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Der Graphikrechner TI-82 STATS in „Mathematik - Verlag E. Dorner

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Der Graphikrechner TI-82 STATS in
„Mathematik & Wirtschaft“
Verlag E. Dorner, Wien
Erstellt von Wolfgang Timischl
Inhalt
Erste Schritte ........................................................................................................... 1
Zu Band 1 ................................................................................................................ 6
Zu Band 2 ................................................................................................................ 13
Zu Band 3 ................................................................................................................ 17
Zu Band 4 ................................................................................................................ 22
Hinweise zur Verbesserung erbeten an wolfgang.timischl@schule.at
Der Graphikrechner TI-82 STATS in „Mathematik & Wirtschaft“: Erste Schritte
Erste Schritte
Der TI-82 STATS ist ein verhältnismäßig preisgünstiger Graphik-Rechner. Er stimmt in seinen
mathematischen Leistungen weitestgehend mit dem deutlich teureren Graphik-Rechner
TI-84 Plus überein.
Das Handbuch zum Rechner kann unter
http://education.ti.com/oesterreich/
Downloads usw.
als pdf-File heruntergeladen werden. Es empfiehlt sich, auch das Handbuch zum Rechner
TI-84 Plus herunterzuladen und für den TI-82 STATS zu Rate zu ziehen, da es wesentlich
ausführlicher gestaltet ist.
Einschalten des Rechners: É
Ausschalten des Rechners: y É
Bildschirmkontrast:
y drücken und loslassen, } (Cursortaste nach oben): erhöht den Kontrast;
y drücken und loslassen † (Cursortaste nach unten): verringert den Kontrast
(eventuell mehrfach durchführen)
Wichtige Bearbeitungstasten:
~ oder |
} oder †
y
ƒ
Í
{
y{
‘
z
Cursor nach rechts oder links innerhalb eines Ausdrucks
Cursor nach oben oder nach unten
Aktiviert beim nächsten Tastendruck die Zweitbelegung der Tasten
Aktiviert beim nächsten Tastendruck die Drittbelegung der Tasten, das sind
Buchstaben und gewissen Sonderzeichen (in rötlicher Schrift)
Abschließen von Eingaben
Löscht das Zeichen an der Cursorposition; um mehrere Zeichen zu löschen,
verschiebt man zuerst den Cursor an die Positionen dieser Zeichen
Übergang in den Einfügemodus; das nächste Zeichen wird links vom nun
strichförmigen Cursor geschrieben; Ausstieg: irgendeine Cursortaste drücken
oder nochmals y {
Löscht die aktuelle Eingabezeile im Eingabebildschirm;
Wenn sich der Cursor jedoch in einer noch leeren Eingabezeile befindet, wird der
gesamte Eingabebildschirm gelöscht!
Einleitung verschiedener grundlegender Einstellungen
Einfache Rechnungen
5⋅(2 + 4)
5¯£2Ã4¤Í
Jede Eingabe ist mit Í abzuschließen!
3,2 + 4⋅0,3
3Ë2Ã4¯0Ë3Í
Statt eines Dezimalkommas ist ein Punkt zu setzen! Die
Null vor dem Punkt kann weggelassen werden.
1
2,8 +1,4
1 ¥ £ 2 Ë8 Ã 1 Ë 4 ¤ Í
Auf Klammerung achten!
2
Der Graphikrechner TI-82 STATS in „Mathematik & Wirtschaft“: Erste Schritte
2,4 − 3,9
1,2
Statt £ 2 Ë 4 ¹ 3 Ë 9 ¤ ¥ 1 Ë 2 Í kann man
auch rechnen:
2 Ë 4 ¹ 3 Ë 9 und danach y Ì ¥ 1 Ë 2 Í
Durch y Ì wird die letzte Antwort (Ans = answer)
aufgerufen. Man kann nun mit ihr weiterrechnen.
Korrektur (Editieren) von Eingaben
Die Berechnung ist noch nicht zu Ende geführt:
(1)
Ein Zeichen überschreiben: Statt 12,8 sollte 12,7 stehen.
Man bewegt zuerst den Cursor nach links, bis er über der Ziffer 8
steht; danach Eingabe der Ziffer 7.
Man kann nun mit der Eingabe fortfahren, falls diese noch nicht
beendet ist. Dazu wird der Cursor an die Stelle hinter der Ziffer
bewegt.
Anmerkung: Man könnte auch durch ‘ die Zeile löschen
(falls noch mehr Zeilen im Eingabebildschirm, bleiben diese
erhalten) und danach von neuem mit der Eingabe beginnen
(2)
Ein Zeichen einfügen: Statt 127+3,4 sollte 12,7 + 3,4 stehen.
Man bewegt zuerst den Cursor nach links, bis er über der Ziffer 7
steht. Da nun ein Zeichen einzufügen ist, ist zuerst auf den
Einfügemodus umzuschalten. Dies geschieht durch y {.
Der Cursor ändert seine Form auf einen blinkenden Strich unter
dem Zeichen. Nun schreibt man den Dezimalpunkt. Zum
Beenden des Einfügemodus eine Cursortaste drücken oder
nochmals y {. Usw.
