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Formelsammlung TGM
1 / 41
Formelsammlung Technisches Gymnasium Profil Mechatronik
23.10.14
Inhaltsverzeichnis
1 Energietechnik ..............................................................................................................................................3
2 Grundlagen Elektrotechnik............................................................................................................................4
Ladung Q, Strom I, Spannung U, Arbeit W, Leistung P, Widerstand R.......................................................................4
Widerstand ...........................................................................................................................................................5
Reihenschaltung....................................................................................................................................................5
Innenwiderstand Ri einer Spannungsquelle..............................................................................................................6
Parallelschaltung....................................................................................................................................................6
Knoten- und Maschenregel.....................................................................................................................................6
Spannungsteiler.....................................................................................................................................................7
Brückenschaltung...................................................................................................................................................7
Dioden und LEDs...................................................................................................................................................8
Kondensator..........................................................................................................................................................9
Durchflutung........................................................................................................................................................10
Induktion ............................................................................................................................................................10
Spule...................................................................................................................................................................11
Motor: Ersatzschaltbild und Kennlinien...................................................................................................................12
Motor Leistungsbilanz...........................................................................................................................................12
Transistor und Transistorschaltungen....................................................................................................................13
PWM-Signal, Tastgrad..........................................................................................................................................13
Transistor-Brückenschaltung.................................................................................................................................14
Tiefsetzsteller......................................................................................................................................................14
Hochsetzsteller.....................................................................................................................................................14
Operationsverstärker............................................................................................................................................15
Wechselstrom......................................................................................................................................................18
Ohmscher Widerstand im Wechselstromkreis (Wirkwiderstand R)............................................................................18
Kapazität im Wechselstromkreis............................................................................................................................19
Induktivität im Wechselstromkreis.........................................................................................................................19
Reihenschaltung R (Wirkwiderstand) und XL (induktiver Blindwiderstand)................................................................20
Parallelschaltung R und XL....................................................................................................................................21
Parallelschaltung R und XC...................................................................................................................................22
Reihenschaltung R (Wirkwiderstand) und XC (kapazitiver Blindwiderstand)..............................................................23
Blindleistungs-Kompensation.................................................................................................................................24
Siebschaltungen (passive Filter)............................................................................................................................25
RC- und LR-Tiefpässe...........................................................................................................................................26
CR- und RL-Hochpässe.........................................................................................................................................26
Dreiphasiger Wechselstrom, Drehstrom.................................................................................................................27
Betriebswerte von Drehstromasynchronmotoren (DASM)........................................................................................28
Drehstrom-Asynchronmotor DASM........................................................................................................................29
Symbole der Elektrotechnik...................................................................................................................................30
Symbole der RI-Fließtechnik.................................................................................................................................30
Normreihen von Widerständen..............................................................................................................................31
3 Steuerungstechnik.......................................................................................................................................32
Digitaltechnik Symbole und Schaltalgebra..............................................................................................................32
Variablen mit elementaren Datentypen..................................................................................................................33
Schlüsselwörter für die Variablendeklarationen (Lokaldaten)...................................................................................33
Bistabile Speicher ................................................................................................................................................33
Flankenauswertung..............................................................................................................................................34
Vergleicher..........................................................................................................................................................34
Übertragungsfunktion...........................................................................................................................................34
Zeitgeber.............................................................................................................................................................35
Ablaufsprache......................................................................................................................................................36
Schrittketten: Grundregeln....................................................................................................................................38
Codes..................................................................................................................................................................38
4 Mathematische Grundformeln.....................................................................................................................39
Zehnerpotenzen...................................................................................................................................................39
Umrechnungen....................................................................................................................................................39
Formelsammlung_TGM.odt
1
23. Okt 14
Formelsammlung TGM
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Flächen- und Volumenberechnungen.....................................................................................................................40
Winkelfunktionen.................................................................................................................................................40
5 Physikalische Grundformeln und Einheiten................................................................................................41
Physikalische Formeln...........................................................................................................................................41
Einheiten ............................................................................................................................................................41
Zahlenangaben und Tabellenwerte ohne Gewähr!
Danke an Herrn Tritschler für die zu Verfügung gestellte Tabellen der SPS
Fehler und Ergänzungswünsche schicken Sie bitte an: bub@ces.karlsruhe.de
Formelsammlung_TGM.odt
2
23. Okt 14
Formelsammlung TGM
1
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Energietechnik
1.1 Erster Hauptsatz der Wärmelehre
Q:
allgemein
Q+W = ∆U
Isobarer Prozess
Q = c P ⋅ m ⋅ ∆T
(p = konst.)
Isochorer Prozess
Q = c V ⋅ m ⋅ ∆T
(V = konst.)
ausgetauschte Wärmemenge in J
1 J = 1 Ws = 1 Nm
1 t SKE = 2,93 · 1010 J
ausgetauschte spezifische Wärmemenge in kJ/kg
Arbeit in J
spezifische Arbeit in kJ/kg
Innere Energie
absolute Temperatur in K (273 K ⇔ 0 °C)
spezifische Wärmekapazität bei konstantem Druck
q:
W:
w:
U:
T:
cP:
Isothermer Prozess (T = konst.)
Q=–W
in
c V:
spezifische Wärmekapazität bei konstantem Volumen
Adiabater Prozess
Q=0
in
Kreisprozess
∑Q + ∑W = 0
1.2 Wärme im T, s – Diagramm
kJ
kg ⋅K
kJ
kg ⋅K
q:
ausgetauschte spezifische Wärmemenge in kJ/kg
∆s:
Änderung der spezifischen Entropie in
p:
V:
m:
Druck
Volumen
Masse
R i:
spezifische Gaskonstante in
W12:
verrichtete Arbeit bei Zustandsänderung von 1 nach 2
κ:
Adiabatenexponent;
q = T ⋅ ∆s
1.3 Zustandsänderungen idealer Gase
Allgemeine Gasgleichung
p⋅V
= konst.
T
p ⋅ V = m ⋅ Ri ⋅ T
Isobarer Prozess
V1 V2
=
T1 T2
W12 = −p ⋅ ∆V
kJ
kg ⋅K
kJ
kg ⋅K
κ=
cP
cV
Gas
cP
cV
Ri
Kohlendioxid
0,84
0,66
0,19
Luft
1,01
0,72
0,29
Isothermer Prozess
Sauerstoff
0,92
0,66
0,26
p1 ⋅ V1 = p 2 ⋅ V2
Stickstoff
1,04
0,74
0,3
Isochorer Prozess
p1 p 2
=
T1 T2
W12 = −m ⋅ R i ⋅ T ⋅ ln
W12 = 0
V2
p
= −m ⋅ R i ⋅ T ⋅ ln 1
V1
p2
Adiabater Prozess
κ
p ⋅ V = konst.
W12
1.4
T1  p1 
= 
T2  p 2 
κ −1
κ
V 
= 2
 V1 
κ −1
κ −1
κ −1



m ⋅ Ri
m ⋅ R i ⋅ T1   V1 
m ⋅ R i ⋅ T1   p 2  κ
=−
⋅ (T2 − T1 ) = −
⋅    − 1 = −
⋅   − 1
  p1 

1− κ
1− κ
V
1
−
κ
  2 



Thermischer Wirkungsgrad: η th = 1 −
Formelsammlung_TGM.odt
Q ab
Q zu
=
3
Wnutz
Q zu
23. Okt 14
Formelsammlung TGM
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Grundlagen Elektrotechnik
Ladung Q, Strom I, Spannung U, Arbeit W, Leistung P, Widerstand R
-
+
2 Arten von Ladungen (positiv und negativ)
gleichartige Ladungen stoßen sich ab, ungleichartige ziehen sich an
Ladung ist übertragbar
im Raum zwischen Ladungen wirken Kräfte auf Ladungen, die durch ein
„elektrisches Feld“ erklärt werden
•
•
•
•
Ladung, Ladungsmenge
Q = N⋅ e
1 e entspricht −1,602 x 10−19 C
Stromstärke
I=
Q
t
I=
dQ
dt
e
Elementarladung
(kleinstmögliche Ladung)
N
Anzahl der Ladungsträger
Q
Ladung in As = C (Coulomb)
I
Stromstärke in A (Ampere)
Q
t
Ladungsmenge in As
Zeit in s
U
Q
Spannung in V (Volt)
Ladungsmenge in As
W
Arbeit in Ws
φ
Potenzial in V
bezogen auf Bezugspunkt,
(oft Schaltungsmasse)
bei Gleichspannung, bei Wechselspannung
Spannung
= Arbeit beim Transport der
Ladung pro Ladungsmenge
U=
Spannung
= Potenzialdifferenz
U12 = ϕ 2
Elektrische Energie,
Energiemenge, Arbeit
(engl. Work)
W = P⋅ t
Elektrische Leistung
(engl. Power)
P=
W
Q
ϕ1
W = U⋅ Q
W
t
P = I2 ⋅R
Widerstand R
R
Leistung in W (Watt)
t
Zeit in s
1 Ws = 1 VAs = 1 J
P = U⋅I
Leistung am Widerstand
R=
I
P
U
I
P=
U2
R
U = R ⋅I
R
Widerstand in Ω
R
U
Widerstand in Ω
Spannung in V
I
Strom in A
Für R1 und R2 gilt: R= Konstant
R1 und R2 sind lineare Widerstände.
