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1 Thema Nr. 3: „Was ist Risiko? – Einflussfaktoren und Konzepte

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1
Thema Nr. 3:
„Was ist Risiko? – Einflussfaktoren und Konzepte des Risikos –
Seminararbeit
Eingereicht bei
Prpf. Dr.Klaus Peter Kaas
Lehrstuhl für Betriebswirtschaftslehre, insbes. Marketing I
Fachbereich Wirtschaftswissenschaften
Johann Wolfgang Goethe-Universität
Frankfurt am Main
Betreuer: Dipl.-Kfm. Markus Guthier
Von
can. rer. pol. Verena Schwinde
spike1979@web.de
Studienrichtung: Betriebswirtschaft
2
Inhaltsverzeichnis
Abkürzungsverzeichnis S. III
Symbolverzeichnis S. IV
1. Einleitung S. 1
2. Was ist Risiko? S. 1
2.1. Kategorisierung von Risiko S. 2
2.2. Objektives vs. subjektives Risiko S. 3
2.3. Objektive vs. subjektive Wahrscheinlichkeit S. 3
2.4. Pures vs. spekulatives Risiko S. 4
2.5. Fundamentales vs. partikuläres Risiko S. 4
2.6. Geschäfts- vs. Persönliches Risiko S. 5
3. Individuelle Risikowahrnehmung S. 5
3.1. Repräsentativität S. 6
3.2. Verfügbarkeit S. 6
3.3. Verankerung und Anpassung S. 7
3.4. Affekt S. 7
4. Mathematische Risikomaße (Verteilungsbasiert) S. 8
4.1. Volatilitätsmaße S. 8
4.2. Shortfallrisikomaße S. 9
4.3. Quantile als Risikomaße S. 11
4.4. Value at Risk S. 12
4.5. Risk Ruler S. 13
6. Fazit S. 15
7. Anhang S. 16
Literaturverzeichnis S. 17
3
Abkürzugsverzeichnis
Var = Varianz
SW = Shortfallwahrscheinlichkeit
SE = Shortfallerwartungswert
SV = Shortfallvarianz
VAR = Value at Risk
4
Symbolverzeichnis
E(X) = Erwartungswert von X
X = Ausprägung der Zufallsvariablen
δ = Standardabweichung
z = Zielgröße (Z. B. Mindestrendite)
pi = Wahrscheinlichkeit des Ereignisses i
µ = Mittelwert
F(X) = Verteilungsfunktion der stetigen Zufallsvariablen X
t = Zeitpunkt
h = Länge des Zeitintervalls
Vt = Marktwert des Vermögens zum Zeitpunkt t
α = Konfidenzniveau
Rh = Periodenrendite im Intervall h
5
1.Einleitung
Das Phänomen Risiko spielt in ökonomischen Entscheidungsproblemen eine
zentrale Rolle. Gerade bei Versicherungsdienstleistungen ist Risiko eines der
Hauptbestandteile. Individuen werden täglich mit Unsicherheiten konfrontiert:
Unfallrisiko, Krankheit, Verlust des Vermögens oder des Arbeitsplatzes und
Umweltkatastrophen. Dies sind nur ein kleiner Teil der Risiken die täglich präsent
sind. Weil Unsicherheiten im alltäglichen Leben auftreten, sind Versicherungen
eine Möglichkeit, diese auszugleichen. Viele Wissenschaftler haben sich deshalb
mit dem Thema „Risiko“ auseinander gesetzt.
Die nachfolgende Ausarbeitung beschäftigt sich damit, was genau unter Risiko zu
verstehen ist (Abschnitt 2.), wie es gemessen werden kann (Abschnitt 4.) und
welche Faktoren auf das individuelle Risiko einwirken (Abschnitt 3.).
2.Was ist Risiko?
Es gibt in der Fachliteratur keine einheitliche Definition des Begriffs „Risiko“.
Ökonomen, Verhaltensforscher und Statistiker haben jeweils ihre eigenen
Konzepte.
Vordergründig ist der Terminus „Risiko“ negativ belegt; näher betrachtet ist er
aber weder gut noch schlecht1. Risiken können bei der einen Partei Verluste
verursachen,
andere
profitieren
davon.
Ein
Beispiel
dafür
sind
Versicherungsunternehmen.
In die Kategorie Risiko gehört nicht nur das Ereignis an sich (z.B.
Meteoriteneinschlag), sondern auch die Wahrscheinlichkeit des Auftretens.
