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1 Was ist die durchschnittliche und was ist die momentane

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Heidler
25 Von der Änderungsrate zum Bestand - Integral
Blatt Ableitungen 1
1 Was ist die durchschnittliche und was ist die momentane Änderungsrate (ÄRate)?
Bestandsart
Bestand B(t)
t-Wert, Zeit, ...
Durchs. ÄRate:
B(t2)-B(t1)
t 2 – t1
Moment.
ÄRate:
Grenzwert für
t2 t1
a) Weg
b1=5 km
t1=2 h
b)Wasser
c) Gewinn/Stückzahl
b2=5,5 km b1=50 l b2=60 l 2000 €
2800 €
14 000
t2=2,25 h t1=3 min t2=5 min 10 000
Zum Beispiel:
1,6 km/h
Zum Beispiel:
4,8 l/min
Zum Beispiel:
d) Zahlenwerte
y1=3
y2=4
x1=2
x2=2,5
Zum Beispiel:
150 €
1000 Stück
Zur Berechnung der durchschnittlichen Änderungsrate (Sekantensteigung, Differenzenquotient)
ms braucht man eine Bestandsfunktion B, die jedem Größenwert t (häufig der Zeit) in einem
bestimmten Bereich einen Bestand B(t) zuordnet, zwei t-Werte t1, t2 und die dazugehörigen
Bestände B(t1) und B(t2). Aus ihnen bildet man zwei Punkte
P(t1|B(t1)) und Q(t2|B(t2)).
Die durchschnittlichen Änderungsrate der Bestände im Intervall von t1 bis t2 ist die Änderung des
Bestandes B(t1) in den Bestand B(t2) im Verhältnis zur Änderung des t-Wertes t1 in den t-Wert t2:
ms =
B( t 2 ) − B( t1 )
t 2 − t1
(Durchschn. Änderunsgrate, auch Sekantensteigung, Differenzenquotient)
Um die momentane Änderungsrate beim t-Wert t1 zu berechnen, lässt man t2 gegen t1 streben und
versucht herauszufinden, ob die durchschnittliche Änderungsrate einen Grenzwert m∈R hat:
ms =
B ( t 2 ) − B ( t1 )
 → m ?
t 2 → t1
t 2 − t1
Wenn ein Grenzwert m existiert, heißt die Bestandsfunktion B an dieser Stelle t1 differenzierbar.
Der Grenzwert m ist dann die momentane Änderungsrate B’(t1) beim t-Wert t1:
B( t 2 ) − B( t 1 )
t 2 − t1
t 2 →t1
B' (t1 ) = lim
(momentane Änderungsrate, auch Tangentensteigung, Ableitung)
2 Was ist die Ableitung?
Um die Ableitung (momentane Änderungsrate) zu erklären, braucht man eine Funktion f und eine
Stelle x0∈Df. Man betrachtet dann den Punkt P(x0|f(x0)) und einen weiteren Punkt Q(x|f(x)) auf dem
Schaubild von f und versucht herauszufinden, was mit der Sekantensteigung
ms =
f (x ) − f (x0 )
(Sekantensteigung, auch: durchschnittliche Änderungsrate)
x − x0
passiert, wenn man x x0 streben lässt. Man prüft, ob die Sekantensteigung einen Grenzwert hat.
ms =
f ( x ) − f ( x0 )
 → m ?
x → x0
x − x0
f (x) − f (x 0 )
existiert (Grenzwert der Sekantensteigung).
x − x0
x→xo
Def.: f heißt differenzierbar in x0 ⇔ lim
Wenn ein Grenzwert m existiert, ist der Grenzwert m die Steigung der Tangente an das Schaubild
