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Langevin Gleichung Was wissen wir über die Kraft?

EinbettenHerunterladen
Brownsche Bewegung
schweres Teilchen mit Masse m und Geschwindigkeit v bewegt sich in Flüssigkeit
von leichten Teilchen. Dieses Brownsche Teilchen wird von den Molekülen der
Flüssigkeit gestoßen.
Stöße bewirken:
‣ mittlere bremsende Kraft auf das Teilchen
‣ um diesen Mittelwert fluktuierende stochastische Kraft f(t)
Langevin Gleichung
mv˙ =
m⇣v + f (t)
stochastischer Prozess
Was wissen wir über die Kraft?
hf (t)i = 0
0
hf (t)f (t )i = (t
0
t)
(⌧ ) nur f¨
ur ⌧ < ⌧c merklich von Null verschieden
(⌧c Korrelationszeit)
Annahme:
Abb. 8.3. Korr
stochastischen
Kr¨
a
⌧c << Zeit f¨
ur die Bewegung des Brownschen Teilchens
Abb. 8.3.
Korrelation
stochastischen Kr¨
afte.
=)8.1.1.2
(⌧ ) =Einstein-Relation
(⌧ )
8.1.1.2 Einstein-Relation
Die Bewegungsgleichung (8.1.1) kann mit Hilfe der retardierten G
Funktion G(t) gel(8.1.1)
ost werden,
durch
¨
Die Einstein-Relation
Bewegungsgleichung
kann welche
mit Hilfe
der retardierten Greensc
Funktion
G(t)
gel¨ostFunktion
werden,
retardierten
Greenschen
G(t) welche durch−ζt
˙
G + ζG = δ(t) , G(t) = Θ(t)e
−ζt
˙
G + ζG = δ(t) , G(t) = Θ(t)e
(8.
definiert ist. Sei v0 der Anfangswert der Geschwindigkeit, dann
f
u
r
v(t)
¨
definiert ist. Sei v0 der Anfangswert der Geschwindigkeit, dann erh¨alt
∞
fu
¨ r v(t)
=)
v(t) = v0 e−ζt +
dτ G(t − τ )f (τ )/m
v(t) = v0 e
∞
0
t (τ )/m
+
dτ G(t − τ )f
dτ eζτ f (τ )/m.
= v00e−ζt + e−ζt
−ζt
= v0 e−ζt + e−ζt
t
0
dτ eζτ f (τ )/m.
(8.
∞
0
−ζt
v(t)
=
v
e
+ f (τdτ
G(tstatistisch
− τ )f (τ )/m
0
Da der Verlauf
von
) nur
bekannt ist, betrachten wir nicht den
0
kenne von f(t) Korrelationsfunktion,
daher
2
Mittelwert von v(t) sondern
den
des
Quadrats
v(t)
t
dτ eζτ f (τ )/m.
(8.1.5)
= v0 e−ζt + e−ζt
t 0
t
1
2
−2ζt
ζ(τ +τ )
v(t) = e
dτ
dτ e
φ(τ − τ ) 2 + v02 e−2ζt ;
m
Da der Verlauf von f (τ0) nur 0statistisch bekannt ist, betrachten
wir nicht den
Mittelwert von v(t) sondern den des Quadrats v(t)2
der gemischte Term verschwindet. Mit (8.1.3) ergibt sich
t
t <f(t)>=0)
(gemischter Term verschwindet,
da
1
2
−2ζt
ζ(τ
+τ
)
2 −2ζt
−1
λ
t
ζ
v(t) 2 = e λ
dτ −2ζt
dτ e
φ(τ
−
τ
)
+
v
;
2 −2ζt
0e
2
v(t) =
) + v0 e
−→m
.
(8.1.6)
0(1 − e0
2
2
2ζm
2ζm
(⌧ ) =Term
(⌧ )verschwindet.
ergibt sich: Mit (8.1.3) ergibt sich
derMit
gemischte
Fu
ζ −1 wird der Beitrag von v0 vernachl¨
assigbar, und die Erinnerung
¨r t
−1 −1λ Bewegung und Stochastische Be
420
8.
Brownsche
λ
an den Anfangswert
geht
verloren.
Somit
hat
ζ die Bedeutung einer Relat
ζ
2
−2ζt
2 −2ζt
v(t) =
(1 − e
) + v0 e
−→
.