Traditionell wird das Risiko durch Unsicherheit definiert. Eine Definition von
Risiko lautet: Unsicherheit hinsichtlich des Auftretens eines Verlustes2. Genauer
gesagt, es herrscht Unsicherheit bezüglich eines Ergebnisses, z. B. das Risiko bei
einem Autounfall zu sterben.
1
2
Vgl. Culp, C.L. (2001), S. 6
Vgl. Rejda, G. E. (2003), S. 3
6
Im Sinne der Statistik und des Finanzmanagements wird meist eine speziellere
Definition von Risiko verwendet: Hier definiert man Risiko als die möglichen
Abweichungen von einem erwarteten Wert3.
Ungeachtet der verschiedenen Bedeutungen, impliziert größeres Risiko auch
größere Kosten. Angenommen zwei identische Häuser stehen in zwei
unterschiedlichen, aber gleich attraktiven Wohnsiedlungen. Die Werte der
Immobilien betragen jeweils 100.000 EUR. Angenommen ein Wissenschaftler
sagt voraus, dass ein Meteor in der Gegend des einen Hauses einschlagen wird.
Das Risiko beschädigt bzw. zerstört zu werden ist für das Haus gestiegen. Die
Wahrscheinlichkeit, dass der Meteor genau auf dem einem Grundstück
einschlagen wird beträgt 0,1 (10 %). Der erwartete Verlust beträgt dann 10.000
EUR. Der Wert des Hauses fällt dann genau um die Höhe des erwarteten
Verlustes. Würde der Eigentümer das Haus nun verkaufen wollen, würde er (von
einem rationalen Käufer) also 10.000$ weniger bekommen. Diesen Betrag
bezeichnet man als Kosten des Risikos.
Risiko hat in diesem Fall zwei Ausprägungen: Eine Situation ist riskanter als eine
andere, wenn entweder der erwartete Verlust größer ist, oder die Unsicherheit
(Wahrscheinlichkeit) gegenüber dem erwarteten Verlust4.
2.1.Kategorisierung von Risiko
Der Faktor Risiko kann in verschiedene Kategorien eingeteilt werden, sie erfolgt
nach unterschiedlichen Kriterien und hängt von der Perspektive der Betrachtung
ab. Beispiele hierfür sind wen der Verlust betrifft, welche Konsequenzen das
Risiko hat (Verlust vs. Profit) oder um welchen Bereich es sich handelt (Privat
Personen vs. Unternehmen). Die Literatur ist in diesem Bereich nicht einheitlich,
sodass eine eindeutige Einteilung nicht möglich ist, wie die nachfolgenden
Kategorisierungen zeigen.
3
4
Vgl. Harrington, S. E., Niehaus, G. R. (2004), S. 1
Vgl. Harrington, S. E, Niehaus, G. R. (2004), S. 2
7
2.2.Objektives vs. subjektives Risiko
„Objektives Risiko“ wird definiert als die relative Abweichung des tatsächlichen
Verlusts vom erwarteten Verlust5. Angenommen ein Individuum hat für 10.000
Häuser eine Brandversicherung abgeschlossen. Im Durchschnitt werden 1% (das
entspricht 100 Häuser) pro Jahr durch Brände zerstört. Allerdings ist es
unwahrscheinlich, dass jedes Jahr genau 100 Häuser abbrennen. In manchen
Jahren sind es 90 und in manchen 110. In diesem Beispiel handelt es sich jeweils
um eine Abweichung vom erwarteten Verlust von 10 Häusern. Diese relative
Abweichung wird als objektives Risiko bezeichnet und kann beispielsweise mit
Hilfe der Standardabweichung (siehe Abschnitt 4.) berechnet werden. Da dieses
Risiko berechnet werden kann, ist es sehr nützlich im Bereich Versicherungen
oder Risikomanagement.
„Subjektives Risiko“ basiert auf individuellen Einschätzungen bezüglich
Unsicherheit6. Eine Person hat beispielsweise viel Alkohol in einer Bar getrunken,
ist sich nun unsicher, ob sie mit dem Auto sicher zu Hause ankommen wird ohne
von der Polizei angehalten zu werden. Diese mentale Unsicherheit wird als
subjektives Risiko bezeichnet. Zwei Individuen in der gleichen Situation können
unterschiedliche Ansichten bezüglich des Risikos haben.
2.3.Objektive vs. subjektive Wahrscheinlichkeit
Zudem unterscheidet man die Kategorien bezüglich der „Wahrscheinlichkeit“,
dass ein Verlust auftritt.
