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Allgemeine Definition von Funktion
I
Funktionen f¨
ur Biologen
I
I
I
Seien D (Definitionsmenge) und Z (Zielmenge) zwei
nichtleere Mengen.
Eine Funktion von D nach Z ordnet jedem Element von D
genau ein Element von Z zu.
Wir ben¨
otigen eine Definitionsmenge, eine Zielmenge und eine
wohldefinierte Regel“.
”
Am besten veranschaulicht sich man eine Funktion als eine
Maschine:
Funktionen sind u
¨berall in der Biologie“
”
1 / 30
Bild und Urbilder
I
I
I
I
Beispiel: D = {Kugeln}
Z = {W¨
urfel}
Regel: dasselbe Volumen“
”
2 / 30
Beispiel: eine Funktion
Das Bild eines gegebenen Elements der Definitionsmenge
unter eine Funktion ist das assozierte Element der Zielmenge.
Jedes Element der Definitionsmenge hat genau ein Bild.
Die Menge der Bilder ist eine Teilmenge der Zielmenge und
heisst Wertebereich.
Die Elemente der Definitionsmenge mit einem selben Bild z
heissen Urbilder f¨
ur z.
Ein Element der Zielmenge hat kein oder genau ein oder
mehrere Urbilder.
Eine Funktion f von D nach Z schreibt man als
I
I
f : D !Z
I
Wenn z das Bild von d ist, schreibt man z = f (d)
I
d 7! z
I
I
Man nennt d der Funktionsargument und z der
Funktionswert.
I
3 / 30
Beispiel: keine Funktion
Definitionsmenge: {jene sechs Polygone}
Zielmenge: {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
Regel: Anzahl der Seiten“
”
Das Pentagon hat als Bild die Zahl 5.
Die Urbilder von 3 sind das rote und das gr¨
une Dreieck.
Die Zahl 6 hat kein Urbild, da es keine Hexagon gibt.
Wertebereich: {3, 4, 5, 7}
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Einschr¨ankung, Fortsetzungen
Sei f : D ! Z eine Funktion. Sei D 0 ✓ D.
I
Die Einschr¨
ankung von f auf D 0
Wir machen die Definitionsmenge kleiner
f |D 0 : D 0 ! Z , die Funktion die auf D 0 mit f u
¨bereinstimmt
f |D 0 (x) = f (x)
8 x 2 D0
Der Wertebereich bleibt gleich oder wird kleiner.
Probleme:
I
I
2 wird auf mehrere Elemente abgebildet
Die Eindeutigkeit des Bildes ist nicht erf¨
ullt ) keine Funktion
3, 4 werden auf kein Element der Zielmenge abgebildet
Die Existenz des Bildes ist nicht erf¨
ullt ) keine Funktion
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I
Wir sagen: f ist eine Fortsetzung von f |D 0
Wir machen die Definitionsmenge gr¨
oßer
Die Wertebereich bleibt gleich oder wird gr¨
oßer.
I
Die Einschr¨ankung ist eindeutig.
Eine Funktion hat mehrere m¨
ogliche Fortsetzungen.
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St¨uckweise definierte Funktion
Graph
Wir m¨
ochten eine Funktion f : D ! Z definieren.
I
I
I
Wir betrachten eine Partition der Definitionsmenge
(nichtleere paarweise disjunkte Teilmengen von D deren
Vereinigung gleich D ist).
Auf jeder Teilmenge Di der Partition definieren wir eine
Funktion fi : Di ! Z .
Wir haben eine wohldefinierte Funktion auf D:
x 2 D geh¨
ort genau einer Teilmenge Di der Partition;
wir definieren f (x) als fi (x).
I
Der Graph einer Funktion f von D nach Z ist die folgende
Teilmenge des kartesischen Produkts D ⇥ Z :
I
Definitionsmenge und Regel“ kann man vom Graphen
”
ablesen.
G = {(d, f (d)) mit d 2 D}
F¨
ur eine reelle Funktion (d.h. D, Z ✓ R) ist der Graph eine
Teilmenge von R2
G = {(x, f (x)) : x 2 D} ✓ D ⇥ R
y = f (x)“
”
Wichtig ist, dass die Teilmengen paarweise disjunkt sind, ansonsten
hat man Kompatibilit¨atsbedingungen.
