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Mathematik
Formelheft
Formelsammlung für die Realschule
aus den Bereichen
Arithmetik
Geometrie
Algebra
zusammengestellt von
Thomas Bigler
Oktober 2014
Algebra: Einfache Gleichungen
Gleichung
Eine Gleichung ist ein mathematischer Ausdruck, der aus zwei Termen besteht, die durch ein Gleichheitszeichen
verbunden sind. Beispiele:
4 + x = 13
4 = x – 2
x² + 4x – 5 = 0
Lösung x = 9
Lösung x = 6
Lösung x1 = 1; x2 = –5
Gleichwertige Gleichungen
Gleichungen, welche die gleichen Lösungen haben, heissen «gleichwertig». Beispiele:
2x + 9
2x + 18
4x
x
=
=
=
=
x + 12
x + 21
2x + 6
3
Gleichungen lösen
Eine Gleichung lösen heisst, sie durch gleichwertige einfachere Gleichungen ersetzen, bis man in der einfachsten
Gleichung (z. B. x = -3) die Lösung erkennen kann («x auspacken.»). Beispiel:
9x + 12
= 3x – 6
6x +12
= –6
6x
x
= -18
| -3x
| -12
| :6
= -3
Zur nachträglichen Kontrolle kann man in jeder Umformung den gefundenen Wert für x einsetzen. Der Wert der beiden
Terme ist immer gleich gross – die Gleichung verhält sich wie eine Hängewaage. Beim Lösen der Gleichung sind
folgende 6 Umformungen (Äquivalenzumformungen) erlaubt:
I. Addition
Zu beiden Termen wird dieselbe Zahl oder derselbe Term addiert.
II. Subtraktion
Von beiden Termen wird dieselbe Zahl oder derselbe Term
subtrahiert.
III. Multiplikation
Beide Terme werden mit derselben Zahl oder demselben Term
multipliziert. Diese Zahl oder dieser Term darf nicht Null sein.
x – 4
= 10
x
= 14
x +7
= 11
x
= 4
x/3
= 2
x
= 6
8x
= 24
x
= 3
IV. Division
Beide Terme werden durch dieselbe Zahl oder durch denselben
Term dividiert. Diese Zahl oder dieser Term darf nicht Null sein.
V. Kehrwert
Von beiden Termen wird der Kehrwert (Reziprokwert)
genommen.
VI. Umformung
Alle gültigen Umformungen (vereinfachen, ausklammern,
ausmultiplizieren) an Termen sind möglich.
ARI-Einfache_Gleichungen.odt
1
2x
/2x
2(x + 4)
2x + 8
| +4
| –7
| ×3
| :8
= 10
= 1/10
= 22
= 22
©tb
Teilbarkeit – Primzahlen – Primfaktorzerlegung – GGT – KGV
Teilbarkeitsregeln:
0
Keine Zahl ist durch Null teilbar (kein Resultat)!
Aber: Null ist durch alle Zahlen (ungleich Null) teilbar. Das Resultat ist immer 0.
Jede Zahl ist durch 1 teilbar. Das Resultat ist die Zahl selbst.
Eine Zahl ist durch 2 teilbar, wenn sie gerade ist.
Eine Zahl ist durch 3 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 3 teilbar ist.
Eine Zahl ist durch 4 teilbar, wenn ihre beiden letzten Ziffern durch 4 teilbar sind.
Eine Zahl ist durch 5 teilbar, wenn ihre Endziffer 5 oder 0 ist.
Eine Zahl ist durch 6 teilbar, wenn sie gerade und durch 3 teilbar ist.
Keine Regel.
Eine Zahl ist durch 8 teilbar, wenn ihre drei letzten Ziffern durch 8 teilbar sind
Eine Zahl ist durch 9 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 9 teilbar ist.
Eine Zahl ist durch 10 teilbar, wenn ihre letzte Ziffer eine 0 ist.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Primzahlen
Primzahlen sind natürliche Zahlen und haben genau zwei Teiler, nämlich 1 und sich selbst.
Achtung: 1 ist keine Primzahl (nur ein Teiler!). Es gibt keine Formel, um Primzahlen zu berechnen.
Man muss also jede einzelne Zahl n auf ihre Teiler untersuchen (es genügt die Überprüfung bis √n).
Alle Primzahlen von 2 bis 1000
2
23
59
97
137
179
227
269
313
367
419
461
509
571
617
661
727
773
829
883
947
3
29
61
101
139
181
229
271
317
373
421
463
521
577
619
673
733
787
839
887
953
5
31
67
103
149
191
233
277
331
379
431
467
523
587
631
677
739
797
853
907
967
7
37
71
107
151
193
239
281
337
383
433
479
541
593
641
683
743
809
857
911
971
11
41
73
109
157
197
241
283
347
389
439
487
547
599
643
691
751
811
859
919
977
13
43
79
113
163
199
251
293
349
397
443
491
557
601
647
701
757
821
863
929
983
17
47
83
127
167
211
257
307
353
401
449
499
563
607
653
709
761
823
877
937
991
19
53
89
131
173
223
263
311
359
409
457
503
569
613
659
719
769
827
881
941
997
Primfaktorzerlegung
Beim Zerlegen von Zahlen in ihre Primfaktoren beginnt man immer mit der kleinsten Primzahl. Dieses
Verfahren ist hilfreich beim Feststellen der Teilbarkeit einer Zahl:
24 = 2 · 2 · 2 · 3
21 = 3 · 7
65 = 5 · 13
72 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3
121 = 11 · 11
37 = 37 (Primzahl)
223'092'870 = 2 · 3 · 5 · 7 · 11 · 13 · 17 · 19 · 23
ALG-Teilbarkeit_Primzahlen_Primfaktorzerlegung.odt
–1–
©tb
GGT - Grösster gemeinsamer Teiler
Die Berechnung des GGT ist hilfreich beim Kürzen grosser Brüche.
Man zerlegt die Zahlen (Nenner) in ihre Primfaktoren und bestimmt die gemeinsamen Teiler durch
Unterstreichen:
126 = 2 · 3 · 3 · 7
GGT = 2 · 7 = 14
112 = 2 · 2 · 2 · 2 · 7
KGV - Kleinstes gemeinsames Vielfaches
Hilfreich zum Finden des gemeinsamen Nenners (Gleichnamig machen).
Man zerlegt die Zahlen (Nenner) in ihre Primfaktoren und unterstreicht diese dort,
wo sie am häufigsten vorkommen:
126 = 2 · 3 · 3 · 7
KGV = 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 7 = 1008
112 = 2 · 2 · 2 · 2 · 7
BASIC-Programme zur Teilbarkeit
Diese vier Programme sind in den meisten BASIC-Dialekten lauffähig (GW-Basic, QBasic usw.)
100 ' Primfaktorzerlegung
110 CLS
120 PRINT "Zerlegung in Primfaktoren"
130 PRINT STRING$(80, 196): PRINT
140 INPUT "Zu zerlegende Zahl (0 für Ende) : ",
ZAHL
150 IF ZAHL = 0 THEN CLS : END
160 PRINT : PRINT ZAHL; " = ";
170 IF ZAHL = 2 THEN GOTO 300
180 GESZAHL = ZAHL
190 SCHRITT = 1
200 SCHRITT = SCHRITT + 2 + (SCHRITT < 3)
210 GRENZE = INT(ZAHL / SCHRITT)
220 REST = ZAHL - GRENZE * SCHRITT
230 IF REST <> 0 THEN GOTO 270
240 ZAHL = GRENZE
250 PRINT SCHRITT; "*";
260 GOTO 210
270 IF GRENZE > 1 THEN GOTO 200
280 IF ZAHL = 1 THEN GOTO 320
290 IF ZAHL <> GESZAHL THEN GOTO 320
300 PRINT " Primzahl."
310 GOTO 330
320 PRINT ZAHL
330 PRINT : GOTO 130
100
110
120
130
140
150
160
170
180
190
200
210
' Primzahlen - Abbruch mit Ctrl+Break !
