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Prof. Dr. Thorsten Schmidt
Dipl.-Math. Michael Pippig
Dipl.-Math. Toni Volkmer
Dipl.-Ing. Julian Wergieluk
Fakultät für Mathematik
Technische Universität Chemnitz
Wintersemester 2014
H ÖHERE M ATHEMATIK 3. Ü BUNGSBLATT 3.
WAHRSCHEINLICHKEITSRÄUME
UND
L APLACESCHE M ODELLE .
Ereignisse. Elementare Wahrscheinlichkeiten. Für die Ereignisse A und
B seien folgende Wahrscheinlichkeiten bekannt: P(A) = 0.25, P(B ) = 0.45, P(A ∪ B ) = 0.5.
1.
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten:
(a) P(A ∩ B ),
(b) P(A ∩ B ) und
(c) P (A ∩ B ) ∪ (A ∩ B ) .
Wahrscheinlichkeitsmaße. Monotonie. Seien ein Wahrscheinlichkeitsraum
(Ω, A , P) und die Ereignisse A, B ∈ A gegeben. Zeigen Sie
2.
A⊆B
⇒
P(A) ≤ P(B ).
3. Ereignisse. Zerlegung des Würfels. Ein Würfel, dessen Seitenflächen gleichartig gefärbt sind, werde in 1000 kleine Würfel einheitlicher Größe zerlegt.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein zufällig ausgewählter Würfel auf
mindestens einer Seite gefärbt ist?
4. Ereignisse. Würfel und Münze II. Ein Experiment bestehe aus dem Werfen
eines fairen Würfels und einer fairen Münze.
(a) Geben Sie einen Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, A , P) an, der diese Zufallssituation beschreibt.
(b) Zeigt die Münze Wappen, so wird die doppelte Augenzahl des Würfels notiert,
bei Zahl nur die einfache. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine gerade
Zahl notiert wird?
5.
Kombinatorik. Würfel. 4 vs. 24. Was ist wahrscheinlicher:
(a) Beim Werfen von vier Würfeln auf wenigstens einem eine Sechs zu erzielen, oder
(b) bei 24 Würfen von zwei Würfeln wenigstens einmal zwei Sechsen zu erhalten?
6. Laplacesche Modelle. Zwei Würfel. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, beim Werfen von zwei Würfeln eine Augensumme zu erzielen, die größer oder
gleich 10 ist?
1
7. Wahrscheinlichkeitsmaße. Subaditivität. Seien ein Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, A , P) und die Ereignisse A 1 , A 2 , · · · ∈ A gegeben.
(a) Zeigen Sie, dass für alle n ∈ N
P
n
n
P (A i )
Ai ≤
i =1
i =1
∞
∞
gilt.
(b) Zeigen Sie, dass sogar gilt
P
Ai ≤
i =1
P (A i ) .
i =1
8. Wahrscheinlichkeitsmaße. Zerlegung der Vereinigung. Seien ein Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, A , P) und die Ereignisse A, B,C ∈ A sowie A 1 , A 2 , . . . , A n ∈ A
gegeben. Zeigen Sie folgende Aussagen:
(a)
P (A ∪ B ∪C ) = P(A) + P(B ) + P(C ) − P(A ∩ B ) − P(A ∩C ) − P(B ∩C ) + P(A ∩ B ∩C ).
(b)
P
n
n
Ai =
i =1
P(A i ) −
i =1
P(A i ∩ A j )+
i<j
P(A i ∩ A j ∩ A k ) − · · · + (−1)n+1 P (A 1 ∩ · · · ∩ A n ) .
i < j <k
Die Übungsblätter und Materialien zur Prüfungsvorbereitung finden Sie im Internet unter
https://www-user.tu-chemnitz.de/~wergj/
https://www.tu-chemnitz.de/mathematik/fima/lehre/ws_1415/hm3.php
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