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7 Heteroskedastie 7.1 Was ist Heteroskedastie?

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Kapitel 7: Heteroskedastie
7 Heteroskedastie
7.1 Was ist Heteroskedastie?
• Im
zweiten
Kapitel
wurde
der
Zusammenhang
zwischen
den
durchschnittlichen
Lebensmittelausgaben E(y) und dem Haushaltseinkommen x erklärt durch die lineare Funktion
E(y) = β1 + β2 x
(7.1.1)
• Unser bisheriges ökonometrisches Modell, das die Lebensmittelausgaben für einen Haushalt i
beschreibt, lautet:
yi = β1 + β2 x i + ei
(7.1.2)
wobei der Fehlerterm e alle Faktoren außer dem Einkommen auffängt, die einen Einfluss auf die
Lebensmittelausgaben haben.
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1
Kapitel 7: Heteroskedastie
Quelle: Hill, Griffiths, Lim (2008), S.199
• Bisherige Annahme (MR.3!): Homoskedastie, d.h. eine konstante Varianz:
var ( ei ) = σ2
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(7.1.3)
2
Kapitel 7: Heteroskedastie
• Wenn die Varianz in Abhängigkeit von den erklärenden Variablen variiert, spricht man von
Heteroskedastie. Dies kann dementsprechend durch eine Funktion in Abhängigkeit von x beschrieben
werden:
var(e i ) = σ i2 = h ( x i )
(7.1.4)
7.2 Die Standardfehler des KQ-Schätzers bei Heteroskedastie
• Wir betrachten das einfache Regressionsmodell
yi = β1 + β2 x i + ei
(7.2.1)
• In Kapitel 2 wurde gezeigt, dass bei Homoskedastie die Varianz von b2 gegeben ist durch:
σ2
var(b 2 ) =
∑ (x i − x)2
(7.2.2)
• Bei Heteroskedastie:
N
var(b 2 ) = ∑ w i2 σ i2
i =1
[(x − x ) σ ]
∑
=
[∑ (x − x) ]
N
2
i =1
N
i =1
2
i
i
2
2
(7.2.3)
i
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3
Kapitel 7: Heteroskedastie
wobei w i =
(x i − x)
.
∑ (x i − x) 2
Whites heteroskedastie-konsistente (auch „robust“ genannte) Standardfehler
• Der White-Varianz-Schätzer für b2 im einfachen Regressionsmodell lautet:
var(b 2 ) = ∑ w eˆ
2 2
i i
[
(x − x ) eˆ ]
∑
=
[∑ (x − x ) ]
2
2
i
2 2
i
(7.2.4)
i
7.3 Verallgemeinerte Methode der Kleinsten Quadrate: Ein unverzerrter Schätzer mit
der niedrigsten Varianz
7.3.1 Eigenschaften des KQ-Schätzers bei Heteroskedastie
• Betrachten wir weiterhin das Modell
y i = β1 + β 2 x i + e i
(7.3.1)
2
mit E(e i ) = 0, var(e i ) = σ i , cov(e i , e j ) = 0 .
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4
Kapitel 7: Heteroskedastie
• Auch bei Heteroskedastie ist der KQ-Schätzer unverzerrt:
E(b 2 ) = E(β2 ) + E(∑ w iei )
= β 2 + ∑ w i E (e i ) = β 2
7.3.2 Der VKQ-Schätzer unter der Annahme einer speziellen Form der Varianz
• Beim Lebensmittel-Beispiel steigt die Varianz mit dem Einkommen an. Eine mögliche Form der
Varianz könnte deshalb sein:
var ( ei ) =σi2 =σ2 x i
(7.3.2)
• Transformation des Modells, indem man Gleichung (7.3.1) durch x i teilt:
yi
1
x
e
= β1
+ β2 i + i
xi
xi
xi
xi
(7.3.3)
• Wir definieren die transformierten Variablen:
y *i =
yi
xi
, x *i1 =
1
xi
, x *i 2 =
xi
xi
, e *i =
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ei
xi
(7.3.4)
5
Kapitel 7: Heteroskedastie
• Damit kann (7.3.3) umgeschrieben werden, zu:
y *i = β1 x *i1 + β 2 x *i 2 + e *i
(7.3.5)
*
• Vorteil: Der Fehlerterm ei im Modell (7.3.5) ist homoskedastisch, denn:
 e  1
1
var(e*i ) = var i  = var(ei ) = σ 2 x i = σ 2
 x  xi
xi
 i
(7.3.6)
• Der Verallgemeinerte KQ-Schätzer wird auch als gewichteter Schätzer bezeichnet (weighted least
squares estimator), da hierbei folgender Ausdruck minimiert wird:
2
N
e
*2
i
ei ∑
=
= ∑ x i−1/ 2 ei
∑
xi i 1
=i 1 =i 1 =
N
N
(
)
2
(7.3.7)
• D.h. die Fehlerterme werden mit 1 x gewichtet.
