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10.07.2013

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Was haben wir letztes Mal gelernt? -­‐  Tunneleffekt ! (x) = Aeikx
Übergänge im Atom 2m
k = 2 (E ! E pot )
!
2
-­‐  Teilchen im Poten:altopf ! 2 "2!
!
= E!
2
2m "x
Stehende Welle: ! n"
! = 2Aisin #
" a
$
x&
%
P.Fierlinger – Physik für E-­‐Technik SS2013 1 6. Atomphysik Schrödingergleichung zur Beschreibung der quanQsierten Energien im Atomspektrum: ! !
! re! , Rp , t
!2
!2
Ze 2
!
"1! !
" 2! !
! = E!
2m1
2m2
4"# 0 r
PotenQelle Energie: Coulombfeld Qq
(
)
U=
4!" 0 r
!
!
!
!2
1 Ze 2
!
!!nlm ( r ) !
!nlm ( r ) = En !nlm ( r )
2me
4!"0 r
mit !nlm (r,! ," ) = Rnl (r) !Ylm (! ," )
Radiale WellenfunkQon KugelflächenfunkQon P.Fierlinger – Physik für E-­‐Technik SS2013 2 6. Atomphysik ... Lösung: Quantenzahlen zusätzliche Quantenzahlen l,m P.Fierlinger – Physik für E-­‐Technik SS2013 3 6. Atomphysik P.Fierlinger – Physik für E-­‐Technik SS2013 0
-2
-4
E [eV]
Lösungen haben folgende Energien: me 4 1
E =! 2 2
2! n
Es ergeben sich am Lösungsweg diskrete Energien. Quantenzahlen des Wasserstoffatoms (bis jetzt, eine kommt noch dazu...) -­‐  Hauptquantenzahl n = 1,2,3,..., -­‐  Drehimpulsquantenzahl 0 ≤ l ≤ n − 1, -­‐  MagneQsche Quantenzahl −l ≤ m ≤ l. Lage der Energieniveaus En bisher nur von n abhängig n=3
n=2
-6
-8
-10
-12
n=1
-14
0
E1=-13.6 eV
0.2
4 6. Atomphysik Die Quantenmechanische Behandlung des Wasserstoffatoms erklärt die Spektrallinien: 1
E = En ! 2
n
Austausch von Energie mit dem Wasserstoffatom passiert in Stufen: !E = Ei " E j
Emission/AbsorpQon von Energiequanten "1 1%
hf = R $ 2 ! 2 '
# n1 n2 &
n sind ganze Zahlen P.Fierlinger – Physik für E-­‐Technik SS2013 5 6. Atomphysik ∞
%
'
&
E Bsp. Lyman Serie: "
hf = h c = R 1 ! 1
$ 2
2
!
#1 2
!
Ly" = 121.567 nm
Seriengrenze: n2 ! " # $E ! RH
Führt zum vollständigen Lösen des Elektrons aus dem PotenQal: Ionisierung P.Fierlinger – Physik für E-­‐Technik SS2013 6 6. Physikalische Größen in der Quantenmechanik Ein QM System wird durch die WellenfunkQon beschrieben: ! 2
! ( x, t) dV = 1
Messgrößen werden durch Operatoren berechnet !
!
ˆ
A! n ( x) = a! n ( x)
a ist ein Eigenwert des Operators A und auch der Wert der Messgröße a ψn ist ein Eigenzustand des Systems (math.: Eigenvektor) Wenn das System nicht in einem Eigenzustand von A ist, ergibt sich ein staQsQscher Erwartungswert: "
! ˆ !
a = ! * ( x) A! ( x)dV
!"
!
#
P.Fierlinger – Physik für E-­‐Technik SS2013 7 6. Physikalische Größen in der Quantenmechanik Beispiele von Operatoren: Ort: rˆ : xˆ = x ; yˆ = y ; zˆ = z
!
" " "
Impuls: pˆ :
! ; != , ,
i
"x "y "z
2
ˆ
!
p
ˆ
Energie: E :=
+V (r ) = Hˆ
2m
P.Fierlinger – Physik für E-­‐Technik SS2013 8 6. Physikalische Größen in der Quantenmechanik Drehimpuls: Zeit: !
lˆ = ( rˆ ! pˆ )
i
$
'
ˆl = ! & y " # z " )
x
i % "z
"y (
lˆ 2 = lˆ 2 + lˆ 2 + lˆ 2
x
y
(auch für y und z) z
tˆ = t
Bahndrehimpuls: lˆ 2! = L2!
ˆ m = l(l +1)!Y m
lY
l
l
Betrag des Bahndrehimpulses l: Diskrete Eigenwerte! (Y ... KugelflächenfunkQonen) P.Fierlinger – Physik für E-­‐Technik SS2013 9 6. Physikalische Größen in der Quantenmechanik Betrag des Bahndrehimpulses l: Diskrete Werte! lˆzYl m = m!Yl m
z-­‐Richtung: ‚QuanQsierungsachse‘ (ein externes Magneseld) m ... ‚magne:sche Quantenzahl‘ = z-­‐Komponente des Bahndrehimpulses: auch diskrete Werte! -­‐l < m < l ... 2l+1 Möglichkeiten z-­‐Komponente und Betrag können beide gemessen werden P.Fierlinger – Physik für E-­‐Technik SS2013 10 6. Physikalische Größen in der Quantenmechanik RelaQvisQsche Korrektur zur Bahnbewegung: (Paul Dirac) 2
2 4
2 2
E
=
m
c
+
p
c
0
Historisch: Bohr-­‐Sommerfeld KineQsche Energie Ruheenergie Modell mit klassischen Bahnen Für das Wasserstoffatom: &
2 2 #
Z! % 3
1 (
"
!Erel = Enichtrel.
