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Grundlagen der physikalischen Messtechnik

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Grundlagen der physikalischen Messtechnik
HS-Karlsruhe
Grundlagen der physikalischen Messtechnik
Inhaltsverzeichnis:
Literatur:.......................................................................................................................................... 2
1.0 Oszilloskop (Einführungsversuch) ........................................................................................ 3
1.1 Aufbau einer Oszilloskopröhre: ............................................................................................ 3
1.2 Funktionsgruppen im Oszilloskop ........................................................................................4
1.3 Die wichtigsten Bedienelemente des Oszilloskops:.............................................................. 6
Zur Bildröhre:.......................................................................................................................... 6
Das Triggersystem: ................................................................................................................. 6
Zeitablenkung (X Achse) und Messsignal (Y-Achse): ........................................................... 7
Bei 2-Kanaloszilloskopen zur (simultanen) Darstellung von 2 Messsignalen: ...................... 8
1.4 Übungen: Messungen mit dem Oszilloskop.........................................................................9
2.0 Messtechnische Grundbegriffe (Weitere Versuche) .......................................................... 10
2.1 Messabweichungen (n. DIN 1319)................................................................................. 10
2.1.1 Abweichungsarten........................................................................................................ 10
2.2 Statistik der Abweichungen ................................................................................................ 12
2.3 Normalverteilung (Gaussverteilung)...................................................................................15
2.4 Messunsicherheit und Vertrauensniveau............................................................................. 16
2.5 Abweichungsfortpflanzung ................................................................................................. 19
2.6 Kennlinien, Empfindlichkeit, Messgenauigkeit .................................................................. 20
Toleranzbänder...................................................................................................................... 21
Weitere Kennlinien – Eigenschaften.....................................................................................23
Messgenauigkeit.................................................................................................................... 25
Übungen zur Messgenauigkeit und Abweichungsfortpflanzung: .........................................26
2.7 Genauigkeitsklassen ............................................................................................................ 27
2.8 Messwertdarstellung ........................................................................................................... 27
2.9 Messsignal: Ausgabe & Übermittlung ................................................................................ 28
2.9 Messsignal: Ausgabe & Übermittlung ................................................................................ 29
2.10 Grundbegriffe von Schwingungen .................................................................................... 30
Definitionen:.......................................................................................................................... 30
Funktionsbeschreibung: ........................................................................................................ 31
Gedämpfte Harmonische Schwingung:................................................................................. 32
Eigenschwingungen: ............................................................................................................. 32
Resonanz: .............................................................................................................................. 32
2.11 Kompensierende Messverfahren: Die Wheatstonesche Brücke........................................ 35
3. Physikalische Messung, Sensoren .......................................................................................... 37
3.1 Dehnmessstreifen DMS.......................................................................................................37
Temperatureinflüsse:............................................................................................................. 38
Elektrischer Anschluss: ......................................................................................................... 39
3.2 Piezoelektrische Sensoren................................................................................................... 41
3.3 Hallsensoren, magnetische Sensoren ..................................................................................43
Halleffekt:.............................................................................................................................. 43
GMR (Giant Magnetic Resistance):......................................................................................44
Magnetische Näherungssensoren: .........................................................................................45
3.4 Induktive Sensoren, Näherungsschalter ..............................................................................46
Aktive Sensoren : .................................................................................................................. 46
Passive Sensoren : ................................................................................................................. 46
Differentialprinzip................................................................................................................. 47
(induktiver) Näherungsschalter.............................................................................................48
3.5 Optische Sensoren - Lichtschranken ...................................................................................50
Prof. Dr. M. Bantel
Fakultät EIT, Studiengang Sensorsystemtechnik
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Literatur:
Allgemein:
Becker/Bonfig/Höing: Handbuch der elektrischen Messtechnik, Hüthig/HP Verlag,
ISBN 3-7785-2740-1
Bergmann: UF2/BER, Elektrische Messtechnik, Vieweg Verlag,
ISBN 3-528-54080-x
Müller: UB8.4MEC, Mechanische Größen elektrisch gemessen, Expert Verlag,
ISBN 3-8169-0547-1
Lerch: UB8.4LER, Elektrische Messtechnik
Kuchling: Taschenbuch der Physik, Fachbuchverlag Leipzig (Sehr gute Formelsammlung
und auch physikal. Grundlagen, kompakte gute Darstellung der Fehlerrechnung)
Oszi:
Beerens: UF2 / BEE , „ 101 Versuche mit dem Oszilloskop“ (leicht, f. Praktiker, incl.
Versuche Praktikum)
Lipinski: UB 8.5 /LIP , „Das Oszilloskop“
schwieriger)
(weiterführend
und
vollständiger,
Hinweise zur Prüfung:
Die Prüfung für das Modul besteht aus einem praktischen Teil und einer Klausur über den Vorlesungsteil. Die Punktezahlen der beiden Teile werden addiert und bilden die notenrelevante Gesamtpunktzahl.
Praktische Prüfung:
Sie erhalten Messaufgaben die ihnen aus dem Praktikum bekannt sind. Mit den im Praktikum
benutzten Messinstrumenten müssen sie ALLEIN bestimmte Messungen durchführen. Die
Messwerte sind anschließend auszuwerten. Beispielsweise muss aus den Messwerten ein Diagramm gezeichnet, die Abweichungen berechnet oder die Messgenauigkeit ermittelt werden. Die
Auswertung lehnt sich an die Ausarbeitungen zu den Laborversuchen an.
Klausur:
Die Klausur fokussiert in erster Linie auf den Vorlesungsinhalt. Verständnisfragen wie z.B. die
physikal. Funktion eines Sensors oder eines Messverfahrens bilden einen Teil der Klausur. Der
andere Teil besteht aus Rechenaufgaben die Grundlage zum Erhalt eines Messergebnisses sind.
Kompliziertere Formeln sowie Tabellen werden in der Klausur angegeben, einfache physikalische Grundlagen (z.B. Ohmsches Gesetz . U = R⋅I, F = m⋅a etc.) sind als generelles Grundlagenwissen vorausgesetzt.
Hilfsmittel: Taschenrechner, ohne Massenspeichermedium (Festplatte, Flash/Memorycard etc.)
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1.0 Oszilloskop (Einführungsversuch)
Das Oszilloskop ist ein wichtiges (das wichtigste!) Werkzeug zur Untersuchung von elektrischen Signalen. Deshalb ist dem praktischen Umgang mit dem Oszilloskop der erste Praktikumsversuch gewidmet.
Da moderne Sensoren für Kraft, Druck, Temperatur, Beschleunigung, Durchfluss etc. in der Regel elektrische Ausgangssignale liefern ist mit dem Oszilloskop das Werkzeug zur Betrachtung
und zum Verständnis der physikalischen Phänomene gegeben. Oszilloskope haben oft sehr (zu)
viele Funktionen und Knöpfe und sind für den Anfänger daher schwer verständlich. Auch erfahrene Benutzer müssen beim Arbeiten mit Oszilloskopen bei einem neuen Modell erstmal etwas
„spielen“ und ausprobieren. Gerade weil so viele Funktionen integriert sind ist das Oszilloskop
so ein vielseitiges Werkzeug.
Zum Verständnis der prinzipiellen Funktion des Oszilloskops wird im folgenden auf die Oszilloskopröhre eingegangen sowie auf die zum Oszilloskop gehörende typischen Funktionsgruppen.
1.1 Aufbau einer Oszilloskopröhre:
Alle Komponenten befinden sich in einer evakuierten (Vakuum-) Glasröhre.
Die Oszilloskopröhre besteht aus einem Strahlerzeugungssystem, einer Ablenksektion sowie
dem Bildschirm.
• Strahlerzeugungssystem:
Von einer Glühkathode bzw. geheizten Kathode werden Elektronen verdampft. Diese
werden durch den Wehneltzylinder (neg. Geladen) zur Achse fokussiert. Eine (pos. geladene) Lochanode dient zur Beschleunigung der Elektronen. Beim Durchtritt der Elektronen durch die Anode wird ein Elektronenstrahl erzeugt. Die Heizung regelt die Inten-
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sität, der Wehneltzylinder und die Anodenspannung die Fokussierung (Schärfe) des Elektronenstrahls.
• Ablenksektion:
Die Ablenksektion besteht aus jeweils zwei parallelen Platten (Plattenkondensator) in
horizontaler (X) und in vertikaler (Y) Richtung. Der Elektronenstrahl läuft nacheinander durch beide Plattenpaare hindurch. Liegt an einem Plattenpaar eine elektr. Spannung, so wird der Elektronenstrahl von der Positiven Platte angezogen und entsprechend abgelenkt. Durch kombiniertes Anlegen von Spannungen in X,Y Richtung lässt
sich der Elektronenstrahl beliebig ablenken.
• Bildschirm:
Schließlich trifft der Strahl auf den Bildschirm. Der Bildschirm ist das Ende der Röhre
und ist mit einem Leuchtstoff beschichtet. Der Leuchtstoff sendet beim Auftreffen des
Elektronenstrahls grün/blaues Licht aus. Der Elektronenstrahl ist deshalb für den Menschen als leuchtender Punkt auf dem Bildschirm erkennbar. Für die quantitative Messung wird der möglichst flache Bildschirm mit einem Liniengitter bemalt. Bei Ablenkung des Strahles (s.o.) wandert der Leuchtpunkt entsprechen der Ablenkung auf dem
Bildschirm.
1.2 Funktionsgruppen im Oszilloskop
• Netzteile:
Netzteile vom 220V Netz gespeist versorgen die Elektronik mit Spannung wie z.B. 5V
für Logik, ±15V, 24V für Verstärker. Auch ein Hochspannungsnetzteil für die Röhre
einige hundert V für Elektroden, 10000 bis 20000V für Elektronenstrahl zur Beschleunigung ist notwendig. Zum weiteren Verständnis sind dazu keine weiteren Details notwendig.
• Y-Verstärker:
Das zu untersuchende elektr. Signal wird an den Y-Eingang des Oszilloskops angeschlossen. Das Signal soll wie in der Mathematik als eine Funktion im Koordinatensystem aufgezeichnet werden und ist normalerweise auf der y-Achse aufgetragen. Das Signal wird einem mehrstufigen Y-Verstärker zugeführt, der das Signal nach kräftiger Verstärkung an das Ablenksystem der Röhre gibt (Strahl bewegt sich damit in Y-Richtung).
Damit ein großer Bereich von Signalamplituden messbar wird befindet sich ein vielstufiger Spannungsteiler vor dem Y-Verstärker: Empfindlichkeit heißt der Knopf! Mit einem Poti kann meist noch feinreguliert werden, dann ist jedoch die Empfindlichkeitsskala nicht mehr kalibriert. Der Messeingang kann direkt mit der Messbuchse (DCMode) verbunden sein oder über einen Kondensator (AC-Mode) angekoppelt sein. Der
Kondensator trennt eine Gleichspannung (DC) ab, da er nur Wechselspannung (AC)
überträgt. Bei Messungen muss stets der Nullpunkt, bzw. Nullinie bekannt sein. Daher
läßt sich der Eingang auch auf Masse (GND), (Ground-Mode) legen um schnell die
Nulllinie zu bestimmen. Bessere Oszilloskope verfügen über zwei getrennte YEingänge mit Verstärkern. Sie haben also einen Y1 und Y2 Kanal. Modernere (teurere)
Oszilloskope besitzen sogar eine Speichervorrichtung die eine digitale Aufzeichnung
der Signale mit Speicherung erlaubt (vgl. Sampling mit Synthi oder mit Musik-PC).
• X-Ablenkung :
Der Variablen x auf der x-Achse entsprechend soll ja die Funktion auf den Bildschirm
(Koordinatensystem) gezeichnet werden. Die zu messende Funktion ist meist in ihrem
zeitlichen Verlauf zu untersuchen, d.h. Zeit ist die Variable x. Die X-Ablenkung erfolgt
daher in der Regel durch die Zeit Vor dem X-Verstärker der die Röhre ansteuert sitzt
deshalb ein Sägezahngenerator. Der Sägezahngenerator erzeugt eine sägezahnförmige
Spannung die den Elektronenstrahl gleichmäßig von links nach rechts über den BildProf. Dr. M. Bantel
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schirm „zieht“ und ihn am Ende ganz schnell wieder nach links zurückschnellen lässt.
