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Formelsammlung Mathematik Mit Anleitung zu TI - FOSA - adinox.ch

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Formelsammlung Mathematik
Mit Anleitung zu TI-89
Daniel Winz
Ervin Mazlagić
Adrian Imboden
Philipp Langer
Josef Häfliger
Marcel Holzmann
24. April 2014 20:01
2
Über diese Arbeit
Dies ist das Ergebnis einer Zusammenarbeit auf Basis freier Texte
erstellt von Studierenden der Fachhochschule Luzern und ist unter
der GPLv2 lizenziert. Der TEX- bzw. LATEX-Code ist auf github.
com/fosa/fosamath hinterlegt. Eine aktuelle PDF-Ausgabe steht auf
fosa.adinox.ch zum Download bereit.
Die Inhalte dieser Formelsammlung sind für das Modul Mathematik Grundlagen und den Mathematikteil von MA+PHY1T und
MA+PY2T zugeschnitten. Zudem sind in dieser Formelsammlung Tipps
und Hinweise für die Bedienung des TI-89 enthalten.
Allfällige Fehler und Kommentare werden von den Autoren gerne
entgegengenommen (info.fosa@gmail.com).
Danksagung
An dieser Stelle möchten wir allen danken, die uns bei diesem Projekt unterstützt haben. Einerseits sind dies alle Contributors auf dem
Github-Repository fosamath und jene Studenten die uns Rückmeldungen gegeben haben. Ein spezieller Dank geht dabei an unsere Dozenten
Mario Amrein und Peter Scheiblechner, welche uns eine unschätzbare
Hilfe waren. Sie haben uns nicht nur bei der Erarbeitung und Überprüfung der Formelsammlung geholfen, sondern uns auch mit Ihren
Vorlesungen für die Mathematik begeistert und motiviert.
3
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Inhaltsverzeichnis
1 Rechenregeln
1.1 Zahlenbereiche . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Ganze Zahlen . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2 Rationale Zahlen . . . . . . . . . . . .
1.1.3 Reelle Zahlen . . . . . . . . . . . . . .
1.1.4 Komplexe Zahlen . . . . . . . . . . . .
1.2 Rechenregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Bruchrechnen . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2 Polynomdivision . . . . . . . . . . . .
1.2.3 Potenzen . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.4 Potenzgesetze . . . . . . . . . . . . . .
1.2.5 Wurzeln . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.6 Wurzelgesetze . . . . . . . . . . . . . .
1.2.7 Logarithmengesetze . . . . . . . . . .
1.2.8 Trigonometrie . . . . . . . . . . . . . .
1.2.9 Spezielle Werte der Winkelfunktionen
1.2.10 Quadratische Gleichung . . . . . . . .
1.2.11 Kubische Gleichung . . . . . . . . . .
1.2.12 Faktorisieren . . . . . . . . . . . . . .
1.2.13 Binomische Formeln . . . . . . . . . .
1.2.14 Verkettete Funktionen . . . . . . . . .
1.2.15 Grenzwerte . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.16 Berechnung von Grenzwerten . . . . .
1.2.17 Hyperbolicus . . . . . . . . . . . . . .
1.2.18 Fakultät . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.19 Pascal’sches Dreieck . . . . . . . . . .
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INHALTSVERZEICHNIS
1.3
1.4
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2 Vektorgeometrie
2.1 Vektorgeometrie in der Ebene . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 Abstand zweier Punkte . . . . . . . . . . . .
2.1.2 Geradengleichungen . . . . . . . . . . . . . .
2.1.3 Normalenvektor . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.4 Abstand Punkt zu Gerade . . . . . . . . . . .
2.1.5 Schnittwinkel zwischen Geraden . . . . . . .
2.2 Vektorgeometrie im Raum . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Ortsvektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2 Länge eines Ortsvektors (Norm bzw. Betrag)
2.2.3 Länge eines Vektors (Norm bzw. Betrag) . .
2.2.4 Vektor aus Anfangs- und Endpunkt . . . . .
2.2.5 Distanz zweier Punkte . . . . . . . . . . . . .
2.2.6 Mittelpunkt einer Strecke . . . . . . . . . . .
2.3 Rechenoperationen mit Vektoren . . . . . . . . . . .
2.3.1 Addition/Subtraktion . . . . . . . . . . . . .
2.3.2 Multiplikation mit Skalar . . . . . . . . . . .
2.3.3 Skalarprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.4 Winkel zwischen zwei Vektoren . . . . . . . .
2.3.5 Vektorprodukt (Kreuzprodukt) . . . . . . . .
2.3.6 Spatprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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40
40
3 Folgen und Reihen
3.1 Folgen . . . . . . . . . . . . . .
3.1.1 Form . . . . . . . . . . .
3.1.2 rekursive Darstellung . .
3.1.3 arithmetische Folgen . .
3.1.4 geometrische Folgen . .
3.1.5 Konvergenz von Folgen
3.2 Reihen . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1 arithmetische Reihe . .
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6
Definitions- und Wertebereich . . . . . .
Darstellung von Funktionen . . . . . . .
1.4.1 Polares Koordinatensystem . . .
1.4.2 Umrechnung Kartesisch → Polar
1.4.3 Umrechnung Polar → Kartesisch
1.4.4 Parameterdarstellung . . . . . .
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INHALTSVERZEICHNIS
3.2.2
3.2.3
3.2.4
geometrische Reihe . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
Konvergenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
Reihen mit dem TI89 berechnen . . . . . . . . . 46
4 Differenzieren
4.1 Ableitungsregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.1 Schreibweisen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.2 Stetigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.3 Differenzierbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.4 Grundoperationen . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.5 Ableitung von Kurven in Parameterdarstellung
4.1.6 Implizites Ableiten . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.7 Ableiten mit dem TI-89 . . . . . . . . . . . . .
4.1.8 Spezielle Regeln . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Kurvendiskussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.1 Tangentengleichnung . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.2 Normale zur Tangente . . . . . . . . . . . . . .
4.2.3 Steigen und Fallen . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.4 Krümmungsverhalten . . . . . . . . . . . . . .
4.2.5 Extremum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.6 Wendepunkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.7 Sattelpunkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 Krümmung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4 Scheitelpunkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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5 Integral
5.1 Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.1 Riemann Integral . . . . . . . . . .
5.1.2 Integral für ein beliebiges Polynom
5.2 Eigenschaften des bestimmten Integrals .
5.2.1 Summenregel . . . . . . . . . . . .
5.2.2 Faktorregel . . . . . . . . . . . . .
5.2.3 Additivität des Integrals . . . . . .
5.3 Integrationsregeln . . . . . . . . . . . . . .
5.3.1 Partielles Integrieren . . . . . . . .
5.3.2 Substitutionsregel . . . . . . . . .
5.3.3 Summen integrieren . . . . . . . .
5.4 Volumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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7
INHALTSVERZEICHNIS
5.5
5.6
5.7
5.8
5.9
5.10
5.11
5.12
5.4.1 Rotationsvolumen . . . . . . . . . . . . . . . .
Mittelwertsatz der Integralrechnung . . . . . . . . . .
Bogenlänge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Bogenlänge für Kurven . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Bogenlängen mit Polarkoordinaten . . . . . . . . . . .
Mantelfläche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Mantelfläche einer Kurve . . . . . . . . . . . . . . . .
Mantelfläche im polaren Koordinatensystem . . . . . .
Ableitungen und unbestimmte Integrale spezieller Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6 Taylorreihen
6.1 Potenzreihe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.1.1 Taylorreihe mit Entwicklungspunkt x0 = 0 . . .
6.1.2 McLaurin-Reihe (Taylorreihe mit Entwicklungspunkt x0 = 0) . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.1.3 Konvergenzradius . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.1.4 Einfache Funktionen als Taylorreihen . . . . . .
6.1.5 Binomische Reihe . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.1.6 Kochrezept Taylorreihen . . . . . . . . . . . . .
6.1.7 Taylorreihe mit dem TI-89 berechnen . . . . .
7 Fourierreihen
7.1 Fourierreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.1.1 Gerade oder ungerade Funktionen . . . . . . .
7.1.2 n-te Partialsumme für die Periode T . . . . . .
7.1.3 Koeffizienten für die Periode T . . . . . . . . .
7.1.4 n-te Partialsumme einer Fourierreihe für die Periode 0 bis 2π . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.1.5 Koeffizienten für die Periode 2π . . . . . . . . .
7.1.6 Kochrezept zu Fourierreihen . . . . . . . . . . .
7.1.7 Koeffizienzen der Fourierreihe mit dem TI-89 berechnen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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8 Komplexe Zahlen
8.1 Definition komplexe Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . .
8.2 Darstellung von komplexen Zahlen . . . . . . . . . . . .
8.2.1 Gausssche Zahlenebene . . . . . . . . . . . . . .
8
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61
61
61
61
61
62
62
75
76
76
76
INHALTSVERZEICHNIS
8.3
8.2.2 Polardarstellung / Trigonometrische Form
8.2.3 Kochrezept kartesisch zu polar . . . . . .
8.2.4 Exponentialform . . . . . . . . . . . . . .
8.2.5 Konjugiert komplex . . . . . . . . . . . .
8.2.6 Randprobleme . . . . . . . . . . . . . . .
Rechenregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.3.1 Addition / Subtraktion . . . . . . . . . .
8.3.2 Multiplikation . . . . . . . . . . . . . . .
8.3.3 Division . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.3.4 Potenzieren . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.3.5 Wurzeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.3.6 Logarithmen . . . . . . . . . . . . . . . .
9 Differentialgleichungen
9.1 Definition Differentialgleichungen . . . . . . . .
9.2 Gewöhnliche Gleichung → Differentialgleichung
9.3 Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.3.1 Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.3.2 Grad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.3.3 Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.4 Richtungsfeld und Trajektorien . . . . . . . . .
9.4.1 Trajektorien . . . . . . . . . . . . . . . .
9.4.2 Richtungsfeld plotten mit dem TI-89 . .
9.5 Lösungsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.5.1 Übersicht . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.5.2 Variabelntrennung . . . . . . . . . . . .
9.5.3 Variation der Konstanten
(Lineare Gleichung 1. Ordnung) . . . . .
9.5.4 Charakteristische Gleichung . . . . . . .
9.5.5 Ansatzverfahren . . . . . . . . . . . . .
9.6 Lineare DGL zweiter Ordnung . . . . . . . . .
9.6.1 Homogene Gleichung . . . . . . . . . . .
9.6.2 Inhomogene Gleichung . . . . . . . . . .
9.7 Diffentialgleichungen mit TI-89 lösen . . . . . .
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9
INHALTSVERZEICHNIS
10 Vektoranalysis
10.1 Partielle Ableitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.1.1 Mehrfache partielle Ableitung . . . . . . . . .
10.1.2 Satz von Schwarz . . . . . . . . . . . . . . . .
10.2 Kettenregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.3 Totales Differential . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.4 Fehlerrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.5 Kurvendiskussion im dreidimensionalen Raum . . . .
10.5.1 Extremwert ohne Nebenbedingung . . . . . .
10.5.2 Extremwert mit Nebenbedingung . . . . . . .
10.5.3 Extremwert mit zwei Nebenbedingungen . . .
10.5.4 Extremwert mit mehreren Nebenbedingungen
10.6 Doppelintegral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.6.1 Doppelintegral in Polarkoordinaten . . . . . .
10.7 Dreifachintegral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.7.1 Dreifachintegral in Zylinderkoordinaten . . .
10.7.2 Dreifachintegral in Kugelkoordinaten . . . . .
10.8 Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.8.1 Volumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.8.2 Masse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.8.3 Flächenträgheitsmoment . . . . . . . . . . . .
10.8.4 Massenträgheitsmoment . . . . . . . . . . . .
10.8.5 Schwerpunkt . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.9 Potentialfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.10Gradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.10.1 Bedeutung . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.10.2 Richtungsableitung . . . . . . . . . . . . . . .
10.11Rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.12Divergenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.13Linienintegral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.13.1 Bogenlänge . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.14Flussintegral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.14.1 Normalenvektor . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.15Bewegungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.15.1 Geschwindigkeitsvektor . . . . . . . . . . . .
10.15.2 Beschleunigungsvektor . . . . . . . . . . . . .
10.15.3 Bogenlänge . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
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.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
101
102
102
102
103
103
103
104
104
104
104
105
105
105
106
106
106
106
106
106
107
107
108
109
109
110
110
110
110
111
111
111
111
112
112
112
113
INHALTSVERZEICHNIS
11 Mathematische Zeichen
115
11.1 Griechisches Alphabet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
11
INHALTSVERZEICHNIS
12
Kapitel 1
Rechenregeln
13
KAPITEL 1. RECHENREGELN
1.1
Zahlenbereiche
Natürliche Zahlen
Die natürlichen Zahlen beinhalten die beim Zählen verwendeten Zahlen.
N = {1, 2, 3, 4, 5, . . . }
Je nach mathematischem Gebiet wird die Null auch zu den natürlichen
Zahlen gezählt. Um dies klar zu trennen, werden folgende Bereiche
eingeführt:
N0 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, . . . }
N+ = {1, 2, 3, 4, 5, . . . }
1.1.1
Ganze Zahlen
Die ganzen Zahlen beinhalten zusätzlich zu den natürlichen Zahlen
auch alle ganzzahligen negativen Zahlen.
Z = {. . . , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . . }
1.1.2
Rationale Zahlen
Rationale Zahlen können als Bruch aus ganzen Zahlen gebildet werden.
1.1.3
Reelle Zahlen
Reelle Zahlen beinhalten alle Zahlen, die auf dem Zahlenstrahl abgebildet werden können.
1.1.4
Komplexe Zahlen
Die komplexen Zahlen beinhalten auch diejenigen Zahlen, die nicht
auf dem Zahlenstrahl darstellbar sind und somit in der Gaussschen
Zahlenebene dargestellt werden. Weiteres dazu siehe 8.1.
14
1.2. RECHENREGELN
1.2
Rechenregeln
1.2.1
Bruchrechnen
a c
a·c
· =
b d
b·d
n
n·a
a
=
b
b
a c
a d
a·d
: = · =
b d
b c
b·c
1.2.2
Polynomdivision
Das Vorgehen bei der Polynomdivision ist identisch zur schriftlichen
Division.
Beispiel:
(9x3 −6x2 −8x): (3x + 4) = 3x2 + 2x
−(9x3 −12x2 ) ↓
6x2 −8x
−(6x2 −8x)
0
1.2.3
Potenzen
an = a · an−1
a1 = a
a0 = 1
a−1 =
1
a
a−n =
1
an
15
KAPITEL 1. RECHENREGELN
1.2.4
Potenzgesetze
ax · ay = ax+y
ax
= ax−y
ay
(ax )y = axy
x
ax · bx = (ab)
ax
a
=
bx
b
p
aq =
1.2.5
√
q
ap
Wurzeln
√
n
√
n
m
am = a n
(a > 0; m, n ∈ N; m ≥ 1; n ≥ 2)
√
n
1=1
1.2.6
0=0
√
n
an = a
Wurzelgesetze
√
n
a·
√
n
√
n
a
√
=
n
b
√
n
√
16
x
a
k
b=
n
=
nk
amk =
n
m
√
a=
√
n
a·b
a
b
√
n
ak
√
n
m
am
√
n
a=
√
mn
a
(a > 0)
1.2. RECHENREGELN
1.2.7
Logarithmengesetze
y = loga x ⇔ ay = x
loga 1 = 0
loga a = 1
lg a = log10 a
ln a = loge a
aloga x = x
loga (ax ) = x
logb (x · y) = logb (x) + logb (y)
logb
x
y
= logb (x) − logb (y)
logb (x + y) = logb (x) + logb 1 +
y
x
logb (xr ) = r · logb (x)
loga x =
lg x
ln x
=
lg a
ln a
17
KAPITEL 1. RECHENREGELN
1.2.8
Trigonometrie
Trigonometrie im Dreieck
sin α =
G
H
H: Hypotenuse
18
cos α =
A
H
A: Ankathete
tan α =
G
A
cot α =
A
G
G: Gegenkathete
1.2. RECHENREGELN
Umkehrfunktionen der trigonometrischen Funktionen
α = arcsin
G
H
α = arccos
A
H
α = arctan
G
A
α = arccot
A
G
Trigonometrie bei Signalen
y = A · sin(ω · x + ϕ) + B
A: Amplitude
ω: Frequenz 2π
T
ϕ: Phasenverschiebung
B: Offset
Berechnen von Trigonometrischen Funktionen durch Andere
sin x =
1 − cos2 x =
tan2 x
1 + tan2 x
cos x =
1 − sin2 x =
1
1 + tan2 x
tan x =
sin x
1 − sin2 x
√
=
1 − cos2 x
sin x
=
cos x
cos x
sin2 x + cos2 x = 1
Additionstheoreme
sin(x + y) = sin(x) · cos(y) + cos(x) · sin(y)
sin(2x) = 2 · sin(x) · cos(x)
cos(x + y) = cos(x) · cos(y) − sin(x) · sin(y)
cos(2x) = cos2 (x) − sin2 (x) = 2 · cos2 (x) − 1
19
KAPITEL 1. RECHENREGELN
1.2.9
Spezielle Werte der Winkelfunktionen
ϕ
[◦ ]
−180◦
−150◦
−135◦
−120◦
−90◦
−60◦
−45◦
−30◦
0◦
30◦
45◦
60◦
90◦
120◦
135◦
150◦
180◦
210◦
225◦
240◦
270◦
300◦
315◦
330◦
360◦
20
[rad]
−π
− 5π
6
− 3π
4
− 2π
3
− π2
− π3
− π4
− π6
0
=
=
=
=
=
=
=
=
=
= π6
= π4
= π3
= π2
= 2π
3
= 3π
4
= 5π
6
= π
= 7π
6
= 5π
4
= 4π
3
= 3π
2
= 5π
3
= 7π
4
= 11π
6
= 2π
sin(ϕ)
cos(ϕ)
0
1
−√
2
1
− 2 √2
− 12 3
−1
√
− 12 √3
− 12 2
− 12
0
−1
√
− 12 √3
− 12 2
− 12
0
1
2
√
1
2 √2
1
2 3
1
√
1
2 √3
1
2 2
1
2
0
1
−√
2
− 12 √2
− 12 3
−1
√
− 12 √3
− 12 2
− 12
0
1
2
√
1
2 √2
1
2 3
1
√
1
2 √3
1
2 2
1
2
0
1
−√
2
1
− 2 √2
− 12 3
−1
√
− 12 √3
− 12 2
− 12
0
1
2
√
1
2 √2
1
2 3
1
tan(ϕ)
cot(ϕ)
0
√
n.√def
3
1
√
1
3 3
0√
− 31 3
−1
√
− 3
n.√def
3
1
√
1
3 3
0√
− 31 3
−1
√
− 3
n.√def
3
1
√
1
3 3
0√
− 31 3
−1
√
− 3
n. def
1
3
3
√1
3
n. √
def
− 3
−1
√
− 13 3
0
√
1
3 3
√1
3
n. √
def
− 3
−1
√
− 13 3
0
√
1
3 3
√1
3
n. √
def
− 3
−1
√
− 13 3
0
1.2. RECHENREGELN
1.2.10
Quadratische Gleichung
f (x) = a · x2 + b · x + c
x1,2 =
1.2.11
−b ±
√
b2 − 4ac
2a
Kubische Gleichung
Kubische Gleichungen können mit den Cardanischen Formeln gelöst
werden.
Wenn der konstante Teil 0 ist, kann x ausgeklammert werden.
ax3 + bx2 + cx = 0
x(ax2 + bx + c) = 0
→ x1 = 0
ax2 + bx + c =√ 0
b2 −4ac
→ x2,3 = −b± 2a
Vorsicht beim TI-89
Wird beim TI-89 y = x · (. . .) eingegeben, muss y=x*(...) eingegeben
werden. x(...) wird vom Taschenrechner als Funktion interpretiert.
1.2.12
Faktorisieren
In einigen Fällen ist es einfacher, ein Polynom zu faktorisieren. Das ist
im Besonderen der Fall, wenn die binomischen Formeln angewendet
werden können. Dabei wird der Term in ein Produkt aus Elementen
der Form (x+a) aufgeteilt. Jeder dieser Terme kann mit 0 gleichgesetzt
werden und liefert somit jeweils eine der Lösungen.
Beispiel:
x2 + (a + b) · x + a · b = 0
⇒ (x + a) · (x + b) = 0
⇒ (x + a) = 0, (x + b) = 0
→ x1 = −a, x2 = −b
21
KAPITEL 1. RECHENREGELN
Faktorisieren mit dem TI-89
Soll ein Term der Form x3 − ax faktorisiert werden, kann es vorkom2
men, dass man ein Ergebnis
√ der Form x(x − a) erhält. Damit der
Taschenrechner nach x(x − a)(x + (a)) faktorisiert, kann beim Befehl factor als zweites Argument die Variable, nach der faktorisiert
werden soll, übergeben werden.
→ factor(x^3-a,x)
1.2.13
Binomische Formeln
Erste Binomische Formel:
(a + b)2 = a2 + 2 · a · b + b2
Zweite Binomische Formel:
(a − b)2 = a2 − 2 · a · b + b2
Dritte Binomische Formel:
(a + b) · (a − b) = a2 − b2
1.2.14
Verkettete Funktionen
(f ◦ g)(x) := f (g(x))
1.2.15
Grenzwerte
lim (f1 (x) + f2 (x)) = lim (f1 (x)) + lim (f2 (x))
x→x0
x→x0
x→x0
lim (f1 (x) − f2 (x)) = lim (f1 (x)) − lim (f2 (x))
x→x0
x→x0
x→x0
lim (f1 (x) · f2 (x)) = lim (f1 (x)) · lim (f2 (x))
x→x0
lim
x→x0
22
x→x0
f1 (x)
f2 (x)
=
lim (f1 (x))
x→x0
lim (f2 (x))
x→x0
x→x0
1.2. RECHENREGELN
lim (c · f1 (x)) = c · lim (f1 (x))
x→x0
lim
x→x0
x→x0
lim (f1 (x))
c(f1 (x)) = c
x→x0
n
lim ((f1 (x))n ) =
x→x0
lim
n
x→x0
lim (f1 (x))
x→x0
(f1 (x)) =
n
lim (f1 (x))
x→x0
lim (log (f1 (x))) = log lim (f1 (x))
x→x0
1.2.16
x→x0
Berechnung von Grenzwerten
Um Grenzwerte zu ermitteln muss der Ausdruck so angepasst werden,
dass eindeutig bestimmt werden kann, was sich daraus ergibt. Dies
wird durch Anwenden der zuvor aufgezeigten Rechenreglen erreicht.
Bsp.:
lim
n→∞
α · n2
n2 − 1
Um den Grenzwert zu ermitteln muss der Ausdruck erweitert werden
und zwar so, dass
• der Term äquivalent bleibt
• n entfällt
Um die geforderten Bedingungen zu erfüllen wird der Term durch den
reziproken Wert von n mit der höchsten Potenz (im Zähler!) erweitert.
In diesem Fall mit n12 . Eine weitere Regel besagt, dass konstante Faktoren vorangenommen werden können. Nun sieht es wie folgt aus:
α lim
n→∞
· (n2 )
· (n2 − 1)
1
n2
1
n2
Vereinfacht man diesen Ausdruck durch elementare Algebra so erhält
23
KAPITEL 1. RECHENREGELN
man:



α lim 
n→∞
1

1 
1− 2
n
0
Der Audruck
folgende:
1
n2
geht für n → ∞ gegen 0. Daraus ergibt sich das
α·1=α
Berechnung von Grenzwerten mit dem TI-89
limit(EXP,VAR,POINT[,DIRECTION])
EXP
VAR
POINT
DIRECTION
Ausdruck
Variable
Punkt
Richtung
bezeichnet den Term
bezeichnet die Variable
bezeichnet den Variablenwert
bezeichnet die Richtung
von oben: 1
von unten: -1
Bsp.: limit((x^2-2)/(x-2),x,2,-1)
x2 − 2
erzeugt die Ausgabe lim− (
)
x−2
x→2
=
−∞
L’Hôpital
Die Regel von L’Hôpital besagt, dass wenn man einen Grenzwert der
Form
lim
x→x0
f (x)
0
⇒ lim f (x) = lim g(x) = 0 ⇒ lim
x→x0
x→x0
x→x0 0
g(x)
hat, kann der Grenzwert auch über die Ableitungen ermittelt werden,
falls der Grenzwert existiert. Erhält man wieder einen unbestimmten
Ausdruck, so kann erneut die Regel von L’Hôpital angewendet werden
24
1.2. RECHENREGELN
(dies kann man so oft wie nötig wiederholen).
lim
x→x0
1.2.17
f (x)
f (x)
= lim
g(x) x→x0 g (x)
Hyperbolicus
sinh(x) =:
1 x
e − e−x
2
cosh(x) =:
1 x
e + e−x
2
1.2.18
falls Bedingungen erfüllt sind!
Fakultät
K! = 1 · 2 · 3 · . . . · K
0! := 1
(K + 1)! = 1 · 2 · . . . · K · (K + 1) = (K + 1) · K!
(K − 1)! = 1 · 2 · . . . · (K − 1) = 1 · 2 · . . . · (K − 1) ·
K
K!
=
K
K
25
KAPITEL 1. RECHENREGELN
Einige Fakultäten
0!
1!
2!
3!
4!
5!
6!
7!
8!
9!
10!
11!
12!
13!
14!
15!
16!
17!
18!
19!
20!
26
=
1
=
1
=
2
=
6
=
24
=
120
=
720
=
5 040
=
40 320
=
362 880
=
3 628 800
=
39 916 800
=
479 001 600
=
6 227 020 800
=
87 178 291 200
=
1 307 674 368 000
=
20 922 789 888 000
=
355 687 428 096 000
=
6 402 373 705 728 000
=
121 645 100 408 832 000
= 2 432 902 008 176 640 000
1.2. RECHENREGELN
1.2.19
Pascal’sches Dreieck
Um ein Pascal’sches Dreieck zu zeichnen beginnt man mit einer “1“.
Diagonal rechts und links unterhalb werden wieder zwei Zahlen gezeichnet. So wird das Dreieck Reihe für Reihe aufgebaut. Jede Zahl
wird dabei aus der Summe der beiden Zahlen links und rechts oberhalb
berechnet. Stellen an denen keine Zahl steht werden als Null gezählt.
1
1
1
1
1
1
1
2
3
4
5
6
1
3
6
10
15
1
1
4
10
20
1
5
15
1
6
1
Abbildung 1.1: Pascal’sches Dreieck bis zum Grad 6
Formel
(x+y)n = axn y 0 +bxn−1 y 1 +cxn−2 y 2 +dxn−3 y 3 +. . .+ux1 y n−1 +vx0 y n
Die Konstanten a, b, c . . . sind die Koeffizienten aus dem Pascalschen
Dreieck (Zeilen) und n ist der Grad. Bei einen Binom vierten Grades
(x + y)4 wären dies
n=4
und
a = 1, b = 4, c = 6, d = 4, e = 1
und somit
(x + y)4 = 1x4 y 0 + 4x3 y 1 + 6x2 y 2 + 4x1 y 3 + 1x0 y 4
27
KAPITEL 1. RECHENREGELN
Achtung! Bei einem Binom der Form (x − y)n alterniert das Vorzeichen.
28
1.3. DEFINITIONS- UND WERTEBEREICH
1.3
Definitions- und Wertebereich
f (x)
D
1
x=0
√x
x
x≥0
√
n
x
x≥0
√
n
x
x∈R
ax
x∈R
loga (x)
x>0
sin(x)
x∈R
cos(x)
x∈R
tan(x)
x = π2 + k · π
cot(x)
x=k·π
arcsin(x)
−1 ≤ x ≤ 1
arccos(x)
−1 ≤ x ≤ 1
arctan(x)
x∈R
arccot(x)
x∈R
sinh(x)
x∈R
cosh(x)
x∈R
arcsinh(x)
x∈R
arccosh(x)
x≥1
x!
x∈N
W
→
f (x) ∈ R
→
f (x) ≥ 0
→
f (x) ≥ 0
→
f (x) ∈ R
→
f (x) > 0
→
f (x) ∈ R
→ −1 ≤ f (x) ≤ 1
→ −1 ≤ f (x) ≤ 1
→
f (x) ∈ R
→
f (x) ∈ R
→
f (x) ∈ R
→
f (x) ∈ R
→ f (x) = π2 + k · π
→
f (x) = k · π
→
f (x) ∈ R
→
f (x) ≥ 1
→
f (x) ∈ R
→
f (x) ∈ R
→
f (x) ∈ N
| n2 ∈ Z
| n2 + 1 ∈ Z
|k ∈ Z
|k ∈ Z
|k ∈ Z
|k ∈ Z
29
KAPITEL 1. RECHENREGELN
1.4
1.4.1
Darstellung von Funktionen
Polares Koordinatensystem
Eine Funktion kann auch im Polaren Koordinatensystem definiert werden. Dabei wird jeder Punkt durch den Abstand zur Ordinate und den
Winkel zur x-Achse definiert.
1.4.2
Umrechnung Kartesisch → Polar
r=
x2 + y 2
ϕ = arctan
y
x
Achtung! Bei arctan() geht die Information über den Quadrant, in
dem sich der Punkt befindet, verloren. Daher muss aufgrund der Vorzeichen der kartesischen Koordinaten entschieden werden, ob der Winkel stimmt. Ist der y-Achsenabschnitt positiv, so liegt ϕ zwischen 0
und π bzw. 180◦ . Bei negativem Vorzeichen liegt ϕ zwischen −pi bzw.
−180◦ und 0.
1.4.3
Umrechnung Polar → Kartesisch
x = r · cos ϕ
y = r · sin ϕ
30
1.4. DARSTELLUNG VON FUNKTIONEN
1.4.4
Parameterdarstellung
Bei der Paramaterdarstellung wird jeder Punkt durch die x- und die
y-Koordinate definiert.
r(t) =
x(t)
y(t)
Geraden
Für die Gerade zwischen zwei Punkten A und B, ausgehend von A
nach B, kann die Parameterform allgemein als