Die „objektive Wahrscheinlichkeit“ bezieht sich auf eine langfristige, relative
Häufigkeit eines Ereignisses bezüglich einer Summe von Beobachtungen7. Die
objektive Wahrscheinlichkeit kann entweder exakt berechnet (a priori
Wahrscheinlichkeit) oder annähernd geschätzt werden.
Hierzu kurz zwei Beispiele: Die Wahrscheinlichkeit beim Wurf einer nicht
manipulierten Münze „Kopf“ zu erhalten, ist genau ½. Es gibt nur zwei Seiten
5
Vgl. Rejda, G. E. (2003), S. 3
Vgl. Rejda, G. E. (2003), S. 4
7
Vgl. Rejda, G. E. (2003), S. 4
6
8
und eine davon ist mit einem Kopf geprägt. Die Wahrscheinlichkeit zu sterben
bevor eine gesunde Person das 26. Lebensjahr erreicht hat, kann nicht exakt
berechnet werden. Allerdings kann sie annähernd geschätzt werden, wenn man die
Sterberaten aus der Vergangenheit betrachtet.
Die „subjektive Wahrscheinlichkeit“ basiert auf der individuellen Einschätzung
bezüglich des Auftretens eines Ereignisses8. Spielen zwei Individuen am gleichen
Tag Lotto, kann es passieren , dass der eine seine Chancen zu gewinnen besser
einschätzt, weil er an diesem Tag Geburtstag hat. Eine solche individuelle
Einschätzung
bezüglich
der
Gewinnchancen
wird
dann
als
subjektive
Wahrscheinlichkeit bezeichnet.
2.4.Pures vs. spekulatives Risiko
Von „purem Risiko“ spricht man, wenn es in einer Situation entweder nur Verlust
oder gar keinen Verlust gibt9, z.B. Erdbeben oder Brände. Entweder es gibt ein
Erdbeben und das Resultat sind Zerstörungen (Verluste), oder es gibt kein
Erdbeben und es passiert gar nichts (kein Verlust).
Man spricht von „spekulativen Risiko“, wenn entweder ein Profit oder ein Verlust
auftreten kann10. Dazu gehören Aktiengeschäfte; der Kurs einer Aktien kann
entweder steigen (Profit) oder fallen (Verlust).
2.5.Fundamentales vs. partikuläres Risiko
Diese Unterscheidung bezieht sich auf die Masse, die von einem Ereignis
betroffen ist.
„Fundamentales Risiko“ betrifft eine ganze Ökonomie oder eine große Anzahl
von Personen11. Die besten Beispiele sind jegliche Naturkatastrophen.
8
Vgl. Rejda, G. E. (2003), S. 4
Vgl. Rejda, G. E. (2003), S. 6
10
Vgl. Rejda, G. E. (2003), S. 6
11
Vgl. Rejda, G. E. (2003), S. 6
9
9
„Partikuläres Risiko“ betrifft immer nur einzelne Individuen, beispielsweise das
Risiko eines Bankraubes12. Diese Unsicherheit betrifft dann nur einzelne Institute
(z.B. Banken).
2.6. Geschäfts- vs. persönliches Risiko
Man kann auch eine Kategorisierung des Risikos nach dem Bereich, der davon
betroffen ist, vornehmen. Eine einfache Einteilung ist hier in Geschäfts- vs.
persönliches Risiko.
Das „Geschäftsrisiko“ betrifft vor allem Unternehmen. Es ist unterteilt in
Preisrisiko (price risk), Kreditrisiko (credit risk) und pures Risiko13 (pure risk)
(siehe Abschnitt 2.4.). Zum Preisrisiko gehören beispielsweise Fluktuationen der
Preise von Produktionsfaktoren. Input und Output Preise können variieren durch
Veränderungen der Nachfrage. Kreditrisiken bestehen meist in Verbindung mit
Änderungen der Zinssätze. Schließlich zählen zum puren Risiko eines
Unternehmens beispielsweise der Geschäftsbankrott.
„Persönliches Risiko“ betrifft einzelne Personen oder Familien und keine
physischen Einheiten14. Hierunter fallen Krankheit, Einkommensausfälle,
Besitzverlust/-zerstörung, Verbindlichkeiten, finanzielle Verluste etc.
Diese Einstufungen sind nur ein Auszug aus verschiedenen Ansätzen. Sie sind
keinesfalls vollständig. Viele Autoren nehmen noch andere Unterteilungen vor.
Keine Kategorisierung kann als richtig oder falsch angesehen werden.
3.Individuelle Risikowahrnehmung
Im folgenden wird die subjektive Wahrscheinlichkeit (siehe Abschnitt 2.3.)
untersucht, d.h.: Wie treffen Individuen eine Entscheidung? Werden dabei Regeln
der Wahrscheinlichkeitstheorie verletzt?
