close

Anmelden

Neues Passwort anfordern?

Anmeldung mit OpenID

2006-10-24 - SWT TU Berlin

EinbettenHerunterladen
Objektorientierte Modellierung und Simulation
technischer Systeme
Vertiefungsveranstaltung im Studiengebiet SSG
WS2006/2007
André Nordwig, Christoph Nytsch-Geusen
Was machen wir heute?
• Mathematische Grundlagen:
• Zustandsraumdarstellung
• Diskretisierung u. Integrationsverfahren
• Qualitätskriterien
• Adaptive Verfahren
24.10.2006
2
1
Zustandsraumdarstellung
• für nichtlineare zeitkontinuierliche zeitinvariante Modelle (NTI) - DGLSystem:
z& (t ) = f ( z (t ), e(t ), p )
a (t ) =g ( z (t ), e(t ), p )
z (t0 ) =z ( 0 )
• Frage: Wie lassen sich die Trajektorien „berechnen“?
• Analytisch? - Klappt nur bei einigen Modellen...
• Computersimulation → Überführung in ein zeitdiskretes Modell
nötig!
24.10.2006
3
Diskretisierung
• Überführung in ein Modell mit endlich vielen Rechenoperationen
• Ziel: Anzahl der Rechenschritte so klein wie möglich halten
• Aber: Ergebnisse so genau wie möglich approximieren (numerische
Fehler!)
• Mittel: Integrationsverfahren
• Verfahren haben unterschiedliche Vor- und Nachteile
24.10.2006
4
2
Diskretisierung - explizit
• Naheliegend: Approximation von z´ durch
Differenzenquotienten:
z (t + ε ) − z (t ) z (t + h) − z (t )
≈
h
ε
mit Stützstelle t ( k ) und z(t ( k ) ) =z ( k ) :
z& = lim
ε →0
z&(t ( k ) ) =
z ( k +1) − z ( k )
h
• explizites Eulerverfahren (EE)
z ( k +1) = z ( k ) + h f ( z ( k ) , e ( k ) , p )
24.10.2006
5
Diskretisierung - implizit (1)
• backward differentiation formula (BDF)
z& = lim
ε →0
z (t ) − z (t − ε ) z (t ) − z (t − h)
≈
ε
h
• implizites Eulerverfahren (EI)
z ( k +1) = z ( k ) + h f ( z ( k +1) , e( k +1) , p )
• Anwendung ist rel. kompliziert:
• in jedem Schritt ein Gleichungssystem lösen:
F ( x) = 0
F ( x) = x − h f ( x, e ( k +1) , p ) − z ( k ) mit x = z (k +1)
24.10.2006
6
3
Diskretisierung - implizit (2)
• meist nicht geschl. lösbar → iterative Näherung durch
Newton/Rhapson Verfahren
F ( x) = 0
x ( n +1) = x ( n ) − F´(x ( n ) ) −1 F ( x ( n ) )
hier :
∂f
F´(x) = I − h ( x, e( k +1) , p )
∂z
• Startwerte (z.B. x(0) = z(k)) und Abbruchkriterium nötig
24.10.2006
7
Diskretisierung - implizit (3)
• Genaue Berechung der Jacobimatrix aufwendig→ Approximation der
partiellen Ableitungen:
 ∂f1
 ∂z
∂f  1
= M
∂z  ∂f n

 ∂z1

∂f1 
∂z n 

O M 
∂f n 
K
∂z n 

K
f i (..., z j + ε , e, p ) − f i (..., z j − ε , e, p)
∂f i
≈
∂z j
2ε
• linearisiert implizite Darstellung:
−1
∂f


z ( k +1) = z ( k ) + h I − h ( z ( k ) , e ( k +1) , p)  f ( z ( k ) , e ( k +1) , p )
∂z