(3)
Ein Zeichen löschen: Statt 123,7 + 3,4 sollte 12,7 + 3,4 stehen
Man bewegt zuerst den Cursor nach links, bis er über der zu
löschenden Ziffer 3 steht. Danach {. Usw.
Die Berechnung ist bereits zu Ende geführt:
Statt 12,8 + 3,4 - 1,2 sollte 12,7 + 3,4 - 1,2 stehen.
Natürlich könnte man nun die gesamte Eingabe wieder eintippen.
Man kann aber auch die jeweils letzte Eingabe durch y Í
wieder aufrufen und danach wie oben nach (1), (2) oder (3)
korrigieren.
3
Der Graphikrechner TI-82 STATS in „Mathematik & Wirtschaft“: Erste Schritte
Weitere Rechnungen:
1 1
+ ⋅3
2 4
1¥2Ã1¥4¯3÷
1
1
+
2 4 ⋅3
1¥2Ã1¥£4¯3¤÷
4⋅(-3) - 2
Auf Klammerung achten!
4¯£Ì3¤¹2Í
Die Klammerung könnte hier auch ausbleiben.
Beachte: Ì Vorzeichenminus
¹ Subtraktionsminus.
Die beiden Minuszeichen unterscheiden sich
auch etwas in der Anzeige am Bildschirm.
0,42
Ë4¡Í
23 − 4 ⋅ 0,5
2›3¹4¯0Ë5Í
Die Taste › ermöglicht das Potenzieren mit beliebigen
Hochzahlen (das Quadrieren eingeschlossen).
Quadratwurzel
3⋅ 7 +1
3 ¯y ¡ 7 ¤ Ã 1 Í
3 ¯y ¡ 7 Ã 1¤ Í
3⋅ 7 +1
3
7,8
4 7,8
3
7,8 = 7,81 3
Eine dritte oder höhere Wurzel kann auch über das
Math-Menü bestimmt werden.
 ¶ 7 Ë 8 ¤ ÷.
Bei einer höheren Wurzel als 3 ist zuerst der
Wurzelexponent einzugeben, danach Aufruf des MathMenüs, ·, keine Klammern.
Wurzeln können auch als Potenzen eingeben werden.
7 Ë 8 › £1 ¥ 3 ¤ Í
5,4⋅102
5Ë2y«2¤Í
3⋅10-2
3y«Ì2¤Í
4
Der Graphikrechner TI-82 STATS in „Mathematik & Wirtschaft“: Erste Schritte
Werte abspeichern
2 ¿ƒAÍ
Werte können unter einem Namen gespeichert werden. Man sagt
auch, dass sie einer Variablen zugewiesen werden. Als
Variablennamen können alle Buchstaben A, B, ... , Z verwendet
werden.
π erhält man durch y ›.
Überschreiben ändert den Wert einer Variablen.
Einstellungen (Modi)
Drücken von z öffnet ein Menü, in dem man verschiedene Rechnereinstellungen
vornehmen kann.
→
Mit den Cursortasten kann in jeder Zeile ein Menüpunkt gewählt werden. Dieser wird dann
blinkend angezeigt. Wir wählen beispielsweise "Degree" statt "Radian", d.h. die Umstellung des
Winkelmaßes vom Bogenmaß auf das Gradmaß. Danach Í; Verlassen des Menüs durch
y z oder ‘.
Die Einstellung "Float" bedeutet, dass eine Zahl mit maximal 11 Zeichen (den Dezimalpunkt
eingeschlossen) gerundet angezeigt wird. Eine Einstellung beispielsweise von "4" in dieser
Zeile gibt bewirkt eine Ausgabe der Zahlen gerundet mit 4 Nachkommastellen.
Ist nur „Float“ markiert, so werden nachlaufende Nullen einer Zahl nicht angezeigt. D.h. etwa
1.2 statt 1.2000. Intern werden die Zahlen jedoch stets mit bis zu 14 Stellen mit einem
zweistelligen Exponenten gespeichert.
5
Der Graphikrechner TI-82 STATS in „Mathematik & Wirtschaft“: Zu Band 1
Zu Band 1
Beispiel 5.2, Seite 113: Eine Funktion definieren, ihre Wertetabelle aufstellen, den
Graphen zeichnen und die Nullstellen bestimmen
Eine Funktion definiert man in einfacher Weise, wenn man den so genannten Y-Editor
benützt. Dieser wird durch o (Taste in der ersten Reihe unter dem Bildschirm) aufgerufen. In
diesen kann man gleichzeitig bis zu 10 Funktionen Y1, Y2, ... Y9, Y0 schreiben.
Als unabhängige Variable darf nur X gewählt
werden. Man tut dies am einfachsten mit einer
eigenen Taste, nämlich „. Das Eingeben
und Korrigieren erfolgt wie im Hauptbildschirm.
Danach drückt man y s, um die
Wertetabelle anzuzeigen.
Ändern des Darstellung einer Wertetabelle im
TABLE SETUP-Menü: y p.
TblStart: x-Startwert für die Tabelle,
∆Tbl: Schrittweite der Tabelle für x.
Neuerlicher Aufruf der Tabelle: y s.