U
U
=Konst Ohm'sches Gesetz
I
Die Lampe besitzt einen nichtlinearen
Widerstand.
Formelsammlung_TGM.odt
4
23. Okt 14
Formelsammlung TGM
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Widerstand
Leitungswiderstand
R=
l
A
⋅l
A
Leiterlänge in m
Leiterquerschnitt in mm2
Ω⋅mm2
m
spezifischer Widerstand in
Temperaturabhängiger
Widerstand
Material
Spezifischer Widerstand in
Kupfer
0,0178
Stahl
0,13
Aluminium
0,028
Gold
0,0244
Kohle
40
∆ R = α ⋅∆ T⋅RK
∆R
Widerstandsänderung in Ω
α
Temperaturbeiwert K
Kaltwiderstand in Ω
Warmwiderstand in Ω
Temperaturdifferenz in K
1
RK
RW
∆T
RW = RK + ∆ R
Ω⋅mm2
m
Reihenschaltung
I
Iges = I1 = I2 = I3
R1
U1
Uges = U1 + U2 + U3
Uges
R2
U2
Rges = R 1 + R2 + R3
U
Gesamtspannung
U1, U2, U3
Teilspannungen
R
Gesamtwiderstand
R1, R2, R3
Einzelwiderstände
U3
R3
Pges = P1 + P2 + P3
Durch jeden Widerstand fließt der selbe Strom I
Grafische Ermittlung der Größen
I
I
R1
1,2 A
R2 = 12 V / 1,2 A = 10 Ω
1,2 A
0,5 A
R1 = 12 V / 0,5 A = 24 Ω
0,5 A
R2 = 12 V / 1,2 A = 10 Ω
U1
Uges
R2
I
U2
R1 = 12 V / 0,5 A = 24 Ω
0,35 A
U
U
12 V
12 V
U1 = 8,47 V
U2 = 3,53 V
Formelsammlung_TGM.odt
5
23. Okt 14
Formelsammlung TGM
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Innenwiderstand Ri einer Spannungsquelle
Ri
U0
U0
I=
R i +R 1
I
U1
R1
U1
I
Ersatzschaltbild
Akku
U0
LeerlaufSpannung
∆U
Verbraucher
Laststrom
Ri
Innenwiderstand
der Spannungsquelle
R1
Widerstand des angeschlossenen Verbrauchers
U1
Spannung an den
Anschluss-Klemmen
U0
Leerlauf-Spannung
Spannung der idealen
Spannungsquelle
∆I
I
Ik
KurzsschlussStrom
∣ ∣∣
Leistungsanpassung: R1 erhält die
maximale Leistung bei R1 = Ri
I
Ri=
∆ U (U2 U1)
=
∆I
(I2 I1 )
Ri=
U0
IK
∣
Parallelschaltung
Iges
Uges = U1 = U2 = U3
I1
U
I2
R1
R2
I3
Iges = I1 + I2 + I3
R3
1
1
1
1
=
+
+
R ges R 1 R 2 R 3
Pges = P1 + P2 + P3
Iges
Gesamtstrom
I1, I2, I3
Teilströme
Rges
Gesamtwiderstand
R1, R2, R3
Einzelwiderstände
An jedem Widerstand liegt dieselbe
Spannung U
Knoten- und Maschenregel
Knotenregel
I1
Maschenregel
I2
R1
I3
U1
Maschen
umlauf
Uges
I1 +I2 + I3 = 0
R2
U1 + U2
Formelsammlung_TGM.odt
6
U3
R3
U2
U3 = 0
23. Okt 14
Formelsammlung TGM
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Spannungsteiler
unbelastet (Reihenschaltung)
belastet (Gruppenschaltung)
Iges
I
R1
R1
U1
U1
Uges
Uges
I2 = Iq
R2
U2
R2
U2 =
IL
R2
⋅ Uges
R1 + R 2
U2
R2L
⋅ Uges
R1 + R2L
U2 =
RL
R2L =
R 2⋅RL
R2 + R L
RL
Lastwiderstand
R2L
Ersatzwiderstand für R2 und RL
Brückenschaltung
Iges
R1
UAB = U2 − U4
R3
U1
U3
wenn: UAB = 0 (Abgleich)
Uges
I12 A
R2
Formelsammlung_TGM.odt
U2
UAB
B
R4
I34
U4
7
R1 R 3
=
R2 R 4
23. Okt 14
Formelsammlung TGM
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Dioden und LEDs
Anode
Stromfluss in
Durchlassrichtung
Anode
Diode
Kathode
Merkregel:
Kathode = Kennzeichnung
LED
Kathode
Merkregel:
Kathode = Kurzes Bein = Kante
Kennlinien Diode und LEDs
I in mA
20
18
16
14
12
Silizium-Diode
LED, grün
LED, w eiß
LED, rot
LED, blau
10
8
6
4
2
0
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
3,5
U in V
Arbeitspunkt und Arbeitsgerade
Arbeitspunkt und Arbeitsgerade
I in mA
IG
20
18
16
R
G
UR
14
LED, rot
Widerstandsgerade
Lineare Regression für
Widerstandsgerade
12
UG
AP
10
8
UD
6
f(x) = -3,07x + 15,36
4
2
0
∆U
R =∣
∣
∆I
0,0
0,5
1,0
1,5
(Kehrwert des Betrags der Steigung der Arbeitsgeraden)
Formelsammlung_TGM.odt
2,0
2,5
3,0
3,5
4,0
4,5
5,0
U in V
vergl. Reihenschaltung
8
23. Okt 14
Formelsammlung TGM
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Kondensator
d
C=
+Q
d
C
Q
U
Q
U
-Q
E
ε0
A
C = ǫ0 ⋅ǫr ⋅
d
C2
Vm
A
Plattenfläche in m²
εr
Dielektrizitätskonstante
εr (Luft) ≈ 1
εr (dest. Wasser) ≈ 80
εr (Isolation Unterwasserkabel) ≈ 2,4
Reihenschaltung von Kondensatoren
C1
Plattenabstand in m
Kapazität in F (Farad) = As/V
Ladungsmenge in As = Cb (Coulomb)
Spannung in V
11 As
Feldkonstante ǫ0=0,885⋅ 10
Parallelschaltung von Kondensatoren
C3
C1
1
1
1
1
=
+
+
C C1 C2 C3
Auf- und Entladung
IC = C ⋅
+
1K
1µF
U
C1
∆U C
∆t
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
-10
Aufladevorgang Kondensator
R=1kΩ , C=1µF, τ=R*C=1ms
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
uC (t)
uC(t) in V
i(t) in mA
i(t)
0
1
2
3
(
eτ
UC (t) = U⋅ 1
UR (t) = U⋅e τ
I(t) =
4
t
5
Zeit in ms
)
R=1kΩ , C=1µF, τ=R*C=1ms
uC(t)
uC(t) in V
i(t) in mA
i(t)
0
t
1
2
UC (t) = U⋅e τ
t
U
⋅e τ
R
Formelsammlung_TGM.odt
Entladevorgang Kondensator
uc(t) in V,
i(t) in mA
Uc
10V
uc(t) in V,
i(t) in mA
Zeitkonstante in s
Widerstand in Ω
Kapazität in F
τ
R
C
τ = R ⋅C
UR
G
C3
C = C1 + C2 + C3
R1
V1
C2
I(t) =
9
3
4
5
Zeit in ms
t
t
U
⋅e τ
R
23. Okt 14
Formelsammlung TGM
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Durchflutung
Rechte Handregel:
Ein elektrischer Strom
erzeugt ein Magnetfeld
dessen Feldlinien
ringförmig um den Leiter
verlaufen.
