist dabei, dass der Winkelmodus beim Einschalten (nach Reset) bei der
grünen Tastatur auf DEG (Grad), bei der blauen Tastatur auf RAD (Bogenmaß) steht.
(vergl. ; )
Für das Gerät existiert bereits neben dem Bedienerhandbuch eine Lehrerhandreichung
mit Beispielen für die SI sowie ein Lehrerhandbuch, in dem insbesondere die neuen
Funktionen beschrieben werden. Doch für die SII enthalten diese kaum Materialien für
den direkten Unterrichtseinsatz. Diese Lücke soll durch die vorliegende „Lehrerhandreichung für den effizienten Einsatz im Unterricht“ in 3 Teilen geschlossen werden.
Teil 1:
Teil 2:
Teil 3:
Analysis 1, Wahrscheinlichkeiten (kurz: Analysis 1)
Analysis 2
Analytische Geometrie
Die Handreichung orientiert sich zwar am Lehrplan von Baden-Württemberg für die
Klassen 10 - 12, ist aber sicherlich in anderen Bundesländern ebenfalls brauchbar.
Alle Beispiele sind überprüft, was aber nicht ausschließt, dass sich der eine oder andere
Fehler eingeschlichen hat. Die Kolleginnen und Kollegen mögen dies verzeihen.
Mir geht es darum aufzuzeigen, wie der SHARP GTR in der SII effizient eingesetzt
werden kann, um die Anforderungen des Lehrplans zu erfüllen. Deshalb wird ausschließlich die blaue Tastatur verwendet.
In der Hand des Lehrers kann der GTR zusätzlich zur weitergehenden Visualisierung
verwendet werden. Dazu stehen ihm optional zur Verfügung:
- Das Lehrergerät mit OHP-Display (EL-99T)
- Das PC-Link-System CE-LK4 zum Austausch von Daten und Bildern mit dem PC
- Die Simulationssoftware EL_9900GS2_Simulator, die bei Sharp unter
http://www.sharp.de/cps/rde/xchg/de/hs.xsl/-/html/5206.htm
heruntergeladen
werden kann. Diese eignet sich für den Unterrichtseinsatz, wenn ein PC mit Projektor oder ein interaktives Board zur Verfügung steht. Außerdem können die Anzeigen im Display abgespeichert und so für Arbeitsblätter weiterverwendet werden.
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Mathematik mit dem Sharp EL-9900G SII – Teil 1 – Analysis 1 – Wahrscheinlichkeiten
Einige der vorgestellten Beispiele sind in Anlehnung an eine Arbeitshilfe des Seminars
Weingarten entstanden, dem ich für die Zustimmung zur Veröffentlichung danke. Die
Materialien des Seminars Weingarten sind unter
www.sembs.rv.bw.schule.de/pfeiffer/gtr/ abrufbar.
Weitere Beispiele, Anregungen und Arbeitsblätter finden Sie auf dem Lehrerrechner des
Oberschulamts Karlsruhe, z. Zt. unter
www.lehrer.uni-karlsruhe.de/~za242/osa/material.html
Bernhard Schäffer, Mannheim
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Mathematik mit dem Sharp EL-9900G SII – Teil 1 – Analysis 1 – Wahrscheinlichkeiten
Vorbemerkungen
Die meisten Tasten des GTR sind 3-fach belegt. Neben der Hauptbelegung findet sich
eine Zweitbelegung in Gelb, die über den vorherigen Aufruf von @ erreicht wird.
Die violette Drittbelegung ist dem Alphabet und einigen Sonderzeichen vorbehalten und
wird über die violette A - Taste aufgerufen.
Beispiele:
1. Hauptbelegung: Aufruf der Funktion „integer“ (Ganzzahl) aus dem M Menü
B
M
5
(int)
Taste auf dem Auswahl des
GTR
1. Untermenüs
(Bezeichnung der Funktion)
Auswahl des
2. Untermenüs
Die Auswahl kann erfolgen durch...
... Drücken der Tasten in der abgegebenen Reihenfolge:
M B
(ohne A ) 5
...Drücken der M - Taste und Navigation mit den Cursor-Tasten:
M }'}}}}
E
2. Zweitbelegung: Die Nullstellen eines Polynoms 3. Grades sollen bestimmt werden (aus dem [ der gelben Zweitbelegung)
Dazu müssen gedrückt werden:
@ M
C 3 (Poly 3)
Anstelle der 2 Tasten @ M wird die Schreibweise [ verwendet.
Nach [ kann auch mit den Cursortasten navigiert und mit E ausgewählt werden.
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3. Drittbelegung: Alle violetten Buchstaben und Zeichen werden über die A
- Taste aufgerufen.
z.B.: Eingabe des Buchstabens C : A t
Anstelle der 2 Tasten wird die Taste durch C beschrieben. Meist werden
Ziffern und Buchstaben jedoch ohne die Tastensymbole angegeben.
Hinweise: Für Buchstabenfolgen kann über . , d.h. @ A der
ALPHA-Modus verriegelt werden (bis wieder A gedrückt wird).
Die notwendige Benutzung der @ bzw. A Taste wird im
Folgenden nicht mehr gesondert erwähnt. Tasten mit abgerundeten Ecken
finden sich auf der Haupttastatur, solche mit scharfen Ecken stellen eine
Mehrfachbelegung dar.
4. Die blaue Taste # mit den 4 Grundrechenarten ruft den Berechnungsbildschirm auf, der oft auch HOME - Bildschirm genannt wird.
5. Anstelle der Taste X, mit der die Variable eingegeben wird, wird meist nur
X bzw. T oder n angegeben.
Korrektur von Fehlbedienungen:
Falsches Menü gewählt: C (Rückkehr zum HOME) oder das richtige Menü
aufrufen.
Fehler in der Eingabe: Die Stelle mit den Cursor-Tasten anfahren.
D löscht das Zeichen unter dem Cursor
B löscht das Zeichen links vom Cursor
C löscht die komplette Eingabe bzw. den ganzen Schirm
An der gelöschten Stelle kann nun neu eingegeben werden. (An manchen Stellen muss
zuvor i gedrückt werden.)
Berechnung/Zeichnung zu früh gestartet: Die Taste O bricht laufende Berechnungen ab.
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Mathematik mit dem Sharp EL-9900G SII – Teil 1 – Analysis 1 – Wahrscheinlichkeiten
Weitere Hinweise:
Einschalten/Ausschalten
Die O Taste schaltet den GTR ein, o schaltet ab. Dabei bleiben alle Einstellungen erhalten. Nach dem erneuten Einschalten befindet man sich wieder an der
Stelle, an der man den GTR abgeschaltet hat.
Kontrast
Der Bildschirmkontrast kann über p
den.
A und +
bzw. - geregelt wer-
Reset
Wenn der GTR Fehlfunktionen zeigt, hilft p E 1 (reset - default set).
Mit p E 2 (reset - all memory) können alle Speicher gelöscht werden (z. B. vor
Klausuren).
Wenn gar nichts mehr geht, so hilft nur ein Hardware-Reset: Batteriefach kurz öffnen –
wieder schließen – einige Sekunden warten. Dann wird der Rechner wieder ganz normal
eingeschaltet. Mit C werden alle Einstellungen und Daten gelöscht (gut für einen
Reset vor einer Klausur), mit O bleibt alles erhalten.
In einigen ganz hartnäckigen Fällen, in denen dies alles nichts hilft, kann Folgendes den
Rechner wieder zum Leben erwecken (Bedienungsanleitung S.29):
- Batteriefach öffnen
- Reset-Knopf zwischen den Batterien (mit einem Stift, der nicht abbrechen kann)
und O gleichzeitig für einige Sekunden drücken.
- Batteriefach schließen und Rechner einschalten.
Fehlermeldungen
Endet eine Rechnung mit einer Fehlermeldung kann meist mit ◄►der Fehler lokalisiert werden. Immer kommt man mit C zurück.
Zugriff auf das vorherige Ergebnis
Über b hat man Zugriff auf das letzte berechnete Ergebnis. Der GTR ruft dies
automatisch auf, wenn eine neue Berechnung nicht mit einem Wert, sondern einer Operation beginnt.
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Zugriff auf die vorherigen Eingaben
Über e hat man Zugriff auf die letzte Eingabe, welche nun editiert werden
kann (spart viel Tipparbeit). Mehrfacher Aufruf von e ruft auch länger
zurückliegende Einträge (meist) wieder auf.
Minus-Zeichen
Der GTR unterscheidet zwischen dem Minus-Rechenzeichen - und dem MinusVorzeichen _ . Bitte beachten.
Setup
Über ; können wichtige Voreinstellungen getroffen werden.
A
B
C
D
E
F
G
H
Anzeige der eingestellten Optionen
Deg / Rad / Grad
Anzeigeformat für Zahlen
Dezimalstellenzahl
Wahl des Koordinatensystems
Art der Ausgabe von Zahlen (Mixed =
gemischte Schreibweise)
Art der Eingabe (Equation = Schreibeweise wie gewohnt)
Automatisches Kürzen oder Kürzen erst nach [Simp] (im j ).
Format
Über f werden wichtige Voreinstellungen für die Grafik-Ausgabe getroffen.
A
B
C
D
E
F
Anzeige der eingestellten Optionen
Anzeige der Funktionsgleichung im TraceModus on/off
Anzeige des Wertes der 1. Ableitung im
Trace- Modus on/off
Anzeige der Koordinatenachsen on/off
Anzeige eines Rasters on/off
Einstellung der Koordinatenanzeige – rechtwinklig oder polar
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Mathematik mit dem Sharp EL-9900G SII – Teil 1 – Analysis 1 – Wahrscheinlichkeiten
Einführung in das Rechnen mit dem EL-9900
Normales Taschenrechner - Rechnen findet auf dem HOME-Bildschirm # statt.
Dabei hat der einen entscheidenden Vorteil gegenüber vielen anderen GTR: Er kann
Berechnungen so darstellen, wie Schüler es von der Tafel oder Büchern her kennen.
Etwas aufpassen bei der Eingabe muss man allerdings, da grundsätzlich an der CursorPosition geschrieben wird, welche immer zu überprüfen ist.
Der GTR rechnet mit Brüchen b, wobei gemischte Schreibweise bei der Eingabe
möglich ist d. Die Ausgabe erfolgt je nach Einstellung unter ; F (Answer).
Dabei ist 2 (Mixed) die weitest gehende Einstellung, weil damit auch gemischte Zahlen
ausgegeben werden.
3 b 4 ' + 7 b 3
E
2d3}5'|5b
7E
Versuchen Sie gleich einmal über e den letzten Term zurückzuholen und zu verändern. Mit E wird neu berechnet.
Versuchen Sie, mit dem letzten Ergebnis weiter zu
rechnen:
+
4b 5 E
5 - b E
Achtung:
Ohne Benutzung der Cursortasten erhält man:
3b7+4b 3 + 1b 2
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Wurzeln und Potenzen
Die Quadratwurzel aus 3² + 4²
+
3 y +4y E
Die 3. Wurzel aus 16:
3 _ 16 E
5 hoch 3:
5 a 3E
Oder:
+
18 - 3 + 7 E
+
18 ' - 3 + 7
E
Alle Ergebnisse können unter den Variablennamen A – Z abgespeichert werden und
später durch Verwendung des Namens verwendet werden. Es sollten aber die Variablen
X, Y, T und Θ vermieden werden, da diese intern vom GTR bei einigen Funktionen
verändert werden.
3.5 + 2.6 R A E
A+
+A
3
E
E
Mehrere Befehle oder Eingaben können durch : getrennt in einer Zeile eingegeben
werden. Nur die Auswertung der letzten Eingabe wird angezeigt.
2RA/5RB
/
4RCE
(A+B)
|CE
AC+BCE
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Lösen von Gleichungen / LGS
2./3.Grades
In [ steht die Möglichkeit zur Verfügung,
Gleichungen zweiten Grades ax² + bx + c = 0
bzw.
dritten Grades ax3 + bx² + cx + d = 0 zu lösen.
[
C (POLY) 2 bzw. 3 E
Eingabe der Koeffizienten erfolgt - wenn der Cursor
auf dem Koeffizientennamen steht, gefolgt von
E.
Sind alle Koeffizienten eingegeben, wird die
Berechnung mit h ausgelöst.
Hinweis: Auch komplex-zahlige Lösungen werden
angezeigt.
Lineare Gleichungs-Systeme
Solange den Schülern das Gauß-Verfahren mit Hilfe von Matrizen nicht bekannt ist,
bietet der GTR eine andere Möglichkeit zur Lösung (lösbarer) Linearer GleichungsSysteme.
[
B (SYSTEM) n (Grad) E
Die Gleichungen müssen aber in der Form
aX + bY + cZ = d (n=3) gelesen werden, wobei X,Y,Z
bestimmt werden.
Zuerst werden a,b,c für jede Gleichung der Reihe nach
mit E eingegeben...
... und die Lösung mit h abgerufen.
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Die Ergebnisse sind zur Weiterverwendung kurzzeitig unter X,Y,Z... gespeichert. Wenn
man sie weiterverwenden will, empfiehlt es sich, sie umzuspeichern.
(z.B. im # - Bildschirm:
XRA
E
YRB
E
etc.).
Man kann die Lösungen auch in einer Liste abspeichern und diese als Ganzes in Brüche
verwandeln lassen.
{X,Y,
Z}
E
j a_b/c
E
Beliebige Gleichungen (1)
Eine Möglichkeit, beliebige Gleichungen zu lösen, bietet der '. Dieser kann drei
Verfahren benutzen:
 Lineare Gleichungen können direkt aufgelöst werden
 Newton-Verfahren
 grafisches Verfahren
Das Verfahren kann durch nochmaligen Aufruf von ' eingestellt werden. Der
GTR kann aber auch selbst über das Verfahren bestimmen - i.d.R kommt das NewtonVerfahren zum Einsatz. Auch im ' können Brüche, Wurzeln etc. in der vertrauten
Form geschrieben werden (wenn ; G 1 (Equation) eingestellt ist = Grundeinstellung). Der ' ist in der Bedienungsanleitung ausführlich beschrieben. Bei der Arbeit mit Integralfunktionen oder Ableitungsfunktionen muss man die Lösung durch ein
eigenes grafisches Verfahren bestimmen, welches später beschrieben wird. Dieses Verfahren würde ich generell bevorzugen. Für Schüler (und Lehrer) bietet dies die Möglichkeit, Gleichungen zu lösen, die mit normalen Methoden nicht gelöst werden können
(z.B. auch nach einem Rechenfehler, der eine zunächst leicht lösbare Gleichung „unlösbar“ macht).
