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8.3.2 Was man wissen muss

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8.3.2 Was man wissen muss
Wir verstehen, wie elektrischer Strom mit dem Netto -Teilchenströmen zusammenhängt, und dass nur Stromdichte j
und elekt. Feldstärke E im Zusammenhang mit Materialien sinnvolle Größen darstellen.
Wir verstehen das ohmsche Gesetz in der nachfolgenden Form, und dass es implizit behauptet, dass die spez.
Leitfähigkeit σ = 1/ρ (ρ = spez. Widerstand) eine Materialkonstante ist.
E
j
j = σ·E =
=
q · n · vD
σ = q·n·µ
ρ
Ohmsches Gesetz
Muss man wissen
Stromdichte und
Driftgeschwindigkeit geladener
Teilchen
Muss man nicht wissen, aber
verstehen
Materialdefinition der spez.
Leitfähigkeit
Muss man wissen
Wir können σ = q · n · µ diskutieren:
Die Ladungsträgerdichte n ist:
1. nMet ≈ Dichte der Atome für Metalle,
2. nIso = 0 cm–3 für Isolatoren,
3. nHL = Neff · exp–(EL – EF/kT) cm –3 ≈ NDot cm–3 für Halbleiter
Bei Halbleitern ist dabei schon Wissen eingeflossen, das wir uns erst im nächsten Kapitel erarbeiten.
Die Beweglichkeit µ bringt zum Ausdruck, dass die Driftgeschwindigkeit vD im elektrischen Feld trotz konstanter
Kraft auf die Ladung konstant ist; es gilt µ = v D/E. Diese Gleichung zu kennen ist gut, aber nicht unbedingt
erforderlich.
Statt der klassisch dazu notwendigen Reibung haben wir Stöße der Ladungsträger (Elektronen oder Löcher) mit
haupsächlich thermischen Gitterschwingungen (Phononen genannt) und Defekten wie atomaren Fehlstellen
(insbesondere Fremdatome), Versetzungen, Korngrenzen, etc.
Die relevanten sinnvollen Größen in diesem Zusammenhang sind mittlere Stoßzeiten τ und mittlere freie Weglängen
l ∝ τ ∝ µ. Die Beweglichkeit ist also schlicht ein Mass für die Stoßerei.
Das folgende Bild können wir interpretieren:
Stoßzeit und mittelere freie Weglänge ist klar.
Was das Feld E macht ist klar.
Dass ohne Feld < v+x > = < v–x> >> vD und < v> = 0 cm/s ist nicht nur
klar, wir wissen sogar wie man < vtherm > klassisch mit dem
Gleichverteilungssatz ausrechnen kann, und warum man in obigen
Gleichungen höllisch aufpassen muss, ob da ein Vektor oder Skalar
steht.
Wir haben sogar ein Gefühl für Zahlen: vD liegt eher bei cm/s, während
vtherm eher bei zigtausenden cm/s liegt (bei RT).
Wenn wir die mittlere freie Weglänge ausrechen (mit gemessenen σ Werten), wird uns klar, dass Elektronen sich nicht
mal ungefähr als klassische Teilchen verhalten (mittlere freie Weglängen wären viel zu klein), und warum sie noch viel
schneller sein müssen, als aus dem klassischen Gleichverteilungssatz (½mv2 = 3/2 kT) errechnet.
Wir können das im Umfeld der Begriffe "Pauli Prinzip" "Zustände" und "Besetzung von Zuständen" diskutieren und
die Problematik aufzeigen; insbesondere bei sehr tiefen Temperaturen.
Wir verstehen, dass alle gelernten Begriffe trotzdem ihre Bedeutung behalten: Dass die "Hintergrundgeschwindigkeit"
vtherm nicht "stimmt" ist für die Hauptformel σ = q · n · µ egal, sofern n = Konzentration der beweglichen
Ladungsträger bedeutet.
