close

Anmelden

Neues Passwort anfordern?

Anmeldung mit OpenID

27. Statistische Tests für Parameter Was ist ein statistischer Test

EinbettenHerunterladen
27. Statistische Tests fu
¨r Parameter
Wenn du eine weise Antwort verlangst,
musst du vernu
¨nftig fragen
Was ist ein statistischer Test?
Ein statistischen Test ist ein Verfahren, welches
• ausgehend von Stichproben
• bestimmte Hypothesen u
¨berpru
¨ft,
• und diese - mit gewissen Fehlerwahrscheinlichatigt oder verwirft.
keiten - best¨
Steht die Form der Verteilung außerfrage und man
macht nur Hypothesen u
¨ber Parameter der Verteilung
(wie µ, σ 2, Anteilswert, Korrelationskoeffizient etc), so
liegt ein parametrischer Test vor ⇒ Dieses Kapitel.
Hypothesen u
¨ber die komplette Verteilung als solche
(Stichprobe ist konsistent mit bestimmter Verteilung,
zwei Stichproben gehorchen der selben Verteilung, zwei
Stichproben sind konsistent mit Unabh¨angigkeit etc)
werden in nichtparametrischen Tests untersucht ⇒
Kap. 28. ff
27.1 Prinzip des Signifikanztests
Fast immer werden statistische Tests in Form von Signifikanztests
durchgefu
¨hrt:
Man formuliert eine Nullhypothese H0 und die komplement¨are Alternativhypothese H1 = H0 und u
¨berpru
¨ft,
ob die Zufalls-Stichprobe wesentlich (“signifikant”) von H0
abweicht.
Wichtig:
Durch Stichproben kann man mit den Mitteln der Statistik
i.A. keine Fragen der Art
“zeige, dass ...!” beantworten, sondern nur Fragen der Art
“zeige, dass nicht widerlegt werden kann, dass ...!”
das Wortes “signifikant” wird dabei durch das Signifikanzniveau
quantifiziert:
Das Signifikanzniveau α = P ( abgelehnt|H0) ist die
Wahrscheinlichkeit dafu
¨r, bei einem Signifikanztest die Nullhypothese H0 abzulehnen, obwohl sie wahr ist.
¨
• Ublich:
α =0.10, 0.05, 0.01 ⇒ Tabellen!
• α wird auch als ”α-Fehler”, ”Fehlerwahrscheinlichkeit” oder
“Fehler erster Art” bezeichnet.
• Der komplement¨are “Fehler zweiter Art” oder “β -Fehler
P ( angenommen|H0) ist i.A. schwer zu kontrollieren und
kann viel gro
¨ßer als α werden.
27.1 (b): Hintergrund: Entscheidungsmatrix
unschuldig
schuldig
Freispruch
richtige
Entscheidung
Irrtum “zugunsten des Angeklagten”
Schuldspruch
Irrtum “zuungunsten des Angeklagten”
richtige
Entscheidung
In der Entscheidungsmatrix gibt es drei Mengen von Objekten:
anden (H0 ist wahr oder falsch)
• Eine Menge von Zust¨
• Eine Menge von m¨
oglichen Entscheidungen (H0 annehmen
oder nicht)
• Eine Menge m¨
oglicher Konsequenzen (Entscheidung richtig
oder falsch)
Aufgabe:
1. Ordnen Sie in obigen Beispiel die drei Mengen zu
2. Als Nullhypothese k¨
onnten Sie “der Angeklagte ist unschuldig”
oder “der Angeklagte ist schuldig” annehmen. Warum ist hier
die Nullhypothese “der Angeklagte ist unschuldig” besser?
27.1 (c): Entscheidungsmatrix beim Ru
¨hrei
Scherzhafte Beispiele haben manchmal
gr¨oßere Bedeutung als ernste
Michael Stifel (1487 - 19.4.1567)
Man hat fu
¨nf (gute) Eier in einen Topf geschlagen
und hat noch ein Ei. Soll man es gleich dazugeben,
sicherheitshalber zun¨achst in eine Tasse aufschlagen oder
gleich fortwerfen?
6.Ei ist gut
6.Ei ist faul
Ei 6 dazugeben
Ei 6 fortwerfen
Ei 6 zun¨achst in
Tasse
Aufgabe: Tragen Sie die Konsequenzen in die fehlenden
K¨astchen ein. Diskutieren Sie die Entscheidungen der
linken Spalte unter dem Gesichtspunkt: “Nullhypothese
annehmen oder verwerfen”.
