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1 Was Sie schon immer ber Konvexit t, Konka- vit t und - Nikutta

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Umdruck zur Vorlesung VWL II
(Prof. Dr. Thorsten Hens)
1 Was Sie schon immer ber Konvexit t, Konkavit t und Quasi- Konkavit t wissen wollten:
1.1 Wozu sind Konkavit t und Quasi- Konkavit t n tze?
Die Mikro konomik basiert auf dem Rationalit tsprinzip, d.h. die Entscheidungstr ger versuchen, gegeben gewisse Restriktionen, ihre individuellen
Ziele m glichst gut zu realisieren. Mathematisch beschreibt man solch ein
Verhalten durch Maximierungsprobleme unter Nebenbedingungen.
Beispiel:
Produzentenverhalten:
max
py ; wl s:t: y = T (l)
yl 0
Konsumentenverhalten:
max U (x f ) s:t: px + wf = b
0 x x
0 f f
Zur Berechnung der L sungen dieser Maximierungsprobleme ist es recht angenehm, wenn man sich auf die L sung eines Gleichungssystems beziehen
kann. Die Gleichungssysteme sind die sogenannten Bedingungen 1. Ordnung,
welche man z.B. als partielle Ableitungen einer sogenannten Lagrangefunktion erh lt. In den obigen Beispielen lauten die Bedingungen 1. Ordnung:
(1)
(2)
bzw.
(1)
(2)
pT 0(l) = w
y = T (l)
@xU (x f ) = p
@f U (x f )
w
px + wf = b
Das Problem ist nur, wann man denn wirklich auf diese Weise vorgehen
kann. Die h u gsten Fehler bei der L sung der Maximierungsprobleme entstehen nicht etwa darin, da man diese Gleichungssysteme nicht korrekt l st,
sondern, da man sie l st, auch wenn man dies besser nicht tun sollte, weil
durch die Gleichungssysteme eben doch nicht das Maximierungsproblem gel st wird.
1
Es treten folgende b se Fallen auf.
1. Problem: Randl sungen
Die mathematische L sung der Gleichungssysteme (1), (2) erf llt nicht die
Randbedingungen y 0 l 0 bzw. 0 x x 0 f f . In diesem Fall
ist u erste Vorsicht geboten und man macht sich die Lage der richtigen
L sung am besten anhand einer Skizze klar.
Beispiel:
max lnx + (1 ; )lnf s:t: px + wf = b
0 x x
0 f f
Die Bedingungen 1. Ordnung sind:
f
p
(1 ; )x = w
px + wf = b
(1)
(2)
Die mathematische L sung ist x = pb , f = (1;w )b . Doch, was ist, falls pb
oder (1;w )b > f ist? Diese F lle verdeutlichen die folgenden Skizzen:
x
x
x
6
q
6
(x0 f 0)
(xt f t )
q
f
x
-
q
(x0 f 0)
q
f
f
x
(xt f t)
-
f
Im ersten Fall liegt die L sung in dem Schnittpunkt der Budgetgeraden und
dem durch x = x beschriebenen Rand der Konsummenge, im zweiten Fall in
dem Schnittpunkt der Budgetgeraden und dem durch f = f beschriebenen
Rand. In beiden F llen ist die L sung jedoch verschieden von den durch die
Bedingung erster Ordnung (1) und (2) beschriebenen Tangentialpunkten
(xt f t ).
2. Problem: Falsches Kr mmungsverhalten der Funktionen.
Die Gleichungssysteme (1) und (2) beschreiben nicht etwa das Gewinn- bzw.
das Nutzenmaximum, sondern das Minimum!
2
Beispiel:
T (l) s ; f ormig :
y
6
q
q
max
min
-
l
U (x f ) = x2 + f 2
x
(x = 0 f = 1 )
6
s
max
A
A
A
A
A
A
A
A
A min
A
AA
s
-
f
Um dieses Problem auszuschlie en, berlegt man vor Anwendung der Lagrangemethode (d.h. bevor man das Gleichungssystem (1), (2) aufstellt, ob
die Produktionsfunktion T konkav, bzw. die Nutzenfunktion U quasi- konkav
ist. Denn dieses Kr mmungsverhalten ist hinreichend daf r, da die inneren
L sungen der Gleichungssysteme (1), (2) tats chlich die Maximierungsprobleme l sen. Und was das Kr mmungsverhalten mathematisch bedeutet,
erkl rt der n chste Teil dieses Umdrucks.
