close

Anmelden

Neues Passwort anfordern?

Anmeldung mit OpenID

Differenzialrechnung „Was du nach den Ferien kannst!“ - GotWake.de

EinbettenHerunterladen
Differenzialrechnung „Was du nach den Ferien kannst!“
Klasse 10
•
•
Zeichne die Tangenten an den Stellen x=-4, x=-1 und x=3 an den abgebildeten
Funktionsgraph, und bestimme die Tangentengleichung.
Zeichne die Sekanten im Intervall [-4;-1], [-2;2] und [4;6] und bestimme die
Sekantengleichungen.
Mittlere Änderungsrate – Differenzenquotient
•
Algebraische Definition (Rechnerisch zu einer Funktion f):
•
Geometrische Interpretation (Skizze):
•
Berechnen:
◦
Gegeben sei die gebrochen rationale Funktion f mit
f (x )=
4x
.
x 2+1
Bestimme die mittlere Änderungsrate im Intervall [-3; -2] und im Intervall [2; 3].
◦
Gegeben sei die Funktion g mit Funktionsgleichung g  x=x 3 2x1 .
Bestimme die mittlere Änderungsrate im Intervall [-6; -5] und im Intervall [5; 6].
•
Formuliere den Zusammenhang zwischen der mittleren Änderungsrate und der
Sekantensteigung:
•
Weitere gute Aufgaben sind: Seite 16 Nr. 3, 5 und 6.
Momentane Änderungsrate – Limes des Differenzenquotient
•
Algebraische Definition (Rechnerisch zu einer Funktion f):
•
Geometrische Interpretation (Skizze):
•
Formuliere den Zusammenhang zwischen der mittleren Änderungsrate und der
momentanen Änderungsrate, sowie den Zusammenhang zwischen den entsprechenden
Sekanten und Tangenten.
•
1) Approximatives berechnen:
◦
◦
◦
Gegeben sei die Funktion
f  x =
4x
x 21 . Bestimme approximativ die
Tangentensteigung im Punkt P(2|1,6), indem du die Sekantensteigung durch P und
drei immer näher liegende Nachbarpunkte Q von P berechnest.
Überprüfe dein Ergebnis mit dem GTR (nDeriv und dy/dx).
Zeichne die Tangente mit dem GTR.
Bestimme mit dem GTR die momentane Änderungsraten an den Stellen x=1, x=2,
x=3, x=4.
•
Vermerke die Tastenkombinationen im GTR:
•
Weitere gute Aufgaben: Seite 21 Nr. 10 a) b) und 11 a) b) sowie Nr. 13.
•
2) Ableitung exakt berechnen:
◦
Gegeben sei die Funktion f durch
2
f  x =4x 
3
.
x
a) Berechne den Differenzenquotienten an beliebiger Stelle x≠0 und beliebigem h.
Damit: Welche mittlere Änderungsrate hat die Funktion im Intervall [2; 7] ?
b) Führe nun die Grenzwertbetrachtung für h → 0 aus.
Damit: Gib f'(1), f'(2), f'(3), f'(4) an. Überprüfe die Ergebnisse mit dem GTR.
•
Weitere Aufgaben: Seite 23 Nr. 2 und 3 sowie „Bist du sicher?“. Seite 25 Nr. 12.
Ableitungsfunktion
•
Definition:
•
Tabelle von einigen bisher berechneten Ableitungsfunktionen:
f
f'
f
f'
•
Gegeben sei die Funktion g mit g  x=0.01 x 4 0.2 x² 1 .
Berechne mit dem GTR die Steigung bei den ganzzahligen x-Werten zwischen -5 und 5.
•
Zeichne mit den bestimmten Steigungswerten den Graphen der Ableitungsfunktion g'
von g in das Schaubild ein:
•
Überprüfe deine Zeichnung mit dem GTR (Anleitung: Seite 27 Fig.3).
•
Markiere die Bereiche in denen die Steigung der Funktion g gleich 0 (blau), größer als 1
(grün) und kleiner als 0 (rot) ist.
•
Graphisches Ableiten: Unter graphischem Ableiten versteht man das skizzieren des
Graph der Ableitungsfunktion einer Funktion f, die nur durch ihren eigenen Graphen
bekannt ist (also wie die Aufgabe oben, nur ohne bekanntem Funktionsterm).
Der Graph von einer Funktion f ist hier gegeben:
•
Zeichne den ungefähren Graphen der Ableitungsfunktion f' von f in das Schaubild ein:
•
Weitere Aufgaben: Seite 28 Nr. 2 und 3 sowie Seite 29 „Bist du sicher?“.
Ableitungsregeln
Die Funktion f sei definiert durch
ein beliebiger Faktor ist.
Herleitung der Faktorregel:
f '  x :=lim
h 0
=lim
h 0
f  xh
h
f  x
f  x :=c · g  x , wobei g selbst eine Funktionen ist, und c
=lim
h 0
c · g  xh g  x 
=c · g '  x 
h
Die Funktion f sei definiert durch f
einem gemeinsamen Intervall sind.
Herleitung der Summenregel:
f '  x :=lim
h 0
=lim
h 0
c · g  xh c · g  x 
c · g  x h c · g  x 
=lim
h
h
h 0
f  xh
h
f  x
=lim
h 0
 x :=g  xk  x  , wobei g und k selbst Funktionen auf
g  xhk  xh  g  x k  x 
h
g  xh  g  x k  xh k  x 
g  x h g  x 
k  xh k  x 
=lim
lim
h
h
h
h 0
h 0
=g '  xk '  x
Potenzregel:
Summenregel:
Faktorregel:
•
Weitere Aufgaben: Seite 31 Beispiel.
Seite 31 Nr. 1 bis 4 jeweils Aufgaben a) b) und c).
Seite 31 „Bist du sicher?“
Potenzregel - Fehlerquellen
•
Schreibe die Funktionsgleichungen um in eine Potenzdarstellung der Art
dann ab.
Bsp:
( ) =x
3
f ( x )=( √ x) = x
1 3
2
3
2
xk
und leite
3
→
1
3
0,5
f ' ( x)= x 2 =1,5 x =1,5 √ x
2
5
f ( x )=( √ x)
f ( x )=( √ x)
3
()
5
f ( x )=( )
2x
1
f ( x )=
x
5
2
( )
f ( x )=
5
(2x )2
( )
f ( x )=
5x
2
6
f ( x )=( √ x )
10
Anwendungen
•
Tangentengleichungen ermitteln:
Gegeben ist eine Funktion durch f ( x )=4x2 +4x+2 . Bestimme mit den Rechenregeln
die Tangentengleichung einer Tangenten an den Graph der Funktion im Punkt P(2|f(2)).
•
Bestimmte Punkte auf dem Graphen ermitteln.
Gibt es Punkte auf dem Graphen, an denen die Steigung -5, -2, 0, 2, 5 beträgt?
Falls ja, gib diese an.
•
Gegeben ist eine Funktion durch f (x )=x 3+ √ x . Bestimme die Tangentengleichung
einer Tangenten an den Graph der Funktion, die die Steigung 3 besitzt.
Document
Kategorie
Technik
Seitenansichten
2
Dateigröße
286 KB
Tags
1/--Seiten
melden