CLS : Y = 4: PRINT 2, 3,
P = Y: K = P
IF INT(P / 2) * 2 = P THEN GOTO 190
N = 3
IF INT(P / N) * N = P THEN GOTO 180
IF N * N > P THEN GOTO 200
N = N + 2: GOTO 150
P = P / N: GOTO 150
P = P / 2: GOTO 130
IF P = K THEN PRINT P,
Y = Y + 1: GOTO 120
ALG-Teilbarkeit_Primzahlen_Primfaktorzerlegung.odt
–2–
100
110
120
130
140
150
160
170
180
190
200
210
230
240
250
260
' GGT zweier Zahlen
CLS
PRINT "Berechnung des GGT zweier Zahlen"
PRINT "================================"
INPUT "Erste Zahl : ", A
IF A = 0 THEN END
INPUT "Zweite Zahl : ", B
IF B = 0 THEN END
IF (A = 0) OR (B = 0) THEN GGT = 1: GOTO 250
TEMP = -1
WHILE TEMP <> 0
TEMP = A - B * INT(A / B): A = B: B = TEMP
WEND
GGT = A
PRINT "GGT = "; GGT: PRINT
GOTO 120
100
110
120
130
140
150
160
170
180
190
200
210
220
230
240
250
260
270
' KGV zweier Zahlen
CLS
PRINT "Berechnung des KGV zweier Zahlen"
PRINT "================================"
INPUT "Erste Zahl : ", A
IF A = 0 THEN END
INPUT "Zweite Zahl : ", B
IF B = 0 THEN END
A1 = A: B1 = B
IF (A = 0) OR (B = 0) THEN GGT = 1: GOTO 250
TEMP = -1
WHILE TEMP <> 0
TEMP = A - B * INT(A / B): A = B: B = TEMP
WEND
GGT = A
KGV = ABS(A1 * B1 / GGT)
PRINT "KGV = "; KGV: PRINT
GOTO 120
©tb
Grundwissen Gemeine Brüche (gewöhnliche Brüche)
4
———
5
1
———
5
1
———
8
1
————
14
= Stammbrüche
4
———
5
3
———
8
9
————
14
= echte Brüche
7
———
5
17
————
8
15
————
14
= unechte Brüche
1
1———
5
1
2———
8
5
1———
14
= gemischte Zahlen
Zähler
Bruchstrich
Nenner
Der Bruchstrich verhält sich wie ein Divisionszeichen:
3
3 : 4 = ———
4
Verwandeln von gemischten Zahlen in Brüche
4
91
4
95
13 ——— =
13 Ganze sind 13 · 7 Siebtel : ———— + ——— = ————
7
7
7
7
Verwandeln von unechten Brüchen in gemischte Zahlen
47
3
3
———— = 47 : 11 = 4 Ganze, Rest ———— = 4 ————
11
11
11
Kürzen
Einen Bruch kürzen heißt, Zähler und Nenner durch die gleiche Zahl (=GGT)
teilen. Der Wert des Bruches bleibt gleich.
10
————
45
gekürzt mit 5
(GGT von 10 & 45)
2
= ———
9
also
10
2
———— = ———
45
9
Erweitern
Einen Bruch erweitern heißt, Zähler und Nenner mit der gleichen Zahl
multiplizieren. Der Wert des Bruches bleibt gleich.
4
———
5
80
erweitert mit 20 = —————
100
also
4
80
——— = —————
5
100
Gleichnamig machen
Brüche gleichnamig machen heißt, sie so erweitern, dass sie gleiche
Nenner erhalten. Der gemeinsame Nenner ist das KGV beider Nenner.
3
7
——— + ——— =
6
9
ARI-Gemeine_Brüche
9
14
———— + ———— =
18
18
23
———— =
18
–1–
5
1————
18
©tb
Addition
Brüche werden addiert, indem man sie gleichnamig macht und dann ihre
Zähler addiert. Abschließend kürzen/verwandeln.
3
5
——— + ——— =
8
6
9
20
———— + ———— =
24
24
29
———— =
24
5
1————
24
Subtraktion
Brüche werden subtrahiert, indem man sie gleichnamig macht und dann ihre
Zähler subtrahiert. Abschließend kürzen/verwandeln.
1
1
——— - ——— =
2
3
3
2
——— - ——— =
6
6
1
———
6
Multiplikation
Brüche werden multipliziert, indem man Zähler mal Zähler durch Nenner mal
Nenner rechnet. Abschließend kürzen/verwandeln.
4
5
——— · ——— =
7
8
20
———— =
56
5
————
14
Division
Brüche werden dividiert, indem man den Divisor stürzt und dann wie bei
der Multiplikation verfährt (der gestürzte Divisor heißt Reziprokwert).
2
3
——— : ———
3
6
=
2
6
——— · ————
3
3
=
12
————
9
=
3
1———
9
=
1
1———
3
Verwandeln von Dezimalzahlen in Gemeine Brüche
12
3
0.12 = ————— = ————
100
25
625
5
0.625 = —————— = ———
1000
8
__
18
2
0.18 = ———— = ————
99
11
__
45
5
0.45 = ———— = ————
99
11
_
_
_
1
1
6
1
1
6
15
1
0.16 = 0.1 + 0.06 = 0.1 + 0.6 · —— = —— + — · —— = —— + —— = —— = —
10
10
9
10
10
90
90
6
Verwandeln von Brüchen in Dezimalzahlen (Rationale Zahlen)
Man erweitert die Brüche so, dass man eine 10-er Zahl als Nenner erhält
oder man teilt Zähler durch Nenner:
Lösung 1:
Lösung 2:
1
——— =
8
1 : 8 = 0.125
10
20
40
0
125
—————— = 0.125
1000
ARI-Gemeine_Brüche
–2–
©tb
GGT - Größter gemeinsamer Teiler
Die Berechnung des GGT ist hilfreich beim Kürzen großer Brüche. Man zerlegt die Zahlen (Nenner) in ihre Primfaktoren und bestimmt die gemeinsamen Teiler durch Unterstreichen:
126 = 2·3·3·7
¯
¯
112 = 2·2·2·2·7
¯
¯
GGT = 2·7 = 14
¯¯
KGV - Kleinstes gemeinsames Vielfaches
Hilfreich zum Finden des gemeinsamen Nenners (Gleichnamig machen). Man
zerlegt die Zahlen (Nenner) in ihre Primfaktoren und unterstreicht diese
dort, wo sie am häufigsten vorkommen:
126 = 2·3·3·7
¯ ¯ ¯
112 = 2·2·2·2·7
¯ ¯ ¯ ¯
KGV = 2·2·2·2·3·3·7 = 1008
¯¯¯¯
Teilbarkeit
Teilbarkeitsregeln für die Teiler von 0 bis 10:
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Keine Zahl ist durch 0 teilbar (nicht definiert!).
Alle Zahlen sind durch 1 teilbar.
Alle geraden Zahlen.
Quersumme ist eine 3er-Zahl.
Die beiden Endziffern bilden eine Viererzahl.
Endziffer ist 5 oder 0.
Quersumme ist eine 3er-Zahl und Zahl ist gerade.
Keine Regel.
Die 3 Endziffern bilden eine Achterzahl.
Quersumme ist eine 9er-Zahl.
Endziffer ist 0.
Primzahlen
Primzahlen sind natürliche Zahlen und haben genau 2 Teiler, nämlich 1 und
sich selbst. Man beachte: 1 ist keine Primzahl (nur ein Teiler vorhanden!). Es gibt keine Formel, um sie zu berechnen. Man muss also jede einzelne Zahl auf ihre Teiler hin untersuchen! Dabei kann sich die Suche auf
den Bereich 3 bis Quadratwurzel aus n beschränken, weil 2 die einzige
gerade Primzahl ist.
Primzahlen < 500:
2,
3,
5,
31,
37,
41,
73,
79,
83,
127, 131, 137,
179, 181, 191,
233, 239, 241,
283, 293, 307,
353, 359, 367,
419, 421, 431,
467, 479, 487,
ARI-Gemeine_Brüche
7,
43,
89,
139,
193,
251,
311,
373,
433,
491,
11,
47,
97,
149,
197,
257,
313,
379,
439,
499
13,
53,
101,
151,
199,
263,
317,
383,
443,
17,
59,
103,
157,
211,
269,
331,
389,
449,
–3–
19,
61,
107,
163,
223,
271,
337,
397,
457,
23,
67,
109,
167,
227,
277,
347,
401,
461,
29,
71,
113,
173,
229,
281,
349,
409,
463,
©tb
Zerlegung in Primfaktoren
Jede natürliche Zahl lässt sich als Produkt von Primzahlen darstellen.
Bei der Zerlegung beginnt man mit der kleinsten Primzahl. Zahlen mit nur
einem Faktor sind Primzahlen. Beispiele:
12= 2 · 2 · 3
64= 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2
84
= 2 · 2 · 3 · 7
1031 = Primzahl.
123 = 3 · 41
Fakultät
Die Fakultät einer natürlichen Zahl n wird so berechnet:
n! = 1 · 2 · 3 ... · n
Beispiele:
0! = 1
1! = 1
6! = 1·2·3·4·5·6 = 720
2! = 2
3! = 6
4! = 24
5! = 120
Kreiszahl Pi π
π (gesprochen: Pi) ist nicht nur der 16. Buchstabe des griechischen
Alphabets, sondern seit nahezu 300 Jahren auch Symbol für das Verhältnis
des Umfangs eines Kreises zu seinem Durchmesser. Dies in Anlehnung an den
ersten Buchstaben des griechischen Wortes für Kreislinie (periphereia).
π = 3.14159265358979323846264
Ein Verseschmid namens Weinmeister schrieb 1878 dieses Gedicht:
„Wie, o dies π
Macht ernstlich so vielen viele Müh'!
Lernt immerhin, Jünglinge, leichte Verselein,
Wie so zum Beispiel dies, dürfte zu
merken sein!“
Die Pointe dieser Ode an die Zahl π: Ersetzt man jedes Wort durch die
Zahl seiner Buchstaben, so erhält man die ersten 24 Stellen der begehrten
Ziffernfolge.