MaWi fuer ET&T - Script - Page 1
Damit haben wir Metalle und Isolatoren "erledigt", insbesondere verstanden, dass man an nMet nicht nenneswert
"drehen" kann, dass die Beweglichkeit immer mit zunehmder Temperatur runter geht (und dass man dagegen nichts
tun kann), und dass alle üblichen Tricks (Defekte , Legieren, ...) die Beweglichkit und damit σ immer nur schlechter
machen.
Wir kennen typische Zahlen (für ρ):
ρ (Metall) ≈ 1 µΩcm.
ρ (Halbleiter, dotiert) ≈1 Ωcm.
ρ (Isolator) >> 1 Ωcm.
Es bleiben "nur" noch die Halbleiter.
Wir haben uns überzeugt, dass wir Halbleiter (und den Rest auch nochmal) sinnvollerweise über das Bändermodell
angehen, die beiden nachfolgenden Bilder können wir sofort verstehen und ggf. im Detail erläutern:
Der Begriff der Zustandsdichte ist uns halbwegs klar (und nach dem nächsten Kapitel vollständig klar), und wir können
im Schlaf folgenden Spruch aufsagen:
Dichte der Elektronen bei Energie E = Zahl der vorhandenen Plätze (= Zustandsdichte D(E)) mal
Wahrscheinlichkeit der Besetzung (= f(E) = Wert der Fermiverteilung bei E).
Gesamtzahl durch Aufsummieren = Integrieren.
Wir können das zur Not auch in Formeln hinschreiben (inkl. der blauen, die wir aber erst in den nächsten Kapiteln
lernen)
∞
neL(T)
=
⌠
⌡
ni2
D(E) · f(E; EF,T) dE
nmin
EL
=
nmaj
=
Neff · exp–(EL – EF)/kT
ni2
=
NDot
≥
NDot
für Majoritäten
Wir wissen auch schon, dass Zustandsdichten zwar nicht so leicht zu rechnen sind, aber letztlich bekannte
Materialparameter (in Form einer Kurve) darstellen. Das nachfolgende Germanium Bild ist uns klar.
Wir könnten sogar mit den beiden nachfolgenden oberen Bildern das untere Bild qualitativ konstrurieren und mit
obiger Formel begründen.
MaWi fuer ET&T - Script - Page 2
Wir könnten das Ganze auch für Löcher = unbesetzt Plätze im Valenzband machen, und sind uns über die
Bedeutung von 1 – f(E) in diesem Zusammnhang im Klaren.
Wir wissen aber auch, wie man sich mit effektiven Zustandsdichten = Materialparameter (eine Zahl) und der
Boltzmann-Näherung für f(E) das Leben stark vereinfachen kann, und haben die folgenden Formeln verinnerlicht und
immer parat:
ne(T) = Neff · exp–(EL – EF)/kT
nh(T) = Neff · exp–(EF – EL)/kT
Dichte der Elektronen im
Leitungsband
Dichte der Löcher im
Valenzband
⇒
ne ·nh = ni2
Massenwirkungsgesetz
Es ist uns klar, dass das Massenwirkungsgesetz rechts außen aus den beiden Formel links unmittelbar folgt; wir
verzeihen auch dem Menschen, der den blöden Namen geprägt hat.
Nebenbei haben wir uns an das Konzept der Löcher gewöhnt.
