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Dr. Ralf Gerkmann
Maximilian Jeblick
Freitag, 24. Oktober 2014
Analysis mehrerer Variablen (Lehramt Gymnasium)
— Blatt 3 —
(Tutoriumsblatt)
Aufgabe 1
(a) Welche Bedingung muss nach Definition erf¨
ullt sein, damit eine Matrix A ∈ Mn,R orthogonal ist?
Wie erkennt man an den Spaltenvektoren, dass A orthogonal ist?
¨
(b) Uberpr¨
ufen Sie, dass f¨
ur jedes α ∈ R die Matrix


cos α − sin α 0



Dα = 
 sin α cos α 0 ∈ M3,R
0
0
1
(c) Sei E = e1 , e2
R.
orthogonal ist.
Rechnen Sie nach, dass f¨
ur jeden Vektor 0 = v ∈ E und jedes α ∈ [0, π] der
Winkel zwischen v und Dv jeweils α betr¨agt. Man nennt v → Dv deshalb die Drehung um den
Winkel α in der Ebene E.
(d) Sei E eine beliebige weitere Ebene durch den Koordinatenursprung. Begr¨
unden Sie, dass es eine
orthogonale Matrix A ∈ M3,R gibt, so dass v → Av die Ebene E auf die Ebene E abbildet.
(e) Wie lassen sich Drehungen in der Ebene E beschreiben?
Aufgabe 2
Sei (V, b) ein endlich-dimensionaler euklidischer Vektorraum und U ein Untervektorraum. Außerdem sei
U ⊥ = {v ∈ V | b(u, v) = 0 ∀ u ∈ U }.
(a) Wiederholen Sie die Eigenschaften einer direkten Summe U ⊕ W von Untervektorr¨aumen.
(b) Durch welche Eigenschaften war eine Orthogonalprojektion auf U charakterisiert?
Zeigen Sie mit Hilfe einer Orthogonalprojektion auf U , dass V = U ⊕ U ⊥ gilt.
(c) Wie wurden in der Vorlesung die selbstadjungierten Endomorphismen definiert?
(d) Wie l¨
asst sich mit Darstellungsmatrizen erkennen, ob ein Endomorphismus selbstadjungiert ist?
(e) Zeigen Sie, dass πU selbstadjungiert ist, indem Sie eine geeignete Darstellungsmatrix von πU betrachten.
Hinweis:
W¨
ahlen Sie ON-Basen von U und U ⊥ .
Aufgabe 3
In der Vorlesung wurde der Begriff der positiv definiten Matrix definiert. Man nennt eine symmetrische
Matrix A ∈ Mn,R negativ definit, wenn t vAv < 0 f¨
ur alle v ∈ Rn mit v = 0 gilt, und indefinit, wenn es
Vektoren v, w ∈ Rn mit t vAv > 0 und t wAw < 0 gibt.
(a) Zeigen Sie, dass eine Matrix A ∈ Mn,R genau dann negativ definit ist, wenn −A positiv definit ist.
(b) Sei Ak die linke obere k × k-Teilmatrix von A, f¨
ur 1 ≤ k ≤ n. Leiten Sie aus dem HurwitzKriterium und Aufgabenteil (a) ab, dass A genau dann negativ definit ist, wenn (−1)k det(Ak ) > 0
f¨
ur 1 ≤ k ≤ n erf¨
ullt ist.
(c) Sei die Matrizen A ∈ M3,R gegegeben durch

1

A=
0
0
0
−2
0

0

0
.
3
Zeigen Sie, dass A indefinit ist. Folgern Sie daraus, dass f¨
ur jedes B ∈ GL3 (R) die Matrix t BAB
ebenfalls indefinit ist.
¨
Dieses Ubungsblatt
wird vom 27. bis zum 31. Oktober in den Tutorien besprochen.
Dr. Ralf Gerkmann
Maximilian Jeblick
Freitag, 24. Oktober 2014
Analysis mehrerer Variablen (Lehramt Gymnasium)
— Blatt 3 —
(Global¨
ubungsblatt)
Aufgabe 1
Sei V ein endlich-dimensionaler R-Vektorraum der Dimension n. Weiterhin seien die beiden geordneten
Orthonormalbasen B = (v1 , ..., vn ) und B = (w1 , ..., wn ) gegeben.
(a) Zeigen Sie, dass die Darstellungsmatrix des Basiswechsels TBB eine orthogonale Matrix ist.
(b) Zeigen Sie, dass det(TBB ) ∈ {±1} gilt.
(c) Sei A ∈ Mn,R eine orthogonale Matrix. Nehmen Sie an, dass A einen reelen Eigenwert λ ∈ R
besitzt. Zeigen Sie, dass λ = 1 oder λ = −1 gilt.
Aufgabe 2
Sei (V, b) ein euklidischer Vektorraum. F¨
ur einen Vektor v ∈ V mit v
b
= 1 sei die Abbildung sv : V → V
durch sv (w) = w − 2b(v, w)v definiert.
(a) Zeigen Sie, dass sv ein orthogonaler Endomorphismus ist.
(b) Zeigen Sie, dass sv eine Spiegelung darstellt. Dies bedeutet, dass eine Orthonormalbasis
B = (v1 , ..., vn ) von V existiert, so dass sv (v1 ) = −v1 und sv (vi ) = vi f¨
ur alle i = 2, ..., n gilt.
(c) Sei nun V = R2 . Betrachten Sie den orthogonalen Endomorphismus φ, dessen Darstellungsmatrix
bez¨
uglich der geordneten Einheitsbasis B = (e1 , e2 ) wie folgt aussieht.
MB
B (φ) =
a
b
b
−a
Hierbei gilt auf Grund der Orthogalit¨atsbedingung a2 + b2 = 1. Zeigen Sie, dass φ gem¨aß der in
Teilaufgabe (b) gegebenen Definition eine Spiegelung darstellt.
Aufgabe 3
Sei V ∈ R3 und b : V × V → R die Bilinearform mit der Darstellungsmatrix


2 0 1



A=
uglich der Einheitsbasis
0 3 0 bez¨
1 0 2
(a) Zeigen Sie, dass b positiv definit ist.
(b) Finden Sie eine orthogonale Matrix T , so dass D =t T AT eine Diagonalmatrix ist.
(c) Zeigen Sie ohne Verwendung des Ergebnisses von Teilaufgabe (a), dass D positiv definit ist.
Abgabe: bis Freitag, 7. November, 10:00 Uhr
¨
Bitte geben Sie bei jeder Abgabe die Nummer Ihrer Ubungsgruppe
an!
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Seele and Geist
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