close

Anmelden

Neues Passwort anfordern?

Anmeldung mit OpenID

Mathematik des Zufalls 0.3cm Was verbindet ein Münzspiel

EinbettenHerunterladen
M¨
unzwurf
Auf der Ebene
Mathematik des Zufalls
Was verbindet ein Mu¨nzspiel, Aktienkurse
und einen Vogelflug
Sylvie Roelly
Lehrstuhl f¨ur Wahrscheinlichkeitstheorie,
Institut f¨ur Mathematik der Universit¨at Potsdam
Lehrertag, Postdam, 19. M¨arz 2012
Vogelflug
M¨
unzwurf
Auf der Ebene
Gliederung des Vortrages
Einleitung: wo und wie spielt der Zufall eine Rolle?
Der M¨unzwurf - oder der Aktienkurs?
Zuf¨allige Wege einer verwirrten Ameise auf dem
Kachelboden
¨
Uber
den Vogelflug
Vogelflug
M¨
unzwurf
Auf der Ebene
Ein Mu¨nzspiel mit 2 Spielern
Eine M¨unze wird mehrmals geworfen.
Kopf −→ Andr´e gibt Elsa 1 Euro,
Zahl −→ Elsa gibt Andr´e 1 Euro.
Zuf¨allige Verm¨ogen von Elsa nach n W¨urfen: V (n)
M¨unze fair bedeutet Wkeit(Kopf ) = Wkeit(Zahl) = 1/2
1
Vogelflug
M¨
unzwurf
Auf der Ebene
Vogelflug
Wenn die M¨unze fair ist, bleibt das durchschnittliche
Verm¨ogen von Elsa konstant :
E (V (n))(= Mittleres V (n)) = V (0).
Sonst gilt
E (V (n)) = V (0) + n(2p − 1) wobei p : Wkeit(Kopf ).
Zum Beispiel:n = 500, p = 0, 51, V (0) = 0, E (V (n)) = 10
Die Oscillationen bleiben kontrolliert:
√
√
Wkeit(− n ≤ V (n) ≤ n) ≈ 95%.
(Zentraler Grenzwertsatz)
Das Startverm¨ogen wird immer wieder erreicht:
Wkeit (Elsa immer wieder 0 Euro in der Tasche hat) =1
so genannte Rekurrenz dieser zuf¨alligen Kurve
M¨
unzwurf
Auf der Ebene
Vogelflug
Simulation
Skalierung
der Zeit: Schnelleres Spiel (oder viel mehr
Wiederholungen)
der Werte: Bei jedem Spiel, kleinerer Gewinn oder Verlust
¨
Ahnlichkeit
mit...DAX!
Bachelier (1900) (Doktorvater Henri Poincar´e): Theorie der
Spekulation
Berechnung von Tendenz, Voraussichten usw.
M¨
unzwurf
Auf der Ebene
Zuf¨alliger Weg auf der Ebene
Verwirrte Ameise auf dem Kachelboden:
bewegt sich in zuf¨alliger Richtung. Simulation
Vogelflug
M¨
unzwurf
Auf der Ebene
Nach einer pers¨onlichen Erfahrung...beweist P´olya
Irrfahrten in Zürich
Georg Pólya (1887–1985)
einen wichtigen Satz!
Vogelflug
M¨
unzwurf
Auf der Ebene
Vogelflug
P´olya Satz (1921)
Die eindimensionale und die zweidimensionale symmetrische
Irrfahrt sind rekurrent.
Das heißt: Wenn eine verwirrte Ameise zuf¨allige Wege entlang
den Fugen des Kachelbodens macht, kehrt sie sicher immer
wieder zur¨uck zum Startpunkt...(aber wann?)
Sie besucht auch unendlich oft jede Fuge des Kachelbodens.
Aber auf dem 3-dimensionalen Gitter w¨urde die Ameise wieder
an ihren Ausgangspunkt nur mit der Wahrscheinlichkeit 0,34
(34%) zur¨uckkehren.
Dies ist die Transienzeigenschaft, g¨ultig ab der Dimension 3...
M¨
unzwurf
Auf der Ebene
Vogelflug
Satz 1: Die eindimensionale symmetrische Irrfahrt ist rekurrent.
Beweisskizze:
Ideen: • Um zu 0 zurückzukehren, muss man bei 1 (bzw. –1) vorbeikommen.
• Vor der ersten Rückkehr nach 0 kann man 1x, 2x, 3x, … bei 1 (bzw. –1) gewesen sein.
• Nach einem Besuch in 1 (bzw. –1) geht man mit W = ½ zu 0 und mit W = ½ in die
andere Richtung.
Bezeichnung: Wir schreiben R für die unbekannte Wahrscheinlichkeit, vom Punkt 1 zu 0
zurückzukehren. Zuerst wollen wir dieses R bestimmen und mit dessen Hilfe dann
die Rückkehrwahrscheinlichkeit zu 0 bei Start in 0. Um R zu berechnen, verwenden
wir die Tatsache, dass die Wahrscheinlichkeit, von Punkt 2 nach 1 zu kommen auch
gleich R ist.
Schema:
0
1
2
0; W=
1
2
1
2
1
1
2
2
R
2
1
R
 