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2 x² - 5x = x + 3
Hinweis: Im SOLVER muss die Variable X durch die Taste X eingeben werden.
Aufgabe:
Löse die Gleichung
'
(kurz warten, bis der Bildschirm leer ist
oder die letzte Gleichung erscheint – diese mit C löschen - dann Gleichung
eingeben.)
1 b 2 'Xy- 5
X=X++ 3 E
oder
h
Der GTR schlägt als Startwert die letzte Belegung von
X vor. Er kann geändert werden, muss aber nicht. Mit
h wird das Verfahren gestartet.
Entscheidet der GTR sich nun für das NewtonVerfahren, schlägt er nochmals einen Startwert vor
und eine Schrittweite. Wir übergehen dies (oder
ändern ab) und geben nochmals h ein. (Oftmals
hilft es, mit C einen Schritt zurück zu gehen und
den Startwert neu zu definieren Wenn die Gleichung
allerdings keine Lösung hat, zeigt der GTR eine
Fehlermeldung an.)
Der GTR liefert eine Lösung, zeigt zusätzlich die
Werte der linken und der rechten Seite sowie die
Differenz L-R an, um die Genauigkeit abzuschätzen.
Um weitere Lösungen zu erhalten, muss der Startwert geändert werden (mit C
zurück).
Es ist also sinnvoll, sich durch andere Methoden (z.B. grafische Darstellung) die ungefähre Lage der Lösungen zu beschaffen.
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Formeln auswerten
Eine gerade in der Physik brauchbare Anwendung liefert der ', wenn Formeln
ausgewertet werden sollen. Der Schüler hat z.B. einen physikalischen Ansatz korrekt in
Formeln gepackt, hat aber Probleme beim Auflösen.
Aufgabe: (Schiefe Ebene mit Reibung) :
1
Die Gleichung m·g·h + f gl ·m·g·cos30° = 2 m·v²
ist nach f gl aufzulösen.
Wir geben die Gleichung genau so in den SOLVER ein.
(Den Gradmodus in ; B 1 auf [Deg] stellen !)
Nach E fragt der SOLVER
alle Unbekannten ab.
Wir geben alle bis auf f gl ein und
stellen den Cursor auf F.
Mit
starten wir die Lösung.
Bemerkungen:
- Mit C kommt man im SOLVER immer eine Ebene nach oben.
-
Mit erneutem Aufruf von ' kommt man im SOLVER in das Untermenü, in dem man die Wahl des Verfahrens selbst bestimmen kann und
auch eingegebene Gleichungen abspeichern, abrufen oder umbenennen
kann.
-
Auch die grafische Methode hat ihren Reiz, weil man hier ein Intervall
angeben kann, in welchem die Lösung gesucht werden soll.
-
Gleichungen in x können auch als Schnitt zweier Funktionsschaubilder interpretiert werden und (ohne SOLVER) grafisch gelöst werden.
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Schaubilder von Funktionen
Zuerst geben wir im Funktionseditor Y den
Funktionsterm ein.
1 b 2 'Xy- 2
und lassen das Schaubild zeichnen: G
Den gezeichneten Ausschnitt können wir verändern.
Z
A 1 (- 9) E
Auto
Nach Eingabe von Xmin und Xmax in W und Aufruf dieser Option,
bestimmt der GTR den optimalen y-Bereich automatisch
Box
Mit den Cursor-Tasten (und E) wird erst eine Ecke, dann die andere
Ecke des Ausschnitts gewählt.
In
Der unter Z B (Factor) eingestellte Faktor wird verwendet.
Out
Wieder zurück
Default
Grundeinstellung des Rechners
Square
x und y im gleichen Maßstab
Dec
x – Schrittweite in Zehntel
Int
x – Schrittweite 1
Stat
für statistische Auswertungen
Die übrigen Einstellungen Z
C – F sind für die angegebenen Funktionstypen
optimiert. G bzw. H dienen zum Speichern und Abrufen von Einstellungen.
Wir wählen vorläufig die Default-Einstellung und geben noch einen zweiten Funktionsterm ein.
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Dazu setzen wir den Cursor in Y auf Y2=, geben
X +
G
3 ein und zeichnen mit
beide Schaubilder.
TIPP: Um das Schaubild einer eingegebenen Funktion nicht zeichnen zu lassen, müssen
wir es deaktivieren. Dazu setzen wir im Y-Editor den Cursor auf das entsprechende =
Zeichen und drücken E. Das = Zeichen ist danach nicht mehr dunkel hinterlegt.
Genauso können wir die Funktion wieder aktivieren.
Neben dem Zoom haben wir auch die Möglichkeit, mit W die Einstellungen des
GRAPH-Fensters zu verändern.
Die Werte der Reihe nach eingeben und mit E oder den Cursor-Tasten weitergehen. Xscl bzw. Yscl legen die Markierungsstriche auf den Achsen fest. Dann mit
G zeichnen lassen.
Mit U können nun die Schaubilder mit ;
und ' abgetastet und Werte abgelesen werden.
Mit { und } wird zwischen den
Schaubildern gewechselt.
ZOOM : erst Dec, dann Auto
ergibt: x von -6.3 bis 6.3
Ist f C Express 1 ON geschaltet, wird der aktive Funktionsterm eingeblendet.
Bei f D Y’ 1 ON wird auch der Ableitungswert eingeblendet.
Insbesondere bei Funktionen mit unbekanntem Wertebereich ist Z
A 1 Auto
hilfreich. Dazu muss zunächst der gewünschte Zeichenbereich unter W eingestellt
werden (Xmin und. Xmax eingeben - wenn der Curser ganz links steht, geht es am
schnellsten). Dann wird Z A 1 Auto ausgewählt. Der GTR wählt den passenden Wertebereich so, dass alle Werte auf dem Bildschirm sind. Manchmal ist es sinn16
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voll, nachträglich unter W
auf den Schirm zu bekommen.
Ymin oder Ymax anzupassen, z.B. um die x-Achse
Warnung: Liegt im Zeichenbereich eine Polstelle, so ist Z Auto meist ungeeignet, weil der Wertebereich zu groß wird.
Kurvenscharen
Um mehrere Schaubilder der Schar mit f t (x) = t*x² - 2 zu zeichnen, fassen wir die gewünschten Parameter in einer Liste zusammen. Dazu gibt es zwei Möglichkeiten:
a) Wir können die Liste im #-Schirm erstellen. Dazu wird sie in geschweifte
Klammern durch Komma getrennt eingegeben und unter einem Listennamen z.B. L1
abgespeichert.
1 , 2
,_ 1 }
#{
R2E
b) Im S – Modus A (Edit) E können die
Werte direkt in Liste 1 eingegeben werden. Dabei
wird die eingegebene Zahl mit E an die
unterlegte Position geschrieben.
Zum Zeichnen gehen wir in den Y-Editor, löschen zunächst Y1 und Y2 mit C
und geben bei Y1 der Term L1*X² - 2 ein.
Über W und/oder Z können wir noch den gewünschten Bereich einstellen.
YC}C{
1|Xy-
2
G
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Hinweise:
Im Folgenden wird statt X meist nur der Buchstaben X (bzw. T, , n) verwendet.
Ziffern, Rechenzeichen, Buchstaben u. ä. werden nicht durch die entsprechende Taste
dargestellt. Die Verwendung von y wird nicht immer gesondert erwähnt, d.h. für
1 | X ywird oft nur L1*X²
2
- 2 angegeben.
Beliebige Gleichungen (2)
Die grafische Lösungsmethode können wir über den Y-Editor leicht nachbilden, wobei
es keine Einschränkungen für die verwendeten Funktionen gibt. Auch Integral- und Ableitungsfunktionen können verwendet werden.
Zunächst aber ein einfaches Beispiel:
x
Löse die Gleichung x·e = 5.
Dies heißt umformuliert:
x
Für welches x hat die Funktion f(x) = x·e den Wert 5?
Zunächst geben wir die beiden Seiten der Gleichung x·ex = 5 getrennt in den Y-Editor
ein:
Y
Y1= X | @ X E
}
Y2= 5 E
G
Falls nötig, kann zuerst der erwartete x-Bereich in W eingegeben und mit Z
Auto gezeichnet werden.
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Ist der Schnittpunkt auf dem Schirm sichtbar, so
wird er mit k 2 (Intsct) bestimmt.
Mit dieser Methode kann jede Gleichung gelöst
werden.
Gibt es mehrere Schnittpunkte, so werden diese
durch erneuten Aufruf von k 2 (Intsct)
gefunden, sofern sie auf dem Schirm zu sehen sind.
Gelegentlich findet k 2 (Intsct) den
Schnittpunkt nicht, obwohl er ersichtlich vorhanden
ist. Dann hilft meist das Verändern des
Bildschirmausschnittes. Dies gilt entsprechend beim
Auffinden von Nullstellen.
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Materialien zum Lehrplan
Geraden
Schnittpunkte von Geraden
Aufgabe: Gegeben sind die 3 Geraden durch die Gleichungen
1
9
3
7
y = -2x+2 ; y=4x-4 ;
Bestimme die Schnittpunkte.
y = 7x + 42 .
Zunächst geben wir in Y die 3 Gleichungen als
Y1, Y2 und Y3 ein.
Mit Z A 5 (default) oder G verschaffen
wir uns einen ersten Überblick. Eine Veränderung des
Ausschnittes erscheint nicht erforderlich.
Im U - Modus setzen wir den Cursor links vor
den gesuchten Schnittpunkt und rufen k A
(Intsec) E auf. Dabei bewegen wir uns mit
2
; ' auf der Geraden, mit {
} wechseln wir die Gerade. Nach einer
Rechenpause erscheint das erste Ergebnis ( 5 / 2 ).
Wiederholter Aufruf von k
das nächste Ergebnis ( -5 / 7 ).
A 2 E liefert
Nun setzen wir den Cursor vor den dritten
Schnittpunkt und rufen wieder k A 2 E
auf:
( -7 / -7 )
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Hinweise: Mit Intersection wird auf dem gewählten Schaubild von links nach rechts
gesucht. Befindet sich rechts der Startstelle kein Schnittpunkt mehr im Fenster, so wird
vom linken Rand aus weiter gesucht. Schnittpunkte außerhalb des Fensters können so
nicht gefunden werden.
Bei einer Fehlbedienung kann durch O die
laufende Aktion abgebrochen werden.
Um den Schnittwinkel zwischen den beiden Geraden
Y1 und Y2 zu berechnen, muss das Grad-Maß
eingestellt sein: ; B 1 Deg E.
Im Home-Bildschirm berechnen wir den Schnittwinkel (näherungsweise) als Betrag der
Differenz der Steigungswinkel:
# C
M
B 1 abs( E
Zwischen die Betragsstriche geben wir die Formel ein:
| t _ 1b 2 ' t 3b 4 |
E
Orthogonale Geraden
Aufgabe: Gesucht ist eine Gerade, welche senkrecht zu der Geraden mit der
Gleichung y = 2x + 3 steht.
Zunächst definieren wir den Term 2x + 3 als Y1 und zeichnen die Gerade in der Einstellung Z A 5 default oder G.
Y C
ZA
2 X+3
5 default E oder G
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Die Schüler sollen nun durch Ausprobieren eine Gerade Y2 finden, die zu Y1 senkrecht
steht. Viele Schüler versuchen zunächst
y= –2x (+ c).
Y}_2X
-1
G
Die angegebene Lösung scheint richtig zu sein.
Lässt man die Schüler die „Lösung“ ins Heft zeichnen, so können sie erkennen, dass
irgendetwas nicht stimmt. Aber was ?
Der Grund liegt in der Tatsache, dass der GTR in der
Default-Einstellung die beiden Achsen unterschiedlich
skaliert. Um dies auszuschalten, ist die Einstellung
Z A 5 (Square) nötig, welche beide Achsen
gleich skaliert.
In dieser Einstellung können die Schüler ausprobieren, dass die Lösung y = – x (+c) richtig
sein könnte.
Zur Überprüfung verschieben wir die beiden Geraden
durch den Ursprung ( Y Y3 und Y4 ).
G
Die Schüler können erkennen, dass die Orthogonalität der Geraden nur von der Steigung abhängt.
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Um herauszufinden, wie die Punkte von Y3 bei der Drehung um 90° auf Y4 abgebildet
werden, können wir einen Kreis einzeichnen lassen, der z.B. durch (1/2) verläuft. Zunächst deaktivieren wir in Y die Schaubilder von Y1 und Y2 und rufen den HomeBildschirm # auf.
Mit d A 9 Circle E erhalten wir den
Befehlsanfang auf den Schirm, welchen wir
ergänzen:
Circle(0,0, 5 ) E
Nach Z A 3 (In) E ist der Kreis leider
verschwunden. Wir wechseln nochmals auf den HomeBildschirm und rufen mit e den Circle-Befehl
nochmals ab und lassen mit E zeichnen.
Noch besser ist allerdings die Einstellung
Z
A 7 (Dec) E.
Über die Cursor-Tasten (mit oder ohne U) rufen
wir die Koordinaten der Punkte ab und erkennen, dass
der Punkt ( 1 / 2 ) auf ( -2 / 1 ) gedreht wird.
Zur genauen Überprüfung haben wir zwei Möglichkeiten.
a) Wir nehmen die Wertetabelle T zu Hilfe.
Blättern mit den Cursortasten liefert alle nötigen
Daten, um zu erkennen, dass ( 1 / 2 ) und ( -2 / 1 )
zusammengehören.
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Hinweis: Über y (alle Eingaben mit E bestätigen) können wir das Aussehen
der Tabelle beeinflussen. Mit T kommen wir in die Tabelle zurück. Mit den Cursor-Tasten kann in der Tabelle navigiert werden.
Wurde in y der Eintrag User gewählt, so ist die
Tabelle zunächst leer. Durch Eingabe verschiedener X
E können schnell die gewünschten
Funktionswerte abgerufen und die Vermutung für
weitere Punkte überprüft werden.
Die Schüler könnten nun in Gruppen weitere Paare orthogonaler Geraden finden und
eine Vermutung über zugehörigen Steigungen aufstellen.
b) Wir „verraten“ den Schülern die Kreisgleichung und lassen einen Halbkreis zeichnen.
