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FVM-BEM Kopplung - Was gewinnen wir, wenn wir zwei numerische

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FVM-BEM Kopplung
Dipl.-Ing. Christoph Erath | 10. November 2007
Was gewinnen wir, wenn wir zwei numerische
Methoden miteinander koppeln?
FVM-BEM Kopplung | 10. November 2007 | Dipl.-Ing. Christoph Erath
Überblick
• Modellbildung und Simulation
Institut für
Numerische Mathematik
Seite 2
• Numerische Mathematik, FVM und BEM
• FVM-BEM-Kopplung
• Konvergenz, Adaptivität
• Beispiele
Seite 3
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Modellbildung und Simulation
Reale Welt
Modellbildung und Simulation
Seite 3
FVM-BEM Kopplung | 10. November 2007 | Dipl.-Ing. Christoph Erath
Modellbildung und Simulation
Modellbildung und Simulation
Modellbildung
Reale Welt
Modellbildung
• Abbilden von Teilstücken der Realität
• Stellvertretend wird ein abstraktes Abbild untersucht
Seite 3
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Modellbildung und Simulation
Modellbildung und Simulation
Modellbildung
Reale Welt
(numerische)
Simulation
Modellbildung
• Abbilden von Teilstücken der Realität
• Stellvertretend wird ein abstraktes Abbild untersucht
Simulation
Simulation ist die Nachbildung eines dynamischen Prozesses in einem Modell,
um zu Erkenntnissen zu gelangen, die auf die Wirklichkeit übertragbar sind.
(VDI-Richtlinie 3633)
Seite 3
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Modellbildung und Simulation
Modellbildung und Simulation
Modellbildung
Reale Welt
Validierung
(numerische)
Simulation
Modellbildung
• Abbilden von Teilstücken der Realität
• Stellvertretend wird ein abstraktes Abbild untersucht
Simulation
Simulation ist die Nachbildung eines dynamischen Prozesses in einem Modell,
um zu Erkenntnissen zu gelangen, die auf die Wirklichkeit übertragbar sind.
(VDI-Richtlinie 3633)
Seite 4
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Modellbildung und Simulation
Vorteile der numerischen Simulation
• Wiederholbarkeit eines Experiments
z.B. Raumfahrt, Kernkraft, Bodenverunreinigung
• Skalierbarkeit eines Modells
z.B. Bodenverunreinigung (Zeit)
• Zerstörungsfreie Experimente auf verschiedenen Skalen
(virtuelle Meß- und Analysewerkzeuge)
• Geringere Entwicklungskosten
(weniger Prototypen und Entwicklungszyklen)
• ...
Seite 5
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Berücksichtigung von Fehlern
Realität, Experiment
Physikalisches Modell
Mathematisches Modell
Numerische Approximation
der Lösung
Modellbildung und Simulation
Seite 5
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Modellbildung und Simulation
Berücksichtigung von Fehlern
Realität, Experiment
Modellierungsfehler
Physikalisches Modell
Mathematisches Modell
Numerische Approximation
der Lösung
Seite 5
FVM-BEM Kopplung | 10. November 2007 | Dipl.-Ing. Christoph Erath
Modellbildung und Simulation
Berücksichtigung von Fehlern
Realität, Experiment
Modellierungsfehler
Physikalisches Modell
• Vernachlässigung
geometrischer Details
• Modellierung von Rand-
und Kontaktbedingungen
Mathematisches Modell
Numerische Approximation
der Lösung
Seite 5
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Modellbildung und Simulation
Berücksichtigung von Fehlern
Realität, Experiment
Modellierungsfehler
Physikalisches Modell
• Vernachlässigung
geometrischer Details
• Modellierung von Rand-
und Kontaktbedingungen
Mathematisches Modell
• Diskretisierungsfehler
• Datenfehler
• Rundungsfehler
Numerische Approximation
der Lösung
• Abbruchfehler
Seite 6
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Numerische Mathematik, FVM und BEM
Lösung von Differential- und Integralgleichungen
Mathematisches
Modell
Numerische
Approximation
der Lösung
Seite 6
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Numerische Mathematik, FVM und BEM
Lösung von Differential- und Integralgleichungen
Finite Volumen Methode
FVM
Mathematisches
Modell
Numerische
Approximation
der Lösung
Seite 6
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Numerische Mathematik, FVM und BEM
Lösung von Differential- und Integralgleichungen
Mathematisches
Modell
Numerische
Approximation
der Lösung
e
hod
Met
ente
lem
te E
FEM
Fini
Finite Volumen Methode
FVM
Seite 6
FVM-BEM Kopplung | 10. November 2007 | Dipl.-Ing. Christoph Erath
Numerische Mathematik, FVM und BEM
Lösung von Differential- und Integralgleichungen
Mathematisches
Modell
Numerische
Approximation
der Lösung
e
hod
Met
ente
lem
te E
FEM
Fini
Finite Volumen Methode
FVM
M
BE te
en
m
e
el
nd
a
R
de
ho
t
e
M
Seite 6
FVM-BEM Kopplung | 10. November 2007 | Dipl.-Ing. Christoph Erath
Numerische Mathematik, FVM und BEM
Lösung von Differential- und Integralgleichungen
Numerische
Approximation
der Lösung
Mathematisches
Modell
us
w.