Daumen zeigt in Stromrichtung
M
Finger zeigen im Magnetfeldrichtung
ld
etfe
n
g
a
Kompass
mI
S t ro
Kreuz: Strom fließt nach hinten
(Merkregel: Pfeilende)
Punkt: Strom fließt nach vorne
(Merkregel: Pfeilspitze)
Leitung
Kraft auf
Ursache Strom (Daumen nach hinten)
stromdurchflossenen Leiter
Vermittlung Magnetfeld (Zeigefinger nach unten)
im Magnetfeld
Wirkung Kraft (Mittelfinger nach links)
N
Kraft F
Ursache
Strom
Wirkung
Kraft
St
ro
m
I
S
Vermittlung
Magnetfeld
Flussdichte
B
magnetische Flussdichte in Vs/m² = T
B= Φ
A
Φ
magentischer Fluss in Vs
A
Querschnittsfläche in m²
B
A=1m²
Induktion
U
U
Magnetfeld B ändert sich
t
∆Φ
Uinduziert =N
∆t
mit Φ = B⋅A
I klein
Magnetfeld B
ändert sich
U
U
I gross
Drehung
S
N
vom Magnetfeld durchströmte
Fläche A ändert sich
t
S
N
durchstömte
Fläche A
ändert sich
Uinduziert induzierte Spannung in V
Selbstinduktion
Formelsammlung_TGM.odt
∆I
Uind =L ⋅ ˙I = L ⋅
∆t
N
Windungszahl
∆Φ
Flussänderung in Vs
∆t
Zeitdauer der Flussänderung in s
∆I
Stromänderung in A
∆t
Zeitdauer der Stromänderung in s
˙I
10
Stromänderung in A/s
23. Okt 14
Formelsammlung TGM
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Spule
L
A
µ0
I
+
L ≈ µ0 ⋅ µr ⋅ N2 ⋅
_
A
l
Vs
Am
 Permeabilitätszahl
r =
 r Eisen 200 ... 6000
 r Elektroblech 500 ... 7000
 1,257⋅10
0 =
Reihenschaltung von Spulen
L1
V⋅s
Induktivität in H = A (Henry)
vom Feld durchsetzte Fläche (Querschnitt)
Feldkonstante des magnetischen Feldes
6
Parallelschaltung von Spulen
L2
L3
L1
L2
L3
1 1
1
1
=
+
+
L L1 L2 L3
L = L1 + L2 + L3
Spule an Rechtechspannung
S1
U1 S2
S1 geschlossen
U1 = U2 = Uspule + UR
USpule
I
U2
L
max
R
UR
I~UR
63%max
37%max
I~UR
USpule
t
τ
G
U2
L
R
τ
USpule
-37%max
Einschalten
Zeitkonstante
Selbstinduktion
τ=
S2 geschlossen
0 = Uspule + UR
→ Uspule = - UR
L
R
∆I
UL = L⋅ = L⋅˙I
∆t
Ausschalten
(
UR (t) = Umax ⋅ 1
I(t) =
(
Umax
⋅1
R
eτ
eτ
USpule (t) = Umax ⋅e τ
t
t
)
UR (t) = Umax ⋅e τ
)
I(t) = Istart ⋅e τ
t
t
t
t
USpule (t) = Umax ⋅e τ
U in V
10
URecht
Impulszeit ti << τ
eingeschwungener
Zustand!
UL
t
0
1ms
Formelsammlung_TGM.odt
11
+40µs
+80µs
+120µs
23. Okt 14
Formelsammlung TGM
12 / 41
Motor: Ersatzschaltbild und Kennlinien
IAnker
UAnker
RAnker
Uinduziert
= konst
n
UR
Uinduziert ~ n
UAnker =UR + Uinduziert
UAnker
Spannung am Motoranker
IAnker
Stromaufnahme des Motors in A
RAnker
Ankerwiderstand in Ω
n
Drehzahl des Motors in 1/s
Uinduziert im Motor induzierte Spannung in V
Drehzahl n
Mab
= konst
I Anker
Strom I
n in 1/s
4
3
n
I
2
U2
U3 < U1
U1
1
0
0
Dre hm om e nt M
20
40
60
ab
Drehmoment
M = F⋅ r
M
r
∆W
Pmech =
= F⋅v
∆t
Pmech = ω⋅M = 2⋅π⋅n⋅M
F
Mechanische Leistung
80
100
M in Nm
M
Drehmoment in Nm
F
Kraft in N
r
Radius in m
Pmech
Mechanische Leistung in W = Nm/s
∆W
Arbeit in Nm
ω
Winkelgeschwindigkeit in 1/s
n
Drehzahl in 1/s
v
Geschwindigkeit in m/s
mit F in Bewegungsrichtung
Motor Leistungsbilanz
zugeführte Leistung
Pzu = Pelekt
UAnker * IAnker
Mechanische Verluste (Lager, Bürsten,...),
hervorgerufen durch Reibungsmoment MReib
Mmech = Mreib + Mab
wenn Mreib<< Mmech dann: Mmech≈ Mab und Pmech≈ Pab
Wärmeverluste
Pverlust = UR * IAnker
Pverlust = I²Anker * RAnker
IAnker
Pelekt
Formelsammlung_TGM.odt
vom Motor
abgegebene
Leistung
Pab = ω * Mab
Mechanische
Leistung
Pmech
ω * Mmech
UAnker
RAnker
UR
st
P Verlu
Uinduziert ~ n
12
Pmech
23. Okt 14
Formelsammlung TGM
13 / 41
Transistor und Transistorschaltungen
Transistor-Art und -Bezeichnungen
Schaltzeichen
Bipolar-Transistor
B
Basis
E
Emitter
C
Kollektor
Schaltungsbeispiel
+12V
C
IC
IB
M
B
UBatt
UCE
Basisstrom IB steuert
Kollektorstrom IC wird gesteuert
E
Feldeffekt-Transistor,
hier MOSFET
G
Gate
D
Drain
S
Source
USteuer
+12V
D
ID
M
IMotor=ID
G
RG
UGS
UBatt
UDS
S
USteuer U
GS
Gate-Source-Spannung UGS steuert
Drainstrom ID wird gesteuert
IGBT
G
E
C
IMotor=IC
RB ISteuer
(insulated-gate bipolar transistor)
+400V
C
Gate
Emitter
Kollektor
IC
M
IMotor=IC
G
RG
Gate-Emitter-Spannung UGE steuert
Drainstrom ID wird gesteuert
UBatt
UCE
USteuer
E
Schaltzustände beim Transistor
Transistor sperrt (wie Schalter offen)
+12V
M
RB
+12V
Umotor
0V
IMotor=0A
UGS
12V
Transistor leitet (wie Schalter geschlossen)
M
M
0V
Umotor
11,8V
IMotor=1A
Ubatt
12V
RB
12V
UGS
0,2V
12V
USteuer=0V
M
Ubatt
12V
12V
12V
0V
USteuer=5V
PWM-Signal, Tastgrad
T
ti
tP
f
Periodendauer
Impulszeit
Pausenzeit
Frequenz
1
f=
T
Formelsammlung_TGM.odt
Maximalwert
Mittelwert
t
U
Tastgrad = i = Mittelwert
T U Maximalwert
Flächen
gleich gross
0V
tp
(
t
UEffektivwert
Tastgrad = i =
T
UMaximalwert
)
2
13
ti
T
T
23. Okt 14
Formelsammlung TGM
14 / 41
Transistor-Brückenschaltung
UVersorgung
UVersorgung
T3
T1
T1
M
1
T3
1
M
1
1
T4
T2
T2
T4
0V
0V
Tiefsetzsteller
USpule
I
T
U2 = U1
UR ~I
UR
U2
U1
UR ~I
USpule
U2=0
t
USpule
USpule
I
T
L
Uein PWM
U2
R
UR
C
Mittelwert
UR = Uaus
Uaus
AusgangGleichspannung
EingangsGleichspannung
Uein
U
t
U
U2= Uein
Mittelwert
UR = Uaus
U2=0
ti
t
T
Hochsetzsteller
I
USpule
+
L
Uein
-
C
T
PWM
Formelsammlung_TGM.odt
Uaus
RL
UT
14
23. Okt 14
Formelsammlung TGM
15 / 41
Operationsverstärker
Spannungsversorgung des Operationsverstärkers
Für Abituraufgaben im TG Mechatronik gilt:
In allen dargestellten Schaltungen besitzt der
Operationsverstärker die links abgebildete
symmetrische Spannungsversorgung mit +/-Ub
+Ub
+
Ub
G
⊲∞
-
‒
+
+
+
Ub
G
-
-Ub
nicht invertierender Komparator
Komparator: Vergleicher mit einer
Schaltschwelle
Schaltschwelle wird mit dem Spannungsteiler
R2, R1 eingestellt.