(8.1.6)
2
2
xationszeit. 2ζm
2ζm
1 fur große
1
−1
2
Wir verlangen,
daß
unser
Teilchen
Zeiten,
t
ζ
,
das
thermi¨
m
v(t)
kT
=
−1
F
u
r
t
ζ
wird der
Beitragd.h.
von daß
assigbar,
undkinetischen
die Erinnerung
¨
¨
2v0 vernachl
2 der
sche
Gleichgewicht
erreicht,
der
Mittelwert
Energie
−1
Äquipartitionstheorem
an
dendas
Anfangswert
geht verloren. Somit hat ζ die Bedeutung einer Rela¨
dann
Aquipartitionstheorem
420
8. Brownsche Bewegung und
Bewegungsgleichungen
erfStochastische
u
finden wir die sogenannte Einstein¨ llt. Daraus
xationszeit.
−1
Wir
daß
unser
Teilchen
f
u
r
große
Zeiten,
t
ζ
, das thermi¨
1 verlangen,
1
2
m v(t) = kT
(8.1.7)
=)
λ
=
2ζmkT.
sche 2Gleichgewicht
erreicht,
d.h.
daß
der
Mittelwert
der
kinetischen
Energie
2
¨
dann das Aquipartitionstheorem
erfu
Einstein-Beziehung
¨ llt. Daraus finden wir die sogenannte
Der Einstein-Beziehung
Reibungskoeffizient
λ = 2ζmkT.
stochastischen Kraft.
ζ ist proportional zum Sc
(8.1.8)
t
t
Als
na¨chstes
berechnen wir die
Geschwindigkeitskorrelationsfunktion
8.1.1.3
Geschwindigkeitskorrelationsfunktion
−ζ(t+t )
ζ(τ +τ ) λ
2 −ζ(t+t )
8.1.1.3
Geschwindigkeitskorrelationsfunktion
dτ
dτ e
δ(τ
−τ
)+v
. (8.1
v(t)v(t ) = e
0e
2
AlsdietnGeschwindigkeitskorrelationsfunktion
a¨0chstes
wir die Geschwindigkeitsk
Als
na
t 0 berechnenm
Geschwindigkeitskorrelationsfunktion
¨chstes berechnen wir
Als n¨
achstes berechnen
−ζ(t+t ) wir die Geschwindigkeitskorrelationsfunktion
ζ(τ +τ ) λ
2 −ζ(t+t )
dτ
dτ
e
δ(τ
−τ
)+v
. (8.1.9
v(t)v(t ) = e
0e
t
t
2
Da die Rollen
t und
t t0beliebig
sind,
nnen wir ohne
m 2 t−ζ(t+t
¨
−ζ(t+tvon
)
ζ(τ +τ ) λ vertauschbar
) t ko
0
t
dτ e
δ(τ
−τ )+v
. (8.1.9)
v(t)v(t ) = e −ζ(t+t )dτ
λ
λ
0e
2
ζ(τ
+τ
)
2
−ζ(t+t
)
−ζ(t+t
)
ζ(τ
+τ
)
unddτ
die.e(8.1.9)
beiden Integr
schr
a
t me< t 2annehmen
¨nkung
0 v(t)v(t
0
) = eder Allgemeinheit
dτ
dτ
δ(τ −τ )+v
v(t)v(t
) e=
dτ
δ(
0e
2
m
0 t beliebig
0
Da sofort
die Rollen
von
t und
vertauschbar
sind,0 k¨onnen
wir
ohne
Be
m
in
der
in
in
dieser
Gleichung
stehenden
Reihenfolge
ausf
u
hren,
so
0
¨
Da die Rollen von t und t beliebig vertauschbar sind, k¨
onnen wir ohne Bemin(t,t
)
die
beiden
schr
derAllgemeinheit
Allgemeinheit
< und
t annehmen
¨aa¨nkung
sich
−
1 2ζm
deshalb
insgesamt
Da
diee2ζ
Rollen
von
t und
t λtbeliebig
vertauschbar
k¨
ound
nnen
wir gilt
ohne
Be- Integral
und sind,
die beiden
Integrale
schr
nkung
der
t tannehmen
2<ergibt,
Da
die
Rollen
von
t und
t die
vertauschbar
annehmen
und
beiden
Integrale
schrin
a
Allgemeinheit
t < t stehenden
sofort
der
inder
in
dieser
Gleichung
Reihenfolge
ausf
u
sofort
in
der
in
dieser
Gleichung
stehenden
Reihenfolge
ausf
u
hren,
so daß
¨nkung
o.B.d.A.
t <int’:
Integration
¨beliebig
¨ hren, so da
λ
2ζ min(t,t
) )
λ Gleichung
2ζ
min(t,t
sich
e
−
1
ergibt,
und deshalb
insgesamt
gilt
sofort
in
der
in
in
dieser
stehenden
Reihenfolge
ausfu
so daß
¨thren,
sich e 2ζ min(t,t )− 2ζm
1 schr
ergibt,
und
deshalb
insgesamt
gilt
annehmen
a
nkung
der
Allgemeinheit
<
t
¨
λ
λ
2
2ζm
−ζ|t−t |
2
−ζ(t+t )
λ
) −=1 2ζm22 ergibt,
e
v0 −insgesamt
.