27.1 (c) II: L¨
osung
6.Ei ist gut
6.Ei ist faul
Ei 6 dazugeben
6-Ei Ru
¨hrei
alles verdorben
Ei 6 fortwerfen
Verlust: 6.Ei
5-Ei Ru
¨hrei
6. Ei zun¨achst in
Tasse
6-Ei Ru
¨hrei +
zus¨atzlicher Abwasch
5-Ei Ru
¨hrei +
zus¨atzlicher Abwasch
Hier ist die Konsequenz des Zustands “6. Ei ist faul”
schwerwiegender als die des Zustandes “6. Ei ist gut”,
deshalb muss man die Wahrscheinlichkeit einer mo¨glichen Fehleinsch¨atzung “Ei als gut erkl¨art, obwohl es faul
ist” durch den Fehler erster Art kontrollieren k¨onnen.
Als Nullhypothese ist deshalb
H0: “Das 6. Ei ist faul”
dem Sachverhalt angemessen.
27.1 (d): Entscheidungsmatrix beim Signifikanztest
H0 ist richtig
H0 ist falsch
H0 annehmen
richtig
falsch
Fehler 2. Art
H0 verwerfen
falsch
Fehler 1. Art
richtig
• Die Wahrscheinlichkeit fu
¨r einen
Fehler erster Art: Ablehnung einer zutreffenden Nullhypothese
kann man durch die Irrtumswahrscheinlichkeit α genau angeben und beeinflussen:
P (H0 verworfen|H0) = α
• Wesentlich weniger Kontrolle hat man u
¨ber den “Fehler zweiter
Art” oder “β -Fehler”, bei einem Signifikanztest eine falsche
Nullhypothese nicht abzulehnen:
P (H0 angenommen| H0 ) = β
• Richtlinie fu
¨r die Auswahl der Nullhypothese: Der jeweils schwerwiegendere Fehler sollte kontrollierbar sein, also dem Fehler
erster Art entsprechen.
”Im Zweifel fu
¨r den Angeklagten!”
27.1(e) Beispiele und Aufgaben
1. Welche Nullhypothese ist sinnvoll (i) beim Gericht (Schuldig
oder unschuldig?), (ii) in der Qualit¨atssicherung (Ware ist gut
oder schlecht?) Hinweis: Im Zweifel fu
¨r den Angeklagten!
2. Nutella, qualitativ: Bei Stiftung Warentest geht der Vorwurf
ein, dass Nutellagl¨aser im Mittel nicht die angegebenen 400 g
Nutella enthalten. Stiftung Warentest kauft daraufhin 9 Nutellagl¨aser, stellt die Abfu
¨llgewichte fest und fu
¨hrt einen parametrischen Test zum Signifikanzniveau α = 5% durch. Voruntersuchungen (⇒ Kap. 28) zeigten, dass eine Gaußverteilung
angenommen werden kann.
(a) Was stellt die Zufallsgr¨
oße X dar und welcher statistische
Parameter wird getestet?
(b) Formulieren Sie eine sinnvolle Nullhypothese
(c) Bestimmen Sie - analog wie bei der Sch¨atztheorie - eine
Sch¨atzgr¨
oße und ihre Verteilung, falls H0 grenzwertig zutrifft, d.h. der wahre Mittelwert µ = 400 g ist.
(d) Die Sch¨atzgr¨
oße ist t-verteilt (d.h. sieht wie Gaußverteilung
aus). Formulieren Sie, zun¨achst rein grafisch, die Kriterien,
die zur Annahme bzw. Ablehnung von H0 fu
¨hren.
(e)
Tats¨achlich sei das mittlere Abfu
¨llgewicht nun 399.9 g,
die Herstellerfirma fu
¨llt also in der Tat zu wenig Nutella ein.
Sch¨atzen Sie grob ohne Rechnung die Wahrscheinlichkeit β
dafu
¨r ab, das Stiftung Warentest dies nicht erkennt (=Fehler
zweiter Art)
27.2 Die Testfunktion
Um eine datenbasierte Entscheidung durchfu
onnen, wird
¨hren zu k¨
fu
¨r das jeweilige Testproblem eine Testfunktion T mit folgenden
Eigenschaften definiert:
• Die Testfunktion T (X) = T (X1, X2, ..., Xn) wird aus der
Stichprobe gebildet. Als Funktion von Zufallsgr¨
oßen (n¨amlich
den i.i.d. Merkmalsauspr¨agungen Xi der Stichprobe) ist T
selbst eine Zufallsgro
¨ße.