invertierender Komparator:
Eingänge + und - vertauschen
+Ub
⊲∞
R2
+
+
-
Ue
R1
Ua
-Ub
invertierender Verstärker
R2
⊲∞
R1
‒
Ue
vu =
+
Ua
=
Ue
R2
R1
Spannungsverstärkungsfaktor
+
Ua
Formelsammlung_TGM.odt
15
23. Okt 14
Formelsammlung TGM
16 / 41
nicht invertierender Verstärker
⊲∞
+
+
‒
R2
Ue
vu =
Ua
R2
= 1+
Ue
R1
Spannungsverstärkungsfaktor
R1
invertierender Summierverstärker
R11
R2
R12
⊲∞
‒
Ue1
Ua = (
+
Ue2
R2
R2
⋅ Ue1 +
⋅Ue2)
R11
R12
+
Ua
nicht invertierender Schwellwertschalter mit Hysterese (Schmitt-Trigger)
R2
⊲∞
R1
+
Ue
UeKipp R2
=
Uamax
R1
+
‒
Ua
Formelsammlung_TGM.odt
16
23. Okt 14
Formelsammlung TGM
17 / 41
Differenzverstärker
R2
⊲∞
R1
‒
R1
+
Ua =
+
Ue1
R2
⋅(Ue2 Ue1)
R1
Ua
Ue2
R2
Rechteckgenerator
R0
R1
⊲∞
+
f=
+
2 ⋅R0⋅C⋅(1 + 2⋅
‒
C
Formelsammlung_TGM.odt
R2
1
Ua
17
R2
)
R1
23. Okt 14
Formelsammlung TGM
18 / 41
Wechselstrom
U
Periodendauer T
Amplitude = Spitzenwert
USpitze
Effektivwert
Ueff
t
Periodendauer T
T = 20ms bei f = 50Hz
Frequenz
Periodendauer
1
f=
T
Effektivwert bei sinusförmigen Wechselgrößen
U
Ueff= Spitze
√2
I
Ieff = Spitze
√2
1
s
f
Frequenz in Hz =
T
Periodendauer in s
Ueff
USpitze
Ieff
ISpitze
Effektivwert der Wechselspannung in V
Spitzenwert der Wechselspannung in V
Effektivwert des Wechselstroms in A
Spitzenwert des Wechselstroms in A
Ohmscher Widerstand im Wechselstromkreis (Wirkwiderstand R)
Strom und Spannung sind „in Phase“
(gemeinsame Nulldurchgänge).
A
i(t)
Zeiger
U
I
∼
V
u(t)
R
u(t), i(t), p(t) am Wirkwiderstand R
u(t) in V
i(t) in A
p(t) in W
û=10V, R=4Ω, f=50Hz
25
p(t)
20
u(t) = û ⋅ sin(ω⋅t) = û ⋅ sin(2 π f ⋅t)
15
10
u(t ) û
i(t) =
= ⋅sin(2 π f ⋅t )
R
R
u(t)
5
i(t)
0
-5
-10
0
Formelsammlung_TGM.odt
5
18
10
15
20
25 Zeit in ms
23. Okt 14
Formelsammlung TGM
19 / 41
Kapazität im Wechselstromkreis
Liniendiagramm
u, i
X C kapazitiver Blindwiders tan d
1
u
0,5
XC =
1
2⋅π⋅f ⋅C
u
i
0
i
-0,5
-1
A
0
90
180
i(t)
C
∼
V
270
π
360
φ
2π
Strom und Spannung sind „phasenverschoben“ (der Strom
verläuft 90° „voreilend“).
u(t)
Zeiger (Effektivwerte):
I
U
ˆ ⋅ sin(2πf ⋅ t )
u(t) = u
i(t) =
ˆ
u
π
⋅ sin(2πf ⋅ t + )
XC
2
Induktivität im Wechselstromkreis
XL Induktiver Blindwiderstand
Liniendiagramm
u, i
1
XL = 2 ⋅ π ⋅ f ⋅ L
i
0,5
u
i
0
A
i(t)
u
-0,5
-1
0
90
180
L
∼
V
270
π
u(t)
360
φ
2π
Strom und Spannung sind „phasenverschoben“ (der Strom
verläuft 90° „nacheilend“).
Zeiger (Effektivwerte):
U
I
u(t) = ˆ
u ⋅ sin(2πf ⋅ t )
i(t) =
Formelsammlung_TGM.odt
19
ˆ
u
π
⋅ sin(2πf ⋅ t − )
XL
2
23. Okt 14
Formelsammlung TGM
20 / 41
Reihenschaltung R (Wirkwiderstand) und XL (induktiver Blindwiderstand)
XL
R
I
Induktiver Blindwiderstand
L
UR
XL = 2 ⋅ π ⋅ f ⋅ L
UL
U
Z
Scheinwiderstand
U
I
Gesamtspannung
Strom
Spannungsdreieck
U
UL
ϕ
UR
XL =
ϕ
UR = U ⋅ cos ϕ
U2 = UR 2 + UL 2
UL = U ⋅ sin ϕ
U = UR 2 + UL 2
UR = I ⋅ R
UL = I ⋅ X L
UL
I
U
R= R
I
r r r
Z = R + XL
R = Z ⋅ cos ϕ
Z2 = R 2 + XL 2
X L = Z ⋅ sin ϕ
Z = R 2 + XL 2
Z=
Leistungsdreieck
Q=UL ⋅ I
r r r
S = P + QL
P = S ⋅ cos ϕ
S2 = P2 + QL 2
QL = S ⋅ sin ϕ
S = P2 + QL 2
S = U⋅I
ϕ
P=UR ⋅ I
Normierung mit 1/I (ähnliches Dreieck)
Formelsammlung_TGM.odt
U
I
cos ϕ = Wirkleistungsfaktor
Normierung mit I (ähnliches Dreieck)
S=U ⋅ I
[Z] = Ω
r r
r
U = UR + UL
I
Widerstandsdreieck
U
Z=
I
[X L ] = Ω
20
S
Scheinleistung
P
Wirkleistung
Q
Blindleistung
[S] = V ⋅ A
[P] = W
[Q] = var
23. Okt 14
Formelsammlung TGM
21 / 41
Parallelschaltung R und XL
L
I
IR
R
IL
IL
U = UR = UL
IR
I
U
Z
L
Zeigerdiagramm der Ströme
U
ϕ
IR
IL
I
1 IR
=
R U
I2 = I2R + I 2L
IL = I⋅sinϕ
I = √ IR + IL
IR =
1
1
1
= +
⃗
⃗
⃗
Z R XL
1
1
1
2 =
2 +
2
Z
R
XL
2
√
Leitwert =
cos ϕ =
Normierung mit 1/U (ähnliches Dreieck)
Leistungsdreieck
P=U ⋅ IR
ϕ
Q=U ⋅ IL
21
U
R
IL =
U
XL
1
I
=
Z U
1
Widerstand
Z
R
sin ϕ =
Z
XL
⃗ =P
⃗ + Q⃗L
S
P = S⋅cos ϕ
S2 = P2 + Q2C
QL = S⋅ sinϕ
S = √ P + QL
S = U⋅ I
2
S=U ⋅ I
Formelsammlung_TGM.odt
IR = I⋅cos ϕ
1
1
1
=
+ 2
2
Z
R
XL
I
1
= L
XL U
1 I
=
Z U
⃗I = I⃗R + I⃗L
2
Leitwertsdreieck
ϕ
Induktivität
Spulenstrom (Blindstrom)
Wirkstrom
Gesamtstrom
Gesamtspannung
Scheinwiderstand
2
23. Okt 14
Formelsammlung TGM
22 / 41
Parallelschaltung R und XC
I
IR
R
IC
U = UR = UC
C
C
IC
IR
I
U
Zeigerdiagramm der Ströme
I
IC
ϕ
IR
1 IR
=
R U
ϕ
S=U ⋅ I
⃗I = I⃗R + I⃗C
IR = I⋅cos ϕ
I2 = I2R + I 2C
IC = I⋅ sin ϕ
I = √ IR + IC
IR =
1
1
1
= +
⃗
⃗
⃗
Z R XC
1
1
1
2 =
2 +
2
Z
R
XC
2
U
1 I
=
Z U
Kapazität
Kondensatorstrom (Blindstrom)
Wirkstrom
Gesamtstrom
Gesamtspannung
I
1
= C
XC U
2
√
QC =U ⋅ IC
ϕ
U
R
IC =
1
1
1
+ 2
=
2
Z
R
XC
1
I
=
Z U
1
1
= ⋅sin ϕ
XC
Z
1
1
= ⋅cos ϕ
R
Z
⃗ =P
⃗ + Q⃗C
S
P = S⋅cos ϕ
S2 = P2 + Q2C
QL = S⋅ sinϕ
S = √ P + QC
S = U⋅ I
2
2
U
XC
P=U ⋅ IR
Formelsammlung_TGM.odt
22
23. Okt 14
Formelsammlung TGM
23 / 41
Reihenschaltung R (Wirkwiderstand) und XC (kapazitiver Blindwiderstand)
R
I
XC
C
UR
Kapazitiver Blindwiderstand
XC=
UC
[X C ] = Ω
1
2⋅π⋅f ⋅C
U
r r
r
U = UR + UC
UR = U ⋅ cos ϕ
I
U2 = UR 2 + UC 2
UC = U ⋅ sin ϕ
UC
U = UR 2 + UC 2
UR = I ⋅ R
Spannungsdreieck
UR
ϕ
U
UC = I ⋅ X C
Widerstandsdreieck
ϕ
U
R= R
I
U
Z=
I
U
XC= C
I
Leistungsdreieck
P=UR ⋅ I
ϕ
Q=UC ⋅ I
S=U ⋅ I
Formelsammlung_TGM.odt
23
r r r
Z = R + XC
R = Z ⋅ cos ϕ
Z2 = R 2 + X C2
X C = Z ⋅ sin ϕ
Z = R 2 + X C2
Z=
r r r
S = P + QC
P = S ⋅ cos ϕ
S2 = P2 + QC 2
QC = S ⋅ sin ϕ
S = P2 + QC 2
S = U⋅I
U
I
23. Okt 14
Formelsammlung TGM
24 / 41
Blindleistungs-Kompensation
R
L
QL
IRL
Iges
Ic
UR
C
UL
ϕ
Uges=Uc
2
2
wobei (P=P1+P2+...), (QC=QC1+QC2+...), (QL=QL1+QL2+...)