12
Vgl. Rejda, G. E. (2003), S. 6
Vgl. Harrington, S. E, Niehaus, G. R. (2004), S. 4-5
14
Vgl. Harrington, S. E, Niehaus, G. R. (2004), S. 5-6
13
10
Personen geben ihre Urteile oft intuitiv ab und verletzen dabei oft die
Bedingungen der Wahrscheinlichkeitstheorie15. Diese Theorie legt zugrunde, dass
Individuen ihre Urteile immer auf Basis der vorliegenden objektiven
Wahrscheinlichkeiten treffen. Sie geht von rationalen Entscheidern und
vollständiger Information aus. Dies ist in der Realität aber oft nicht der Fall.
Individuen handeln oft nicht rational, entweder weil ihnen die nötigen
Informationen fehlen, oder weil ihnen der kognitive Aufwand dafür zu groß ist.
Deshalb verwenden sie bei Entscheidungen unter Risiko häufig Heuristiken. Die
zentrale Frage lautet dabei, welche Faktoren die Urteile der Individuen
beeinflussen.
3.1.Repräsentativität
Die subjektive Wahrscheinlichkeit ist umso höher, je repräsentativer das Ereignis
für die Population ist16. Bsp.: Auf dem Campus einer Universität begegnen sie
einem Studenten mit Anzug, Krawatte und schwarzem Aktenkoffer. Wie
wahrscheinlich ist es,
dass es
sich dabei um einen Studenten der
Betriebswirtschaft handelt? Und wie wahrscheinlich ist es, dass es sich dabei um
einen Studenten der Germanistik handelt? In diesem Beispiel passt die
Beschreibung eher zum typischen Bild eines Betriebswirtschaftsstudenten. Sie ist
repräsentativer. Daher halten Probanden die Wahrscheinlichkeit, dass es sich um
einen Betriebswirtschaftsstudenten handelt, für größer als die Wahrscheinlichkeit,
dass es sich um einen Germanistikstudenten handelt.
3.2.Verfügbarkeit
Die subjektive Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis ist umso höher, je leichter oder
schneller man in der Lage ist, sich Beispiele für das Ereignis vorzustellen oder in
Erinnerung zu rufen17.
15
Vgl. Jungermann, H.,Pfister, H. R.,Fischer, K. (1998), S. 143 ff.
Vgl. Jungermann, H., Pfister, H. R., Fischer, K. (1998), S. 167 und Tversky, A., Kahneman, D.
(1974), S. 1124-1127
17
Vgl. Jungermann, H., Pfister, H.R., Fischer, K. (1998), S. 170 und Tversky, A., Kahneman, D.
(1974), S. 1127-1128
16
11
Werden Individuen beispielsweise gefragt, welche Ursache (Krebs oder
Autounfall) in den USA zu mehr Todesfällen führt, antworten die meisten mit
„Autounfall“. Tatsächlich sterben mehr als doppelt so viele Menschen durch
Krebs als durch Unfälle. Eine Überschätzung wird darauf zurückgeführt, dass die
Medien weitaus häufiger über Unfälle berichtet als über Fälle von Magenkrebs.
3.3.Verankerung und Anpassung
Die Wahrscheinlichkeitsurteile variieren oft um einen Ankerwert oder werden in
Richtung eines bestimmten Wertes angepasst18.
Werden Individuen beispielsweise gefragt, wie hoch sie die Wahrscheinlichkeit
schätzen ihre Immobilie durch einen Brand zu verlieren, liegen die Antworten
meist weit auseinander. Nach einer Woche teilt der Versuchsleiter den Individuen
das
tatsächliche
statistische
Risiko
mit.
Anschließend
werden
die
Versuchspersonen gebeten sich an ihre Einschätzung des Risikos zu erinnern. Ihre
Erinnerung wird systematisch in Richtung der korrekten Information verzerrt. Der
richtige Wert dient dabei als Anker.
3.4.Affekt
Gefühle und Emotionen spielen bei der Risikoeinschätzung eine wichtige Rolle.
In diesem Bereich wurden zahlreiche Studien durchgeführt, wobei unter anderem
folgendes festgestellt wurde: Wenn Individuen etwas mögen, schätzen sie das
Risiko gering und den Nutzen hoch ein und umgekehrt19. Werden Personen
beispielsweise gefragt, ob sie die Verletzungsgefahr beim Skifahren als „hoch“
oder „niedrig“ einschätzen, antworten Skiurlauber (-liebhaber) meistens mit
„niedrig“. Individuen, die nicht Skifahren eher mit „hoch“.