%
4"# 0 !c $ 4n l + 1 ('
2
mit der Konstanten α: e2
1
!=
!
4"# 0 !c 137
Sommerfeldsche Feinstrukturkonstante Hauptquantenzahl n wird verwendet, um Radius zu beschreiben, Drehimpulsquantenzahl l wird verwendet, um Exzentrizität der klassischen Bahn zu beschreiben (Bohr-­‐Sommerfeld Modell) P.Fierlinger – Physik für E-­‐Technik SS2013 11 6. Atomphysik Neu: AuXebung der Entartung! (Entartung... mehrere Eigenvektoren zum gleichen Eigenwert eines Operators.) Die Energie hängt nun von der Hauptquantenzahl n ab und vom Drehimpuls l E(n,l). Elektronenspin: Teilchen können auch einen Eigendrehimpuls haben: ‚SPIN‘ Der Spin ist -­‐ halbzahlig bei sog. Fermionen -­‐ ganzzahlig bei Bosonen Das Elektron ist ein Fermion mit Spin s = 1/2 s = s(s +1)!
sz = m!
P.Fierlinger – Physik für E-­‐Technik SS2013 12 6. Atomphysik Drehimpulse sind mit magne:schen Momenten gekoppelt. Magnete sind bzgl. ihrer Energie im äußeren Feld von ihrer relaQven OrienQerung abhängig. -­‐  Spin-­‐Bahn Kopplung: Feinstruktur der opQschen Spektren -­‐  WW der Hüllendrehimpulsen des Atoms mit dem Drehimpuls (magne:schem Moment) des Atomkerns: Hyperfeinstruktur P.Fierlinger – Physik für E-­‐Technik SS2013 13 6. Atomphysik Magne:sches Moment: Klassische Elektrodynamik: Ein Kreisstrom I ruu ein magneQsches Moment hervor: Strom x Fläche µ = Ir 2 !"ˆ
q 2
q" r 2
µ = r !"ˆ =
"ˆ
T
2
... mit I = q/t, ω=2π/T ! !
!ˆ
!
!ˆ ! !
2
mit dem Drehimpuls L: L = r ! mv = mrr ! (! ! r ) = mr !!
ergibt sich: µ=
q
L
2m
P.Fierlinger – Physik für E-­‐Technik SS2013 14 6. Atomphysik QM: Besitzt ein Quantenteilchen zusätzlich zum Drehimpuls L auch eine Ladung q, dann entsteht ein magneQsches Dipolmoment: µˆ = gl
!e ˆ
l
2me
g ist ein ProporQonalitätsfaktor (klassisch = 1) -­‐e die Ladung des Elektrons, m die Masse des Elektrons. PotenQelle Energie des magneQschen Dipols im Magneseld: ! !
Vmag = !µ " B ... Hˆ = µˆ B
! !
!! = !µ " B
Als zusätzliche potenQelle Energie im Hamiltonoperator der SG. P.Fierlinger – Physik für E-­‐Technik SS2013 15 6. Atomphysik PotenQal: Vmag
 
= −µ ⋅ B
Aus diesem PotenQal resulQerende Krau ∂Vmag
∂B
Fz = −
= µz
∂z
∂z
PosiQon Stern-­‐Gerlach-­‐Experiment -­‐  Silberatome werden im Magneseldgradienten abgelenkt -­‐  Beweis für die Richtungsquantelung des Drehimpulses -­‐  Messung des magneQschen Moments des Ag-­‐Atoms. (Silberatome) P.Fierlinger – Physik für E-­‐Technik SS2013 16 Intensität 6. Atomphysik PosiQon In der Quantenmechanik sind nur diskrete Ausrichtungen des Drehimpulses möglich. P.Fierlinger – Physik für E-­‐Technik SS2013 17 Spin-­‐Bahn-­‐Kopplung   
+s = j
6. Atomphysik … resulQerender Drehimpuls (Gesamtdrehimpuls) 2
j =  2 j ( j + 1)
m j = − j , (− j + 1), …, ( j − 1), j
j =  ± 12
... Feinstruktur (AddiQon des Kernspins zusätzlich dazu verursacht ‘Hyperfeinstruktur’) j präzediert um B (entlang z) l,s präzedieren um j P.Fierlinger – Physik für E-­‐Technik SS2013 18 6. Atomphysik Emission und Absorp:on von Natrium-­‐Linien (#3397) – Experiment vom Montag... Gi|erspektrograph: Beobachtung: Linien des Natriumdouble|s 589.5932 nm und 588,9965 nm P.Fierlinger – Physik für E-­‐Technik SS2013 Spin-­‐Bahn Aufspaltung 19 Feinstruktur und Hyperfeinstrukturaufspaltung 6. Atomphysik Vergrößerte Darstellung: Kernspin-­‐Effekt ist ca. 2000x kleiner als Feinstruktur Hauptquantenzahl Drehimpuls Kernspin P.Fierlinger – Physik für E-­‐Technik SS2013 20 
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