(8.1.
egilt
sich v(t)v(t
e
und+deshalb
2
sofort in 2der λin in −ζ(t+t
dieser
Gleichung stehenden Re
2ζm
λ 2ζm
−ζ|t−t |
)
v(t)v(t ) =
e
+ 2ζv0min(t,t
−
.
(8.1.10)
e λ λ
)
λ
2
2
2ζm λsich
2ζm
−ζ|t−t
|
2 −
) und deshalb ins
e
ergibt,
λ 1 2ζm
2e−ζ(t+t
−ζ|t−t
|
2
−ζ(t+t
)
v(t)v(t
)
=
e
+
v
−
.
(8.1.10
−1
v(t)v(t
)
=
e
+
v
−
.
(8.1.10)
e
0
2 der zweite 0Term in
2
Fu
kann
vernachla
¨ r t, t −1 ζ 2ζm
¨ssigt werden.
2
2 (8.1.10)
2ζm
2ζm2ζm
2
Fu
¨ r t, t
Fu
¨ rFt,u¨rt t, t
ζ
kann der zweite Term in (8.1.10) vernachl¨
assigt werden.
λ vernachl
−1
−1
| werden.
2
ζ
kann
der
zweite
Term
in
(8.1.10)
assigt
¨
ζ kann der zweite Term in (8.1.10)−ζ|t−t
vernachl
¨assigt
v(t)v(t
)
=
e
=)
8.1.1.4
Mittleres
Auslenkungsquadrat
2
8.1.1.4 Mittleres Auslenkungsquadrat
2ζm
λ
+ v0 −werden.2
2ζm
−1
8.1.1.4
Mittleres
Auslenkungsquadrat
−1
Um
das
mittlere
Auslenkungsquadrat
f
u
r
t
ζ
zu
erhalten,
brauchen
wir
¨
Um
das
mittlere
Auslenkungsquadrat
f
u
r
t
ζ
zu
erhalten,
brauchen
¨
−1
8.1.1.4
Mittleres
Auslenkungsquadrat
nur (8.1.10) zweifach zu F
integrieren,
u
ζ kann der zweite Term in (8.1.10)
¨ r t, t
e
nur
(8.1.10)
zweifach
zu integrieren,
Mittleres
Auslenkungsquadrat:
integriere
Um
das
mittlere
Auslenkungsquadrat
fu
ζ −1 zu erhalten, brauchen wir
¨ r t 2-mal
t
t
−1
nur
(8.1.10)
zweifach
zu integrieren,
λ −ζ|τ −τ |
Um das
mittlere
Auslenkungsquadrat
f
u
r
t
ζ
zu erhalten,
2
¨
x(t) =
dτ tdτ
.
(8.1.11) brauchen wi
t2e
λ
2ζm
0
0
2zweifach
−ζ|τ −τ Auslenkungsquadrat
|
nur (8.1.10)
zu
integrieren,
t
8.1.1.4
x(t)2 = t dτ
dτλ Mittleres
e
.
(8.1.
−ζ|τ2−τ |
x(t) = fdτ
dτ0 des 22ζm
e
.
(8.1.11)
Zwischenrechnung
u
Typus
¨0r Integrale
2ζm
0t
t0
−
t
2t
−ζ|τ −τAuslenkungsquadrat
|
Um dasλmittlere
fu
r
t
ζ
¨
Zwischenrechnung fur Integrale des Typus
2
2ζm
λ
0
0
−ζ|τ −τ |
dτ (8.1.11)
dτ
e
.
2
2ζm
t
t
x(t)2 =
Zwischenrechnung
0
Zwischenrechnung
f0u
¨ r Integrale des Typus
(8.1.11)
Zwischenrechnung
fu
¨ r Integrale des Typus
t
t
I=
t
I=
0
0
dτ
dτ
t
dτ f (τ − τ ).
0 dτ
0
f (τ − τ ).