Die obigen Ausführungen zeigen, dass vielfältige Faktoren auf das subjektive
Risiko Einfluss nehmen. Es soll nur ein grober Überblick über mögliche
18
Vgl. Jungermann, H., Pfister, H. R., Fischer, K. (1998), S. 171 und Tversky, A., Kahneman, D.
(1974), S. 1128-1130
19
Vgl. Slovic, P. et al. (2004), S.5
12
Indikatoren gegeben werden, wobei es noch zahlreiche weitere Studien gibt, die
das Phänomen „Risikoverhalten“ untersuchen. Ohne hierauf näher einzugehen
untersuchte z.B. Brengelmann20, welchen Einfluss soziale Faktoren auf das
Risikoverhalten von Individuen hat.
4.Mathematische Risikomaße (Verteilungsbasiert)
Gewisse Risikotypen kann man mathematisch darstellen. Besonders wichtig ist
eine solche mathematische Fixierung bei Finanzinvestitionen. Das zentrale
Instrument zur Quantifizierung der Unsicherheit einer Investition ist die
Wahrscheinlichkeitstheorie.
Die Ungewissheit bei einem Finanzinvestment besteht in der Regel hinsichtlich
der Höhe des Endvermögens. Das Risiko dabei ist die Möglichkeit der
Realisierung eines, aus der Sicht des Investors, finanziell ungünstigen
Wertentwicklung. Dies wird durch Risikomaße berechnet. Im folgenden wird sich
auf Maße konzentriert, die direkt an der zugrundeliegenden Verteilung des
Endvermögens oder der Rendite eines Finanzinvestments anknüpfen.
4.1.Volatilitätsmaße
Die zentralen Maße für die Volatilität einer Verteilung bzw. einer möglichen
Wertentwicklung sind die statistischen Maße Varianz und Standardabweichung.
Die Varianz gibt die erwartete quadrierte Abweichung der für X möglichen Werte
vom Erwartungswert an.
Var(X) = E[(X – E(X))2]
Sie ist also ein direktes Maß für die Streuung der Zufallsvariable um ihren
Erwartungswert21. Je größer die Streuung, desto riskanter ist eine Alternative.
20
21
Vgl. Brengelmann, J. C., Quast, C. von (1987)
Vgl. Albrecht,P., Maurer, R. (2002), S. 91-92
13
Zieht man die Quadratwurzel aus der Varianz, erhält man das zweite wichtige
Streuungsmaß: die Standardabweichung.
δ(X) = +√[Var(X)]
Diese Kenngröße der finanzwirtschaftlichen Literatur wird auch als „Volatilität“
bezeichnet22.
Vorteil der Standardabweichung ist, dass sie die gleiche Dimension wie der
Erwartungswert aufweist. Wird die Zufallsvariable beispielsweise in der
Größeneinheit EUR gemessen, so weist die Varianz eine quadratische Dimension
auf (EUR2). Die Standardabweichung kann direkt mit dem Erwartungswert
verglichen werden.
Diese Risikomaße sind in der Literatur weit verbreitet und relativ einfach zu
errechnen. Allerdings gibt es auch Kritikpunkte. Sowohl Varianz als auch
Standardabweichung erfassen sowohl negative als auch positive Abweichungen
vom Erwartungswert. Risiko wird aber meist nur in der Möglichkeit einer
negativen finanziellen Entwicklung gesehen. Eine Überschreitung der mittleren
Rendite wäre kein Risiko, sondern eher eine willkommenen Chance23.
4.2.Shortfallrisikomaße
Im Rahmen der Shortfallkonzeption des Risikos wird auf das Ausmaß der Gefahr
der Unterschreitung einer vom Investor angestrebten finanziellen Zielgröße (z)
abgestellt. Ein Beispiel hierfür wäre eine vorgegebene Mindestrendite auf das
investierte Kapital.
Zu Beginn wird die Zufallsgröße X in drei Komponenten zerlegt24:
X = X+ (z) + z – X- (z).