• Genau wie bei den Sch¨atzverfahren wird T aus dem effizienten
Sch¨atzer des zu testenden Merkmals durch Standardisierung
gebildet, und zwar so, dass sie an der Grenze des durch H0
definierten Parameterraums definierte statistische Eigenschaften
hat. Beispielsweise gilt fu
¨r einen Test des Mittelwertes µ bei
bekannter Varianz σ , dass an der Grenze von H0, also µ = µ0,
die Testfunktion
¯ − µ0 √
X
T =Z=
n
σ
µ=µ0
∼
N (0, 1)
einer Standardnormalverteilung gehorcht.
• In Abh¨angigkeit von H0 und der Fehlerwahrscheinlichkeit α wird
aus dem Wertebereich von T (z.B. reelle oder positive Zahlen)
ein kritischer Bereich Kα gebildet. Liegt die StichprobenRealisierung t von T in K , wird H0 abgelehnt.
27.2 (b) Gu
¨tefunktion
Zur Bestimmung der α-und β - Fehler und zur Definition von Gu
¨tekriterien fu
¨tefunktion als Ablehnwahrschein¨r die Tests wird die Gu
lichkeit in Abh¨angigkeit der wahren Parameterwerte definiert. Fu
¨r
Tests auf den Mittelwert µ (keine Einschr¨ankung der Allgemeinheit)
gilt
“
”
Gα(µ) = P T (X) ∈ Kα | wahrer Wert µ
Damit kann man fu
oglichen wahren Werte µ die jeweiligen
¨r alle m¨
Fehler erster und zweiter Art α(µ)
˜
bzw. β(µ) angeben:
α(µ)
˜
=

G(µ)
0
µ ∈ H0
sonst,
β(µ) =

0
1 − G(µ)
µ ∈ H0
sonst.
und folgende Gu
¨tekriterien definieren:
alscht, falls
• Ein Test {T, K} ist unverf¨
α(µ)
˜
= G(µ) ≤ α
fu
¨r alle
G(µ) > α
fu
¨r alle
µ ∈ H0,
¯0.
µ ∈ H1 = H
• Ein unverf¨alschter Test {T, K} einer Nullhypothese H0 ist der
gleichm¨
aßig beste Test, falls alle anderen Tests {T2, K2}
derselben Nullhypothese einen gro
¨ßeren β -Fehler fu
¨r alle anwendbaren Parameterwerte µ ∈ H1 aufweisen. Mit der zu
T2 geho¨rigen Gu
¨tefunktion G2(µ) und Fehlerfunktion β2(µ)
bedeutet dies
β(µ) ≤ β2(µ) fu
¨r alle µ ∈ H1.
27.2(c) Beispiele: Verschiedenen Tests auf µ
Nullhypothese H0: µ = µ0, T = Z =
K
G(µ)
=
√
¯
X−µ
0 n
σ
{z : z < zα/2 oder z > z1−α/2},
`
´
`
´
µ − µ0 √
Φ zα/2 − y + 1 − Φ z1−α/2 − y , y =
n
σ
=
Wahrscheinlichkeit
1
0.8
α−Fehler
β−Fehler
Gütefunktion
0.6
0.4
0.2
0
−3
−2
−1
1/2
n
0
(µ−µ0)/σ
Nullhypothese H0: µ ≤ µ0, T = Z =
1
2
√
¯
X−µ
0 n
σ
K
=
{z : z > z1−α},
G(µ)
=
1 − Φ (z1−α − y) , y =
Wahrscheinlichkeit
1
3
µ − µ0 √
n
σ
α−Fehler
β−Fehler
Gütefunktion
0.8
0.6
0.4
0.2
0
−2
−1.5
−1
−0.5
0
1/2
n
(µ−µ0)/σ
0.5
1
1.5
2
27.2(d) Allgemeines Vorgehen bei der Durchfu
¨hrung
1. Festlegen der Nullhypothese H0 und des Signifikanzniveaus α.
Es gibt zwei Arten von Nullhypothesen
• Zweiseitige Tests: Gleichheits-Hypothese, z.B. µ = µ0,
• Einseitige Tests: Ungleichheits-Hypothese, z.B. µ > µ0.