Durch das gleichmäßige ziehen des Strahls von links nach rechts lässt sich entsprechend
seiner Geschwindigkeit die zeitliche Messung von Signalen vornehmen. Um einen weiten Bereich der Zeitmessung zu gestatten ist die Zeitbasis des Generators variabel. Der
Knopf heißt Time oder sec/div = Sekunden/Längeneinheit. Der Zeitbereich variiert
meist von 1sek bis 1 Millionstel sek.!
Problem:
Wollten Sie nun ein beliebiges Signal mit einer durchaus passenden Zeitbasis betrachten, so werden Sie nichts, bzw.
ein Liniengewirr erkennen. Warum? Gegenfrage: Warum können sie mit einer Werkstattleuchte = Neonröhre (flackert mit 50/100Hz) denn nicht die Markierung auf der Schwungscheibe des Motors für den Zündzeitpunkt erkennen wenn Sie den Motor/Getriebeblock entsprechend anstrahlen?
Antwort: Die Lampe flackert ja nicht synchron zur Motordrehzahl, dazu bedarf es schon einer Blitzlampe die vom
Zündverteiler getriggert (ausgelöst) wird.
• Triggereinheit :
Die Triggereinheit liefert für den Sägezahngenerator das Startsignal. Der Start des Sägezahnimpulses wird verzögert bis die Triggereinheit auslöst. Dadurch werden periodische Signale mit der Zeitbasis des Oszilloskops synchronisiert und das Signal wird als
ruhige stehende Kurve auf dem Bildschirm sichtbar. Soll das zu messende Signal die
Triggerquelle (Trigger Source) sein, muß der Knopf auf Y1 oder Y2 (je nach Kanal)
stehen. Mit Extern (Ext.) können jedoch auch externe Signalquellen genutzt werden.
Auch das Triggersignal kann mit dem Knopf Trigger Coupling DC oder AC (Kondensator) angekoppelt werden. Der Knopf Trigger Mode bestimmt den Triggermodus auto=automatik, norm=normal, TV=Fernsehzeilen etc.
Funktion: Der Trigger liefert sein Startsignale wenn das Triggersignal einen bestimmten
Spannungswert (=Level - Knopf) über- oder unterschreitet (=Slope - Knopf).
Schematischer Aufbau der Funktionseinheiten:
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1.3 Die wichtigsten Bedienelemente des Oszilloskops:
Zur Bildröhre:
1. Intensität (Intensity):
Hiermit wird die Vorspannung des Wehneltzylinders und damit die Strahlbildhelligkeit eingestellt.
2. Focus (Focus):
Hiermit wird die Strahlschärfe eingestellt.
3. Astigmatismus (Astigmatism):
Manchmal ergibt sich in Bildmitte ein scharfer Leuchtpunkt, am Bildrand jedoch
nicht, oder umgekehrt. In diesem Falle kann die Schärfe mit Hilfe des Einstellers
“Astigmatismus” korrigiert werden. Man stellt das Strahlbild zunächst mit “Astigmatismus” gleichmäßig unscharf und dann mit “Focus” scharf. Der Einsteller
“Astigmatismus” ist nicht immer vorgesehen.
Digitaloszilloskope zeigen auf dem Bildschirm Messwerte, Einstellungen oder auch einen Cursor an. Deren Helligkeit ist oft separat regelbar (sog. Readout).
Das Triggersystem:
4. Niveau (Level):
Hier wird der Wert des Triggerniveaus UTr eingestellt, bei dem die Zeitablenkung
und damit das Bild einsetzen soll. Erreicht der Vorgang Uy (t) das Triggerniveau
nicht, dann bleibt der Strahl stets dunkelgesteuert.
5. Flanke (Slope):
Man sieht in Bild unten, dass ein eingestelltes Triggerniveau UTr mit der abzubildenden Funktion Uy (t) innerhalb jeder Periode jeweils zwei Schnittpunkte ergibt,
einen im ansteigenden Teil (+) und einen im fallenden Teil (-) einer Halbschwingung. Mit Hilfe des Schalters “Flanke” wird der Triggerschaltung dann zusätzlich
angegeben, ob die Zeitablenkung im Bereich der ansteigenden oder der abfallenden Flanke einsetzen soll. Dieser Schalter ist demnach in der Regel nur mit “+“
oder “-” beschriftet; er kann auch mit anderen Schalterfunktionen kombiniert sein.
6. Signalbeispiel Uy (t) : / Bildschirm
Level
Slope
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7. Automatik (Automatic, AT):
Zu Beginn einer Messung ist man sich nicht gleich darüber klar, ob der Verstärkungsfaktor des Gerätes so eingestellt ist, dass das Triggerniveau UTr tatsächlich
erreicht werden kann. Für diesen Fall enthalten die meisten Oszilloskope eine AuAT Level
tomatikschaltung die zunächst sicherstellt, dass erst einmal überhaupt irgendein orientierendes Bild erscheint. Nachdem alle vorbereitenden Einstellungen erledigt
sind, geht man dann zur normalen Niveautriggerung über.
8. Triggerquelle (Trigger Source):
Intern, Extern, Netz (Line). Hiermit kann vorgewählt werden, ob das für die Steuerung der Horizontalablenkung erforderliche Triggersignal Uy (t) intern aus dem y-Kanal bezogen, über
einen besonderen Eingang extern zugeführt oder intern von der Netzfrequenz abge1eitet werden
soll. Für verschiedene Darstellungsaufgaben ist jeweils das eine oder andere Verfahren vorteilhafter.
Zeitablenkung (X Achse) und Messsignal (Y-Achse):
9. Zeitmaßstab (Time/Div, ms/Div):
Zeitmaßstab der Horizontalablenkung, meist grob und fein einstellbar. Man
beachte, dass der am Grobschalter aufgedruckte Zeitmaßstab nur dann zutrifft, wenn der Feineinsteller eine bestimmte Raststellung einnimmt. Ist der
Feineinsteller nicht eingerastet, lässt sich die Kurve auf dem Bildschirm stufenlos in X-Richtung stauchen/dehnen (Faktor 2…5). Damit stimmt der Maßstab nicht mehr und die Ablesung führt zu verheerenden Messfehlern. Digitaloszilloskope zeigen für den Maßstab (Bsp. 5ms) ganz unauffällig >5ms oder
<5ms anstatt =5ms.
10. Y-Maßstab (Ampl/Div, V/Div):
Ebenfalls meist grob und fein einstellbar. Auch hier gilt der am Grobschalter
aufgedruckte Maßstabsfaktor nur dann, wenn der Feineinsteller eine bestimmte Raststellung einnimmt. Ist der Feineinsteller nicht eingerastet, lässt
sich die Kurve auf dem Bildschirm stufenlos in Y-Richtung stauchen/dehnen
(Faktor 2…5). Damit stimmt der Maßstab wieder nicht mehr und die Ablesung führt zu Messmist. Digitaloszilloskope zeigen für den Maßstab (Bsp.
5mV) ganz unauffällig >5mV oder <5mV anstatt =5mV.
11. X-Maßstab, Magnitude :
Der Zeitmaßstab lässt sich mittels Schalter/Taste grob umstellen. Eine
Magnitude von 5 (10) wirkt wie eine Zoomfaktor 5 (10) auf der X-Achse.
Dadurch lassen sich Details eines Signals wie mit der Lupe beobachten.
12.AC-DC-Gnd (0)
Dieser Schalter ist stets einem Signaleingang zugeordnet und hat folgende
Funktion:
Stellung AC (Alternating current): Es wird nur der Wechselspannungsanteil des Eingangssignals übertragen.
Stellung DC (Direct current): Es wird der Gleichanteil und der Wechselanteil des Eingangssignals übertragen.
Stellung 0: Der Eingang ist inaktiv, er nimmt kein Signal an. Diese Einstellung dient zur Kontrolle der Ruhelage des Strahlbildes. (0V-Referenz)
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13. Strahllage Y (Y Position):
Hiermit kann die Ruhelage des Elektronenstrahls in y-Richtung verändert werden.
Die Kurve kann auf dem Bildschirm weiter oben oder unten positioniert werden.
14. Strahllage X (X Position):
Hiermit kann die Ruhelage des Elektronenstrahls in x-Richtung verändert werden.
Die Kurve kann auf dem Bildschirm nach links oder rechts verschoben werden.
Bei 2-Kanaloszilloskopen zur (simultanen) Darstellung von 2 Messsignalen:
Grundproblem: Es sollen zwei zeitliche Funktionen auf dem Bildschirm gezeichnet werden, dafür steht jedoch nur ein Elektronenstrahl (Zeichenstift) zur Verfügung. (Beim Computer mit einer CPU laufen scheinbar auch mehrere Programme „gleichzeitig“ ab). Zur Lösung des „Gleichzeitigkeitsproblems“ gibt es folgende Verfahren:
15. Hackbetrieb (Chopped):
Der Elektronenstrahl springt sehr schnell zwischen beiden abzubildenden Vorgängen hin und her. Diese Betriebsart ist für die Abbildung langsamer Vorgänge
zweckmäßig.
16. Wechselbetrieb (Alternate):
Es wird immer abwechselnd der erste Vorgang vollständig geschrieben, dann der
zweite, dann wieder der erste, usw. Diese Betriebsart ist für die Abbildung von
Vorgängen höherer Frequenz zweckmäßig. Man wählt die Betriebsart so, dass ein
ungestörtes und flimmerfreies Gesamtbild entsteht. Bei manchen Geräten wird die
Betriebsart in Abhängigkeit vom eingestellten Zeitmaßstab zwangsweise vorgegeben.
17. ADD-Betrieb:
Die Signale der Kanäle Y1 und Y2 werden addiert un mit einer Kurve dargestellt.
18. Trigger Ch1/Ch II:
Bei zwei Kanälen kann die Triggerung mit internem Signal durch Wahl des Kanals variiert werden. Es kann entweder stets durch Kanal 1 (CH I) getriggert werden oder durch Kanal 2 (CH 2). Manche Oszilloskope gestatten auch einen alternate Trigger abwechselnd durch CH I / CH II.
Für die folgenden Übungen zur Messung & Ablesung mit dem Oszilloskop beachten sie bitte
auch die Grundlagen zur Fehlerrechnung in Kap.2
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1.4 Übungen: Messungen mit dem Oszilloskop
Abweichungsannahmen: Die Ablesegenauigkeit des Oszilloskops ist wegen der Fokussierung
des Elektronenstrahls beschränkt. Rauschen und Störungen des Messsignals verschlechtern die
Auflösung orts- und versuchsbedingt erheblich. Für die relativ störungsarme Laborumgebung
nehmen wir eine Ablesegenauigkeit von 0.1 Div an.
Messung einer Gleichspannung:
Im Messbereich 0.5V/Div wird eine Batterie nebenstehend geMessen. (⎯⎯ = Nulllinie, ⋅⋅⋅⋅⋅ = Messung).
Ergebnis:
Ubatterie = Umess – Unull = mb (Smess – Snull) = 0.5V/Div⋅3Div = 1.5V
Max. Absolute Messabweichung: ΔSxx = 0.1Div
ΔUbatterie = mb⋅(ΔSmess +ΔSnull ) = 0.5V/Div ⋅ 0.2Div = 0.1V
Relative Messabweichung: Er = ΔUbatterie /Ubatterie = 0.1V/1.5V = 0.0677.. = 6.77%
Lerne: Anwendung der Fehlerfortpflanzung führt zur Addition der Fehler bei Differenzbildung
1. Messung einer Wechselspannung (Sinus):
Im Messbereich 5V/Div, 5ms/Div wird ein Trafo nebenstehend
gemessen. (⎯⎯ = Nulllinie, ⋅⋅⋅⋅⋅ = Messung).
Ergebnis:
Spitze-Spitze Utrafo =
USS = Umax – Umin = mb (Smax – Smin) = 5V/Div⋅7Div = 35V
Effektivwert:
Ueff = 0.5⋅√2 ⋅ US = 0.5⋅√2 ⋅ 0.5USS = 12.37V
Mittelwert: Um = 2/π ⋅ US = 2/π ⋅ 0.5USS = 11.14V
Frequenz: f = 1/T = 1/(5ms/Div⋅4Div) = 50Hz
Max. Absolute Messabweichung: ΔSxx = 0.1Div
ΔUtrafo = mb⋅(Δ Smax +Δ Smin) = 5V/Div ⋅ 0.2Div = 1V, analog ΔT=1ms, Δf=1/T2⋅ΔT = 2.5Hz
Entsprechend für Mittelwert und Effektivwert durch Multiplikation mit Faktor.