0; W=  2 
Rückkehr
zu 1
1
2
1
2
2
R
Rückkehr
zu 1
1
2
3
1
R2
 
0; W=  2 
2
…
M¨
unzwurf
Auf der Ebene
Vogelflug
Zählt man alle diese Fälle zusammen, so erhält man eine Gleichung für R:
R=
1 1
1
1
+ R + R 2 + R3 + ...
2 4
8
16
Die rechte Seite ist eine sogenannte geometrische Reihe, welche man berechnen kann.
So erhält man:
1
1
R= 2 =
1
1− R 2 − R
2
Das ergibt umgeformt eine quadratische Gleichung mit einer einzigen Lösung:
R=1
Die Wahrscheinlichkeit, nach 0 zurückzukommen, falls man in 1 ist, ist also 1, d.h. man kommt
sicher zurück. Da die Situation für den Fall, dass man in –1 ist, genau gleich aussieht, und
man von 0 aus nur nach 1 oder –1 gehen kann, ist auch die gesuchte
Rückkehrwahrscheinlichkeit zu 0 bei Start in 0 gerade 1; man kommt also sicher zurück.
M¨
unzwurf
Auf der Ebene
Vogelflug
Satz 2: Die zweidimensionale symmetrische Irrfahrt ist rekurrent.
Beweisskizze:
Ideen:
• Man braucht immer eine gerade Anzahl Schritte, um zurückzukommen, also 2, 4,
6, …, 2n Schritte (n eine natürliche Zahl).
• Man muss gleich viele Schritte nach „Norden“ wie nach „Süden“ und gleich viele
nach „Osten“ wie nach „Westen“ gehen, um am Schluss wieder bei 0 zu sein.
• Es gibt 42n Wege, die aus 2n Schritten bestehen, da man für jeden Schritt 4
Möglichkeiten hat.
Hilfsaussage: Die Irrfahrt ist rekurrent, falls die Wahrscheinlichkeiten, in 2, in 4, 6, 8, …
Schritten zurückzukehren, zusammengezählt gegen unendlich streben.
Anders gesagt: Die einzelnen Wahrscheinlichkeiten müssen „gross genug“ sein, damit
man sicher einmal zurückkehrt.
M¨
unzwurf
Auf der Ebene
Vogelflug
Wir betrachten Wege der Länge 2n (n eine natürliche Zahl), und wollen herausfinden, wie viele
dieser 42n möglichen Wege nach 0 zurückkehren, d. h. wie viele „günstige Fälle“ es gibt.
Wenn von diesen 2n Schritten k Schritte nach „Osten“ führen, müssen k auch wieder nach
„Westen“ führen. Es bleiben also 2n-2k Schritte, von denen je n-k nach „Norden“ bzw. „Süden“
gehen.
Dabei kann k irgendeine natürliche Zahl zwischen 0 und n sein. Mit Hilfe von etwas
Kombinatorik kann man nun ausrechnen, dass es genau
 (n + 1) ⋅ ( n + 2) ⋅ ( n + 3) ⋅ ... ⋅ 2 n 