Dabei erfasst die Zufallsgröße X- (z) = max (z-X , 0) die Höhe der potentiellen
Fehlbeträge (Shortfall) der die finanzielle Zielgröße z unterschreitenden
22
Vgl. Albrecht, P., Maurer, R. (2002), S. 92
Vgl. Albrecht, P., Maurer, R. (2002), S. 108
24
Vgl. Albrecht, P., Maurer, R. (2002), S. 127
23
14
Realisationen von X. Diese Größe nimmt nur einen positiven Wert an, wenn die
Zielgröße unterschritten wird. Analog beschreibt die Zufallsgröße X+ (z) das
Gewinnpotential von X relativ zum gewählten Referenzpunkt.(siehe Abbildung 1
im Anhang)
Die einfachste Risikomaßzahl ist hier die Shortfallwahrscheinlichkeit25:
SWz (X) = P(X ≤ z)
Sie misst die Wahrscheinlichkeit, dass Ausprägungen der Zufallsgröße auftreten,
die zu einer Unterschreitung des angestrebten Targets (z) führen.
Die Shortfallwahrscheinlichkeit ist ein einfaches und sehr flexibles Instrument zur
Steuerung von Finanzinvestments. Kritisch zu bemerken ist allerdings, dass die
mögliche Unterschreitungshöhe keine Berücksichtigung findet. Kleine wie große
Abweichungen vom Zielwert werden gleich stark bewertet.
Eine weitere Risikokennziffer, die zusätzlich das Ausmaß einer möglichen
Unterschreitung der Zielgröße berücksichtigt, ist der Shortfallerwartungswert26.
SEz (X) = Σzx≤z (z – xi) pi
pi = Wahrscheinlichkeit des Auftretens von xi
Die Shortfallwahrscheinlichkeit ist eine Kennzahl für den mittleren Betrag der
Unterschreitung der angestrebten Zielgröße.
Als dritte Risikokennziffer sei hier kurz die Shortfallvarianz dargestellt. Sie ist ein
Maß für die mittlere quadratische Streuung der betragsmäßigen Unterschreitung
der Zielgröße z27.
SVz (X) = Σzx≤z (z – xi)2 pi
25
Vgl. Albrecht, P., Maurer, R. (2002), S. 109
Vgl. Albrecht, P., Maurer, R. (2002), S. 111
27
Vgl. Albrecht, P., Maurer, R. (2002), S. 111
26
15
Ein wesentlicher Vorteil der Shortfallrisikomaße ist, dass sie für Individuen leicht
nachvollziehbar sind. Sie besitzen allerdings den Nachteil, dass es im Rahmen
einer Portfoliobildung nicht in einfacher Weise möglich ist, das Gesamtrisiko als
Funktion der entsprechenden Einzelrisiken der jeweiligen Finanztiteln zu
ermitteln28.
4.3.Quantile als Risikomaße
Einen genaueren Einblick in die Wahrscheinlichkeitsbelegung und damit in die
Risikostruktur, liefern die Quantile einer Verteilung. Die Quantile stellen
diejenigen Ausprägungen der Zufallsgröße dar, die mit einer speziellen
Wahrscheinlichkeit über- bzw. unterschritten werden29.
Hierbei wird die Verteilungsfunktion meist in zwei ungleiche Teile eingeteilt.
Allgemein bezeichnet man denjenigen Wert F1-ε als (1-ε)-Quantil der
Verteilungsfunktion einer Zufallsvariablen, für den gilt:
P(X ≤ F1-ε) = 1 - ε bzw. P(X > F1-ε) = ε.
F(x) ist die Verteilungsfunktion der stetigen Zufallsvariablen X. Somit gilt F(Fε) =
1-ε und equivalent dazu Fε = F-1 (1-ε).
Das ε-Quantil ist derjenige Wert, oberhalb dessen eine Wahrscheinlichkeitsmasse
der Höhe ε liegt.
Im folgenden gehen wir von einer Standardnormalverteilung aus. Das (1-ε )Quantil wird dann mit N1-ε bezeichnet. Wegen der Symmetrie zum Nullpunkt gilt
Nε= -N1-ε. Ausgewählte Quantile der Standardnormalverteilung befinden sich im
Anhang in Tabelle 1.
Das (1-ε)-Quantil berechnet sich dann:
N1-ε (µ,δ) = µ + N1-ε δ
28
29
mit
µ = Mittelwert
Vgl. Albrecht, P., Maurer, R. (2002), S. 111-112
Vgl. Albrecht, P., Maurer, R. (2002), S. 112
und
δ = Standardabweichung
16
Bei den Quantilen wird die Über- bzw. Unterschreitungswahrscheinlichkeit
vorgegeben (ε) und die zugehörige Ausprägung bestimmt. Bsp.: Welcher Wert
wird mit einer Wahrscheinlichkeit von 30% unterschritten?
Das spezielle Quantilrisikomaß „Value at Risk“ wird im folgenden Abschnitt
behandelt.