Relative Messabweichung: UEr = Δ Utrafo / Utrafo = 1V/35V = 0.0286 = 2.86%, Ufr = 5%
Frage: Weshalb ist hier die relative Abweichung kleiner als in Aufg.1?
Lerne: Richtige Auswahl des Messbereichs zur Minimierung der Abweichung.
2. Messung einer Gleich+Wechselspannung :
Im Messbereich 5V/Div, 10ms/Div wird gemessen:
Ergebnis:
Spitze-Spitze Utrafo =
AC: USS = Umax – Umin = mb (Smax – Smin) = 5V/Div⋅5Div = 25V
f = 1/T = 1/30ms = 33.3Hz
DC ist der Mittelwert Um:
Um = 1/T⋅∫U(t)dt = .... = (Umax+Umin)/2= (30+5)/2 V = 17.5V
Schwieriger der Effektivwert:
Ueff = 1/T⋅√∫U(t)2dt = ... = √25+125+625/3 = 18.93V
...z.B.: U(t)= Umin+ (Umax+Umin)⋅t
hier:
5+25⋅t und t 2Div=[0..1]
Abweichung: ΔUm = (ΔUmax+ΔUmin)/2 = 5V/Div ⋅ 0.1Div = 0.5V
(schwierig:) ΔUeff = ... Anleitung: 1. obige Funktion quadratisch integrieren, ausrechnen.
2. Ableitungen bilden, Gaußsche Abweichungsfortpflanzung
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2.0 Messtechnische Grundbegriffe (Weitere Versuche)
2.1 Messabweichungen (n. DIN 1319)
Eine Messabweichung ist die Abweichung (manchmal nicht DIN gerecht, aber
gewohnheitsmäßig “Fehler” genannt) eines aus Messungen gewonnenen und der Messgröße
zugeordneten Wertes vom wahren Wert. Der Messgröße wird dabei zugeordnet:
• der Messwert selbst
Es ist anzugeben welcher
• das unberichtigte Messergebnis (s.u.)
Wert dargestellt ist!
• das Messergebnis
Absolute Messabweichung:
Messabweichung = gemessener Wert – wahrer Wert
Beachte, die absolute Abweichung hat in der Regel eine physikal Einheit (und zwar die des
Messwerts): z.B. N, mm etc.
Relative Messabweichung:
Relative Messabweichung = Messabweichung/Bezugswert
Beachte, die relative Abweichung ist immer dimensionlos. Oft wird sie in % des Bezugswerts
angegeben. Bei kleiner Messabweichung kann näherungsweise als Bezugswert auch der
Messwert (anstatt des wahren Werts) verwendet werden.
2.1.1 Abweichungsarten
Grobe Messfehler:
Handhabungsfehler, Ablesefehler (falsche Skala), defektes Messgerät
Problematik: erstmal den Fehler erkennen!
Systematische
Abweichung:
Länge
- eindeutige Ursache
X
- definierter Betrag
- reproduzierbar
- nicht sofort erkennbar
Xm
Länge
X
Zeit
Kor
rektion
Xm
zufällige
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- Ablesungsschätzung des
ZeitBeobachters
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(statistische)
Abweichung:
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- Rauschen
- Reibung/Spiel im Messwerk
- Störungen
Länge
X
Xm
Zeit
Fehlerübersicht & Korrekturmaßnahmen:
Systematischer Fehler
(reproduzierbar)
Zufälliger Fehler
(nicht reproduzierbar)
Zeitlich:
Zeitlich:
Bekannte systematische Fehler
Wertmäßig:
Unbekannte systematische Fehler
Wertmäßig:
Korrigierbare Fehler
Nicht korrigierbare Fehler
Korrektion:
Korrektion:
Korrektion K:
Messergebnis
± Messunsicherheit
Weitere Abweichungsarten:
Statische Abweichung:
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Messung
-
wahrer Wert = Abweichung
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Dynamische Abweichung:
Masse
M
M0
Beispiele:
Messung des Maschinenölverbrauchs
durch Öl ablassen und auswiegen:
Zeit t
Schwingung einer Waage bei Lastauflage:
Masse
M
MW
Zeit t
2.2 Statistik der Abweichungen
Begriffe:
Σx
Mittelwert
xm = (x1 + x2 +…. + xn) / n =1/n ⋅
Erwartungswert
µ = limn→∞ xm = lim n→∞ 1/n⋅
Varianz
σ2 = lim n→∞ 1/n⋅
Standardabweichung
σ=
Streuung
s=
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Σx
i
i
Σ (x -µ)
√ lim
√
n→∞
1/(n-1) ⋅
i
1/n⋅
Σ
2
Σ (x -µ)
i
2
2
(xi -xm)
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Beispiel:
Eine Stichprobe n=50 Nägel der Länge l=100mm wird gemessen. Die Einteilung der Messwerte
erfolgt in Intervalle Δx=1.
Absolute Häufigkeit der Messung :
(= Füllung des Intervalls)
Δn
Relative Häufigkeit der Messung:
Δn / n
Summenhäufigkeit:
Sx =
Häufigkeitsdichte:
hx = Δn / (n⋅Δx)
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ΣΔn / n
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Wird das Messintervall Δx reduziert von z.B. 1mm auf 0.1mm verbleiben nur ein bis zwei Messungen pro Intervall Δx, die relative Häufigkeit beträgt nur einige %. Für eine genauere Verteilung müssen dann mehr Stichproben n vermessen werden. Also wäre z.B. n=50 auf n=500 zu
erhöhen. Für große n, mathematisch n→∞ wird eine kontinuierliche Verteilung erreicht.
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2.3 Normalverteilung (Gaussverteilung)
In der Messtechnik sind an der Genauigkeitsgrenze der Messgeräte viele Zufallsprozesse beteiligt. Die Überlagerung dieser Zufallsprozesse führt nicht zu einer exakten und einzigen Messzahl, sondern zu einer Schwankung der Messzahlen in der Nähe des wahren Messwerts. Die
Schwankung, d.h. die Wahrscheinlichkeit einer Messung wird dabei durch die Gaußsche Normalverteilung beschrieben.
Im Folgenden ist für den Erwartungswert µ=100 und einer Standardabweichung σ = 10 die Häufigkeitsdichtefunktion h(x) und Summenhäufigkeit Sx dargestellt.
Normalverteilung (Gauß)
Sx
h(x)*10
1,2
0,45
0,4
1
0,35
0,8
0,3
0,2
0,4
h(x)*10
Sx
0,25
0,6
0,15
0,1
0,2
0,05
0
50
70
90
110
130
0
150
X (µ=100)
Die Häufigkeitsdichtefunktion h(x) ist eine symmetrische
e-Funktion (die auch als Gaußsche Glockenkurve
bezeichnet wird):
h(x) =
Die Summenhäufigkeit Sx als Integral über die Glockenkurve (sie ist die Wahrscheinlichkeit
aller Messungen) muss natürlich gleich 1 = 100% sein. Da die Gaußfunktion analytisch nicht
integrierbar ist (wohl aber numerisch) findet man Sx in Tabellen bzw. als Computerfunktion.
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h(x)
Normalv erteilung (Gauß)
0,045
0,04
0,035
h(x)
0,03
0,025
0,02
0,015
0,01
0,005
0
60
70
80
90
100
110
120
130
140
X (µ=100)
Relevanz in der Messtechnik:
Von z.B. N =100 Messungen liegen bei statistischer Verteilung →
Im Intervall µ - 1σ < X < µ +1σ :
68,3%
Im Intervall µ - 2σ < X < µ +2σ :
95,5%
Im Intervall µ - 3σ < X < µ +3σ :
99,7%
2.4 Messunsicherheit und Vertrauensniveau
Die Gaußsche Verteilung der zufälligen Abweichung führt zur Messunsicherheit. Die Gaußsche
Verteilung wird nur für eine sehr große Zahl N von Messungen – streng N→∝ - erreicht. Um
Kosten zu sparen wird in der Praxis die Zahl der Messungen möglichst klein gehalten. Als Folge
vergrößert sich der durch die Standardabweichung gegebene Vertrauensbereich. Für kleinere N
ersetzt die Streuung s die Standardabweichung σ.
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h(x)
Normalv erteilung (Gauß)
Xm
0,045
0,04
0,035
h(x)
0,03
0,025
0,02
0,015
0,01
0,005
0
60
70
80
90
100
110
120
130
140
X (µ=100)
Sei Xm ein Mittelwert aus einer Stichprobe von N Messungen. Der wahre Wert µ ist nicht bekannt, aber er liegt in der Nähe von Xm .
Mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit (wir nennen sie) P liegt der wahre Wert µ in einem Intervall ±uz um Xm herum. Mathematisch bedeutet das mit einer Wahrscheinlichkeit P gilt:
Xm - uz < µ < Xm +uz
Wie kann die Größe des Intervalls ±uz berechnet werden ?
In Abhängigkeit der Wahrscheinlichkeit, dem so genannten Vertrauensniveau P wird uz mit dem
Studentschen Vertrauensfaktor (kein Witz!) t wie folgt berechnet:
uz = t ⋅ s / √ N
Tabelle für Vertrauensfaktor t :
Bsp. N=5
1,15
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2,78
4,6
(für folgendes Musterbeispiel)
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Beispiel:
Eine Zulieferung von Werkstücken wird im Wareneingang geprüft auf Maßhaltigkeit. Eines der
Maße von 50mm wird in der Zulieferung mit einer Standardabweichung von +/- 0.1mm angegeben.
1. (einfache) Frage: Wieviel % der Ware ist als Ausschuss zu betrachten wenn die zulässige Toleranz a) +/- 0.2mm und b) +/-0.3mm beträgt?
a)
b)
2. Wir ziehen eine Stichprobe von N=5 aus der Lieferung. Die Messungen ergebne für dir Stichprobe:
Xm = 49.94 mm und eine Streuung s = 0.08 mm
Ist die Fertigung der Werkstücke korrekt oder liegt ein Fertigungsfehler vor und die Produktion
des Zulieferers müsste korrigiert werden ?
Dazu berechnen wir das Vertrauensniveau:
2. Beispiel
Das Maß eines Werkstücks mit einer Stichprobe N=10 ergibt Xm = 100 mm mit einer Streuung
von s = 1mm.
1. In welchem Bereich befindet sich der wahre Mittelwert der ganzen Lieferung mit einer
68,3%igen Wahrscheinlichkeit (typ. in der Physik)
2. In welchem Bereich befindet sich der wahre Mittelwert der ganzen Lieferung mit einer
95%igen Wahrscheinlichkeit (nach DIN).
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2.5 Abweichungsfortpflanzung
Die Abweichungsfortpflanzung folgt den Regeln der Gaußschen Fehlerfortpflanzung. Eine nähere Beschreibung findet man in der Literatur (z.B. Kuchling, TB der Physik). Dazu folgendes Beispiel:
Die Masse m (bzw. Volumen V) eines Vollzylinders ist bei gegebenem Werkstoff von seiner
Größe wie folgt abhängig:
Masse
M
Masse
M
Zylinderhöhe h
Toleranz
Δh
Toleranz
Δr
Zylinderradius r
Eine Fertigungstoleranz Δh in der Höhe bzw. Δr im Radius/Durchmesser wirkt sich unterschiedlich auf die Massenschwankung Δm aus. Für die Zylindermasse mZ gilt:
mZ = ρ ⋅ V = ρ ⋅ π ⋅ h ⋅ r2
Sie ist abhängig von zwei Variablen x1, x2 mit x1 =h und x2 =r. Allgemein ist jede Funktion f von
k Variablen:
f(x1, x2 , …..xk)
Die Berechnung der Ableitung einer Funktion f(xi) geschieht durch den Differentialquotienten
df(xi) / dxi = Δf(xi) / Δxi mit Δxi → 0. Für kleine Δxi ist der Differenzenquotient gleich dem Differentialquotienten. Daher kann aus der Ableitung der Funktion die Änderung des Funktionswerts Δf(xi) berechnet werden für eine bekannte Toleranz Δxi der Variablen xi.
f ’(xi) =df(xi) / dx ≅ / Δxi … also ist:
Δf(xi) ≅ f ’(xi) ⋅Δxi
Für eine Funktion mehrere Variablen xi muss die Ableitung nach xi durch die partielle Ableitung
ersetzt werden:
f ’(xi) =δf(xi) / δxi
und die Änderung des Funktionswerts Δf(xi) – das totale Differential - dazu erweitert werden:
Δf(x1, x2 , …..xk) =
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Σ (δf(x ) / δx )⋅ Δx
i
i
i
für i=1….k
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Allgemeine Grundlage der Fehlerfortpflanzung ist daher das totale Differential der Funktion des
Messergebnisses. Im totalen Differential wirkt sich z.B. die Vergrößerung des Radius oder der
Höhe mit einer entsprechenden Vergrößerung des Volumens aus. In der Messtechnik ist die Eingangsvariable mit ihrer/m Toleranz/Fehler vom Vorzeichen her meistens nicht bekannt. Das
führt dazu, dass sich Fehler auch teilweise kompensieren. Eine zu große Höhe wird durch einen
kleineren Radius weniger wirksam. Für die Verarbeitung der Fehlerbeiträge Δf(xi) gibt es daher
2 Möglichkeiten:
1. Im Gaußschen Ansatz werden die Fehlerbeiträge (partielle Differentiale ⋅ Fehler der Messgröße) quadratisch addiert. Dies gilt immer wenn
die Variablenfehler unabhängig voneinander sind.