Vollständige Kompensation
Teilweise Kompensation
Uges
UL
Uges
UL
Iges
IC
φ
IRL
Wirkleistung
P=UR⋅IR
IC
Iges
IRL
UR
Q C=UC⋅IC
Q L=UL⋅IL
Blindleistung
Scheinleistung
P
2
S = P +(Q L QC )
QC = QL
S=P
cosφ=1
Z = R.
QC
S
S=Uges⋅Iges
UR
P
Wirkleistung in W
UR, IR
Spannung und Strom am Widerstand
QC, QL Blindleistungen in var
S2 = P2 + Q2
P
cos(ϕ) = = 0..1induktiv /kapazitiv
S
UC, IC
Spannung und Strom am Kondensator
UL, IL
Spannung und Strom an der Spule
S
Scheinleistung in VA
Uges, Iges Gesamtspannung und Gesamtstrom an
einer Schaltung aus R,L,C
S in VA
Q in var
cos(φ) Leistungsfaktor, Verschiebungsfaktor
φ
φ
P in W
Uges und Iges
φ
Formelsammlung_TGM.odt
Phasenverschiebungswinkel zwischen
24
Winkel zwischen S und P
23. Okt 14
Formelsammlung TGM
25 / 41
Siebschaltungen (passive Filter)
Grenzfrequenz:
Ua/Ue
Tiefpass
1
Die Grenze zwischen Durchlass- und Sperrbereich ist durch die
Grenzfrequenz festgelegt.
bei f = fg gilt :
Ua =
Ue
2
Ua
= 0,707 ⋅ Ue
UR = UC
bzw.
R = XC
bzw.
Pa =
Ue
f
0
UL = UR
0,1fg
10fg
fg
Sperrbereich
Durchlassbereich
XL = R
Pe
2
Ua/Ue
Hochpass
Amplitudengang
Die Ausgangsspannung Ua ist in Abhängigkeit von der Frequenz
stets kleiner (oder gleich) der Eingangsspannung Ue.
1
Ue
Ua
Das Verhältnis Ua/Ue wird als Amplitudengang bezeichnet.
Ua
= Amplitudengang = f(Frequenz)
Ue
0,1fg
Die Phasenverschiebung zwischen Ein- und Ausgangsspannung
ist ebenfalls frequenzabhängig und wird als Phasengang
bezeichnet.
Ua/Ue
Ue
Ua
0
0,1fgu
Ua
Ue
dB
f
10fgu
fgu
fgo
Durchlassbereich
Ua/Ue
Bandsperre
Die Dämpfung (Verstärkung) der Eingangsspannung wird oft im
Verstärkungsmaß a angegeben.
a=
Durchlassbereich
1
∡Ua ,Ue = Phasengang = f(Frequenz)
Verstärkungsmaß
10fg
fg
Sperrbereich
Bandpass
Phasengang
f
0
1
Ue
Ua
U 
= 20 ⋅ log  a 
 Ue 
0
0,1fgu
[a] = dB (Dezibel)
f
fgu
10fgu
fgo
Sperrbereich
Tiefpass: Verstärkung in dB
Ua/Ue in dB
Beispiel: fg = 10kHz
0
Beispiele:
-10
Ua
1
=
Ue
2
Verstärkung
Ua
1
=
Ue 10
Verstärkung
⇒
⇒
Ua
Ue
Ua
Ue
= 20 ⋅ log ( 0,707 ) = −3dB (Dezibel)
-20
dB
-30
= 20 ⋅ log ( 0,1) = −20dB (Dezibel)
-40
dB
-50
0,01
Formelsammlung_TGM.odt
25
f in kHz
0,10
1,00
10,00
100,00
1000,00
23. Okt 14
Formelsammlung TGM
26 / 41
RC- und LR-Tiefpässe
Grenzfrequenz
UR
fG =
I
R
U1
U2
C
(= UC )
fG =
UL
L
I
U2
U1
1
2 ⋅ π ⋅R ⋅ C
R
(RC-Tiefpass)
1
2⋅π⋅
(RL-Tiefpass)
L
R
U2
U1
1
1
2
Durchlassbereich
(= UR )
= 70,7%
Sperrbereich
fg
f
CR- und RL-Hochpässe
UC
I
fG =
C
U1
U2
(= UR )
R
fG =
UR
1
I
R
U1
U2
L
1
2 ⋅ π ⋅R ⋅ C
(RC-Hochpass)
1
(RL-Hochpass)
L
2⋅π⋅
R
U2
U1
1
2
= 70, 7%
Sperrbereich
Durchlassbereich
(= UL )
fg
Formelsammlung_TGM.odt
26
f
23. Okt 14
Formelsammlung TGM
27 / 41
Dreiphasiger Wechselstrom, Drehstrom
L1
L2
L3
S
N
L1
L1
L1
L2
L2
L2
L3
L3
L2
L3
Transformator
N
L1
L3
Transformator
N
N
PE
Synchron-Generator
im Kraftwerk
Dreieckschaltung
3 x 400V
HochspannungsÜbertragung
Sternschaltung
3 x 230V
Verbraucher (im Haus)
3 Phasen mit 120° Phasenverschiebung
zu jedem Zeitpunkt gilt: u1(t) + u2(t) + u3(t) = 0
U in V
Dreiphasen-Wechselstrom (Drehstrom)
400
300
U3
u1(t)
Drehung
u2(t)
u3(t)
200
100
U1
uges(t)
0
0
5
10
90°
180°
15
20
25 t in ms
-100
-200
U2
-300
-400
30°
360°
Sternschaltung
Dreieckschaltung
Verbraucher zwischen Phase und Nulleiter geschaltet Verbraucher zwischen zwei Phasen geschaltet
Spannung am Verbraucher im Haushalt: 230V
Spannung am Verbraucher im Haushalt: 400V
L1
L2
L3
L1
I1
I2
I3
I1
I12
R1
R1
U1N
R2 U2N
R3
U3N
L2
I2
R3
N
R2
L3
U
UStern = Dreieck
√3
P
PStern = Dreieck
3
Pges= √3⋅U⋅I⋅cos(ϕ)
Formelsammlung_TGM.odt
UStern
Strangstrom
U12
U31
I12=
I1
√3
U23
I3
PStern
PDreieck
Spannung in Sternschaltung (zwischen Phase L und Nulleiter N)
U1N, U2N, U3N
Spannung in Dreieckschaltung (zwischen 2 Phasen)
U12, U23, U31
Leistung in Sternschaltung in W
Leistung in Dreieckschaltung in W
Pges
U
I
cos(φ)
φ
Gesamte Wirkleistung
Leiterspannung (U12, U23, U31) zwischen den Außenleitern
Außenleiterstrom I1, I2, I3
Leistungsfaktor
Phasenverschiebungswinkel zwischen U und I
UDreieck
27
23. Okt 14
Formelsammlung TGM
28 / 41
Mittelspannung
Hochspannungsübertragung
10 / 20 KV
Niederspannungsübertragung
110 / 220 / 380 KV
Transformator
Generator
230 V / 400 V
Transformator
4
Verbraucher
4
3
Transformator
Generator
3
Betriebswerte von Drehstromasynchronmotoren (DASM)
Betriebsdaten von DASM (Käfigläufermotoren) bei 50 Hz / 400 V
Baugröße
PN in kW
Drehfelddrehzahl nf = 3000
nN in
1
min
IN in A
MN in Nm
η in %
MA
MN
1
min
63
0,25
2765
0,68
0,86
66
