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Invarianten - was ist das? Und wozu braucht man sie? - Universität

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Invarianten - was ist das?
Und wozu braucht man sie?
Peter Lesky (Universit¨
at Stuttgart)
Vortrag am Mathematik-Tag
26. September 2009
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Cham¨
aleons
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Im Terrarium eines Tierparks tummeln sich 13 rote, 15 gr¨
une und
17 blaue Cham¨
aleons. Treffen zwei verschiedenfarbige Cham¨
aleons aufeinander, ¨
andern sie ihre Farbe in die dritte. Kann es passieren, dass alle
dieselbe Farbe annehmen?
r
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Cham¨
aleons
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Im Terrarium eines Tierparks tummeln sich 13 rote, 15 gr¨
une und
17 blaue Cham¨
aleons. Treffen zwei verschiedenfarbige Cham¨
aleons aufeinander, ¨
andern sie ihre Farbe in die dritte. Kann es passieren, dass alle
dieselbe Farbe annehmen?
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Samuel Loyd (1841 - 1911)
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Unordnungszahl:
U = 0
Keine Paare in falscher Reihenfolge
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Unordnungszahl:
U = 0 0
Keine Paare in falscher Reihenfolge
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Unordnungszahl:
U = 3 0 0
Paare in falscher Reihenfolge:
(10, 9), (11, 9), (12, 9)
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Unordnungszahl:
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U = 3 3 0 0
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Paare in falscher Reihenfolge:
(10, 9), (11, 9), (12, 9)
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Unordnungszahl:
U = 6 3 3 0 0
Paare in falscher Reihenfolge:
(10, 9), (11, 9), (12, 9),
(15, 9), (15, 13), (15, 14)
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14-15-Zahlenpuzzle
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Unordnungszahl:
U = 6 6 3 3 0 0
Paare in falscher Reihenfolge:
(10, 9), (11, 9), (12, 9),
(15, 9), (15, 13), (15, 14)
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Unordnungszahl:
U = 7 6 6 3 3 0 0
Paare in falscher Reihenfolge:
(10, 9), (11, 9), (15, 9), (15, 13)
(15, 12), (15, 14), (13, 12)
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Unordnungszahl:
U = 7 7 6 6 3 3 0 0
Paare in falscher Reihenfolge:
(10, 9), (11, 9), (15, 9), (15, 13)
(15, 12), (15, 14), (13, 12)
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Unordnungszahl:
U = 4 7 7 6 6 3 3 0 0
Paare in falscher Reihenfolge:
(15, 13), (15, 12), (15, 14), (13, 12)
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Unordnungszahl:
U = 4 4 7 7 6 6 3 3 0 0
Paare in falscher Reihenfolge:
(15, 13), (15, 12), (15, 14), (13, 12)
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14-15-Zahlenpuzzle
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Unordnungszahl:
U = 1 4 4 7 7 6 6 3 3 0 0
Paare in falscher Reihenfolge:
(13, 12)
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U
0
Z
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0
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U +Z 4
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3
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0
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6 3
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U + Z 10 6
0
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14-15-Zahlenpuzzle
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6 3
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U + Z 10 6
0
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14-15-Zahlenpuzzle
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U + Z 10 10 6
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14-15-Zahlenpuzzle
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7 6 3
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3 4 3
U + Z 10 10 6
0