Daher heißt dieser Fehler statistischer Fehler oder
auch Gaußscher Fehler. Es gilt:
Δfgauß =
√Σ [(δf(x ) / δx )⋅ Δx ]
i
i
i
2
für i=1….k
(Realistische Annahme)
2. Im schlimmsten Fall sind alle Toleranzen/Fehler so, dass sie sich immer addieren. Man
erhält also den maximal möglichen Fehler (s.a.
Murphys Law). Dazu werden die Fehlerbeiträge
(partielle Differentiale ⋅ Fehler der Messgröße)
betragsmäßig addiert.
Δfmax =
Σ |(δf(x ) / δx )⋅ Δx |
i
i
i
für i=1….k
(Pessimistische Annahme)
Eine weitere Diskussion der Abweichungsfortpflanzung findet auf nachfolgenden Arbeitsblättern
statt, vgl. dazu auch die Literatur.
2.6 Kennlinien, Empfindlichkeit, Messgenauigkeit
In der Messtechnik wird häufig eine physikalische Messgröße (z.B. Druck) Xe einem Sensor zugeführt. Dieser setzt die physikalische Größe in ein Ausgangssignal Xa um. Das kann ein elektrisches Signal sein, ein Digitaldisplay oder eine Datenleitung.
Messgröße
Eingangsgröße
Erregung
Sensor
(Messwertaufnehmer
)
MessInformationsfluss
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Ausgangssignal
Ausgangsgröße
Antwort
Anzeige …
kette
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Die Kurve die den Zusammenhang zwischen Eingangsgröße Xe (Messgröße) und Ausgangsgröße Xa beschreibt ist die Kennlinie des Messgeräts. Leider ist diese nicht immer genügend linear,
unten dazu ein Beispiel:
Ausgangssignal
Xa
Xe,Messgröße
Je größer die Änderung ΔXa des Ausgangssignals ist bei gegebener Änderung (Balken) der
Messgröße ΔXe, desto höher ist die Empfindlichkeit E des Messgeräts. E ist also gleich dem Differentialquotienten:
Empfindlichkeit:
E = dXa /dXe
≅
ΔXa /ΔXe
Wegen der nichtlinearen Kennlinie ist im obigen Beispiel sogar E noch nicht einmal konstant,
sondern nimmt mit wachsender Messgröße zu. Das bedeutet auch, dass das Messgerät für kleine
Signale weniger empfindlich ist.
Toleranzbänder
Selbst nach Maßnahmen zur Linearisierung verbleiben Restfehler. Dazu kommen weitere Geräteungenauigkeiten. Um die Güte des Messgeräts zu kennzeichnen muss eine Abweichungsangabe erfolgen. Wird diese Abweichung ± berücksichtigt, ergibt sich um die Kennlinie ein Band –
das Toleranzband. Bei vorgegebener Messgröße muss die Anzeige des Messgeräts sich innerhalb
des Toleranzbands befinden.
Die Abweichung kann als absoluter Gerätefehler (zB. 0.1 Bar, 0,5°C ….) mit Dimension angegeben werden oder als relativer Gerätefehler der dimensionslos ist (meist % Angabe).
Manche Messgeräte haben auch kombinierte Fehler.
Im Zweifelsfall fragen Sie ihre Betriebs- oder Bedienungsanleitung…..
Nachfolgend einige Beispiele. Siehe dazu auch nächstes Kapitel Genauigkeitsklassen.
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Ausgangssignal
Absoluter
Gerätefehler
Messgröße
Ausgangssignal
Relativer
Gerätefehler
Messgröße
Ausgangssignal
Kombinierter
Gerätefehler
Messgröße
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Nichtlineare Kennlinien
Um eine nichtlineare Kennlinie durch eine lineare Funktion zu approximieren gibt es
verschiedene Verfahren. Jedes Verfahren benötigt dazu ein bestimmtes Toleranzband welches
das Messgerät in Anspruch nimmt. Das Verfahren legt damit auch die Genauigkeitsklasse des
Messgeräts fest
Ausgangssignal
100%Festpunkteinstellung:
Grenzpunkte u./o.
Toleranzbandeinstel-
Messgröße
0% _
| 0%
100%-
|
100%
Ausgangssignal
Toleranzbandeinstellung:
Kleinstabweichung oder „Fit“
Ideale
Kennlinie
Messgröße
0% _
| 0%
100%-
Ideale
Kennlinie
|
100%
Ausgangssignal
Anfangspunkteinstellung:
Nullpunkt & Restfit
Messgröße
0% _
| 0%
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Ideale
Kennlinie
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|
100%
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Weitere Kennlinien – Eigenschaften
Ausgangssignal
Ansprechwert
Klasse, die
ersten 0,5 °/00
kosten nix.
Der Mindestwert der
Messgröße für das Ansprechen des Messgeräts
(Anzeige > 0)
Messgröße
Ausgangssignal
Umkehrspanne
Die Kennlinie für wachsende Messgröße ist
nicht identisch mit der
für fallende Messgröße.
Das Messgerät wird dadurch unempfindlicher.
(Spiel)
Messgröße
Ausgangssignal
ΔXa
ΔXe
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Die Auflösung ist die Änderung ΔXe der Messgröße für
eine gegebene Änderung ΔXa
der Anzeige. Insbesondere ist
die kleinste Anzeigenänderung ΔXa die gerade noch
messbare (auflösbare) Größenänderung ΔXe.
Es gilt A=ΔXe /ΔXa = 1/E
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Messgröße
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Messgenauigkeit
1. Bei Messgeräten ist die Messgenauigkeit aus der Betriebsanleitung ersichtlich. Bei Digitalvoltmetern ist die Messgenauigkeit meistens ein kombinierter Fehler. Dieser besteht
aus
• A) Digitalisierungsfehler (d. Anzeige):
75
Die Anzeige muss auf die letzte sichtbare Ziffer gerundet werden,
also eine Abweichung von ± 0.5⋅ kleinste Ziffer. Bsp.: Anzeige
sei 2,08V = 2080mV. Der wahre Wert kann jedoch 2084,9mV
(abgerundet) oder 2075mV (aufgerundet) betragen. Die Abweichung ist also ±5mV = ½ kleinste Ziffer = ½ ⋅ 10mV
849
2.08
•
B) Ein prozentualer Fehler von der Anzeige, dies ist eine relative
Abweichung. Bsp.: 0,5% von der Anzeige → 0.005 ⋅ 2.08V =
10,4mV
•
C) Ein prozentualer Fehler vom Messbereich (Endwert, Skalenendwert), dies ist eine absolute Abweichung im Messbereich.
Bsp.: 0,2% vom Endwert, Messbereich sei 20V → 0.002 ⋅ 20V =
40mV
Die meisten Digitalvoltmeter haben einen kombinierten Fehler A)+B) oder A)+C) oder
A)+B)+C).
2. Bei den im Labor zu messenden Sensoren muss diese Messgenauigkeit erst ermittelt werden. Bsp.: Die Messgenauigkeit des
SpanWegsensors wird in mm angegeben, die
nung
Messung erfasst die Spannung des Senin mV
sors in mV. Aus 2 Referenzmessungen
1
(Nr.1,2) kann die Kennlinie des Sensors
ermittelt werden (rot). Exakt hat die
3
2
Kennlinie bereits einen Fehler in ihrer
Steigung m, da die Referenzmessungen
1,2 (blau) fehlerbehaftet sind, im Folgenden wird der Fehler in m zur Vereinfachung nicht betrachtet. Damit ist die
Weg in
Kennlinie „scharf“ und hat mathematisch
mm
eine Geradengleichung der Form:
X = mY +b → Weg = m⋅Spannung + Offset
Nun erfolgt eine weitere Messung 3 (gelb). Klar, wenn man die „gelbe“ Spannung in obige
Formel einsetzt erhält man den „gelben“ Weg.
….
… Die gelbe Messung 3 hat einen gelben Fehler (Fehlerbalken)
Folgt man der Gaußschen Fehlerfortpflanzung und wendet diese
auf die Geradengleichung an, so wird der gelbe Fehler von xf mV
zum Wegfehler = Messgenauigkeit durch m⋅ xf in mm, denn die Steigung m gibt die Empfindlichkeit mm/mV an.
Ist die Kennlinie nicht linear müssen die Referenzmessungen 1,2 dicht neben der Messung 3
gewählt werden, so dass der betreffenden Teil der Kennlinie hinreichend linear ist (s.u. Bsp.)
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Übungen zur Messgenauigkeit und Abweichungsfortpflanzung:
Ein Messgerät/Sensor besitzt eine nichtlineare Kennlinie. Mit Präzissionsdistanzstücken wird
das Messgerät/Sensor an folgenden Kalibrierpunkten 1; 3 mit einem 3½ stelligen DVM
gemessen:
Usens
2,49 V
2,74 V
3,15 V
Distanz
7 mm
5 mm
3 mm
23,5 mV
23,7 mV
24,1 mV
Δ Usens
Die Abweichung für das DVM ergibt sich nach Betriebsanleitung zu
Δ Usens = Ea = 0.1% v.E + 0.1% v.A. + 1Digit (von: Endwert=Messbereich, Anzeige)
Grafische Veranschaulichung der Kalibrierung 1; 3:
U
Wir Punkte
sind für 2
nicht relevant
Rechnerisch lässt sich die Messung umsetzen:
Steigung zwischen 1 – 3: ⋅⋅⋅⋅⋅
Sei m = (s1-s3) /(U1 – U3)/ = 4mm/-0.66V = -6mm/V
Fehler in 2: φ = ΔUsens2 = 23.7mV (Tabelle)
Δs
Messgenauigkeit Δs in 2:
3
2
1
s
Δs2 =| Δ Usens2 / m | = 23,7mV⋅ 6mm/V = 0.142mm
Beachte: Δs ist nicht konstant und wird für große Distanz sehr groß (ungenaue Messung).
Abweichungsfortpflanzung:
Nebenstehende Kupfernieten in Massenfertigung sollen stückzahlmäßig (ca.
200St.) verpackt werden. Am kostengünstigsten wird ihre Stückzahl durch
Wiegen bestimmt.
a) Wie groß ist der maximale relative Gewichtsfehler
b) Wieviel Stück “Fehler” sind bei einer 1kg Packung zu erwarten? ρCu=8.9
g/cm3
Maße: Kopf - ∅ dK = 10 mm , Stift-∅ dS = 5 mm, Gesamtlänge: 20 mm
Fertigungstoleranz des Automaten ist 0.1 mm, alle Maße.