Hierbei kann man die Probleme des GTR mit manchen Gleichungen erkennen.
YC+
5-
XyEG
k
A 2 Intsct E
k
A 2 Intsct E
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Betragsfunktionen
Y
B 1 abs E X }
Y2 : M B 1 abs E X Y1 : M
2
G
Oder
Y
M
B 1 abs E M B 1 abs
EX'-1
G
Gauß’sche Klammerfunktion
x  [x] ordnet jedem x die größte ganze Zahl kleiner
oder gleich x zu.
Y
M
B 5 int E
(X)
Um die „senkrechten“ Linienanteile
wegzubekommen, kann man unter d D (Line)
E den Linientyp von Y1 auf gepunktete Linie
stellen mit ' E . Dann wird mit G
neu gezeichnet. Für andere Anwendungen sollte man
dies wieder zurücksetzen.
Abschnittweise definierte Funktionen
Mit einem kleinen Trick kann der GTR auch solche Funktionen darstellen. Dazu multiplizieren wir den Funktionsterm mit z.B. ( x ≥ a ), da dieser für x ≥ a den Wert 1, ansonsten den Wert 0 hat. Die benötigten Zeichen finden sich unter M F (INEQ).
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Da die Funktion dadurch im nicht gewünschten Teil den Wert 0 annimmt, würde eine
unerwünschte Linie von f(a) zu 0 mitgezeichnet.
Y
(X+2)|
(XM
F INEQ 6 )
E
G
Um dies zu vermeiden, kann man die Linie als
Punktlinie einstellen.
dDE
Wir setzen den Cursor für die gewünschte Funktion auf
die Punkte und bestätigen mit E
Der erneute Aufruf von G bringt das gewünschte
Ergebnis.
Ein Beispiel:
Will man die Linieneinstellung auf Punkte vermeiden,
so definiert man eine Funktion Y4 = Y1 + Y2 + Y3 und
deaktiviert Y1 bis Y3.
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Hinweise: Zum Deaktivieren setzt man den Cursor auf
= und drückt E. Die Funktionsbezeichnungen Y1,
Y2 und Y3 findet man unter z A E.
Geradenscharen
a) Geraden durch (2/1): y = tx + 1 –2t
#
Y
G
b) y = tx – t²
Beachte:
entsteht durch R 1 E
Nach einer Änderung der Liste ist ein d A
1 ClrDraw E erforderlich.
Damit können noch einmal die Auswirkungen der Steigung bzw. des y- Achsenabschnittes auf das Schaubild verdeutlicht werden:
c) y = mx (m aus Liste)
d) y = 2x + c (c aus Liste)
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Hinweis :
Die Listenwerte können auch über
S A Edit List E
eingegeben und verändert werden. Es erscheint der
Listeneditor, in dem die Werte eingetragen werden.
Der eingegebene Wert steht zunächst in der Fußzeile
und wird mit E oder Cursortaste in die Liste
übernommen.
Eine Anwendung
Es ist durchaus sinnvoll, sehr früh mit Optimierungsaufgaben zu beginnen.
Aufgabe:
Auf der x-Achse bewegt sich ein Punkt A, auf der y-Achse ein Punkt B mit konstanter
Geschwindigkeit. Zum Zeitpunkt t befindet sich A bei x = t und B bei y = 3t – 5 .
Bestimme den Zeitpunkt, für den die Entfernung der beiden Punkte minimal ist.
Zunächst kann man die Punkte und ihre Entfernung zu verschiedenen Zeiten zeichnen.
Dies sollte an der Tafel bzw. im Heft geschehen. Es ist aber auch möglich, den GTR
dafür zu verwenden.
Dazu muss zunächst der benötigte Bildausschnitt eingestellt werden, damit gezeichnete Grafiken nicht gezoomt werden können. Eventuell vorhandene Funktionsterme sind zu löschen.
Die beiden Punkte haben die Koordinaten A( t / 0 )
und B( 0 / 3t-5). Für verschiedene t muss nun die
Strecke AB gezeichnet werden. Zunächst wird T mit
einem Wert belegt: -1 R T E
Der zum Zeichnen benötigte Befehl Draw Line befindet sich in d A 2 E und wird im #
- Bildschirm entsprechend ergänzt
Line(x 1 ,y 1 ,x 2 ,y 2 )
Nach E schaltet der GTR auf den Grafikschirm
und zeichnet die Linie.
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Wir schalten zurück # und geben den nächsten Befehl ein.
Dazu können die letzten Eingaben durch e zurückgerufen (notfalls mehrmals) und
ergänzt werden.
Das letzte Bild zeigt die
Grafen für
1
T = -1, 2 , 1, 2, 3 .
Die Frage nach der kürzesten Entfernung führt über die Abstandsberechnung auf die
Gleichung d = (3t - 5 - 0)² + ( 0 - t)² . Diesen Zusammenhang können wir (unter Verwendung der Variablen X) grafisch darstellen lassen. Wir geben die Gleichung als Y1
ein Y und wählen zunächst Z A 5 default E und dann evtl. einen passenden Ausschnitt. Deutlich ist das Minimum zu erkennen.
Über k A 3 (Minimum) E lassen wir uns
das Minimum suchen ( T = X = 1,5 ).
Variationen von Funktionen
Am Beispiel der Parabel kann gezeigt werden, welche Auswirkungen die Veränderung
des Funktionsterms haben bzw. welche Änderungen vorgenommen werden müssen, um
eine bestimmte Veränderung zu erzielen.
Die Schüler können z.B. ausprobieren, wie der Term Y1 = X² zu verändern ist, damit
-
das Schaubild um 2 nach unten verschoben
wird (Y2)
das Schaubild um 2 nach rechts verschoben
wird (Y3)
das Schaubild an der x-Achse gespiegelt wird
(Y4)
das Schaubild von Y3 an der y-Achse
gespiegelt wird (Y5)
das Schaubild von Y4 gestaucht wird (Y6)
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Um Y2=Y1 - 2 eingeben zu können, müssen wir auf
die Variable Y1 zurückgreifen. Wir setzen den
Cursor also hinter Y2= und rufen z auf. Die
gesuchte Variable versteckt sich hinter A (XY)
(Graph equation). Wir drücken E.
Nun wählen wir 1 (Y1) gefolgt von E. Die
gewünschte Variable Y1 erscheint im Editor. Wir
ergänzen - 2 .
Entsprechend rufen wir die anderen Funktionsvariablen auf.
Das letzte Beispiel zeigt die Wirkung der
Betragsfunktion, bei der alle Teile
unterhalb der x-Achse an dieser gespiegelt
werden.
Sind alle Funktionen definiert, ist es einfach, in Y1 einen anderen Term einzugeben und
zu sehen, dass die Variationen auf dieselbe Art erfolgen.
Die Auswirkungen können auch in der Wertetabelle
betrachtet werden. Um z. B. die Auswirkung der
Verschiebung Y3 = Y1(X-2) zu beobachten,
deaktivieren wir alle Terme außer Y1 und Y3 und
schalten mit T in die Wertetabellen. Dort ist zu
erkennen, dass die Werte von Y3 denen von Y1
entsprechen, um 2 Einheiten nach rechts verschoben.
Potenzfunktionen
n
Die grundlegenden Eigenschaften der Potenzfunktionen x x , x  R für gerade bzw.
ungerade n  N können beobachtet werden.
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a) gerade n
b) ungerade n
#
Y
W
G
Ganzrationale Funktionen
Je nach Situation kann es unterschiedlich sein, wofür
man sich bei einer gegebenen Funktion interessiert.
Dies kann das Verhalten für große Werte von | x | oder
der Verlauf der Kurve nahe beim Ursprung sein. Dies
soll am Beispiel der Funktionsgleichung
1
y = 40 x4 – x² + 5 veranschaulicht werden.
1 b 40 ' X a
Xy+ 5
Y
4 '-
Nach dieser Eingabe der Gleichung in Y stellen wir den gewünschten Definitionsbereich in W ein (nur Xmin, Xmax eingeben) und lassen über Z A
E den Ausschnitt berechnen und zeichnen.
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1 (Auto)
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1
Zum Vergleich lassen wir das Schaubild von y= 40 x4 mit einzeichnen, welches das
gleiche Verhalten zeigt.
Y
f
G
Wir löschen oder deaktivieren Y2 und lassen Y1 im Bereich –4 bis 4 zeichnen.
Wj
ZA
1
E
Hier lassen wir zum Vergleich das Schaubild von y = - x2 + 5 mitzeichnen.
Y
f G
Dieser Term beschreibt das Verhalten um den Ursprung.
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Symmetrie
Bei der Symmetrie ist entweder f(x) = f(-x) (Achsensymmetrie) oder f(x) = -f(-x)
(Punktsymmetrie zum Ursprung) zu überprüfen.
Aufgabe: Zeige numerisch und grafisch, dass das Schaubild von f(x) = - 5x4 + 3x² + 5
achsensymmetrisch zur y-Achse ist.
Dazu geben wir den Funktionsterm von f(x) bei Y1 und den von f(-x) bei Y2 ein.
Um Y2=Y1(-X) eingeben zu können, müssen wir auf die Variable Y1 zurückgreifen.
Wir setzen den Cursor also hinter Y2= und rufen auf:
zA
1E
Die gewünschte Variable Y1 erscheint im Editor. Wir
ergänzen
-X .
Mit T rufen wir die Wertetabellen ab und können
Y1 mit Y2 vergleichen.
Für den grafischen Vergleich ist es sinnvoll, Y2 dick
zu zeichnen. Wir wählen d D E (select line
type).
Dort stellen wir Y2 auf die fette Linienart, gefolgt von E.
Nach Eingabe des gewünschten Bereichs unter
W
... zeichnet der GTR mit G die beiden
Schaubilder nacheinander sichtbar übereinander.
Entsprechend kann die Punktsymmetrie zum Ursprung überprüft werden.
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Punktsymmetrie zu einem beliebigen Punkt
Aufgabe: Überprüfe, ob das Schaubild von f(x) = x3 – 3x² punktsymmetrisch zu (1/-2)
verläuft.
Methode 1:
Wir verschieben das Schaubild von Y1 um 1 nach
links und 2 nach oben. Als Y3 definieren wir -Y2(-X).
(Y1 und Y2 über z abrufen !)
Y1 lassen wir normal zeichnen, Y2 gepunktet und Y3
dick (unter d D).
Im entsprechenden Ausschnitt erscheinen wieder
nacheinander die 3 Schaubilder, wobei Y2 und Y3
übereinander liegen.
Methode 2:
Wir lassen als Y2 den Mittelwert der y-Koordinaten
zweier zu (1/-2) liegender allgemeiner Punkte
berechnen.
(Y1 über z abrufen !)
In der Wertetabelle T überprüfen wir, ob sich
überall der Wert –2 ergibt.
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Nullstellen
Für die Bestimmung der Nullstellen haben wir verschiedene Möglichkeiten.
1. Die Nullstellen von Polynomen 2. und 3. Grades
können exakt berechnet werden, wobei auch komplexe
Lösungen ausgegeben werden. Das entsprechende
Hilfsmittel
[ C 2 bzw. 3 (Poly) E.
Die Koeffizienten der Gleichung ax³ + bx² + cx + d = 0
werden nacheinander eingeben (am besten, wenn der
Cursor auf dem Buchstaben blinkt), gefolgt von
E.
Die Nullstellenberechnung wird mit h gestartet.
Der GTR verwendet die Lösungsformel für
Gleichungen 2. bzw. 3. Grades.
2. Das Schaubild der zugehörigen Funktion kann
gezeichnet und die Nullstellen bestimmt werden.
Nach Eingabe des Terms in Y lassen wir
zunächst mit W und G einen passenden
Ausschnitt zeichnen.
Dazu rufen wir auf:
kA
5 (X_Incpt) E
Der GTR liefert die Nullstelle numerisch.
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Erneuter (mehrfacher) Aufruf von
kA
5 (X_Incpt) E
liefert die nächsten Nullstellen.
Hinweise:
Nullstellen außerhalb des Bildschirmbereichs können so nicht gefunden werden.
Die Schüler sind oft über den y-Wert ≠ 0 überrascht. Ein Hinweis auf die Rechenungenauigkeit ist hier erforderlich:
Der Umgang mit dem grafikfähigen Taschenrechner im Mathematik-Unterricht soll nicht nur bestimmte
Rechnungen beschleunigen, sondern bietet gleichzeitig die Möglichkeit, ein Gespür für Numerik und
deren Grenzen zu entwickeln. Im Gegensatz zu einer algebraischen Berechnung sind numerische Rechenergebnisse generell mit Ungenauigkeiten behaftet. Je nach Verfahren und den zur Verfügung stehenden Ressourcen sind die Abweichungen vom exakten Ergebnis mehr oder weniger groß, aber sie
sind - im Gegensatz zu algebraischen Verfahren - immer vorhanden. Die Schüler müssen also lernen,
Ergebnisse korrekt zu interpretieren.
3. Verwendung des SOLVERS
Der SOLVER verwendet i.d.R. das Newton-Verfahren, erwartet also einen Startwert als
erste Näherung. Deshalb sollte man sich über den Verlauf des Schaubildes bzw. die zu
erwartenden Nullstellen grob im Klaren sein.
Wir rufen ' auf, warten kurz und löschen die
vorhandene Gleichung. Nun geben wir die zu lösende
Gleichung ein. Die Angabe = 0 ist optional. Mit
E geht es weiter. Der GTR schlägt den letzten
gespeicherten X-Wert als Lösung vor. Wir geben
unseren Vorschlag ein und starten die Berechnung mit
h.
Falls keine einfache lineare Gleichung (Equation)
vorliegt, wechselt der Rechner zum Newton-Verfahren
und will nochmals einen Startwert.
Da wir diesen aber schon übergeben haben, gehen
wird mit h weiter. (Wir hätten die Schrittweite
noch verändern können.).
Der GTR liefert sein Ergebnis, sowie eine
Abschätzung der Genauigkeit (linke Seite – rechte
Seite).
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Mit C kommen wir eine Ebene zurück und können den nächsten Startwert eingeben und das Verfahren wiederholen (jeweils mit h auslösen).
