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7 Punkte Beantworten Sie die folgenden Fragen möglichst kurz. a

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Aufgabe I W ISSENSFRAGEN
Beantworten Sie die folgenden Fragen m¨oglichst kurz.
7 Punkte
a) Was versteht man unter dem Begriff Totalreflexion? Unter welchen Bedingungen kann dieses
Ph¨anomen nur auftreten?
b) Wie lautet die zeitabh¨angige Schr¨odingergleichung f¨ur ein freies Teilchen? Zeigen Sie, dass
ψ(x, t) ∼ ei(kx−ωt) L¨osung dieser Gleichung ist.
c) Betrachten Sie die Wellenfunktionen ψ 1 (x, t) = ϕ1 (x)e−iω1 t bzw. ψ2 (x, t) = ϕ2 (x)e−iω2 t ,
die jeweils L¨osung der zeitabh¨angigen Schr¨odingergleichung seien. Ist dann die Wellenfunktion ψ(x, t) = a1 ψ1 (x, t) + a2 ψ2 (x, t), mit a1 , a2 ∈ C, L¨osung der zeitabh¨angigen Schr¨odingergleichung? Rechnung!
d) Was beschreiben die Begriffe Phasen- bzw. Gruppengeschwindigkeit? Woran ist ersichtlich
dass sich diese beiden Geschwindigkeiten f¨ur ein freies Teilchen unterscheiden, f¨ur eine elektromagnetische Welle, die sich im Vakuum ausbreitet, jedoch nicht?
4 Punkte
Aufgabe II B RECHUNG
Auf dem Boden eines h = 1.5m tiefen Wasserbeckens liegt eine M¨unze. Um welche Strecke x
erscheint die M¨unze auf dem Boden verschoben, wenn man unter dem Winkel α = 45 ◦ gegen die
Wasseroberfl¨ache blickt? Der Brechungsindex von Wasser ist n = 4/3.
Aufgabe III R ADIOAKTIVER Z ERFALL
3 Punkte
−2
−1
Die Zerfallskonstante einer radioaktiven Substanz sei λ = 10 s . Zu einem bestimmten Zeitpunkt
liegen 100 Teilchen dieser Substanz vor. Wieviele von ihnen zerfallen innerhalb der n¨achsten 10
Sekunden?
Aufgabe IV M ITTELWERT UND S CHWANKUNG
Die Wellenfunktion eines Teilchens habe die folgende funktionale Form:
ψ(x) ∼
6 Punkte
0
x<0
λ
exp(− 2 x) x ≥ 0
a) Bestimmen Sie den mittleren Aufenthaltsort x sowie die Schwankung ∆x.
b) Warum kann diese Wellenfunktion nicht L¨osung der station¨aren Schr¨odingergleichung sein?
Aufgabe V B EUGUNG
6 Punkte
a) Auf einen Einzelspalt der Breite d falle ein n¨aherungsweise paralleles Lichtb¨undel der Wellenl¨ange λ. Die auf einem hinter dem Spalt angebrachten Schirm gemessene Intensit¨atsverteilung ist im zeitlichen Mittel durch I¯ ∼ sin2 ( 12 kd sin θ) gegeben. k ist hierbei die Wellenzahl.
Wie a¨ ndert sich das Beugungsbild qualitativ, wenn der Spalt verengt wird? Begr¨unden Sie Ihre
Antwort!
b) Wie a¨ ndert sich das Beugungsbild, wenn der Raum zwischen Spalt und Schirm mit Wasser
ausgef¨ullt wird? Der Brechungsindex von Wasser ist n = 4/3.
c) Im Abstand a zum ersten Spalt wird nun ein zweiter Spalt ge¨offnet. Die Spaltbreite sei f¨ur beide
Einzelspalte d. Skizzieren Sie das entstehende Beugungsbild, und erl¨autern Sie es kurz.
Aufgabe VI E INDIMENSIONALES P OTENZIAL
7 Punkte
Betrachten Sie das folgende eindimensionale, st¨uckweise konstante Potenzial V (x) (asymmetrischer,
endlicher Potenzialtopf). Ein Teilchen mit der Energie V 0 < E < V1 laufe von links ein.
a) Unterteilen Sie die x-Achse sinnvoll in Bereiche, und geben Sie f¨ur jeden dieser Bereiche einen
L¨osungsansatz der station¨aren Schr¨odinger-Gleichung an.
b) Modifizieren Sie diesen Ansatz so, dass sich eine physikalisch sinnvolle L¨osung ergibt. D.h.
insbesondere, formulieren Sie die Randbedingungen allgemein, und wenden Sie diese auf Ihren
L¨osungsansatz an.
Hinweis: Die L¨osung des so erhaltenen Gleichungssystems ist nicht zu berechnen.
8 Punkte
Aufgabe VII WASSERSTOFFATOM
Der Grundzustand (n, l, m) = (1, 0, 0) des Wasserstoffatoms wird durch die Wellenfunktion
1
ψ100 (r, θ, Φ) = √ 3/2 e−r/a0
πa0
beschrieben. a0 ist hierbei der Bohrsche Radius.
a) Berechnen Sie den mittleren Abstand r des Elektrons vom Kern.
π
2π
Hinweis: 0 dθ sin θ 0 dΦ = 4π.
b) Das Elektron befinde sich nun im Zustand (n, l) = (2, 1) und soll durch Einstrahlen von Licht
in den Zustand (n, l) = (3, 2) u¨ berf¨uhrt werden. Wie groß ist die Energie im jeweiligen Zustand
in Einheiten der Ionisierungsenergie? Geben Sie eine Formel zur Berechnung der einzustrahlenden Wellenl¨ange an?
c) Wie k¨onnen Sie den Drehimpulsvektor in beiden Zust¨anden charakterisieren?
d) Wir legen nun ein Magnetfeld in z-Richtung an. Wie a¨ ndert sich dadurch das Energieniveau
des jeweiligen Zustandes, ohne Ber¨ucksichtigung des Elektronenspins?
Aufgabe VIII Z WEIDIMENSIONALER O SZILLATOR
Wir betrachten ein Teilchen in einem zweidimensionalen Oszillatorpotenzial
9 Punkte
mω 2 2
(x + y 2 )
2
a) Wie lautet in diesem Fall die station¨are Schr¨odingergleichung?
V (x, y) =
b) Seien {ϕn } die L¨osungen des eindimensionalen Oszillators mit den Energie-Eigenwerten
1
E = ω(n + )
2
Zeigen Sie, dass dann die Produktfunktion ϕ nx ny (x, y) = ϕnx (x) · ϕny (y) L¨osung der station¨aren Schr¨odingergleichung ist, mit den Energien
En = Enx + Eny = ω(nx + ny + 1).
c) Wieviele Elektronenzust¨ande gibt es mit Energien E ≤ 4 ω?
d) Wie groß ist die Energie des ersten angeregten Zustands von 8 (wechselwirkungsfreien) Elektronen?
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Gesundheitswesen
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