Volumen = V = VolHalbkugel + VolZylinder = 2⋅π/3 ⋅rk3 + π⋅rs2⋅h = 556,3 mm3 (→ 4,95 g)
Bildung des Fehlers ΔV aus partiellen Ableitungen (Gaußsche Fehlerfortpflanzung):
dv = ∂V/∂rk⋅drk + ∂V/∂rs⋅drs + ∂V/∂h⋅dh = 2⋅π⋅rk2⋅drk + 2π⋅rs⋅h⋅drs + π⋅rs2⋅dh
Aus totalem Differential dV wird die Abweichung ΔV in dem Δrk , drk etc. ersetzt:
ΔV = ∂V/∂rk ⋅Δrk + ∂V/∂rs⋅Δrs + ∂V/∂h⋅Δh = 2⋅π⋅rk2⋅Δrk + 2π⋅rs⋅h⋅Δrs + π⋅rs2⋅Δh
= 50⋅π⋅ 0.1 mm3 + 75⋅π⋅ 0.1 mm3 + 6,25⋅π⋅ 0.1 mm3 = 41,23 mm3 (→ 0,367g)
Antwort a) : Er = ΔV/V = 0.074 (= 7,4%)
b) Sollzahl: Z = M/mstück = 1000g/4,95g = 202 St. (pro Packung)
Abweichung: ΔZ = ∂Z/∂mstück ⋅Δmstück = | -M/mstück2 ⋅Δmstück | = 14,97 ≈ ±15 Stück.
Sind die Fertigungstoleranzen unabhängig verteilt, ergibt sich als wahrscheinlichster Fehler der
gaußsche Fehler. Die drei Fehlerbeiträge sind dann nicht betragsmäßig sondern nur noch quadratisch zu addieren. Übung: Verifiziere gaußschen Fehler: Er = 5,1%
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Grundlagen der physikalischen Messtechnik
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2.7 Genauigkeitsklassen
(Genauigkeitsklassen nach DIN EN 60051)
„Ein direkt wirkendes anzeigendes Messgerät wird durch ein Klassenzeichen in Form einer Zahl
einer bestimmten Genauigkeitsklasse zugeordnet. Wenn sich das Messgerät ( ggf. zusammen
mit seinem Zubehör) unter Referenzbedingungen (oder Betriebsbedingungen) befindet und innerhalb der Grenzen seines Messbereiches nach den Angaben des Herstellers betrieben wird,
dann darf die Eigenabweichung, ausgedrückt in Prozenten des Bezugswertes, dem Betrage nach
nicht den durch das Klassenzeichen festgelegten Wert überschreiten. Innerhalb der Grenzwertintervalle zwischen Referenzbedingung oder Referenzbereich und Nenngebrauchsbereich darf ein
Einflusseffekt im Standardfalle ebenfalls den durch das Klassenzeichen vorgegebenen Wert
nicht überschreiten; in vielen Fällen nur die Hälfte davon, in manchen Fällen aber auch ein
Mehrfaches davon, vgl. DIN EN 60051 Teile 1 bis 9!“
Klassenzeichen müssen aus der Zahlenfolge 1 – 2 - 5 und deren dekadischen Vielfachen oder
Bruchteilen gewählt werden. Zusätzlich dürfen die Klassenzeichen 0,3; 1,5; 2,5 und 3 für Messgeräte, das Klassenzeichen 0,15 für Frequenz-Messgeräte und das Klassenzeichen 0,3 für Zubehör verwendet werden. Danach ergibt sich für die am häufigsten vorkommenden Klassenzeichen
folgende Übersicht:
Klassenzeichen Höchstbetrag der bezogenen Eigenabweichung in Prozent:
0,02 0,05 0,1
(0, 15)
0,2
Feinmessgeräte
0,3
0,5
1
1,5
2
2,5
3
5
10
20
Betriebsmessgeräte
2.8 Messwertdarstellung
Die Messwertdarstellung in korrekter Schriftform umfasst Messzahl, Einheit und Abweichung:
Bsp.: Schreibweise
Äquidistanter Font:
8,47 N ± 0,42 N
8,47 N ± 0,42 N
---------------
Messzahl und Einheit sowie die Abweichung sind jeweils durch ein Leerzeichen getrennt.
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Die Messwertdarstellung in grafischer Form umfasst:
5.
6.
7.
8.
Achsen
Einheiten & Skala
Messpunkte
Ausgleichskurve bzw.
theoretische Kurve
1. Abweichung der Messpunkte
2. Hilfslinien, Gitter
3. Titel
4. Datum/Uhrzeit, Prüfer etc.
9. ggf. Korrektur grober Fehler
Motor FSI 1400 S/N: 08 15 2009
Datum: 1.4.1886
Gemessen: G.Daimler & W .Maybach
Bad Canstatt, Halle 01
Drehmomentverlauf
Motorkutsche
Motorteststand 01
140
Drehmoment in Nm
120
100
80
60
40
20
0
0
1
2
3
4
5
6
Drehzahl in 1000 x rpm
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7
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2.9 Messsignal: Ausgabe & Übermittlung
Aufwand
Kosten
,
,
Genauigkeit Beispiele:
Reichweite
µ-Controller &
Software
Digital:
1888
Trägerfrequenz:
Amplitudenmoduliert
Frequenzmoduliert
Ana- | | | | |
log
Vorteile einzelner Verfahren:
•
Analog: Elektrisch meist am einfachsten, daher am billigsten. Analoge Verfahren zur
Messung können auch mechanisch direkt wirken (z.B. mechanische Waage etc.)
•
Trägerfrequenz: Trägerfrequenzverfahren sind analoge Verfahren. Man unterscheidet nach
Art der Modulation zwischen amplitudenmodulierten und frequenzmodulierten Signalen.
Zum einen sind Trägerfrequenzverfahren sehr störsicher und lassen sich über größere Distanzen übertragen. Da sie eine sehr hohe Messgenauigkeit erzielen, finden sie vor allem in
hochwertigen Industrie und in Präzissionsmessinstrumenten Anwendung.
•
Digital: Digitale Verfahren (unbeachtet einer eventuellen analogen Vorstufe, bzw.
Vorverstärker) haben allerhöchste Genauigkeit. Für wenige Euro sind bereits Signale mit 7 !!
Stellen Genauigkeit digitalisierbar. Die hohe Verarbeitungsgeschwindigkeit sorgt für eine
hohe Übermittlungskapazität und das bei enorm gesunkenen Kosten. Die Reichweite ist
vergleichbar mit dem Trägerfrequenzverfahren. Die digitale Übertragung kann seriell (eine
Leitung), parallel (8..16Bit) oder pulsweitenmoduliert (PWM, z.B. Servos im Modellbau) erfolgen.
•
Software: In der Automatisierung spielt das Übertragungsverfahren eine weniger gewichtige
Rolle und kann eines oder eine Kombination der vorausgegangenen sein. Dagegen ist der
wesentliche Aspekt die Übertragung der Messergebnisse in ein Netz, das zentral oder
dezentral gesteuert wird. Für die Vernetzung ist ein größerer Aufwand an Software
notwendig, zudem noch ein Hardwareaufwand in Form von µ-Controllern, Speichern und
Netzwerkanbindung (Interface) auftritt.
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2.10 Grundbegriffe von Schwingungen
Definitionen:
Schwingung:
Eine Schwingung ist ein periodischer Vorgang, bei der sich eine bzw. mehrere physikalische
Größen zeitlich regelmäßig ändern.
Harmonisch:
Der periodische Vorgang wird durch eine Sinus- bzw.
Cosinusfunktion
beschrieben.
In
physikalischen/mechanischen Systemen ist dies in der Regel
dann erfüllt, wenn das Objekt der Schwingung durch eine
Kraft in seine Ruhelage gezwungen wird, die der Auslenkung
aus der Ruhelage streng proportional ist.
Ungedämpft:
Die maximale Auslenkung = max. Amplitude =
Schwingungs-stärke ist zeitlich konstant. Normalerweise ist
diese Bedingung nicht erfüllt.
Gedämpft:
Die Schwingungstärke bzw. max. Amplitude nimmt im
zeitlichen Verlauf ab. In mechanischen Systemen sind in der
Regel Reibung, in elektrischen Systemen ohmscher
Widerstand (=Reibung für den Strom) Hauptursache der
Abnahme.
Die
Abnahme
erfolgt
mit
einer
Exponentialfunktion, in der die Dämpfung das
Abklingverhalten bestimmt. Starke Dämpfung führt zu
raschem Abklingen der Schwingung.
Weitere Begriffe:
Max. Amplitude Ŝ
S
= größter Ausschlag
Phasendifferenz
nachlaufende Phase
Nulllinie , Ruhelage
Zeitdauer, Periode T
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Zeit t
Frequenz:
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f=
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Funktionsbeschreibung:
Wie oben bereits erläutert lässt sich die harmonische Schwingung durch eine Sinus und/oder
Cosinusfunktion beschreiben. Am Beispiel einer mechanischen Schwingung sei die Auslenkung
der Weg s der Schwingung beschrieben durch:
Weg s der Schwingung:
1. s1(t) = ŝ ⋅ sin (ω⋅t)
Geschwindigkeit v der Schwingung (Schnelle)
oder
2. s2(t) = ŝ ⋅ sin (ω⋅t + Δϕ)
3. s3(t) = ŝ ⋅ cos (ω⋅t)
oder
oder ...
Durch
Ableitung
gelangt
man
v1(t) = ŝ ⋅ ....
.....
Dabei ist ω die Kreisfrequenz der Schwingung, d.h. die Winkelfunktion (sin,cos) durchläuft für
eine Schwingung (Ausflug mit Rückfahrkarte) den Wertebereich von 0° bis 360° oder 0 bis 2⋅π
Wie? Was?
Nochmal:
1 Schwingung ≡ 0...2⋅π >(Klar Mann! )
f Schwingungen ≡ 0...2⋅π⋅f (z.B in einer Sekunde)
Also für
Anstatt der 2⋅π⋅f im Argument des sin, cos schreibt man kürzer die Kreisfrequenz ω, so dass:
Weitere mathematische Begriffe:
Mittelwert:
Diskret bildet man den Mittelwert (Durchschnitt) aus Summe der Einzelwerte
durch Anzahl (vgl. Kap. 2.2), also z.B. Schnitt = Summe der Noten durch Anzahl.
Im kontinuierlichen Fall (jede msek eine Klausur) wird die Summe durch ein
Integral ersetzt, dass über die Länge der Periode (Semester) zu erfassen ist und
mit der das Integral schließlich dividiert wird:
Bildet man den Mittelwert der harmonischen Schwingung wird wegen des Sinus das Ergebnis:
sm = 0
(Was am Anfang des Semesters zuviel gearbeitet wird, wird später wieder hereingefaulenzt, sodass am Ende 0 herauskommt)
Dies gilt jedoch nicht für den Betragsmittelwert:
Und auch nicht für den Effektivwert (inbes. äquivalente elektrische Leistung P = I2⋅R = U2/R ):
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3V
Übungen:
Gegeben ist folgende Spannung:
0V, 0s
10ms
20ms
1. Berechnen sie Frequenz f , den Mittelwert, Betragsmittelwert und den Effektivwert der
Spannung unter Anwendung obiger Integralformeln.
(Lösung: f=100Hz, Um = 1.5V, Umb = 1.5V, Ueff = 1.73V)
2. Die Spannung werde um 1V nach unten verschoben, verläuft also von –1V bis +2V. Welche
Werte erhalten sie dann? (Lösung: f=100Hz, Um = 0.5V, Umb = ....anstrengen! ;-)
Gedämpfte Harmonische Schwingung:
In der Praxis klingen Schwingungen durch Reibung aus, wobei die Reibung die Energie der
Schwingung aufzehrt. Mathematisch wird das Abklingen durch die maximale Amplitude ŝ
beschrieben, die einer e-fkt gehorchend mit der Zeit exponentiell kleiner wird:
ŝ (t) = ŝ0 ⋅ exp (-t/τ) , dabei wird τ als Dämpfung (oder Abklingkonstante) bezeichnet.
Die gesamte Funktion ergibt sich daher zu: s1(t) = ŝ0 ⋅ exp (-t/τ) ⋅ sin (ω⋅t)
Eigenschwingungen:
Schwingungen mit der ein System nach (Impuls-)Anregung, z.B. Stoß, meist gedämpft ausklingt.
Grundschwingung:
Tiefste Frequenz in den Eigenschwingungen
Oberschwingung:
Höhere Frequenzen der Grundschwingung, wobei gilt: fober = n⋅f, n=2,3,4..
Lehrbeispiel: Schwingung d. Übung s.o.