3
1.2 Eindimensionale Funktionen:
Sei f : IR ! IR eine reellwertige Funktion einer Variablen, sagen wir mal
y = f (x):
f hei t konkav (konvex), falls die Sekante zu je zwei beliebigen Punkten
(x1 y 1) (x2 y 2) nicht oberhalb (nicht unterhalb) das Graphen der Funktion
f liegt, d.h. graphisch:
y
y
6
f
y2
6
f
y2
y1
y1
x1 konkav
x2
-
x
x1
2
konvex x
-
x
algebraisch:
f konkav , 8x1 x2 ist f ( x1 + (1 ; )x2)
f (x1) + (1 ; )f (x2)
konvex
f r alle 2 0 1].
Man beachte: Ist f konvex, so ist ;f konkav, also z.B. ist f (x) = x2 konvex und f (x) = ;x2 konkav. f hei t strikt konkav (strikt konvex), falls die
Sekante immer echt unterhalb (echt oberhalb) liegt, d.h. die obigen Ungleichungen strikt gelten.
Beispiele:
f (x) = ln x strikt konkav
8
>
< 0 strikt konvex
<
f (x) = x ist f r = > 0 < < 1 strikt konkav
:
> 1 strikt konvex
f hei t quasi-konkav, falls f r alle y 2 IR die Niveaumengen N (y ) = fx 2
IR j f(x) yg nicht konkav sind. Analog, hei t f strikt quasi-konkav, falls
die Niveaumengen echt konvex sind, d.h. graphisch:
4
6
y
-
N (y )
]
algebraisch:
Sei x1 x2 so da f (x1) = f (x2) dann ist f ( x1 + (1 ; )x2) f (x1)
Aus dieser algebraischen De nition wird klar, da jede konkave Funtion
auch quasi-konkav ist, denn f r x1 und x2 so da f (x1) = f (x2) ist nat rlich
f (x1) = f (x1) + (1 ; )f (x2). Umgekehrt ist aber nicht jede quasi-konkave
Funktion auch konkav. Dies folgt z.B. daraus, da jede monotone Funktion
quasi-konkav ist. Also folgendes Beispiel: f (x) = x3 ist monoton steigend.
Somit ist f r alle x 2 IR N (f (x)) = fx 2 IR j x xg konvex, aber x3 ist f r
x 0 konkav und f r x 0 konvex.
y
x
6
f
y = f (x) N (y)
%
%
%
%
-
x
q
Falls f di erenzierbar ist, kann man folgende Kriterien f r die Konkavit t
bzw. Konvexit t geben:
Ist 8x f 00(x) < 0, so ist f strikt konkav
>
konvex
5
Und
ist f konkav , dann ist f 00 (x) 0
konvex
0
Dem aufmerksamen Leser f llt auf, da in dieser quivalenz eine kleine
L cke kla t. Z.B. ist f (x) = x2 strikt konvex, aber f 00(0) = 0. D.h. es
gibt strikt konvexe Funktionen, welche nicht berall eine negative zweite
Ableitung zu haben brauchen. Analoges gilt f r strikt konkave Funktionen.
1.3 Mehrdimensionale Funktionen:
Sei nun f : IRn ! IR, also y = f (x1 : : : xn ). Die obigen De nitionen bertragen sich v llig analog auf diesen Fall:
f ist konkav (konvex), falls keine Sekante oberhalb (unterhalb) des Graphen
liegt. D.h.
f konkav , F r alle x1 = (x11 : : : x1n) x2 = (x21 : : : x2n) gilt
f ( x1 + (1 ; )x2)
f (x1) + (1 ; )f (x2) 8 2 0 1]
konvex
Und Quasi-Konkavit t ist wiederum gegeben, falls alle Niveaumengen konvex sind, bzw. falls
f (x1) = f (x2) impliziert, da f ( x1 + (1 ; )x2) f (x1) ist.
