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Gemeinderatssitzung vom 16.03.2015

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Pr♦❢✳ ❉r✳ ❚❤♦♠❛s ❲❡✐s ✴ Pr♦❢✳ ❉r✳ ❍❡✐♥r✐❝❤ Päs
❆❜❣❛❜❡ ✐♠ P❤②s✐❦ ❋♦②❡r
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❆✉s❣❛❜❡✿ ❋r✱ ✶✼✳✶✵✳✶✹
❆✉❢❣❛❜❡ ✶✿ ❉r❡❤♠❛tr✐③❡♥
✺ P✉♥❦t❡
Gegeben ist die Drehmatrix

cos Φ sin Φ 0
D Φ = − sin Φ cos Φ 0 .
0
0
1

(1)
Mit einer solchen Drehmatrix kann ein Ortsvektor r im Dreidimensionalen folgendermaßen um einen
Winkel Φ gedreht werden:
r = DΦ r .
(2)
Um welche Achse erfolgt die durch diese Matrix erzeugte Drehung?
❛✮ Berechnen Sie die Determinante von D Φ .
T
❜✮ Berechnen Sie D Φ D Φ
.
❝✮ Was ist die Inverse von D Φ ?
❞✮ Was ändert sich physikalisch, wenn die Drehmatrix folgende Gestalt hat:


cos Φ − sin Φ 0
D 1,Φ =  sin Φ cos Φ 0 .
0
0
1
(3)
❡✮ Zeigen Sie, dass gilt: D Φ1 D Φ2 = D Φ1+Φ2 .
❢✮ Zeigen Sie, dass die Anwendung einer Drehmatrix auf einen Vektor a die Länge des Vektors nicht ver-
ändert.
❣✮ Zeigen Sie, dass sich der Winkel zwischen zwei Vektoren a und b nicht ändert, wenn beide Vektoren
mit der selben Drehmatrix D Φ gedreht werden.
❆✉❢❣❛❜❡ ✷✿ P♦❧❛r✲ ✉♥❞ ❑✉❣❡❧❦♦♦r❞✐♥❛t❡♥
✺ P✉♥❦t❡
❛✮ Berechnen Sie die Fläche eines Kreises mit Radius R in kartesischen Koordinaten. Die allgemeine For-
mel zur Darstellung eines Kreises ist
x 2 + y 2 = R 2.
Geben Sie das Volumen einer Kugel an (ohne Rechnung).
(4)
❜✮ Ausgehend von kartesischen Koordinaten sind die folgenden Koordinatentransformationen möglich:
x
r cos ϕ
=
y
r sin ϕ
  

x
r cos ϕ sin θ
r =  y  =  r sin ϕ sin θ 
z
r cos θ
r=
Kreis- oder Polarkoordinaten,
(5)
Kugelkoordinaten.
(6)
Dabei ist r ≥ 0 der Radius, 0 ≤ ϕ ≤ 2π der Polarwinkel und 0 ≤ θ ≤ π der Azimuthwinkel.
Um Integrale in andere Koordinatensysteme zu transformieren, muss die Jacobi-Determinante bekannt
sein. Berechnen Sie die Jacobi-Determinante für die Transformation von kartesischen Koordinaten in
Polarkoordinaten, die gegeben ist durch:
det J Kreis =
xr
yr
xϕ
.
yϕ
(7)
∂y
Dabei ist J Kreis die Jacobi-Matrix mit den partiellen Ableitungen x r = ∂x
∂r und y ϕ = ∂ϕ (x ϕ und y r analog).
Verallgemeinern Sie diese Determinante in eine 3 x 3− Determinante und berechnen Sie anschließen
die Jacobi-Determinante J Kugel für Kugelkoordinaten.
❝✮ Führen Sie folgendes Integral aus:
R 2π
detJ Kreis dϕ dr.
(8)
0 0
Verallgemeinern Sie dieses anschließend auf eine passende Form für eine Kugel und berechnen Sie das
Ergebnis. Was haben Sie berechnet?
❞✮ Berechnen Sie das Volumen eines Zylinders in geeigneten Koordinaten, indem Sie analog zu Aufgaben-
teil b) und c) vorgehen.
❆✉❢❣❛❜❡ ✸✿ ❋❛❧❧❡♥❞❡s ❙❡✐❧
✺ P✉♥❦t❡
Ein ausgestrecktes Seil der Masse m und der Länge L gleitet reibungsfrei über eine Tischkante hinab.
❛✮ Stellen Sie die Bewegungsgleichung auf, indem Sie das Newtonsche Axiom F = ma verwenden. Sie er-
halten eine Differentialgleichung, d. h. eine Gleichung, die neben x auch Ableitungen von x (wie x˙ oder
¨ enthalten kann. Lösen Sie diese für den Fall, dass zur Zeit t = 0 das Seil losgelassen wird, wobei ein
x)
Stück x 0 herabhängt.
Bemerkung: Der Lösungsansatz der Bewegungsgleichung ist x = A · e kt und die allgemeine Lösung lautet:
x(t ) =
A i e ki t .
xi =
i
(9)
i
Damit lässt sich jede Bewegungsgleichung der Form
x¨ = k 2 x
(10)
lösen.
❜✮ Bestimmen Sie die Geschwindigkeit, wenn das Seilende gerade über die Kante rutscht.
Bemerkung:
Es gilt
cosh(z) =
1 z
e + e −z
2
und
sinh2 x − cosh2 x = −1.
(11)
❆✉❢❣❛❜❡ ✹✿ ❉r❡✐❡❝❦s❜❡③✐❡❤✉♥❣❡♥
✺ P✉♥❦t❡
Betrachten Sie den folgenden Aufbau. Alle Rollen seien reibungsfrei und alle Seile masselos. Alle Massen
erfahren eine konstante Beschleunigung a = g in −y Richtung.
❛✮ Geben Sie die Voraussetzung an, damit sich der Punkt P in einer dynamischen Gleichgewichtslage
befindet.
❜✮ Für die beiden Winkel gelte: Θ1 + Θ2 = Θ = π2 . Geben Sie M 1 und M 3 als Funktion von Θ1 und M 2 an,
wenn P im dynamischen Gleichgewicht ist.
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