 

Ax
Bx − Ax
−→
−−→
r(t) = OA + t · AB = Ay  + t · By − Ay 
B z − Az
Az
beschrieben werden.
y
B
−
OA→
A
−−→
AB
x
Ebenen
Analog zum Verfahren bei Geraden, kann auch für die Ebene eine
Parameterdarstellung aufgestellt werden. Hierzu wird die Beziehung
lediglich erweitert um eine weitere Richtung, welche eine Fläche Aufspannt zwischen drei Punkten A,B und C.
 




A
B x − Ax
Cx − Ax
−→
−−→
−→  x 
r(t) = OA+t1 ·AB+t2 ·AC = Ay +t1 ·By − Ay +t2 ·Cy − Ay 
Az
Bz − Az
C z − Az
31
KAPITEL 1. RECHENREGELN
z
Ebene ε
−→
AC
C
A
−→
O
A
B
−−→
AB
x
y
Beliebige Funktionen
Für eine beliebige Funktion im Raum erhält man die Parameterdarstellung am einfachsten, wenn eine der Komponenten gleich t gewählt
wird, z.B. x(t) = t. Die anderen Komponenten werden dann dieser
Wahl ensprechend angepasst. Die Funktion y = x2 beispielsweise wird
mit der Wahl x(t) = t zu
r(t) =
t
t2
y
y = x2
x
32
1.4. DARSTELLUNG VON FUNKTIONEN
Kreise
Kreise werden generell mittels Sinus- und Kosinuskomponenten dargestellt. Handelt es sich dabei um einen Kreis mit Mittelpunkt in O(0|0)
mit Radius r = 1 so kann dieser dargestellt werden als
r(t) =
cos(t)
sin(t)
, 0 ≤ t < 2π
y
+1
+1 x
−1
−1
Ellipsen
Ein Kreis lässt sich modifizieren zu einer Ellipse mittels den Amplituden An und Versätzen bn zu
r(t) =
A1 · cos(t) + b1
A2 · sin(t) + b2
, 0 ≤ t < 2π
y
A2
b2
A1
x
b1
33
KAPITEL 1. RECHENREGELN
Differential
Die Ableitung von Funktionen in der Parameterdarstellung wird im
Abschnitt 4.1.5 (Seite 49) behandelt. Die partielle Ableitung, also der
Gradient, wird im Abschnitt 10.10 (Seite 109) erläutert.
34
Kapitel 2
Vektorgeometrie
35
KAPITEL 2. VEKTORGEOMETRIE
2.1
Vektorgeometrie in der Ebene
2.1.1
Abstand zweier Punkte
P1 P2 =
2.1.2
(x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2
Geradengleichungen
Normalform (explizite Form)
g : y = mx + q
Steigung m =
y2 − y1
∆y
=
= tanϕ
x2 − x1
∆x
Koordinatenform (implizite Form)
g : ax + by + c = 0
Achsenabschnittsform
g:
x y
+ =1
p
q
Hesse’sche Normalform
ax + by + c
g: √
=0
a2 + b2
Parameterform
g : r = r0 + t · a =
36
x0
y0
+t·
ax
ay
2.1. VEKTORGEOMETRIE IN DER EBENE
2.1.3
Normalenvektor
Der Normalenvektor ist ein Vektor, welcher senkrecht auf einem anderen Vektor bzw. einer Geraden liegt. Hier im Beispiel in welchem
n⊥g(x)
n=
nx
ny
=
a
b
=
Der Richtungsvektor von g(x) ist
2.1.4
−ay
ax
ax
ay
⇒
−ay
ax
= n.
Abstand Punkt zu Gerade
Für eine Gerade g : ax + by + c = 0 und einen Punkt P1 (x1 |y1 ) gilt:
d=
2.1.5
ax1 + by1 + c
√
a2 + b2
Schnittwinkel zwischen Geraden
Für den spitzen Schnittwinkel ϕ zwischen den Geraden
g1 : y = m1 x + q1 und g2 : y = m2 x + q2 gilt:
tanϕ =
m2 − m1
1 + m1 · m2
für ϕ = 90◦
g1 ||g2 ⇔ m1 = m2 und g1 ⊥g2 ⇔ m2 = −
1
m1
für m1 = 0
37
KAPITEL 2. VEKTORGEOMETRIE
2.2
2.2.1
Vektorgeometrie im Raum
Ortsvektor
Ein Ortsvektor beschreibt den Vektor vom Urspung des Koordinatensystems O(0|0|0) zu einem beliebigen Punkt P (x|y|z).

x
−−→
r = OP = xex + y ey + z ez :=  y 
z

Die Vektoren ex , ey , ez sind die Einheitsvektoren des Koordinatensystems (meist einfach 1 ohne Einheit).
2.2.2
Länge eines Ortsvektors (Norm bzw. Betrag)
||r|| = r =
2.2.3
x2 + y 2 + z 2
Länge eines Vektors (Norm bzw. Betrag)
−−−→
||a|| = a = P1 P2 =
a2x + a2y + a2z
In dieser Form entspricht a der Raumdiagonale im Quader zu (ax |ay |az ).
2.2.4
Vektor aus Anfangs- und Endpunkt
Möchte man den Vektor a von P1 (Anfangspunkt) zu P2 (Endpunkt)
haben, so rechnet man Anfang - Ende, bzw. P2 − P1 .


x2 − x1
−−−→
a = P1 P2 = r2 − r1 =  y2 − y1 
z2 − z1
38
2.3. RECHENOPERATIONEN MIT VEKTOREN
2.2.5
Distanz zweier Punkte
Um die Distanz von P1 zu P2 zu ermitteln, berechnet man die Norm
−−−→
von P1 P2 .
P 1 P2 =
2.2.6
(x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2 + (z2 + z1 )2
Mittelpunkt einer Strecke
rM =
1
· (r1 + r2 )
2
⇒ xM =
2.3
2.3.1
x1 + x2
2
ym =
y1 + y2
2
zM =
z1 + z2
2
Rechenoperationen mit Vektoren
Addition/Subtraktion

 
 

ax
bx
ax ± bx
a ± b =  ay  ±  by  =  ay ± by 
az
bz
az ± bz
2.3.2
Multiplikation mit Skalar

 

ax
k · ax
k · a = k ·  ay  =  k · ay 
az
k · az
2.3.3
für k ∈ R
Skalarprodukt
a · b = ||a|| · ||b|| · cos(ϕ) = ax bx + ay by + az bz
Der Winkel ϕ ist der Zwischenwinkel von a und b.
Für a = 0, b = 0 gilt: a⊥b ⇔ a · b = 0!
39
KAPITEL 2. VEKTORGEOMETRIE
2.3.4
Winkel zwischen zwei Vektoren
cosϕ =
cosϕ =
2.3.5
a·b
||a|| · ||b||
ax bx + ay by + az bz
a2x + a2y + a2z
b2x + b2y + b2z
Vektorprodukt (Kreuzprodukt)
Mit dem Vektorprodukt erhält man einen Vektor der senkrecht zur
Ebene steht, also den Normalenvektor zur Ebene.

 
 

