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Prof. Dr. Andrea Walther
Maria Sch¨
utte
Bianca Thiere
Paul Wolf
Wintersemester 2014/2015
17.10.2014
¨
1. Ubungsblatt
zur
Mathematik 1 fu
¨ r Maschinenbauer“
”
Bitte fertigen Sie Ihre Abgabe handschriftlich und nicht mit Bleistift an. Keine Grup¨
penabgaben. Jeder Ubungszettel
soll getackert und mit Deckblatt versehen sein, auf
¨
¨
dem Name, Matrikelnummer, Ubungsgruppe,
koaLA-Ubungsgruppe
und Punktetabel¨
le vermerkt sind. Auf ungetackerte Ubungszettel
wird mit Punktabzug reagiert. Alle
L¨osungswege sind ausreichend zu erl¨autern.
Abgabe bis Montag, 27.10.2014, 13:00 Uhr
in den gru
asten im ersten Stock des D-Geb¨audes.
¨ nen K¨
¨
• Kasten Nr. 119: Ubungsgruppen
01, 02, 03, 04 und 05
¨
• Kasten Nr. 122: Ubungsgruppen
Z, 06, 07, 08 und 09
¨
• Kasten Nr. 123: Ubungsgruppen
A, B, C, D und E
¨
• Kasten Nr. 129: Ubungsgruppen
F, G, H, J, K und L
Webseite zur Vorlesung: http://tinyurl.com/M1fM-WiSe1415
Hausu
¨ bungen
Abgabe bis Montag, 27.10.2014, 13:00 Uhr
Aufgabe H 1 (Trigonometrische Funktionen, 3+5+2+2 Punkte)
Benutzen Sie die Rechenregeln aus der Vorlesung, um die folgenden Formeln zu beweisen:
(a)
sin(t − s) = sin(t) cos(s) − cos(t) sin(s),
cos(t − s) = cos(t) cos(s) + sin(t) sin(s),
(b)
t−s
sin(t) + sin(s) = 2 sin( t+s
2 ) cos( 2 ),
t−s
cos(t) − cos(s) = −2 sin( t+s
2 ) sin( 2 ),
(c)
sin( π4 ) = cos( π4 ),
Hinweis: Sie d¨
urfen die bereits bekannten Werte f¨
ur sin( π4 ) und cos( π4 ) nicht benutzen,
π
wohl aber die Tatsache cos( 2 ) = 0.
(d) tan(0) = 0, tan( π4 ) = 1.
Aufgabe H 2 (Koordinaten, 2+4 Punkte)
Es seien Punkte U , V und W in Polarkoordinaten gegeben durch
U = (rU , ϕU ) = (1, π3 ),
V = (rV , ϕV ) = (2, 43 π),
W = (rW , ϕW ) = (9, π4 ).
(a) Bestimmen Sie die kartesischen Koordinaten von U , V und W exakt ohne Verwendung gerundeter Zwischenergebnisse, indem Sie cos( 34 π) = − 21 ausnutzen.
Hinweis: Sie d¨
urfen zus¨
atzlich zu cos( 43 π) nur die Sinus- und Cosinus-Werte aus der Tabelle
der Vorlesung als bekannt voraussetzen.
(b) Wir bezeichnen mit U (bzw. V , W ) den Punkt, der bei aktiver Drehung mit
dem Winkel π3 um den Ursprung aus U (bzw. V, W ) hervorgeht. Berechnen Sie exakt - sowohl die Polarkoordinaten von U , V und W , als auch die kartesischen
Koordinaten von U , V und W .
2
Gruppenu
¨ bungen
Aufgabe G 1 (Leseaufgabe – einige gut gemeinte Ratschl¨age)
¨
Die Bearbeitung von Ubungsaufgaben
ist f¨
ur das Verst¨andnis der Vorlesung unbedingt
erforderlich. Bearbeitung meint hier nicht das bloße Kopieren von L¨osungen von Mitstudierenden, aus B¨
uchern, dem Internet etc. Es spricht absolut nichts dagegen, dass Sie
sich in Lerngruppen zusammenfinden und als schwierig empfundene Aufgaben gemeinsam diskutieren und L¨
osungsans¨
atze erarbeiten.
Dabei sollte allerdings folgendes gelten:
Auch gemeinsam erarbeitete L¨
osungsans¨atze sollten immer selbstst¨andig aufgeschrieben
werden, um das Formulieren pr¨
aziser Aussagen und generell das Aufschreiben von Mathematik zu u
¨ben. Sollte eine Aufgabe einmal nicht gel¨ost werden k¨onnen, geht davon
die Welt nicht unter. Hier sollten Sie dann mit besonderer Aufmerksamkeit die L¨osung
der Aufgabe in der Zentral¨
ubung studieren.
¨
Es gibt ein Bonussystem, das Anreiz schaffen soll, Ubungsaufgaben
zu bearbeiten. Dieses sollte aber keinesfalls insofern missverstanden werden, dass ein volles Punktekonto,
welches auf “zweifelhafte” Weise zustande gekommen ist, am Ende des Semesters eine
große Hilfe bei der Klausur w¨
are.
Aufgabe G 2 (Trigonometrische Funktionen)
Zeigen Sie mit Hilfe der Rechenregeln aus der Vorlesung die folgenden Formeln:
(a) sin(3x) = 3 sin(x)(cos(x))2 − (sin(x))3 = 3 sin(x) − 4(sin(x))3 ,
(b) sin( π3 ) =
√
3
2
Hinweis: Aus 0 = sin(π) = sin(3 π3 ) und aus (a) erhalten Sie f¨
ur z := sin( π3 ) eine Gleichung.
(c) cos(3x) = (cos(x))3 − 3(sin(x))2 cos(x) = 4(cos(x))3 − 3 cos(x),
Aufgabe G 3 (Kartesische Koordinaten und Polarkoordinaten)
Gegeben seien die folgenden Punkte in der Ebene
A = (1, 1),
B = (2, −2),
C = (−4, 0),
D = (0, −1),
E = (0, −3),
F = (−2, 2),
L = (1, 3),
M = (−0.5, −2).
(a) Zeichnen Sie die Punkte A bis F in ein kartesisches Koordinatensystem und lesen
Sie (soweit m¨
oglich) ihre Polarkoordinatendarstellungen (r, ϕ) aus der Zeichnung
ab. Der Winkel ϕ soll dabei im Intervall [0, 2π) liegen.
(b) Berechnen Sie nun die Polarkoordinatendarstellung (r, ϕ) der Punkte L und M
gem¨
aß der Gleichungen aus der Vorlesung.
3
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Bildung
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