e
hod
Met
ente
lem
te E
FEM
Fini
Finite Volumen Methode
FVM
M
BE te
en
m
e
el
nd
a
R
de
ho
t
e
M
Seite 7
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Numerische Mathematik, FVM und BEM
Finite Volumen Methode (cell-centered FVM)
Beispiel Poisson-Problem
Ω sei ein Gebiet und f die Kraftdichte. Finde die Auslenkung u so, daß
−∆u = f (x )
in Ω,
. . . beschreibt die Auslenkung einer eingespannten Membran unter der
äußeren Kraft-Einwirkung f .
• Diskretisierung erfolgt auf einem Gitter
Ω
Zerlegung in
Kontrollvolumina
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Numerische Mathematik, FVM und BEM
Fortsetzung FVM
• Bilanzgleichung von Flüssen für jedes Kontrollvolumen
Für alle Kontrollvolumen T :
∆u dx = −
−
∂T
T
• Approximiere den Fluß
∂u
∂T ∂n
∂u
=
∂n
f dx
T
T
durch einen diskreten Fluß
• Diskrete Lösung ist stückweise konstant (auf jedem Volumina),
Approximation z.B. im Schwerpunkt
⇒ Lösen eines linearen Gleichungssystems
Seite 9
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Numerische Mathematik, FVM und BEM
Vorteile der FVM
• Konservierung bestimmter Gesetzmäßigkeiten des kontinuierlichen
Problems, z.B. Erhaltungssätze, Maximumprinzipien
T1
T2
• Flexibilität in Bezug auf die Gebietsgeometrie
• Zulässigkeit unstrukturierter Gitter → Adaptivität
• keine Beschränkung in der Dimension des Grundgebietes Ω
Aber: schwierige mathematische Analyse!
Anwendung: hauptsächlich in der Strömungsmechanik!
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Numerische Mathematik, FVM und BEM
Randelemente Methode (BEM)
• Diskretisierung erfolgt auf dem Rand Γ = ∂Ω des Gebiets Ω
Ω
Zerlegung des
Randes
• Darstellung der Lösung über eine Fundamentallösung
Seite 10
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Numerische Mathematik, FVM und BEM
Randelemente Methode (BEM)
• Diskretisierung erfolgt auf dem Rand Γ = ∂Ω des Gebiets Ω
Zerlegung des
Ω
Randes
• Darstellung der Lösung über eine Fundamentallösung
Die Darstellungsformel für das Poisson-Problem lautet:
u(x ) =
1
2π
f (y ) log |x − y | dy −
Ω
1
+
2π
1
2π
∂y
u(y )
log |x − y | dsy
∂ny
Γ
Γ
∂u
(y ) log |x − y | dsy
∂n
für x ∈ Ω
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Numerische Mathematik, FVM und BEM
Vorteile der BEM
• Nicht das ganze Gebiet, sondern nur der Rand, wird betrachtet
(Dimensionsgewinn)
• Außenraumprobleme können behandelt werden
Anwendung: Schallausbreitung außerhalb eines Flugzeuges
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FVM-BEM-Kopplung
FVM-BEM-Kopplung
Ausnutzung der Vorteile der beiden Methoden:
FVM für die Approximation im Innenraum Ω
BEM für die Approximation im Außenraum Ωc = R2 \Ω
Modell Problem
Mit Γc = ∂Ω notieren wir den Kopplungsrand, a, b ∈ R:
−∆u = f
∆v = 0
lim
|x|→∞
in Ω
in Ωc
Ωc
Γc
v (x ) − b log(|x |) = a
u = v + u0
∂v
∂u
=
+ t0
∂next
∂next
auf Γc
auf Γc
Ω
Seite 13
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Konvergenz
Verbesserung der Konvergenz durch feineres Gitter
uniforme
Verfeinerung
Konvergenz, Adaptivität
Seite 13
FVM-BEM Kopplung | 10. November 2007 | Dipl.-Ing. Christoph Erath
Konvergenz, Adaptivität
Konvergenz
Verbesserung der Konvergenz durch feineres Gitter
uniforme
Verfeinerung
uniform
1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4
1
0.2
0.5
0
−1
0
−0.5
0
−0.5
0.5
1
−1
Eine an das Problem angepaßte Verfeinerung liefert besseres
Konvergenzverhalten!