ax
bx
ay bz − az by
c = a × b =  ay  ×  by  =  az bx − ax bz 
az
bz
ax by − ay bx
Die Fläche des von a und b aufgespannten Parallelogramms entspricht
der Norm des Vektorprodukts c = |a × b| = a · b · sinϕ. Zu Beachten
ist, dass b × a = −(a × b)
2.3.6
Spatprodukt
Das Spatprodukt entspricht dem Volumen welches von drei Vektoren
aufgespannt wird.
(a, b, c) = (a × b) · c = (b × c) · a = (c × a) · b
40
Kapitel 3
Folgen und Reihen
41
KAPITEL 3. FOLGEN UND REIHEN
3.1
Folgen
a1 (bzw. a0 ) ist das erste Glied einer Folge
an ist das n-te Glied einer Folge
3.1.1
Form
Für die Form einer Folge existieren drei Spezialfälle. Für (an )n∈N gilt
die Folge je nach dem als
monoton wachsend
an+1 ≥ an
∀ n ∈ N Bsp.: an = 2n , an+1 = 2n+1
monoton fallend
an+1 ≤ an
∀ n ∈ N Bsp.: an =
1
n,
an+1 =
1
n+1
alternierend
an+1 · an < 0 Bsp.: an := (−2)n , an+1 = (−2)n+1 · (−2)n = (−2)2n+1
Bei den monoton wachsend/fallenden Folgen kann noch weiter unterschieden werden zwischen streng monoton und einfach monoton.
Streng monoton bedeutet dann, dass an = an+1 wobei das bei einfach
monotonen der Fall sein kann (vgl. 4.2.3).
3.1.2
rekursive Darstellung
Bei der rekursiven Darstellung wird eine Folge durch einen Startwert
und eine Abbildungsvorschrift dargestellt.
Startwert
f (1) = a1
Vorschrift F (an , . . . , an−k ) := f (n + 1) = an+1
∀ k = konst
Ist k > 1, so müssen mehrere Startwerte festgelegt werden.
42
3.1. FOLGEN
3.1.3
arithmetische Folgen
d ist die Differenz zwischen zwei benachbarten Gliedern
d = an+1 − an
an+1 = an + d
a0 : an =
a0 + n · d
a1 : an = a1 + (n − 1)d
3.1.4
geometrische Folgen
q ist der Quotient von zwei benachbarten Gliedern
an+1
=q
an
an+1 = an · q
a0 : an = q n a0
a1 : an = q n−1 a1
Folgen mit dem TI-89
seq(EXP,VAR,LOW,HIGH[,STEP])
EXP
VAR
LOW
HIGH
STEP
Ausdruck
Variable
untere Grenze
obere Grenze
n-Schritte
bezeichnet den Term
bezeichnet die inkrementierte Variabel
Anfangspunkt der Inkrementierung
Endpunkt der Inkrementierung
Zeigt Resultate mit n-ten Schritt
Bsp.: seq(1/x,x,1,10,5) erzeugt die Ausgabe {1
3.1.5
1/6}
Konvergenz von Folgen
Eine Folge ist konvergent, wenn sich die Folge mit steigendem Index
einer Zahl annähert. Diese Zahl wird Grenzwert genannt.
lim an = a
n→∞
a∈R
43
KAPITEL 3. FOLGEN UND REIHEN
Rechenregeln
an −−−→ a, bn −−−−→ b
→∞
n→∞
n→∞
an + bn −−−−→ a + b
n→∞
an − bn −−−−→ a − b
n→∞
an · bn −−−−→ a · b
n→∞
α · an −−−−→ α · a,
an n→∞ a
−−−−→ ,
bn
b
α∈R
falls bn = 0 ∀ n ∈ N
Konvergenz von Folgen mit dem TI-89
Für die Berechnung von Grenzwerten mit dem TI-89 siehe 1.2.16.
44
3.2. REIHEN
3.2
Reihen
Sn ist die Summe aller Glieder von a1 bis an .
n
Sn =
ak = a1 + a2 + a3 · · · + an
k=1
3.2.1
arithmetische Reihe
a0 : Sn = (n + 1) a0 + d
a1 :
3.2.2
Sn = n · a1 + d ·
n
a0 + an
= (n + 1)
2
2
n−1
2
=n·
a1 + an
2
geometrische Reihe
Für q = 1 :
a0 :
Sn = a0 ·
a1 : Sn = a1 ·
1 − q n+1
1−q
1 − qn
1−q
Für q = 1 :
a0 :
Sn = a0 · (n + 1)
a1 : Sn = a1 1 + 11 + 12 + . . . + 1n−1 = a1 · n
Unendliche geometrische Reihe
Für |q| < 1 : S = lim Sn =
n→∞
a1
1−q
a1 ist hier das erste Element der geometrischen Folge!
45
KAPITEL 3. FOLGEN UND REIHEN
3.2.3
Konvergenz
Quotientenkriterium
Um die Konvergenzfrage einer geometrischen Reihe zu klären betrachtet man
lim
n→∞
an+1
= lim |q|
n→∞
an
Hierbei können drei verschiedene Ergebnisse entstehen:
|q| < 1 die Reihe konvergiert
|q| > 1 die Reihe divergiert
|q| = 1 keine Aussage möglich
Dies wird als Quotientenkriterium bezeichnet.
Wurzelkrierium
Eine weitere Methode zur Klärung der Konvergenzfrage liefert das so
genannte Wurzelkriterium.
1
lim (|an |) n = q
n→∞
Daraus können wie beim Quotientenkriterium drei Fälle eintreten:
|q| < 1 die Reihe konvergiert
|q| > 1 die Reihe divergiert
|q| = 1 keine Aussage möglich
3.2.4
Reihen mit dem TI89 berechnen
(Ausdruck, Variable, untere Grenze, obere Grenze)
(EXP,VAR,LOW,HIGH)
EXP
VAR
LOW
HIGH
46
Ausdruck
Variable
untere Grenze
obere Grenze
bezeichnet den Term der die Reihe beschreibt
bezeichnet die inkrementierte Variable
Anfangspunkt der Inkrementierung
Endpunkt der Inkrementierung
Kapitel 4
Differenzieren
47
KAPITEL 4. DIFFERENZIEREN
4.1
Ableitungsregeln
4.1.1
Schreibweisen
f (x) =
4.1.2
d
f (x)
dx
Stetigkeit
Eine Funktion wird als stetig bezeichnet, wenn die Funktion keine
Sprungstellen1 hat (für das MATH-Modul ist diese Definition ausreichend).
4.1.3
Differenzierbarkeit
Der Begriff Differenzierbarkeit sagt aus, dass wenn eine Funktion differenzierbar ist, zu jedem Punkt genau eine Tangente existiert. Damit
dies möglich ist, muss die Funktion stetig sein.
Bsp.: f (x) = |x| ist stetig aber nicht differenzierbar in x = 0, denn
vom positiven Bereich aus betrachtet hat die Funktion die Steigung 1.
Vom negativen Bereich aus betrachtet hat die Funktion die Steigung
-1. Im Punkt x = 0 ist somit nicht klar, welche Steigung gilt.
 α·x