WirF(t)bezeichnen
Stammfunktion von f (τ ) mit F (τ ) und fu
¨ hren die τ -Integration
Stammfunktiondie
zu f(t)
t
Wir
bezeichnen
dieτ(t-Integration
Stammfunktion
von
fNun
(τ ) mit
F (τ ) und fu
hrenudie
τt-Integration
¨wir
dτ
(F
−
τ
)
−
F
(−τ
)).
substituieren
=
−
τ
im
ersten
aus
I
=
F (τ ) und fu
die
¨ hren
0
t
dτ
τ ) ersten
−
F (−τ )).Integration
Nun substituieren
wir u = t −8.1τ Langevin-Gleich
im ersten
aus
I
=
Term
undu0erhalten
nach
partieller
zun
a
chst
¨
tuieren
wir
= t(F−(tτ −
im
setze
=)
Term
und
erhalten
nach
partieller Integration zun¨
achst
na
chst
¨
t
t
t
t
t
dτ (t)
f (τ−−Fτ(−t))
) = −du
u)(f
(u)
++
f (−u)).
t du (F (u) − F (−u))dτ
t (t −
=
t(F
du
u(f
(u)
f (−u))
I
=
t
0
0
0
du (F (u) − F (−u)) = t(F (t) − F (−t)) −8.1 Langevin-Gleichungen
du
I=
0 u(f (u) + f (−u))
421
8.10 Langevin-Gleichungen
421
)−
du u(f00(u) + f (−u))
8.1
Langevin-Gleichung
Mit Gl. (8.1.12) folgt fu
¨ r (8.1.11)
0
tt
tt
tt
und daraus das
Endergebnis
t + f (−u)).
und daraus das
t dτ
tdτ
du
−
(8.1.12)
λ
dτEndergebnis
dτ ff(τ
(τ −
− ττ ))2=
=
du(t
(ttλ
−u)(f
u)(f(u)
(u)
+ f (−u)).−ζu
(8.1.12)
0
0
0
(t −(u)
u)e+ f (−u)).
≈ 2 2t
=) 0 dτ 0 dτ f (τ −x τ(t)) 0== 2ζm
du2 2(t −du
u)(f
ζ m
0
0
0
Mit
folgt
¨u
Mit0Gl.
Gl. (8.1.12)
(8.1.12)
folgt ffu
(8.1.11)
¨rr (8.1.11)
beziehungsweise
tt fu
Mit Gl.
(8.1.12)
folgt
r
(8.1.11)
¨
t⇣
λ
λλ
22
−ζu
1
+
e
+ t⇣
t
λ
2du (t − u)e −ζu ≈
x
(t)
=
2
t
− 2Dt
u)e
≈=ζ 22m222t
⇡ 2 2
(t)(t=
=) x (t) = 2ζm
22 2 x du
2
00
2ζm
ζ ⇣m
m
t
⇣
⇣ m
λ
λ
2
−ζu
mit
der
Diffusionskonstanten
x (t) =
2
du (t − u)e
≈ 2 2t
beziehungsweise
beziehungsweise
2
2ζm
ζ
m
0 λ
kT
22
x
(t)
=
2Dt
(8.1.13)
.
D= 2 2 =
x (t) = 2Dt
(8.1.13)
2ζ
m
ζm
beziehungsweise
mit
mit der
der Diffusionskonstanten
Diffusionskonstanten
Daß D die Bedeutung einer Diffusionskonstanten hat, konnen
∂V
.
K(x) = −
∂x
¨
8.1 die
Lan
InLangevin-Gleichung
Verallgemeinerung
der
bisherigen
Uberlegungen
betrachten
wir
nun
in einem Kraftfeld
8.1 Langevin-Gleichungen
42
Brownsche Bewegung in einem
a
Kraftfeld
¨ußeren
Dann
lautet
dieSpezialfall
Langevin-Gleichung
Ein wichtiger
von (8.1.22b) ist der Gr
Ein wichtiger Spezialfall von (8.1.22b) ist der Grenzfall starker D¨ampfun
∂V
ζ. Falls die Ungleichung mζ x˙
m¨
x erfu
¨ llt ist (wi
ζ.K(x)
Falls=die
mζ x˙ m¨
erfu
lltx˙ ist
(wie es+8.1
z.B.
bei periodische
.
(8.1.22a)
− Ungleichung
=)Bewegung
¨
xm¨
=xfu¨−mζ
+
K(x)
f
(t),
Langevin-Gleichu
r kleine
der Fall ist), folgt
8.1Frequenzen
Langevin-Gleichungen
423
∂x
Bewegung fu
¨ r kleine Frequenzen der Fall ist), folgt aus (8.1.22b)
Ein
wichtiger
Spezialfall
von
(8.1.22b)
ist die
der
Grenzfall
starke
wobei
wir ∂V
annehmen,
daß
stoßende
und
DannEin
lautet
die Langevin-Gleichung
wichtiger
Spezialfall
von
(8.1.22b)
ist
der
Grenzfall
starker
D
a
mpfung
¨
+ r(t),
x˙ = −Γ
∂V
starke
D¨
⇣x˙, also
ζ. Falls
die Ungleichung
mζ
x˙die
x
erfu
lltz.B.