Auch durch Auf- oder Abwärtsbewegen des
Cursors in der x-Spalte kann die Wertetabelle
erweitert werden.
Man kann auch gezielt nach dem Funktionswert
zu einzelnen x-Werten fragen. Dabei wird im
TABLE SETUP-Menü bei Indpnt (independent =
unabhängig) ASK markiert, danach Í. Ruft
man nun die Tabelle durch y s auf, so
kann man einen x-Wert angeben, und dies
wiederholt tun.
Rückkehr in den Hauptbildschirm: y z.
Voraussetzung für das Zeichnen des Graphen ist, dass im MODE-Menü in der vierten Zeile
(Aufruf: z, Seite 5) der Graph-Modus Func eingestellt ist. Zum Festlegen des
Zeichenbereiches (des Ansichtfensters) wird p aufgerufen. Xmin und Xmax sind die
horizontalen, Ymin und Ymax die vertikalen Grenzen des Zeichenbereichs.
Xscl und Yscl gibt die Abstände an, mit denen
die Skalierungsstriche auf den Achsen gesetzt
werden. Xres ist ein Maß für die Auflösung,
bedeutsam u.a. im Spur-Modus (siehe unten).
Durch y q öffnet sich das FORMATMenü, in dem u.a. die Achsenbeschriftung
verlangt werden kann.
Zeichnen des Graphen durch Drücken von
s.
Nach Drücken von r kann der
Zeichencursor entlang des Graphen bewegt
werden (Spur-Modus); dabei werden die
Koordinaten der Punkte angezeigt.
Rückkehr zum Hauptbildschirm: y z.
6
Der Graphikrechner TI-82 STATS in „Mathematik & Wirtschaft“: Zu Band 1
Ermitteln eines Funktionswertes:
y r À, x-Wert eintippen,Í.
Rückkehr zum Hauptbildschirm: y z.
Ermitteln einer Nullstelle:
y r Á oder
y r und mit dem Cursor 2 markieren,
Í.
Danach wird eine untere und eine obere
Schranke (Left Bound, Right Bound), etwa –2
und 0, für die gesuchte negative Nullstelle
angegeben (jedesmal mit Í abschließen).
Bei Guess? nur Í drücken.
Schließlich nochmals Í eingeben.
Gleichermaßen geht man bei der zweiten
Nullstelle vor.
Beispiel 8.17, Seite 204: Eine Gleichung lösen
Mit dem Gleichungslöser kann die Lösung in einer Gleichung mit einer Variablen ermittelt
werden. Die Gleichung wird zuerst so umgeformt, dass auf einer Seite null steht. Ist die
Gleichung lösbar, so wird auch bei mehreren Lösungen immer nur nach einer Lösung nach
einem Näherungsverfahren gesucht. Welche Lösung gefunden wird, hängt im Allgemeinen vom
Startwert des Näherungsverfahrens ab. Zusätzlich kann auch der Suchbereich für die Lösung
eingeengt werden.
Beispiel: Löse die kubische Gleichung x3 + 2 = 3⋅x2; wir formen zuerst so um, dass eine Seite
gleich null ist: x3 + 2 - 3⋅x2. Diese Gleichung besitzt drei Lösungen. Je nach Startwert erhält man
die Lösung.
Aufruf durch  Ê oder auch durch  } (Cursortaste
nach oben) Í y Ê.
Wenn nicht eqn:0= wie nebenstehend angezeigt wird, drückt
man } und dann ‘, um die bestehende Gleichung zu
löschen.
7
Der Graphikrechner TI-82 STATS in „Mathematik & Wirtschaft“: Zu Band 1
Einabe der Variable X am einfachsten durch „. Es können auch
andere Variablenbezeichnungen wie A, B usw. über die Eingabe mit
ƒ gewählt werden. Abschluss durch Í.
Man gibt nun einen Startwert für X ein. Wir
wählen etwa 3. Durch ƒ Í wird das
Lösungsverfahren begonnen, der Cursor muss
sich dabei in der Zeile von X befinden. Es ergibt
X = 2,732 als die größte vorhandene Lösung.
Durch Wahl eines geeigneten Startwertes (etwa
–1 und 0,5) können auch die beiden weiteren
Lösungen –0,732 sowie 1 gefunden gefunden
werden.
Seite 206 ff. : Matrizen
1. Eingabe einer Matrix
Es empfiehlt sich, zuerst im MODE-Menü
FLOAT zu markieren, um nachlaufende Nullen
der eingegebenen Zahlen zu vermeiden.
Nach Aufruf des Matrix-Editors durch Ž
~ ~ ist eine der vorgeschlagenen Matrizen
[A], [B], .. zu wählen. Wir bleiben beim
Vorschlag [A] und tippen daher À oder hier
auch Í.
Wir überschreiben "1 x 1" durch "2 x 3", um
eine Matrix mit 2 Zeilen und 3 Spalten
einzugeben.
Mit Í gelangt man zur Eingabe der einzelnen Matrixelemente.
Diese erfolgt zeilenweise, wenn man nach jedem Element Í
drückt. Man kann sich jedoch auch mit dem Cursor innerhalb der
Zeilen und Spalten bewegen. Auf diese Weise kann eine fehlerhafte
Eingabe korrigiert werden.