x≤γ

ξ
Bsp.:
f (x) =
β·x


x>γ
ψ
In diesem Beispiel ist die Funktion f definiert hin zu γ (von rechts und
von links aus). Soll die Funktion an der Stelle γ differenzierbar sein,
so müssen in γ die Funktionswerte und Steigungen von beiden Seiten
her identisch sein.
β·x
α·x
D.h. im Punkt x = γ gilt, dass α·x
= β·x
ist.
ξ = ψ und
ξ
ψ
1 Salopp
gesagt heisst dies, dass die Funktion ohne Absetzten des Stiftes gezeichnet werden kann.
48
4.1. ABLEITUNGSREGELN
4.1.4
Grundoperationen
Summenregel
(u(x) + v(x)) = u (x) + v (x)
Wichtig: Ableitung einer konstanten Funktion ist Null!
⇒ (u(x) + c) = u (x) für c ∈ R
Faktorregel
(c · u(x)) = c · u (x)
Ein konstanter Faktor bleibt beim Differenzieren (Ableiten) erhalten!
Produkteregel
(u(x) · v(x)) = u (x) · v(x) + u(x) · v (x)
Quotientenregel
u(x)
v(x)
=
u (x) · v(x) − u(x) · v (x)
v 2 (x)
gilt falls v(x) = 0 !
Kettenregel
(u(v(x))) = v (x) · u (v(x))
4.1.5
Ableitung von Kurven in Parameterdarstellung
γ(t) =
x(t)
y(t)
⇒
γ(t)
˙
=
x(t)
˙
y(t)
˙
Falls γ keine vertikalen Tangenten besitzt, so kann man die Spur von γ
(d.h. das Schaubild) lokal als Graph einer differenzierbar reellwertigen
Funktion auffassen. Wir können also schreiben
y(x(t)) = y(t)
49
KAPITEL 4. DIFFERENZIEREN
und damit gilt:
d
y(t)
˙
d
y(x(t)) = y(t), ⇔ y (x(t))x(t)
˙
= y(t),
˙
⇔ y (x(t)) =
dt
dt
x(t)
˙
4.1.6
Implizites Ableiten
Eine implizite Funktion F ist definiert durch das Nullstellengebilde
F (x, y) = 0
Manchmal2 kann man eine Funktion f (x) = (y(x)) finden.
F (x, f (x)) = 0
Soll nun eine Tangente an diese Funktion gelegt werden, kann auch
hier die Tangentengleichnung (4.2.1) angewendet werden.
T (x) = f (x0 )(x − x0 ) + f (x0 )
x0 und f (x0 ) sind durch den Punkt, an welchem die Tangente angelegt
werden soll vorgegeben. Um f (x0 ) zu erhalten muss die Funktion nach
x abgeleitet werden. Dafür ist y als f (x) zu betrachten und die Kettenregel anzuwenden. Anschliessend wird die erhaltene Gleichung nach
f (x) aufgelöst und kann dann in die Tangentengleichnung eingesetzt
werden.
4.1.7
Ableiten mit dem TI-89
d(EXPR,VAR[,ORDER])
EXPR
VAR
ORDER
Ausdruck
Variable
Ordnung
bezeichnet den Term der abgeleitet werden soll
bezeichnet die Variable nach der abgeleitet wird
bezeichnet den Grad der Ableitung
Bsp.: Man will die erste Ableitung von (2x2 + 1). Über die Taste
CATALOG gelangt man in die Auswahl, tippt d an für differentiate und
wählt es per ENTER aus. Danach gibt man die verlangten Angaben an:
d(2x^2+1) erzeugt die Ausgabe 4·x
2 für
50
uns immer
4.1. ABLEITUNGSREGELN
4.1.8
Spezielle Regeln
Exponenten
(xn ) = n · x(n−1)
(ex ) = ex
(ek·x ) = k · ek·x
(ax ) = lna (ax )
Logarithmen
(ln(x)) =
1
x
Trigonometrie
(sin(x)) =
cos(x)
(cos(x)) = −sin(x)
√
1
1 − x2
(arccos(x)) = − √
1
1 − x2
(arcsin(x)) =
(tan(x)) =
1
cos2 (x)
(arctan(x)) =
1
1 + x2
(cot(x)) = −
1
sin (x)
(arccot(x)) = −
1
1 + x2
2
Hyperbolicus
(sinh(x)) = cosh(x)
(cosh(x)) = sinh(x)
51
KAPITEL 4. DIFFERENZIEREN
Ableitungen und unbestimmte Integrale spezieller Funktionen
Siehe 5.12 auf Seite 63.
52
4.2. KURVENDISKUSSION
4.2
Kurvendiskussion
4.2.1
Tangentengleichnung
T (x) = f (x0 )(x − x0 ) + f (x0 )
4.2.2
Normale zur Tangente
T (x) =
4.2.3
−1
· (x − x0 ) + f (x0 )
f (x0 )
Steigen und Fallen
f
f
f
f
(x) ≥ 0
(x) ≤ 0
(x) > 0
(x) < 0
auf
auf
auf
auf
⇒
⇒
⇒
⇒
I
I
I
I
f
f
f
f
ist
ist
ist
ist
monoton wachsend in I
monoton fallend in I
streng monoton wachsend in I
streng monoton fallend in I
I entspricht einem Intervall! Dies bedeutet, ist f (x) über den gesamten
Bereich immer ≥ 0 so ist f monoton wachsend. Ist f (x) über den
gesamten Bereich ≤ 0 so ist sie monoton fallend.
4.2.4
Krümmungsverhalten
f (x) > 0 auf I
f (x) < 0 auf I
4.2.5
⇒
⇒
Kurve ist konvex bzw. linksgekrümmt
Kurve ist konkav bzw. rechtsgekrümmt
Extremum
Ein Extremum ist ein Punkt, zu welchem die Ableitung 0 ergibt. Solch
ein Extremum kann ein Maximum oder Minimum sein. Zusätzlich ist
zu definieren, ob es sich um ein lokales oder globales Extremum handelt.
f (x0 ) = 0 ∧ f (x0 ) < 0
f (x0 ) = 0 ∧ f (x0 ) > 0
⇒ lokales Maximum in x0
⇒ lokales Minimum in x0
53
KAPITEL 4. DIFFERENZIEREN
4.2.6
Wendepunkt
Als Wendepukt bezeichnet man jene Stelle, an welcher die Krümmung
der Funktion wechselt (konkav zu konvex und umgekehrt). Im Wendepunkt ist die Steigung jeweils von beiden Seiten aus betrachtet (d.h
aus x0 > 0 und x0 < 0) extremal.
Notwendiges Kriterium
Wendepunkt in x0
⇒ f (x0 ) = 0
Hinreichendes Kriterium
f (x0 ) = 0 ∧ f (x0 ) = 0 ⇒ Wendepunkt in x0
Achtung: Ist die dritte Ableitung 0, so kann an dieser Stelle trotzdem
ein Wendepunkt sein.
4.2.7
Sattelpunkt
Ein Sattelpunkt ist ein Wendepunkt mit horizontaler Wendetangente.
f (x0 ) = f (x0 ) = 0 ∧ f (x0 ) = 0 ⇒ Sattelpunkt in x0
54
4.3. KRÜMMUNG
4.3
Krümmung
Die Krümmung κ misst wie stark eine Kurve γ gekrümmt ist (vgl. Kreis
hat eine konstante Krümmung). Die Krümmung wird unterschieden in
mittlere und momentane Krümmung.
mittlere
∆α
∆s
momentane
δα
δs
r(t) =
κ(x) =
1
|κ(t)|
bzw.
r(x) =
1
|κ(x)|
y (x)
3
(1 + y (x)2 ) 2
55
KAPITEL 4. DIFFERENZIEREN
κ(x) > 0
κ(x) < 0
!
→ y (x) > 0
!
→ y (x) < 0
−−−−−−→
y ist konvex
−−−−−−→
y ist konkav
Achtung!
κ(x) = 0 → y (x) = 0 −−−−−−→
4.4
Wendepunkt!
Scheitelpunkte
Scheitelpunkte sind Stellen an denen die Krümmung maximal ist. Um
diese zu berechnen muss die Krümmung κ(x) abgeleitet und Null gesetzt werden.
!
κ (x) = 0
3
1
y (x)(1 + y (x)2 ) 2 − y (x) 32 (1 + y (x)2 ) 2 2y (x) !
κ (x) =
=0
(1 + y (x)2 )3
56
Kapitel 5
Integral
57
KAPITEL 5. INTEGRAL
5.1
Integral
5.1.1
Riemann Integral
n−1
f (xi ) , ∆x =
An = ∆x
i=0
b−a
, xi = i · ∆x, I = [a, b]
n
Riemann-Summe!
Falls diese Summe resp. Reihe konvergent ist, so schreibt man
b
lim An =
n→∞
5.1.2
Riemann Integral von f über I = [a,b]
Integral für ein beliebiges Polynom
xn =
5.2
f (x)dx
a
xn+1
n+1
Eigenschaften des bestimmten Integrals
5.2.1
Summenregel
b
b
(f (x) + g(x))dx =
a
5.2.2
a
g(x)dx
a
Faktorregel
b
b
α · f (x)dx = α
a
5.2.3
f (x)dx
, ∀α ∈ R
a
Additivität des Integrals
b
c
f (x)dx =
a
58
b
f (x)dx +
b
f (x)dx +
a
f (x)dx
c
,a ≤ c ≤ b
5.2. EIGENSCHAFTEN DES BESTIMMTEN INTEGRALS
Es gilt für:
b
b
xn dx =
a
xn dx =
xn dx −
a
0
0
b
n=0:
, n = −1
b
x0 dx =
a
bn+1 − an+1
n+1
1dx = b − a
a
59
KAPITEL 5. INTEGRAL
5.3
Integrationsregeln
5.3.1
Partielles Integrieren
b
b
f (x) · g(x)dx = f (x) · g(x)
a
b
f (x) · g (x)dx
−
a
a
Hier muss für g(x) jener Ausdruck eingesetzt werden, welcher sich
durch wiederholtes Ableiten eliminieren lässt.
Hinweis: Partielles integrieren verwendet man um einen Ausdruck zu
eliminieren. Dieser Vorgang kann so oft wie nötig wiederholt werden
um etwas zu eliminieren (um x2 zu eliminieren muss zwei mal hintereinander partiell integriert werden).
5.3.2
Substitutionsregel
g(b)
b
f (x)dx =
g (x) · f (g(x))dx
g(a)
5.3.3
a
Summen integrieren
b
b
(x)K
dx =
K=a
5.4
5.4.1
K=a
(x)K+1
K +1
Volumen
Rotationsvolumen
Vx = π
x2
f (x)2 dx
Rotation um die x-Achse
x1
Vy = π
y2
y1
60
f −1 (y)2 dy
Rotation um die y-Achse
5.5. MITTELWERTSATZ DER INTEGRALRECHNUNG
5.5
Mittelwertsatz der Integralrechnung
b
f (x)dx = f (ξ)(b − a)
a
5.6
Bogenlänge
b
S=
1 + y (x)2 dx
a
5.7
Bogenlänge für Kurven
S=
t2
x˙ 2 + y˙ 2 dt
, γ(t) =
t1
5.8
x(t)
, t1 , t2 ∈ I
y(t)
Bogenlängen mit Polarkoordinaten
S=
ϕ2
r˙ 2 (ϕ) + r2 (ϕ)dϕ
ϕ1
5.9
Mantelfläche
AMx = 2π
x2
f (x) 1 + f (x)2 dx
Rotation um die x-Achse
x1
AMy = 2π
y2
y1
f −1 (y) 1 +
d −1 2
f (y) dy
dy
Rotation um die y-Achse
61
KAPITEL 5. INTEGRAL
5.10
Mantelfläche einer Kurve
AMx = 2π
t2
y(t) x˙ 2 + y˙ 2 dt
Bei Rotation um die x-Achse
x(t) x˙ 2 + y˙ 2 dt
Bei Rotation um die y-Achse
t1
AMy = 2π
t2
t1
5.11
Mantelfläche im polaren Koordinatensystem
AMx = 2π
ϕ2
r˙ 2 (ϕ) + r2 (ϕ)
Bei Rotation um die x-Achse
r(ϕ) cos(ϕ) r˙ 2 (ϕ) + r2 (ϕ)
Bei Rotation um die y-Achse
r(ϕ) sin(ϕ)
ϕ1
AMy = 2π
ϕ2
ϕ1
62
5.12. ABLEITUNGEN UND UNBESTIMMTE INTEGRALE
SPEZIELLER FUNKTIONEN
5.12
Ableitungen und unbestimmte Integrale spezieller Funktionen
Integrationskonstante C ist weggelassen
Achtung! In einigen Fällen darf C nicht vernachlässigt werden. Das
ist dann der Fall, wenn die integrierte Funktion nicht bei 0 beginnt.
f (x)
f (x)
a
−
2
1
x2
1
√
x
ax
xr−1
−x−2
=
=
1
x
2
−1
2
xr
r ∈ R\{−1}
1
x
= x−1
√
ln|x|
1
2 3
x2
3
x = x2
cos x
sin x
− cos x
a cos ax
sin ax
− a1 cos ax
− sin x
cos x
sin x
1
a
− a sin ax
cos ax
1+
x = cos12 x
+ a tan2 ax = cosa2 ax
tan x
− ln | cos x|
tan ax
− a1 ln | cos ax|
tan2
a
cx
1 2
x
2
a 2
x
2
xr+1
r+1
x
1
r·
f (x)dx
c∈R
c
0
ex
c·
ex
ex
ax
1
x
1
lna·x
√ 1
1−x2
loga |x|
−√
1
1−x2
1
1+x2
ex
1
c
ecx
ln a · ax
sin ax
· ecx
ax
ln a
ln |x|
x(ln|x| − 1)
x
(ln |x|
ln a
arcsin x
− 1) = x(loga |x| − loga e)
√
x · arcsin x + 1 − x2
arccos x
x · arccos x −
arctan x
x · arctan x −
1
2
√
1 − x2
ln(1 + x2 )
63
KAPITEL 5. INTEGRAL
64
Kapitel 6
Taylorreihen
65
KAPITEL 6. TAYLORREIHEN
6.1
Potenzreihe
Ein Ausdruck der Form
∞
f (x) =
aK xK = a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3 . . . aK xK
K=0
wird Potenzreihe genannt.
ak =
f (K) (x0 )
K!
f (K) (x) ist dabei die K-te Ableitung von f (x) gemeint.
6.1.1
Taylorreihe mit Entwicklungspunkt x0 = 0
∞
f (x) =
K=0
f (K) (x0 )
· (x − x0 )K
K!
f (K) (x) ist dabei die K-te Ableitung von f (x) gemeint.
n
f (x) =
K=0
f (K) (x0 )
(x − x0 )K +
K!
T(n,x0 ) (x)
∞
K=n+1
f (K) (x0 )
(x − x0 )K
K!
Rn+1 (x)
T(n,x0 ) (x) ist dabei das Taylorpolynom vom Grad n und Rn+1 (x) ist
das Restglied.
Für das Restglied gilt: Es gibt eine Zahl ξ zwischen x0 und x so, dass
gilt:
Rn+1 =
f (n+1) (ξ)
· (x − x0 )n+1
(n + 1)!
Dies ist eine Restgliedformel (Lagrangsche Darstellung für Rn+1 ).
66
6.1. POTENZREIHE
6.1.2
McLaurin-Reihe (Taylorreihe mit Entwicklungspunkt x0 = 0)
Eine Taylorreihe mit Entwicklungspunkt x0 = 0 wird MacLaurinReihe genannt
∞
f (x) =
K=0
f (K) (0) K
x
K!
Taylorreihe
f (K) (x) ist dabei die K-te Ableitung von f (x) gemeint.
n
f (x) =
K=0
f (K) (0) K
x +
K!
∞
K=n+1
T(n,x0 ) (x)
f (K) (0) K
x
K!
Rn+1 (x)
T(n,x0 ) (x) ist dabei das Taylorpolynom vom Grad n und Rn+1 (x) ist
das Restglied.
Für das Restglied gilt: Es gibt eine Zahl ξ zwischen x0 und x so, dass
gilt:
Rn+1 =
f (n+1) (ξ)
· (x − x0 )n+1
(n + 1)!
Dies ist eine Restgliedformel (Lagrangsche Darstellung für Rn+1 ).
6.1.3
Konvergenzradius
Der Konvergenzradius sagt aus, innerhalb von welchem Intervall (ausgehend vom Approximationspunkt) eine Potenzreihe konvergiert. Der
Begriff Radius ist dabei ein Skalar auf Ω und nicht im R2 .
|x| < R
|x| > R
|x| = R
⇒ Potenzreihe ist konvergent
⇒ Potenzreihe ist divergent
⇒ überprüfen was für x = R und −x = R gilt
67
KAPITEL 6. TAYLORREIHEN
R=
6.1.4
1
aK
= lim
K→∞
q
aK+1
Einfache Funktionen als Taylorreihen
∞
ex =
K=0
xK
K!
∞
sin(x) =
K=0
∞
cos(x) =
K=0
(−1)K x2K+1
(2K + 1)!
(−1)K x2K
(2K)!
∞
cosh(x) =
K=0
∞
sinh(x) =
K=0
68
x2K
(2K)!
x2K+1
(2K + 1)!
6.1. POTENZREIHE
6.1.5
Binomische Reihe
∞
(1 + x)α =
K=0
α
xk
K
N
nennt man Binomialkoeffizient. Man kann ihn
K
folgendermassen berechnen:
Den Ausdruck
N
K
=
+
+
N!
,N ∈ N ,K ∈ N
K! · (N − K)!
Da für ganzzahlige positive Zahlen
positive N auch folgendes:
∞
(1 + x)α =
K=0
6.1.6
α
xk =
K
N!
K!·(N −K)!
∞
K=0
gilt, gilt für ganzzahlige
α!
xk
K! · (α − K)!
Kochrezept Taylorreihen
1. Stelle finden, an welcher die Funktion approximiert werden soll.
2. Bereich und Genauigkeit bzw. Fehler definieren oder den Grad
der Potenzreihe fix wählen.
3. a0 , a1 , . . . an berechnen. n ist dabei der Grad der Potenzreihe
4. Potenzreihe zusammensetzten
6.1.7
Taylorreihe mit dem TI-89 berechnen
taylor(Funktion,Variable,Ordnung[,Punkt])
Funktion: Funktion, zu welcher die Taylorreihe gesucht ist.
Variable: Variable in Funktion
Ordnung: Ordnung der Taylorreihe
Punkt: Optional: Punkt, an dem die Funktion approximiert wird. (Default:
0)
69
KAPITEL 6. TAYLORREIHEN
70
Kapitel 7
Fourierreihen
71
KAPITEL 7. FOURIERREIHEN
7.1
7.1.1
Fourierreihen
Gerade oder ungerade Funktionen
Gerade Funktion:
f (−x) = f (x)
Geometrisch gesehen, ist der Graph einer geraden Funktion an der
y-Achse spiegelsymmetrisch.
Ungerade Funktion:
f (−x) = −f (x)
Geometrisch gesehen, ist der Graph einer ungeraden Funktion gegenüber dem Ursprung punktsymmetrisch.
Achtung:
Wichtig ist dabei, dass die Funktion erst nach der Erweiterung auf
ganz R darauf geprüft wird, ob sie gerade oder ungerade ist.
So ist sin(x) eine ungerade Funktion. Wird jedoch nur die Periode [0, π]
betrachtet, so ist dies eine gerade Funktion.
7.1.2
n-te Partialsumme für die Periode T
fn (x) =
72
a0
+
2
n
ak · cos
K=1
2π
Kx + bk · sin
T
2π
Kx
T
7.1. FOURIERREIHEN
7.1.3
Koeffizienten für die Periode T
2
T
ak =
bk =
f (x) cos(
T
2
T
T
2
T
T
a0 =
f (x) sin(
2π
Kx)dx
T
2π
Kx)dx
T
f (x)dx
(Mittelwert)
Ist f eine ungerade Funktion d.h. f (−x) = −f (x), so gilt, da der cos(x)
eine gerade Funktion ist:
ak ≡ 0
∀K
a0 ≡ 0
Ist f eine gerade Funktion:
bk ≡ 0
7.1.4
∀K
n-te Partialsumme einer Fourierreihe für die
Periode 0 bis 2π
Die folgende Fourierreihe besitzt eine Periode von 0 bis 2 π. Sie ist ein
Spezialfall der oben beschriebenen Variante.
fn (x) =
7.1.5
a0
+
2
n
(ak · cos(Kx) + bk · sin(Kx))
K=1
Koeffizienten für die Periode 2π
ak =
bk =
1
π
1
π
2π
f (x) cos(Kx)dx
0
2π
f (x) sin(Kx)dx
0
73
KAPITEL 7. FOURIERREIHEN
a0 =
1
π
2π
f (x)dx
(Mittelwert)
0
Ist f eine ungerade Funktion d.h. f (−x) = −f (x), so gilt, da der cos(x)
eine gerade Funktion ist:
ak ≡ 0
∀K
a0 ≡ 0
Ist f eine gerade Funktion:
bk ≡ 0
7.1.6
∀K
Kochrezept zu Fourierreihen
1. Periode bestimmen
Wenn die Periode 2π ist, kann die Formel für die Periode 2π
(7.1.4 Seite 73) verwendet werden. Ansonsten muss die Formel
für die Periode T (7.1.2 Seite 72) verwendet werden.
2. Funktion auf ganz R fortsetzen
3. Bestimmung, ob gerade oder ungerade Funktion
f ungerade: a0 , ak = 0
f gerade: bk = 0
4. a0 , ak und bk berechnen
5. n-te trigonometrische Summe zu f hinschreiben
7.1.7
Koeffizienzen der Fourierreihe mit dem TI-89
berechnen
integrate(Ausdruck,Variable,untere Grenze, obere Grenze)
integrate(EXPR,VAR[,LOW,UP])
EXP
VAR
LOW
HIGH
Für K
74
Ausdruck
bezeichnet den Term der die Fourierreihe beschreibt
Variable
bezeichnet die Variable, nach der integriert wird
untere Grenze Anfangspunkt der Integration
obere Grenze
Endpunkt der Integration
wird @n1 eingegeben.
Kapitel 8
Komplexe Zahlen
75
KAPITEL 8. KOMPLEXE ZAHLEN
8.1
Definition komplexe Zahlen
Eine komplexe Zahl ist ein Vektor mit einer Komponente im realen
Teil und einer Komponente im imaginären Teil.
8.2
Darstellung von komplexen Zahlen
8.2.1
Gausssche Zahlenebene
Komplexe Zahlen können nicht auf dem Zahlenstrahl abgebilder werden. Daher wird dafür die gausssche Zahlenebene eingeführt. Das ist
ein Koordinatensystem. Auf der x-Achse liegt der normale Zahlenstrahl. Auf der y-Achse wird die imaginäre Achse gelegt.
Im
a
a + bj
b
Re
Eine komplexe Zahl wird dabei in der Form a + bj dargestellt, wobei
a, b ∈ R.
z = Re + j · Im
76
8.2. DARSTELLUNG VON KOMPLEXEN ZAHLEN
8.2.2
Polardarstellung / Trigonometrische Form
Bei der Polardarstellung wird eine komplexe Zahl nicht mehr mittels
der realen und imaginären Komponenten dargestellt. Stattdessen wird
die Position der Zahl in der gaussschen Zahlenebene durch den Abstand vom Nullpunkt und den Winkel gegenüber der Horizontalen definiert.
Im
r · cis(ϕ)
r
ϕ
Re
z = r · cos(ϕ) + r · j · sin(ϕ) = r · cis(ϕ)
Umrechnung Kartesisch → Polar
r=
a2 + b2
ϕ = arctan
b
a
= arctan
Im
Re
Achtung! Bei arctan() geht die Information über den Quadranten, in
welchem sich die komplexe Zahl befindet verloren. Ist Im positiv, so
ist ϕ in [0, π]. Ist Im negativ, so liegt ϕ in (−π, 0)
8.2.3
Kochrezept kartesisch zu polar
1. Die Komplexe Zahl in die Normalform stellen
Re + j · Im = z
a+j∗b=z
77
KAPITEL 8. KOMPLEXE ZAHLEN
2. Die Norm berechnen (Länge des Vektors)
r = ||z|| =
Re2 + Im2
3. Den Winkel berechnen
tan(ϕ) =
Im
Re
Achtung: Hier entstehen immer zwei Lösungen, von denen jedoch immer nur eine korrekt ist. Faustregel: Siehe in der Tabelle
1.2.9 nach. Ist der Imaginärteil Im negativ, so muss auch der
entsprechende Winkel in der Tabelle negativ sein.
4. Einsetzen in die gewünschte Form
r · ej·ϕ
r · cis(ϕ)
r · (cos(ϕ) + j · sin(ϕ))
Umrechnung Polar → Kartesisch
x = r · cos(ϕ)
y = r · sin(ϕ)
78
8.2. DARSTELLUNG VON KOMPLEXEN ZAHLEN
8.2.4
Exponentialform
z = r · ejϕ
, r = ||z|| ≥ 0, −π < ϕ ≤ π, ϕ im Bogenmass
Eulersche Formel
ejϕ = cos(ϕ) + j · sin(ϕ)
ejπ + 1 = 0
8.2.5
Konjugiert komplex
Der konjugiert komplexe Wert einer komplexen Zahl wird durch das
Spiegeln an der x-Achse erreicht.
a + bj = a − bj
r · cis(ϕ) = r · cis(−ϕ)
r · ejϕ = r · e−jϕ
a
a(b + jc)
ab + jac
ab + jac
=
= 2
= 2
2
2
b − jc
(b − jc)(b + jc)
b + jbc − jbc − j c
b + c2
Im
a + bj
Re
a + bj
79
KAPITEL 8. KOMPLEXE ZAHLEN
8.2.6
Randprobleme
Möchte man eine komplexe Zahl ermitteln, welche zusammengesetzt
mit einer anderen Zahl ein bestimmtes Ergebnis ergibt, kann es als
sog. Randproblem verstanden werden. Diese Randprobleme können
graphisch als auch analytisch gelöst werden.
Graphisch
Grundsätzich geht man von der Form
||z − (a + jb)|| = r
⇔
||z − a − jb|| = r
aus, wobei es statt . . . = r auch . . . = r, . . . > r usw. sein kann. Für den
graphischen Lösungsweg setzt man das Ergebnis nicht als r sondern
als 0 an. So erhält man die komplexe Zahl z, denn dann gilt
||z − a − jb|| = 0
⇒
z = a + jb
Danach kann r ausgehend von z angewendet werden. Ein . . . = r
beudeutet, dass alle Lösungen auf einem Kreis liegen mit Mittelpunkt
z und Radius r. Ein . . . ≤ r bedeutet, dass alle Lösungen auf einer
Kreisfläche mit Mittelpunkt z und Radius r liegen usw.
Im
r
+jb
z
+a
Re
Abbildung 8.1: Randproblem für ||z − (a + jb)|| = r
80
8.3. RECHENREGELN
Analytisch
Um ein Randproblem analytisch zu lösen kann wie folgt vorgegangen
werden.
• Gleichung aufstellen
||(a + jb) − (c + jd)|| = r
• Gleichung in die Form Re + Im = r umformen bzw. j isolieren
als Faktor
||e + j · f || = r
| e = a + c, f = b + d
• Auflösen mit Hilfe der Regel, dass ||e + j · f √
|| die Norm, also die
Länge des Ortsvektors ist und somit gleich Re2 + Im2 ist.
e2 + (j · f )2 = r
Durch
das Quadrieren fällt der Imaginärteil j weg, denn j 2 =
√
2
( −1) = (−1). Somit ergibt sich
e2 + (−1) · f 2 = r
8.3
8.3.1
Rechenregeln
Addition / Subtraktion
Komplexe Zahlen werden in der kartesischen Darstellung komponentenweise addiert und subtrahiert.
z1 + z2 = (Re1 + Re2 ) + j · (Im1 + Im2 )
z1 − z2 = (Re1 − Re2 ) + j · (Im1 − Im2 )
81
KAPITEL 8. KOMPLEXE ZAHLEN
8.3.2
Multiplikation
Für die Multiplikation / Division von komplexen Zahlen ist es am
einfachsten, wenn diese in der polaren Darstellung vorliegen. Wenn
nicht, müssen sie umgeformt werden.
z1 · z2 = (r1 · cis(ϕ1 )) · (r2 · cis(ϕ2 )) = r1 · r2 · cis(ϕ1 + ϕ2 )
z1 · z2 = (r1 · eϕ1 ) · (r2 · ejϕ2 ) = r1 · r2 · ej(ϕ1 +ϕ2 )
||z1 · z2 || = ||z1 || · ||z2 ||
arg(z1 · z2 ) = arg(z1 ) + arg(z2 )
8.3.3
Division
r1
z1
r1 · cis(ϕ1 )
=
=
· cis(ϕ1 − ϕ2 )
z2
r2 · cis(ϕ2 )
r2
z1
r1 · ejϕ1
r1 j(ϕ1 −ϕ2 )
=
=
·e
jϕ
2
z2
r2 · e
r2
z1
z2
=
arg
z1
z2
||z1 ||
||z2 ||
= arg(z1 ) − arg(z2 )
Spezialfall
1
1
= · cis(−ϕ)
z
r
1
= e−jϕ
ejϕ
rejϕ = re−jϕ
82
8.3. RECHENREGELN
8.3.4
Potenzieren
Formel von Moivre
z n = rn · cis(n · ϕ)
n
rejϕ
= rn · ejnϕ
,n ∈ Z
Potenzgesetze
z n · z m = z n+m
m
(z n )
= z n·m
z −n =
1
zn
z1 n · z2 n = (z1 · z2 )n
z1 n
=
z2 n
z1
z2
n
j 1 =j 5 =j 9 =j 4·k+1 = j
j 2 =j 6 =j 10 =j 4·k+2 =−1
j 3 =j 7 =j 11 =j 4·k+3 =−j
j 4 =j 8 =j 12 =j 4·k = 1
8.3.5