ist nicht
(wie
esgez.B.
bei w
p
¨es
lek
u
durch
am¨
ußere
Kraft
andert
∂x
¨ lem¨
¨
¨
+ampfung
r(t),
(8.1.23
ζ.Spezialfall:
Fallsx˙ =
die−Γ
Ungleichung
mζ
x
erf
u
llt
ist
(wie
bei
periodischer
¨
∂x
m¨
x = −mζ
x˙ + K(x)fu
+
f (t), Frequenzen der Fall ist), folgt aus (8.1.22b)
Bewegung
r
kleine
(8.1.22b)
¨
Kraft
f
(t)
wiederum
(8.1.2),
(8.1.3)
und
(8.1
Bewegung fu
der
Fall
ist),
folgt
aus
(8.1.22b)
¨ r kleine Frequenzen
wo die Da
¨mpfungskonstante Γ und die fluktuierend
wo wir
die D
Γ und die
fluktuierende
Kraft
r(t) durch
¨ampfungskonstante
wobei
annehmen,
daß
die
stoßende
und
bremsende
Einwirkung
der
Mo4
∂V
∂V x˙ = −Γ
Siehe
Literatur
am Ende
1
1 des Kapitels
+
r(t),
r(t),Kraft
(8.1.23)
= −Γ die
leku
ußere
gea
wird
und
somit
die
stochastische
Γ ≡werden
und
r(t)
≡
f
(t)
¨ lex˙ durch
¨+
¨ndert
1∂x a
1Wir
∂x 5nicht
sp
a
ter
sehen,
daß
die
Einstein-Rela
¨
mζ
mζ
Γ
≡
und
r(t)
≡
f
(t)
(8.1.24
5
2
Kraft f (t) wiederum
(8.1.2),
(8.1.3)
und
(8.1.8)
erf
u
llt.
¨
p
mζ
mζ
tion
exp(−(
+
V
(x))/kT
)
eine
Gleichgewic
wo
die
D
a
mpfungskonstante
Γ
und
die
fluktuierende
Kraft r(t) d
¨
2m
wo
die
D
a
mpfungskonstante
Γ
und
die
fluktuierende
Kraft
r(t)
durch
¨
gegeben
sind.
Die ist.
stochastische Kraft r(t) erfu
¨ llt na
4 stochastische Kraft:
schen
Prozeß
Siehe
Literatur
am Ende
des Kapitels
gegeben
sind.
Die
stochastische
Kraft 1r(t) erfu
¨ llt nach Gl. (8.1.2) und (8.1.3
5
1
1 sp¨ater
1 dier(t)
Wir werden
sehen, daß
Einstein-Relation
(8.1.8) bedingt, daß die FunkΓ
≡
und
≡
f
(t)
r(t)
=
0
Γ ≡
und
r(t)mζ
≡
f (t)
(8.1.24)
2
p
mζ
tion exp(−(
+=V0(x))/kT
) eine Gleichgewichtsverteilung fu
mζr(t)
mζ
2m
r(t)r(t ) = 2Γ kT δ(t − t ) .¨ r diesen stochasti(8.1.25
schen Prozeß
ist.
r(t)r(t ) = 2Γsind.
kT δ(t
− stochastische
t).
Die
r(t) Gl.
erfu
llt nachund
Gl. (8.1.3)
(8.1.2)
¨(8.1.2)
gegeben sind.gegeben
Die stochastische
Kraft r(t) erfKraft
u
¨ llt nach
Zur Charakterisierung der h¨
oheren Momente (Kor
Zur Charakterisierung
heren Momente
(Korrelationsfunktionen)
vo
r(t)
wir im folgenden
noch annehmen, daß
r(t)der
= h0¨owerden
r(t) = 0
r(t) werden wir im folgenden
noch
annehmen, daß r(t) einer Gauß-Vertei
(8.1.25)
lung
gen
u
gt
¨
r(t)r(t
)
=
2Γ
kT
δ(t
−
t
)
.