Rechenoperationen
2+3=5 addieren, Addition
7-3=4 subtrahieren, Subtraktion
2·3=6 multiplizieren, Multiplikation
8:2=4 dividieren, Division
2³ =8 potenzieren, Potenz
êx
ëx
Quadratwurzel aus x
Kubikwurzel aus x
=
=
Summand +
Minuend Faktor
·
Dividend :
Basis hoch
Summand
Subtrahend
Faktor
Divisor
Exponent
=
=
=
=
=
Summe
Differenz
Produkt
Quotient
Potenz
x hoch 1/2
x hoch 1/3
Andere Zahlensysteme
Beim Zehnersystem ist die größte mögliche Ziffer 9, d.h. 10-1. Entsprechendes gilt auch für Systeme mit anderen Basen. Häufig sind die
Basen 2, 8 und 16. Beispiel:
10
0
1
2
3
10
11
20
2
0
1
10
11
1010
1011
10100
ARI-Gemeine_Brüche
8
0
1
2
3
12
13
24
16
0
1
2
3
A
B
14
usw.
–4–
©tb
Das Pascalsche Dreieck
0.
1
1
1.
1
2.
1
3.
1
4.
1
5.
1
6.
1
7.
1
8.
1
9.
1
10.
1
11.
1
12.
1
13.
1
14.
1
15.
1
16.
1
17.
1
18.
19.
1
19
15
17
18
105
136
969
66
455
680
3876
220
1365
2380
3003
6188
5005
12376
19448
31824
50388
6435
24310
43758
75582
92378
Philosoph, Physiker und Mathematiker. Das Pascalsche Dreieck enthält die
Binomialkoeffizienten (→Computertechnik). Sie sind im Dreieck derart
92378
3003
19448
75582
66
1365
12376
50388
12
455
6188
105
2380
1
15
120
680
3060
11628
1
14
560
8568
27132
1
13
91
1820
18564
1
78
364
4368
31824
1
11
286
1001
8008
43758
10
220
2002
1
55
715
5005
24310
45
495
11440
48620
Blaise Pascal (19. Juni 1623 – 19. August 1662) war ein französischer
angeordnet, dass ein Eintrag die Summe der zwei darüber stehenden
6435
1
9
165
1287
3003
12870
8
120
792
1
36
330
1716
3432
11440
28
210
924
1
7
84
462
1716
3003
8008
18564
27132
792
6
56
252
1
21
126
462
1287
2002
4368
8568
11628
495
15
70
210
1
5
35
126
330
715
1001
1820
3060
120
4
20
56
1
10
35
84
165
286
364
560
816
45
6
15
28
1
3
10
21
36
55
78
91
120
153
171
12
13
14
16
10
11
4
6
8
9
2
3
5
7
1
1
16
136
816
3876
1
17
153
969
1
18
171
1
19
1
• Die natürlichen Zahlen (1, 2, 3, 4, 5...) sind in
der zweiten «Diagonalen» des Dreiecks zu finden.
• Die Dreieckszahlen (1, 3, 6, 10, 15...) sind in
der dritten «Diagonalen» des Dreiecks zu finden:
Einträge ist. Der Name geht auf Blaise Pascal zurück, obgleich das
Pascalsche Dreieck bereits im alten China bekannt war.
ARI-Blaise_Pascal.fodt
• Die Summe der Glieder der n-ten Zeile ist
2n (1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, ...).
z. B. 24 = 1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16
©tb
Prozentrechnung
Das Prozent
Prozent (latein.: pro cent) bedeutet durch hundert oder Hundertstel. Also gilt:
5
=0.05=5 %
100
75
=0.75=75 %
100
25
=0.025=2.5%
1000
Bei der Prozentrechnung geht es immer um drei Werte:
Grundwert:
Ganzes, Gesamtmenge, Total
Maß: je nach Aufgabe, z. B. Menschen, Kilometer, Liter usw.
Prozentwert:
Anteil, Teil, Untermenge, Teil des Grundwertes
Maß: gleich wie beim Grundwert
Prozentsatz:
Teil des Ganzen ausgedrückt in Hundertstel
Maß: Prozent, %
Prozentwert gesucht
In einer Schulklasse bestehend aus 20 Schülern tragen 15 % eine Brille.
Wie viele Schüler sind das?
15
⋅20=3 Schüler
100
oder
0.15⋅20=3 Schüler
Grundwert gesucht
In einer Schulklasse tragen 3 Schüler oder 15 % eine Brille. Wie groß ist die Klasse?
3
⋅100=20 Schüler
15
oder
3:0.15=20 Schüler
Prozentsatz gesucht
In einer Schulklasse tragen 3 von 20 Schülern eine Brille. Wie viele Prozent sind das?
3
⋅100=15 %
20
oder
3 : 20⋅100=15 %
Prozentformel:
Prozentwert=
Grundwert=
Prozentwert
⋅100
Prozentsatz
Prozentsatz=
ARI-Prozent-Zinsrechnung.fodt
Prozentsatz
⋅Grundwert
100
Prozentwert
⋅100
Grundwert
–1–
©tb
Zinsrechnung
Was bedeutet Zins?
Wenn ein Kunde Geld (Kapital) zur Bank bringt, kann die Bank mit diesem Geld „arbeiten“. Für den
Gebrauch des Geldes bezahlt sie dem Kunden eine Art Miete, diese nennt man Zins. Die Grösse dieses
Zinses wird in Prozent des Kapitals angegeben, man nennt diesen Wert Zinsfuß oder auch Zinssatz.
Der Zins wird jährlich ausbezahlt. Wenn der Kunde nichts unternimmt, wird der Zins automatisch zu
seinem Kapital hinzugezählt. So „vermehrt“ sich das Ersparte auf der Bank.
Gleiches gilt, wenn man von der Bank Geld ausgeliehen bekommt (Darlehen, Kredit, Hypothek).
Für das geliehene Geld entrichtet man der Bank einen Zins, welcher mit dem Zinssatz berechnet wird.
Zusammenfassung:
Kapital, Darlehen:
Maß: CHF (sFr.), GB£, €, US$ usw.
Zins:
Maß: gleich wie beim Kapital
Zinssatz, Zinsfuß:
Jährlich zu bezahlender Zins („Geldmiete“),
ausgedrückt in Hundertstel des Kapitals.
Maß: immer Prozent, %
Zins gesucht
Während eines Jahres befindet sich ein Kapital von CHF 1500.– auf der Bank.
Der Zinssatz beträgt 3½%. Welchen Zins erhalte ich dafür?
3.5
⋅1500=0.035⋅1500=52.50 CHF
100
Kapital gesucht
Bei einem Zinsfuß von 3½% bezahlt mir die Bank am Jahresende CHF 52.50 Zins.
Wie groß war das Kapital?
52.50
⋅100=1500 CHF
3.5
oder
52.5 :0.035=1500 CHF
Zinssatz (=Zinsfuß) gesucht
Wie groß ist der Zinssatz für ein Konto, wenn ich für mein Kapital von CHF 1500.–
einen jährlichen Zins von 52.50 CHF erhalte?
52.50
⋅100=3.5 %=3½ %
1500
Zinsberechnung:
Zinssatz
100
p
Z =K⋅
100
Kapital =Zins⋅
100
Zinssatz
K=
Z⋅100
p
Zinssatz =100⋅
Zins
Kapital
p=
100⋅Z
K
Zins=Kapital⋅
ARI-Prozent-Zinsrechnung.fodt
–2–
©tb
Marchzins ZM
Was bedeutet Marchzins (=Stückzinsen)?
Der Zins wird normalerweise jährlich ausbezahlt. Deshalb gelten Zinssätze grundsätzlich
immer für ein Jahr. Wenn nun ein Kapital nur während einer gewissen Zeit auf dem Konto
verbleibt, muss mit einem entsprechenden Bruch der errechnete Jahreszins angepasst werden
(Das Bankjahr rechnet sich immer zu 12 Monaten resp. 360 Tagen!).
Marchzins ZM gesucht
Während 5 Monaten befindet sich ein Kapital von CHF 1500.– auf der Bank.
Der Zinssatz beträgt 3½%. Welchen Zins erhalte ich dafür?
3.5 5
1500⋅ ⋅ =21.90CHF
100 12
Kapital K gesucht
Bei einem Zinsfuß von 3½% bezahlt mir die Bank nach 65 Tagen CHF 12.50 Zins.
Wie groß war das Kapital?
100 360
12.50⋅ ⋅
=1978.00 CHF
3.5 65
Zinssatz p gesucht
Wie groß ist der Zinssatz für ein Konto, wenn ich für mein Kapital von CHF 1500.–
einen halbjährlichen Zins von 26.25 CHF erhalte?
100 12
26.25⋅
⋅ =3.5 %=3½ %
1500 6
Marchzinsberechnung:
Zinsfuß Zeit
Marchzins=Kapital⋅
⋅
100 Jahr
Kapital=Marchzins⋅
=
100 Jahr
⋅
Zinsfuß Zeit
=
K⋅p⋅t
100⋅J
Z M⋅100⋅J
p⋅t
Marchzins Jahr
Zinsfuß=100⋅
⋅
Kapital Zeit
=
100⋅Z M⋅J
K⋅t
Marchzins 100
Zeit=Jahr⋅
⋅
Kapital Zinsfuß
=
J⋅Z M⋅100
K⋅p
Hinweis: Zeit/Jahr bedeutet Tage/360 oder Monate/12
ARI-Prozent-Zinsrechnung.fodt
–3–
©tb
Zinseszins
Was bedeutet Zinseszins?
Ganz einfach: Der Zins des Zinses! Der Zins wird jährlich ausbezahlt. Wenn der Kunde nichts
unternimmt, wird der Zins automatisch zu seinem Kapital hinzugezählt. Der so gewonnene
Zins wird zum Kapital und trägt deshalb im nächsten Jahr auch Zins.