2,3
71
0,55
2800
1,3
1,9
71
2,3
80
0,75
2850
1,7
2,5
74
2,4
80
1,1
2850
2,6
3,7
77
2,4
90S
1,5
2860
3,4
5
77
2,5
90L
2,2
2860
4,6
7,4
82
2,8
100L
3
2895
6,1
9,8
83
2,4
112L
4
2895
7,8
13
84
2,4
132S
5,5
2825
10,6
18
85
2,2
Drehfelddrehzahl nf = 1500
1
min
71
0,25
1325
0,75
1,8
62
1,7
80
0,55
1400
1,4
3,7
71
2,3
80
0,75
1400
1,8
5,1
74
2,5
90S
1,1
1410
2,6
7,5
75
2,1
90L
1,5
1405
3,5
10
75
2,2
100L
2,1
1415
4,9
15
79
2,2
100L
3
1415
6,4
20
81
2,7
112M
4
1435
8,7
27
83
2,9
132S
5,5
1450
11,1
36
84
2,2
Formelsammlung_TGM.odt
28
23. Okt 14
Formelsammlung TGM
29 / 41
Drehstrom-Asynchronmotor DASM
Hochlaufkennlinie M(n)
M/Nm
I/A
Hochlaufkennlinie
MK
IA
bei Nenndrehzahl
MN
MA
MSa
Leerlauf
M
n
MN
nN
MA
MK
nK
MSa
nSa
nD
Drehmoment in Nm
Läuferdrehzahl in 1/s
Nennmoment, Bemessungsmoment
Nenndrehzahl, Bemessungsdrehzahl
Anlaufmomenmoment
Kippmoment
Kippdrehzahl
Sattelmoment
Satteldrehzahl
Drehfelddrehzahl
f
p
nD
n
nS
s
sK
Pel
U
I
cosφ
M
Frequenz der Motorspannung in 1/s
Polpaarzahl
Drehfelddrehzahl in 1/s
Läuferdrehzahl in 1/s
Schlupfdrehzahl
Schlupf (Angabe manchmal in %)
Kippschlupf
Leistungsaufnahme in W
Leiterspannung in V
Außenleiterstrom in A
Leistungsfaktor
Drehmoment in Nm
n
0
nK
nSa
nN
Leerlaufschlupf
f
nD =
p
s=
nD n
nD
n = f⋅
(1
nS = nD
nD
s)
p
n
Pel = √ 3⋅U ⋅I⋅ cos ϕ
Pmech
M=
2⋅ π⋅ n
M=
2⋅ MK
sK
s
+
s sK
Typenschildangaben
Bemessungswerte = Nennwerte
3~
50 Hz
230/400 V
Drehstrommotor
Bemessungsfrequenz
kleinerer Wert darf max. an der Motorspule
anliegen, UMotor in ∆ 230V , in Y 400V
Bemessungsstrom in A
Bemessungsdrehzahl in 1/min
Abgegebene mechanische Leistung im
Bemessungsbetrieb
Leistungsfaktor im Bemessungsbetrieb
xx/yy A
1410 min-1
5 kW
cosφ 0,75
Formelsammlung_TGM.odt
29
23. Okt 14
Formelsammlung TGM
30 / 41
Symbole der Elektrotechnik
Taster
Schalter
Schließerkontakt
Öffnerkontakt
Umschalter
Anzeigelampe
Lampe
LED
Diode
Schottky-Diode
Widerstand
Veränderbarer
Widerstand
Widerstand mit
Schleifkontakt
PTC
Kaltleiter
NTC
Heißleiter
ϑ
↑↑
ϑ
↑↓
Schalten
Anzeigen
Dioden
Widerstände
Spule
Kondensator
Kondensator
mit Polung
Batterieelement,
Akku
+
+
Sicherung
Solarzelle
Relais
Relais mit Kontakt
N-Kanal-IGFET
ideale
Spannungsquelle
Ideale
Stromquelle
Signalgenerator
Gleichspannung
Signalgenerator
Wechselspannung
Umlaufender
Generator
G
G
G
Leistungsmesser,
Wattmeter
LeistungsfaktorMessgerät
Energiemesser,
Wattstundenzähler
Quellen
Spannungsmesser,
Voltmeter
Messgeräte
Masse, Erde
V
U
Strommesser,
Amperemeter
A
I
W
Analog/Digital-Umsetzer, n Bit
A
n
P
cosφ
Wh
Wh
Digital/Analog-Umsetzer, n Bit
Ո/# n
n D
n #/Ո
Umsetzer
D
A
Komparator, Schwellwertschalter
Schmitt-Trigger, Zweipunktregler
comp
Symbole der RI-Fließtechnik
Behälter mit
Flüssigkeit
Motor
Pumpe
Kompressor
Ventil
Messstelle
Rührer
Druckluftantrieb
Niveauangabe
Hauptflussrichtung
M
Heizung /
Wärmetauscher
Formelsammlung_TGM.odt
30
23. Okt 14
Formelsammlung TGM
31 / 41
Normreihen von Widerständen
E6
(20%)
E12
(10%)
E24
(5%)
E48
(2%)
1
1
1,05
1
1,1
1,1
1,15
1
1,2
1,21
1,27
1,2
1,3
1,33
1,4
1,47
1,5
1,54
1,5
1,62
1,6
1,69
1,5
1,78
1,8
1,87
1,8
1,96
2
2,05
2,15
2,2
2,26
2,37
2,2
2,4
2,2
2,49
2,61
2,74
2,7
2,87
2,7
3,01
3
3,16
Formelsammlung_TGM.odt
E96
(1%)
E6
(20%)
E12
(10%)
E24
(5%)
1
E48
(2%)
3,32
1,02
3,3
1,05
3,3
1,07
1,1
3,48
3,6
1,13
1,15
3,3
1,18
3,65
3,83
3,9
1,21
4,02
1,24
3,9
1,27
4,22
1,3
4,3
1,33
4,42
1,37
1,4
4,64
1,43
4,7
1,47
4,87
1,5
4,7
1,54
5,11
1,58
5,1
1,62
5,36
1,65
4,7
1,69
5,62
1,74
5,6
1,78
5,9
1,82
5,6
1,87
6,19
1,91
6,2
1,96
6,49
2
2,05
6,81
2,1
6,8
2,15
7,15
2,21
6,8
2,26
7,5
2,32
7,5
2,37
7,87
2,43
6,8
2,49
8,25
2,55
8,2
2,61
8,66
2,67
8,2
2,74
9,09
2,8
9,1
2,87
9,53
2,94
E96
(1%)
3,32
3,4
3,48
3,57
3,65
3,74
3,83
3,92
4,02
4,12
4,22
4,32
4,42
4,53
4,64
4,75
4,87
4,99
5,11
5,23
5,36
5,49
5,62
5,76
5,9
6,04
6,19
6,34
6,49
6,65
6,81
6,98
7,15
7,32
7,5
7,68
7,87
8,06
8,25
8,45
8,66
8,87
9,09
9,31
9,53
9,76
3,01
3,09
3,16
3,24
31
23. Okt 14
Formelsammlung TGM
3
32 / 41
Steuerungstechnik
Digitaltechnik Symbole und Schaltalgebra
IECDarstellung
Verknüpfung
Step 7Darstellung
NICHT
Funktionsgleichung
A
0
1
Y
1
0
Y=A B
Y = A ∧B
B
0
0
1
1
A
0
1
0
1
Y
0
0
0
1
>=1
Y=A+B
Y = A ∨B
B
0
0
1
1
A
0
1
0
1
Y
0
1
1
1
XOR
Y = (A ● /B)
+ (/A ● B)
B
0
0
1
1
A
0
1
0
1
Y
0
1
1
0
Y = /A
Y= A
NOT
UND
AND
&
AND
ODER
OR
OR
●
Exklusiv-ODER
XOR
FunktionsTabelle
XOR
(Antivalenz)
Bit-Zuweisung
UND / ODER
XOR
Verknüpfungen können beliebig viele Eingänge haben.
hat 2 Eingänge.
