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1. Was bedeutet „kanonisch“? 1.1. Definition nach [1] 1.2. Definition

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1. Was bedeutet „kanonisch“?
1.1. Definition nach [1]
Def. I:
Ein Begriff unter einer Anzahl gleichartiger Begriffe heißt kanonisch, wenn er eine besonders große Bedeutung und eine besonders durchsichtige Gestalt
hat.
1.2. Definition nach [3]
Def. II:
kanonisch, einer gegebenen Situation oder Problemstellung am besten angepasst
1.3. Definition nach [4]
Def.: III kanonisch, auf natürliche Weise logisch ausgezeichnet
-1-
2. Probleme mit der „kanoni2
schen“ Basis des R
2.1. These
( )
( )
  1   0 
2 ist in keiner
2 2 des
B :=    ,    ∈
0
1
   
  0 1 
2 logisch aus2 2 des
Weise gegenüber der Basis    ,    ∈
 1   0 
Die Standardbasis
gezeichnet. B ist im Sinne der Definitionen I, II und III
nicht „kanonisch“, sondern willkürlich.
2.2. Ein Einwand?
 1  0 
  0  1 
Es gilt aber doch det    ,    = 1 ≠ −1 = det    ,    ?
 0  1 
  1  0 
-2-
2.3. Lösung
Die Definition von det (…) ist auch nicht „kanonisch“, sondern
willkürlich. Es gilt:
 a1,1

det 
 an,1

a
1,n 
 =
∑

π∈S ( n )
an,n 


 n

 sgn ( π )  ∏ a

i,π (i )  


i = 1


Die Willkür in dieser Definition ist die Richtung, in der die
Matrix gelesen wird. Es wäre genauso möglich, eine andere Determinante det (…) wie folgt zu definieren:
 an,1

det 
 a
 1,1
an n 
, 
 :=
∑

π∈
S(n )
a1,n 


 n

 sgn ( π )  ∏ a

i,π (i )  


i = 1


Mit dieser det (…) gilt dann nämlich:
 1  0 
  0  1 
det    ,    = −1 ≠ 1 = det    ,   
 0  1 
  1  0 
Die These 2.1. wird also bestätigt.
-3-
2.4. Ein Versuch
Man
könnte
Basis des
∀v, w ∈
auf
die
Idee
kommen,
den
Begriff
„„kanonische“
2 “ wie folgt zu definieren:
2
(
 (v, w ) ist die kanonische Basis des



1 
0  

=
∧
=
v
w






 1   

0 
 


2
)
:⇔ 





Aber das ist willkürlich, denn man könnte genauso gut den Begriff „„kanonische“ Basis des 2 “ anders definieren:
∀v, w ∈
2
(
 (v, w ) ist die kanonische Basis des



0 
1  

=
∧
=
v
w






 0   

1 
 


2
)
:⇔ 





Das Einzige, dass möglich ist, ist den Begriff der „StandardBasis des 2 “ zu definieren:
∀v, w ∈
2
(
 (v, w ) ist die Standard-Basis des



1 
0  

=
∧
=
v
w




0
 1   

 
 