In der Praxis werden Zinseszinsberechnungen am einfachsten mit Operatoren durchgeführt:
Endkapital gesucht
Ein Kunde macht eine Einlage von CHF 500.–. Wie viel beträgt sein Endkapital nach 3 Jahren bei
einem konstanten Jahreszins von 2½ %?
1. Jahr
2. Jahr
3. Jahr
500 · 1.025 = 512.50 CHF
512.50 · 1.025 = 525.3125 CHF
525.3125 · 1.025 = 538.45 CHF
Kaufm. Kurzformel: 500 · 1.025³ = 538.45 CHF
Weshalb heißt der Operator · 1.025 ?
1 × das Kapital + 0.025 × das Kapital (aus 2.5 : 100), zusammen · 1.025
Anfangskapital gesucht
Nachdem ein Kunde während drei Jahren sein Konto nicht angetastet hat, beträgt der Saldo
(Kontostand) 850.- CHF Wie groß war sein Anfangskapital, wenn der Zinssatz stets 2¾% betrug?
3. Jahr
2. Jahr
1. Jahr
850 : 1.0275 = 827.25 CHF
827.25 : 1.0275 = 805.11 CHF
805.11 : 1.0275 = 783.56 CHF
Kaufm. Kurzformel: 850 : 1.0275³ = 783.56 CHF
Kaufmännische Kurzformel
Bankkaufleute bevorzugen folgende Formel, welche direkt das Endresultat liefert:
Endkapital= Anfangskapital⋅(1+
Zinssatz Jahre
)
100
kurz :
K n= K 0⋅(1+
p n
)
100
Die Umkehrung:
Anfangskapital=
ARI-Prozent-Zinsrechnung.fodt
Endkapital
Zinssatz Jahre
(1+
)
100
kurz :
–4–
K 0=
Kn
p n
( 1+
)
100
©tb
Römische Zahlen
Römische Zahlen schreiben
Um römische Zahlen zu schreiben, musst du die Werte der Ziffern und die Bedeutung ihrer
Position kennen:
I
V
X
L
C
D
M
V
1
5
10
50
100
500
1000
5000
(später hinzugefügt)
(später hinzugefügt)
(zuletzt hinzugefügt: Unterstrich: × 1000)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
I
II
III
IV
V
VI
VII
VIII
IX
X
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
XI
XII
XIII
XIV
XV
XVI
XVII
XVIII
XIX
XX
Wenn sich eine Ziffer ein, zwei oder dreimal wiederholt, dann zähle den Wert zusammen:
XXX = 10 + 10 + 10 = 30
MM = 2000
V, L und D dürfen sich nicht wiederholen.
I, X, C und M dürfen höchstens dreimal nacheinander stehen.
Anstatt eine Ziffer viermal zu schreiben, schreibt man sie nur einmal, gefolgt von der nächstgrösseren Ziffer:
4 schreibt man nicht IIII, sondern IV (I weniger als V)
9 schreibt man nicht VIIII, sondern IX (I weniger als X)
Gleiches gilt für 40, 90, 400, 900. Schreibe die so entstandenen Gruppen in absteigender
Ordnung:
794 = 500 + 200 + 90 + 4
= D
+ CC + XC + IV
= DCCXCIV
Die römischen Zahlen funktionieren nur bis 3999 (MMMCMXCIX). Für grössere Zahlen
müsste man den Zahlen 5000, 10'000 ... auch Buchstaben zuordnen.
Römische Zahlen lesen
Um römische Zahlen zu lesen, gehen wir rückwärts vor. Wir lesen in Gruppen von links nach
rechts, wobei eine Gruppe aus einem einzelnen Buchstaben oder folgenden Kombinationen
bestehen kann: IV, IX, XL, XC, CD, CM (= 4, 9, 40, 90, 400, 900). Die Gruppen erkennt man, wenn die Ziffern nicht mehr in absteigender Folge erscheinen. Die Werte der
Gruppen werden dann zusammengezählt:
MCMLXXXVI = M
+ CM + L + XXX + V + I
= 1000 + 900 + 50 + 30 + 5 + 1
= 1986
MCMXCVIII = M
+ CM + XC + V + III
= 1000 + 900 + 90 + 5 +
3
= 1998
MMVIII
= 2008
Die römischen Zahlen haben ihre praktische Bedeutung nur noch in der Darstellung von
Jahreszahlen und beim Nummerieren (Louis XIV). Unser arabisch-indisches Zehnersystem ist
viel praktischer, weil wir ein Zeichen für Null haben und auch Brüche und negative Zahlen
schreiben können.
ARI-Römische Zahlen.odt
©tb
Verschiedene Zahlensysteme
Arabisch
Basis: 10
Römisch
10
Binär
2
Hexadezimal
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
I
II
III
IV
V
VI
VII
VIII
IX
X
XI
XII
XIII
XIV
XV
XVI
XVII
XVIII
XIX
XX
XXI
XXII
XXIII
XXIV
XXV
XXVI
XXVII
XXVIII
XXIX
XXX
XXXI
XXXII
XXXIII
XXXIV
XXXV
XXXVI
XXXVII
XXXVIII
XXXIX
XL
XLI
XLII
XLIII
XLIV
XLV
XLVI
XLVII
XLVIII
1
10
11
100
101
110
111
1000
1001
1010
1011
1100
1101
1110
1111
10000
10001
10010
10011
10100
10101
10110
10111
11000
11001
11010
11011
11100
11101
11110
11111
100000
100001
100010
100011
100100
100101
100110
100111
101000
101001
101010
101011
101100
101101
101110
101111
110000
1
2
3
4
5
6
7
8
9
A
B
C
D
E
F
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
1A
1B
1C
1D
1E
1F
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
2A
2B
2C
2D
2E
2F
30
ARI-Tabelle-Zahlensysteme(arab-roem-bin-hex).odt
2ⁿ
2¹
2²
2³
24
25
©tb
Maße für Längen, Flächen und Körper
Längenmaße
Flächenmaße
Hohlmaße
mm
mm²
mm³
↓ · 10
↓ · 100
cm
cm²
↓ · 10
↓ · 1000
cm³
↓ · 100
dm
dm²
↓ · 10
↓ · 1000
dm³
↓ · 100
m
m²
↓ · 10
↓ · 1000
m³
↓ · 100
(DM)
a
↓ · 10
↓ · 1000
–
↓ · 100
(HM)
ha
↓ · 10
↓ · 1000
–
↓ · 100
km
km²
↓ · 1000
km³
1 dm³ = 1 dm · 1 dm · 1 dm
= 10 cm · 10 cm · 10 cm
= 1000 cm³
GEO-Längen-Flächen-Hohlmaße.odt
©tb
Die gebräuchlichsten Maße 1
Längenmaße
Kilometer
1 km
= 1'000 m
= 10'000 dm
= 100'000 cm
= 1'000'000 mm
1m
= 10 dm
1 dm
= 100 cm
= 10 cm
1 cm
= 1'000 mm
= 100 mm
= 10 mm
1 mm
Meter
Dezimeter
Zentimeter
Millimeter
Flächenmaße
Quadratkilometer
Hektare
Are
Quadratmeter
Quadratdezimeter
Quadratzentimeter
Quadratmillimeter
1 km²
= 100 ha
1 ha
= 10'000 a
= 100 a
1a
= 1'000'000 m²
= 10'000 m²
100 m²
1 m²
= 100 dm²
= 1 dm²
= 10'000 cm²
= 100 cm²
1 cm²
= 1'000'000 mm²
= 10'000 mm²
= 100 mm²
1 mm²
= 1'000'000 cm³
= 1'000 cm³
1 cm³
= 1'000'000'000 mm³
= 1'000'000 mm³
= 1'000 mm³
1 mm³
Hohlmaße (Körper, Volumen)
Kubikkilometer
1 km³
Kubikmeter
Kubikdezimeter
Kubikzentimeter
Kubikmillimeter
1 m³
= 1'000'000 m³
= 1'000 dm³
(1 Liter) = 1 dm³
Hohlmaße (Flüssigkeiten)
Liter
(1 dm³)
Deziliter
(100 cm³)
Zentiliter
(10 cm³)
Milliliter
(1 cm³)
1l
= 10 dl
1 dl
Zusammenstellung: Maße, die direkt auf dem Meter beruhen
Länge
Fläche
km
Kilometer
km²
Quadratkilometer
Hektometer *
ha
Hektare
Dekameter *
a
Are
m
Meter
m²
Quadratmeter
dm
Dezimeter
dm²
Quadratdezimeter
cm
Zentimeter
cm²
Quadratzentimeter
mm
Millimeter
mm²
Quadratmillimeter
= 100 cl
= 10 cl
1 cl
= 1'000 ml
= 100 ml
= 10 ml
= 1 ml
Körper
km³
Kubikkilometer
m³
dm³
cm³
mm³
Kubikmeter
Kubikdezimeter
Kubikzentimeter
Kubikmillimeter
*) selten verwendet
Gewichte
Tonne
Kilogramm
Gramm
Milligramm
1t
= 1'000 kg
1 kg
= 1'000'000 g
= 1'000 g
1g
= 1'000'000'000 mg
= 1'000'000 mg
= 1'000 mg
= 1 mg
Immer seltener gebraucht wird der Zentner: 1q = 100 kg
ARI-Wichtige-Maße.odt
Formelheft
©tb
Die gebräuchlichsten Maße 2
Zeitmaße (auf dem Bankjahr beruhend)
Jahr
1J
= 12 Monate
Monat
1M
Zeitmaße (allgemein)
Tag
Stunde
Minute
Sekunde
1d
= 24 h
1h
= 360 d
= 30 d
= 1'440 Min
= 60 Min
1
= 86'400 Sek
= 3'600 Sek
= 60 Sek
1 Sek
Beispiele zur Umwandlung:
a)
2.50 h
= ? h ? Min
= 2 h + 0.5 · 60 Min
= 2 h 30 Min
b)
3.91 h
= ? h ? Min ? Sek.