Verlassen der MTRX EDIT Anzeige und Rückkehr in den
Eingabebildschirm durch y z.
8
Der Graphikrechner TI-82 STATS in „Mathematik & Wirtschaft“: Zu Band 1
Ruft man den Matrix-Editor wieder auf, so erkennt man, dass mit [A]
eine Matrix mit 2 Zeilen und 3 Spalten definiert wurde.
Aufruf der Matrix A: Drückt man nun bei Markierung von NAMES À
oder hier auch Í, so wird die Matrix [A] im Eingabebildschirm
aufgerufen. Schließt man diese Eingabe mit Í ab, so wird die
Matrix angezeigt.
Ruft man die Matrix nochmals wie eben auf, so kann man auch ein
einzelnes Matrixelement aufrufen. Man gibt im Anschluss an den
Matrix-Namen die Zeilen- und Spaltennummer in runden Klammern
an.
2. Löschen einer Matrix: Dies erfolgt aus dem Speicher (Memory).
y à (Memory-Menü) Á (Delete) · (Matrix...), Cursor vor die zu löschende Matrix bewegen,
{
 1 3
 −1 2 
-1
T
, B = 
 ; berechne A+B, 5⋅A, A⋅B, A und A
4
2
1
4




3. Operationen: A = 
Wir überschreiben die bisher gespeicherte Matrix [A], indem wir zuerst
"2 x 3" durch "2 x 2" und dann die verbleibenden Elemente
überschreiben.
Weiters wird die noch nicht definierte Matrix [B] eingegeben.
Für die Bildung der inversen Matrix ist die Taste — zu benützen.
Zur Bestimmung der Transponierten AT zuerst
[A] aufrufen, danach im Matrix-Editor MATH
anwählen und Á drücken
9
Der Graphikrechner TI-82 STATS in „Mathematik & Wirtschaft“: Zu Band 1
Beispiel 8.12, Seite 197 : Komplexe Zahlen
Aufruf der imaginären Einheit i durch y Ë
Beispiel 6.15, Seite 164: Ein System linearer Gleichungen lösen
Beispiel:
4x + 5y – z = 11
2x + 3y +2z = 14
x – y + 3z = 8
4⋅x + 5⋅y + (-1)⋅z = 11
2⋅x + 3⋅y + 2⋅z = 14
1⋅x + (-1)⋅y + 3⋅z = 8
oder etwas
ausführlicher
Durch Äquivalenzumformungen kann dieses Gleichungssystem in die Form
1⋅x + 0⋅y + 0⋅z = 1
0⋅x + 1⋅y + 0⋅z = 2
0⋅x + 0⋅y + 1⋅z = 3 gebracht werden.
Diese Form des linearen Gleichungssystems heißt ihre reduzierte zeilengestaffelte Form (engl.:
row reduced echelon form). Sie lässt sofort die Lösung erkennen: x = 1; y = 2 und z = 3. Gibt
man das Schema der farbig geschriebenen Zahlen der Ausgangsgleichungen an, also die
5 − 1 11
4


Matrix A =  2 3 2 14  , so ist diese in die Form
 1 − 1 3 8


 1 0 0 1


 0 1 0 2  zu bringen. Die Spalte ganz
0 0 1 3


rechts gibt die Lösung an. Dazu gibt es die Funktion rref(), benannt nach den
Anfangsbuchstaben der englischen Bezeichnung für diese Umformung des Gleichungssystems.
Definition der
Ausgangsmatrix A;
Rückkehr in den
Eingabebildschirm
durch y z.
Ž, Anwählen von
MATH, danach B: rref(
markieren, Í
Nun die Matrix mit
dem Namen [A]
aufrufen, ¤ und
Í
Ablesen der Lösung:
x = 1; y = 2; z = 3
10
Der Graphikrechner TI-82 STATS in „Mathematik & Wirtschaft“: Zu Band 1
Beispiel 10.9, 10.11, 10.12, 10.16, Seite 233 ff.: Statistische Kennzahlen
Aufruf des STAT-Menüs und weiters des
statistischen Listeneditors durch … Í
Eingabe der Stichprobenwerte in eine Liste,
etwa L1; nach jedem Wert Í.
Nach Markierung können eingegebene Werte
durch Überschreiben korrigiert werden, durch
{ aus der Liste gelöscht werden.
Rückkehr ins STAT-Menü durch …
Zum Berechnen von Stichprobenkennwerten
CALC Anwählen, Í
Nun y À drücken, um "L1" einzugeben (kann
auch weggelassen werden, da so
voreingestellt), danach Í
Hier können u.a. der Mittelwert x , die
Standardabweichung σx (nicht Sx, da mit
Nenner n-1), der Median Med, das erste und
dritte Quartil Q1 bzw. Q3 der Stichprobe
abgelesen werden. Ein Pfeil deutet an, dass
man durch Bewegen der entsprechenden
Cursor-Taste das Fenster nach unten oder
oben bewegen kann.