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Konvergenz, Adaptivität
Adaptivität
. . . lokale, automatische Verbesserung der Verteilung der Freiheitsgrade.
A priori Fehlerabschätzung
||u − uh ||
≤
C ||u||
u?
Seite 14
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Konvergenz, Adaptivität
Adaptivität
. . . lokale, automatische Verbesserung der Verteilung der Freiheitsgrade.
A priori Fehlerabschätzung
||u − uh ||
≤
C ||u||
u?
A posteriori Fehlerabschätzung (für Adaptivität)
Anstatt der analytischen Lösung u geht die berechnete Lösung uh ein:
||u − uh ||
Fehler
≤
CR η(uh )
Zuverlässigkeit
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Konvergenz, Adaptivität
Adaptivität
. . . lokale, automatische Verbesserung der Verteilung der Freiheitsgrade.
A priori Fehlerabschätzung
||u − uh ||
≤
C ||u||
u?
A posteriori Fehlerabschätzung (für Adaptivität)
Anstatt der analytischen Lösung u geht die berechnete Lösung uh ein:
CE η(uh )
Effizienz
≤
||u − uh ||
Fehler
≤
CR η(uh )
Zuverlässigkeit
Seite 14
FVM-BEM Kopplung | 10. November 2007 | Dipl.-Ing. Christoph Erath
Konvergenz, Adaptivität
Adaptivität
. . . lokale, automatische Verbesserung der Verteilung der Freiheitsgrade.
A priori Fehlerabschätzung
||u − uh ||
≤
C ||u||
u?
A posteriori Fehlerabschätzung (für Adaptivität)
Anstatt der analytischen Lösung u geht die berechnete Lösung uh ein:
CE η(uh )
≤
||u − uh ||
≤
Fehler
Effizienz
CR η(uh )
Zuverlässigkeit
Für die Verfeinerung muß sich η als Summe lokaler Terme schreiben lassen:
η=
ηT (uh )
T ∈T
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Konvergenz, Adaptivität
Allgemeiner Adaptiver Algorithmus
Initialisiere Modell
Löse das Problem
(numerische Approximation)
Verfeinere das Gitter
mit Hilfe von ηT
Nein
Schätze den Fehler
Fehler klein
genug?
Ja
Stop
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Beispiele
Kopplungsproblem
−∆u = f
∆v = 0
lim
|x|→∞
in Ω
in Ωc
Ω
v (x ) − b log(|x |) = a
u = v + u0
∂v
∂u
=
+ t0
∂next
∂next
auf Γc
auf Γc
Wähle a = 0, b = 1
u = r 2/3 sin 2ϕ/3 ,
v = log |(x + 0.5, y − 0.5)| ,
dann ist f = 0.
Ωc
Γc
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Beispiele
Fehlervergleich
0
10
1
1/3
−1
Fehler
10
−2
10
Fehler (uni.)
Schätzer (uni.)
−3
10
−4
10
1
10
2
10
3
10
Anzahl der Elemente
4
10
5
10
Seite 17
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Beispiele
Fehlervergleich
0
10
1
1/3
−1
Fehler
10
−2
10
Fehler (uni.)
Schätzer (uni.)
−3
10
Fehler (ad.)
2/3
Schätzer (ad.)
1
−4
10
1
10
2
10
3
10
Anzahl der Elemente
4
10
5
10
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Beispiele
146 Elemente
1714 Elemente
Innenraum Lösung
Zoom: 10354 Elemente
0.05
0.04
0.03
1.4
0.02
1.2
0.01
y
Seite 18
1
0
0.8
−0.01
0.6
−0.02
0.4
−0.03
0.2
−0.04
0
−1
1
0.5
−0.05
−0.05
0
x
0.05
0
−0.5
0
−0.5
0.5
1
−1
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Noch Fragen?
Weitere Fragen?
christoph.erath@uni-ulm.de
www.mathematik.uni-ulm.de/numerik/
Seite 20
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Noch Fragen?
Beispiel: Kapazität
1
0.5
0
−0.5
2
1
−1
−2
0
−1.5
−1
−0.5
−1
0
0.5
1
1.5
2
−2
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Noch Fragen?
Beispiel: Kapazität
1
0.5
0
1
10
−0.5
2
1
−1
−2
0
1
−1.5
−1
−0.5
−1
0
0.5
0
Fehler
10
1/3
−1
10
Schätzer (uni.)
Schätzer (ad.)
−2
10
1
10
2
10
3
10
2/3
1
4
10
Anzahl der Elemente
5
10
1
1.5
2
−2
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Gesundheitswesen
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