Vielfachheit von Nullstellen / Linearfaktorzerlegung
Anhand der Parabel y = x² - 4x + c mit z.B. c von 2 bis 4 und der Tatsache, dass eine
quadratische Gleichung „normalerweise“ 2 Lösungen besitzt, kann gezeigt werden, wie
zwei einfache Nullstellen zu einer doppelten Nullstelle werden – mit den entsprechenden Auswirkungen auf das Schaubild.
y = x² - 4x + 2
y = x² - 4x + 3
y = x² - 4x + 3,9
= (x – 1)(x – 3)
(nach Zoom)
und zum Schluss:
y = x² - 4x + 4
= (x – 2)²
Das Aussehen einer einfachen, doppelten, dreifachen Nullstelle kann gezeigt werden:
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Mathematik mit dem Sharp EL-9900G SII – Teil 1 – Analysis 1 – Wahrscheinlichkeiten
Mit diesem Wissen können den Schülern Schaubilder vorgelegt werden, für die sie den
Funktionsterm bestimmen und mit dem GTR überprüfen sollen. Umgekehrt können
auch Terme angegeben werden. Die Schüler bestimmen die Nullstellen, skizzieren das
Schaubild und überprüfen sich selbst mit dem GTR.
z. B: Wie lautet der Funktionsterm (alle Nullstellen
sichtbar), wenn f(1) = -1 ist ?
Differenzenquotient / Änderungsrate
Zugang 1: Mittlere Änderungsrate
Das Beispiel soll den Begriff der Änderungsrate einführen. Dabei ist hier der Grenzübergang zur momentanen Änderungsrate zunächst absichtlich nicht thematisiert, da er
für die Begriffsbildung eine zusätzliche Last wäre. Die Intervalllängen für die Berechnung mittlerer Änderungsraten lassen sich (wie in vielen anderen Beispielen auch) so
wählen, dass ein Unterschied zur momentanen Änderungsrate bei den hier gestellten
Fragen unwesentlich ist. Ein GTR hilft, eine auf der Basis von mittleren Änderungsraten definierte Funktion (als Ersatz für die exakte Ableitungsfunktion) zu veranschaulichen und den Ableitungsbegriff vorzubereiten.
Mitunter findet man über den
Wetterdienst Daten über die
Niederschlagsmenge an einem
bestimmten Ort in Abhängigkeit
von der Zeit.
Die abgebildete Kurve zeigt
die Niederschlagsmenge pro
Quadratmeter in Karlsruhe
am 5.7.1999, gemessen ab 18 Uhr.
18
Wassermenge w in Liter
15
12
9
6
3
Zeit t in Stunden
1
2
3
4
Wann hat es an diesem Abend besonders stark geregnet?
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5
6
7
8
9
10
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In der Zeit von t 1 =0 bis t 2 =10 (in Stunden ab 18 Uhr) sind etwa 17,5 Liter Wasser niedergegangen.
Der durchschnittliche "Wasserstrom" ( Wassermenge ) auf einen Quadratmeter war also
Zeitdauer
1,75 Liter/Stunde. Zeitweise war der Wasserstrom aber deutlich größer. Zwischen
t 1 =2,5 und t 2 =3 gingen etwa 3 Liter Wasser auf einen Quadratmeter nieder. Also war
der mittlere Wasserstrom 6 Liter/Stunde.
Hier lassen sich Fragen anschließen, wie: Wann war der Wasserstrom am stärksten und
wie lässt sich der Maximalwert bestimmen? Die Antworten findet man z.B. durch grafisches Differenzieren.
Die algebraische Kenntnis der Funktion t  Wassermenge würde das Berechnen der
Stromstärkewerte erleichtern. Nun lässt sich die reale Kurve aber nur sehr aufwendig
durch abschnittsweise Definition des Funktionsterms beschreiben. Um den Blick der
Schüler auf das Wesentliche nicht dadurch zu verstellen, wird eine einfachere Regenkurve betrachtet.
Die Funktion f gebe die pro Quadratmeter niedergegangene Wassermenge (in Liter)
einer theoretisch angenommenen Regenphase an.
f : x  0,1  x  7,21  x 2  4,52  x 3  1,1  x 4  0,11  x 5  0,0029  x 6  0,0001  x 7 , (x in Stunden)
Y
W
G
Der Funktionsterm steht in der ersten Zeile - allerdings nicht komplett sichtbar.
Mit @ und Cursor kann zum Anfang/Ende gesprungen werden.
Die Kurve zeigt die nieder geregnete Wassermenge auf einen Quadratmeter
Tipp: Nach Eingabe eines Exponenten die Pfeiltaste nach rechts drücken.
Hinweis: Bei diesem Funktionsterm muss darauf geachtet werden, dass alle Schüler ihn
korrekt eingegeben haben. Deshalb können die Überlegungen auch an Hand eines vereinfachten Terms vorgenommen werden.
Dieser könnte im Bereich 0 bis 6 lauten:
f : x  3  x2 
1 3
x , (x in Stunden).
3
Wir verwenden im Folgenden den ersten Term.
Im # wird der Funktionswert bei x = 7 berechnet.
(Y1 aus z A 1)
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Die im gesamten Beobachtungszeitraum ( 0  x  7 ) niedergegangene Wassermenge
beträgt also ungefähr 19,5 Liter.
Wie viel Wasser ist z.B. in den Zeitspannen [4; 7],
[4; 6], [4; 4,5] auf einen Quadratmeter herabgeregnet?
Tipp: Durch e nach der ersten Berechnung wird die letzte Eingabezeile zurückgeholt. Dann kann z.B. die 7 durch 6 verändert werden (Pfeiltasten und D verwenden / i schaltet in den Einfügemodus). Berechnung mit E ausführen.
Der damit verbundene mittlere Wasserstrom auf einen
Quadratmeter in den Zeitspannen [4; 7], [4; 6], [4; 4,5]
wird berechnet.
Alternative Eingabe:
f( 4.1)f( 4 )
4.14
ist die mittlere Wasserstromstärke im
Zeitintervall [4; 4,1]. Sie beschreibt ungefähr, wie
stark es näherungsweise zum Zeitpunkt x  4 regnet.
Eine noch bessere Angabe zur Regenstärke bei x  4 ist vermutlich durch kleinere Wahl
des Zeitintervalls [4;4+z] zu erhalten.
Zu berechnen ist jeweils
f (4  z )  f (4)
.
z
Für die Zeitspanne z werden nun die
Werte 0,01, 0,001 und 0,0001 eingesetzt.
Ist die Befehlszeile zu lang, wird
leider nicht immer alles angezeigt. Hier z.B. wurde (Y1 aus
dem Fenster geschoben.
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Eine andere Möglichkeit der Annäherung an x = 4 ergibt sich, wenn man mit der Variablen Z arbeitet.
Der / erlaubt es, zwei Befehle in eine
Zeile zu schreiben. E führt beide Befehle aus.
Mit e wird der Ausdruck zurückgeholt und 0.1
R Z wird gelöscht und durch Z/10 R Z
ersetzt.
Nun kann durch mehrfaches E diese Zeile wiederholt abgearbeitet werden, wobei
Z die Werte 0,01 ; 0,001 ; 0,0001 durchläuft.
Achtung: Wird dieser Schritt zu oft wiederholt, so
stößt man an die Grenzen der Rechengenauigkeit!
Offenbar kann die Regenstärke zum Zeitpunkt x  4
mit ca. 2,3 Liter/Stunde angegeben werden.
Der mit dem Differenzenquotienten
f ( x  0,0001)  f ( x)
berechnete mittlere Wasser0,0001
strom scheint ein guter Wert für die momentane Regenstärke zum Zeitpunkt x zu sein.
Viele solche Werte, über x aufgetragen, zeigen den Verlauf der Regenstärke über eine
längere Phase.
Y2 berechnet deshalb die mittlere Wasserstromstärke im Intervall [x;x+0,0001].
Mit G wird die gegebene Regenkurve (Y1)
und die (ungefähre) Regenstromstärke (Y2) in
Abhängigkeit von der Zeit gezeichnet.
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Um nur Y2 darzustellen, setzen wir im Y-Editor den Cursor auf das Gleichheitszeichen
von Y1 und drücken E. Eine veränderte W Einstellung bringt uns eine vergrößerte Darstellung der Regenstärke.
Zugang 2: Steigung der Tangente
Die Eigenschaft, dass jede Kurve lokal näherungsweise als eine Gerade angesehen werden kann, lässt sich mit dem GTR leicht veranschaulichen, wenn nur der Ausschnitt
hinreichend vergrößert wird.
Das nebenstehende Bild zeigt einen Ausschnitt des
Schaubild vom f(x) = x² . Ausgehend von
W (Xmin=1, Xmax=3)
und
Z
A1 (Auto) E wird der Cursor
im
U-Modus in die Nähe von x=2 gestellt
und der Ausschnitt mehrfach
mit Z A3 (In) vergrößert und mit U kontrolliert.
Hinweis: Bei Z A3 wird die Cursorposition als Bildmitte verwendet.
Es stellt sich die Frage, wie die Gleichung der Geraden lautet, welche f(x) lokal ersetzen
kann. Für den Punkt P( 2 / 4 ) ergibt sich die Gleichung y = M*( x – 2 ) + 4 , wobei M
noch zu bestimmen ist.
Wir definieren also neben Y1 = X² als 2. Funktion
Y2 = M(x-2)+4.
M kann näherungsweise durch die Steigung einer
Sekante durch P und Q bestimmt werden, wobei Q ( 2
+ H / f( 2 + H ) ) gewählt wird.
Mit f(x) = Y1 gilt also für M: M =
Y1(2+H) - Y1(2)
. Der Wert von M ist umso besser, je
H
näher H bei 0 liegt. Man kann also z.B. für H den Startwert 1 verwenden und dann H
immer halbieren.
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Dazu geben wir nach # C ein:
1RHE
H/2 R H /
Y 1(2  H )  Y 1(2)
R
H
M E
Mit diesem berechneten und gespeicherten M rufen
wir nun mit
Z A5 E das gemeinsame Schaubild auf.
Was aber auf den ersten Blick ganz brauchbar
aussieht, erweist sich in entsprechender
Vergrößerung als sehr ungenau. Um das zu
erkennen, passen wir das Fenster genau unseren
Bedürfnissen an.
Wir stellen z.B. in W die nebenstehenden Werte
ein, wählen Z A5 (Auto) E und erhalten
einen geeigneten Ausschnitt.
Um ein neues, besseres M zu bestimmen, schalten wir nach # zurück. Wir rufen mit
e die letzte Befehlszeile zurück und führen sie mit E aus. Nun ist das neue M
berechnet. Um die neue Zeichnung zu erhalten, muss die alte zuerst gelöscht werden
(ein Aufruf von G ruft nur die Zeichnung ab, da an den Funktionsgleichungen
nichts geändert wurde).
d A 1 (ClrDraw) E löscht und zeichnet
sofort neu. Da wir den Ausschnitt nicht verändert
haben, ist sofort erkennbar, dass die Näherung
besser wurde.
Mit Z A 3 (In) E
werden die Unterschiede wieder deutlicher.
Dieses „Spielchen“ kann nun weitergetrieben werden:
# e E
G d
(Neuberechnung von M für H/2)
A 1 (ClrDraw) (Neuzeichnen)
Z In (Vergrößern)
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Man kann aber auch einige Zeichnungen überspringen. Hat man nämlich durch
# e E einen neuen M-Wert
berechnet, so können durch wiederholtes Drücken von
E weitere Näherungswerte berechnet werden, da
jedes Mal die letzte Zeile neu berechnet wird.
An geeigneten Stellen kann das Schaubild betrachtet werden.
Mit U kann zwischen den Schaubildern gewechselt werden.
Der Unterschied
zwischen den
Schaubildern von f und
der Näherungsgeraden
wird immer geringer.
Mit
# e E E E E
. . .
können immer weitere Näherungswerte abgerufen
werden, die offensichtlich gegen 4 streben.
Zur Absicherung führen wir das Verfahren zumindest
rechnerisch für H < 0 durch.
Mit _ 1 R H
E e e E E
erreichen wir die ersten Näherungen von links.
Mit weiteren E können wir die Annäherung an
den Wert 4 beobachten.
Der Übergang zur Tangente und ihrer Steigung sollte nun kein Problem mehr darstellen.
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Zugang 3: Tangentengleichung
Weil der GTR Möglichkeiten bietet, die früher nicht zur Verfügung standen, kann man
diese nutzen, um einen neuen Einstieg in ein altes Thema zu finden.
Unter d A (DRAW) 5 (T_line) bietet der GTR die Möglichkeit, an einer beliebigen Stelle die Tangente an das Schaubild einer Funktion zeichnen zu lassen und die
Tangentengleichung auszugeben. Da der Tangentenbegriff für den Schüler geometrisch
kein Problem darstellt, kann man die Frage stellen, wie der GTR dies macht. Das weitere Vorgehen entspricht dann dem zweiten Zugang, wobei die gefundene „Tangente“
ständig mit der Tangente des GTR verglichen werden kann.
YC
ZA
X y
5 (Default) E
Da es mit U nicht möglich ist, den Cursor
genau auf (2/4) zu setzen, greifen wir
zu einem Trick:
k A1 (Value) E
(X=) 2 E
Dann rufen wir auf:
dA
5 (T_line) E E
Das Zeichnen von Tangenten muss zweimal mit
E bestätigt werden. (Nach dem ersten E
kann mit den Cursortasten der Punkt angesteuert
werden, an dem die Tangente gezeichnet werden soll.)
Die Tangente wird gezeichnet und ihre Gleichung
ausgegeben: Y = 4X - 4
Hinweise:
Verändert man den Bildausschnitt, so wird die Tangente nicht mitgezeichnet. Erst durch
erneuten Aufruf von T_line wird sie wieder eingezeichnet.
Alternativ kann der Zeichenbefehl auch von # durch T_line( Y1 , 2 ) E ausgelöst werden.
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Die Frage, wie der GTR die Steigung dieser Geraden bestimmt, führt sicherlich bald zu
der Idee, diese durch eine Sekante anzunähern, da eine Geradensteigung eigentlich nur
durch zwei bekannte Punkte berechenbar ist.
Diese Vorgehensweise ist als Zugang 2 ausführlich beschrieben. Zusätzlich zu der so
gefundenen Sekante kann immer wieder mittels T_line(Y1,2) die Tangente mitgezeichnet werden.