k∈R



Wurzeln
Einheitswurzeln
√
n
1 = cis k ·
2π
n
, k = 0, 1, . . . , n − 1
Allgemeine Wurzeln
√
n
√
n
z=
√
n
r cis
rejϕ = rejϕ
ϕ
2π
+k·
n
n
1
n
1
, k = 0, 1, . . . , n − 1
jϕ
= r n · e n +j
2π
n k
, k = 0, . . . , n − 1
83
KAPITEL 8. KOMPLEXE ZAHLEN
8.3.6
Logarithmen
ln(z) = ln(r) + jϕ + 2πkj
,k ∈ Z
Hauptwert für K = 0
ln(z) = ln(r) + jϕ
84
, −π < ϕ ≤ π
Kapitel 9
Differentialgleichungen
85
KAPITEL 9. DIFFERENTIALGLEICHUNGEN
9.1
Definition Differentialgleichungen
Gleichungen, in der eine Variable, eine von dieser Variable abhängige
Funktion und Ableitungen beliebigen Grades dieser Funktion vorkommen, werden Differentialgleichungen genannt.
F (x, y, y , y , . . . , y (n) ) = 0
x heisst dabei unabhängige und y abhängige Variable. Dafür können
auch andere Buchstaben als x und y verwendet werden. Ableitungen
nach t werden auch als y˙ geschrieben.
9.2
Gewöhnliche Gleichung → Differentialgleichung
Um aus einer gewöhnlichen Gleichung eine Differentialgleichung zu erhalten kann folgendes Verfahren verwendet werden.
1. Anzahl der Parameter ermitteln ⇒ n
y = ax → n = 1
2. n-fach ableiten ⇒ n + 1 Gleichungen
y =a
3. Gleichungssystem lösen
y
y = ax ⇒ a =
x
4. erhaltene Parameter einsetzen
y
y =
x
9.3
9.3.1
Grundbegriffe
Ordnung
Die Ordnung einer Differentialgleichung wird durch die höchste vorkommende Ordnung der Ableitungen von y bestimmt.
86
9.4. RICHTUNGSFELD UND TRAJEKTORIEN
9.3.2
Grad
Der Grad einer Differentialgleichung wird durch die höchste vorkommende Potenz von y oder den Ableitungen von y bestimmt. Potenzen
der unabhängigen Variable werden dabei nicht berücksichtigt.
Achtung:
y·y
→
Grad 2
Grad 1
Differentialgleichungen vom Grad 1 nennt man linear.
9.3.3
Lösungen
Eine Gleichung der Form
F (x, y, y , y , . . . , y (n) ) = 0
besitzt eine allgemeine Lösung. Diese enthält n Parameter (n-parametrige
Kurvenschar). Jede Kombination dieser Parameter ergibt eine spezielle bzw. partikuläre Lösung. Durch das Festlegen spezieller Werte für
y, y , y , . . . , y (n) an einer beliebigen Stelle x0 erhält man Werte für die
n Parameter und somit eine partikuläre Lösung.
9.4
Richtungsfeld und Trajektorien
Ein Richtungsfeld ist ein Abbild einer Differentialgleichung im Raum.
Dabei wird jedem Punkt im Raum eine Steigung (Differential) zugewiesen. Im folgenden ein Beispiel eines solchen Richtungsfeldes.
Die Berechnung der einzelnen Punkte erfolgt durch reines einsetzen.
Z.B. für den Punkt P (x = 1, y = −1) ergibt sich 3 + 2(−1) = 1 usw.
9.4.1
Trajektorien
Eine Trajektorie ist eine Bahn oder eine Kurve. Sie kann die Lösung
einer Differentialgleichung darstellen. Es handelt sich dabei um eine
Kurvenschar, welche eine andere Kurvenschar mit immer dem selben
87
KAPITEL 9. DIFFERENTIALGLEICHUNGEN
4
3
2
1
0
-1
-2
-3
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
Abbildung 9.1: Richtungsfeld der Differentialgleichung y = 3 + 2y
Winkel schneidet. Wenn dieser Winkel 90◦ beträgt, so nennt man diese othogonale Trajektorie. Um eine solche orthogonale Trajektorie zu
berechnen kann in drei Schritten vorgegangen werden.
1. Differentialgleichung der Kurvenschar aufstellen in der Form:
y = g(x, y)
2. Differentialgleichung der orthogonalen Trajektorien bilden mit
Hilfe der Regel, dass m2 = − m11 für orthogonale Kurven ist.
1
Somit ergibt sich y = − g(x,y)
3. Allgemeine Lösung der im zweiten Schritt erstellten Differentialgleichung finden (z.B. mit Trennung der Variablen oder Variation der Konstanten). Diese Lösung ist dann die eigentliche
Trajektorie.
88
9.4. RICHTUNGSFELD UND TRAJEKTORIEN
4
3
3
2
2
1
1
0
0
-1
-1
-2
-2
-3
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
-3
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
Abbildung 9.2: Ursprüngliche Kurvenschar (links, y = y) und orthogonale Trajektorie (rechts, y = − y1 )
9.4.2
Richtungsfeld plotten mit dem TI-89
Um das Richtungsfeld mit dem TI-89 zu plotten, muss zuerst der Modus für Graphen auf Differentialgleichungen gesetzt werden. Danach
kann die gewünschte Differentialgleichung wie gewohnt definiert werden für das Plotten. Wichitg ist zu beachten, dass der TI-89 hier Funktionen der Form y(t) und nicht y(x) verlangt!
1. Modus für Graphen auf Differentialgleichungen setzen:
HOME → Graph → DIFF EQUATIONS
2. Differentialgleichung Definieren:
HOME → → Y= → DGL eingeben in y1’=
→ falls gegeben den Anfangswert y (0) = eingeben in yi1
3. Graph plotten:
HOME → → GRAPH
Abbildung 9.3: TI-89 Plot einer DGL ohne und mit Anfangswert.
89
KAPITEL 9. DIFFERENTIALGLEICHUNGEN
9.5
Lösungsverfahren
9.5.1
Übersicht
Lineare DGL
J
J
konst.
Koeff.
Char.
Gleichung
homogen?
N
N
J
Trennung
der Variabeln
Ansatzverfahren
konst.
Koeff.
N
Variation der
Konstanten
Abbildung 9.4: Übersicht der Lösungsverfahren für Differentialgleichungen erster Ordnung
9.5.2
Variabelntrennung
dy
ersetzen
dx
2. alle x und y jeweils auf eine Seite bringen
1. y durch
3. beide Seiten integrieren (Integrationskonstante nicht vergessen!)
4. nach y auflösen wenn möglich (sonst implizite Lösung)
9.5.3
Variation der Konstanten
(Lineare Gleichung 1. Ordnung)
1. Inhomogene Gleichung notieren / aufstellen (I)
90
9.5. LÖSUNGSVERFAHREN
2. Normalform bilden / aufstellen (N)
3. Homogene Gleichung bilden / aufstellen (H)
4. g(x) und G(x) bestimmen (G(x) = g(x) dx)
g(x) ist der Koeffizient des Gliedes der nullten Ableitung.
x ist dabei die unabhängige Variable.
5. G(x) einsetzen in die allgemeine Lösung yh = c · e−G(x) → so
erhält man die allgemeine Lösung der homogenen Gleichung (H)
6. Variation der Konstanten d.h. aus dem c wird eine Funktion
K(x) (→ y = . . .)
7. Funktion ableiten (für y )
8. Die neuen Definitionen für y und y einsetzen in die Normalform
(N)
9. Auflösen nach K(x) (durch Integration)
Achtung! Integrationskonstante nicht vergessen!
10. Einsetzen in die allgemeine Lösung der homogenen Gleichung
(yh )
9.5.4
Charakteristische Gleichung
Bei diesem Verfahren wird die Differentialgleichung in eine charakteristische Gleichung überführt. Dabei wird die abhängige Variable zu
k n überführt. Der Exponent (n) von k entspricht dabei der Ordnung
der Ableitung der unabhängigen Variable.
1. Homogene Gleichung aufstellen
2. charakteristische Gleichung aufstellen
• y → k0 = 1
• y → k1 = k
• y → k2
• ···
3. nach k auflösen
91
KAPITEL 9. DIFFERENTIALGLEICHUNGEN
4. k in die allgemeine Lösung der homogenen Gleichung einsetzen
→ y = c · ek·x
9.5.5
Ansatzverfahren
Zur Bestimmung einer partikulären Lösung mit dem Ansatzverfahren
wird die Störfunktion auf Funktionstypen analysiert. D.h. man versucht alle in der Störfunktion enthaltenen Funktionstypen zu erkennen.
Dies wird grundsätzlich dadurch erreicht, indem man die Störfunktion
ableitet, bis keine neuen Funktionstypen entstehen. Alternativ kann
auch eine Tabelle benutzt werden.
1. Inhomogene Gleichung aufstellen (I)
2. Homogene Gleichung aufstellen (H)
3. Charakteristische Gleichung aufstellen und nach k auflösen
⇒ allgemeine Lösung der homogenen Gleichung yh = c · ek·x
4. Ansatz für die Störfunktion ermitteln
⇒ Partikuläre Lösung yp
• Um den Ansatz zu ermitteln, wird die Störfunktion abgeleitet.
• Die dabei auftretenden Funktionstypen werden dabei mit
jeweils neuen Koeffizienten notiert.
• Die Störfunktion wird so lange abgeleitet, bis keine neuen
Funktionstypen mehr auftreten.
• Achtung! Wenn ein Term dabei die homogene Gleichung
löst, so muss dieser mit der unabhängigen Variable multipliziert werden.
5. yp ableiten ⇒ yp
6. yp und yp in die inhomogene Gleichung einsetzen und mit der
Störfunktion gleichsetzen.
7. Koeffizientenvergleich durchführen, Koeffizienten bestimmen.
92
9.5. LÖSUNGSVERFAHREN
8. Koeffizienten einsetzen in die allgemeine Lösung y = yh + yp
9. Falls gegeben, die Anfangsbedingungen einsetzen und restliche
Koeffizienten ermitteln.
Störfunktion s(x)
Ansatz yp
Aeλx ,
eλx
Axeλx ,
falls s(x) keine Lösung der homogenen Differentialgl.
falls s(x) Lösung der homogenen Differentialgleichung
sin ωx
A sin ωx + B cos ωx
cos ωx
A sin ωx + B cos ωx
eλx sin ωx
Aeλx sin ωx + Beλx cos ωx
e
λx
cos ωx
Aeλx sin ωx + Beλx cos ωx
An xn + An−1 xn−1 + · · · + A1 x + A0
Pn (x)