24.10.2006
8
4
Diskretisierung – halbimplizit (1)
• Mechanisches System (2. Ordnung)
• Modell:
&x& = f ( x, x& , e, p )
 x  x
z =  = 
 x&   v 
x& = v
v& = f ( x, v, e, p )
• halbimplizites Eulerverfahren (EHI)
x ( k +1) = x ( k ) + hv ( k )
v ( k +1) = v ( k ) + hf ( x ( k +1) , v ( k ) , e( k +1) , p)
24.10.2006
9
Diskretisierung – halbimplizit (2)
• Codierung:
Explizites Eulerverfahren:
t=t+h;
x_alt=x;
x=x+h*v;
v=v+h*f(x_alt,v,e(t),p)
24.10.2006
Halbimplizites
Eulerverfahren:
t=t+h;
x=x+h*v;
v=v+h*f(x,v,e(t),p)
10
5
Vergleich: Einmassenschwinger
Modell:
x = s − s0
m&x& + dx& + cx = F
x& = v
c
d
1
v& = − x − v + F
m
m
m
24.10.2006
c : Steifigkeit
d : Dämpfung
F : Kraft
11
Einmassenschwinger - expl. Euler
Abhängigkeit von der Schrittweite
(m=1, c=30, d=0, x0=1,v0=0, F=0)
24.10.2006
12
6
Einmassenschwinger - impl. Euler
Abhängigkeit von der Schrittweite
(m=1, c=30, d=0, x0=1,v0=0)
24.10.2006
13
Einmassenschwinger(3)
Vergleich der Eulerverfahren
24.10.2006
14
7
Einmassenschwinger(4)
Vergleich Gesamtenergie (Euler)
24.10.2006
15
Vergleich explizit vs. implizit
• Schluss:
• explizite Verfahren führen auf zu schwach gedämpfte Lösungen,
• implizite Verfahren auf zu stark gedämpfte
24.10.2006
16
8
Numerische Integration
• kompliziertere Verfahren aber
• genauere Diskretisierungen möglich!
• Ansatz:
&
z = f ( z , e, p )
t
z (t ) =z (t k ) + ∫ f ( z (τ ), e(τ ), p )dτ
tk
z
( k +1)
=z
(k )
+
t k +1
∫ f ( z (τ ), e(τ ), p)dτ
tk
• Numerische Approximation durch Quadraturformeln
• Integrand wird ersetzt durch Polynom (Interpolation)
24.10.2006
17
Rechteckregel
• bereits bekannt: EE
t k +1
∫ f ( z (τ ), e(τ ), p)dτ ≈ hf ( z
(k )
, e ( k ) , p)
tk
24.10.2006
18
9
Mittelpunktregel
• modifiziertes Eulerverfahren (EM-I)
t k +1
∫ f ( z (τ ), e(τ ), p)dτ ≈ hf ( z
( k +1 / 2 )
, e ( k +1/ 2 ) , p )
tk
24.10.2006
19
Trapezregel
• implizite Trapezregel (TR)
t k +1
∫ f ( z(τ ), e(τ ), p)dτ ≈
tk
(
h
f ( z ( k ) , e( k ) , p ) + f ( z ( k +1) , e ( k +1) , p )
2
24.10.2006
)
20
10
Simpsonregel
• verschiedene Runge-Kutta-Verfahren (RK)
t k +1
∫ f ( z (τ ), e(τ ), p)dτ ≈
tk

 f ( z ( k ) , e( k ) , p) +

h
 4 f ( z ( k +1/ 2 ) , e( k +1/ 2 ) , p ) + 
6


 f ( z ( k +1) , e ( k +1) , p)


