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- X I — gelangen konnen. Im iibrigen bieten sie wohl nichts, was

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XI
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gelangen konnen. I m iibrigen bieten sie wohl nichts, was tiber
das schon im ganzen Mittelalter, j a schon im A l t e r t u m Bekannte
hinausgeht. J);11} hier im theoretischen T e i l die zum Gebiete der
Division gehorigen Satze vorausgenommen sind, wahrend der
zweite Abschnitt die Division und Bruchrechnung erst i n das ftinfte
K a p i t e l verweist und Reihensummation und Combinatorik vorweg
nimmt, weil sie ‫ ״‬V e r b i n d u n g e n sind, darf nicht Wunder nehmen,
es sind hier eben theoretische Grundlagen, die in mehrere Ge‫־‬
biete hintiberspielen und die bei der ersten Gelegenheit abgetan
werden, Grundlagen, von denen unser Autor in der Einleitung
sagt, wer sie kennt, vermochte m i t der einen Kenntnis den
Aufbau der Operation in den vielen Arten zu erkennen, deren Aus•
ftihrung dieselbe Grundlage hat.
M
In den nun folgenden Satzen 21—43 werden die Grundlagen
fiir das d r i t t e Kapitel des zweiten Abschnittes gegeben. Schritt
fiir Schritt vorgehend und alles Folgende im Frtiheren vorbereitend, bringt Gersonides hier die streng mathematischen Beweise
fiir manche neue und manche schon frtiher durch Induktion gefundene Resultate.
Die Summenformel fiir eine Anzahl von
Gliedern der nattirlichen Zahlenreihe, fiir cine Anzahl auf einander
folgender grader und ungrader Zahlen w i r d abgeleitet, die Quadrate
der nattirlichen Zahlenreihe werden summiert, ebenso getrenntdie
Quadrate der graden und ungraden Zahlen, endlich m i t Htilfe von
figurierten
Zahlen von der Form 2 p r n - f ( n - l ) + . . . . l ) l , d i e
n
der archimedischen Reihe der Quadratzahlen entsprechen und m i t
entsprechenden Dreieckszahlen verbunden werden, auch die Kuben
der Zahlen der nattirlichen Reihe sowohl als auch die der graden
und ungraden Zahlen fiir sich allein. Es scheint, dafi hier diese
Ableitung zum ersten Male gegeben w i r d , und die Anfrage
des H e r r n Ennestrom in den Bibliotheca Mathematica, Neue Folge
1902, dtirfte damit beantwortet sein.
Galten die bisherigen Satze durchweg dem zweiten Abschnitte
des W e r k s und den dort zu losenden Aufgaben, so folgen j e t z t
einige, die der Losuug von Aufgaben gelten, die im ersten Teile
selbst noch behandelt werden. Man sieht leicht, dafi sie nur zu
dem Zwecke aufgestellt sind, fast scheint es, als sdien sie eigentL
J
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Seele and Geist
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