Pn (x)eλx



Pn (x) sin ωx
(An xn + An−1 xn−1 + · · · + A1 x + A0 )eλx ,
falls eλx keine Lösung
der homogenen DGL
x(An xn + An−1 xn−1 + · · · + A1 x + A0 )eλx ,
falls eλx Lösung der
homogenen DGL
(An xn + An−1 xn−1 + · · · + A1 x + A0 ) sin ωx
+(Bn xn + Bn−1 xn−1 + · · · + B1 x + B0 ) cos ωx
Pn (x) cos ωx
(An xn + An−1 xn−1 + · · · + A1 x + A0 ) sin ωx
+(Bn xn + Bn−1 xn−1 + · · · + B1 x + B0 ) cos ωx
Pn (x)e
λx
Pn (x)e
λx
sin ωx
(An xn + An−1 xn−1 + · · · + A1 x + A0 )eλx sin ωx
+(Bn xn + Bn−1 xn−1 + · · · + B1 x + B0 )eλx cos ωx
ω=0
cos ωx,
(An xn + An−1 xn−1 + · · · + A1 x + A0 )eλx sin ωx
+(Bn xn + Bn−1 xn−1 + · · · + B1 x + B0 )eλx cos ωx
93
KAPITEL 9. DIFFERENTIALGLEICHUNGEN
Ansatztabelle nach Supersaxo
Störfunktion s(x)
γ
Standardansatz
x
0
ax + b
ξx
0
ax + b
x2
0
ax2 + bx + c
ξx2
..
.
0
..
.
ax2 + bx + c
..
.
sin(ωx)
ωj
asin(ωx) + bcos(ωx)
xsin(ωx)
ωj
(ax + b)sin(ωx) + (cx + d)cos(ωx)
x2 sin(ωx)
..
.
ωj
..
.
(ax2 + bx + c)sin(ωx) + (dx2 ex + f )cos(ωx)
..
.
xξ sin(ωx) + xψ cos(ωx), ξ > ψ
ω
Pξ (x)sin(ωx) + Pξ cos(ωx)
xξ sin(ωx) + xψ cos(ωx), ξ < ψ
..
.
ω
..
.
Pψ (x)sin(ωx) + Pψ cos(ωx)
..
.
eωx
ω
aeωx
ξeωx
ω
aeωx
x + eωx → s1 (x), s2 (x)
..
.
0, ω
..
.
s1 → ax + b, s2 → ceωx
..
.
xeωx
ω
(ax + b)eωx
ω
(ax + b)eωx
ω, ξ
s1 → (ax + b)eω , s2 → aeψx
(ξ + x)eωx
xeωx
+
ξeψx
→ s1 (x), s2 (x)
Achtung: Bei e-Funktionen muss überprüft werden ob der gewählte Ansatz eine
Lösung der homogenen Gleichung darstellt. Falls dies zutrifft, muss der Ansatz mit
der unabängigen Variable erweitert werden. Dies wiederholt man so lange, bis es
nicht mehr eine Lösung der homogenen Gleichung darstellt.
94
9.6. LINEARE DGL ZWEITER ORDNUNG
9.6
Lineare DGL zweiter Ordnung
Spricht man von linearen Differentialgleichungen zweiter Ordnung, so
heisst dies, dass die abhängige Variable zweifach abgeleitet vorkommt.
a · y + b · y + c · y = s˜(x)
allgemeine Form
y + a1 · y + a0 · y = s(x)
Normalform
s(x) = 0
Inhomogen
s(x) = 0
Homogen
9.6.1
Homogene Gleichung
Zwei Funktionen y1 (x) und y2 (x) heissen linear abhängig falls
y1 (x) = c · y2 (x)
oder
y2 (x) = c · y1 (x)
wobei c eine Konstante ist. Anderenfalls heissen y1 (x) und y2 (x) linear
unabhängig.
Satz
• Sind y1 (x) und y2 (x) Lösungen der homogenen Gleichung, so ist
die neue Funktion
y(x) = c1 y1 (x) + c2 y2 (x)
wieder eine Lösung der homogenen Gleichung, wobei c1 , c2 beliebige Konstanten sind.
• Sind y1 (x) und y2 (x) linear unabhängige Lösungen der homogenen Gleichung, so ist
y = c1 y1 + c2 y2
c1 , c2 ∈ R
die allgemeine Lösung der homogenen Gleichung.
95
KAPITEL 9. DIFFERENTIALGLEICHUNGEN
Lösungsverfahren
Um eine lineare homogene Differentialgleichung zweiter Ordnung zu
lösen, kann wie folgt vorgegangen werden.
1. Inhomogene Gleichung aufstellen
2. Normalform bilden
3. Homogene Gleichung sinngemäss notieren
y + a1 y + a0 y = 0
4. Charakteristische Gleichung aufstellen.
Der Ansatz hierzu: y = ekx somit ist y = k·ekx und y = k 2 ·ekx .
k 2 + a1 k + a0 = 0
5. Gleichung nach k auflösen mit der Formel
k1,2 =
1
−a1 ±
2
a1 2 − 4 · a0
6. Diskriminante (a1 2 − 4 · a0 ) betrachten und entsprechend einsetzten
• D > 0 zeigt zwei reelle Lösungen an
y = c1 ek1 x + c2 ek2 x
• D = 0 zeigt zwei gleiche reelle Lösungen an
y = c1 ekx + c2 xekx
• D < 0 zeigt zwei komplexe Lösungen an
k = µ ± jω
y = c1 eµx cos(ωx) + c2 eµx sin(ωx)
Wie es zu einer komplexen Lösung kommt: Wenn die Diskriminate D < 0 ist, so√kann
√ der Wurzelausdruck statt z.B.
√
−25 als (−1)25 = −1 25 = ±j5 geschrieben werden.
Dies wäre dann das jω aus obiger Formel.
96
9.6. LINEARE DGL ZWEITER ORDNUNG
9.6.2
Inhomogene Gleichung
Lösungsverfahren
Bei einer inhomogenen Gleichung mit konstanten Koeffizienten kann
das Ansatzverfahren angewendet werden.
1. Inhomogene Gleichung aufstellen
2. Normalform bilden
3. Homogene Gleichung sinngemäss notieren
y + a1 y + a0 y = 0
4. Charakteristische Gleichung aufstellen.
Der Ansatz hierzu: y = ekx somit ist y = k·ekx und y = k 2 ·ekx .
k 2 + a1 k + a0 = 0
5. Gleichung nach k auflösen mit der Formel
k1,2 =
1
2
−a1 ±
a21 − 4a0
6. Diskriminante betrachten und entsprechend einsetzten
• D > 0 zeigt zwei reelle Lösungen an
yh = c1 ek1 x + c2 ek2 x
• D = 0 zeigt zwei gleiche reelle Lösungen an
yh = c1 ekx + c2 xekx
• D < 0 zeigt zwei komplexe Lösungen an
k = µ ± jω
yh = c1 eµx cos(ωx) + c2 eµx sin(ωx)
Wie es zu einer komplexen Lösung kommt: Wenn die Diskriminate D < 0 ist, so√kann
√ der Wurzelausdruck statt z.B.
√
−25 als (−1)25 = −1 25 = ±j5 geschrieben werden.
Dies wäre dann das jω aus obiger Formel.
97
KAPITEL 9. DIFFERENTIALGLEICHUNGEN
7. Ansatz für die Störfunktion ermitteln per Tabelle oder von Hand:
⇒ Partikuläre Lösung yp
• Um den Ansatz zu ermitteln, wird die Störfunktion abgeleitet.
• Die dabei auftretenden Funktionstypen werden dabei mit
jeweils neuen Koeffizienten notiert.
• Die Störfunktion wird so lange abgeleitet, bis keine neuen
Funktionstypen mehr auftreten.
• Achtung! Wenn ein Term dabei die homogene Gleichung
löst, so muss dieser mit der unabhängigen Variable multipliziert werden.
8. yp so oft ableiten wie die Ordnung der Gleichung ⇒ yp , yp , . . .
9. yp , yp , . . . in die inhomogene Gleichung einsetzen und mit der
Störfunktion gleichsetzen.
10. Koeffizientenvergleich durchführen, Koeffizienten bestimmen.
11. Koeffizienten einsetzen in die allgemeine Lösung y = yh + yp
12. Fall gegeben, die Anfangsbedingungen einsetzen und restliche
Koeffizienten ermitteln.
9.7
Diffentialgleichungen mit TI-89 lösen
deSolve(EQUATION, INDEP-VAR, DEPEND-VAR)
EQUATION
Differentialgleichung (und Bedingungen)
INDEP-VAR
unabhängige Variable
DEPEND-VAR
abhängige Variable
Bsp.: Man möchte die Differentialgleichung y (x) = −y(x) − x lösen.
Über die Taste CATALOG gelangt man in die Auswahl, tippt d an für
deSolve und wählt es per ENTER aus. Danach gibt man die verlangten
Angaben an:
98
9.7. DIFFENTIALGLEICHUNGEN MIT TI-89 LÖSEN
deSolve(y’=-y+2*x,x,y)
erzeugt die Ausgabe
y=@47*e^(-x)+2*(x-1)
Der Faktor, welcher mit @ angezeigt wird, stellt die Integrationskonstante dar, d.h. das vorherige @47 ist einfach c. Man kann aber auch
gleich die Bedingung zur Differentialgleichung hinzufügen (z.B. y(0) =
0 oder y(1) = 3) mittels eines and. Somit liefert die Eingabe
deSolve(y’=-y+2*x and y(0)=0,x,y)
das Ergebnis
y=2*((x-1)*e^(x)+1)*e^(-x)
Wichtig ist zu beachten, dass der TI-89 nur Differentialgleichungen
von erster und zweiter Ordnung analytisch lösen kann!
99
KAPITEL 9. DIFFERENTIALGLEICHUNGEN
100
Kapitel 10
Vektoranalysis
101
KAPITEL 10. VEKTORANALYSIS
10.1
Partielle Ableitung
Die partielle Ableitung ist die Ableitung einer Funktion mit mehreren Variablen nach einer bestimmten Variable. Die anderen Variablen
können dabei als konstant angesehen werden.
f (x + ∆x, y) − f (x, y)
∂f (x, y)
= fx (x, y) = lim
∆x→0
∂x
∆x
∂f (x, y)
f (x, y + ∆y) − f (x, y)
= fy (x, y) = lim
∆y→0
∂y
∆y
10.1.1
Mehrfache partielle Ableitung
Wird eine Funktion mehrfach partiell abgeleitet, wird das wie folgt
dargestellt:
Doppelte partielle Ableitung nach x:
fxx
Doppelte partielle Ableitung nach y:
fyy
Partielle Ableitung erst nach x und dann nach y:
fxy
Partielle Ableitung erst nach y und dann nach x:
..
.
fyx
..
.
10.1.2
Satz von Schwarz
Wenn die partiellen Ableitungen stetig sind, kann die Reihenfolge der
Ableitungen beliebig vertauscht werden.
fxy = fyx
fxyy = fyxy = fyyx
fyxx = fxyx = fxxy
Dieser Zusammenhang ist insbesondere nützlich wenn geprüft werden
soll, ob zwei Funktionen fx und fy die selbe Stammfunktion haben.
102
10.2. KETTENREGEL
Hierzu wird vor dem Integireren geprüft ob die partiellen Ableitungen
fxy und fyx gleich sind. Nur wenn diese Gleichheit gegeben ist, können
diese auch eine gemeinsame Stammfunktion haben.
10.2
Kettenregel
∂f dx ∂f dy
df (x, y)
=
·
+
·
= fx · x˙ + fy · y˙
dt
∂x dt
∂y dt
df (x, y, z)
∂f dx ∂f dy ∂f dz
=
·
+
·
+
·
= fx · x˙ + fy · y˙ + fz · z˙
dt
∂x dt
∂y dt
∂z dt
10.3
Totales Differential
df =
∂f
∂f
dx +
dy = fx dx + fy dy
∂x
∂y
df =
∂f
∂f
∂f
dx +
dy +
dz = fx dx + fy dy + fz dz
∂x
∂y
∂z
10.4
Fehlerrechnung
∆f (x, y) =
∂f (x, y)
∂f (x, y)
· ∆x +
· ∆y = fx · ∆x + fy · ∆y
∂x
∂y
a·∆f
(1−a)·∆f
a ist dabei der Anteil, mit dem x zum Gesamtfehler beiträgt.
a · ∆f
=
(1 − a) · ∆f
=
∂f
∂x
∂f
∂y
· ∆x = fx · ∆x
· ∆y
= fy · ∆y
103
KAPITEL 10. VEKTORANALYSIS
10.5
Kurvendiskussion im dreidimensionalen Raum
10.5.1
Extremwert ohne Nebenbedingung
!
!
fx = 0 ∧ fy = 0
∆ = fxx (x0 , y0 ) · fyy (x0 , y0 ) − fxy 2 (x0 , y0 )
∆<0
→ Sattelpunkt
∆ > 0 ∧ fxx < 0
→ Relatives Maximum
∆ > 0 ∧ fxx > 0
→ Relatives Minimum
∆=0
→ kein Entscheid möglich
10.5.2
Extremwert mit Nebenbedingung
f (x, y)
Optimierungsfunktion
g(x, y) = 0 Nebenbedingung in impliziter Form
L(x, y, λ) = f (x, y) + λ · g(x, y)
!
Lx = fx (x, y) + λ · gx (x, y) = 0
!
Ly = fy (x, y) + λ · gy (x, y) = 0
!
Lλ = g(x, y) = 0
λ ist der Lagrangesche Multiplikator.
10.5.3
Extremwert mit zwei Nebenbedingungen
f (x, y)
Optimierungsfunktion
g1 (x, y) = 0 Nebenbedingung 1 in impliziter Form
g2 (x, y) = 0 Nebenbedingung 2 in impliziter Form
104
10.6. DOPPELINTEGRAL
L(x, y, λ, µ) = f (x, y) + λ · g1 (x, y) + µ · g2 (x, y)
!
Lx = fx (x, y) + λ · g1x (x, y) + µ · g2x (x, y) = 0
!
Ly = fy (x, y) + λ · g1y (x, y) + µ · g2x (x, y) = 0
!
Lλ = g1 (x, y) = 0
!
Lµ = g2 (x, y) = 0
λ und µ sind die Lagrangeschen Multiplikatoren.
10.5.4
Extremwert mit mehreren Nebenbedingungen
m
λi · gi (x1 , . . . , xn )
L(x1 , . . . , xn , λ1 , . . . , λm ) = f (x1 , . . . , xn ) +
i=1
λi sind die Lagrangeschen Multiplikatoren.
10.6
Doppelintegral
b
fo (x)
x=a
y=fu (x)
f (x, y) dA =
(A)
f (x, y) dy dx
Inneres Integral
Äusseres Integral
10.6.1
Doppelintegral in Polarkoordinaten
f (x, y) dA =
(A)
ϕ2
ra (ϕ)
ϕ=ϕ1
r=ri (ϕ)
f (r · cos(ϕ), r · sin(ϕ)) · r dr dϕ
Inneres Integral
Äusseres Integral
105
KAPITEL 10. VEKTORANALYSIS
10.7
Dreifachintegral
b
fo (x)
zo (x,y)
x=a
y=fu (x)
z=zu (x,y)
f (x, y, z) dV =
(V )
f (x, y, z) dz dy dx
1. Integration
2. Integration
3. Integration
10.7.1
Dreifachintegral in Zylinderkoordinaten
f (x, y, z) dV =
(V )
f (r · cos(ϕ), r · sin(ϕ), z) · r dz dr dϕ
(V )
10.7.2
Dreifachintegral in Kugelkoordinaten
f (x, y, z) dV =
(V )
(V )