Eine zweidimensionale konkave Funktion wird z.B. beschrieben durch die
Ober che eines Tartufo1 w hrend die Ober che einer Obstschale typischerweise konvex ist. Ich erspare mir solche 3-D Darstellungen. Typische
zweidimensionale quasi-konkave Funktionen sind durch Nutzenfuntionen mit
konvexen Bessermengen oder Produktionsfunktionen mit konvexen Outputniveaumengen gegeben (vgl. Vorlesung). Woran erkenne ich nun mehrdimensionale Konvexit t, Konkavit t?
Im besten Fall ist die mehrdimensionale Funktion die Summe von eindimensionalen Funktionen. Es gilt:
Die Summe konkaver Funktionen ist konkav.
konvexer
konvex.
Der Beweis dieser Aussage folgt unmittelbar aus der algebraischen De nition von konvex bzw. konkav. Es sei hier zum besseren Verst ndnis einmal
aufgeschrieben:Sei f (x1 : : : xn) = f1(x1 ) + + fn (xn ) mit fi (xi ) konkav.
1
Italienische Eisspezialit t
6
Betrachte
f ( x1 + (1 ; )x2) = f ( x11 + (1 ; )x21 : : : x1n + (1 ; )x2n)
= f1 ( x11 + (1 ; )x21) + : : : + fn ( x1n + (1 ; )x2n)
f1(x11) + (1 ; )f1(x21) +
: : : + fn (x1n ) + (1 ; )fn(x2n)
= f1(x11 ) + : : : + fn (x1n ) + (1 ; )f1(x21 ) +
: : : + (1 ; )fn(x2n )
= f (x1) + (1 ; )f (x2)
Beispiel:
f (x) = px1 + ln x2 ; x;3 4 f r
>0
ist konkav.
Leider ist jedoch die Summe von quasi-konkaven Funktionen nicht notwendig
quasi-konkav. Man betrachte z.B. die Summe einer monoton fallenden und
einer monoton steigenden Funktion wie in der n chsten Abbildung. Jede
einzelne Funktion ist quasi-konkav, die Summe aber nicht.
y
6
y
f1 + f2
f2
f1
Y
*
N (y )
7
-
x
F r manche theoretische berlegungen ist es wichtig zu wissen, wie sich
die Di erentialrechnungskriterien f r die Konvexit t, bzw. Konkavit t auf
den mehrdimensionalen Fall erweitern lassen. Sei also nun f : IRn ! IR
di erenzierbar,dann ist
f strikt konvex, falls die Hessematrix von f positiv de nit ist.
konkav
negativ
Die Hessematrix einer Funktion f ist die Matrix ihrer zweiten Ableitungen,
d.h. die n x n Matrix
2 @ 2 f (x) : : : @ @ f (x) 3
xn x1
x1
6
75
.
..
.
..
..
H=4
.
@x1 @xn f (x) : : : @x2n f (x)
Eine Matrix, H, ist positiv (negativ) de nit, falls f r alle Vektoren y 2 IRn die
reelle Zahl y T Hy positiv (negativ) ist. Kriterien hierf r sind:
Die Eigenwerte von H sind positiv (negativ). Oder:
Die Hauptabschnittsdeterminanten Di i = 1 : : : n sind positiv bzw. im
Falle der negativen De nitheit haben sie alternierende Vorzeichen , d.h.
D1 < 0 D2 > 0 D3 < 0 . . . .
Beispiel: f (x1 x2) = ln x1 + 4px2 f r x1 x2 > 0
" 1
#
;
0
H = 0x1 ; p1
Es ist (y1 y2)H yy1
2
x2 x2
!
= ;y12 x11 ; y22 x2 p1 x2 < 0 f r alle (y1 y2 ) 2 IR2 .
Die Eigenwerte sind ; x11 und ; x2 p1 x2 , also beide negativ.
D1 = ; x12 < 0 und D2 = ; x1x21px2 > 0.
Hier ist f (x1 x2) additiv separabel, soda H eine Diagonalmatrix wird. Im
allgemeinen Fall sind die angegebenen Kriterien eher m hsam nachzupr fen.
Beispiel: f (x1 x2) = px1 x2 + px2 f r x1 > 0 und x2 > 0.
2 ;px2
3
1p
p
p
1
H = 4 4 px1 1px1 ;(1+x1ppxx21) 5
x1 x2
! x2 x2
p
D1 = 41 x; pxx2 < 0
1
1
1
1 >0
D2 = 16
x1x2px1
Also ist f konkav.
8
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