2
)
:⇔ 





2 “ ist nicht „kanonisch“, sondern
Die „Standard-Basis des
willkürlich definiert. Mit anderen Worten:
Die Wahl der „Standard-Basis des
zwingend.
-4-
2 “ ist günstig, aber nicht
3.1. Das neutrale Element einer
Gruppe G mit #G ≥ 2 ist
nicht „kanonisch“
Sei G eine Menge mit # G ≥ 2 und sei (G; ⋅) eine Gruppe mit neutralem Element e ∈ G . Es wird gezeigt werden, dass jedes ϑ ∈ G
Anlass gibt zu einer Gruppe (G; ) , die mit (G; ⋅) verwandt ist
und deren neutrales Element ϑ ist.
Sei also ϑ ∈ G und
∀a, b ∈ G
:
G × G → G definiert durch
b := a ⋅ ϑ−1 ⋅ b
a
(*)
Sei weiterhin die Abbildung ϕ :
∀a ∈ G
G → G definiert durch
ϕ (a) := ϑ ⋅ a−1 ⋅ ϑ
(**)
Aus (*) und (**) folgt dann offenbar:
(b
c ) = (a
∀a, b, c ∈ G
a
∀a ∈ G
a
ϑ = a = ϑ
∀a ∈ G
a
ϕ ( a ) = ϑ = ϕ (a )
b)
c
(1)
a
(2)
a
(3)
Damit ist offenbar gezeigt, dass (G; ) eine Gruppe mit neutralem Element ϑ ist. Ausserdem ist ϕ : G → G die Inversenbildung von (G; ) . Schliesslich gilt es, die Verwandschaft von
(G; ) und (G; ⋅) aufzuzeigen. Es gilt nämlich:
∀a, b ∈ G
a⋅ b = a
ϕ (e )
b
(4)
Fazit:
Wegen # G ≥ 2 ist das neutrale Element e ∈ G
„kanonisch“.
-5-
von
(G; ⋅) nicht
3.2. Das erzeugende Element einer zyklischen Gruppe G
mit #G ≥ 2 ist nicht
„kanonisch“
Sei G eine Menge mit # G ≥ 2 und sei (G; ⋅) eine zyklische
Gruppe mit erzeugendem Element ω ∈ G . Es wird gezeigt werden,
dass jedes g ∈ G Anlass gibt zu einer zyklischen Gruppe (G; ) ,
die mit (G; ⋅) verwandt ist und von der g ein erzeugendes Element ist.
Sei also g ∈ G . Dann existiert k ∈ {1, … ,# G } mit
g = ωk
(1)
Wir definieren dann l ∈ {0, … ,# G − 1} und ϑ ∈ G durch
l = k −1
Sei
:
und
ϑ = ωl
(2)
G × G → G definiert wie in 3.1.(*), d. h.
∀a, b ∈ G
a
b := a ⋅ ϑ−1 ⋅ b
(3)
Dann gilt nach 3.1.(1) – 3.1.(3):
(G; ) ist eine Gruppe mit neutralem Element ϑ
-6-
(4)
Dabei gilt nach (1), (2) und (3):
∀m ∈ {1, … ,# G }
m
g = g m ϑ− ( m − 1) = ωmk − ( m − 1)l
i =1
(5)
Dann bleibt nur noch zu zeigen, daß (G; ) eine zyklische Gruppe ist und daß g ∈ G ein erzeugendes Element von (G; ) ist.
Dazu genügt es wegen (4) zu zeigen, daß gilt:
∀n ∈ {1, … ,# G}
n

ϑ =
g


i =1
⇒

n = #G


(6)
Beweis von (6):
Sei n ∈ {1, … ,# G } mit ϑ =
n
g . Wegen (2), und (5) folgt dann:
i =1
ωl = ϑ = ωnk − ( n − 1)l = ωnk − nl + l
Sei nun e ∈ G
(2):
das neutrale Element von
(G; ⋅) . Dann folgt mit
e = ωl ω# G − l = ωnk − nl + l + # G − l = ωnk − nl = ωn ( k −l ) = ωn
Da ω ∈ G ein erzeugedes Element von
lich:
(G; ⋅) ist, folgt schließ-
n = #G
Fazit:
Wegen 3.1.(4) und # G ≥ 2 ist das erzeugende Element ω ∈ G von
(G; ⋅) nicht „kanonisch“.
-7-
4. Dualräume
4.1. Benötigte Definitionen
Def.:
Sei n ∈ + .
Sei V ein n -dimensionaler
1.
-Vektorraum.
Wir definieren dann
V * := {f : V →
:
f ist
-linear}
Offenbar gilt:
V * ist ein n -dimensionaler
-Vektorraum
V * heißt der Dualraum von V .
2.
Sei …
eine Norm auf V .
Wir definieren dann eine Norm …
∀f ∈ V *
f
 f ( x )
:= sup 
:
*
 x
*
auf V * durch
x ∈ V
= sup{ f ( x ) : x ∈V ∧
…
*
norm.
heißt die von …
-8-
∧