Beispiel: die Betragsfunktion auf R
⇢
x
falls x 0
|x| =
x falls x < 0
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Anmerkung zum Graphen von reellen Funktionen
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Verkettung von Funktionen
Sei y = f (x)“ eine reelle Funktion.
”
I Jede vertikale Gerade der Form x = d, wobei d in der
Definitionsmenge ist, tri↵t den Graph genau einmal.
I
Jede vertikale Gerade der Form x = c, wobei c nicht in der
Definitionsmenge ist, tri↵t den Graph nicht.
Die zweite Kurve ist kein Graph (der obere Teil ist der Graph von
p
p
x, der untere Teil ist der Graph von
x).
Bilder: Hier ist g die erste Funktion und f die zweite Funktion.
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Verkettung von Funktionen
Verkettung von Funktionen
f : D f ! Zf
g : Dg ! Zg
I g f ist genau dann wohldefiniert, wenn Zf ✓ Dg
I Dg f = Df
I Zg f = Z g
I Wg f ✓ Wg Bilder unter g f sind auch Bilder unter g
(vielleicht kleiner, da nur die Einschr¨ankung g |Zf benutzt
wird)
p
Beispiel: 2x ist nur auf R 0 = [0, 1) definiert
Als Komposition zweier reeller Funktionen f und g wird die
Hintereinanderausf¨
uhrung g f : x 7! g (f (x)) bezeichnet.
Also (g f )(x) = g (f (x)).
x 7! f (x)
y 7! g (y )
y = f (x)
x 7! g (f (x))
Vorsicht: g
f 6= f
g
und
g
f 6= g · f
f (x) = 2x
(f g )(x) = x 2 +1
f :R
p
y
g (y ) =
Beispiel:
f : x 7! x + 1, g : x 7! x 2
(g f )(x) = (x +1)2
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Beispiel:
g (x)·f (x) = x 3 +x 2
!R
p
|x| ist auf R definiert
f (x) = |x|
p
y
g (y ) =
11 / 30
0
0
g :R
(nicht f : R ! R)
0
!R
f :R!R
g :R
0
0
0
!R
0
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Injektiv, surjektiv, bijektiv
I
Zielmenge oder Wertebereich?
Eine Funktion f heisst injektiv, wenn je zwei verschiedene
Elemente der Definitionsmenge verschiedene Bilder haben.
I
Eine Funktion f heisst surjektiv, wenn jedes Element der
Zielmenge ein Bild ist. D.h.: Zielmenge=Wertebereich
I
bijektiv=injektiv+surjektiv
Sei f : D ! Z eine Funktion.
Sei W den Wertebereich. Dann ist f : D ! W surjektiv.
F¨
ur reelle Funktionen setzt man oft Z = R weil W schwierig zu
bestimmen oder kompliziert aufzuschreiben ist.
f : [0, 1] ! R
f (x) = 3x 2
5x 7
Wichtig ist der Wertebereich!
Welche Zielmenge wir w¨ahlen ist ausnahmsweise f¨
ur die
Surjektivit¨at wichtig.
Beispiel: Nicht injektiv. Nicht surjektiv. Nicht bijektiv.
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Injektiv, surjektiv, bijektiv: mit dem Graphen
Umkehrfunktion (oder Umkehrabbildung)
Sei f : D ! Z eine reelle Funktion, mit Graphen y = f (x)“ in
”
der xy -Koordinaten.
I
I
I
14 / 30
Sei f : D ! Z eine bijektive Funktion. Dann bezeichnet
f
Injektiv:
Jede horizontale Gerade y = b mit b 2 Z tri↵t den Graph von
f h¨ochstens einmal
f (x) = b hat eine L¨
osung oder keine L¨
osung ( 1)
1
:Z !D
die Umkehrfunktion :
f
Surjektiv:
Jede horizontale Gerade y = b mit b 2 Z tri↵t den Graph von
f mindestens einmal
f (x) = b hat eine oder mehrere L¨
osungen ( 1)
1
:y !x
f
1
(y ) = x
wobei x das enzige Element von D ist, mit f (x) = y
Bijektiv:
Jede horizontale Gerade y = b mit b 2 Z tri↵t den Graph von
f genau einmal
f (x) = b hat genau eine L¨
osung (= 1)
1
1
I
Wir haben f
I
Eine bijektive Funktion ist identisch mit der Umkehrfunktion
ihrer Umkehrfunktion.