Alternativ kann aber auch die Steigung 4 als Grenzwert der Sekantensteigung mit folgender Überlegung erkannt werden:
Wir erstellen eine Liste, in der sich die Zahlen der Zahl 2 nähern. Damit berechnen wir
den Differenzenquotienten und erkennen, dass dieser sich dem Wert 4 annähert.
S A edit list
E
Es erscheinen leere Listen (wenn nicht, den Cursor auf
den Listenkopf stellen und D drücken, mit E
bestätigen).
Der Reihe nach geben wir die Annäherungsfolge ein.
Jeder Wert wird mit E bestätigt.
Liste 2 wird für die Berechnung des Differenzenquotienten verwendet. Dazu stellen wir
den Cursor auf den Listenkopf L2. Nun können wir in der untersten Zeile eingeben:
( Y1 ( 1 ) Y1 ( 2 ) ) =
( 1 - 2 ) E
Damit wird L2 aufgefüllt und der Grenzwert 4
ersichtlich.
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Der Differenzenquotient
Wie schon in vorangegangenen Zugang 3 der Ableitung dargestellt, kann man den Differenzenquotienten über Folgen berechnen. Um den Schülern das Vorgehen noch besser
zu verdeutlichen, wird die Methode erweitert, indem 4 Listen verwendet werden.
L1 - die Annäherungsfolge mit dem Grenzwert 2.
L2 - der Zähler des Differenzenquotienten f(x) – f(2) für f(x) = x2
L3 - der Nenner des Differenzenquotienten x – 2
L4 - der Differenzenquotient.
L1 wird wie im letzten Kapitel beschrieben eingegeben.
Als Liste 2 berechnen wir die Differenz f(x) – f(x 0 ),
indem wir den Cursor wieder auf den Listennamen L2
setzen und Y1(L1) – Y1(2) bzw. L12 – 22 eingeben:
Y1 ( 1 ) – Y1 ( 2 ) E
und die Differenzen werden berechnet.
Liste 3:
Als Liste 4 berechnen wir die Differenzenquotienten
f(x) – f(x0)
x - x0
d.h.
L2/L3:
Deutlich ist zu sehen, dass sowohl Zähler, als auch Nenner gegen 0, der Bruch aber gegen einen festen Wert strebt.
Man kann auch die Annäherung durch h0 entsprechend darstellen:
L1 : h
L2 : f(2+h) – f(2)
L3: L2/L1
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Es gibt noch eine andere Möglichkeit, den Differenzenquotienten zu berechnen, indem
man den Term
f ( x )  f ( x0 )
als Funktionsterm definiert und die Annäherung xx 0 in
x  x0
der Tabelle (User) beobachtet.
Dazu empfiehlt es sich, Y1 für die Tabelle zu
deaktivieren (Cursor auf = setzen und E ).
Y ' E USER erlaubt es uns,
unter T für x bis zu 6 beliebige Zahlen
einzugeben. Y2 zeigt den zugehörigen Wert des
Differenzenquotienten. (Mehr als 5
Nachkommastellen werden nicht angezeigt.)
Zeichnen der Ableitungsfunktion
a) Für ein sehr kleines H stellt g(x) =
(Y1(X + H) - Y1(X))
H
eine Funktion dar, welche je-
dem x näherungsweise die Steigung der Tangente an das Schaubild von Y1 zuordnet.
Y
W
G
Für die Eingabe von Y1(X) genügt Y1.
b) Der GTR stellt eine eigene Funktion zur Verfügung, welche nach der mathematid
schen Schreibweise dx Y1 heißt. Sie befindet sich unter M A
05.
Diese kann im # aufgerufen werden, um einen einzelnen Steigungswert zu berechnen.
A 05 E
z E A 1 E
# M
, 2 ) E
Man kann aber auch statt Y1 den Funktionsterm angeben.
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Die Funktion kann auch verwendet werden, um die Ableitungsfunktion zu zeichnen.
Y
MA
bei Y2= eingeben:
05 E z E A 1
E ) E
G
Unter U können die Werte im Schaubild angezeigt oder über T betrachtet
und eine Vermutung über den Term der Ableitungsfunktion aufgestellt werden.
Diese Vermutung kann als Y3 eingetragen und (evtl.) dick gezeichnet werden, so dass
die Übereinstimmung mit Y2 beobachtet werden kann.
Hinweis (für später): Auch die 2. Ableitungsfunktion kann mit Y3= d/dx(Y2) bestimmt
werden.
Stellt man f C (Y‘) auf ON, so können die
d
Ableitungswerte auch ohne Angabe von Y1= dx Y1 im
Trace-Modus ausgegeben werden. Um eine bestimmte
Stelle zu erreichen, kann diese über
b k A1 (Value) ausgewählt werden.
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Tangenten und Normalen
Aufgabe: Gegeben ist das Schaubild der Funktion mit der Gleichung
1
9
f(x) = 4 x³ - 2x² + 4x. Gesucht ist die Tangente im Kurvenpunkt P( 1 / 4 ).
Wie in Zugang 3 zur Ableitung beschrieben, bietet der GTR die Möglichkeit, eine
Tangente schnell zeichnen und deren Gleichung angeben zu lassen.
Es können mehrere Tangenten in ein Bild
eingezeichnet werden.
 Nach jeder Veränderung von W / Z wird zwar das Schaubild von Y1
neu gezeichnet, die Tangente aber nicht.
 Die Tangente(n) können mit d A 1 (ClrDraw) gelöscht werden. Das
Funktionsschaubild wird dabei neu gezeichnet.
 Die Tangente kann auch gezeichnet werden, wenn man aus dem Schaubild heraus den Befehl d A 5 (T_line) aufruft, den Cursor auf den entsprechenden Punkt setzt (was nicht immer gelingt) und E drückt.
Schnittpunkte von Tangente und Kurve oder zweier Tangenten können aber so nicht
bestimmt werden, da die Tangentengleichung zwar angezeigt, nicht aber als Funktionsgleichung gespeichert ist. Für die Weiterarbeit muss also die angezeigte Tangentengleichung abgeschrieben und in Y eingegeben werden.
Man kann aber auch die Gleichung der Tangente selbst erzeugen. Die allgemeine Tangentengleichung lautet y = f’(x 0 )*( x – x 0 ) + f(x 0 ) .
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d
Y2= dx (Y1,1)*(X – 1) + Y1(1)
G
In welchem weiteren Punkt schneidet diese Tangente das Schaubild von f ?
Dazu stellen wir im U-Modus den Cursor vor den gesuchten Schnittpunkt und
rufen k A 2 (Intsct) auf (oder ohne TRACE
mehrfach CALC). Wir erhalten S( 6 / 6 ).
Hinweis: Entsprechend können Normalen bestimmt werden. Die Gleichung lautet
dann
1
y= – f'(x ) ·( x – x 0 ) + f(x 0 ) .
0
Ableitungsregeln
Am Beispiel der sin-Funktion soll gezeigt werden, wie eine Ableitungsregel durch die
Schüler gefunden und vom GTR visualisiert werden kann.
Zunächst werden die abzuleitende Funktion und ihre Ableitung gezeichnet.
Y C
Y1= s X
Y2= M A 05 (d/dx) E
A 1E )
Z E 1 (Trig-sin) E
z E
(optional)
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Die Schüler vermuten: (sin x)’ = cos x .Deshalb wird eingegeben
Y
Y3= c X
und (optional) der Linientyp über
dDE
festgelegt:
Der Aufruf von G zeichnet zunächst die sin-Funktion normal, dann die Ableitungsfunktion gepunktet und genau darüber die cos-Funktion fett. Damit ist die Schülervermutung zumindest zeichnerisch bestätigt.
Eine weitere Bestätigung kann der Vergleich der
Wertetabellen bringen ( T ).
Faktorregel
Vergleicht man die Ableitungsfunktionen von
1
f(x) = x2 und g(x) = 2 x2 unter T,
so erkennt man, dass diese sich um den Faktor
1
2 unterscheiden.
Die Vermutung, dass (k·f(x))’ = k·f’(x) gilt, kann an einer komplizierteren Funktion
f(x) überprüft werden.
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Y1 = x3 – 2x2 – 1
d
1
Y2 = dx ( 3 · Y1)
1
d
Y3 = 3 · dx Y1
Y1 muss nicht, Y2 wird gestrichelt und Y3 fett
gezeichnet:
d D (select line type) E
G
Der GTR zeichnet zuerst Y2 und (innerhalb der
Zeichengenauigkeit) genau darüber Y3.
T
Ein Vergleich der Wertetabellen liefert dasselbe
Resultat.
Summenregel
Nach dem gleichen Verfahren visualisieren wir die Summenregel.
(f(x) + g(x))’ = f’(x) + g’(x)
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Höhere Ableitungen
Im Schaubild sind die Funktion f und die ersten beiden
Ableitungen von f (gepunktet) dargestellt. Je nach
Interessenlage kann ein Teilschaubild fett gezeichnet
werden.
Im U-Modus können auch die Ableitungen abgetastet oder mit k A1 Werte
abgerufen werden. Die Schaubilder können mit {} gewechselt werden.
Eine wichtige Anwendung
Bestimme die Stellen, an denen die Funktion mit f(x) = 0,01ex/x die Steigung 5 hat.
d
Nach Eingabe der Funktion in Y1, des Befehls dx Y1 als Y2 und der Linie Y3=5 deaktiviert man Y1 und bestimmt den Schnittpunkt von Y2 und Y3 : x =8,477…
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Grafische Funktionsuntersuchung
1
Aufgabe: Untersuche das Schaubild von f mit f(x) = 6 *(x4 – 6x2 –8x – 3) auf Schnittpunkte mit den Achsen, Extrema und Wendepunkte.
Zuerst geben wir in Y den Funktionsterm ein.
Einen ersten Überblick verschaffen wir uns über
Z A5 E
Dann wählen wir einen günstigeren Ausschnitt z.B.
mit
W
Xmin und Xmax einstellen und
Z A1 (Auto)
Es ist möglich, die gefundene Einstellung
abzuspeichern:
ZG
1 (StoWin) E
Sie kann jederzeit mit Z H 1 (RclWin) wieder abgerufen werden. Z H 2
(PreWin) erlaubt es, die letzte verwendete Fenstereinstellung wieder zurückzurufen.
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Nullstellen
Wir rufen
kA
5 (X_Incpt) E auf.
Nach kurzer Rechenzeit liefert der GTR x = -1.
Erneuter Aufruf von k A
Nullstelle x = 3.
5 liefert die nächste
Sind die Steigungen in den Nullstellen gefragt, so können wir entweder im # den
Steigungswert bestimmen lassen . . . .
#M
A5
EzE
A1 E _1)E
. . . . oder wir stellen unter f die Option D auf ON. Zurück mit G und
U oder k wird nun zu jeder Stelle auch y’ angezeigt.
Mit k A 1E kann die gewünschte Stelle
z.B. X= 3 E auch direkt angegeben werden.
Hinweis: Setzt man mit U den Cursor kurz vor die gesuchte Nullstelle, geht die Berechnung schneller.
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Schnittpunkt mit der y-Achse
Dazu rufen wir
k
A 6 (Y_Incpt) E
auf. . . .
. . . . oder berechnen im # den Wert Y1(0) E.
Extrema
Wir vermuten nur ein Minimum.
Wir rufen
kA
3 (Minimum) E
auf.
Hinweis: Die Berechnung startet von ganz links. Das
gesuchte Minimum muss aber in jedem Fall auf dem
Bildschirm sichtbar sein.
Der GTR liefert x= 1.999999758 und y = -4.5.
Eine Verbesserung dieses Wertes (genau: x = 2) ist leider nicht möglich.
(Siehe hierzu auch den Hinweis auf Seite 36.)
Vermuten wir weitere Extrema im (unklaren) Bereich
von –2 bis 0, so vergrößern wir zunächst diesen
Ausschnitt ( W G oder in U den
Cursor auf x= -1 und Z
A3).
Sowohl das Schaubild als auch der Aufruf von
k A 3 bzw. k A 4 bringen kein
Ergebnis, was uns schlussfolgern lässt, dass sich im
Bereich x=-2 bis x=0 keine weiteren Extrema
befinden.
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Wendepunkte
Wir wählen zunächst wieder die alte FensterEinstellung:
ZH
1 (RclWin) E
kA
7 (Inflec) E
Mit
können die Wendepunkte gesucht werden.
Der erste Aufruf bringt (-1/0), der zweite Aufruf
8
bringt (fast) ( 1 / -3 ).
Wertetabelle
Der Aufruf von T bringt eine einfache
Wertetabelle. Der Aufruf von " bringt Schaubild
und Wertetabelle nebeneinander, wobei das Schaubild
abgetastet werden kann.
Eine Wertetabelle nach eigenen Vorstellungen kann
man über y erreichen. Im Auto-Modus können
Startwert (TBLStrt) und Schrittweite (TBLStep)
eingegeben werden.
y}
-4 E .5 E
T
bringt dann die gewünschte Tabelle, die mit den
Cursortasten erweitert werden kann.
Mit
y ' E (User) T
entsteht eine leere Tabelle, welche nach Eingabe in der
x-Spalte ( E oder } ) vom GTR in der ySpalte mit Werten gefüllt wird.
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Selbstverständlich können wir versuchen, die
Funktionsuntersuchung auch „herkömmlich“
durchzuführen. Dazu lassen wir zunächst f’(x) und
später (d.h. vorläufig noch deaktiviert) auch f’’(x) mit
einzeichnen.
(Man beachte die Ungenauigkeit von f ‘‘ in der
Umgebung von 0)
Im U-Modus setzen wir den Cursor irgendwo
links auf das Schaubild Y2 (}) der ersten
Ableitung und rufen
k
A 5 (X_Incpt) E
auf. Der GTR findet die Stelle –1 nicht, weil wegen der Ungenauigkeit der Steigungswert 0 nicht angenommen wird. Dafür findet er die Stelle 2 exakt. Ein Sprung auf Y1
(}) führt wegen der Ungenauigkeit und der Schrittweite beim Zeichnen (diese
orientiert sich an den 126 Pixeln, die in der Breite zum Zeichnen zur Verfügung stehen
und auf X max - X min verteilt werden) leider nicht auf den exakten y-Wert. Dieser ist
besser in der Wertetabelle ablesbar.
Lässt man die zweite Ableitung mit einzeichnen, so können deren Nullstellen auf die
gleiche Art bestimmt werden. Allerdings stößt auch hier der GTR an seine Grenzen
und liefert gelegentlich zusätzliche (falsche) Ergebnisse. Also besser: Finger davon.