2. Bestimmung der Testfunktion und deren Verteilung unter der
vorl¨aufigen Annahme, dass H0 zutrifft (Gleichheits-Hypothese)
bzw. grenzwertig zutrifft (Ungleichheits-Hypothese). In beiden
F¨allen wird also dieselbe Testfunktion verwendet und auch dessen
hypothetische Verteilung unter der Annahme von z.B. µ = µ0
ist dieselbe. Die Testfunktionen werden auf den n¨achsten Seiten
vorgestellt.
3. Bestimmung des konkreten, aus der Stichprobe ermittelten Wertes der Testfunktion.
4. Testentscheidung durch Vergleich der Schwellwerte der Testverteilung mit dem aus der Stichprobe ermittelten Wert. Die
Schwellwerte sind so definiert, dass sie die Grenze(n) fu
¨r die
Annahme von H0 darstellen:
• Bei zweiseitige Tests sind es die α/2- und (1 − α/2)Quantile,
• Bei einseitigen Tests ist es das (1 − α)- Quantil.
27.3 Test des Mittelwertes µ
1. Nullhypothese H0:
– Entweder zweiseitiger Test auf Gleichheit µ = µ0 (z.B.
“genau 400 g Nutella”),
– oder einseitiger Test auf Ungleichheit µ ≥ µ0 oder µ ≤ µ0
(z.B. “mindestens 400 g Nutella” oder “h¨
ochstens 400 g
Nutella”),
2. Die Testfunktion ist dieselbe wie bei der Ermittlung der Konfidenzintervalle, wobei man den bei den Konfidenzintervallen
vorausgesetzten wahren Wert µ durch die Nullhypothese µ0
ersetzt (die Test-Statistik wird ja unter Annahme von H0 ermittelt!)
Bekannte Varianz:
Unbekannte Varianz:
Z=
√
¯
X−µ
0 n
σ
T =
∼ N (0; 1)
√
¯
X−µ
0 n
S
∼ T (n − 1)
3. Realisierung z von Z bzw. t von T aus der Stichprobe
4. Testentscheidung: H0 wird angenommen
– beim einseitigen Test auf µ ≥ µ0,
(n−1)
= −t1−α
falls z ≥ zα = −z1−α bzw. t ≥ t(n−1)
α
– beim zweiseitigem Test,
(n−1)
falls |z| ≤ z1− α bzw. |t| ≤ t1− α
2
2
27.3 (b) Beispiele und Aufgaben
.. weil so schließt er messerscharf, nicht
sein kann was nicht sein darf.
Christian Morgenstern
• Nutellabeispiel, quantitativ: Lo¨sen Sie die Nutella-Aufgabe
von 27.1 fu
¨r α = 5% und 1% fu
¨r eine Stichprobe mit folgenden
festgestellten Abfu
¨llgewichten:
403 g, 400 g, 393 g, 396 g, 398 g, 401 g, 398 g, 397 g, 396 g.
• Annahme- und Ablehnungsbereiche Zeichnen Sie qualitativ
die Testverteilung samt Annahme- und Ablehnungsbereiche fu
¨r
¨
die Tests auf µ = µ0, µ ≥ µ0 und µ ≤ µ0. Andert
sich bei
normalverteilten Zufallsvariablen etwas, wenn man auf µ < µ0
anstelle µ ≤ µ0 testet?
• Fehlerwahrscheinlichkeiten. Wie groß sind die Wahrscheinlichkeiten fu
¨r Fehler erster und zweiter Art maximal bei (i)
einseitigen, (ii) zweiseitigen Tests?
• Tests vs. Konfidenzintervalle. Von einer Zufallsgr¨oße hat man
bereits das Konfidenzintervall fu
¨r den Mittelwert berechnet:
µ ∈ 50 ± 2. Kann man nun ohne zus¨atzliche Rechnung fu
¨r
dieselbe Fehlerwahrscheinlichkeit α einen zweiseitigen Test z.B.
auf µ0 = 47 oder µ0 = 51.5 durchfu
¨hren?