Löschen einer Liste: … ¶ (ClrLst) y À (für L1) Í
Beispiel 10.10, Seite 234: Gewogenes arithmetisches Mittel
Gelegentlich stehen die Häufigkeiten der einzelnen Stichprobenwerte zur Verfügung. In
diesem Fall schreibt man die Häufigkeiten in der gleichen Zeile in einer weiteren Liste dazu. L2
durch y Á.
11
Der Graphikrechner TI-82 STATS in „Mathematik & Wirtschaft“: Zu Band 1
Beispiel 10.18, Seite 244: Lineare Regression
Zuerst wird der Diagnose-Anzeige-Modus eingestellt, um bei der linearen Regression auch
das Bestimmtheitsmaß B anzuzeigen. Aufruf
aus dem sogenannten CATALOG durch y Ê.
Aufruf des statistischen Listeneditors durch … Í und
Eingabe der Zahlenpaare der Stichprobe etwa in L1 und L2.
Zum Berechnen von Stichprobenkennwerten …, CALC
Anwählen, ¶ (LinReg).
y À (für L1) und yÁ (für L2) durch einen Beistrich getrennt
eingeben, Í.
Angezeigt werden die Steigung a und der y-Achsenabschnitt b der
Regressionsgerade und das Bestimmtheitsmaß B (= r2).
r ist der sogenannte Korrelationskoeffizient (siehe Seite 22).
12
Der Graphikrechner TI-82 STATS in „Mathematik & Wirtschaft“: Zu Band 2
Zu Band 2
Potenzen zur Basis e, Logarithmen
e = e1
e
yµ1¤Í
2
e-0,5
yµ2¤Í
yµÌ0Ë5¤Í
Es ist nicht erforderlich, die Klammer zu schließen.
Um jedoch im Anschluss fehlerhafte Eingaben zu
vermeiden, sollte dies gemacht werden. Dies gilt auch
für die Logarithmen und Kreisfunktionswerte.
lg 2
«2¤Í
ln 2
µ2¤Í
Beispiel 3.3b), Seite 31 f.: Umgang mit Folgen
Im MODE-Menü (Aufruf: z) wird der Graph-Modus Seq eingestellt.
Weiters wird Dot aktiviert (statt Connected); dadurch wird die Folge bei
einer graphischen Darstellung durch Punkte (dots) und nicht durch
eine Linie gezeichnet. Jede Einstellung wird einzeln mit Í
bestätigt. Verlassen des MODE-Menüs: y z.
Aufruf des Y-Editors durch o (Taste in der ersten Reihe unter dem
Display). u(n), v(n) und w(n) stehen für Folgen zur Verfügung.
n ist die unabhängige Variable, sie wird mit „ eingegeben.
Im WINDOW - Editor (Aufruf p, Taste
neben der o -Taste) wird das Zeichenfenster angegeben. Die Eingaben sind hier
sorgfältig vorzunehmen.
Über y q können Formatierungen des
Graphik-Fensters vorgenommen werden.
Wichtig hier: Time
Zeichnen des Graphen der Folge durch
Drücken von s. Nach Drücken von
r kann der Zeichencursor entlang des
Graphen bewegt werden (Spur-Modus).
13
Der Graphikrechner TI-82 STATS in „Mathematik & Wirtschaft“: Zu Band 2
Wertetabelle der Folgeglieder:
Über y p wird die Art der Tabelle
festgelegt. Danach Aufruf der Tabelle durch
y s.
Eine schnelle Möglichkeit, die Folgeglieder im Hauptbildschirm
zahlenmäßig anzugeben, besteht über die seq() – Anweisung.
Aufruf aus dem Catalog durch y Ê, danach µ (für S, vorher
nicht ƒ drücken, da schon eingestellt). Man kommt an den
Beginn der Anweisungen mit dem Anfangsbuchstaben S. Weiter mit
der Cursortaste † nach unten bis seq(, nun Í. Man kann seq(
auch zeichenweise eintippen.
Jetzt das Folgeglied eingeben, n durch „, dann n, Anfangsindex und Schlussindex, ¤ und Í. Scrollen der Anzeige durch
die Cursortasten ~ bzw. |.
Anmerkung: Im nebenstehenden Sreenshot wurd im Mode-Menü
Float auf 4 gestellt.
Beispiel 4.11, Seite 65: Rekursive Definition einer Folge
Im MODE-Menü (Aufruf: z) als GraphModus Seq einstellen sowie Dot aktivieren.
Aufruf des Y-Editors durch o. u durch y ¬.
Seite 172: Bogenmaß eines Winkels
Aufruf des MODE-Menüs durch z:
Radian statt Degree mit dem Cursor
ansteuern, Í drücken; Verlassen des
Mode-Menüs durch y z.
14
Der Graphikrechner TI-82 STATS in „Mathematik & Wirtschaft“: Zu Band 2
Beispiel 6.14, Seite 174: Graph einer allgemeinen Sinusfunktion
Der TVM – Solver (Time Value of Money)
Mit dieser Software können viele Standardaufgaben der Finanzmathematik schnell gelöst
werden.
Aufruf des TVM - Solver durch y — Í.
Er berechnet eine der 5 Größen PV, FV, PMT,
N oder I%, wenn die anderen zusammen mit
C/Y, P/Y und der Zahlungsweise vorgegeben
werden.