Hinweis: Siehe hierzu auch S. 36 über die Grenzen numerischer Verfahren.
Die Schüler sollen anhand solcher Beispiele lernen, dass sich in der Numerik Fehler potenzieren, selbst bei
Berechnungen mit einem Computer, es sei denn ein CAS-Verfahren wird verwendet. Eine numerisch berechnete Ableitung ist zwangsläufig fehlerbehaftet. Wird diese fehlerbehaftete Ableitung nochmals numerisch abgeleitet, quadrieren sich die Fehler. Hierfür müssen die Schüler ein Bewusstsein und Gespür entwickeln, damit sie sich in einem solchen Fall, in dem die zweite Ableitung ohne größeren Aufwand von Hand
berechnet werden kann, für diese Variante entscheiden.
Funktionenscharen
1
Aufgabe: Gegeben ist für t > 0 die Schar f t mit f t (x) = t2x - 27 x3.
Bestimme die Gleichung der Kurve, auf der alle Hochpunkte der Kurvenschar liegen.
Zunächst definieren L1 mit einigen Werten von t.
S
A E (edit List) E
führt uns in den Listeneditor. Ist L1 nicht leer, so setzen
wir den Cursor auf den Kopf (L1) und drücken
D und E und }.
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Danach geben wir die Listenelemente der Reihe nach ein, gefolgt von } oder
E.
Nun definieren wir die Funktionenschar
Y1y
'
X – 1 b 27
Xa3
und lassen zeichnen Z
A 5 (Default) E
Wenn wir uns z.B. für die Hochpunkte interessieren,
so legen wir einen anderen Zeichenbereich fest:
W
Mit
G
können wir die Schar betrachten.
Mit U und {} können wir die
einzelnen Schaubilder auswählen und mit k A
die Maxima bestimmen lassen.
4
Die allgemeine Hochpunktbestimmung führt zu
2
H(3t / 2t2) und damit zu g(x) = 27 x3 mit x > 0.
Diesen Term verwenden wir als Y2 und lassen neu
zeichnen.
Wir wechseln nun in den U-Modus, wählen eine
Kurve der Schar aus und lassen mit k A 2 den
Schnittpunkt suchen. Der GTR zeigt, dass dieses
genau auf dem Maximum der gewählten Scharkurve
liegt. Gleiches gelingt mit anderen Kurven der Schar.
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Eine anspruchsvolle Aufgabe – komplett mit dem GTR
Auch wenn die Daten nicht ganz realistisch sind:
Aufgabe: Gegeben ist die Funktion f mit f(x) =
x³+3x²
Das Schaubild stellt im Bereich -2 ≤ x ≤ 4 den Querschnitt eines Kanals dar. Die sich
anschließende Landfläche liegt auf der Höhe y=16. (Alle Angaben in Metern)
a) Auf der rechten Landfläche soll eine Aussichtsplattform gebaut werden. In welcher
Entfernung vom Kanalrand dürfte sie höchstens stehen, damit sie bei leerem Kanal
jede Stelle des Kanals einsehen kann (Höhe der Plattform incl. Augenhöhe 5 m)?
b) In welcher Entfernung vom Kanalrand dürfte diese Plattform höchstens stehen, damit man bei leerem Kanal die tiefste Stelle des Kanals sehen kann?
Lösung:
a) Nach Eingabe des Funktionsterms (1), Festlegen des Zeichenbereichs (2), und
Zeichnung (ZOOM Auto) wird der Wendepunkt bestimmt (3 und 4).
1
2
3
4
Dann wird die Tangente im Wendepunkt bestimmt (DRAW T_Line) (5 und
6) und der angezeigte Funktionsterm in den y-Editor übertragen. Zusätzlich
wird die Augenhöhe als weitere Funktion eingegeben (7). Der Fensterbereich
wird entsprechend erweitert (8) und neu gezeichnet.
5
6
61
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7
8
Mit TRACE den Cursor auf die Linie
Y3=21 setzen und CALC Intsct bringt
den Schnittpunkt (9). Die Plattform
dürfte höchstens 0,166m vom Rand
entfernt stehen.
b) Hierzu muss eine Tangente vom Tiefpunkt an das Schaubild gelegt werden.
Der Ansatz f ' (u ) 
f (u )  0
, umgeformt u  f ' (u)  f (u) lässt sich mit dem GTR
u0
als Schnitt von u*f‘(u) mit dem Schaubild von f(u) lösen. Wir geben deshalb
Y2=x* (Y1) ein (1) und bestimmen den Schnittpunkt (CALC Intsct) (2), lassen dort gleich die Tangente zeichnen (DRAW T_Line) (3) und übernehmen
die angezeigte Gleichung als Y3 sowie die Augenhöhe als Y4 (4).
1
2
3
4
Mit dem passenden Fenster bestimmen wir wieder den Schnittpunkt der
Tangente mit der Augenhöhe. Die
Plattform dürfte höchstens 0,66m vom
Rang entfernt stehen
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Modellierung – Bestimmung eines Funktionsterms
Aufgabe: Die
Umrisslinie eines
Modells ist durch
nebenstehende
Kurve gegeben. Für
die weitere
Bearbeitung muss
ein Funktionsterm
erzeugt werden, der
diese Linie
möglichst genau
beschreibt.
1. Lösungsversuch / Regression
Wir stellen eine ganzrationale Funktion 3. Grades auf, welche durch 4 typische Punkte
der Linie verläuft. Mit dem Ansatz f(x) = ax3 + bx2 + cx + d erhalten wir folgende
Gleichungen:
X
0
4
7
10
Y
0
2
4
4
Gleichung
a*0 + b*0 + c*0 +d = 0
a*43 + b*42 + c*4 + d = 2
a*73 + b*72 + c*7 + d = 4
a*103 + b*102 + c*10 + d = 4
Grundsätzlich bietet der GTR, neben der Lösung durch Matrizen, unter [ B die
Möglichkeit, lineare Gleichungssysteme lösen zu lassen. Leider werden dort die zu
bestimmenden Variablen mit X,Y,Z,... und die Vorfaktoren mit a,b,c,... bezeichnet. Da
dies beim Schüler schnell zu Verwirrung führt, ist davon abzuraten.
Man kann die Schüler an dieser Stelle bereits mit der Matrizenschreibweise bekannt
machen. Die erforderlichen Befehle werden in Heft 3 beschrieben.
Wenn allerdings, wie hier, die Gleichungen aus Punktkoordinaten des Schaubilds entstehen, bietet sich eine einfache Möglichkeit an, die Gleichung zu bekommen – die
Regression.
Dazu werden die Punktkoordinaten in den beiden
Listen L1 und L2 abgespeichert.
S E (edit list)
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Aus dem Home-Bildschirm #
ten die gesuchte Gleichung.
rufen wir S
D 05 (Rg_x3) auf und erhal-
Diese ist leider nicht abgespeichert. Um dies zu erreichen, ist es besser den vollständigen Befehl einzugeben.
S
D 05 (Rg_x3)
(1,2,z
E'E)E
Die Bildschirmausgabe ist identisch, aber in Y1 steht
der gesuchte Funktionsterm, der in einem geeigneten
Fenster sofort gezeichnet werden kann.
Die Wertetabelle y USER zeigt die
Übereinstimmung an den vorgegebenen Punkten.
Legt man aber Vorgabe und Ergebnis
übereinander, so sind aber doch Abweichungen
zu erkennen.
Es muss die Frage diskutiert werden,
ob eine bessere Annäherung möglich ist.
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2. Lösungsversuch / Regression mit mehr Punkten
Wir vergrößern die Anzahl der vorgegebenen Punkte.
S E (edit list)
Die Regression ergibt...
...und ist vielleicht etwas besser.
Allerdings liegen die angegebenen Punkte
nicht mehr genau auf der Kurve.
Ein Versuch mit denselben Punkten
und Rg_x4 ergibt dieses Bild:
Mit einer Funktion 3. oder 4. Grades wird man keine bessere Annäherung erhalten.
Ansätze höheren Grades unter Einbeziehung der Ableitungen führen aber i.d.R zu
mehr Gleichungen, dass eine Lösung ohne Matrizen nicht sinnvoll ist.
Hinweis: Wenn man eine Regression mit einem Polynom 4. Grades durchführt, hat man nur 4 Freiheitsgrade. Man kann also 4 Punkte ganz genau treffen. Bei mehr vorgegebenen Punkten als Freiheitsgraden sinkt mit jedem weiteren Punkt die Genauigkeit, die erreicht werden kann. Deshalb ist es in der
Praxis üblich, abschnittsweise mit Polynomen zu interpolieren. Man wählt Intervalle und bestimmt für
jedes Intervall ein Polynom, das die Punkte in diesem Intervall annähert und in den Grenzen in der 1.
(und evt. 2.) Ableitung mit dem angrenzenden Polynom übereinstimmt.
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Extremwerte mit Nebenbedingungen
Aufgabe: Zu jedem Punkt P(u/0) mit 0<u<2 gibt es ein Rechteck, von dem 2 Seiten auf
den Koordinatenachsen und eine Ecke auf dem Parabelbogens y = 4 – x2 liegen. Für
welches u hat dieses Rechteck einen extremalen Umfang?
Zunächst kann man sich die Aufgabenstellung
veranschaulichen. Wir zeichnen in einem passenden
Fenster das Schaubild von Y1= 4 – X2 . Mit etwas
Aufwand ist es möglich, ein mögliches Rechteck
einzuzeichnen.
Dazu suchen wir über
k A 1 oder mit U
einen Punkt des Schaubilds. Mit
d A (DRAW) 3 (H_line)
EE
lassen wir eine horizontale, mit
d A (DRAW) 4 (V_line) E E
eine vertikale Linie einzeichnen. So kann das
Rechteck sichtbar gemacht werden.
Wir können es sogar auch noch schraffiert darstellen.
Zunächst müssen wir auf den Home-Bildschirm.
# d A7 (Shade) E
fordert zur Eingabe auf in der Form:
Shade(untere Grenze, obere Grenze
[, Anfang, Ende]) E
[optional].
Dabei können ‚untere Grenze’ und ‚obere Grenze’ auch Funktionen sein.
Hinweise: Mit d erstellte Zeichnungen haben nur solange Bestand, als die Fenstergröße nicht neu bestimmt wird. Sie können mit d A 1 gelöscht werden. Ein
erzeugter Bildschirminhalt kann mit d F 1 abgespeichert (Bildnummer 0 – 9
eingeben und E ) bzw. mit d F 2 wieder abgerufen werden. Dabei können
Bilder sogar übereinander gelegt werden.
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Als Zielfunktion ‚umfang’ = 2a+2b mit a = u und b=Y1(u) ergibt sich also:
‚umfang’(u) = 2u + Y1(u)
Da der GTR Funktionen nur mit der Variablen X darstellen kann, muss die Variable u
umbenannt werden. Als Zielfunktion verwenden wir also Y2(X) = 2X + Y1(X).
Y}
2 X + 2 z E A1
G
Ein kurzer Blick auf das Schaubild zeigt, dass wir
einen größeren Ausschnitt wählen müssen. (Beachte:
Das Rechteck ist verschwunden.)
G
Im U -Modus setzen wir den Cursor auf Y2 und
starten
k A 4 (Maximum) E.
Die Berechnung ergibt ein Maximum für x = u = 0,499999 9 . Wir runden auf x=0,5
und erhalten somit x=0,5 mit dem Wert 8,5.
Die (wenn auch hier nicht unbedingt nötige)
Betrachtung der Ränder zeigt, dass sowohl für x gegen
0 also auch x gegen 2 keine größeren Werte erreicht
werden können. Mit } können wir das Schaubild
wechseln und, wie oben beschrieben, das maximale
Rechteck einzeichnen.
Im Unterricht scheiterten bisher viele praxisnahe Extremwertaufgaben an zu komplizierten Rechnungen oder (noch) nicht bildbaren Ableitungen. Der GTR beseitigt diese
Hürde. Auf die exakte Rechnung muss zwar verzichtet werden, wir bekommen stattdessen einen hinreichend guten Näherungswert aus dem Schaubild. Dies ist aber in der
Praxis meist ausreichend und im Unterricht kann der Schwerpunkt der Aufgabe weg
vom formalen Rechnen verschoben werden auf das Verstehen der Problemstellung,
das Erstellen eines Modells und die Interpretation der Ergebnisse. Sicherlich kann der
Wunsch nach exakten Lösungen als Motivation für die Suche nach geeigneten, formale Methoden dienen.
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Aufgabe: Die Getränkedosen vieler Hersteller fassen 0,33 Liter. Sind die Dosen aus
ökonomischer Sicht optimal geformt?
Die Frage kann auch anders formuliert werden:
Bei welchen Abmessungen hat eine Dose mit V = 0,33 (dm3) die kleinste Oberfläche,
d.h. den kleinsten Materialverbrauch?
Wir nehmen für die Dose modellhaft einen Zylinder an. Die Oberfläche beträgt
2·Grundfläche + Mantelfläche d.h. O = 2  r2 + 2r·h. Als Randbedingung erhalten wir
V =  r2 · h = 333 ( alle Maße in cm ). Ersetzen wir
also in O die Höhe h durch
O(r)= 2  r2 +
333
 r2
, so erhalten wir
2 r  333
666
= 2  r2 + r . Von dieser
2
r
Funktion muss das Minimum bestimmt werden.
Wir verwenden wieder X als Variable.
Wir erwarten einen Radius nicht größer als 5 cm und
geben also in W ein: Xmin = - 1 und Xmax = 5
und rufen
Z A 1 (Auto) E
auf.
Das Schaubild lässt kein Minimum erkennen!
Tastet man aber mit U das Schaubild ab oder
lässt mit k A3 ein Minimum suchen, so findet
sich doch bei x ≈ 3,76 ein Minimum.
Mit den abgelesenen Werten lässt sich ein
brauchbares Fenster bestimmen.
Mit G gezeichnet und mit
k
A 3
das Minimum bestimmt ergibt sich wieder:
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Bei einem Radius von 3,756 cm ist der Materialverbrauch minimal. Die Höhe müsste
dann
333
 r2
=7,51 cm betragen.
Eine reale Dose hat einen Radius von 3,25 cm, was einen Mehrverbrauch von 5,33
cm2 pro Dose (ca. 2%) ausmacht.