Resonanz:
Bei einer periodischen Fremdanregung der Schwingung ergibt sich bei
bestimmten Frequenzen eine starke Amplitudenerhöhung. Nicht immer ist diese
Amplitudenerhöhung gewünscht, oft sogar schädlich: Beispiele: Erdbeben bringt
Haus zum Einsturz, Wind bringt Brücke ins Schlingern, Unwucht am Reifen
bringt Lenkrad zum Schlagen (natürlich nur bei passender Geschwindigkeit =
Raddrehfrequenz).
Resonanz – Dämpfung – Eigenfrequenz hängen mathematisch voneinander ab:
• Die Resonanzfrequenz ωR ist in etwa die Eigenschwingungsfrequenz ω0 : ωR2 = ω02 - τ2
• Die Abklingkonstante τ bestimmt Höhe und Breite (FWHM) der Resonanz: ΔωFWHM = τ⋅π½
und sRes /s0 = 2⋅τ / ωR als Überhöhung (gültig für Näherung kleine Dämpfung).
Lehrbeispiel: Resonanzkurve und Dämpfung
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Grundlagen der physikalischen Messtechnik
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Rechenübungen:
1. Berechnen Sie die Amplitude einer mechan. 10Hz Schwingung für 0.5s, 0.667s und 1s wenn
die Schwingung eine Abklingkonstante von 2s-1 mit Anfangsamplitude 10mm hat.
(Lösungen: 3.679, -1.269 , 1,353 mm)
2. Berechnen Sie die Abklingkonstante (Dämpfung) wenn die 10 Hz Schwingung nach 1sek auf
die halbe Amplitude abgefallen ist.
3.Welche Breite der Resonanz (FWHM) und welche Überhöhung ware für beide obigen
Schwingungen zu erwarten?
2.11 Kompensierende Messverfahren: Die Wheatstonesche Brücke
Direkte Messung:
Soll eine unbekannte Spannung Ux gemessen werden, so
Voltmeter
legt man in der Regel ein Digitalvoltmeter an und kann die
Spannung direkt messen. Jedoch benötigt das Voltmeter
Ux
dafür einen Strom, der durch den Innenwiderstand des
Instruments fließt. Ist die Spannungsquelle sehr schwach
Ri
(hochohmig, bzw. großer Innenwiderstand) wie z.B. bei
einer alten Batterie, führt bereits die Messung zu einer
Belastung der Quelle und zum Absinken der wahren
0
0
Spannung. Eine Lösung des Problems ergibt sich durch
eine 2. Messung. Bei DVMs beträgt Ri meist 10MΩ. Wird z.B ein Widerstand von10MΩ entweder parallel zum Voltmeter (=doppelte Belastung) oder in Serie verschaltet (=halbe Belastung), so erzielen wir mit der 2. Messung und entsprechendem Ansatz 2 Gleichungen die uns die
2 Unbekannten (Ux und Rx) liefern.
Übung dazu: Sei Ri = 10MΩ des DVM, das DVM zeigt 4V. Parallel mit weiteren 10MΩ verschaltet zeigt das DVM 3V. Wie groß ist Ux ohne Belastung und wie groß ist der Innenwiderstand Rx der unbekannten Quelle?
(Erg.: 6V, 5MΩ)
Wheatstonesche Brücke:
Die Wheatstonesche Brücke ist ein
kompensierendes Messverfahren. Da sich das
Problem der Belastung durch die geschickte
Verschaltung nicht ergibt, kann der wahre Wert
von Ux sofort durch eine Messung erfolgen.
Die Brücke besteht aus 2 Halbbrücken, gebildet
durch R1-R2 und R3-R4. An R4 liegt die
unbekannte Spannung Ux. Die Messbrücke
benötigt eine Hilfsspannung Ub, mit beliebigem
Wert >0V.
R1
R3
V
Ub
0
R2
Ux
R4
0
0
Abgleich:
Ein Voltmeter/Amperemeter misst die/den Spannung/Strom zwischen den beiden Halbbrückenzweigen. Man ändert R1-R2 (alternativ R3) so ab – zweckmäßigerweise wird R1-R2 durch ein
Potentiometer ersetzt – dass das Messgerät 0V/0A zeigt. Im Abgleich fließt also kein Strom zwischen den Halbbrücken. Durch den Messvorgang wird also Ux nicht belastet, da ja kein Strom
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fließt. Mit Anwendung der (grundlegenden) Kirchhoffschen Regeln ergibt sich für die 1. Halbbrücke folgende Spannungsteiler Formel:
Spannung an R2:
Desgl. für die 2. Halbbrücke
Spannung an R4:
U2 = Ub ⋅ R2/(R1+R2)
(1)
Ux = Ub ⋅ R4/(R3+R4)
(2)
Die Spannung des Voltmeters ist:
Mit (1) & (2)
ΔU = U2-Ux
= Ub ⋅ R2/(R1+R2) - Ub ⋅ R4/(R3+R4)
= Ub ⋅ [R2/(R1+R2) - R4/(R3+R4)]
Durch den Abgleich wird
ΔU = 0
Und (1),(2) gelten exakt, denn
es fließt kein Querstrom durch das Messgerät.
(3)
Die alternative Argumentation wäre: Ist ΔU = 0, so sind die Spannungen U2 und Ux gleich groß
und wir können das Gleichsetzungsverfahren benutzen: (1) = (2)
In beiden Fällen erhalten wir:
0 = Ub ⋅ [R2/(R1+R2) - R4/(R3+R4)]
Mit den Lösungen Ub=0 (triviale Lösung)
und 0 = [R2/(R1+R2) - R4/(R3+R4)]
(5)
Aus (5) folgt
(6)
R2/(R1+R2)= R4/(R3+R4)
Umstellung & Division
R1/R2
= R3/R4
(4)
(7)
Soll in einer Messung z.B. der Widerstand R4 eines Sensors bestimmt werden, so kann in der
Messbrücke aus Gl.(7) R4 als reines Widerstandsverhältnis ermittelt werden. Die Betriebsspannung Ub ist irrelevant, deshalb ist das Messverfahren gegen Störungen der Betriebsspannung Ub
nahezu immun. Im industriellen Umfeld ist die obige Messbrücke deshalb das Standardverfahren.
Empfindlichkeit:
Ein weiterer Vorteil ist die hohe Empfindlichkeit der Messbrücke. Wir messen ΔU und nehmen
an R4 als Temperatursensor ändere seinen Wert um 1/1000 , da sich die Temperatur geringfügig
ändert. Nach Gl.(3) ΔU = Ub ⋅ [R2/(R1+R2) - R4/(R3+R4)] gilt für die Empfindlichkeit von ΔU
E = δΔU/δR4
Die (partielle) Ableitung nach R4 liefert: E = Ub ⋅ R3/(R3+R4)
2
Sei Ub = 10V und alle Widerstände R 1kΩ, dann ist mit R3=R4 und E = Ub/(4⋅R4)
Mit ΔR4/R4 = 1/1000 wird unsere Änderung = E⋅ ΔR4 = Ub ⋅ ΔR4/(4⋅R4) = 10V /4000 = 2.5mV
Dieser Wert ist sehr leicht messbar.
Zum Vergleich die Direktmessung mit Voltmeter an R4, wobei wir den Innenwiderstand von
10MΩ moderner DVMs vernachlässigen dürfen gegen die 1kΩ von R4:
Extrastaun !
Vorher:
R4=1000Ω und U4 = 5V (nach Gl. 2)
Nachher:
R4=1001Ω und U4 = 10V ⋅ 1000/2001 = 4.9975 →
1
Ein 3 /2stelliges DVM zeigt in beiden Fällen 5.00V, also ist die Änderung nicht messbar!
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3. Physikalische Messung, Sensoren
3.1 Dehnmessstreifen DMS
Mit den DMS werden primär Materialverformungen gemessen. Diese werden hervorgerufen i.A.
durch Kräfte. Entsprechend der Ausführung lassen sich die physikalischen Größen Kraft, Zugspannung, Drehmoment, Druck, Schwingungen u.a. messen.
Folgende physikalische Größen sind zu definieren:
Dehnung:
ε = Δl / l
Zugspannung:
σ=F/A
E-Modul:
E= σ/ε
,
σ=E⋅ε
(Hooksches Gesetz)
µ = εquer / εlängs ~ 0,2 ….. 0,5
Querdehnzahl:
(Poisson Zahl)
Zur Erläuterung des Prinzips betrachte man folgendes Rechenbeispiel:
Rechenbeispiel:
Drahtwiderstand, Stahldraht (V2A) mit ρ = 0.1 Ωmm2/m ,
Länge l=1m , ∅ = 1.13mm , berechne R:[0.1Ω]
|←
l
→|
R = ρ⋅ l /A
A
Draht wird mit Kraft von 100 N belastet und dabei gespannt. Berechne R* !
Anmerkung: E-Modul E=1.9 1011 N/m2 , Poisson Zahl μ = 0.29
|←
l*
→|
A*
Draht Dehnung, neue Länge :
Querschnitt kleiner
:
l* = l+Δl = l +σ⋅l/E = l+l⋅F/(A⋅E) = (lAE + Fl)/AE
Δd/d = -μ⋅Δl/l , μ = Poissonzahl, ca. 02...0,5
daraus: Δd = -μ⋅d⋅Δl/l = -μ⋅ dF/AE = -μ⋅ dF/(E⋅d2π/4)
neuer Querschnitt A* :
also:
A* = π/4 ⋅ (d+Δd)2 = π/4 ⋅ (d2 +2d⋅Δd + Δd2 ) ≅ π/4 ⋅ (d2 +2d⋅Δd)
A* = A - 2μ⋅F/E
gegen 0
damit neuer Widerstand R* : R* = ρ⋅ l* /A* = ρ⋅ (lAE + F l) / (AE⋅ (A-2μ⋅F/E)) =…[0.100083Ω]
WICHTIG:
Empfindlichkeit:
ΔR/R = k⋅ε
k-Faktor des DMS
Der k-Faktor gibt die bei gegebener Dehnung erzielte (relative) Änderung des Widerstands an.
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Ausführungen:
Anwendung:
chend!
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Draht-DMS, Folien-DMS
Aufkleben auf entsprechenden Formkörper, Klebstoff: fest, nicht krie-
DMS = DehnMeßStreifen : Analog zum Beispiel wird
F
ein Metallfilm in Zickzack Form auf einen isolierenden Film aufgedampft. Bei Zug bzw. Stauchung
ergibt sich eine Erhöhung bzw. Erniedrigung des
Widerstandes. Niedrige Widerstandswerte wie im
obigen Beispiel (0.1Ω) sind unpraktikabel, da schon
die Messleitungen solche kleinen Widerstände verfälschen. DMS - Widerstände sind meist in der Größenordnung von einigen 100 Ω.
Übungsaufgabe: Berechne den Widerstand eines Neusilber-DMS mit einer 20 * 1cm langen
Zickzack Bahn, wobei die Bahn eine 5μ dicke Schicht mit 50μ Breite ist. (Erg. 240Ω )
Temperatureinflüsse:
a) Eine Temperaturänderung ändert den DMS-Widerstand und täuscht damit eine Dehnung vor.
b) Schlimmer noch, bewirkt eine Temperaturänderung eine Längenänderung der Werkstoffe.
Unterschiedliche Ausdehnungskoeffizienten ergeben eine Dehnung, die eine entsprechende
Kraft vortäuscht. Dieses ist unten illustriert. Ein DMS, bei 20°C auf einen Werkstoff aufgebracht
zeigt untenstehenden Temperaturgang der Dehnung:
DMS
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DMS
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Es gibt spezielle DMS die an einen bestimmten Werkstoff angepasst sind (sogenannte „temperaturkompensierende DMS). Eine Wesentlich kleiner Abhängigkeit ergibt sich:
Elektrischer Anschluss:
In der einfachsten Ausführung genügt ein Spannungsteiler. Entsprechen der kleinen Widerstandsänderung ist das Signal klein.
Eine Direktmessung liefert meist unzureichende Genauigkeit.
Wie bereits in Kap.2.11 erläutert bringt eine Brückenschaltung
eine wesentlich höhere Empfindlichkeit mit sich. Ideal ist die
Wheatstonesche Brücke, wenn Zug und Drucklast an einem
Werkstoff gleichzeitig auftauchen. Durch Schaltung eines DMS
für Zug und eines DMS für Druck wird das Messsignal verdoppelt. Da sich Temperaturänderungen an beiden DMS aber gleich
auswirken, bleibt das Verhältnis RDMS1/RDMS2 nahezu konstant.
