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Analysis III
Prof. P. Jossen
ITET
Musterlo
¨sung Serie 3
(1) (a) Die Charakteristiken sind
γy0 (t) = (t, tu(0, y0 ) + y0 , u(0, y0 )) .
Also
γy0 (t) =
(t, 2t + y0 , 2) f¨
ur y0 < 0
(t, y0 , 0)
f¨
ur y0 0.
Die Projektionen in die (x, y)-Ebene sind in der folgenden Zeichnung angezeigt.
x
y
(b) Zuerst bemerken wir, dass
u(x, y) =
2 f¨
ur y < x,
0 f¨
ur y > x
die Anfangsbedingung erf¨
ullt. In beiden Bereiche
Ω1 := {(x, y) | y < x}
und Ω2 := {(x, y) | y > x}
ist die Funktion u stetig differenzierbar (sogar konstant) und erf¨
ullt die BurgersGleichung. Die Kurve c(t) = (t, t) ist die Schockkurve. Es ist genug zu beweisen,
dass c die Rankine-Hugoniot Bedingung
(Q2 (c) − Q1 (c), P1 (c) − P2 (c)), c˙ = 0
2
gen¨
ugt. In unserem Fall gilt
1
Q(x, y, z) = z 2 ,
2
P1 (x, y) = P (x, y, u(x, y)) = u(x, y) = 2,
f¨
ur (x, y) ∈ Ω1 ,
P2 (x, y) = P (x, y, u(x, y)) = u(x, y) = 0,
f¨
ur (x, y) ∈ Ω2 ,
P (x, y, z) = z,
1
Q1 (x, y) = Q(x, y, u(x, y)) = u(x, y)2 = 2,
2
1
Q2 (x, y) = Q(x, y, u(x, y)) = u(x, y)2 = 0,
2
f¨
ur (x, y) ∈ Ω1 ,
f¨
ur (x, y) ∈ Ω2 .
Man kann die Funktionen P1 , P2 , Q1 , Q2 zur Schockkurve stetig erweitern. Es
folgt
(Q2 (c) − Q1 (c), P1 (c) − P2 (c)), c˙ = (−2, 2), (1, 1) = 0.
Damit ist die Rankine-Hugoniot Bedingung erf¨
ullt.
(c) Die Funktion v ist keine schwache L¨osung, weil die Schockkurve t → (t, 3t) die
Rankine-Hugoniot Bedingung nicht erf¨
ullt.
(2) Sei Pn (x), n ∈ {0, 1, . . .}, x ∈ [0, ∞) die Wahrscheinlichkeit, dass x Minuten nach 6
Uhr genau n Linien besetzt sind. (Also ist die gesuchte Wahrscheinlichkeit P1 (360).)
Wir betrachten die Funktion
∞
Pn (x)y n .
G(x, y) =
n=0
Aus der Vorlesung folgt es, dass G eine L¨osung ger Gleichung
ux + β(y − 1)uy = α(y − 1)u,
mit der Anfangsbedingung u(0, y) = 1 ist, wobei (in unserem Fall) α = 2 (2 Anrufe
1
pro Minute) und β = 1(= 1 min
). Diese Gleichung l¨asst sich mit der Methode der
Charakteristiken l¨osen. Die Charakteristiken sind
γy0 (t) = (t, r(t, y0 , s(t, y0 ))),
wobei
d
r(t, y0 ) = β(r(t, y0 ) − 1), r(0, y0 ) = y0 ,
dt
d
s(t, y0 ) = α(r(t, y0 ) − 1)s(t, y0 ), s(0, y0 ) = 1.
dt
Daraus folgt
r(t, y0 ) = 1 + (y0 − 1)eβt ,
α
s(t, y0 ) = e β (y0 −1)(e
).
βt −1
Also
α
G(x, y) = e β (y−1)(1−e
−βx
).
3
Die Funktion P1 gewinnt man zur¨
uck mit Hilfe der Taylor-Entwicklung.
P1 (x) =
α
−βx
α
∂
G (x, 0) =
1 − e−βx e− β (1−e ) .
∂y
β
Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist ungef¨ahr 27.07%.
(3) Das Hauptsymbol von der Tricomi-Gleichung ist
A=
1 0
.
0 x
Da det A = x < 0, ist die Tricomi-Gleichung hyperbolisch. Wir finden einen Variablenwechsel s = s(x, y), t = t(x, y), so dass die Matrix
Ψ :=
sx t x
sy ty
die Gleichung
ΨT AΨ =
0 ?
? 0
erf¨
ullt. Also m¨
ussen die Funktionen s und t L¨osungen der PDG
wx2 + xwy2 = 0
sein. Diese Gleichung l¨asst sich faktorisieren
√
√
(wx + −xwy )(wx − −xwy ) = 0.
wir nehmen f¨
ur s und t L¨osungen von
√
sx + −xsy = 0,
√
tx − −xty = 0
in dieser Reihenfolge. Mit Hilfe der Methode der Charakteristiken erh¨alt man
3
2
s(x, y) = y + (−x) 2 ,
3
3
2
t(x, y) = y − (−x) 2 .
3
Also
√
√
sx = − −x, sy = 1, tx = −x, ty = 1.
Sei v die Funktion definiert durch v(s, t) = u(x, y). Es folgt durch Kettenregel
√
√
ux = − −xvs + −xvt ,
1
uxx = −x(vss + vtt ) + 2xvst + √ (vs − vt ),
2 −x
uy = vs + vt ,
uyy = vss + 2vst + vtt .
Nach der Ersetzung erh¨alt man
1
0 = uxx + xuyy = 4xvst + √ (vs − vt ).
2 −x
4
Das ist gleichwertig mit
vst +
1
√
8x −x
(vs − vt ) = 0.
√
Wir ersetzen x −x durch 34 (t − s)
vst +
vs − vt
= 0.
6(t − s)
(4) Das Hauptsymbol von der Gleichung ist
x 0
.
0 −y
A=
Da
< 0 f¨
ur xy > 0,
> 0 f¨
ur xy < 0,
det A = −xy
ist die Gleichung elliptisch im Bereich
{(x, y) | xy < 0}
und hyperbolisch im Bereich
{(x, y) | xy > 0}.
(5) Die Determinante vom Hauptsymbol
A=
1
1
1 1 − q(y)
ist
det A = −q(y).
Daraus folgt, dass die Gleichung elliptisch, parabolisch und hyperbolisch in den Bereiche
{(x, y) | y < −1},
ist (in dieser Reihenfolge).
{(x, y) | |y|
1} und {(x, y) | y > 1}
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