wichtige Verknüfungsregeln: UND ≙ • / ODER ≙ +
A ⋅ B ⋅ C= A + B + C
A + B + C=A ⋅ B ⋅ C
A • (B • C)
= (A • C) • B = C • A • B
(A • B) + (A • C)
=
A • (B + C)
(A • B) + (A • C)
=
A•B+A•C
UND vor ODER:
(A • B) + (A • C)
Formelsammlung_TGM.odt
=
A•B+A•C
32
23. Okt 14
Formelsammlung TGM
33 / 41
Variablen mit elementaren Datentypen
Datentyp
Schlüsselwort
IEC 63113-3
Informationsbreite
Kennung
Bit
BOOL
1 Bit
X *)
Byte
BYTE
8 Bit
B
Wort
WORD
16 Bit
W
DWORD
32 Bit
D
Doppelwort
*) SIMATIC STEP 7 nur bei DB
Schlüsselwörter für die Variablendeklarationen (Lokaldaten)
Schlüsselwörter
IEC
STEP 7
Input
VAR_INPUT
IN
Output
VAR_OUTPUT
OUT
In-Output
VAR_IN_OUT
IN_OUT
Statische
VAR
STAT
Temporäre
VAR_TEMP
TEMP
Bistabile Speicher
Speicherfunktion
Speicher mit vorrangigem
Rücksetzen
S
R
IEC
STEP 7
Speicheroperand
Speicheroperand
S
S
R1 Q1
R Q
Q
Speicher mit vorrangigem
Setzen
S
R
Speicheroperand
S1
Speicheroperand
R
R Q1
S Q
Q
SET-BOX
(S-Anschluss eines Speichers)
RESET-BOX
(R-Anschluss eines Speichers)
Formelsammlung_TGM.odt
Speicheroperand
S
Speicheroperand
R
33
Speicheroperand
S
Speicheroperand
R
23. Okt 14
Formelsammlung TGM
34 / 41
Flankenauswertung
Flankenauswertung
IEC
STEP 7
Positive Flanke
Instanz
Instanz
(R: Rise = steigen)
R_TRIG
P
Negative Flanke
Instanz
Instanz
(F: Fall = fallen)
F_TRIG
N
Vergleicher
(***) Vergleichsfunktionen (CMP)
Symbol
Vergleich auf gleich
==I
==R
Vergleich auf ungleich
<>I
<>R
Vergleich auf größer
>I
Vergleich auf größer oder gleich
>=I
Vergleich auf kleiner
<I
Vergleich auf kleiner oder gleich
<=I
CMP ***
IN1
>R
IN2
>=R
<R
<=R
Integer (I) Ganzzahlen
Real (R) Gleitpunktzahl
Eingänge:
IN1
IN2
Eingang 1
Eingang 2
Ausgang:
INTEGER / REAL
INTEGER / REAL
BOOL
Übertragungsfunktion
MOVE
Operanden und Variablen
mit elementaren
Datentypen zu
transferieren
Eingänge:
Ausgang:
Formelsammlung_TGM.odt
Symbol
MOVE
EN
IN
OUT
EN
BOOL
IN
BYTE, WORD, DWORD
OUT BYTE, WORD, DWORD
34
23. Okt 14
Formelsammlung TGM
35 / 41
Zeitgeber
Zeitglieder
IEC
STEP 7
TP (Timer Pulse)
Zeitverhalten als Impuls
Impuls
Instanzname
Zeitoperand
TP
S_IMPULS
S_IMPUS
IN
Q
PT
ET
S
TW
R
DUAL
DEZ
Q
Einschaltverzögerung
TON (Timer – ON
delay)
Zeitverhalten als
Einschaltverzögerung
Instanzname
Zeitoperand
TON
S_EVERZ
IN
Q
PT
ET
S
TW
R
DUAL
DEZ
Q
Ausschaltverzögerung
TOF (Timer – OFF
delay)
Zeitverhalten als
Ausschaltverzögerung
Instanzname
Zeitoperand
TOF
S_AVERZ
IN
Q
PT
ET
S
TW
R
DUAL
DEZ
Q
Beschreibung
IEC
Step 7
IN : Start-Bit (BOOL)
PT : Zeitvorgabe (TIME)
Q : Zeitstatus-Bit (BOOL)
ET: Aktueller Zeitwert Typ -INTIGER (DWORD)
S
TW
R
DUAL
DEZ
Q
Zeitvorgabe:
Tag(d)-Std(h)-Min(m)-Sek(s)-Millisek(ms)
Zeitbereich: (32 Bit – DWORD)
1ms bis 24d 29h 31m 23s 647ms
Zeitvorgabe PT:
T# ….. (Bsp.: T#2m15s)
Zeitvorgabe:
Std(h)-Min(m)-Sek(s)-Millisek(ms)
Zeitbereich: (16 Bit – WORD)
10ms bis 2h 46m
Zeitvorgabe TW:
S5T# ….. (Bsp.: S5T#2m15s)
Formelsammlung_TGM.odt
35
: Start-Bit (BOOL)
: Zeitwort (WORD) – BCD
: Reset-Bit (BOOL)
: Dualcodierter aktueller Zeitwert (WORD)
: BCD-codierter aktueller Zeitwert (WORD)
: Zeitstatus-Bit (BOOL)
23. Okt 14
Formelsammlung TGM
36 / 41
Ablaufsprache
Die Bestandteile einer Ablaufsteuerung
gliedern sich in drei Teile:
•
Ablaufkette
•
Transitionsbedingungen
(Weiterschaltbedingungen)
•
Aktionen (Befehlsausgabe)
S_1
Transition_1
&
// Beschreibung der Transition
Transition_2
S_2
Jeder Schritt hat eine Nummer
┼
An der Wirkungslinie werden
Übergangsbedingungen
(Transitionen) angegeben
Aktor
S_3
Start - Initialierung
Anfangsschritt (Initialschritt)
ist doppelt umrandet
S_2
Befehls- Beschreibung der Aktion
art
S_1
Transitionbeding(en)
&
Aktionsblock
S_2
Transition-
Rechts neben dem Schritt wird die Befehlsart, beding(en)
die Aktion und der Ausführende (Aktor
angegeben)
Transitionbeding(en)
//Schritt 1
//Initialschritt
Befehlsart
Aktion - Schritt 2
&
Aktionsblöcke
S_3
&
Befehlsart
Befehlsart
Aktion - Schritt 3
Aktion - Schritt 3
S_1
Befehlsart
Bedeutung
Beschreibung
N
nicht speichernd
(Non-stored)
Aktor erhält “1“-Signal, solange der Schritt aktiv ist
S
Gespeichert
(Set stored)
Aktor wird auf “1“-Signal gesetzt bis zu einem RESET
R
Rücksetzen
(Reset stored)
Aktor wird auf “0“-Signal zurückgesetzt
L
T# …
Zeitbegrenzt
(time Limited)
Aktor wird für eine bestimmte Zeit aktiviert, solange der Schritt gesetzt ist
D
T# …
Zeitverzögert
(time Delayed)
Aktor wird nach einer bestimmten Zeit aktiviert, solange der Schritt aktiv
ist
LS
T# …
Zeitbegrenzt u. gespeichert
(time Limited and Stored)
Aktor wird für eine bestimmte Zeit aktiviert, auch wenn der Schritt
deaktiviert wird
DS
T# …
Zeitverzögert u. gespeichert
(Delayed and Stored)
Aktor wird nach einer bestimmten Zeit aktiviert, sofern der Schritt noch
aktiv ist und bleibt aktiviert bis zu einem RESET
SD
T# ...
Gespeichert u. zeitverzögert
(Stored und Delayed )
Aktor wird nach einer bestimmten Zeit aktiviert, auch wenn der Schritt
deaktiviert wird. Der Aktor bleibt aktiviert bis zu einem RESET
Bedeutung
Beschreibung
NC
Nicht speichernd mit
Zusatzbedingung (Non Control)
Aktor ist aktiv, solange der Schritt aktiv und die Zusatzbedingung erfüllt ist
SC
Speichern mit Zusatzbedingung
(Saved Control)
Aktor wird auf “1“-Signal gesetzt, wenn der Schritt aktiv und die
Zusatzbedingung erfüllt ist.
RC
Rücksetzen mit Zusatzbedingung
(Reset Control)
Aktor wird auf “0“-Signal zurückgesetzt, wenn der Schritt aktiv und die
Zusatzbedingung erfüllt ist.
Befehlsart
Formelsammlung_TGM.odt
36
23. Okt 14
Formelsammlung TGM
37 / 41
N-Befehl ( Nicht speichernd)
1
Step_2
N
Motor an
M1
0
Schritt 2
1
0
Motor ist an, solange der Schritt
aktiv ist
Motor
S-Befehl ( Setzen, speichernd)
R-Befehl ( Rücksetzen, speichernd)
1
Step_3
S
Heizung ein E5
0
Schritt 3
Heizung wird eingeschaltet und
bleibt an bis zu einem Reset
1
0
Heizung
1
Step_6
R
Heizung aus E5
Schritt 6
0
Heizung zu Beginn des Schritts
ausschalten
L-Befehl ( zeitbegrenzt, Limited)
1
Schritt 7
Step_7
L
Pumpe ein M2
T#4s
0
Ist Schritt 7 kürzer als 4s, geht die Pumpe aus
4s
Pumpe
Pumpe wird für bestimmte Zeit
aktiviert, solange der Schritt aktiv ist
Schritt 8
Schritt 8 muss länger als 4s sein, sonst wird
der Zylinder nicht angesteuert.
1
0
D-Befehl ( zeitverzögert, Delayed)
1
Step_8
D
Stanze ein M3
T#4s
0
4s
Stanze
0
LS-Befehl ( zeitbegrenzt, speichernd
Limited, Stored)
Stanze wird zeitverzögert aktiviert,
solange der Schritt aktiv ist.