Dadurch werden Temperatureinflüsse auf den DMS-Widerstand
weitgehend unterdrückt.
Da tut
sich
nix.
Rv
Rdms
V
Ub
0
0
Vergleicht man die DMS Widerstände mit R3, R4
aus Kap. 2.11 ergibt sich für die Empfindlichkeit:
E = δΔU/δR4 + δΔU/δR3
Rdms-druck
da auch R3 variiert.
R1
Die (partiellen) Ableitung nach R4,R3 liefern:
V
E = Ub ⋅ [R3/(R3+R4)2 + R4/(R3+R4)2]
Und mit R3 = R4 wird E = Ub ⋅ 1/(2R)
Ub
Damit hat sich die Empfindlichkeit verdoppelt.
Wird weiterhin R1 als DMS-zug und R2 als
DMS-druck ausgelegt so wird die Empfindlichkeit
erneut verdoppelt mit E = Ub ⋅ 1/R.
Kap. 2.11 lehrt ebenfalls, dass die BetriebspanProf. Dr. M. Bantel
R2
Rdms-zug
0
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0
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0
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nung Ub für den Abgleich der Brücke nicht relevant ist, lediglich Ub ≠0 muss sichergestellt sein.
Für Ub kann folglich auch eine Wechselspannung verwendet werden. Für höchste Präzision wird
die Brücke mit Wechselspannung (Trägerfrequenz) betrieben. Die DMS-Brücke moduliert die
Amplitude der Wechselspannung die in einem nachfolgenden Verstärker aufbereitet (demoduliert und geglättet) wird. Gleichspannungen die an Kontaktstellen auftreten können werden dadurch eliminiert.
Anwendungsbeispiele:
Zur Messung von Druck- & Zugkräften sind verschiedene standardisierte Formkörper verfügbar.
Im Zusammenspiel DMS-Brückenschaltung-Trägerfrequenzverstärker sind Genauigkeiten besser
als eine Promille erreichbar bei minimalen Kosten. So kostet eine digitale Bürowaage mit 1g
Genauigkeit bis 2kg - also eine Präzision von 1/2000 – grob 50€.
DMS Druck:
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DMS Zug:
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3.2 Piezoelektrische Sensoren
Piezoelektrische Sensoren nutzen den Piezoelektrischer Effekt der bei bestimmten Kristallen
unter Verformung durch Krafteinwirkung auftritt.
Unter Piezoelektrizität (gr. piezo: ich drücke) versteht man eine lineare elektromechanische
Wechselwirkung zwischen dem mechanischen und elektrischen Zustand in Kristallen, die kein
Symmetriezentrum besitzen. Vom direkten piezoelektrischen Effekt spricht man, wenn eine mechanische Deformation eines piezoelektrischen Körpers von einer zu ihr proportionalen Änderung der elektrischen Polarisation begleitet wird, d.h. bei einigen Materialien wie z.B. Quarz
(SiO2) führt eine Dehnung bzw. Verzerrung in bestimmten Orientierungsrichtungen des Kristallgitters zu einer elektrischen Polarisation (Verschiebung von Ladungen). Das Resultat ist gekennzeichnet durch Auftreten gebundener elektrischen Ladungen an der Oberfläche des deformierten
Materials
In einem unbelasteten Quarzelement sind die Ladungen eines Si-Atoms (+4e) und die der beiden
O-Atome (-4e) entgegengesetzt gleich, d.h. die dielektrischen Polarisation ist im unbelasteten
Fall ausgeglichen. Wird das Quarzelement dagegen belastet, ist die entstehende Ladung Q der
mechanischen Spannung und damit der erzeugenden Kraft proportional. Typische Piezokraftaufnehmer erzeugen nur eine kleine Ladung von einigen 100pAs bis nAs pro Newton, daher ist ein
sensibler Ladungsverstärker einzusetzen.
Der piezoelektrische Effekt ist umkehrbar, so dass mechanische Spannungen durch ein von außen angelegtes elektrischen Feld generiert werden können. Beide Effekte werden explizit beim
Einsatz von z.B. Schwingquarzen genutzt, der damit das Koppelelement zwischen elektromagnetischen Feld und akustischer Welle darstellt. Wegen der außerordentlichen Konstanz der mechanischen Schwingung (bei richtigem Kristallschnitt) überträgt sich diese mechanische Schwingstabilität auf den elektrischen Schwingkreis.
In praktischen Anwendungen unterscheidet man Kristalle nach den drei verschiedenen piezoelektrischen Effekten (Längs-, Quer- und Schereffekt) die sich aus der Orientierungsrichtung des
herausgeschnitten Einkristalls ergeben.
+ + + + + + + + + + + +Q
Transversal:
+ + + + + + + + + + + +Q
- - - - - - - - - - - - - - -Q
Longitudinal:
Schubeffekt:
- - - - - - - - - - - - - - -Q
+ + + + + + + + + + + +Q
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- - - - - - - - - - - - - - -Q
- - - - - - - - - - - - - - -Q
+ + + + + + + + + + + +Q
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Anwendungen:
Piezo als Senso
•
•
•
•
Piezo als Aktor
•
•
•
Kraftsensor
Drucksensor
Mikrofon
Drehmomentsensor
Elektr. Anschluss:
F
Kontaktierung &Piezo:
Messung von Drehmomenten durch Schubeffekt
(Scherkraft):
Gasanzünder (Feuerzeug)
Mikroantrieb
Lautsprecher
ΔQ
QAmp
ΔU
Anordnung von schubempfindlichen Quarzplatten zum
Messen von Drehmomenten.
Die einzelnen Quarzplatten
werden dabei in eine isolierende
Masse eingebettet und unter
Vorspannung eingebaut,
damit die Schubkräfte durch
Reibung übertragen werden
können.
Industrieller Sensor:
Das 2-Komponenten-Dynamometer
misst axiale Kräfte Fz und das Moment Mz. Das Diagramm zeigt den
Verlauf der Vorschubkraft Fz und
des Momentes Mz während des
Bohrens eines 5 mm Loches durch
kaltgezogenen Flachstahl.
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3.3 Hallsensoren, magnetische Sensoren
Halleffekt:
Wird ein fester Körper von einem Strom I
durchflossen, so entspricht dies einer Bewegung der Ladungsträger (meist Elektronen) mit der Geschwindigkeit v. In einem
magnetischen Feld erfährt ein Ladungsträger die so genannte Lorenzkraft:
FL = q ⋅ v × B
e-
ee-
I
e
-
v
e-
e-
ee-
Sie ist die Ursache, weshalb in einem bewegten Leiterdraht (Spule) im Magnetfeld
eine Spannung induziert wird: Die Spannung entspricht der durch die Lorenzkraft
bewegten Ladungsträger.
Als nächstes betrachte man einen flächenhaft ausgedehnten Leiter (Plättchen) in der X/Y Ebene,
durch den entgegen X-Richtung ein Strom I fließt. Das Plättchen sei einem senkrecht wirkenden
Magnetfeld B (Z-Achse) ausgesetzt (Das ist in die Papierfläche hinein orientiert). Erfolgt die
Leitung durch Elektronen (negative Ladung!) ist die Bewegung der Stromrichtung entgegengesetzt. Die Bewegung im Magnetfeld hat die Lorenzkraft FL zur Folge, so dass eine Ablenkung
der Ladungsträger quer zum Strom in Y-Richtung erfolgt.
y
x
V
eee-
I
Das Vektorprodukt zeigt in Y-Richtung, jedoch ist die Ladung q ein Elektron, also negativ und
daher resultiert eine Lorenzkraft nach unten. Die in entgegen der Y-Richtung abgelenkten Ladungsträger können als Hallspannung Uhall abgegriffen werden, der –Pol ist unten. Bei Halbleitern ist die Hallspannung besonders groß (und richtungsabhängig vom n-p Material). Deshalb
wird für Hallelemente insbesondere Halbleitermaterial eingesetzt. Mit diesen Elementen besitzt
man einen Sensor (Hallsensor) für das magnetische Feld B. Empfindliche Sensoren messen bereits das Erdfeld, so dass ein elektronischer Kompass möglich ist.
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Da Eisen und magnetischer Stahl ein Magnetfeld stark ändern - im Allgemeinen wird durch die
Annäherung von Eisen/Stahl das Magnetfeld verstärkt - lassen sich diese Materialien mittels eines Hallsensors leicht messen. So wird bereits seit vielen Jahren die elektronische Zündung des
KFZs kontaktlos ausgelöst. Sehr häufig wird im Antriebsbereich ein Zahnrad auf seine Drehzahl
überwacht.
Das Prinzip:
Hallsensor
Hallsensor
N
N
S
Stahl, Fe
S
Uhall
Uhall
& die technische Realisierung:
Eine Schaltnocke wird kontaklos erkannt. →
Kontaktloser & verschleißfreier Schalter
Zähne eines Zahnrades lassen sich erkennen. Damit kann die Drehzahl erfasst werden.
GMR (Giant Magnetic Resistance):
Neue Werkstoffe (in Dünnschichttechnologie) haben eine sehr große Abhängigkeit ihres Widerstandes vom Magnetfeld. Die seit 1999 von z.B. Siemens erhältlichen Bauteile sind sogar empfindlicher als normale Hallsensoren. Oft werden die GMR-Widerstände auch als Messbrücken
angeboten.
Eine weitere Applikation von Hallsensoren und
GMRWiderständen ist die kontaktlose Messung von elektrischen
Strömen. Jede elektrische Leitung wird von einem Magnetfeld
entsprechend des Leitungstromes umgeben. Das umgebende
Magnetfeld wird durch einen Ferritring verstärkt. Der Ferritkern besitzt einen Luftspalt in dem der Sensor sitzt. Der LeiI
tungsstrom erzeugt damit ein Magnetfeld das der Sensor direkt
BB
als Signal ausgibt. Je größer der Strom, desto leichter ist er messbar.
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I
Für kleine Ströme kann die Strom führende Leitung auf einen Ferritkern gewickelt werden. Entsprechend der Windungszahl N ist das Magnetfeld stärker und damit die Empfindlichkeit des Stromsensors N-fach höher.
Da GMR Sensoren im Gegensatz zu Hallsensoren „resistiv“
sind - das bedeutet mit dem Magnetfeld ändert sich ihr Widerstand - lassen sie sich (vgl. DMS) zu einer Messbrücke
anordnen. Hauptvorteil in der Brückenschaltung ist die gegenseitige Temperaturkompensation. Die Temperatur ändert
alle Widerstände gleichsinnig aber der Quotient bleibt gleich.
Aber auch die Empfindlichkeit kann um den Faktor 4 gesteigert werden.
Dazu ist die Anordnung (nebenstehend) wichtig. Ein Sensor
der bei Annäherung eines Nordpols seinen Widerstand vergrößert sei N benannt, einer der bei Annäherung eines Südpols seinen Widerstand vergrößert sei S benannt.
GMR oder
Hallsensor
S
N
V
Ub
N
S
0
0
0
Magnetische Näherungssensoren:
Im industriellen, technischen Bereich ist Stahl
der am häufigsten angewandte Werkstoff. Viele
Stahlsorten sind magnetisch und deren Annäherung an einen Magneten ändert das magnetische Feld. Die Feldänderung kann durch GMRoder Hallsensoren erfasst werden und zu einem
elektrischen Signal gewandelt werden. Oft sind
diese Sensoren binär ausgelegt: Bei Annäherung an den Sensor wird bei einem einstellbarem (Schalt-)Abstand ein Schalter oder elektrisches Signal (an/aus) betätigt.
Stahl, Fe
N
S
Hallsensor
d
Uhall
Kann ein Magnet in das bewegliche Teil eingebaut werden, so ist das Prinzip für alle Werkstoffe (auch z.B. Kunststoffe, Alu) anwendbar.
d
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Reed Relais / Reed Schalter:
Ein Reed Relais ist ein im Schutzgas umhüllter mechanischer Schalter, dessen Schaltzungen magnetisch sind. Bei Erhöhung des magnetischen Feldes
wird ab einer bestimmten Feldstärke ein Schaltvorgang (meist Ein/On, selten Aus/Um) ausgelöst.
Wegen der Schutzgasfüllung sind Reed Relais sehr
langlebig und zuverlässig. Die Schaltleistung ist jedoch klein (meistens <1A und <220V). Reed Relais
sind verhältnismäßig billig (einige Euro) und einfach
in der Anwendung. Sie haben jedoch die Nachteile
der mechanischen Schalter:
• Die Anzahl der Schaltvorgänge (Lebensdauer)
ist begrenzt.