= 3 h + 0.91 · 60 Min
= 3 h 54.6 Min
= 3 h 54 Min + 0.6 · 60 Sek.
= 3 h 54 Min 36 Sek.
c)
2h 22'47"
=?h
= 2 h + 22/60 h + 47/3600 h
= 2 h + 0.33... h + 0.0130555... h
= 2.3797222... h
Geschwindigkeit
Geschwindigkeiten werden angegeben als Kilometer pro Stunde oder Meter pro Sekunde.
Vermeide den mathematisch falschen Ausdruck „Stundenkilometer“! Umrechnung:
3.6 km/ h = 1 m/ s
1 km/ h =
5
18
m/ s = 0.2 7 m / s
Kurzbezeichnungen für Zehnerpotenzen
Multiplikationsfaktor
Potenz
1'000'000'000'000'000'000
1018
1'000'000'000'000'000
1015
1'000'000'000'000
1012
1'000'000'000
109
1'000'000
106
1'000
103
100
102
10
101
0.1
10-1
0.01
10-2
0.001
10-3
0.000 001
10-6
0.000 000 001
10-9
0.000 000 000 001
10-12
0.000 000 000 000 001
10-15
0.000 000 000 000 000 001
10-18
ARI-Wichtige-Maße.odt
Formelheft
Vorsatz
Exa
Peta
Tera
Giga
Mega
Kilo
Hekto
Deka
Dezi
Zenti
Milli
Mikro
Nano
Piko
Femto
Atto
Kurzbezeichnung
E
P
T
G
M
k
h
da
d
c
m
µ
n
p
f
a
©tb
Die gebräuchlichsten Maße 3
Längenmaße
Gebräuchliche US-Maße
1" oder 1 in (inch)
= 2.54 cm
1 cm
= 0.393 700 787 401 574 8 in (inch)
abgeleitet:
1 ft (foot)
= 12 in
1 ft² (sqft) = 0.092 903 04 m²
1 ft (foot)
= 0.3048 m
1m
= 3.280 839 895 013 123 ft
1 yd (yard)
= 3 ft
1 yd (yard)
= 0.90144 m
1m
= 1.109 336 173 233 937 yd
= 30.48 cm
1 ft³ (cft)
= 0.028 316 846 592 m³
1 m³
= 35.314 666 721 488 59 ft³
= 90.144 cm
abgeleitet:
1 (mile)
= 1760 yds
5 km/h
= 3.107 mph
1 (mile)
= 1.609 344 km
100 km/h
= 62.137 mph
1 km
= 0.621 371 192 237 334 miles
55 mph
= 88.514 km/h
Gewichte
1 oz. (Ounce)
= 28.349 523 125 g (Gramm)
1g
= 0.035 273 961 949 580 4 oz.
1 P (Pound)
= 16 oz.
1 P (Pound)
= 0.453 592 37 kg
1 kg
= 2.204622621848776 P
Hohlmaße
1 Gal. (liquid Gallon) = 3.785 411 784 l (Liter)
1 l (Liter)
= 0.264 172 052 358 148 4 Gal.
Temperatur
100 °F
= 37.778 °C
0 °F
= –17.778 °C
100 °C
= 212 °F
37 °C
= 98.6 °F
0 °C
= 32 °F
ARI-Wichtige-Maße.odt
Formelheft
©tb
Zehnerpotenzen – die wissenschaftliche Schreibweise
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
Mit der wissenschaftlichen Schreibweise (Zehnerpotenzen) kann man sehr grosse und sehr kleine
Zahlen auf einfache Weise darstellen. Alle Zahlen haben genau eine Werteziffer vor dem Komma,
beliebig viele Nachkommastellen, gefolgt vom Operator × mit einer Zehnerpotenz. Viele Taschenrechner kürzen die Darstellung ab:
Mensch: 3 · 10²
TR Typ 1:
3.0 E02
E = Zehnerpotenz
TR Typ 2:
3.0 02
Kleine 02 = Zehnerpotenz
Unser Taschenrechner kann Zehnerpotenzen nur darstellen, dagegen wird die
Rechnung 3² gleich ausgeführt 3² = 9.
Unser TR ist Typ 2:
Grosse Zahlen ( 3.21 · 109 = 3'210'000'000 )
10er Potenz im Detail
1 · 100
1 · 101
1 · 102
1 · 103
1 · 104
1 · 105
1 · 106
1·1
1 · 10
1 · 10·10
1 · 10·10·10
1 · 10·10·10·10
1 · 10·10·10·10·10
1 · 10·10·10·10·10·10
Zahl
1
10
100
1'000
10'000
100'000
1'000'000
Texas Instruments TI-30
Taschenrechner
Typ 1
Typ 2
1.0 E 00
1.0 0
1.0 E 01
1.0 01
1.0 E 02
1.0 02
1.0 E 03
1.0 03
1.0 E 04
1.0 04
1.0 E 05
1.0 05
1.0 E 06
1.0 06
Kleine Zahlen ( 4.5 · 10-8 = 0,000 000 045 )
10er Potenz im Detail
1 · 10-1
1 · 10-2
1 · 10-3
1 · 10-4
1 · 10-5
1 · 10-6
1 / 10
1 / (10·10)
1 / (10·10·10)
1 / (10·10·10·10)
1 / (10·10·10·10·10)
1 / (10·10·10·10·10·10)
Achtung:
Zahl
0.1
0.01
0.001
0.000 1
0.000 01
0.000 001
Verwechsle die Zehnerpotenzen (Schreibweise) nicht
mit beliebigen Potenzen:
beliebige Potenz
23 = 2 · 2 · 2 = 8
TR (Tastplan):
ARI-Zehnerpotenzen.odt
Taschenrechner
Typ 1
Typ 2
1.0 E-01
1.0 -01
1.0 E-02
1.0 -02
1.0 E-03
1.0 -03
1.0 E-04
1.0 -04
1.0 E-05
1.0 -05
1.0 E-06
1.0 -06
Zehnerpotenz
aber
[ 2 ] [ yx ] [ 3 ] [ = ] → 8
Formelheft
2 · 103 = 2 · 10 · 10 · 10 = 2000
[ 2 ] [ EE ] [ 3 ] [ = ] → 2000
©tb
Geometrie
Gerade
Halbgerade
Strecke
Schenkel
Winkel
Scheitel
Schenkel
Winkel messen
1. Geodreieck auf Scheitel. Nullpunkt!
2. Dreieck um 0 drehen bis ein Schenkel die lange Dreieckseite
berührt und der andere Schenkel unter dem Dreieck liegt.
3. Wahl der Skala: Die Skala, die vom berührenden Schenkel aus
ansteigt. Hier: gelbe Skala
4. Grad ablesen, fertig: 25°
Die Winkelhalbierende
A
©tb
Die Mittelsenkrechte
Das Dreieck
C
γ
Winkelsumme im Dreieck
Für alle Dreiecke gilt:
Die Winkelsumme α + β + γ
beträgt 180 Grad.
a
b
β
B
α
c
A
Bezeichnungen
Für geometrischen Flächen gelten folgende Abmachungen:
• Ecken werden im Gegenuhrzeigersinn mit Großbuchstaben bezeichnet:
A, B, C, D ...
• Die Seiten bezeichnet man mit Kleinbuchstaben (a, b, c, d ...).
