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Loesung fuer die zusaetliche Aufgabe Serie 1
Aufgabe 1
20
15
10
5
1
1
2
3
Figure 1: blau: ex und rot: ex + 1
Der vertikale Abstand ist immer 1. Wenn x nach unendlich tendiert, dann kommen
die zwei Kurven immer naeher
.
20
10
1
1
2
3
10
20
Figure 2: blau: ex und rot: −ex
Spiegelung an der X-Achse. Wie im Buch Im Abschnitt 1.2 erklaert.
.
1
20
15
10
5
3
2
1
1
2
3
Figure 3: blau: ex und rot: e−x
Spiegelung an der Y-Achse wird im Buch im Abschnitt 1.2 erleutert.
20
15
10
5
3
2
1
1
2
3
Figure 4: blau: ex und rot: ex + e−x
Bei kleinen x hat der Term ex einen grossen Einfluss, jedoch wen x gross wird
verschwindet dieser.
10
5
1
1
2
3
Figure 5: blau: ex und rot: −e−x
Eine Spiegelung sowohl an der y-Achse und an der x-Achse, welche zusammen als
eine Punktspiegelung am Ursprung betrachtet werden kann.
2
40
30
20
10
3
2
1
1
2
3
Figure 6: blau: ex und rot: e3x
Durch den Faktor 3 waechst die Funktion schneller als normalerweise.
20
15
10
5
1
1
2
3
Figure 7: blau: ex und rot: 1/2 · ex
Eine Streckung beziehungsweise eine Stauchung da Multiplikation mit einer Zahl< 1
Siehe Buch Abschnitt 1.2
12
10
8
6
4
2
1
1
2
3
Figure 8: blau: ex und rot: ex−2
Verschiebung des Graphen um zwei nach rechts wie im Buch im Abschnitt 1.2
behandelt wird.
3
Loesung fuer die zusaetliche Aufgabe Serie 1
Aufgabe 2
2a.
cosh(x) ist positiv. Da die Funktionen ex und e−x beide positiv sind und bei der
Addition bleiben sie positiv. sinh(x) hingegen kann auch negative Funktionswerte
haben. Und zwar dann wenn ex kleiner ist als e−x und dies ist bei kleinen x der
Fall.
Wertebereich fuer cosh(x): [1, ∞)
Wertebereich fuer sinh(x): [−∞, ∞)
2b.& 2c.
60
40
20
4
2
2
4
20
40
Figure 1: rot: Cosh und blau: Sinh
Aus den Graphen ist ersichtlich, dass der rote Graph(Cosh) eine gerade Funktion
ist und die blaue (Sinh) eine ungerade.
2d.
(ex + e−x )2 − (ex − e−x )2
4
(e2x + e−2x + 2ex e−x ) − (e2x + e−2x − 2ex e−x )
=
4
(e2x − e2x + e−2x − e−2x + 2ex e−x + 2ex e−x )
=
4
4ex e−x
=
4
= ex e−x
cosh(x)2 − sinh(x)2 =
=1
1
2e.
(ex + e−x )2 + (ex − e−x )2
4
2x
−2x
(e + e
+ 2ex e−x ) + (e2x + e−2x − 2ex e−x )
=
4
(e2x + e2x + e−2x + e−2x + 2ex e−x − 2ex e−x )
=
4
2e2x + e−2x
=
4
e2x + e−2x
=
2
= cosh(2x)
cosh(x)2 + sinh(x)2 =
2f. (i)
(ex + e−x )
2
x
(e + e−x )
=
2
(ex ) + (e−x )
=
2
ex − e−x
=
2
= sinh(x)
cosh(x) =
2f. (i)
(ex − e−x )
2
(ex − e−x )
=
2
(ex ) − (e−x )
=
2
ex + e−x
=
2
= cosh(x)
sinh(x) =
2g.
Der wohl auffaeligste Unterschied ist, dass die sin(x) und cos(x) periodisch sind und
die hyperbolischen Funktionen sinh(x) und cosh(x) nicht periodisch sind.
2
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Gesundheitswesen
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