I
Wir haben f
f
f = idD , also (f
1
= idZ , also (f
f
f )(x) = x
1 )(y )
=y
8x 2 D
8y 2 Z
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Umkehrfunktion einer reellen Funktion
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Gerade und ungerade reelle Funktionen
Aus dem Graph einer invertierbaren Funktion erh¨alt man den Graph
ihrer Umkehrfunktion durch Spiegelung an der Hauptdiagonalen.
f :R!R
oder mit Definitionsmenge sodass
D = D i.e. x 2 D )
x 2D
gerade: f ( x) = f (x) f¨
ur alle x 2 D
der Graph ist symmetrisch unter Spiegelung an der y -Achse
ungerade: f ( x) = f (x) f¨
ur alle x 2 D
der Graph ist symmetrisch unter Spiegelung am Ursprung
(insbesondere f (0) = 0)
G ± G = G ; U ± U = U; G · G = G ; U · U = G ; G · U = U
F G = G; G U = G; U U = U
Beispiele:
p
5x 2 ; x14 ;
3
5x ; x1 ; x13 ,
gerade: 5; x 2 ;
Beispiel:
: R 0 ! R 0 und x : R 0 ! R 0
Beispiel: exp : R ! R>0 (x 7! e x ) und ln : R>0 ! R (y 7! ln(y ))
Beispiel: x : R ! R oder z.B. x1 : R6=0 ! R6=0 sind ihrer
Umkehrfunktionen gleich
x2
ungerade: x;
|x|; x 2 + 4, e (x
2)
2
e( x )
weder gerade noch ungerade: e x , x + 4, (x + 4)2 . . .
17 / 30
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Monotonie f¨ur reelle Funktionen
Periodische reelle Funktionen
I
Eine reelle Funktion f : D ! Z heisst:
I
I
I
I
monoton wachsend, wenn f¨
ur alle x1 , x2 2 D
x1 < x2 ) f (x1 )  f (x2 )
x1  x2 ) f (x1 )  f (x2 )
Eine (nicht-konstante) Funktion f : R ! R ist periodisch mit
Periode P, wenn
f (x + P) = f (x)
I
streng monoton wachsend, wenn f¨
ur alle x1 , x2 2 D
x1 < x2 ) f (x1 ) < f (x2 )
8x 2 R
Mit Definitionsmenge D ✓ R ben¨
otigen wir dazu x 2 D und x + P 2 D.
minimale Periode: die kleinste Periode > 0
ab und zu heißt Periode die minimale Periode
I
Die Perioden sind genau die ganzz¨ahlige Vielfache der
minimalen Periode
Der Graph ist invariant um Verschiebung um P (x-Richtung)
monoton fallend, wenn f¨
ur alle x1 , x2 2 D
x1 < x2 ) f (x1 ) f (x2 )
x1  x2 ) f (x1 ) f (x2 )
streng monoton fallend, wenn f¨
ur alle x1 , x2 2 D
x1 < x2 ) f (x1 ) > f (x2 )
Konstante Funktionen sind m. (w. und f.) aber nicht s.m.
Lineare Funktionen sind m. (s.m.w. oder konstant oder s.m.f.)
Quadratische Funktionen sind nicht m.
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Beispiel cos(x): die minimale Periode ist 2⇡; eine Periode ist
10⇡; keine Periode ist ⇡; die Periode sind 2k⇡ mit k 2 Z
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Translation in der y -Richtung
Funktionen-Tricks f¨
ur Biologen
Sei f eine reelle Funktion. Sei a 2 R.
I
I
I
Translation in y -Richtung:
f (x) ; f (x) + a
Translation des Graphen: (x, y ) ; (x, y +a)
a > 0 nach oben; a < 0 nach unten
Beispiel: e x ist bekannt
e x + 5 (um 5 nach oben)
ex
5 (um 5 nach unten)
Viele Funktionen werden einfach!“
”
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Translation in der x-Richtung
22 / 30
Beispiel Translationen
Sei f eine reelle Funktion. Sei a 2 R.