x ≠ 0

x = 1}
auf V * induzierte Operator-
3.
Sei < … ; … > ein Skalarprodukt auf V . Wir definieren
dann
eine
-lineare
Abbildung
*
Θ <… … >
V → V durch
; ,V :
∀x ∈ V
Θ<
…;… >,V
( x ) :=< x; … >
Durch < … ; … > wird eine Norm
Dabei gilt:
∀x ∈ V
x =
…
auf V induziert.
< x; x >
und
(
(V, … ) → V *, … *
…;… >,V :
ist eine
-lineare Isometrie von
normierten
-Vektorräumen
Θ<
4.
Nach
…
1.
**
=
und
( … * )*
2.
sind
dann
)
( )
V ** = V *
*
und
ebenfalls definiert.
V ** heißt der Bidualraum von V .
5.
Wir definieren eine Abbildung Q :
V
∀x ∈ V Q
V
V → V ** durch
 * →
V
( x ) := 
f


f ( x ) 
∈V **
Dann gilt nach [2]:
QV :
V → V ** ist
-linear und bijektiv
Außerdem gilt nach [2] für jede Norm …
(
QV : (V, … ) → V **, …
**
Isometrie von normierten
-9-
)
ist eine
auf V :
-lineare
-Vektorräumen
4.2. Hauptsatz I
Hauptsatz:
Vor.:
Sei < … ; … > ein Skalarprodukt auf 2 .
Sei … die durch < … ; … > auf 2 induzierte Norm.
Sei
Θ:
(
2, …
) →  ( 2)
*

eine

*
-Vektorräumen.
,…
-lineare
Isometrie von normierten
2 →
2 * eine Abbildung.
Sei Φ :
( )
Beh.:
(
)
( )

2, … →  2 * , …  
Φ :

 
* 


 ist eine -lineare Isometrie 
⇔


 von normierten -Vektorräumen 





 Es existiert eine

 -lineare Isometrie
*

2 : 
Φ ∈ f : 2 →

2, … →
2, …

g :



 mit f = Θ g
( )
(
-10-
) (
)


 


 
 
Es gilt:
)
(
( )


2, … →  2 * , …  ist eine
:
Θ



2
*
 <…;… >,


 -lineare Isometrie von normierten -Vektorräumen 


und
(
)
( )


2, … →  2 * , …  ist eine 
:
  −Θ




*
< …;… >, 2 




 -lineare Isometrie von normierten -Vektorräumen 


und




 −Θ
 = Θ

2
2
< …;… >,


 < …;… >,



 −id 2 






=
−Θ
Θ



2
<…;… >, 2 
 <…;… >,




 −id 2 


und
und
Θ
≠ −Θ
<…;… >, 2
<…;… >, 2
Damit ist klar:
Θ
ist nicht „kanonisch“
<…;… >, 2
-11-
4.3. Hauptsatz II
Hauptsatz:
Vor.:
Beh.:
Sei Φ :
2 →
( 2)
**
eine Abbildung.
 Für jede Norm … auf 2 gilt:




**


2, … →
2
,…
Φ :

 
**  


 ist eine -lineare Isometrie



 von normierten -Vektorräumen 


(
)
( )


Φ ∈ Q 2 , −Q 2 


Bew.:
ausgelassen
-12-
⇔
Es gilt:
 Für jede Norm … auf 2 gilt:



2, … →  2 ** , …
Q 2 :

 ist eine
** 


 Isometrie von normierten -Vektorräumen


)
(
( )



-lineare 




und
 Für jede Norm … auf 2 gilt:




2, … →  2 ** , …
  −Q 2  :

 ist eine
** 



 Isometrie von normierten -Vektorräumen


(
)
( )
und




 −Q 2  =  Q 2 






 −id 2 






 Q 2  =  −Q 2 






 −id 2 


und
und
Q 2 ≠ −Q 2
Damit ist klar:
Q 2 ist nicht „kanonisch“
-13-



-lineare 




5. Literaturverzeichnis
[1] „Der große Brockhaus“ (16. Auflage)
F. A. Brockhaus Wiesbaden 1955
[2] Graduate Texts in Mathematics 96
John B. Conway, „A Course in Functional Analysis“
Second Edition
Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York
[3] „Lexikon der Mathematik“
Spektrum Akademischer Verlag GmbH Heidelberg 2001
[4] Vorlesungen über Mathematik 1987 – 1993
Universität zu Köln
-14-
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