4.3.Value at Risk
Der Value at Risk (VAR) ist als spezifisches Quantilrisikomaß von zentraler
Bedeutung. Er misst den höchsten erwarteten Verlust über einen gegebenen ZielHorizont
unter
normalen
Marktkonditionen
bei
einem
gegebenen
Konfidenzniveau30. VAR beschreibt das Quantil der Verteilung von Gewinnen
und Verlusten über einen Zielhorizont31.
Der Value at Risk wird oft von Banken zur Risikosteuerung verwendet. Hierzu
betrachten wir eine Finanzposition über ein Intervall [ t , t+h ] der Länge h mit
entsprechenden Marktwerten Vt = vt – Vt+h am Anfang bzw. am Ende der
betrachteten Periode. Die potentielle Verlusthöhe der Finanzposition über das
betrachtete Zeitintervall entspricht der Größe ∆Vh = vt – Vt+h32. Formal ist der
Value at Risk der Finanzposition zum Konfidenzniveau 0<α<1 über den
betrachteten Zeitraum definiert durch
P(∆Vh ≥ VARh) = α.
Der Value at Risk zum Konfidenzniveau α ist somit diejenige Ausprägung der
Verlusthöhe, die nur mit der vorgegebenen (kleinen) Wahrscheinlichkeit α
überschritten wird.
Geht man davon aus, dass die Periodenrendite Rh = (Vt+h – vt) / vt normalverteilt
ist, mit über den betrachteten Zeitraum konstanten Parametern µ und δ, d.h.
Rh∼N(µ , δ2), ergibt sich der zugehörige Value at Risk zum Konfidenzniveau α:
30
Vgl. Jorion, P. (2001), S.XXII
Vgl. Jorion, P. (2001), S.22
32
Vgl. Albrecht, P., Maurer, R. (2002), S. 115
31
17
VARh = vt N1-α δ - vt µ = vt ( N1-α δ - µ ).
Ein Beispiel soll dies verdeutlichen: Nehmen wir an, der heutige Kurs eines
getätigten Finanzinvestments beträgt vt = 100. Über den Zeitraum der nächsten
Tage nehmen wir Normalverteilung an, mit einem Mittelwert (µ) von 3% und
einer Standardabweichung (δ) von 5%. Wie hoch ist der Value at Risk zu einem
Konfidenzniveau von α = 1%?
Aus Tabelle 1 (siehe Anhang) folgt, dass N0,99 = 2,33. Daraus ergibt sich nun ein
Value at Risk von:
VAR = 100 (2,33 * 0,05 – 0,03 ) = 8,65.
Die Wahrscheinlichkeit, dass ein höherer Kursverlust als 8,65 eintritt, ist dann
gleich dem gewählten Konfidenzniveau von 1%. Bildet der Investor eine
Kapitalreserve in Höhe von 8,65, dann kann der potentielle Verlust am nächsten
Tag mit einer Wahrscheinlichkeit von 99% aufgefangen werden.
4.4.Risk Ruler
Während sich die bisherigen Abschnitte mit einer exakten mathematischen
Erfassung von Risiko beschäftigten, widmet sich der folgende einer eher
individuellen Ermittlung des Risikos (sog. Risk Ruler).
Ein „Ruler“ ist eine Meßlatte und ein „Risk Ruler“ ist ein Verfahren zur Messung
der Risikoaversion einer Person, die Entscheidungen unter Risiko zu treffen hat.33
Risk Ruler werden vor allem von Banken ermittelt, damit sie die Kunden besser
beraten können. Mit seiner Hilfe soll der individuelle richtige Aktienanteil (in
Prozent) für das freie Vermögen bestimmt werden.
Der Risk Ruler wird mit Hilfe eines Fragenkataloges ermittelt, und die
Risikoaversion ergibt sich aus einer Summe von Punkten, die mit den jeweiligen
Antwortmöglichkeiten
33
assoziiert
Spremann, K. (1999), S. 307
sind.
Die
einzelnen
Antworten
eines
18
Individuums werden unterschiedlich gewichtet und ergeben die individuelle
Risikoaversion.
Die Fragen aus dem Fragenkatalog werden aus vier verschiedenen Kategorien
entnommen34. Zu jeder dieser Fragen sind zwei Antworten (a und b) möglich,
wobei die Antworten unter a immer ein eher risikoscheues und die Antworten b
ein risikofreudiges Verhalten zugrunde legen.