Funktionen mit eingeschränktem Definitionsbereich
Hier kann der GTR in 2 Richtungen eingesetzt werden.
Den Schülern können Funktionsterme vorgelegt werden. Anhand der grafischen Darstellung können diese die Besonderheiten und Unterschiede herausarbeiten (wie z.B.
Nullstellen, Asymptoten).
Nach entsprechender Behandlung im Unterricht können die Schüler zusätzlich die
Asymptoten einzeichnen. Dies geschieht entweder aus der Zeichnung heraus mit
d A 3 bzw. 4 E,
setzen des Cursors mit den Pfeiltasten und
E
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oder
nach Wechsel in # mit demselben Aufruf
d A 3 bzw. 4 E
und Eingabe der Koordinate, gefolgt von
E.
Hinweise: Eine schiefe Asymptote muss als Y2 eingegeben werden.
Mit d gezeichnete Linien verschwinden bei Wechsel des Fensters. Sie können
mit dA1 E gelöscht werden.
Später können den Schülern Schaubilder vorgelegt werden, die sie am GTR nachbilden sollen, indem sie den passenden Term herausfinden, eingeben und das Schaubild erstellen lassen.
Regressionsgeraden
Im Physikunterricht z.B. liegen oft Messdaten vor, die auf einen linearen oder gar proportionalen Zusammenhang zweier Größen hinweisen. Diesen Zusammenhang zu finden bzw. zu überprüfen kann mit Hilfe des GTR geschehen, indem eine Funktion gesucht wird, durch welche die Daten approximiert werden. Diese Funktion wird i.d.R.
so gewählt, dass die Abweichungen der Messwerte vom Funktionsschaubild nach einem bestimmten Verfahren minimiert werden (Regression).
Aufgabe: Prüfe, ob ein linearer Zusammenhang bestehen könnte:
x
y
1
3,3
2
5,9
5
12,8
7
18
8
20,3
Zunächst werden die Daten in zwei Listen L1 und L2 eingegeben. Dies kann im
#-Bildschirm oder im Listeneditor geschehen.
#{
1, 2, 5, 7, 8 }
R1E
{ 3.3 , 5.9 , 12.8
R2E
, 18 , 20.3 }
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oder:
S A E (edit list)
und Daten eingeben.
Hinweis: Eine Liste wird gelöscht, indem man den Cursor auf den Listennamen setzt
und D E drückt.
Zunächst betrachten wir uns das Schaubild:
Wir rufen [
A (PLOT 1) E
auf und stellen wie gezeigt ein:
 PLOT 1
on
mit Cursor und E
 DATA
 ListX:
 ListY:
XY
L1
L2
mit Cursor und E
(ist voreingestellt)
(ist voreingestellt)
Der Schaubildtyp ist auf Punktdarstellung voreingestellt und muss nicht geändert werden. Zur besseren Sichtbarkeit der Punkte kann man z.B. kleine Kreuze wählen:
Dazu stellen wir den Cursor auf das G von GRAPH und rufen wir nochmals [
auf.
Damit erscheint das Auswahlmenu für die
verschiedenen Typen. Wir wählen
G S.D (=Streudiagramm) und eine der Punktformen
(z.B. 2 Scattr +) E.
Der GTR schaltet zurück. Nun formatieren wir die Grafik mit
Z A9 (Stat) E.
Dabei wird das Fenster automatisch so eingestellt, dass alle Datenpunkte sichtbar werden.
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Leider ist die Darstellung nicht immer optimal.
Deshalb kann man auch die Fenstereinstellung unter
W anhand der vorgegebenen Punkte selbst
einstellen und das Schaubild mit G aufrufen.
Hinweis: Sind im Y-Editor Funktionen aktiviert bzw. weitere Statistik-Plots auf ON
geschaltet, so werden diese mitgezeichnet. Da dies hier nicht sinnvoll ist, müssen diese
deaktiviert werden.
Zur Berechnung der Regressionsgeraden wechseln wir zunächst nach # zurück.
Unter
S D (REG)
02 (Rg_ax+b) E
rufen wir den Befehl auf den Schirm und ergänzen:
{1,2,z
AE1E} E
(d.h. in L1 stehen die x, in L2 die y; die
Geradengleichung wird unter Y1 abgespeichert –
andere Wahlen sind möglich)
Der GTR gibt als Ergebnis a und b, sowie eine
Restabschätzung r bzw. r2 aus.
Da der Term ax+b nun unter Y1 abgespeichert ist (ein
evtl. vorhandener Term wurde überschrieben) können
nun mit G Datenpunkte und Regressionsgerade
(notfalls Y1 wieder aktivieren) gemeinsam betrachtet
werden.
Im U-Modus können die Punkte bzw. das Schaubild abgetastet und zwischen ihnen umgeschaltet werden.
Leider kann eine Ursprungsgerade nicht erzwungen werden.
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Wahrscheinlichkeiten
Kombinatorik
Anzahl der Permutationen ohne Wiederholung (Fakultät)
finden wir unter M C (PROB) 5 (!) .
Zur Berechnung von 12! Geben wir im HomeBildschirm ein:
12 M C5 E E
Hinweis: Die Fakultät kann für ganze Zahlen von
0 bis 69 berechnet werden.
Anordnung ohne Zurücklegen unter Berücksichtigung der Reihenfolge (Permutationen)
Wie viele 5-stellige Zahlen können aus 7 verschiedenen Ziffern gebildet werden?
Lösung a)
Es gibt 7  6  5  4  3 = 2520 solche Zahlen
Lösung b)
Es gibt
n!
7!
=
= 2520 solche Zahlen.
( n  k )!
2!
7M C5E b 2M C5
E E
Lösung c)
7 M C 3 (nPr) E 5 E
Hinweis: Auch für nPr ist bei n=69 Schluss.
Abhilfe schafft ab ROM-Version 4.1 ein kleines
Programm:
P A EXEC 02 (nPr)
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Nach Aufruf des Programms und Eingabe von n
E und r E wird nPr berechnet und unter
der Variablen P abgespeichert.
Damit sind die Grenzen für n hinausgeschoben, soweit
das Ergebnis kleiner als 10100 ist.
Warnung: Ist das Ergebnis zu groß, wird eine Fehlermeldung des Systems ausgegeben. Diese ist mit
C zu verlassen. „Goto error“ springt nämlich in
den Programmcode, welcher nun verändert werden
kann (auch unabsichtlich). Dann kann es zu Fehlfunktionen des Programms kommen. Erst durch Rücksetzen des Rechners ( p E 2 ) funktioniert es wieder richtig.
Programme grundsätzlich mit C verlassen.
Anordnung ohne Zurücklegen ohne Berücksichtigung der Reihenfolge
Kombinationen - Binomialkoeffizienten n über r
 n
Der Befehl zur Berechnung von   lautet nCr und findet sich ebenfalls im PROBr
 
Teil des M-Menus. Ausgehend vom #-Bildschirm gibt man zur Berechnung
 7
von   ein:
5
 
7 M C 4 (nCr) 5 E
Auch hier kann für n > 69 auf ein kleines Programm
zurückgegriffen werden.
P A EXEC 01 (nCr)
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Nach Aufruf des Programms und Eingabe von n
E und r E wird nCr berechnet und unter
der Variablen C abgespeichert.
Beachten Sie die Warnung im vorigen Absatz.
Binomialverteilung
Die Berechnung der Wahrscheinlichkeit B n;p (k) erfolgt nach der Formel von Bernoulli
n
P( X = k ) =   · pk · (1 - p)n-k und kann natürlich auch so eingegeben werden:
k
 
n = 7 und p = 0,3 erhält man also P( X = 5 ) ausgehend vom #-Bildschirm
durch
Für
7 M C 4 (nCr) 5 | 0.3 a 5
' | 0.7 a 2 E
Da diese Berechnung häufig benötigt wird, ist sie im GTR durch einen einzigen Befehl
aufrufbar. Dieser befindet sich im S -Menu.
Ausgehend vom #-Bildschirm erzeugt
S F (DISTRI) 10 (pdfbin)
den unvollständigen Ausdruck pdfbin( ,
den wir ergänzen durch
7 , 0.3 , 5 ) E.
Neben den Einzelwahrscheinlichkeiten P( X = k ) sind auch die Summenwahrscheinlichkeiten P ( X  k ) aufrufbar. Der Befehl lautet cdfbin , wobei c für „cumuliert“
steht.
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Aufgabe: Berechne für n=20 und p=0,3
a) die Wahrscheinlichkeit P(X  5)
S F (DISTRI) 11 (cdfbin)
ergänzt durch
20 , 0.3 , 5 ) E.
b) die Wahrscheinlichkeit P( X > 5)
P( X > 5) = 1 – P ( X  5) d.h. 1 – b
bzw. 1 – cdfbin(20,0.3,5)
c) die Wahrscheinlichkeit P( 4  X  7)
P( 4  X  7) = P(X 7) – P( 3) =
cdfbin(20,0.3,7) - cdfbin(20,0.3,3)
Binomialverteilung als Schaubild
a) einer Funktion
Grundsätzlich lassen sich pdfbin und cdfbin auch als Funktionen verwenden.
Dabei muss – je nach Anwendung - berücksichtigt werden, dass diese Befehle nur für
ganzzahlige n definiert sind.
Die Funktion Y1=pdfbin(20,0.3,X) liefert zwar kein Schaubild, allerdings ist es möglich, Werte in einer Wertetabelle für ganzzahlige x abzulesen, da dabei je nach den
Einstellungen unter TblSet nur ganzzahlige Werte für x eingesetzt werden.
YS
F (DISTRI) 10 (pdfbin)
20 , 0.3 , X ) E
T
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Ein Schaubild wird erst gezeichnet, wenn man das
Argument X ganzzahlig macht.
Dies gelingt durch
int(X) in M
B5.
Mit einem passenden W
erhält man ein Schaubild.
Nicht jeder wird mit der Darstellung zufrieden sein, weil die gezeichneten Werte nicht
mittig über den ganzzahligen X sitzen, sondern dazwischen.
Um die gewohnte Darstellung zu erhalten können wir
a) das Schaubild einfach um 0,5 nach links verschieben (X+0.5 statt X)
b) statt int(X) den Aufruf round(X,0) verwenden ( M B 2)
Nicht besonders schön, aber möglich sind mehrere Verteilungen in einem Bild
( p= 0,3 – 0,5 – 0,7 ):
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b) einer Folge
Wem diese Darstellung nicht gefällt, der kann auf Folgen zurückgreifen:
Für die Darstellung von Folgen muss der GTR mit
;
E (COORD) 4 (Seq)
in den Folgenmodus geschaltet werden.
Der Y -Editor bekommt nun eine andere Form.
Unter u(n) kann der Term einer Folge eingegeben werden, wobei die Variable n durch
die Taste X erzeugt wird.
Zunächst steht der Cursor hinter dem = von u(n).
Wir geben ein:
S F 10 (pdfbin) E
20 , 0.3,
X)E
Nun steht der Cursor am Beginn der Zeile u(nMin)= Hier ist, wie normalerweise nur
bei rekursiven Folgen, die Eingabe eines Startwertes erforderlich. Dieser wird vom
GTR automatisch in {} gesetzt. Wir können im Home-Bildschirm den Wert berechnen
oder ihn in unserem Fall näherungsweise auf 0 setzen.
0E
Falls gewünscht, können zwei weitere Folgen v(n) und w(n) definiert werden.
Nun muss W (Seq) passend eingestellt werden.
Alle Werte können eingegeben werden, wenn der Cursor am Beginn der Zeile steht,
und werden mit E übernommen.
nMin und nMax bestimmen den Definitionsbereich
der Folgen für die Berechnung.
PlotStart kann nicht auf 0 gesetzt werden; der Plot
beginnt aber bereits bei n-1, so dass die Eingabe 1 ausreicht.
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PlotStep = 1 bedeutet, dass alle Folgenglieder gezeichnet werden.
Xmin und Xmax geben den Bereich an, der auf dem
Schirm dargestellt wird.
Xscl gibt den Strichabstand auf der x-Achse an.
Für die weiteren Einstellungen muss nach unten gescrollt werden.
Ymin und Ymax geben den gezeichneten Wertebereich an.
Yscl gibt den Strichabstand auf der y-Achse an.
Mit G wird das Schaubild gezeichnet.
Unter d D (LINE) E kann man den Line-Typ auf Punkte schalten.
Im U-Modus kann die Folge abgetastet werden.
Unter T können
die Folgeglieder eingesehen werden.
Der Aufruf von " ermöglicht die kombinierte
Darstellung, wobei mit den Cursortasten abgetastet
werden kann.
Durch die Möglichkeit, bis zu drei Folgen gleichzeitig darzustellen, können nun Verteilungen verglichen werden. Mit d D (LINE) E können verschiedene
Linienarten ausgewählt werden. Damit kann sichtbar gemacht werden, wie sich die
Verteilung bei Veränderung von n bzw. p verändert. So kann man feststellen,
 dass die Lage des Maximums mit dem Erwartungswert der Binomialverteilung
übereinstimmt,
 dass bei steigendem n und gleichem p die Verteilung breiter und flacher wird,
 dass zu einer breiteren Kurve eine größere Varianz gehört.
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Insbesondere aber wird auffallen, dass die Verteilungen alle im Prinzip die gleiche
Form haben. Die führt uns zur Normalverteilung. Diese ist auch deshalb nötig, weil für
große Werte von n der GTR die Binomialverteilung nicht mehr oder zumindest nur
noch ungenau berechnen kann. Je nach p kann das bereits ab n = 77 (p=0,95) oder erst
für n > 300 (p=0,5) sein.
c) als Histogramm
Es ist auch möglich, wenn auch etwas umständlich, ein schönes Histogramm der Binomialverteilung zu erzeugen. Dazu müssen zwei Listen erstellt werden. L1 enthält
alle k, Liste zwei die Wahrscheinlichkeiten. Im Beispiel wird wieder n=20 und p=0,3
verwendet.
Zunächst erzeugen wir eine Liste, welche alle Zahlen von 0 bis 20 enthält. Am
schnellsten geht dies im Rechenbildschirm # mit
L A (OPE) 5 (seq) E
gefolgt von
X , 0 , 20 ) E
Diese Liste speichern wir als L1. R 1 E
Man kann die Abspeicherung auch ohne Ausgabe der Zwischenergebnisse durchführen. Alternativ kann man unter S A (EDIT) L1 mit den Zahlen füllen.
