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4) Ein seltsamer Induktionsbeweis. (4P) Was ist zu dem

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4) Ein seltsamer Induktionsbeweis. (4P)
Was ist zu dem Nachfolgenden zu sagen?
Behauptung: In einem H¨orsaal sind immer nur M¨anner oder nur Frauen.
Beweis: Wir beweisen per Induktion f¨
ur jede nat¨
urliche Zahl n die Aussage
A(n): Falls n Personen im H¨orsaal sind, so sind dies entweder nur M¨anner oder nur Frauen.
(IA): A(1) ist sicherlich wahr, denn eine Person ist entweder Mann oder Frau.
(IS): Seien n + 1 Personen im H¨orsaal. Wir schicken eine Person hinaus, es verbleiben n
Personen. Nach Induktionsvoraussetzung sind diese Personen alle M¨anner oder alle Frauen.
Um das Geschlecht der hinausgeschickten Person zu u
ufen, lassen wir sie wieder herein
¨ berpr¨
und schicken eine andere Person hinaus. Wieder haben nach Induktionsvoraussetzung alle
das gleiche Geschlecht, also hat die Person, die zuerst draussen war, dasselbe Geschlecht wie
die anderen. q.e.d.
L¨osung:
Eine L¨osung, die ich h¨aufig gelesen habe sagt in immer wieder anderen Formulierung
letzlich das Folgende:
Wenn in einem Raum n + 1 Personen sind, davon n M¨anner und 1 Frau. Schicke die Frau
raus, dann sind nach A(n) genau n M¨anner in dem Raum, also insbesondere nur M¨anner.
Nun hole die Frau wieder rein, schicke einen Mann raus, so dass n − 1 M¨anner und 1 Frau
im Raum sind, also n Personen. Viele Studenten glauben nun, dies sei ein Widerspruch zur
A(n).
Dazu ist folgendes zu sagen:
1. Man kann nicht in einer geschlossenen Argumentationskette einmal annehmen, dass die
A(n) stimmt und einmal, dass sie nicht stimmt. A(n) ist jedoch eine Annahme und als
solche immer wahr.
2. Die Argumentation zielt darauf ab, das die Induktionsvoraussetzung A(n) falsch sei.
F¨
uhrt man dieses Argument zur¨
uck, so findet man, dass A(n) auch im Falle n = 1
falsch sein m¨
usse. In diesem Fall ist sie jedoch eindeutig wahr!!!
3. Generell gilt in einem Induktionsbeweis: Die IV ist immer wahr, denn es handelt sich
um eine Annahme.
4. Der Fehlerquellen k¨onnen entweder am Induktionsanfang gemacht werden, oder im Induktionsschluss.
5. Der Induktionsanfang ist in diesem Fall korrekt. (Wirklich? → Siehe n¨achsten Punkt)
6. Der Induktionsschluss geht jedoch davon aus dass mindestens eine Person in beiden
F¨allen im Saal ist, also eine Vergleichsperson, die den Saal nicht verl¨asst und mit der
die beiden Personen, die abwechselnd den Saal verlassen, verglichen werden k¨onnen.
Kurz:
• n + 1 Personen im Saal
• Schicke eine Person raus: n Personen im Saal ⇒ entweder nur Frauen oder nur
M¨anner.
• Hole die Person zur¨
uck in den Saal und schicke eine andere Person hinaus.
• n Personen im Saal also ⇒ entweder nur Frauen oder nur M¨anner.
• Dies ist nach IV auf jeden Fall korrekt. Jedoch kann es sein, dass im ersten Fall
nur M¨anner im Saal sind, im zweiten Fall jedoch nur Frauen!! Der Schluss, dass
in beiden F¨allen nur M¨anner oder in beiden F¨allen nur Frauen im Saal sind, kann
nur gezogen werden, wenn eine Person als vergleich dienen kann, die niemals den
Saal verl¨asst.
7. Daraus Folgt, dass der IS im Falle 1 → 2 nicht zul¨assig ist. Und dies ist die korrekte
Antwort.
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Seele and Geist
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