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Universität Würzburg
LS Experimentelle Physik 4
R. Claessen, L. Dudy
20.10.2014
Übungen zur Vorlesung Kondensierte Materie 1
Wintersemester 2014/15
Blatt 2
(Besprechung am 29./30. Oktober)
1.) Rutherford-Streuung als (quantenmechanisches) Wellenphänomen (5 Punkte)
(a) Die klassische Herleitung der Rutherfordschen Streuformel für Streuung an einer Punktladung basiert i.W. auf der Drehimpulserhaltung (siehe z.B. Haken/Wolf oder Dem
tröder). Als Ergebnis für den differentiellen Wirkungsquerschnitt Ω findet man eine Ab1
hängigkeit ∝ sin4⁄2 , wobei ϑ den Streuwinkel bezeichnet. Drücken Sie die Abhängig-
keit vom Streuwinkel durch eine Abhängigkeit vom Impulsübertrag Δ⃗ = ⃗´ − ⃗ aus (⃗
ist der Impuls des α-Teilchens vor, ⃗´ der Impuls nach der Streuung).(1 Punkt)
(b) Eine quantenmechanische Behandlung der Rutherford-Streuung geht vom Wellencharakter der Streuteilchen aus. Das einfallende Teilchen wird dabei als ebene Welle beschrieben: (⃗) =  �⃗⋅⃗ (die Zeitabhängigkeit kann hier unterdrückt werden), wobei der
�⃗ .n Durch Streuung dieImpuls der Welle durch deren Wellenvektor gegeben ist: ⃗ = ℏ
ser Welle an einem Potential (⃗)ergibt sich in der sogenannten "ersten Born´schen
Näherung" eine Streuwelle:
1
Δ(⃗) = − 4 ∫ 3 ´
 |�⃗−�⃗´| 2
(⃗´) �⃗⋅⃗´.
|⃗−⃗´| ℏ2
Welches Konstruktionsprinzip aus der Wellenoptik erkennen Sie darin wieder?
Zeigen Sie, dass die Streuwelle im Fernfeld (d.h. weit entfernt vom Streupotential) durch
 
�⃗ �
Δ(⃗) �⎯�
�∆
→∞ 
�⃗ = 
�⃗ ´ − 
�⃗ ist der Streuvektor und 
�⃗ ´ der gestreute Wellenvektor in Richgegeben ist (∆
�⃗ � im Wesentlichen die räumliche Fouriertung von ⃗) und dass die Streuamplitude �∆
Transformierte des Streupotentials darstellt:
�⃗ � = − 1 ∫ 3 ´
�∆
4
2
ℏ2
(⃗´) −∆�⃗⋅⃗´ .
(2 Punkte)
(c) Der differentielle Streuquerschnitt ist gegeben durch das Betragsquadrat der Streu2

�⃗ )� . Berechnen Sie  für das Coulomb-Potential (⃗) einer
amplitude: = �(Δ
Ω
Ω
1/2
Punktladung und zeigen Sie, dass das Ergebnis identisch mit dem aus Teilaufgabe (a)
ist.
(Hinweis: Multiplizieren Sie – aus Konvergenzgründen – (⃗) zunächst mit einem Exponentialfaktor  − und führen Sie erst nach der Rechnung den Grenzübergang
 → 0 durch). (2 Punkte)
2.) Plancksche Strahlungsformel auf einer ein- oder zweidimensionalen Welt (5 Punkte)
Nach Planck berechnen wir das Spektrum der Hohlraumstrahlung mit
(, ) = (, ) = () 〈(, )〉 .
Hierbei ist () die Anzahl der Moden mit Frequenz  und 〈(, )〉 die mittlere Energie
der Mode bei Frequenz  und Temperatur .
a) Wie lautet in unser normalen (dreidimensionalen) Welt die Formeln für () und
〈(, )〉 ? In der Vorlesung wurde besprochen, wie man die Moden im Dreidimen-
sionalen abzählt. Wie lautet nun (, ) für eine eindimensionale oder zweidimensionale Welt? Bedenken Sie bitte, dass auch die Anzahl der möglichen Polarisationen
abnimmt. (2 Punkte)
b) Wie lautet die Temperaturproportionalität der Leistung in den entsprechenden Dimensionen, also das Stefan-Boltzmann-Gesetz? Rechnen Sie hierfür die Leistung nährungsweise als
∞
Hinweis: Es gilt
∞ 
∫ −
 ≃ �  (, )

(1.5 Punkte)
= ( + ) ( + ) , wobei  die Riemann Zeta-Funktion
und  die Gamma-Funktion ist.
c) Wie lautet das Wiensche -Verschiebungsgesetz in den entsprechenden Dimensionen?
Hinweis: Gehen Sie dazu in die Wellenlängendarstellung (, ) = (, ) = ?
(1.5 Punkte)
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