• Für die Winkel verwenden wir griechische Buchstaben
(α=alpha, β=beta, γ=gamma, δ=delta)
©tb
Bekannte Flächen (Planimetrie)
Rechteck
Dreieck
h
d
g
b
l
Rhombus (Raute)
h
Parallelogramm
h
s
g
s
Quadrat
Trapez
p1
s
d
p
s
h
Drachenviereck
p2
Unregelmäßiges Viereck
d1
c
d2
d
b
a
Kreis
Ellipse
Z
d
r
©tb
Geometrische Grundformen: Dreiecke, Vierecke
Vierecke
unregelmässiges
Viereck
Drachenviereck
Trapez
Diagonalen halbieren sich
gleich lange Diagonalen
4 gleiche Seiten
rechtwinklig
2 parallele Seiten
Eigenschaften:
1 parallele Seite
Rhombus
rechtwinklige Diagonalen
Parallelogramm
unregelmässiges Viereck
Rechteck
Drachenviereck
X
Trapez
X
Parallelogramm
Rhombus
Quadrat
X
X
Rechteck
Quadrat
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
Dreiecke
unregelmässig
gleichschenklig
GEO-3Eck-4Eck.odt
gleichseitig
rechtwinklig
©tb
Flächengeometrie (Planimetrie) – Eckige Flächen
Dreieck
g⋅h
A=
2
h
g=
A⋅2
h
h=
A⋅2
g
g
s
d
s
Quadrat
A=s 2
u=4⋅s
s= A
d =s⋅ 2
Rechteck
d
b
l
A=l⋅b
b=
A
l
l=
A
b
d =  l 2b2
u=2⋅l2⋅b =2⋅lb
Rhombus
h
s
A=s⋅h
h=
A
s
s=
A
h
A
g
g=
s
Parallelogramm
h
A= g⋅h
h=
A
h
g
Trapez
p1
p
h
A=
p 1 p 2
⋅h
2
p2
d1
d2
Drachenviereck
d ⋅d
A= 1 2
2
Verwendete Variablennamen: A für Fläche (area); u für Umfang,
g für Grundlinie, h für Höhe, p für Parallele, d für Diagonale, s für Seite
GEO-Grundwissen-Planimetrie.odt
©tb
Abbildungen
A
Achsenspiegelung
A'
- Hilfsgeraden rechtwinklig auf g
- Distanz gA = gA' mit Zirkel abtragen
B
B'
- Distanz gB = gB' mit Zirkel abtragen
- Distanz gC = gC' mit Zirkel abtragen
C
- Bildfigur ist nicht kongruent
C'
g
A'
A
Schiebung
g1
- Hilfsgeraden g1-g3 sind parallel (Geodreieck)
B'
B
- Distanz AA' mit Zirkel auf BB' und CC' abtragen
g2
- Die Bildfigur A'B'C' ist kongruent zu ABC
g3
C'
C
A
C'
Punktspiegelung
- Hilfsgeraden über Z verlängern
B' - Distanz ZA mit Zirkel auf ZA' abtragen
Z
B
- Distanz ZB mit Zirkel auf ZB' abtragen
- Distanz ZC mit Zirkel auf ZC' abtragen
C
A'
- Die Bildfigur A'B'C' ist kongruent zu ABC, (die
Punktespieglung ist eine 180°-Drehung!)
Drehung
C
- Kreisbogen um Z durch Bildpunkte (Zirkel)
A
B
B'
C'
A'
GEO-Abbildungen.odt
δ
Z
- Zentriwinkel δ legt die Drehung fest
- Weitere Bildpunkte mit Zirkel übertragen:
AB = A'B' und AC = A'C'
- Die Bildfigur A'B'C' ist kongruent zu ABC, (die
Punktespieglung ist eine 180°-Drehung)
Kongruenz
Zwei Figuren sind kongruent, wenn sie deckungsgleich sind, d.h. man könnte sie übereinanderlegen.
©tb
Das Dreieck
C
γ
a
hb
b
hc
ha
A
α
β
B
c
Bezeichnung
Die Eckpunkte des Dreiecks werden im Gegenuhrzeigersinn mit A, B und C bezeichnet. Die Seite,
die einer Ecke gegenüberliegt, wird a, b bzw. c genannt. Die Winkel werden α, β und γ genannt.
Berechnungen am Dreieck
Die Fläche wird mit A (für lat. area) bezeichnet, g ist die Grundlinie und h die dazu gehörende
Höhe:
h
g
Die Fläche des Dreiecks ist die Hälfte des umschreibenden Rechtecks:
A=
g⋅h
2
GEO-Dreieck.odt
g=
A⋅2
h
h=
A⋅2
g
©tb
Dreieck - Eigenschaften
A
α
Beschriftung:
c
B
β
b
a
γ
C
1) Eigenschaften
• Die Winkelsumme (Innenwinkel) bei Dreiecken ist immer 180°.
• In jedem Dreieck liegt der grösseren von zwei Seiten der grössere Winkel gegenüber.
• In jedem Dreieck ist die Summe zweier Seiten stets länger als die dritte Seite.
• Das Zentrum des Umkreises wird durch den Schnittpunkt der Mittelsenkrechten bestimmt.
• Das Zentrum des Inkreises wird durch den Schnittpunkt der Winkelhalbierenden bestimmt.
• Der Schwerpunkt wird durch den Schnittpunkt der Seitenhalbierenden bestimmt.
2) Einteilung
nach Seiten:
nach Winkeln:
unregelmässig
alle Seiten sind unterschiedlich lang
spitzwinklig
alle Innenwinkel sind spitz (kleiner als 90°)
gleichschenklig
zwei gleich lange Seiten (Schenkel)
rechtwinklig
ein Winkel misst 90°
gleichseitig
alle Seiten sind gleich lang (regelmässiges Δ)
stumpfwinklig
ein Innenwinkel ist stumpf (grösser als 90°)
3) Ähnlichkeit bei Dreiecken (Proportionalität)
• Dreiecke sind ähnlich wenn sie gleiche Winkel aufweisen.
• Dreiecke sind ähnlich wenn ihre Seiten das gleiche Längenverhältnis zueinander haben.
4) Kongruenz bei Dreiecken (Deckungsgleichheit)
SSS
Dreiecke sind kongruent zueinander, wenn sie in den Längen der drei Seiten übereinstimmen. Die Dreiecke stimmen
dann auch in den Winkelgrössen überein.
Beachte: Ein Dreieck ist aus drei Seiten nur dann konstruierbar, wenn gilt:
In jedem Dreieck ist die Summe zweier Seitenlängen stets grösser als die dritte Seitenlänge.
SWS
Dreiecke sind kongruent zueinander, wenn sie in den Längen zweier Seiten und der Grösse des eingeschlossenen
Winkels übereinstimmen.
WSW (SWW)
Dreiecke sind kongruent zueinander, wenn sie in der Länge einer Seite und den Grössen zweier Winkel
übereinstimmen.
SSW
Dreiecke sind kongruent zueinander, wenn sie in den Längen zweier Seiten und der Grösse des Winkels
übereinstimmen, welcher der längeren Seite gegenüberliegt.
GEO-Dreieck.odt
©tb
Dreieck – Umkreis – Inkreis – Schwerpunkt
• Das Zentrum des Umkreises liegt im Schnittpunkt der Mittelsenkrechten.
• Das Zentrum des Inkreises liegt im Schnittpunkt der Winkelhalbierenden.
• Der Schwerpunkt liegt im Schnittpunkt der Seitenhalbierenden.
A
c = 8 cm
I
B
S
b = 12 cm
a = 16 cm
C
U
Konstruktion
• Konstruiere mit dem Zirkel zuerst die Winkelhalbierenden (2 genügen!).
• Markiere den Schnittpunkt S und konstruiere den dazugehörenden Inkreis.
• Konstruiere mit dem Zirkel die Mittelsenkrechten (2 genügen!).
• Markiere den Schnittpunkt U und konstruiere den dazugehörenden Umkreis.
• Verbinde nun die Schnittpunkte Mittelsenkrechte/Seite mit der gegenüberliegenden Ecke. Das
ergibt die Seitenhalbierenden (2 genügen!).
• Markiere den Schnittpunkt S . Es ist der Schwerpunkt des Dreiecks.
GEO-Dreieck-Umkreis-Inkreis-Schwerpunkt.odt
©tb
Körperberechnung – Grundwissen
I Prismen
Der Quader
Gesamtkantenlänge G=4⋅lbh 
Körperdiagonale D k =  l b h
Mantel M =2⋅lb ⋅h
Oberfläche O=2 lblhbh
Volumen V =l⋅b⋅h
2
h
l
b
2
2
Der Kubus (Hexaeder, Würfel)
Gesamtkantenlänge G =12⋅s
Seitendiagonale D s= s⋅ 2
s
s
s
Körperdiagonale D k =s⋅ 3
Mantel M = 4⋅s 2
Oberfläche O=6⋅s2
3
Volumen V =s
Der Zylinder
h
r
Grundfläche S =r 2 
2
Gesamtkantenlänge G=2 r 
Mantel M =2 r  h
Oberfläche O=2 r  rh 
Volumen V =r 2  h
II Spitze Körper
Die (quadratische) Pyramide
2
Volumen V =
p
s p
3

2
hs
s
seitliche Höhe hs = p2 
2
Oberfläche O =s 22 s hs
hs
r p
3
2
2
seitliche Höhe hs =  p r
s
Der Kegel
2
p
Volumen V =
Oberfläche O =r  rh s 
r
III Kugel (idealer Körper)
Die Kugel
Oberfläche O=4 r 2 
Kugelzone Mantel  M =2 r  h
3
4r 
Volumen V =
3
M
r
GEO-Grundwissen-Körper.odt
©tb
Berechnungen am regelmässigen Vieleck (Polygon)
Beim regelmässigen Vieleck (auch n-Eck) sind alle Seiten gleich lang und die Eckpunkte haben den
gleichen Abstand zum Zentrum. Deshalb kann man Polygone in einen Umkreis setzen.