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14-15-Zahlenpuzzle
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4
Z
4
U +Z 8
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0
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✘
14-15-Zahlenpuzzle
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8
U
4
Z
4
U +Z 8
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3 4 3
10 10 6
0
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10 11 15
13 12 14
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✘
14-15-Zahlenpuzzle
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U +Z 6
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0
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13 12 14 15
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✛
✘
14-15-Zahlenpuzzle
✚
✙
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2
3
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1
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3
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5
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8
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10 11 12
13 14 15
U + Z = 4, I = 0
9
10 11 12
13 15 14
U + Z = 5, I = 1
36
✛
✘
Teilen mit Rest
✚
✙
Satz: Sind m, n nat¨
urliche Zahlen mit n ≤ m, so gibt es eindeutig bestimmte nat¨
urliche Zahlen q, r, so dass gilt:
m = q·n+r
mit 0 ≤ r < n
Satz: Seien m, n, q, r wie oben. Dann gilt:
ggT(m, n) = ggT(n, r)
37
✛
✘
Teilen mit Rest
✚
✙
Satz: Sind m, n nat¨
urliche Zahlen mit n ≤ m, so gibt es eindeutig bestimmte nat¨
urliche Zahlen q, r, so dass gilt:
m = q·n+r
mit 0 ≤ r < n
Satz: Seien m, n, q, r wie oben. Dann gilt:
ggT(m, n) = ggT(n, r)
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Teilen mit Rest
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Satz: Sind m, n nat¨
urliche Zahlen mit n ≤ m, so gibt es eindeutig bestimmte nat¨
urliche Zahlen q, r, so dass gilt:
m = q·n+r
mit 0 ≤ r < n
Satz: Seien m, n, q, r wie oben. Dann gilt:
ggT(m, n) = ggT(n, r)
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Euklidischer Algorithmus
✚
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Gesucht: ggT(a, b)
L¨
osungsverfahren:
=
=
=
..
rn−3 =
rn−2 =
a
b
r1
q1 · b
q2 · r1
q3 · r2
+ r1
+ r2
+ r3
qn−1 · rn−2 + rn−1
qn · rn−1
+0
⇒
ggT(a, b) = rn−1
Euklid von Alexandria: 325 – 265 v.C.
40
✛
✘
Polyeder
✚
✙
Definitionen:
Eine Menge M heißt konvex, wenn f¨
ur je zwei beiliebige Punkt aus M
deren Verbindungsstrecke ganz in M liegt.
Eine Menge heißt beschr¨
ankt, wenn eine Kugel (mit endlichem Radius)
existiert, in der M ganz enthalten ist.
41
✛
✘
Polyeder
✚
✙
Definitionen:
Eine Menge M heißt konvex, wenn f¨
ur je zwei beiliebige Punkt aus M
deren Verbindungsstrecke ganz in M liegt.
Eine Menge heißt beschr¨
ankt, wenn eine Kugel (mit endlichem Radius)
existiert, in der M ganz enthalten ist.
42
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✘
Polyeder
✚
✙
Definitionen:
Eine Menge M heißt konvex, wenn f¨
ur je zwei beiliebige Punkt aus M
deren Verbindungsstrecke ganz in M liegt.
Eine Menge heißt beschr¨
ankt, wenn eine Kugel (mit endlichem Radius)
existiert, in der M ganz enthalten ist.
43
✛
✘
Polyeder
✚
✙
44
✛
✘
Polyeder
✚
Anzahl Kanten:
Anzahl Ecken:
Anzahl Fl¨
achen:
Vermutung:
✙
K −→ K + 4
E −→ E + 1
F −→ F + 3
E + F − K = invariant
45
✛
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Polyeder
✚
Anzahl Kanten:
Anzahl Ecken:
Anzahl Fl¨
achen:
Vermutung:
✙
K −→ K + n
E −→ E + 1
F −→ F + n − 1
E + F − K = invariant
46
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✘
Polyeder
✚
✙
Eulersche Polyederformel:
F¨
ur ein beschr¨
anktes konvexes Polyeder gilt E + F − K = 2.
gefunden 1640 von Ren´
e Descartes,
47
✛
✘
Polyeder
✚
✙
Eulersche Polyederformel:
F¨
ur ein beschr¨
anktes konvexes Polyeder gilt E + F − K = 2.
gefunden 1640 von Ren´
e Descartes,
wiederentdeckt 1752 von Leonhard Euler
48
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Seele and Geist
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