Bedeutung der Variablen:
PV
FV
PMT
P/Y
Present Value, Anfangskapital,
Barwert,
Future Value, Endwert
Payment, regelmäßige Zahlung
oder Rate
Payments per Year, Anzahl der
Ratenzahlungen pro Jahr
N
I%
END bzw.
BEGIN
C/Y
Anzahl n der Perioden bzw. Ratenzahlungen insgesamt
Jahreszinssatz i
Festlegung, ob nachschüssige oder
vorschüssige Zahlungsweise
Compounds per Year, Anzahl m der
Zinsperioden pro Jahr
Dem TVM - Solver ist die „Sparkassenformel“ (Band 2, Seite 107) in einer verallgemeinerten
Form zugrunde gelegt:
(1 + im )N − 1 + FV = 0
N
PV ⋅ (1 + im ) + PMT ⋅ (1 + im ⋅ s ) ⋅
im
Die Formel ist so gestaltet, dass Einnahmen und Ausgaben durch ihr Vorzeichen unterschieden
werden: Wir setzen Einnahmen positiv, Ausgaben negativ.
Die Variable s ist ein „Schalter“: s = 0 für eine nachschüssige, s = 1 für eine vorschüssige
Zahlungsweise.
Zwischen dem Jahreszinssatz ZINS% und dem unterjährigen Zinssatz im besteht der
C/ Y
Zusammenhang: 1 + im
I%  P / Y
=  1 +
.

 C/Y
P/Y und C/Y sind keine Brüche, wie es die Schreibweisen vermuten lassen! Sie bezeichnen Anzahlen pro Jahr („/“„
steht für pro“).
!
PV ist stets das Anfangskapital, das mit den Ratenzahlungen der Höhe PMT einen
Endwert FV ergibt.
Bei PMT ≠ 0 wird FW wird zum Rentenendwert, wenn PV = 0 ist. Umgekehrt wird PV
zum Rentenbarwert, wenn FV = 0 ist.
15
Der Graphikrechner TI-82 STATS in „Mathematik & Wirtschaft“: Zu Band 2
Beispiel 5.8 b), Seite 80:
N = 10 (Anzahl der Zinsperioden, Jahre), I% = 4, PMT = 0, weil keine
regelmäßige Zahlungen, FV = 2000 (positiv, weil Einnahme), P/Y = 1
(1 eingeben, damit 1 + im = 1 + i , siehe Zusammenhang zwischen im
und i), C/Y = 1 (weil eine Zinsperiode im Jahr); PMT: END oder BEGIN
(hier ohne Bedeutung)
Cursor in die Zeile der zu berechnenden Größe PV setzen, danach
ƒ Í. Die berechnete Größe ist durch ein kleines Quadrat
markiert. Der negative Wert für PV zeigt eine Ausgabe an.
Rückkehr zum Hauptbildschirm: y z
Beispiel 5.28, Seite 105:
N = 5 (Anzahl der Zinsperioden, Jahre), PV = 0,
PMT = -100 (negativ, weil Ausgabe), FV = 556
(positiv, weil Einnahme), P/Y = 1 (eine Zahlung
pro Jahr), C/Y = 1 (ganzjährige Verzinsung),
PMT: END, weil nachschüssig. Berechnung des
Zinssatzes: Cursor in die Zeile der zu berechnenden Größe I% setzen, danach ƒ Í.
Beispiel 5.29 a), Seite 105:
PV = -4000 (Anfangskapital negativ setzen, weil eine Ausgabe), PMT:
END (weil nachschüssig).
Beispiel 5.30, Seite 106:
Das Anfangskapital ist als Ausgabe zu werten, daher negativ. Die
Rentenraten sind Einnahmen, daher positiv. Dies gilt auch für den
Endwert FV.
Beispiel 5.37, Seite 113
N = 4⋅3 = 12 Zinsperioden; P/Y = 4, weil 4 Zahlungen pro Jahr; C/Y = 1
ist nötig, um den zu i = 4% konformen Quartalszinssatz zu erhalten
(siehe den Zusammenhang zwischen i und im, Seite 15).
Ist C/Y = P/Y, so wird mit dem relativen unterjährigen Zinssatz
gerechnet, also nach der US - Methode.
Beispiel 5.59 b), Seite 149
Das Anfangskapital PV st gleich den Anschaffungskosten abzüglich die
beiden Gebühren. Die Rate ist als Ausgabe zu werten, daher negativ.
Das gilt auch für den Restwert.
16
Der Graphikrechner TI-82 STATS in „Mathematik & Wirtschaft“: Zu Band 3
Zu Band 3
Beispiel 1.1 a), Seite 4
y — ¬ ruft die Funktion npv zur Berechnung des Kapitalwertes
(Net Present Value) auf.
Eingaben: Kalkulationszinssatz in %, Anschaffungskosten, Rückflüsse.
Die Anschaffungskosten werden negativ, die Rückflüsse als Datentyp
“Liste” (mathematisch ist dies eine Folge) eingegeben. Letzteres
bedeutet eine Klammerung durch geschwungene Klammern y £
und y ¤. Abschluss durch eine schließende Klammer ¤. Danach
Í.