) = 2Γ kT δ(t − t ) .
lungr(t)r(t
genu
¨ gt
tf
r2 (t)
P[r(t)] = e− t0 dt 4Γ kT .
r(t) werden wir im folgenden no
Zur Charakterisierung
der
h
o
tfheren
¨
r2 (t) Momente (Korrelationsfunktionen
lung genu
r2 (t) = e− t0 dt 4Γ kT .
f
¨ gt − tP[r(t)]
lung daß
genu
¨ gtr(t) einer
dt 4Γ
tim
kT .
r(t) werden
wir
folgenden
noch annehmen,
Gauß-V
0
P[r(t)]
=
e
(8.1.26)
Annahme: Gaußverteilte
Kraft
tf
r2 (t)
− t0 dt 4Γ kT
lung gen
u
¨ gt= eP[r(t)]
− (8.1.26)
dt von r(t) im
gibt. die Wahrscheinlichkeitsdichte
fu
¨ r die
P[r(t)]
P[r(t)]
= eWerte
.
tf
t0
r2 (t)
4Γ kT
P[r(t)] gibt die Wahrscheinlichkeitsdichte fu
¨ r die Werte von r(t) im Intervall
[t0 , tft] an, wo
2 (t) t0 und tf die Anfangs- und Endzeiten sind. Zur Defin
r
f
tdt
Endzeiten
sind.
Zur
Definition
der
[t
0 , tf ] an,
0Wahrscheinlichkeitsdichte
f die Anfangs- undfu
P[r(t)]
gibtwo
dietFunktionalintegration
r
die
Werte
von
r(t)
im
Intervall
¨
−und
P[r(t)]
gibt
die
Wahrscheinlichke
t0
unterteilen wir
dasIntervall
Intervall
in
4Γ kT . = Wahrscheinlichkeit
r(t)
im
[t
-t
] zu finden
P[r(t)]
=
e
(8
0
f
Funktionalintegration
wirund
dasEndzeiten
Intervall [tin
die Anfangssind.
Zur
Definition
der
[t0 , tf ] an, wo t0 und tfunterteilen
0 , tf ] an, wo t0 und tf die Anfan
tf − t0 wir das Intervall inFunktionalintegration unterteilen
Funktionalintegration
unterteilen
t0 Wahrscheinlichkeitsdichte
tf −
N=
P[r(t)]
gibt
die
fu
¨ r die Werte von r(t) im Int
N=
∆
− tt0 und t die Anfangs- und Endzeitentfsind.
tfwo
∆
− t0 Zur Definitio
, tfN
] an,
[t0Funktionalintegral:
0 unterteile
f
Intervall in N Teilintervalle
=
N
= die diskreten Zeiten
kleine
Teilintervalle
der
Breite
∆
und
f
u
hren
¨
∆
∆
kleine Teilintervalle
der Breite
∆ und fwir
u
dieIntervall
diskreten in
Zeiten
¨ hren
Funktionalintegration
unterteilen
das
Teilintervalle
der Breite ∆
kleine
Teilintervalle
∆ undi f=
u
Zeiten
¨ hren
diskrete
Zeiten:
tider
= tBreite
0, . . .die
, Ndiskreten
−kleine
1
0 + i∆,
ti = tt0f+−i∆,
i = 0, . . . , N − 1
t0
Nti =
ti = tD[r]
i = 0, . . . , N
= t0 + i∆,
i =Element
0, . . . , Nder
− 1Funktionalintegration
0 + i∆,
ein.
Das
ist
durch
∆
ein.
Das
Element
derFunktionalintegrals
Funktionalintegration
Volumenelement des
D[r] D[r] ist durch
Das Element der Funktionali
ein. Das Element der Funktionalintegration
D[r] ist ein.
durch
N −1
kleine Teilintervalle
¨ hren
∆ die diskreten Zeiten
N −1 der Breite ∆ und fu
∆ dr(ti )
D[r] ≡ lim
N −1
N
−1
D[r] ≡ lim
dr(t∆→0
(8.1.27)
)
4Γ
kT
π
i
∆
i=0kT π
∆→0
4Γ
D[r] ≡ lim (8.1.27)
dr(ti )
limi∆,
dr(t
)
tiD[r]
= t≡0 +
i
=
0,
.
.
.
,
N
−
1
i
i=0
∆→0
4Γ
∆→0
4Γ
kT
π
i=0
i=0
definiert.
Die Normierung der Wahrscheinlichkeitsdichte ist
definiert.
Die Normierung
der Wahrscheinlichkeitsdichte
ist durch
ein.
Das
Element
der
Funktionalintegration
D[r]
ist
definiert.