von f im Punkt P(x0|f(x0)). Die Tangentensteigung heißt Ableitung der Funktion f an der Stelle x0.
f (x) − f (x 0 )
(momentane ÄRate).
x − x0
x→xo
Def.: Die Ableitung von f an der Stelle x0 ist dann f’(x0) = lim
3 Verschiedene Bezeichnungen
Ergänze: Um die Ableitung einer Funktion f zu erklären, benötigt man ........ den Punkt
a) P(x1|f(x1)) und einen weiteren Punkt Q(x2|f(x2)) ...
b) P(x0|f(x0)) und einen weiteren Punkt Q(x|f(x)) ...
c) P(x0|f(x0)) und einen weiteren Punkt Q(x0+h | f(x0+h)) ...
d) P(x0|f(x0)) und einen weiteren Punkt Q(x0+∆x | f(x0+∆x)) ...
4 Ableitungen mit dem Differenzenquotienten berechnen
Berechnen Sie die Ableitung von f an einer beliebigen Stelle mit der Bezeichnung a [b, c, d] in 3.
a) f(x) = x²
b) f(x) = 1/x
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Heidler
25 Von der Änderungsrate zum Bestand - Integral
Blatt Ableitungen 2
5 Aus der Änderungsrate rekonstruierter Bestand.
In einem Wüstengebiet wird ein
Wasserreservoir von einem Fluss gespeist, der
in der meisten Zeit trocken liegt. Ein
Messgerät registriert laufend die
Änderungsrate A(t) des Wasserbestandes B(t)
als Schaubild.
Ein etwas vereinfachtes solches Schaubild ist
rechts gegeben. Am Anfang waren 100 000
Kubikmeter Wasser in dem Wasserreservoir.
a) Was gibt A an? Erläutern Sie das
Verhalten der Funktion A. Wie wirkt sich
das auf die Bestandsfunktion B aus?
Schätzen Sie den Wasserbestand nach 60
Stunden.
Skizzieren Sie ein Schaubild von B.
b) Eine Parabel zweiter Ordnung reicht zur
Beschreibung von A nicht aus.
Warum?
c) Das Schaubild von A soll durch eine
Gleichung der Form y=a(t-60)nt
beschrieben werden.
Erklären Sie diesen Ansatz.
Bestimmen Sie n und a.
d) Bestimmen Sie aus der Änderungsrate A
die Bestandsfunktion B.
e) Wie viel Kubikmeter befinden sich nach
60 Stunden im Reservoir?
6 Formel für die Bestandsfunktion
a) Gegeben ist die Bestandsfunktion B. Dann ist die
Änderunsgrate A(t) =
b) Gegeben sind die Änderungsrate A und B(t0) von der Bestandsfunktion B. Dann ist die
Bestandsfunktion B(t) =
7 Benzinverbrauch
Buch S. 134 Nr. 4
c)
Das Schaubild soll durch eine Funktion mit der Gleichung
y =
a
(t − b ) n
+c
dargestellt werden. Schätzen Sie c. Bestimmen Sie dann a und b für n=1 [n=2].
Berechnen Sie damit die Benzinmenge im Tank nach 15 km [t km] Fahrt, wenn dort
am Anfang noch 5 l waren.
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25 Von der Änderungsrate zum Bestand - Integral
Blatt Ableitungen 3
8 Wiederholung: Vom orientierten Flächeninhalt zur Integralformel
Definition des Integrals
b
∫a