Eine einfache Flächenberechnung erreicht man durch die Zerlegung des Polygons in n gleiche
Dreiecke:
α
α
h
h
g
n=5
g
n=6
Die Fläche eines n-Ecks beträgt:
A=
n⋅g⋅h
2
Die Winkesumme im n-Eck beträgt:
WS=n−2⋅180
Der Innenwinkel eines n-Ecks beträgt:
=
n−2
⋅180
n
Die Anzahl der Diagonalen eines n-Ecks ist:
n−3
D=n⋅
2
GEO-Polygone.odt
©tb
Der goldene Schnitt
C
E
A
M
B
D
Goldener Schnitt - Konstruktion
Im Kreis: Radius |AM| halbieren:  B
Zirkel in B einsetzen, |BC| = |BD|
Zirkel in C einsetzen, |CD| = |CE|
|CE| ist die Länge der Fünfecksseite
|MC| ist der Radius des Umkreises.
|CD| ist die Länge der Fünfecksseite
|MD| ist die Länge der Zehnecksseite
Eine Strecke ist im Goldenen Schnitt geteilt, wenn sich die ganze Strecke zum
grösseren Abschnitt verhält wie der grössere zum kleineren: a : b = b : c
Abschnitt b heisst Major, Abschnitt c Minor.
Pentagon.odt
©tb
Flächengeometrie (Planimetrie) – Eckige Flächen
Dreieck
g⋅h
A=
2
h
g=
A⋅2
h
h=
A⋅2
g
g
s
d
s
Quadrat
A=s 2
u=4⋅s
s= A
d =s⋅ 2
Rechteck
d
b
l
A=l⋅b
b=
A
l
l=
A
b
d =  l 2b2
u=2⋅l2⋅b =2⋅lb
Rhombus
h
s
A=s⋅h
h=
A
s
s=
A
h
A
g
g=
s
Parallelogramm
h
A= g⋅h
h=
A
h
g
Trapez
p1
p
h
A=
p 1 p 2
⋅h
2
p2
Drachenviereck
d ⋅d
A= 1 2
2
d1
d2
Verwendete Variablennamen: A für Fläche (area); u für Umfang,
g für Grundlinie, h für Höhe, p für Parallele, d für Diagonale, s für Seite
GEO-Grundwissen-Planimetrie.odt
©tb
Der Kegel
b
s
α
h
s
r
r = Radius der Grundfläche (Kreis)
h = Körperhöhe (auch p oder hp)
s = seitliche Höhe, Radius des Mantels
α = Zentriwinkel, Winkel des Mantels
b = Kreisbogen des Mantels od. Umfang der Grundfläche

r=
s⋅
360
r=
b=
2⋅s⋅π⋅
360
b=2⋅r⋅π
=
r⋅360
s
=
b⋅360
2⋅s⋅π
h= s 2−r 2
h=
3⋅V
G
2
G=
s 2⋅π⋅
360
M =r⋅s⋅π
G=r ⋅π
M=
V=
G⋅h
3
GEO-Kegel.odt
3⋅V
s⋅π
M = Mantel (Fläche)
G = Grundfläche
O = Oberfläche
V = Volumen (Inhalt)
s= h2r 2
3⋅V
s
O=GM
2
=r ⋅πr⋅s⋅π
=r⋅π⋅r s
©tb
Der Kreis
π (Pi) ist das Verhältnis des
Umfangs eines Kreises zu
seinem Durchmesser.
r = Radius
d = Durchmesser
u = Umfang
A = Fläche
t
s
Z
d
gerundete Angaben:
s = Sehne
e = Sekante
t = Tangente
Z = Zentrum
r
e
Berechnungen am Kreis
π = 3.141592654 (auf d. TR)
π = 31/7
Strecken:
d
r
u
π
r=
u
2⋅π
Der Kreissektor
π = 22/7
Fläche:
u=d⋅π
u=2⋅r⋅π
d=
oder
A=r⋅r⋅π


d =2⋅
r=
A=r 2⋅π
A
π
2

A=
A
π
d
⋅π
2
Der Kreisring
b
r 2⋅π⋅
360
r 2⋅π⋅b
A=
U
r 2⋅b r⋅b
A=
=
2⋅r 2
r
R
A=
α
A= R2⋅π −r 2⋅π
r
Der Kreisringsektor
Achtung Maße!
B
2
b
r
GEO-Kreis.odt
α
A=
R
A= R2 −r 2⋅π
Längenmaße:
1 cm = 10 mm
Flächenmaße:
1 cm² = 100 mm²
2
 R −r ⋅π⋅
360
©tb
Die Kugel
M
r
Alle Punkte, die vom Mittelpunkt M gleich weit entfernt sind (Abstand r), bilden die Kugeloberfläche. Die Kugeloberfläche ist viermal so groß wie die Kreisfläche durch den Mittelpunkt M der Kugel (Äquatorfläche = größte Schnittfläche). Der Durchmesser der Äquatorfläche ist d = 2r.
Umfang uO
u O=2 r π
Größte Schnittfläche AO
AO =r 2 π
Oberfläche SO
r=
2
√
AO
π
S O =4 r π
r=
√
SO
4π
Kugelzone Mantel MO
M O=2 r π h
r=
MO
2πh
Volumen VO
V O=
r=
√
2
3
4r π
3
2
3
3VO
4π
Alle Kugeln sind zueinander geometrisch ähnlich.
Die Kugel besitzt unendlich viele Symmetrieebenen, nämlich die Ebenen durch den Kugelmittelpunkt. Ferner ist die Kugel drehsymmetrisch bezüglich jeder Achse durch den Mittelpunkt und jedes
Drehwinkels und punktsymmetrisch bezüglich ihres
Mittelpunktes.
tritt die Kugel auch in der Natur auf: Blasen (z.B.
Seifenblase) und Wassertropfen sind Kugeln, weil
die Oberflächenspannung versucht, die Oberfläche
zu minimieren. Planeten sind Kugeln, weil sie bei
ihrer Entstehung flüssig waren. Die mathematische
Kugel ist eine Idealform. In der Natur auftretende
Kugeln haben stets nur näherungsweise Kugelform.
Die Kugel hat die kleinste Oberfläche von allen
Körpern mit einem vorgegebenen Volumen. Von
allen Flächen mit vorgegebenen Flächeninhalt umschließt sie das größte Volumen. Aus diesem Grund
Bereits Archimedes wusste, dass der einer Kugel
umschriebene Zylinder das 3/2-fache Volumen der
Kugel hat.
GEO-Kugel.odt
©tb
Die 5 platonischen Körper
Name
Tetraeder
Hexaeder
Oktaeder
Dodekaeder
Ikosaeder
4 gleichseitige Dreiecke
6 Quadrate
8 gleichseitige Dreiecke
12 regelmäßige Fünfecke
20 gleichseitige Dreiecke
Flächen / Kanten / Ecken
4/6/4
6 / 12 / 8
8 / 12 / 6
12 / 30 / 20
20 / 30 / 12
Anzahl Kanten pro Ecke
3
3
4
3
5
2
V = a3
3
1
V = 157  5a 3
4
Perspektivische
Abbildung
Abwicklung
Seitenflächen (Anzahl, Art)
 2 a3
3
V=
5
3 5 a 3
12
Volumen
V=
Oberfläche
A O = 3 a
Umkugelradius
6
r u=  a
4
3
r u=  a
2
2
r u=  a
2
3
r u=  1 5a
4
r u=
Inkugelradius
6
r i=  a
12
1
r i= a
2
6
r i=  a
6
5
r i=   5022 5 a
20
r i=
GEO-Platonische_Körper.odt
12
2
V =a
AO =6 a
2
AO =2  3 a
2
AO =3  2510  5 a 2
AO =5  3 a
2
a
 102  5
4
a
 33 5
12
©tb
Im rechtwinkligen Dreieck gilt:
• Die dem rechten Winkel anliegenden Seiten nennt man
Katheten, die gegenüberliegende Seite Hypotenuse.
• Das Hypotenusenquadrat ist gleich der Summe der
beiden Kathetenquadrate.
Der Satz des
Pythagoras
2
2
c =a +b
C
a²
b²
nach Seiten aufgelöst :
a
b
c
A
c= √ a +b
2
B
2
a= √ c −b
2
b= √ c −a
2
2
c²
a² + b²
2
b²
2
a²
a² = 16
b² = 9
a=4
b=3
c² = 25
GEO-Pythagoras.odt
c=5
Pythagoras von Samos
570 – 510 a.C.
©tb
Pythagoras: Flächen– und Raumdiagonalen
Zur Berechnung der Flächen– und Raumdiagonalen verwenden wir den Satz des Pythagoras:
Kathete 1
Kathete 2
Hypotenuse= √ Kathete 1 + Kathete 2
2
2
Hypotenuse
Quader
Der Quader hat drei unterschiedlich lange Flächendiagonalen. Die 4 Raumdiagonalen sind gleich lang.
d 1= √ l +b
2
d3
dr
d2
2
d 2= √ l 2 +h2
h
d 3=√ b2 +h2
d r = √ d 1 +h
2
d1
b
2
= √ l +b +h
2
l
2
2
Würfel
Die Flächendiagonalen des Würfels sind alle gleich lang. Auch die 4 Raumdiagonalen haben die gleiche
Länge.
d f =√ s + s
2
dr
s
2
=s⋅√ 2
d r = √ d 2f + s 2
df
s
=s⋅√3
s
GEO-Pythagoras.odt
©tb
Volumen – Gewicht (Masse) – Dichte
Berechnung
Formel
Masse=Volumen⋅Dichte
m=V⋅
1 dm
1 dm³
Masse
Dichte
V=
Masse
Volumen
=
Volumen=
1 dm
1 dm
Für reines Wasser gilt:
Dichte=
m

m
V
1 dm³ = 1 Liter = 1 Kilogramm
(…seit 1789)
Jeder Stoff hat seine eigene Dichte (Massendichte). Sie hängt neben der Beschaffenheit des Stoffs
auch von seiner Temperatur und seinem Umgebungsdruck ab.