Nun erzeugen wir L2 als Liste der Wahrscheinlichkeiten.
S F 10 (pdfbin) E
20 , 0.3 , 1 ) E
Diese Liste wird nach L2 gespeichert.
R2E
Nun kann man die Zuordnung L1  L2 mit [ als Histogramm darstellen lassen.
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Nach Anwahl von
[
A (Plot1) E
wählen wir die Einstellungen
PLOT1 on
DATA X
ListX: L1
Freq: L2
(alles mit E bestätigen)
Der richtige Graph-Typ wird automatisch gewählt.
Wichtig sind die richtigen W-Einstellungen.
G
zeichnet das Histogramm.
Bemerkungen:
 Im Y -Editor aktivierte Funktionen werden mitgezeichnet.
 Im U -Modus kann die Verteilung abgetastet werden.
 Da unter [ drei Plots definiert werden können, kann man auf die beschriebene Weise drei Schaubilder erzeugen, die übereinander gelegt werden, wenn
sie auf on geschaltet sind.
 Die Daten können unter S A (Edit List) E eingesehen werden.
 Die statistischen Plots müssen wieder abgeschaltet werden :
[ E 2 (PlotOFF) E
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Anwendungen der Binomialverteilung
A) Berechnung von Wahrscheinlichkeiten (Näheres siehe oben)
- P(X=10) = pdfbin(n,p,10)
- P(X10) = cdfbin(n,p,10)
- P(X>10) = 1 – P(X10) = 1 - cdfbin(n,p,10)
- P( 4  X  7) = P(X7) - P(X3) = cdfbin(n,p,7)- cdfbin(n,p,3)
B) Stichprobenumfang n bestimmen
Aufgabe: In einer Schule haben 12% der Schüler einen Migrationshintergrund.
Wie viele Schüler dieser Schule muss man mindestens befragen, damit mit mindestens 95% Wahrscheinlichkeit mindestens
a) einer
b) fünf
davon Migrationshintergrund haben.
Lösung:
Die Anzahl X der Schüler mit Migrationshintergrund ist binomialverteilt mit
p=0,12. N ist gesucht.
a) P(X≥1) = 1 – P(X=0) ≥ 0,95
d.h. P(X=0) ≤ 0,05
Wir stellen die Funktion Y1=pdfbin(X, 0.12, 0)
auf und schauen die Tabelle an.
Wir finden ab n=24 eine Wahrscheinlichkeit kleiner als 5%.
b) P(X≥5) = 1 – P(X≤4) ≥ 0,95
d.h. P(X≤4) ≤ 0,05
Wir verwenden die aufsummierten Wahrscheinlichkeiten Y1 = cdfbin(X,0.12,4). Die Bedingung
ist ab n=74 erfüllt.
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C) Trefferwahrscheinlichkeit p bestimmen
Aufgabe: In einer Bauteilreihe elektronischer Bauteile hat jedes Bauteil eine
Ausfallwahrscheinlichkeit p. Wie groß darf diese höchstens sein, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 75% in einer Lieferung von 200 Bauteilen höchstens 20 ausfallen.
Lösung: Die Zufallsvariable X für die Anzahl der ausfallenden Bauteile ist binomialverteilt mit n=200 und unbekannten p.
Es soll gelten: P(X≤20) ≥ 0,75
Wir verwenden die Funktion
Y1 = cdfbin(200,X,20)
Achtung: X steht nun für die Wahrscheinlichkeit p.
Die Tabelle bringt uns nicht weiter. Wir lassen
lieber zeichnen und zeichnen die Gerade
Y2=0,75 mit ein.
Mit dem passenden W erhält man die Lösung als Schnitt der beiden Schaubilder.
k A 2 (Intsct) liefert X = p = 8,93%.
C) Ein Test
In einer Firma besuchten bisher höchstens 36% der Belegschaft regelmäßig die
Kantine zum Mittagessen. Nach einer Qualitätsoffensive für gesünderes Essen
besteht die Vermutung, dass sich der Anteil vergrößert hat.
An einem zufällig ausgewählten Tag soll festgestellt werden, wie viele der 200
Belegschaftsmitglieder die Kantine besuchen.
a) Wenn mindestens 85 Belegschaftsmitglieder die Kantine besuchen, so geht
man davon aus, dass sich der Anteil vergrößert hat. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass man sich dennoch irrt?
b) Wie viele Belegschaftsmitglieder müssen an diesem Tag die Kantine besuchen, dass man sich mit höchstens 5% Wahrscheinlichkeit irrt, wenn man davon ausgeht, dass sich der Anteil der Besucher vergrößert hat?
c) Bestimme den Ablehnungsbereich auf einem 2%-Signifikanzniveau.
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Lösung:
X sei die Anzahl der Besucher der Kantine. Überprüft werden soll die Alternativhypothese H 1 : p > 0,36 zur Nullhypothese H 0 : p ≤ 0,36.
Bei wahrer Nullhypothese ist X im Extremfall binomialverteilt mit n=200 und p=0,36 .
Große Werte von X sprechen gegen die Nullhypothese, also haben wir es mit einem
rechtsseitigen Test zu tun.
a) Die Wahrscheinlichkeit, dass bei gültiger Nullhypothese mehr als 85 Kantinenbesucher gezählt werden,
beträgt P(X≥85) = 1 – P(X≤84) = 3,38%.
b) Gesucht ist die kleinste Zahl a mit P(X≥a) = 1 P(X≤a-1) ≤ 0,05.
Wir verwenden 1 – cdfbin(200, 0.36, X-1) und schauen in der Tabelle nach.
X steht hier für die Anzahl a.
Wir erhalten a=84, d.h. die Nullhypothese wird abgelehnt, wenn 84 oder mehr Besucher gezählt werden.
c) Der Ablehnungsbereich beginnt bei 87.
Normalverteilung
Zunächst lässt sich feststellen, dass der GTR mit Hilfe von S F (DISTR) 01
(pdfnorm) eine Verteilung zeichnet, welche der zugehörigen Binomialverteilung sehr
ähnlich ist. Im Gegensatz zur Binomialverteilung erwartet pdfnorm die Eingabe des
Erwartungswertes  = n·p und der Standardabweichung  =
Form
pdfnorm(x, , ).
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in der
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Wir vergleichen also die Binomialverteilung für n = 64 und p = 0,5 mit der Normalverteilung für =32 und =4.
Zunächst werden beide Funktionen im Y-Editor Y eingegeben und ein passendes
Fenster W eingestellt....
... dann erst Y1 allein (Y2 deaktiviert), dann Y2 allein gezeichnet G ....
....und schließlich beide zusammen (auch als Tabelle T)
Dies kann noch an weiteren Verteilungen gezeigt werden. Manchmal ist der Unterschied erkennbar.
Die sogenannte Gauß’sche Glockenfunktion φ μ,σ (x) lässt sich numerisch integrieren:
30

32 , 4
(x )
20
Dasselbe Ergebnis liefert die GTR-Funktion
cdfnorm(untere Grenze, obere Grenze, Mittelwert,
Standardabweichung), welche die Integration durchführt ( c steht für cumulated).
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Bemerkung: Manchmal will man das (unbestimmte) Integral von -∞ bis a berechnen.
Da der GTR dies systembedingt nicht kann, wählt man als linke Grenze z.B. -100 und
kommt dem wahren Wert genau genug nahe.
Wie der Vergleich mit der Binomialverteilung zeigt, ist es möglich, binomialverteilte
Wahrscheinlichkeiten auch über die Normalverteilung zu bestimmen.
Dabei ist die Berechnung von Wahrscheinlichkeiten der Form P(X = k) zwar möglich
(pdfnorm(k,32,4)), aber mathematisch nicht sinnvoll. Für die Praxis ist insbesondere
die Berechnung von Intervallwahrscheinlichkeiten der Form P( a  X  b) erforderlich.
Dies kann nun auf verschiedene Arten geschehen, wobei sich kleine Unterschiede im
Ergebnis ergeben, welche auf die Genauigkeit des GTR, aber auch auf die Wahl des
Verfahrens zurückführen lassen.
Aufgabe: Berechne für die obige Verteilung P(20  X  30)
Die Berechnung erfolgt ausgehend vom #–Bildschirm.
1. Solange die Binomialverteilung mit dem GTR noch berechenbar ist:
a) cdfbin(64,0.5,30) –
cdfbin(64,0.5,19)
b) (pdfbin(64,0.5,X),20,30)
2. Verwendung der Normalverteilung:
(pdfnorm(X,32,4),20,30)
Hinweis: Das Summenzeichen finden wir unter
M A (CALC) 08
mit der Syntax
(Term(x),a,b) =
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3. Verwendung der cumulierten Normalverteilung cdfnorm:
Für unser Beispiel wäre dies
S
F 02 E 20, 30, 32, 4 )
E
Das Ergebnis weicht deutlich vom erwarteten Wert ab.
Die Ungenauigkeiten werden durch die Grenzen der jeweiligen Verfahren verursacht.
Für eine stetige Normalverteilung ist dieses Ergebnis aber korrekt. Bei einer Binomialverteilung muss nach der Näherungsformel von De Moivre-Laplace das Integrationsintervall nach beiden Seiten um 0,5 erweitert werden. Den „richtigen“ Wert liefert also
cdfnorm(19.5 , 30.5 , 32 , 4 ) .
Weiterhin bietet der GTR noch die Funktion
InvNorm(Wert,Mittelwert,Standardabweichung)
an, welche zu einer gegebenen Wahrscheinlichkeit (Wert) das k aus P(X  k+0.5) bestimmt.
Beispiel:
n=500 p=0,95 d.h. = 475 und = 23,75
Ab welchem k ist P(X k)  0,305 ?
SF
03 E 0.305, 475, +23.75 ' ) E
d.h. k = 472.
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Schlussbemerkung:
Der GTR stellt auch die Werte der Standard-Glockenfunktion zur Verfügung.
pdfnorm(x) berechnet die sog. Normalverteilungsdichte, d.h. den Wert der StandardGauß-Funktion (x) an der Stelle x.
cdfnorm(untere Grenze, obere Grenze) berechnet die „Summe“, d.h. das Integral
der Gauß-Funktion von „untere Grenze“ bis „obere Grenze“.
InvNorm(x) stellt die Umkehrfunktion zu (x) dar, d.h.
InvNorm(0.908240864) = 1.33 .
Weitere Beispiele und Ausführungen findet man in der
„LEHRERHANDREICHUNG – STOCHASTIK, SEK II“,
die ebenfalls bei SHARP bezogen werden kann.
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STICHWORTVERZEICHNIS
F
A
Faktorregel 52
Fakultät 73
Fehlbedienung 6
Folgen 47, 78
Format 8
Funktionen 29, 69
Funktionenscharen 59
Funktionseditor 15
Funktionsterm bestimmen 63
Funktionsuntersuchung 55
Funktionsvariablen 30
Funktionswert 24, 39, 56
Funktionswerte 16
Ableitungen 54
Ableitungsfunktion 48
Ableitungsregeln 51
Abtasten des Schaubilds 16
Alpha-Taste 6
Änderungsrate 38
Anordnung 73
Ans 7
Approximation 70
Ausschalten 7
B
Belegung der Tasten 5
Berechnungsbildschirm 6
Bestimmung eines Funktionsterms 63
Betrag 21
Bildschirm löschen 6
Binomialkoeffizienten 74
Binomialverteilung 75, 76
Bruchrechnung 9
G
Ganzrationale Funktionen 31
Gauß’sche Klammerfunktion 25
gemischte Schreibweise 8, 9
Geradenscharen 27
Gleichungen 11
Gleichungen lösen 11
Gleichungs-Systeme 11
Grad 14
GRAPH 16
C
Circle 23
ClrDraw 43
H
D
Hochpunkte 59
HOME - Bildschirm 6
HOME-Bildschirm 9
HOME-Bildschirm löschen 6
horizontale Linie 66
Differenzenquotient 38, 47
Drittbelegung 6
E
Eingaben editieren 6
Eingaben löschen 6
Einschalten 7
Einstellungen 8
Entry 8
Erwartungswertes 84
Extrema 57
Extremwertaufgaben 67
Extremwerte 66
I
Intersection 21
K
Kombinatorik 73
Kontrast 7
Korrektur von Fehlbedienungen 6
Kurvenschar 59
Kurvenscharen 17
89
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Mathematik mit dem Sharp EL-9900G SII – Teil 1 – Analysis 1 – Wahrscheinlichkeiten
Setup 8
Shade 66
sin 52
SOLVER 12
SOLVERS 36
Standardabweichung 84
Steigung der Tangente 42
Strecke zeichnen 28
Streudiagramm 71
Summenregel 53
Summenwahrscheinlichkeiten 75
symmetrie 34
Symmetrie 33
L
Lineare Funktion 70
Lineare Gleichungs-Systeme 11
Linearfaktorzerlegung 37
Liste 17
Listeneditor 28
Lösen von Gleichungen 11
M
Minus-Zeichen 8
Modellierung 63
N
T
Newton-Verfahren 12
Normalen 50
Normalverteilung 84
Nullstellen 35, 37, 56
T_line 45
Tabelle 24
Tangente zeichnen 45
Tangenten 50
TOOL 11
TRACE 16
O
Optimierung 28
P
V
Permutationen 73
Potenzen 10
Potenzfunktionen 30
Punktsymmetrie 33, 34
Variablen 10
Verhalten um den Ursprung 32
vertikale Linie 66
W
Q
Wahrscheinlichkeit 75
Wendepunkte 58
Wertetabelle 23, 58
WINDOW 16
Wurzeln 10
quadratischer Bildschirmausschnitt 15
R
Regressionsgeraden 70
Reset 7
Y
S
Y1 -Variable 30
Schaubild 15
Schaubild verschieben 29
Schnittpunkt mit der y-Achse 57
Schnittpunkte 20
Schnittwinkel 21
schraffiert 66
seq-Befehl 80
Z
Zoom 15
Zweitbelegung 5
90
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Einsatz in einer Klasse, einer Lehrerfortbildung oder einem Seminar
durch den Referenten ist gestattet. Jede Verwertung in anderen als den
genannten oder den gesetzlich zulässigen Fällen ist ohne schriftliche
Zustimmung von Sharp nicht zulässig.
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