27.3 (c) Zweiseitiger Test vs. Konfidenzintervalle
Beim zweiseitigen Test auf Gleichheit wird die Fehlerwahrscheinlichkeit α auf die Extremwerte der Test-Statistik zu beiden Seiten
verteilt, so dass fu
¨r jede Seite nur eine Fehlerwahrscheinlichkeit α/2
“u
¨brig” bleibt:
P(t<t α/2)= α/2
P(t>t 1−α/2 )= α/2
w
t= 0
t
Ablehnungs−
bereich
t α/2
Annahme−
bereich
Ablehnungs−
bereich
t 1−α/2
Fu
¨r symmetrische Test-Statistiken (d.h. fu
¨r alle hier behandelten
Parameter-Tests mit Ausnahme des Varianztests) gilt folgender
¨
wichtiger Zusammenhang (vgl. die Ubungsfrage
bei 27 (b)):
Hat man ein empirisches Konfidenzintervall, so ergibt sich
direkt auch das Ergebnis des zweiseitigen Tests auf H0:
µ = µ0:
• H0 abgelehnt, falls µ0 nicht im Konfidenzintervall,
• ansonsten wird H0 akzeptiert.
Die Umkehrung: Konfidenzintervall aus Ergebnis eines zweiseitigen
Tests geht natu
¨rlich nicht!
27.4 Tests fu
¨r den Anteilswert θ
Setzt man die Gu
¨ltigkeit des Zentralen Grenzwertsatzes voraus,
nθ0(1 − θ0) > 9, so sind die einseitigen (θ ≥ θ0 bzw. θ ≤ θ0)
und zweiseitigen Tests des tats¨achlichen Anteilswertes der Grundgesamtheit θ auf den Wert = θ0, sowie der Zusammenhang des
zweiseitigen Tests mit dem Konfidenzintervall, identisch zu den
Mittelwert-Tests fu
¨r bekannte Varianz.
Ersetzt man in der standardnormalverteilte Testfunktion
¯ − µ0)/σ
Z = (X
¯ durch den Stichprobenanteil (=relative
• das Stichprobenmittel X
H¨aufigkeit) f = nh ,
• entsprechend den Erwartungswert µ = f = θ0,
• und die Varianz σ 2 = θ0(1 − θ0)/n,
erh¨alt man die auf den Anteilswert spezialisierte Test-Statistik
Z=p
f − θ0
θ0(1 − θ0)
√
n
27.5 Einige weitere statistische Tests
¨
• Varianztest: z.B. Uberpr
u
¨fen einer oberen zul¨assigen Grenze σ0
der Streuung von gaußverteilten Bruchlasten sicherheitsrelevanter Teile (oder Check der Streuungen beim obigen FlugzeugBeispiel):
– Nullhypothese: H0 = “Varianz σ 2 > σ02”,
Pn
(n−1)s2
1
¯ 2,
– Test-Statistik: Q =
(Xi − X)
=
2
σ0
2
σ0
i=1
– Realisierung q von Q aus der Stichprobe,
– H0 ist verworfen und damit zul¨assige Grenze u
¨berpru
¨ft, falls
fu
¨r die Stichproben-Realisierung u gilt: u ≤ χ2n−1,α mit
χ2n−1,α dem α-Quantil der χ2-Verteilung mit (n − 1) Freiheitsgraden.
• Differenztest der Erwartungswerte bei zwei verbundenen Stichorpergewicht
proben Xi und Yi, i = 1, · · · , n (z.B. Xi: K¨
vor, und Yi: Ko
¨rpergewicht nach einem Amerikabesuch): Fu
¨hre
die ganz normalen Mittelwert-Tests an der Differenzvariablen
Zi = Yi − Xi durch, z.B. mit der Nullhypothese Z ≥ z0 = 0.
• Zwei-Stichproben-Differenztest der Erwartungswerte zweier unabh¨
angigen Stichproben {Xi, i = 1, · · · , n} und {Yj , j =
1, · · · , m} (z.B. K¨orpergewichte von n Deutschen und m
Amerikanern gleichen Alters). Falls n > 30 und m > 30 ist
bei beliebigen Verteilungen die Testvariable
¯
Y¯ − X
Z=q
∼ N (0, 1).