Die Dichte ρ (griechisches Rho) wird als Verhältniszahl zur Dichte des Wassers angegeben:
Gebräuchliche Maße für die Dichte sind g/cm³ , kg/dm³ und t/m³
Massendichten einiger Stoffe bei 20ºC:
Für Wissbegierige:
Stoff
Dichte in kg/dm³
Platin Pl
21.4
Gold Au
19.3
Uran U
19.16
Quecksilber Hg
13.5459
Blei Pb
11.342
Silber Ag
10.49
Kupfer Cu
8.92
Eisen Fe (auch Stahl)
7.85 — 7.87
Titan Ti
4.5
Kohlenstoff C (Diamant)
3.51
Kohlenstoff C (Graphit)
2.26
Kohlenstoff C (Carbonfaser) 1.8
Kalkstein
2.7
Aluminium Al
2.699
Beton
1.5 — 2.4
Sand (trocken)
1.5 — 1.6
Wasser H2O
0.998
Wasser (bei 4ºC)
1.000
Eis (bei 0ºC)
0.917
Fette
0.89 — 0.95
Papier
0.7 — 1.2
Holz (trocken)
0.4 — 0.8
Schaumstoffe
0.012 — 0.3
Ein Kilogramm ist nicht immer ein
Kilogramm! Abhängig vom Ort, an dem
gemessen wird, ist die Erdbeschleunigung unterschiedlich hoch, daher gibt es
selbst auf der der Erde Messunterschiede
(mit der Federwaage).
Wenn man diese Unterschiede berücksichtigt, spricht man nicht von Dichte,
sondern von der Wichte (spezifisches
Gewicht).
ρ
Wasser dehnt sich bei sinkenden Temperaturen
unter 4°C aus. Man spricht deshalb von der
Anomalie des Wassers (Unregelmäßigkeit).
Gase werden meist in g/l (=g/dm³) angegeben:
Stoff
Dichte in g/l
Helium He
0.1785
Luft (N und O) 1.2930
Methan CH4
0.7168
GEO-Volumen-Gewicht-Dichte.odt
(kleines gr. Rho)
Stoff
Dichte in g/l
Sauerstoff O
1.42895
Stickstoff N
1.2505
Wasserstoff H
0.08988
©tb
Der Zylinder (Kreiszylinder)
Kreiszylinder
Berechnung:
Legende:
2
r
2
G=r ⋅π
D=r ⋅π
M =2⋅r⋅π⋅h
h
Hohlzylinder
R
r
h
r = Radius
h = Körperhöhe
V = Volumen (Inhalt)
S=GDM
2
=2⋅r ⋅π  2⋅r⋅π⋅h
=2⋅r⋅π⋅r h 
V =G⋅h
=r 2⋅π⋅h
S = Oberfläche
bestehend aus
G = Grundfläche,
M = Mantel (Fläche)
D = Deckfläche
Berechnung:
Legende:
G=R2⋅π −r 2⋅π
= R2−r 2 ⋅π
r = Radius (innen)
R = Radius (außen)
S=2⋅ R2 π −r 2 π 2 Rπh2 rπh
=2 π⋅ R2−r 2 2 πh  Rr 
V = R 2⋅π −r 2⋅π ⋅h
= R2−r 2 ⋅π⋅h
Zylindersektor
α
Berechnung:
G=
r
h
S=2 r 2 π
Legende:
r 2⋅π⋅
360
α = Zentriwinkel
α
α
2 r π h
2rh
360
360
r 2⋅π⋅
V=
⋅h
360
Berechnung:
Hohlzylindersektor
G=
 R2−r 2 ⋅π⋅
360
V=
 R2 −r 2⋅π⋅
⋅h
360
(Sektor eines Hohlzylinders)
GEO-Zylinder.odt
©tb
Das Koordinatensystem
Auf geographischen Karten wird die Erde mit einem Koordinatennetz überzogen. So kann man
jeden Ort mit zwei Zahlen „adressieren“.
0° (London)
-180° -150° -120° -90°
-60°
-30°
30°
60°
90°
120° 150° 180°
- 90° (Nordpol)
- 60°
- 30°
0° (Äquator)
- 30°
Breite
- 60°
(y-Achse)
- 90° (Südpol)
Länge (x-Achse)
Die Stadt Bern hat z.B. folgende Koordinaten: 46°57′4″ nördliche Breite, 7°26′19″ östliche Länge /
Google Maps gibt die Koordinaten dezimal an: 46.946° nördliche Breite, 7.444° östliche Länge.
Der Einfachheit wegen sind positive Grade immer nördlich resp. östlich gemeint.
Auf dem Taschenrechner lassen sich die Koordinaten mit der DMS → DD Funktion leicht
umrechnen (DMS = Degree/Seconds/Minutes; DD = Decimal Degree).
GEO-Koordinatensystem.odt
©tb
In der Mathematik verwenden wir folgendes Koordinatensystem:
Ein Koordinatensystem besteht aus den zwei Koordinatenachsen x und y.
Der Punkt A hat die Koordinaten (4 | 5). Der Punkt B hat die Koordinaten (3 | –5).
Der Nullpunkt hat die Koordinaten (0 | 0).
Koordinaten kennen wir auch aus dem Spiel «Schiffe versenken». Hier gelten für die x– Achse
Buchstaben und für die y–Achse Ziffern.
Nach dem gleichen Prinzip funktionieren auch die Computer– und TV-Bildschirme. Der Einfachheit
wegen werden nur nur positive Zahlen verwendet. Der Nullpunkt der x– und y–Achse liegt wie
beim Schiffe versenken in der oberen linken Ecke des Bildschirms.
GEO-Koordinatensystem.odt
©tb
Formelblatt Mathematik
Quadrat
d = a· 2
d = a · 1,414
a
3a2
A=
·
2
u = 4a
s
a
Rechteck
A = a· b
a = A /b
b = A /a
u = 2 · (a +b)
a = u /2 -b
d
b
a
Kreis
d
b
h
a
A=
=
d
c
h
a
b
a
2
2
2
c = a +b
b2 = c2 -a2
a2 = c2 -b2
a = c2 -b2
p · (R2-r 2)
Zylinder
p
V = r 2· p · h
4
· (D2-d2)
D = 4A +d2
p
Kreisausschnitt (Sektor)
b=
b
2. binomische Formel:
(a - b)2 = a2 - 2ab + b2
a = V
b· c
V
b =a c
·
O = r · p· h + 2· r· p· h
=2· r· p · ( r+ h)
d· p·a
360
1 hm
= 1 /1000 m
= 1 /100 m
= 1 /10 m
=1m
·
(Hektometer) = 1 100 m
= 10 mm
= 10 cm
= 10 dm
= 100 m
Flächenmaße
= 100 mm2
= 100 cm2
= 100 dm2
= 100 m2 = 10 m · 10 m
= 100 a
= 100 m · 100 m
= 100 ha = 1000 m · 1000 m
Gewichte
r·
V = 4· p
3
3
d
r
·A
d= 4
b
·b
d = 360
p·a
1 mm (Millimeter)
1 cm (Zentimeter)
1 dm (Dezimeter)
1 m (Meter)
1 cm3 = 1000 mm3
1 dm3 = 1000 cm3
1 m3 = 1000 dm3
r
4V
p· h
Längenmaße
Körpermaße
d
d=
3. binomische Formel:
(a + b)(a - b) = a2 - b2
1 cm2
1 dm2
1 m2
1a
1 ha
1 km2
h
Kugel
A=b·d
4
d
3
2
p
Rechtwinkliges Dreieck (Pythagoras)
c
D
a
d = D2 - 4A
b
D = a·
V=a·b·c
c
D
R
Dreieck
b
Quader
r= d
2
A=dp
4
Kreisring
2
d
2
r
A = a · h /2
a = 2A /h
h = 2A /a
u = a +b +c
a = u -(b +c)
a
d=a·
O = 6 · a2
2
A=rp
r
D
1. binomische Formel:
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
a
u = d ·p
u
d= p
Parallelogramm
A = a· h
a = A /h
h = A /a
u = 2 · (a +b)
a = u /2 -b
3
Binomische Formeln
V = a3
s = a· 3
= a · 1,732
A = a2
d
a
Würfel
Reguläres Sechseck
Abkürzungen
O = Oberfläche
Latein.
A = Fläche = Area
O = 4· r · p
2
2
=d ·
p
1g
1 kg
1t
1 1
= 1000 mg
2
= 1000 g
= 1000 kg (t = Tonne)
Hohlmaße
1 ml
1 cl
1 dl
1l
1 hl
(Milliliter)
= 1 /1000 l
(Zentiliter)
= 1 /100 l
(Deziliter)
= 1 /10 l
(Liter)
= 1 Liter
= 10 ml
= 10 cl
= 10 dl
(Hektoliter)
= 1 100 l
·
= 100 l
a,b,c = Seiten d = Diagonale
V = Volumen r = Radius
u = Umfang
h = Höhe
a = Alpha
p @ 3.14
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