• Die Schaltgeschwindigkeit ist niedrig, Schaltfrequenzen oberhalb 1kHz sind nicht machbar.
• Der Schaltvorgang ist unsauber, Schaltverzögerungen schwanken im ms-Bereich und der Kontakt erfolgt mehrfach: Kontaktprellen.
• Sie zeigen die für Relais (& mechanische Schalter) übliche Schalthysterese: Ein- und Ausschaltpunkt (Distanz) sind verschieden.
Schutzgasfüllung
magnetische
Zungen
Glas
=
+
=
3.4 Induktive Sensoren, Näherungsschalter
Induktive Sensoren werden in einer Vielzahl von Anwendungen zur Erfassung von Weg, Position, Schwingungen, Druck und Drehzahl eingesetzt. Sie benötigen keinen Magneten (insbesondere passive Sensoren) als aktivierendes Element. Das wesentliche Messelement ist eine Spule.
Aktive Sensoren :
Als aktiver Aufnehmer wird ein Sensor bezeichnet
der dem elektrodynamischen Prinzip folgt.
• Magnet mit Luftspalt
• Spule im Luftspalt
• Bewegung Spule oder Magnet
Populäres Music-equipment, wie z.B. Lautsprecher
(Bass), dynamische Mikrofone (als akustischer Sensor) und Tonabnehmer von Plattenspielern folgen
diesem Prinzip.
Die erzielte Ausgangsspannung Ua wächst mit der
Stärke des Magneten (B-Feld), der Windungszahl
der Spule und der Geschwindigkeit v der Bewegung.
Für hohen Wirkungsgrade wählt man starke Magneten und platziert die Spule in einen möglichst
schmalen Luftspalt. Das Prinzip ist umkehrbar. Eine
angelegte Wechselspannung Ua bewegt die Spule,
die federnd aufgehängt ist. (Lautsprecher, elektrodynamischer Antrieb)
S
N
v
Ua
M
N
S
N
Passive Sensoren :
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Bei passiven Sensoren ist keine Bewegung zur Signalgenerierung notwendig. Als kombiniertes Sensor/Aktor Element dient eine Spule. Die Spule befindet sich in einem Schwingkreis (Oszillator) und
sendet ein elektromagnetisches Wechselfeld aus.
Nähert sich ein Werkstoff aus Stahl (beim Wirbelstromverfahren ein beliebiger elektrisch leitender
Werkstoff) der Spule, wird das elektromagnetische
Feld der Spule geschwächt. Die Schwächung macht
sich als Signalverlust bemerkbar, der mit Annäherung des Objekts wächst. Er ist auch das Signal des
Sensors.
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Oszillator
~
Ua
~
Verluste
Details:
Berührungsloser induktiver Wegaufnehmer
nach dem Oszillator-Dämpfungsverfahren:
Verstimmung:
Insbesondere ferromagnetische Stoffe (Eisen,Stahl) wirken sehr
stark und erhöhen die Induktivität L der Spule. Bei geeigneter
Schaltung verstimmt das die Frequenz des Schwingkreise.
Man beachte die Thomsonsche Schwingungsformel:
Die Frequenz f und deren Abweichung Δf sind sehr
präzise messbar!
√ 1/LC
f = 1/2π
Differentialprinzip
Differentialdrossel
Zur Generierung eines Sensorsignals mit sehr hoher Empfindlichkeit bedient man sich des Differentialprinzip, welches auf der Messbrücke (Kap. 2.11) aufbaut.
Die Eingangsspannung Ue (erzeugt durch Oszillator oder
Trägerfrequenz) speist eine Messbrücke. Befindet sich der
Tauchanker in Mittelstellung, wird die Brücke mit den Widerständen und den Trimmern auf 0V abgeglichen.
Jede kleine Bewegung am Tauchanker stört den Abgleich
und die Spannung wird >0V.
Aus der Phase der Spannung zu Ue erkennt man die Richtung. Die erzielbare Genauigkeit schon einfacher Systeme
ist im 1µm Bereich. Präzisionssysteme erreichen Auflösungen von 0.01nm, das ist 1/10 Atomdurchmesser !
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Tauchanker
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Differentialtransformator
Alternativ kann das Differentialprinzip mit einem Transformator erreicht werden. Die Eingangsspannung Ue
(wieder erzeugt durch Oszillator oder Trägerfrequenz)
speist eine Primärwicklung des Trafos. Befindet sich der
Tauchanker exakt in Mittelstellung, wird in beiden Sekundärwicklung die die gleiche Spannung induziert. Die
Antiparallelschaltung der Sekundärwicklungen bildet die
Differenz der Spannungen (also z.B. 3V- 3V = 0V). In
Mittelstellung ist Ua = 0V abgeglichen.
Bei großem Transformationsverhältnis wird die Anordnung sehr empfindlich. Die kleinste Bewegung des
Tauchankers aus der Mittelstellung bewirkt Ua>0V und
die Bewegungsrichtung ergibt sich wieder aus der Phase von Ua zu Ue.
(induktiver) Näherungsschalter
Das Oszillator-Dämpfungsverfahren gehört in der industriellen Messtechnik zum Standard und
wird bei nahezu allen induktiven Näherungsschaltern eingesetzt. Es ist sehr robust, unempfindlich gegen Verschmutzung wie Öl, Staub und einfach im Einsatz. Handelsübliche Komponenten
haben einen festen oder einstellbaren Schaltabstand (binärer Sensor). Sensoren mit mehr Komfort (intelligent) sind einlernbar. Untenstehend ist ein typischer induktiver Näherungssensor abgebildet:
Präzisionsinstrumente benutzen meistens das Differentialprinzip mit in die Spulen eintauchendem Anker. Auflösungen von 0.01µm, d.h. weniger als die normale Oberflächenrauhigkeit sind
damit erreichbar. Da die Spulen stets mit einem Oszillator betrieben werden, ist das Wegsignal
des Sensors eine amplitudenmodulierte Wechselspannung (AM). Der Qualität verpflichtet, benutzen die Systeme zur Signal Demodulation den Trägerfrequenzverstärker (TF-Verstärker). Es
ergibt sich untenstehender Aufbau:
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Grundlagen der physikalischen Messtechnik
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Die primäre Anwendung der Wegmessung gestattet je nach mechanischem Aufbau eine Vielzahl
von Applikationen. Durch Hinzunahme von Federelementen lassen sich Kraft, Zugspannung und
Druck messen. Die Kenntnis des Wegs erlaubt auch Rückschluss auf die zeitlichen Ableitungen
– Geschwindigkeit und Beschleunigung. Dadurch wiederum sind Drehzahlen und Schwingungen
messbar. Untenstehende Abbildungen geben einen Überblick in die Anwendungsvielfalt.
Ausdehnung, Bewegung, Federweg, KolZentrieren, PositionieAuslenkung, Schwinbenhub, Neigung, Länren, Verkippung, Kangung, Spiel, Vibration
ge, Position, Ventilweg,
tenführung
Verschiebung, Weg
Schichtdicke, FoliendiAbmessungen, Breite,
cke, Gummidicke, BandProfil, Höhe, Fülldicke, Plattendicke,
stand, Länge
Blechdicke
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Durchbiegung, Welligkeit, Krümmung, Spannung, Durchhang, Verformung
Lagerschwingung,
Schlag, Verformung,
Rundlauf, Spiel, Verlaaxiale Wellenschwingerung, Wellenschwingung, Verlagerung
gung
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Exzentrität, DurchmesWalzenspalt, Walzen- Verdichter- / Turbinenser, Konzentrität,
durchbiegung, Ballig- spalt, Drehzahl, TeiSchmierspalt, Verkeit, Spalt
lung, Kollektorrundlauf
schleiß, Rundheit
3.5 Optische Sensoren - Lichtschranken
Lichtschranken bestehen aus einer Sensor
Aktor Kombination, bei der das durch den
Aktor ausgesandte Licht durch ein Objekt
geändert wird. Diese Änderung wird im
optischen Sensoren gemessen.
Aktor:
Außer Halogenlampen (oder Glühlampen)
finden vor allem Leuchtdioden (LED) als
Lichtquelle Anwendung. Der Nachteil geringerer Leuchtstärke der LEDs wird durch
Vorteile wie lange Lebensdauer, höhere
Robustheit, schnelles Ansprechverhalten
(da kein langsamer verzögernder Glühfaden) mehr als ausgeglichen. Als weitere
Vorteile besitzen LEDs eine Lichtemission
über einen kleinen Bereich der Wellenlänge
(monochrom) und je nach Typ kann eine
Variante mit schmalem Emissionswinkel
(bis kleiner 3 Grad, Pseudo- Laser) gewählt
werden, die fokussierende Elemente (Spiegel, Linsen) überflüssig macht.
Die elektrische Beschaltung ist sehr einfach:
Ub
Aktor
Sensor
S
e
n
s
o
r
Ub
RV
Halogen/Glühlampe:
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LED:
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Sensor:
Optische Sensoren bestehen heute meist aus einer lichtempfindlichen Halbleiterdiode (Fotodiode). Alle Dioden sind prinzipiell lichtempfindlich, jedoch muss das
Licht auch den Halbleiterkristall treffen, was bei einer
Fotodiode ein durchsichtiges Gehäuse notwendig
macht. Die Fotodiode wird in Sperrrichtung betrieben.
Am PN-Übergang verhindert die von Ladungsträgern
freie Zone (Sperrschicht) einen Stromfluss. Einfallendes Licht erzeugt in der Sperrschicht durch Fotoeffekt
Elektronen, die einem Stromfluss zur Folge haben. Dieser Fotostrom ist zur Intensität des Lichts weitgehend
proportional. Durch Verwendung von Filtermaterialien
am Gehäuse läßt sich eine Empfindlichkeit der Diode
für bestimmte Wellenlängen des Lichts (sichtbar, IR)
erreichen. Neben den Fotodioden sind auch Fototransistors im Einsatz. Der Fotostrom dient dort als Basisstrom zur Steuerung des Transistors. Der Transistor
verstärkt den Basisstrom (ca. 100 fach), so dass eine
höhere Empfindlichkeit erreicht wird. Die elektrische
Beschaltung erfolgt recht einfach mit einem Kollektorwiderstand RC (Arbeitswiderstand) in der sogenannten
Emitterschaltung. Für weitergehendes wird auf die Literatur verwiesen.
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+++++
+ P +
+++++
------- N --
------
+Ub
RV
+Ub
NPN
PhotoTransistor
RC
Ua
IB = IPhoto
C
B
E
IC = B ⋅ IB
B , Stromverstärkung
B typ. = 100 ….500
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Fotowiderstände (älter) und Fotozellen (uralt) werden heute sehr selten angewandt. Sie reagieren
auf Lichteinfall mit einer Abnahme des Widerstands.
Mechanischer Aufbau:
Entsprechend dem mechanischen Aufbau unterscheidet man Lichtschranken nach dem
•
Reflexionsprinzip, wenn das Messobjekt reflektiertes Licht in den Sensor streut und
•
Transmissionsprinzip, wenn das Messobjekt das ausgestrahlte Licht vor dem Sensor
absorbiert.
Für große Distanzen (>1m) wird zur Verbesserung der Empfindlichkeit oft ein optisches System
aus entsprechenden Linsen angewandt. Bei Reflexionssystemen kann die Messdistanz durch einen Reflektor („Katzenauge“) am Messobjekt erheblich erweitert werden.
Sichtbar /IR
Lichtschranken mit (Glüh)Lampen als Aktor verwenden sichtbares Licht. Bei LEDs wird die
Farbe Rot bevorzugt, weil dieser Diodentyp besonders leuchtkräftig ist.
Im Infrarot (IR) kommen vor allem LEDs zum Einsatz. Auch sie sind sehr „leuchtkräftig“, da die
Wellenlänge jedoch oberhalb von 800nm liegt nicht mit dem Auge sichtbar. IR Anwendungen
sind von Vorteil, wenn die Oberfläche des Messobjekts IR-Strahlung gut reflektiert oder wenn
die Lichtschrankenfunktion nicht sichtbar sein soll (z.B. Maschinensicherungssysteme, Türautomatik, Alarmanlagen).
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