1
1
Pumpe bleibt 4s an, obwohl Schritt 9 kürzer ist
Schritt 9
Step_9
LS
Pumpe ein M2
T#4s
0
0
DS-Befehl ( zeitverzögert, speichernd
Delayed, Stored)
Step10
DS
Stanze ein M3
T#4s
4s
Pumpe
Pumpe wird für bestimmte Zeit
aktiviert, auch wenn der Schritt
deaktiviert wurde
Schritt 10
Schritt 10 muss länger als 4s sein, sonst wird
der Zylinder nicht angesteuert.
1
1
0
4s
1
Stanze
0
1
Schritt 12
Step12
R
Stanze aus M3
M3
SD-Befehl (speichernd, zeitverzögert
Stored, Delayed)
0
1
Schritt 13 kann kürzer als 4s sein, Stanze
wird trotzdem zeitverzögert angesteuert.
Schritt 13
Step13
SD
Stanze ein M3
T#4s
0
4s
1
0
Stanze
1
Schritt 15
Step15
R
Formelsammlung_TGM.odt
Stanze aus M3
M3
Stanze wird zeitverzögert aktiviert,
sofern der Schritt aktiv noch ist
und wird deaktiviert mit Reset.
Stanze wird zeitverzögert aktiviert,
auch wenn der Schritt deaktiviert
wurde
und wird deaktiviert mit Reset.
0
37
23. Okt 14
Formelsammlung TGM
38 / 41
Schrittketten: Grundregeln
•
Beim Setzen eines Schrittes wird dieser aktiv geschaltet, die Variable hat den Wert true, die zugeordnete Aktion
wird ausgeführt
•
Rücksetzen eines Schrittes schaltet diesen inaktiv, die Variable hat den Wert false, die zugeordnete Aktion wird
nicht ausgeführt
•
Bei der Aktivierung einer Schrittkette wird der Initialschritt und nur dieser gesetzt
•
Alle anderen Schritte werden gesetzt, wenn der vorhergehende Schritt aktiv und die Weiterschaltbedingung
(Transition) erfüllt ist.
•
Ein Schritt wird zurückgesetzt, wenn der nachfolgende Schritt gesetzt wird.
Codes
Dual- Code (8-4-2-1-Code)
3
2
Gray- Code
1
0
Dezimal 2 =8 2 =4 2 =2 2 =1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
1
2
0
0
1
0
3
0
0
1
1
4
0
1
0
0
5
0
1
0
1
6
0
1
1
0
7
0
1
1
1
8
1
0
0
0
9
1
0
0
1
10
1
0
1
0
11
1
0
1
1
12
1
1
0
0
13
1
1
0
1
14
1
1
1
0
15
1
1
1
1
HEX
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
A
B
C
D
E
F
BCD- Codes / 4-Bit Codes
keine Gewichtung
D C B
A
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
1
1
0
0
1
0
0
1
1
0
0
1
1
1
0
1
0
1
0
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
1
1
1
1
1
1
1
1
0
1
0
1
0
1
0
1
1
1
0
0
1
1
0
0
0
Spezielle Umcodierer
G0
B
G1
C
G2
D
G3
BCD / dez.
A
B
C
D
Formelsammlung_TGM.odt
BCD
0000
0001
0010
0011
0100
0101
0110
0111
1000
1001
Ziffern > 9 sind nicht definiert
Umcodierer mit 7-Segmentanzeige
BCD / Gray
A
Dez.
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
BCD / 7-Seg.
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
A
B
C
D
38
a
b
c
d
e
f
g
DPY
a
f
g
b
c
e
d
dp
23. Okt 14
Formelsammlung TGM
4
39 / 41
Mathematische Grundformeln
Zehnerpotenzen
Symbol
Name
Wert
P
Peta
1015
1.000.000.000.000.000
Billiarde
T
Tera
1012
1.000.000.000.000
Billion
G
Giga
109
1.000.000.000
Milliarde
M
Mega
106
1.000.000
Million
k
Kilo
103
1.000
Tausend
h
Hekto
102
100
Hundert
da
Deka
101
10
Zehn
100
1
Eins
d
Dezi
10−1
0,1
Zehntel
c
Zenti
10−2
0,01
Hundertstel
m
Milli
10−3
0,001
Tausendstel
µ
Mikro
10−6
0,000.001
Millionstel
n
Nano
10−9
0,000.000.001
Milliardstel
p
Piko
10−12
0,000.000.000.001
Billionstel
f
Femto
10−15
0,000.000.000.000.001
Billiardstel
Umrechnungen
1 Jahr = 365 Tage = 8760 Stunden
1Stunde = 60 min = 3600 Sekunden
Formelsammlung_TGM.odt
39
23. Okt 14
Formelsammlung TGM
40 / 41
Flächen- und Volumenberechnungen
A Fläche in m²
Kreisfläche
A = π ⋅r 2
Kreisumfang
U = 2⋅π⋅r
Dreiecksfläche
1
A = ⋅a⋅h
2
Trapezfläche
1
A = ⋅(a + c )⋅h
2
c
M = π⋅r ⋅s
a
r Kreisradius in m
U Umfang in m
M Mantelfläche in m²
O Oberfläche in m²
V Volumen in m³
h
a
Kegel
h
O = π⋅r 2 + π⋅r ⋅s
s
h
r
1
2
V = ⋅π⋅r ⋅h
3
R
Kegelstumpf
1
2
2
V = ⋅π⋅h⋅(R + R ⋅r + r )
3
Pyramide
O= G + M
h
r
G Grundfläche in m²
M Summe der Dreiecksflächen
h
1
V = ⋅G⋅h
3
G
r
O = 2⋅π⋅r 2 + 2⋅π⋅r⋅h
Zylinder
h
V = π ⋅r 2 ⋅h
O = 4⋅π⋅r 2
Kugel
4
3
V = ⋅π ⋅r
3
Winkelfunktionen
sin(α) =
tan(α) =
G
H
cos(α) =
G
∆y
= m=
A
∆x
Formelsammlung_TGM.odt
A
H
∆y
H
∆x
α
A
40
G
H
Hypotenuse
A
G
Ankathete
Gegenkathete
α
m
Winkel zwischen A und H
Steigung
23. Okt 14
Formelsammlung TGM
5
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Physikalische Grundformeln und Einheiten
Physikalische Formeln
s
v=
t
gleichförmige Bewegung
a=
beschleunigte Bewegung
v
t
Arbeit
W = F⋅s
Leistung
W
P=
t
1
2
s = ⋅a⋅t
2
P = F⋅v = ω⋅M = 2⋅π⋅n⋅M
Drehmoment
M = F⋅r
Wirkungsgrad
η=
p=
Druck
M
Aufwand
Nutzen
r
Dichte
Geschwindigkeit in
s
t
zurückgelegter Weg in m
Zeit in s
a
Beschleunigung in
W
F
Arbeit in J = Nm = Ws
Kraft in N
P
M
Leistung in W = Nm/s
Drehmoment in Nm
ω
Winkelgeschwindigkeit in
n
Drehzahl in
r
Radius in m
p
Druck in
F
m
s2
1
s
1
s
N
m2
5
1 bar = 10 Pa = 10
F
A
Dichte in
m
=
V
m
s
v
5
N
m2
kg
m3
A
Fläche in m²
m
V
Masse in kg
Volumen in m3
Einheiten
SI-Basiseinheiten
abgeleitete SI-Einheiten
Name
Eineit
Symbol
Einheitenzeichen
Länge
Meter
l
Masse
Kilogramm
Zeit
Einheitenzeichen
in anderen SIEinheiten
in
Basiseinheiten
Name
Einheit
m
Frequenz
Hertz
Hz
m
kg
Kraft
Newton
N
J/m
m·kg·s−2
Sekunde
t
s
Druck
Pascal
Pa
N/m2
m−1·kg·s−2
Stromstärke
Ampere
I
A
Energie, Arbeit,
Wärmemenge
Joule
J
Nm; Ws
m2·kg·s−2
Temperatur
Kelvin
T
K
Leistung
Watt
W
J/s; VA
m2·kg·s−3
Stoffmenge
Mol
N
mol
elektrische Ladung
Coulomb
C
Lichtstärke
Candela
Formelsammlung_TGM.odt
IV
cd
s−1
A·s
elektrische Spannung
Volt
V
W/A; J/C
m ·kg·s−3·A−1
elektrische Kapazität
Farad
F
C/V
m−2·kg−1·s4·A2
elektrischer Widerstand
Ohm
Ω
V/A
m2·kg·s−3·A−2
elektrischer Leitwert
Siemens
S
1/Ω
m−2·kg−1·s3·A2
magnetischer Fluss
Weber
Wb
Vs
m2·kg·s−2·A−1
magnetische Flussdichte
Tesla
T
Wb/m2
kg·s−2·A−1
Induktivität
Henry
H
Wb/A
m2·kg·s−2·A−2
Celsius-Temperatur
Grad Celsius
°C
41
2
K
23. Okt 14
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