i
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7.3.3 Der VKQ-Schätzer bei Schätzung der Varianz-Funktion
• Eine allgemeine Spezifikation lautet:
var ( ei ) =σi2 =σ2 x iγ
(7.3.8)
wobei γ ein unbekannter Parameter ist, der eine spezifische Form der Heteroskedastie beschreibt.
• Um homoskedastische Fehler zu erhalten, muss man das Modell durch xγ/2 teilen, da
 e  1
1
var(e*i ) = var γ i/ 2  = γ var(ei ) = γ σ 2 x iγ = σ 2
xi
 xi  xi
2
• Regressionsfunktion mit ln ( σi ) als abhängige Variable:
( )
ln σi2 = α1 + α 2 zi
(7.3.9)
2
wobei α 1 = ln(σ ), α 2 = γ, z i = ln(x i ) .
ln(eˆ i2 ) = ln(σ i2 ) + ν i = α1 + α 2 z i + ν i
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(7.3.10)
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Kapitel 7: Heteroskedastie
Beispiel Lebensmittelausgaben
exp_tr
Coef.
inc_tr
const_tr
10.63349
76.05379
Std. Err.
.9715143
9.713491
t
10.95
7.83
P>|t|
[95% Conf. Interval]
0.000
0.000
8.666764
56.38986
12.60022
95.71772
Quelle: Eigene Berechnung
7.4 Heteroskedastie aufdecken
7.4.1 Grafische Analyse der Residuen
• Eine Möglichkeit Heteroskedastie zu entdecken ist, das betrachtete Modell mittels KQ zu schätzen
und die daraus resultierenden Residuen grafisch darzustellen.
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Beispiel: Aufgabe 8.4 (Ferien-Reisedistanz in Abhängigkeit vom Einkommen)
Quelle: Eigene Berechnung
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Kapitel 7: Heteroskedastie
Beispiel Lebensmittelausgaben
Quelle: Hill, Griffiths, Lim (2008), S. 200
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Kapitel 7: Heteroskedastie
7.4.2 Der Goldfeld-Quandt Test
• Bei diesem Test wird die Stichprobe in zwei Gruppen aufgeteilt und die Schätzung separat für diese
beiden Unterstichproben durchgeführt. Daraufhin werden die Varianzen miteinander verglichen.
Idee: Wenn die Fehler homoskedastisch sind, dürften sich die Varianzen nicht signifikant
voneinander unterscheiden.
Beispiel: Lohnschätzung (cps1.dta)
• Stundenlohn in Abhängigkeit von Bildung, Berufserfahrung und Wohnort:
WAGE i = β1 + β 2 EDUC i + β 3 EXPER i + β 4 METRO i + e i
• WAGE beschreibt den Stundenlohn; EDUC die Anzahl der Jahre, die man in Bildung investiert hat;
EXPER die Berufserfahrung in Jahren; METRO ist ein Dummy, der den Wert Eins annimmt, wenn
die beobachtete Person i in einer Großstadt lebt.
• Das Schätzergebnis lautet:
ˆ GE = −9,914 + 1,234EDUC + 0,133EXPER + 1,524METRO
WA
(se)
(1,08)
(0,070)
(0,015)
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(0,431)
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7.4.3 Der Breusch-Pagan Test
• Der Breusch-Pagan Test überprüft auf mögliche Heteroskedastie mithilfe der Varianzfunktion.
• Wir betrachten das Modell
y i = E( y i ) + e i = β1 + β 2 x i 2 +  + β K x iK + e i
(7.4.1)
• Eine allgemeine Form der Varianzfunktion ist:
var( y i ) = σ i2 = E(e i2 ) = h (α1 + α 2 z i 2 +  + α S z iS )
(7.4.2)
• Wir beschränken uns aber im Folgenden auf die Betrachtung einer einfachen linearen Funktion:
h (α1 + α 2 z i 2 +  α S z iS ) = α1 + α 2 z i 2 +  + α S z iS
(7.4.3)
7.4.4 Der White Test
• Der White Test ist eine spezielle Form des Breusch-Pagan Tests. Man setzt hierbei für die zis die
Variablen xik ein, die quadrierten Terme von xik und Interaktionsterme der einzelnen erklärenden
Variablen.
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