Beispiel 1.4 a), Seite 8
y — À ruft den TVM Solver auf (siehe
Seite 15.
Für PV (Present Value) gibt man Kapitalwert
5.832 ein.
Beispiel 1.6, Seite 9
 Ê , eventuell noch Cursortaste } und ‘, ruft den Equation
Solver (Gleichungslöser) auf. Statt i wird die Gleichungsvariable mit x
bezeichnet (Taste „), Í.
Anfangswert etwa 0 für x, Lösung durch ƒ Í, wobei sich der
Cursor in der x-Zeile befindet.
Eine weitere Möglichkeit:
y — − ruft die Funktion irr (Internal Rate of Return) zur
Berechnung des internen Zinssatzes auf. Zuerst wird der
Anschaffungspreises mit negativem Vorzeichen eingegeben. Es folgen
die Rückflüsse in Listenform, d.h. in geschwungenen Klammern.
17
Der Graphikrechner TI-82 STATS in „Mathematik & Wirtschaft“: Zu Band 3
Beispiel 1.9 b), Seite 20
y — − ruft die Funktion irr (Internal Rate of Return) zur
Berechnung der Rendite auf. Der Emissionskurs wird negativ
eingegeben; danach kommt die Folge der Zahlungen als “Liste”, also
die Zahlungen in geschwungenen Klammern.
Es genügt, die Zahlungen mit ihren Häufigkeiten in Form von zwei
Listen einzugeben.
Eine weitere Berechnungsmöglichkeit besteht wieder mit Hilfe des Equation Solver, aufgerufen
durch  Ê } ‘
Beispiel 3.4 b), Seite 60
Die Ableitung an einer bestimmten Stelle x0 wird genähert durch den
„symmetrischen“ Differenzenquotienten: f ′( x 0 ) ≈
f (x 0 + h)−f (x 0 − h)
.
2h
 − ruft die Anweisung nDerive auf. Es folgt die Eingabe des
Funktionsterms (x einfachheitshalber mit „ eingeben), danach
kommt die Varable, nach der abgeleitet wird. Weiters folgen die
Ableitungsstelle x0 sowie die Größe h. Wird letztere nicht eingegeben,
so gilt als Voreinstellung 0,001. Abschließend ¤ und Í.
Beispiel 4.8, Seite 101
Es empfiehlt es sich hier, die Zahlenanzeige
im MODE-Menü (Aufruf z ) auf Float zu
setzen.
Näheres zur Lösung eines linearen
Gleichungssystems siehe Seite 10 f.
18
Der Graphikrechner TI-82 STATS in „Mathematik & Wirtschaft“: Zu Band 3
Beispiel 4.2, Seite 87, erste und zweite Ableitung
Zum Definieren einer Funktion und Zeichnen ihres Graphen siehe Seite 6 f.
Definieren von Y2 (erste Ableitung) und Y3 (zweite Ableitung): Man setzt den Cursor in der Zeile
für Y2 an die Stelle nach dem Gleichheitszeichen. Nun wird nDerive(Y1, X, X) eingegeben:
nDeriv( wird durch durch  −, Y1 durch ÷, Setzen des Cursors auf Y-VARS sowie
Drücken von À und Í eingefügt. Dann jeweils nach einem Beistrich zweimal X eintippen
und die Klammer schließen. Entsprechend geht man bei Y3 vor. Hier ist Y2 einzufügen, da Y3
die Ableitung von Y2 ist.
Natürlich könnten die erste und zweite Ableitung auch in der Form Y2 = 3*X^2 - 30X + 100 und
Y3 = 6*X -30 eingegeben werden.
Beispiel 4.6 a), Seite 93, Kurvendiskussion
Berechnung der Nullstellen: siehe Seite 7
Berechnung der Extrema:
Die Berechnung erfolgt völlig analog wie die einer Nullstelle. Durch y r ¶ wird im
Graphik-Bildschirm die Berechnung eines Maximums, durch y r  die eines Minimums
eingeleitet.
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Der Graphikrechner TI-82 STATS in „Mathematik & Wirtschaft“: Zu Band 3
Berechnung der Wendepunkte:
Dies ist leider nicht auf die einfache Art wie bei den Nullstellen oder Extrema möglich. Man
behilft sich, indem man zuerst die Ableitung y’ ermittelt und zeichnet. Danach werden, falls
vorhanden, die lokalen Extrema von y’ ermittelt. An einer solchen Stelle befindet sich ein
Wendepunkt der ursprünglichen Funktion.
Eingabe von Y2 siehe Beispiel 4.2, Seite 19.
Drücken von s zeichnet den Graphen
der AbleitungsfunktionY2.
Es ist nun die Minimumstelle von Y2 zu
ermitteln (Drücken von y r  usw.).
Dabei ist zu achten, dass dies beim Graphen
von Y2 und nicht bei jenem von Y1 erfolgt.
Dies erfolgt durch Ansteuern von Y2 mit der
Cursortaste † bzw. }. x = 3 ist die
Minimumsstelle von Y2 und gleichzeitig die
Wendestelle von Y1. Wechselt man nun ohne
Änderung des x-Wertes mit der Cursortaste
} zu Y1, so kann auch –3 als der y-Wert des
Wendepunktes abgelesen werden.