I
I
I
Translation in x-Richtung:
f (x) ; f (x + a)
Translation des Graphen: (x, y ) ; (x a, y )
a > 0 nach links; a < 0 nach rechts
Beispiel: e x ist bekannt
e x+5 (um 5 nach links)
Exponent 0 hat man jetzt in
ex
5
(um 5 nach rechts)
5 (links!) bzw. 5 (rechts!).
Links oder rechts?
Man kann immer die Geraden x, x + 1, x
x 7! x 2
x 7! (x
1)2
x 7! (x
1)2 + 1
(0, 0) ; (1, 1)
1 zeichnen.
23 / 30
24 / 30
Streckung/Stauchung in der y-Richtung
Streckung/Stauchung in der x-Richtung
Sei f eine reelle Funktion. Sei c 2 R>0 .
I
I
I
Sei f eine reelle Funktion. Sei c 2 R>0 .
Streckung/Stauchung in y-Richtung:
I
f (x) ; c · f (x)
Graph: (x, y ) ; (x, cy )
I
c > 1 Streckung, 0 < c < 1 Stauchung
I
Beispiel: e x ist bekannt
Streckung/Stauchung in x-Richtung:
Graph: (x, y ) ; ( xc , y )
f (x) ; ·f (cx)
c > 1 Stauchung, 0 < c < 1 Streckung
Beispiel: e x ist bekannt
5e x (gestreckt)
1 x
e (gestaucht)
5
e 5x (gestaucht)
1
e 5 x (gestreckt)
Beispiel: sin(x) ist bekannt
Beispiel: sin(x) ist bekannt
5 sin(x) (gestreckt)
1
sin(x) (gestaucht)
5
sin(5x) (gestaucht)
1
sin( x) (gestreckt)
5
25 / 30
Spiegelungen
26 / 30
Zusammenfassung: Graph
Sei f eine reelle Funktion. Seien A, B, C , D 2 R mit C , D 6= 0.
Falls wir den Graphen von f (x) (qualitativ) kennen, dann kennen
wir auch (qualitativ) den Graphen von
Sei f eine reelle Funktion.
I
Spiegelung an der y-Achse:
D · f (C (x + A)) + B
f (x) ; f ( x)
x 7! x + A 7! C (x + A) 7! f (C (x + A))
Graph: (x, y ) ; ( x, y )
I
7! Df (C (x + A)) 7! Df (C (x + A)) + B
Spiegelung an der x-Achse:
f (x) ;
Beispiel:
f (x)
7 sin(3x
2) + 10 =
7 sin(3(x
2
3 ))
+ 10
2
2
sin(x) ; sin(x
) ; sin(3(x
)) = sin(3x 2)
3
3
; 7 sin(3x 2) ; 7 sin(3x 2) ; 7 sin(3x 2) + 10
Graph: (x, y ) ; (x, y )
Beispiel:
7e 3x
2
+ 10 ist analog
27 / 30
Zusammenfassung: Eigenschaften
28 / 30
Quellen
Sei f eine reelle Funktion. Seien A, B, C , D 2 R mit C , D 6= 0.
Falls wir den Graphen von f (x) kennen, dann kennen wir auch
D · f (C (x + A)) + B
I
I
I
I
maximale Definitionsmenge: wichtig sind nur A und C : Die
Definitionsmenge wird wegen A verschoben und wegen C
gestreckt/gestaucht und ggfl. gespiegelt.
I
Wertebereich: wichtig sind nur B und D: Der Wertebereich
wird wegen D gestreckt/gestaucht und ggfl. gespiegelt, und
wegen B verschoben.
I
Periodizit¨
at: Falls f (x) periodisch ist, dann ist
D · f (C (x + A)) + B periodisch. Wichtig ist nur C (und nicht
das Vorzeichen von C ). Die neue minimale Periode ist |C1 | mal
die alte Periode.
I
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http://www.mi2f.com/m/definitions/images/parameter.gif
http%3A%2F%2Fmathinsight.org%2Fmedia%2Fimage%2Fimage
http%3A%2F%2Fmathinsight.org%2Ffunction machine composition&h=603&w=500&tbnid=MbmyBfy2lqHoqM
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