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Institut fu
¨ r Theoretische Teilchenphysik
Klassische Theoretische Physik I
WS 2014
¨
Ubungsblatt
2
Abgabe: 31.10.2014
Besprechung: 7.11.2014
Prof. Dr. U. Nierste
Dr. M. Spinrath, Dr. S. Schacht
Bitte schreiben Sie Ihren Namen auf jedes Blatt ihrer L¨osung und geben Sie auf der ersten
Seite Ihre Tutorgruppe (Ort, Zeit, Name des Tutors) an.
Aufgabe 3: In dieser Aufgabe geht es um die Anwendung der partiellen Integration (Gleix
dyy n exp(y), wobei n ∈ N0
chung 3 der Vorlesung). Betrachten Sie die Funktionen In (x) =
ist.
a) (1 Punkt)
0
Berechnen Sie I0 (x).
b) (2 Punkte) Dr¨
ucken Sie (f¨
ur n ≥ 1) In (x) durch In−1 (x) aus. (So eine Gleichung nennt
man Rekursionsformel.)
c) (1 Punkt)
Berechnen Sie I1 (x), I2 (x) und I3 (x).
d) (1 Punkt) Berechnen Sie In (x). (D.h. l¨osen Sie die Rekursion.) Hinweis: Eine n¨
utzliche
Notation ist das Pochhammer-Symbol (a)n := a · (a + 1) · . . . · (a + n − 1), wobei (a)0 := 1.
Erraten Sie die L¨
osung f¨
ur In (x) und zeigen Sie, dass die Rekursionsformel erf¨
ullt ist und
I0 (x) f¨
ur n = 0 korrekt herauskommt. Diese Beweismethode heißt vollst¨
andige Induktion.
dy
Aufgabe 4: Wir suchen die L¨
osung y(x) folgender Gleichnung:
= f (x)y(x), wobei f (x)
dx
eine beliebige stetige reelle Funktion ist. Wir beschr¨anken uns auch auf L¨osungen, in denen
y(x) reell ist. (Man nennt diese Art Gleichung Differentialgleichung.)
a) (2 Punkte) Nehmen Sie an, dass y(x) auf dem Intervall [x0 , x1 ] (streng) monoton ist und
keine Nullstellen hat. Vereinfachen Sie in
x1
dx
x0
1 dy
=
y(x) dx
x1
dxf (x)
x0
die linke Seite durch Substitution so, dass Sie das Integral ausf¨
uhren k¨onnen. Hinweis: Betrachten Sie die Umformungen der Gl. 10 der Vorlesung.
b) (1 Punkt)
Dr¨
ucken Sie y(x) durch eine Stammfunktion F (x) von f (x) aus.
dy
= λxα y(x), wobei α, λ ∈ R und x > 0
c) (1 Punkt) Welches y(x) erf¨
ullt die Gleichung
dx
ist? Hinweis: Integrationskonstante nicht vergessen!
dy
d) (1 Punkt) Welches y(x) erf¨
ullt die Gleichung
= exp(αx)y(x), wobei α ∈ R und x > 0
dx
ist?
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