Die Normierung der Wa
definiert. Die Normierung der Wahrscheinlichkeitsdichte
ist
N −1
r2 (ti )
∆
N −1
− i∆N
4Γ−1
kT = 1
r2 (ti )
∆
D[r]
P[r(t)]
≡
lim
e
)
dr(t
i− i ∆2 4Γ kT
N −1 N −1
r (t
∆→0
D[r] P[r(t)] ≡ lim
e ∆
)
dr(t
4Γ
kT
∆
i ) π = 1. (8.1.28)
i∆
−
D[r]
P[r(t)]
lim
d
i
i=0
4Γ kT = 1. ≡
∆→0
4Γ
kT
π
D[r]
P[r(t)]
≡
lim
e
)
(8.1.28)
dr(t
i
∆→0
D[r] ≡ lim ∆→0 i=0
dr(ti )
(8
4Γ
kT
π
i=0
∆→0
i=0
4Γ kTwir
π
Zuri=0
Kontrolle
berechnen
Zur Kontrolle berechnen wir
Zur Kontrolle berechnen wir
Zur Kontrolle berechnen wir
4Γ kT
δ
∆
i
− i ∆ 4Γ kT
D[r]
P[r(t)]auftreten,
≡ lim wollen wir
1. (8.1.28)
dr(t
Situationen
einige
elementareeErl¨auterungen=anschliei)
∆→0
4Γ kT π
i=0
ßen. Wir betrachten (8.1.23) zun¨achst ohne die stochastische Kraft, d.h.
ist konsistent:
x˙ = −Γ ∂V
∂x . In Regionen positiver (negativer) Steigung von V (x) wird x in
Zur Kontrolle
berechnen
wir
negativer (positiver)
x-Richtung
verschoben. Die Koordinate x bewegt sich in
Richtung eines 4Γ
derkT
Minima von V (x)
δij(Siehe Abb. 8.4). An den Extrema von
→ 2Γ kT
δ(tir(t)
r(t
− twird
i )r(t
j) =
ij = 2Γ
j ) , die Bewegung
V (x)
verschwindet
x.
˙ δDurch
diekT
stochastische
Kraft
2∆
∆
in Richtung auf die Minima fluktuierend, und an den Extremallagen selbst
bleibt
das Teilchen
nicht
in Ruhe,
sondern
immer
was in
Einklang
mit Gl.
(8.1.2),
(8.1.3)
undwird
(8.1.8)
ist.wieder weggestoßen,
¨
so daß die M¨oglichkeit fu
von einem Minimum in ein an¨ r einen Ubergang
Anwendung: stochastisches Flippen über lokale
¨ Maxima
deres besteht. Die Berechnung derartiger Ubergangsraten
ist unter anderem
Aktivierungsenergien, Hopping-Wahrscheinlichkeiten
fu
r
thermisch
aktiviertes Hu
¨
¨ pfen von Fremdatomen in Festko¨rpern und fu
¨r
chemische Reaktionen von Interesse (siehe Abschn. 8.3.2).
Abb. 8.4. Bewegung
aufgrund der Bewegungsgleichung x˙ =
−Γ ∂V /∂x.
8.2 Herleitung der Fokker-Planck-Gleichung
aus der Langevin-Gleichung
Definition of the functional derivative:
G ['i (x 0 )]
G ['i (x 0 ) + ✏
= lim
✏!0
'j (x)
ij
(x 0
✏
x)]
G ['i (x 0 )]
special case:
'i (x 0 )
= (x 0
'j (x)
x)
ij
G ['i (x 0 )] is functional of the functions 'i , i = 1, ..., N
Z
for example
dx 0 F ('1 (x 0 ), ..., 'N (x 0 )).
Further examples:
Z
G ['] = dx'(x) )
Z
G ['] = dx'(x)'⇤ (x)
G
=1
'
G
)
= '⇤
'
further example:
G ['] =
)
Z
dx'(x)@x '(x)
Z
h
G
= lim dx 0 ('(x 0 ) + ✏ (x 0
' ✏!0
1
= lim
✏!0 ✏
Z
⇣
dx 0 '(x 0 )@x (✏ (x 0
obvious, because G ['] = 0.
Z
G ['] = dx'(x)@xx '(x)
in general: G ['] =
)
G
=
'
R
x)) + ✏ (x 0
G
= 2@xx '
'
)
˜ (', 'x , 'xx , ...)
dx G
1 ⇣
X
0
x))@x ('(x 0 ) + ✏ (x 0
˜
d ⌘n @ G
dx @'(n)
;
'
(n)
@n
=
'
@x n
attention:
G ['] =
Z
⇤
dx'(x)@xx ' (x)
G
)
= @xx '⇤
'
'(x 0 )@x '(x 0 )
x))
⌘
x)@x '(x 0 ) = 0
i
um diesen Mittelwert fluktuierende stochastische Kraft f (t), wie in Abb. 8.2
dargestellt.
Den
ersten
Kraftanteil
−mζv wollen wir durch
einen
ReibungskoAls
n
a
chstes
wollen
wir
f
u
r
die
Langevin-Gleichungen
(8.1.1),
(8.1.22b)
und
¨
¨
Herleitung
der
Fokker-Planck-Gleichung
aus
der
Langevin-Gleichung
effizienten
ζ charakterisieren.