Zahlen und Formeln
Unbedingt erforderlich:
Anmerkung: In der Regel reichen "Zehner" Zahlen. Genauere Werte sind in Klammern gegeben
Zahlen neu
Größe
Zehnerwert
Besserer Wert
Typische spez. Widerstände ρ
ρ Metall ≈ 1 µΩcm
ρ Halbleiter, dotiert) ≈ 1 Ωcm
ρ Isolator >> 1 Ωcm
Metall: ≈ 0 eV
Halbleiter: ≈ (0,5 - 2,5) eV
Isolator: > 2.5 eV
Typische Energielücken EG
Zahlen alt
MaWi fuer ET&T - Script - Page 3
Größe
Zehnerwert
Besserer Wert
Permeabilität μr
Diamagnete:
Paramagnete:
Ferromagnete:
<≈ 1
>≈ 1
>> 1; bis >1000
Frequenzabhängigkeit
Magnetismus
<≈ GHz: μr ≈ 1
Durchschlagsfestigkeiten Emax
≈
(0,1 - 10) MV/cm
Maximale Stromdichten jmax
≈
(103 - 105) A/cm2
≈ 15 MeV/cm Limit
Einige Dielektrizitätskonstanten εr
εr(H2O) ≈ 80
εr(SiO2O)≈ 3,7
εr(Halbleiter)≈ 10 - 20
"Interessante" Frequenzen
≈ 10 GHZ: Relaxation H2O
≈ 1013 Hz: Resonanz Ionenpolarisation
≈ 1015 Hz = "0ptik": Resonanz Elektronenpolarisation
Daten Licht:
Wellenlänge
Frequenz
Energie
≈
≈
≈
Avogadrokonstante
1 µm
10 15 Hz
1 eV
500 nm
5 · 10 15 Hz
2.5 eV
1024 mol–1
6 · 1023 mol–1
1 eV
ca. (0.5 - 5) eV
Bildungs- und Wanderungsenergie Leerstelle
≈
kTR
=
1/40 eV = 0,025 eV
Typische Gitterkonstante a
≈
1 Å = 0.1 nm
2Å-5Å
Größe eines Atoms
≈
1 Å = 0.1 nm
1Å-3Å
Photonenergie Licht
≈
1 eV
(1.6 - 3.3) eV
Vibrationsfrequenz Atome
im Kristall
≈
1013 Hz
MaWi fuer ET&T - Script - Page 4
Formeln neu
Größe
Formel
Ohmsches Gesetz
j = σ·E =
E
ρ
σ = q·n·µ
Spez. Leitfähigkeit
∞
neL(T)
"Masterformel" für Teilchendichten
Hier Dichte e- im Leitungsband.
=
⌠
⌡
D(E) · f(E; EF,T) dE
EL
= Neff · exp–(EL – EF)/kT
Dichte h+ im Valenzband.
nh(T) = Neff · exp–(EF – EL)/kT
Massenwirkungsgesetz
ne ·nh = ni2
Formeln alt
Größe
Formel
B = µo · H + J = µ o · (H + M)
Magnetische Größen
M = J/ µo = (µr - 1) · H = χmag · H
μr
= χmag + 1
μ = q·ξ
Σμ
Dielektrische Größen
P =
P'
= <μ> · N V
=
V
V
εr = χ + 1
Schwingungsgleichung
und
Resonanzfrequenz
m d 2x
dx
+ mkF ·
dt2
MaWi fuer ET&T - Script - Page 5
+ xks
dt
= q E0 cos(ωt)
ω0' =
Komplexer Brechungsindex n
 kF  1/2
 
m 
(n + iκ)2 = ε' – i · ε''
Innere Energie U
(pro Teilchen)
Entropie S
Freie Energie G
U
=
½fkT
f
≈
3 ....6
S
=
k · ln pi
G
=
U – TS
Stirling Formel
ln x! ≈ x · ln x
Dichte Teilchen bei E
n(E) = D(E) · w(E) · dE
Boltzmann-Näherung an
Fermiverteilung f(E)
für ∆E = E – EF > kT
f(E) ≈ exp –
∆E
kT
Boltzmannfaktor (Wahrscheinlichkeit für E)
Boltzmannverteilung
w(E)
=
exp–E/kT
n(E)
E – E0
= exp –
n(E0)
kT
Leerstellenkonzentration
cV = exp– (EF/kT)
Sprungrate r atomare Defekte
r = ν0 · exp– (EM/kT)
Diffusionslänge L
L = (Dτ)½
MaWi fuer ET&T - Script - Page 6
Coulombpotential
e2
UCou
=
4π · ε0 · r
Beziehung Kraft F(r) — Potential U(r)
F(r)
Mech. Spannung σ, Dehnung ε, E-Modul E
=
–
F
σ =
A
l(σ) – l0
ε
=
l0
dσ
E
=
dε
Thermische Energie eines Teilchens
Etherm = ½kT
MaWi fuer ET&T - Script - Page 7
U(r)
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