r · sin(ϑ) · cos(ϕ)




f r · sin(ϑ) · sin(ϕ)  · r2 · sin(ϑ) dr dϑ dϕ


r · cos(ϑ)
10.8
Anwendungen
10.8.1
Volumen
V =
1 dV
(V )
10.8.2
Masse
m=
ρ(x, y, z) dV
(V )
Ist ρ konstant, kann ρ vor das Integral verschoben werden.
106
10.8. ANWENDUNGEN
10.8.3
Flächenträgheitsmoment
Kartesische Koordinaten
Ix =
y 2 dA
(A)
Iy =
x2 dA
(A)
Ip =
(x2 + y 2 ) dA
(A)
Polarkoordinaten
Ix =
r3 · sin2 (ϕ) dA
(A)
Iy =
r3 · cos2 (ϕ) dA
(A)
Ip =
r3 dA
(A)
10.8.4
Massenträgheitsmoment
I =ρ·
r2 dV = ρ ·
(V )
(x2 + y 2 ) dV
(V )
Rotationskörper
Iz = ρ ·
r3 dz dr dϕ
(V )
107
KAPITEL 10. VEKTORANALYSIS
10.8.5
Schwerpunkt
Kartesische Koordinaten
xs =
1
A
1
ys =
A
x dA
(A)
y dA
(A)
xs =
1
V
1
ys =
V
1
zs =
V
x dV
(V )
y dV
(V )
z dV
(V )
Polarkoordinaten
xs =
1
A
1
ys =
A
r2 · cos(ϕ) dA
(A)
r2 · sin(ϕ) dA
(A)
Rotationskörper
xs = 0
ys = 0
1
zs =
V
z · r dV
(V )
108
10.9. POTENTIALFELD
10.9
Potentialfeld

v = grad φ =

v = grad φ =
10.10

∂φ
 ∂x 
∂φ
∂y
φ ist das Potentialfeld

∂φ
 ∂x 
 ∂φ 
 ∂y 
 
∂φ
∂z
φ ist das Potentialfeld
Gradient
Der Gradient zeigt in die Richtung des steilsten Anstieges. Seine Länge
entspricht der Steigung.
 
∂φ
∂φ
∂φ
grad φ =
· ex +
· ey =  ∂x 
∂φ
∂x
∂y
∂y

grad φ =
∂φ
∂φ
∂φ
· ex +
· ey +
· ez =
∂x
∂y
∂z

∂φ
 ∂x 
 ∂φ 
 ∂y 
 
∂φ
∂z
Der Gradient hat folgende Eigenschaften
• steht senkrecht zur Höhenlinie
• zeigt die Richtung des steilsten Anstiegs an (in xy-Ebene)
• senkrecht zum Gradient ist jene Richtung welche keinen Anstieg
erfährt (Höhenlinie)
109
KAPITEL 10. VEKTORANALYSIS
10.10.1
Bedeutung
Stellt man sich eine Karte mit Höhenlinien vor, dann zeigt der Gradient
eines Punktes auf der Karte an, in welcher Richtung der x, y-Ebene der
steilste Aufsteig liegt. Der Gradient zeigt nicht den Ansteieg selbst an,
dieser wird mittels der Ableitung in Richtung des Gradienten erhalten.
10.10.2
Richtungsableitung
Die Richtungsableitung ist die Steigung in Richtung von a.
∂φ
a
= (grad φ) · ea = (grad φ) ·
∂a
||a||
10.11
Rotation

rot F =
∂Fz
 ∂y
 ∂Fx
 ∂z

∂Fy
∂x
−
−
−

∂Fy
∂z 
∂Fz 

∂x 
∂Fx
∂y
Wenn rot F = 0, ist das Vektorfeld F konservativ.
F kann dann ein Potentialfeld haben.
10.12
Divergenz
div F =
∂Fy
∂Fz
∂Fx
+
+
∂x
∂y
∂z
Fx , Fy , Fz : Skalare Komponenten des Vektorfeldes F (x, y, z)
div > 0: Quelle
div < 0: Senke
div = 0: Quellenfrei
110
10.13. LINIENINTEGRAL
10.13
Linienintegral
t2
F (t) · r˙
F · dr =
dt
t1
C
Existiert zum Vektorfeld F ein Potentialfeld φ, so kann das Linienintegral mittels Anfangs- und Endpunkt des Weges berechnet werden.
F · dr = φ(B) − φ(A)
−−→
r = AB
C
10.13.1
Bogenlänge
t2
˙
||r||
dt
S=
t1
10.14
Flussintegral
F · dA =
(A)
10.14.1
(F · N ) dA
(A)
Normalenvektor
Der Normalenvektor hat die Länge 1 und steht senkrecht auf einer
Fläche.
Plane Fläche:
−−→ −→
AB × AC
N = −−→ −→
A, B, C: Punkte auf der Fläche
||AB × AC||
Beliebige Fläche:
N=
∂φ
∂x
∂φ
|| ∂x
×
×
∂φ
∂y
∂φ
∂y ||
111
KAPITEL 10. VEKTORANALYSIS
10.15
Bewegungen
10.15.1
Geschwindigkeitsvektor
Ist eine Bewegung gegeben durch einen Ortsvektor r(t), dann kann die
Bewegung eines Punktes P (t) dieser Kurve mittels eines Geschwindigkeitsvektors ausgedrückt werden in der Art


x(t)
˙



˙ =
v(t) = r(t)
y(t)
˙ 


z(t)
˙
Dieser Vektor ist somit immer auch ein Tangentialvektor t an die Kurve
im Punkt P (t). Für den skalaren Wert der Geschwindigkeit selbst wird
die Norm des Geschwindigkeitsvektors genommen.


x(t)
˙




˙
v(t) = r(t) = y(t)
˙  = x˙ 2 (t) + y˙ 2 (t) + z˙ 2 (t)


z(t)
˙
10.15.2
Beschleunigungsvektor
Analog zur Geschwindigkeit ist die Beschleunigung die zweite Ableitung des Weges einer Kurve r(t).


x
¨(t)



˙
¨ =
a(t) = v(t)
= r(t)
y¨(t)


z¨(t)
Genauso kann wie bei der Geschwindigkeit auch bei der Beschleunigung die Norm benutzt werden um den skalaren Wert der Beschleunigung zu erhalten


x
¨(t)




¨
¨2 (t) + y¨2 (t) + z¨2 (t)
a(t) = r(t)
= y¨(t) = x


z¨(t)
112
10.15. BEWEGUNGEN
10.15.3
Bogenlänge
Der zurückgelegte Weg einer Kurve r(t) von A(t1 ) zu B(t2 ) kann durch
das Integral von der Norm der Geschwindigkeit ermittelt werden
t2
s=
˙
dt =
r(t)
v(t) dt =
t1
t2
t2
t1
x˙ 2 (t) + y˙ 2 (t) + z˙ 2 (t) dt
t1
113
KAPITEL 10. VEKTORANALYSIS
114
Kapitel 11
Mathematische Zeichen
115
KAPITEL 11. MATHEMATISCHE ZEICHEN
11.1
Griechisches Alphabet
A
α
Alpha
N
ν
Ny
B
β
Beta
Ξ
ξ
Xi
Γ
γ
Gamma
O
o
Omikron
∆
δ
Delta
Π
π
Pi
E
ε( )
Epsilon
P
ρ( )
Rho
Z
ζ
Zeta
Σ
σ (ς)
Sigma
H
η
Eta
T
τ
Tau
Θ
ϑ (θ)
Theta
Y
υ
Ypsilon
I
ι
Iota
Φ
ϕ (φ)
Phi
K
κ
Kappa
X
χ
Chi
Λ
λ
Lambda
Ψ
ψ
Psi
M
µ
My
Ω
ω
Omega
116
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