2
2
S
Sx
y
n + m
Ansonsten siehe z.B. Baur, Kap. 14.6. oder Bohley Kap. 18
27.5(b) Gu
¨te- und Fehlerfunktionen fu
¨r den Varianztest
Nullhypothese H0: σ = σ0, T = Q
K
=
G(σ)
=
{q : q < qα/2 oder q > q1−α/2},
”
”
“
“
σ
2
2
FQ qα/2/y + 1 − FQ q1−α/2/y , y =
σ0
Wahrscheinlichkeit
1
0.8
α−Fehler
β−Fehler
Gütefunktion
0.6
0.4
0.2
5 Freiheitsgrade
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
σ/σ0
Nullhypothese H0: σ ≥ σ0, T = Q
K
=
G(σ)
=
{q : q < qα},
”
“
σ
2
FQ qα/y , y =
σ0
Wahrscheinlichkeit
1
β−Fehler
α−Fehler
Gütefunktion
0.8
0.6
0.4
0.2
5 Freiheitsgrade
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
σ/σ0
Verst¨
andnisfrage: Sind beide Tests unverf¨alscht?
1.8
2
27.5 (c) Test der Werte der linearen Regression
ˆ (x) =
Aus der Varianz der Sch¨atzfunktion der linearen Regression Y
ˆ + Bx
ˆ (vgl. die Ubungsaufgabe
¨
A
zu 25.6),
!
2
2
“
”
σ
(x − x
¯)
V Yˆ (x) = R 1 +
.
2
n
sx
ergibt sich folgende Test-Statistik fu
¨r den Test des Regressionsparameters b auf den Wert b0 bzw. der Regressionsfunktion selbst auf
y0(x) = a0 + b0x:
“
” s √n
x
ˆ − b0
∼ T (n − 2).
Tb = B
σ
ˆR
Ty(x)
“
”
= Yˆ (x) − y0(x))
sx
√
n
∼ T (n − 2).
p
2
σ
ˆR sx + (x − x
¯)2
ˆ (x) = A
ˆ + Bx
ˆ und der (nicht-stochastischen) Varianz
mit Y
P
n
¯)2. Die Test-Statistiken enthalten
s2x = n1
i=1 (xi − x
• die Sch¨atzer der linearen Regressionskoeffizienten:
n
ˆ = Y¯ − B
ˆx
A
¯,
´
1 X`
¯
ˆ
Y
−
Y
(xi − x
¯),
B=
i
ns2x i=1
2
von Kap. 25.6:
• und den Sch¨atzer fu
¨r die Residualvarianz σR
n
2
σ
ˆR
”2
1 X“
=
Yi − Yˆ (xi) .
n − 2 i=1
Der Test von b auf b0 findet h¨aufig Anwendung, wenn man Zeitreihen auf das Vorhandensein eines Trends pru
¨fen will (b0 = 0).
27.5 (d) Beispiele und Aufgaben
• Motorenherstellung Bei einem Kfz-Hersteller wurde ein Teil
der Motorenherstellung in ein neues Werk verlagert. Sowohl vor
als auch nach der Verlagerung wurde in Stichproben (Umfang
in beiden F¨allen n = 36) die PS-Zahl ermittelt. Man erhielt
– Vor der Verlagerung einen empirischen Mittelwert von 110
bei einer (als bekannt angenommenen) Varianz von 42,
– Nach der Verlagerung einen empirischen Mittelwert von 108
bei einer Varianz von 32
Hat sich die PS-Zahl “signifikant” (α = 5%) verschlechtert?
Fu
¨hren Sie den entsprechenden einseitigen Test an der Differenz
durch! Beru
¨cksichtigen Sie, dass die Differenz eine Varianz von
2
5 hat und das n > 30 ist!
• t¨
agliches Reisezeitbudget
Das t¨agliche “Reisezeitbudget” fu
¨r Alltagsfahrten wie WohnenArbeit, Arbeit-Einkaufen, Wohnen-Freizeitbesch¨aftigung etc. ist
in Europa seit vielen Jahrzehnten erstaunlich konstant. Nehmen
Sie folgende Zeitreihe dafu
¨r an:
Jahr
Zeitbudget (min)
1960
66
1970
83
1980
71
1990
89
2000
90
Testen Sie, ob man bei einer Fehlerwahrscheinlichkeit von 5% die
Aussage “das Reisezeitbudget ist konstant oder sinkt” widerlegen
kann und damit auf ein steigendes Zeitbudget schließen kann.
Document
Kategorie
Gesundheitswesen
Seitenansichten
14
Dateigröße
148 KB
Tags
1/--Seiten
melden