1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ ... ⋅ n


solcher günstigen Wege gibt.
2
M¨
unzwurf
Auf der Ebene
Vogelflug
Somit ist die Wahrscheinlickeit für eine Rückkehr in 2n Schritten:
Anzahl günstige Fälle
Anzahl mögliche Fälle
=
 ( n + 1) ⋅ ( n + 2) ⋅ ( n + 3) ⋅ ... ⋅ 2n 


1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ ... ⋅ n


2n
4
2
Mit Hilfe der sogenannten Stirling-Formel findet man heraus, dass sich diese
Wahrscheinlichkeit für grosse Zahlen n verhält wie 1 .
π ⋅n
Die unendliche Summe dieser Wahrscheinlichkeiten verhält sich also wie
1 1 1 1 1 1
1
1 1
⋅ + ⋅ + ⋅ + ... = ⋅ 1 + + + ...
π 1 π 2 π 3
π 
2 3

1
Und das ist das -fache der sogenannten harmonischen Reihe, von der man weiss, dass sie
π
gegen unendlich strebt. Somit ist wegen der Hilfsbehauptung Satz 2 bewiesen.
M¨
unzwurf
Auf der Ebene
Vogelflug
Schwarzschnabelsturmtaucher
Vogelflug
M¨
unzwurf
Auf der Ebene
Wilkinson, englischer Ornithologe, beobachtet 1952 die
Struktur dieser nicht vorhersehbaren Wege:
100 V¨ogelwege im Himmel zum Nest zur¨uck; Simulation
Wie findet ein Vogel, ausgesetzt im fremden Terrain, zu
seinem fernen Heimatort zur¨uck?
Warum fliegt der Vogel nicht direkt zum Ziel?
Vogelflug
M¨
unzwurf
Auf der Ebene
Vogelflug
Kendall (1918-2007) liefert 1974 die erste mathematische
Analyse in Pole-seeking Brownian motion and bird navigation
Diese Wege sind zuf¨allig:
Jede halbe Stunde (circa 35 km) ¨andert der Vogel seine
Flugrichtung und macht dabei einen zuf¨alligen
Winkelfehler α
α2
e κcosθ dθ.
Wkeit(α1 ≤ α ≤ α2 ) = c(κ)
α1
Es sind - wenn κ variiert- die Von Mises Verteilungen.
F¨ur die Familie der Schwarzschnabelsturmtaucher, sch¨atzt
man κ = 1.
Diese Wege haben sch¨atzbare geometrische
Charakteristiken: Die mittlere L¨ange eines Weges ist circa
3 mal l¨anger als der direkte Weg.
M¨
unzwurf
Auf der Ebene
Wenn der Vogel keinen Orientierungssinn h¨atte, w¨are
diese Irrfahrt isotrop (= symmetrisch): κ = 0.
Sie ist rekurrent aber der Vogel w¨urde sterben bevor er
das Nest erreicht...
Weil der Vogel einen Orientierungssinn hat, ist diese
Irrfahrt nicht isotrop; daher kommt der Vogel schneller
und sicher zur¨uck zum Nest!
Weitere Literaturhinweise: unter anderen
Garcia, Possani, Ranvaud, Tal
Three theorems potentially useful in homing pigeon
navigation (Journal of Mathematical Biology, 2005)
Danke f¨ur Ihre Aufmerksamkeit!
Vogelflug
Document
Kategorie
Sport
Seitenansichten
2
Dateigröße
13 744 KB
Tags
1/--Seiten
melden