Beispiel 6.4, Seite 133, Lineare bzw. kubische Regression
… À ruft den Listeneditor auf. “Alte”
Listen löscht man dadurch, dass man den
Cursor auf den jeweiligen Listenkopf setzt.
Anschließend Í ‘ Í. Eingabe
der x- und der y-Werte in List L1 bzw.
Liste L2.
Dann … drücken, Cursor auf CALC
setzen, ¶ drücken oder alternativ
LinReg(ax+b) anwählen und Í. Mit
y À schreibt man L1, es folgt ein Beistrich,
mit y Á folgt L2. Abschluss durch Í.
Um auch das Bestimmtheitsmaß B = r2 und
den Korrelationskoefizienten r anzuzeigen
(hier nicht nötig), muss der DiagnoseAnzeige-Modus eingestellt sein (siehe
Seite 12.
Kubische Regression: CubicReg wählen,
sonst gleich wie bei der linearen Regression!
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Der Graphikrechner TI-82 STATS in „Mathematik & Wirtschaft“: Zu Band 3
Beispiel 7.6 b), Seite 172, bestimmte Integration
 ® ruft die Anweisung fnInt( zur
bestimmten Integration auf. Es folgen der
Integrand, die Integrationsvariable, die untere
und obere Grenze. Abschluss durch ¤ und
Í.
Beispiel 7.10, Seite 177, bestimmte Integration, Flächeninhalt
Graph zeichnen.
y r ¬, Grenzen eingeben, danach jeweils Í. Die Fläche wird schraffiert und ihr
Inhalt angegeben.
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Der Graphikrechner TI-82 STATS in „Mathematik & Wirtschaft“: Zu Band 4
Zu Band 4
Beispiel 1.10, Seite 27: Korrelation und lineare Regression
Näheres siehe Seite 12 für DiagnosticOn sowie Seite 20.
r bezeichnet den Korrelationskoeffizienten. Bei linearer Regression ist
das Bestimmtheitsmaß r2 gleich dem Quadrat des Korrelationskoeffizienten.
Beispiel 1.11, Seite 28: Rangkorrelation
Wie Beispiel 1.10
oben unter Verwendung der durchschnittlichen Rangplätze der Werte.
Beispiel 3.1, Seite 67: Fakultät und Binomialkoeffizient
Aufruf des Menüs
MATH PRB durch
, anschließend
Cursortaste links,
danach ¶ für das
Rufzeichen.
Aufruf des Binomialkoeffizienten, ist gleich
der Anzahl der Kombinationen von 3 aus 8
Elementen
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Der Graphikrechner TI-82 STATS in „Mathematik & Wirtschaft“: Zu Band 4
Beispiel 3.9, Seite 81: Binomialverteilung
y VARS Ê fügt binompdf( ein, den Namen
der Wahrscheinlichkeitsfunktion f(k) einer
Binomialverteilung. Es folgen die Werte für n,
p und k. Abschluss durch eine schließende
Klammer sowie Í.
pdf in binompdf steht für probability density function.
Die Funktion mit dem Namen binomcdf ist die
zugehörige Verteilungsfunktion (cumulative ... )
Beispiel 3.12, Seite 92: Normalverteilung
y VARS Á fügt den Namen der Verteilungsfunktion der Normalverteilung normalcdf( ein. Es
folgen die untere Grenze, die obere Grenze, µ und σ. Abschluss durch eine schließende
Klammer sowie ÷. Eine Standardisierung der Normalverteilung ist nicht nötig. -∞ wird durch
-1099 ( Ì y ¢ 99), + ∞ durch 1099 (y ¢ 99) ersetzt.
Beispiel 3.15 und Beispiel 3.16, Seite 95
y VARS Â fügt invnorm( , den Namen der Inversen zur Verteilungsfunktion ein. Es folgen der
x-Wert, µ und σ. Die Inverse ist für beliebige µ und σ verwendbar. Da der 95%-Streubereich
(Beispiel 3.16) symmetrisch zu µ liegt, genügt die Berechnung einer Grenze.
Beispiel 7.3, Seite 147: Simulation eins Vorratsproblems
Im Mode-Menü den Graph-Modus Seq einstellen und y-Editor durch
Drücken von o aufrufen. u durch y ¬, n durch „. Bei
u(nMin) den Anfangswert 1000 eingeben, Í.
Drückt man bei der Anzeige des Graphen r, so kann man mit
Hilfe des Cursors von einem Punkt zum nächsten gehen.
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Der Graphikrechner TI-82 STATS in „Mathematik & Wirtschaft“: Zu Band 4
Beispiel 7.5, Seite 148: Cobweb-Modell
Für eine kurze Erklärung siehe Beispiel 7.3.
Beispiel 7.6, Seite 152: Konjunkturmodell nach SAMUELSON
Im Mode-Menü den Graph-Modus Seq einstellen (wie Beispiel 7.3).
u(n) ist die Folge der Volkseinkommen Yn.
u durch y ¬, n durch „.
Die beiden Anfangswerte werden als Liste in geschwungenen
Klammern bei u(nMin) eingegeben.
r-Modus wie im Beispiel 7.3.
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