der orientierte Flächeninh alt

n −1


f ( x ) dx = 
im Bereich von a bis b zwischen
 = lim ∑ f ( x i )∆x
dem Schaubild von f und der x - Achse  n → ∞ i = 0


Voraussetzung für Integrale
Die Randfunktion f ist im Bereich von a bis
b definiert und dabei wenigstens
stückweise stetig.
Speziell gilt von a bis a:
a
∫a f ( x ) dx = 0
Vertauschung der Grenzen:
b
a
∫b f ( x ) dx =- ∫a f ( x ) dx
Intervalladditivität:
b
c
c
∫a f ( x ) dx + ∫b f ( x ) dx = ∫a f ( x ) dx
gilt für beliebige a, b, c.
Die Integralfunktion: Ia(z) = ∫az f ( x ) dx .
Das Integral hat eine variable obere Grenze
Intervalladdition anders formuliert:
z + ∆z
z
z + ∆z
∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx
a
a
z
Für stetige Randfunktionen f:
z + ∆z
z
∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + f ( x 0 )·∆z
a
a
mit einem x0 zwischen z und z+∆z
In der Form der Euler-Cauchy-Formel:
Ia(z+∆z) =Ia(z) + f(x0)·∆z
mit einem x0 zwischen z und z+∆z.
(siehe Σ-Formel mit Grenzwert oben)
9 Hauptsatz der Differential und Integralrechnung
z
Ist die Randfunktion f überall stetig im Intervall J, so ist die Integralfunktion Ia mit Ia ( z ) = ∫ f ( x ) dx
a
differenzierbar. Ihre Ableitung nach der oberen Grenze z ist f (z), die Randfunktion f an der Stelle z.
z
Kurz: Für Ia ( z ) = ∫ f ( x ) dx ist Ia ' ( z ) = f ( z ) , das gilt für alle a, z aus J.
a
z
1
3
1
3
1
3
Beispiel: Ia ( z ) = ∫ x 2 dx = z3 − 13 = z3 −
1
1
3
3
3
(mit Σ-Formel). Für die Ableitung gilt Ia ' ( z ) = z 2
10 Die Gesamtheit aller Stammfunktionen in einem Intervall
Zwei Stammfunktionen F1 und F2 von f über demselben Intervall J unterscheiden sich nur um eine
additive Konstante. Es gibt also eine Zahl c, so dass für alle x aus J gilt: F2(x) = F1(x)+c.
11 Integralformel
Ist F irgendeine Stammfunktion der in [a, b] definierten, stetigen Funktion f, so gilt:
b
b
∫ f ( x ) dx = F (b ) − F (a ) = [F ( x )]a
a
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Heidler
25 Von der Änderungsrate zum Bestand - Integral
12 Rekonstruktion des Bestandes B aus der Änderungsrate A
Gegeben ist eine Funktion A als Änderungsrate
Gesucht ist die Bestandsfunktion B mit B(1)=2
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Blatt Ableitungen 4
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25 Von der Änderungsrate zum Bestand - Integral
Blatt Ableitungen 5
13 Rekonstruktion des Bestandes B aus der Änderungsrate A bzw Rekonstruktion von f aus f’
Gegeben ist die Änderungsrate A
Gegeben ist die Ableitung f’
Gesucht ist eine Bestandsfunktion B
mit dem Anfangswert y=1 bei x=1
Gesucht ist die Funktion f
mit dem Wert y=2 bei x=1
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25 Von der Änderungsrate zum Bestand - Integral
Blatt Ableitungen 6
14 Rekonstruktion des Bestandes B aus der Änderungsrate A bzw. der Stammfunktion F aus f
Gesucht ist eine Bestandsfunktion B
mit dem Wert y=-1 bei x=0
Gesucht ist eine Stammfunktion F
mit dem Wert y=-2 bei x=0
Gegeben ist eine Änderungsrate A
Gegeben ist eine Funktion f
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Heidler
25 Von der Änderungsrate zum Bestand - Integral
2004/2005
Klassenarbeit Nr. 2
Blatt Ableitungen 7
17.12.2004
Name: __________________
Der GTR ist zugelassen. Integrale müssen aber ohne den GTR berechnet werden.
Aufgabe 1
a) Gegeben ist die Funktion f mit f(x)=2-0,5x. Zeichnen Sie das Schaubild von f in ein
Koordinatensystem.
b) Berechnen Sie die Integralfunktion von f für die untere Grenze 0 und die obere Grenze
z. Zeichnen Sie das Schaubild der Integralfunktion in ein zweites Schaubild darunter.
Erklären Sie anschaulich den Verlauf der Integralfunktion mit dem Begriff „orientierter
Flächeninhalt“.
Aufgabe 2
Ein Motor kann in zwei Stufen betrieben werden. In der Stufe 1 verbraucht er 3 l Kraftstoff
pro Stunde, in der Stufe 2 sind es 5 l pro Stunde. Der Kraftstoffvorrat beträgt 85 l. Der
Motor wird zunächst 2 ½ Stunden in der Stufe 1, anschließend in der Stufe 2 betrieben.
a) Geben Sie eine abschnittsweise definierte Funktion f an, so dass f(t) den
Kraftstoffverbrauch (in l/h) nach der Zeit t (in h) angibt, unabhängig davon ob der
Kraftstoff reicht. Zeichnen Sie ein Schaubild von f im Bereich von 0 bis 7.
b) Berechnen Sie den Kraftstoffverbrauch in den ersten 6 Stunden mit einem Integral.
z
c) Berechnen Sie I0(z) =
∫ f (t ) dt für z >2 ½ mit geometrischen Überlegungen. Berechnen
0
Sie damit, wann der Kraftstofftank leer ist.
d) Berechnen Sie I0(z) für 0 ≤ z ≤ 2 ½ .
Zeichnen Sie das gesamte Schaubild von I0 im Bereich von 0 bis 7.
Aufgabe 3
Skizzieren Sie das Schaubild von f mit f(x) = -x3+7x2-4x-12.
Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die von f und der x-Achse unterhalb der x-Achse
eingeschlossen wird.
Aufgabe 4
z
Erklären Sie, wie man das Integral
∫x
3
dx mit Hilfe von Untersummen berechnet und
0
führen Sie die Rechnung durch.
Aufgabe 5
a) Erklären Sie an Hand des Ergebnisses von Aufgabe 4 den Hauptsatz der Differenzialund Integralrechnung.
Oder:
b) Erklären Sie anschaulich den Mittelwertsatz der Differenzialrechnung.
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