1. Risikoneigung:
Hier
werden
Fragen
zur
Risikobereitschaft,
zur
Gewinnmaximierung und zur Spekulation gestellt. Bsp.: „In finanziellen
Dingen bin und bleibe ich risikobereit“
2. Risikovermeidung: hier geht es um positive Emotionen (siehe Abschnitt
3.), Problemmeisterung, Wertschätzung. Bsp.: „das Riskieren von Geld
bereitet mir positive Gefühle“
3. Positive Kontrolle: kontrolliert der Kunde seine Aufgaben, kann er
steuern, kann ihm Eigenkontrolle attestiert werden? Bsp.: „Ich halte meine
Finanzrisiken stets unter persönlicher Kontrolle“
4. Passive Kontrolle: muss beim Kunden mit Unbesonnenheit gerechnet
werden,
nimmt
er
Fehlkalkulationen
vor,
ist
eine
gewisse
Kontrollschwäche anzunehmen? Bsp.: „Manchmal bedenke ich im
nachhinein, dass ich mehr eingekauft habe als beabsichtigt“
Wie viel Prozent des frei zur Verfügung stehenden Vermögens in Aktien angelegt
werden, orientiert sich dann anhand der Risikoeinstellung. Für deutsche Anleger
wurde eine mittlere Aktienquote von 50% ermittelt35. Das bedeutet genauer, dass
sich ein großer Teil der Anleger mit einer Aktien Allokation zwischen 33% und
66% wohlfühlt. Der Risk Ruler soll davon ausgehen, dass für die Mehrheit der
Anleger nur entweder 33% oder 66% Aktien zur Auswahl stehen.
Ist der Kunde stärker risikoavers (mehr Kreuze bei Antwortmöglichkeit a) werden
33% Aktien empfohlen, ist der Kunde weniger risikoavers (mehr Kreuze bei
Antwortmöglichkeit b) werden 66% Aktien empfohlen. Einem Anleger, der für
sich Antworten a und b gleichermaßen für zutreffend hielt, können entweder 50%
Aktien empfohlen werden, oder es werden die Fragen nochmals kurz
durchgegangen36.
34
Spremann, K. (1999), S. 320
Spremann, K. (2002), S. 309ff.
36
Spremann, K. (1999), S. 322
35
19
Der Risk Ruler ist eine Alternative, die individuelle Risikoeinstellung eines
Anlegers beim Aktienkauf zu berücksichtigen.
5.Fazit
Es zeigt sich, dass der Begriff „Risiko“ ein komplexer Begriff ist. Eine
einheitliche Definition konnte sich in der Fachliteratur noch nicht durchsetzen. Es
wurde auch herausgearbeitet, dass es verschiedene Kategorien von Risiko gibt.
Eine allgemein gültige Einteilung kann nicht vorgenommen werden, da fast jeder
Autor
seine
eigene
Kategorisierung
hat.
Sie
variieren
je
nach
Betrachtungshorizont.
Im Abschnitt 3 wurde untersucht, welche Faktoren das individuelle Risiko
beeinflussen. Im wesentlichen sind dies Repräsentativität, Verfügbarkeit, Anker
und Affekt. Der Einfluss dieser Faktoren kommt zustande, da Individuen meist
nur unzureichende Informationen zur Verfügung haben. Außerdem ist meist der
kognitive Verarbeitungsaufwand einer exakten Berechnung des Risikos im Sinne
der Wahrscheinlichkeitstheorie zu aufwendig.
Im Abschnitt 4 wurde ein Auszug über mathematische Risikomaße gegeben. Mit
Hilfe dieser Größen kann das Risiko (im Sinne der Abweichung von erwarteten
und tatsächlichen Risiko) mathematisch berechnet werden.
Ein spezielles Risikomaß ist hierbei der Risk Ruler (Abschnitt 4.5.). Er versucht
die individuelle Risikoeinstellung eines Investors bei der Geldanlage zu
berücksichtigen. Hier sind nicht ausschließlich mathematische Größen von
Bedeutung, sondern auch individuelle.
20
Anhang
Abbildung 1: Verlust- und Gewinnbereich einer finanziellen Steuerungsgröße
relativ zur Zielgröße z
f(x)
Risiko
z
Chance
X
Quelle: Albrecht, P., Maurer, R. (2002), S.127
Tabelle 1 : Ausgewählte Quantile der Standardnormalverteilung
N0,01
N0,05
N0,1
N0,2
N0,25
N0,5
-2,33 -1,65 -1,29 -0,85 -0,67 0
Quelle: Albrecht, P., Maurer, R. (2002), S.113
N0,75
N0,8
N0,9
N0,95
N0,99
0.67
0,85
1,29
1,65
2,33
21
Literaturverzeichnis
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22
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