24.10.2006
21
Bsp. explizites RK4
q1 = f ( z ( k ) , e ( k ) , p )
h
q2 = f ( z ( k ) + q1 , e ( k +1/ 2 ) , p )
2
h
q3 = f ( z ( k ) + q2 , e ( k +1/ 2 ) , p )
2
(k )
q4 = f ( z + hq3 , e ( k +1) , p )
z ( k +1) = z ( k ) +
24.10.2006
h
(q1 + 2q2 + 2q3 + q4 )
6
22
11
Rechenaufwand - explizit vs implizit
• Wenn O - Aufwand pro Zeitschritt
• explizite Verfahren:
• O ~ Anzahl der Funktionsauswertungen
• implizite Verfahren:
• O etwa const., wegen Jacobi-Matrix
• O(implizit) >> O(explizit)
• implizite Verfahren nur sinnvoll bei großen Schrittweiten!
24.10.2006
23
Mehrschrittverfahren
• bisher: x(n+1) = f(x(n)) (Einschrittverfahren)
• nun: ältere Zustandswerte können mitbetrachtet werden
(Mehrschrittverfahren)
explizit: Adams-Bashforth
z ( k +1) =z ( k − m ) +
t k +1
∫ f ( z (τ ), e(τ ), p)dτ
t k −m
24.10.2006
Mischformen
implizit: Adams-Moulton
24
12
Beispiel
• AB3-Verfahren:
z ( k +1)
 23 f ( z ( k ) , e ( k ) , p ) − 

h
= z ( k ) + 16 f ( z ( k −1) , e ( k −1) , p) + 
12 

 5 f ( z ( k −2) , e( k −2) , p) 


• Anmerkung: Startphase
24.10.2006
25
Bewertungskriterien
•
•
•
•
num. Stabilität, Steife
Genauigkeit
Rechenaufwand
Robustheit
24.10.2006
26
13
numerische Stabilität
• Ein IV heißt num. stabil für ein gegebenes math. Modell, gegebenes
h, z0, und e(t)=const., falls jede Komponente der num. Lösung z(k)
gegen einen festen Wert strebt.
• Für LTI gut erforscht: Stabilitätsgebiete S
IV stabil für A, falls ∀λ ∈ Eigenwerte( A) : hλ ∈ S
(A - Systemmatrix eines LTI)
• Recht universell: impl. Trapezregel
• NTI: Keine allg.-gültige Aussage möglich → Experiment
24.10.2006
27
Einige Stabilitätsgebiete
24.10.2006
28
14
Steife Systeme
• ...Systeme, die gleichzeitig Komponenten mit sehr „schneller“ und
sehr „langsamer“ Dynamik aufweisen.
• Steifigkeitsindex LTI:
κ=
λmax
λmin
≥ 1000
• Bsp.: Kompletter UKW-Receiver incl. Boxen (20Hz-100MHz),
Crashsimulation
• meist implizite Verfahren, aber hoher Rechenaufwand bei kleinen
Schrittweiten!
24.10.2006
29
Genauigkeit (1) - hängt ab von...
•
•
•
•
•
•
Gleichungen des math. Modells
Parametern des Modells
Integrator
Schrittweite
Anfangswerte der Zustände
Eingangsgrößen
24.10.2006
30
15
Genauigkeit (2)
• numerischer Fehler - „Abstand“ zur exakten Lösung:
f num = max z ( k ) − z exakt (t k )
k
• Ursache: Fortpflanzung des Diskretisierungsfehlers
• Allgemeingültige Abschätzung schwierig
• Bei Verfahren der Ordnung d gilt:
(Einschränkung: Diff.-barkeit von e und f!)
f num ≤ ch d
• Wichtig: sinnvolle Genauigkeit wählen!
• Rundungsfehler!
24.10.2006
31
Adaptive Verfahren
• bisher h=const.
• u.U. besser: Schrittweitensteuerung:
• h vergrößern, falls sich e,z nur „wenig“ ändern und „bisherige“
Genauigkeit ausreichend war
• sonst h verkleinern
• Notwendigkeit: Genauigkeit schätzen
• Vergleich mit gleichem IV kleinerer Schrittweite
• Vergleich mit genauerem/gröberen IV (RK57)
• Nachteile/Probleme:
Robustheit, HIL-Tauglichkeit, Overhead
24.10.2006
32
16
Zusammenfassung
• verschiedene Verfahren
• Klassifizierung der Verfahren
• „Berechnungsaufwand“:
• explizite Verfahren
• implizite Verfahren
• Mischformen
• Quadraturformel
• Größe des „Gedächtnisses“
• Problemspezifische „Güte“
24.10.2006
33
17
Document
Kategorie
Gesundheitswesen
Seitenansichten
5
Dateigröße
1 022 KB
Tags
1/--Seiten
melden