Somit
wird
die Newtonsche Gleichung
– unter
(8.1.23)
Bewegungsgleichungen
fu
Wahrscheinlichkeitsdichten
herleiten.
8.2 Herleitung
Fokker-Planck-Gleichung
¨ r dieder
diesen physikalischen
– Langevin-Gleichung genannt
ausGegebenheiten
der Langevin-Gleichung
8.2.1mFokker-Planck-Gleichung
fu
¨r die Langevin-Gleichung (8.1.1)
v˙ = −mζv +Als
f (t).
(8.1.1)
Langevin-Gleichung
nachstes wollen wir fur die Langevin-Gleichungen (8.1.1), (8.1.22b)
Wir definieren
¨
¨
(8.1.23) Bewegungsgleichungen fu
¨ r die Wahrscheinlichkeitsdichten herle
Wahrscheinlichkeitsdichte für das Ereignis, daß das
Brownsche
P (ξ, t) = δ ξ −
v(t) Fokker-Planck-Gleichung
,
(8.2.1)
8.2.1
fu
(8.
¨r die Langevin-Gleichung
Teilchen zur Zeit t die Geschwindigkeit ξ besitzt.
Wir definieren
die Wahrscheinlichkeitsdichte
fu
¨ r das Ereignis, daß das Brownsche Teilchen
zur Zeit t die Geschwindigkeit ξ besitzt. Das bedeutet, P (ξ, t)dξ ist die WahrBewegungsgleichung für P (ξ, t) = δ ξ − v(t) ,
(8
scheinlichkeit, daß die Geschwindigkeit im Intervall [ξ, ξ + dξ] liegt.
Herleitung der Fokker-Planck-Gleichung aus der Langevin-Gleichung
425
Wir 8.2
leiten
nun einedie
Bewegungsgleichung
f
u
r
P
(ξ,
t)
her:
¨
Wahrscheinlichkeitsdichte fu
¨ r das Ereignis, daß das Brownsche Teil
∂ t die Geschwindigkeit ξ besitzt. Das bedeutet, P (ξ, t)dξ ist die W
∂
zur Zeit
P (ξ, t) =scheinlichkeit,
−
δ ξ − v(t)
v(t)
˙ Geschwindigkeit im Intervall [ξ, ξ + dξ] liegt.
daß
die
∂t
∂ξ
Wir leiten nun eine Bewegungsgleichung
fu
¨ r P (ξ, t) her:
∂
1
=−
δ ξ − v(t) −ζv(t) + f (t)
∂ξ
m
∂
1
=−
δ ξ − v(t) −ζξ + f (t)
∂ξ
m
∂
1 ∂
=
ζP (ξ, t)ξ −
δ ξ − v(t) f (t) ,
(8.2.2)
∂ξ
m ∂ξ
angenommene Wahrscheinlichkeitsdichte fu
¨ r die stochastische Kraft
wobei in der zweiten Zeile die Langevin-Gleic
2
tf
f (t)
− t0 dt 4ζmkT
de. Zur Berechnung des letzten Terms
beno
¨tige
P[f (t)]letzten
= e Term
.
(8.2.3)
betrachte
angenommene Wahrscheinlichkeitsdichte fu
¨ r di
Die Mittelwerte . . . sind durch das Funktionalintegral
mit
dem Gewicht
tf
f 2 (t)
dt 4ζmkT
0 man
(8.2.3)
gegeben
Gl. (8.1.26)).
atlt
fu
Gaußverteilung
für(siehe
die stochastische
Kraft Insbesondere
¨.r den letzten
P[f (t)] = erh
e− ¨
Term in (8.2.2)
Die Mittelwerte . . . sind durch das Funktio
f (t )2 dt
(8.2.3) gegeben−(siehe
Gl. (8.1.26)). Insbesonde
4ζmkT
δ ξ − v(t) f (t) = D[f (t )] δ Term
ξ − v(t)
f
(t)e
in (8.2.2)
(t )2 dt
δ − f4ζmkT
e
= −2ζmkT D[f (t )] δ ξ − v(t)
δ
ξ
δf (t) − v(t) f (t) = D[f (t )] δ ξ − v(t) f
f (t )2 dt
δ
−
δ −
4ζmkT
δ
ξ
−
v(t)
= 2ζmkT D[f (t )] e
δf (t)= −2ζmkT D[f (t )] δ ξ − v(t) δf (t) e
∂
δ
fδv(t)
(t )2 dt
δ
−
δ(ξ − v(t)) = =
−2ζmkT
δ
ξ
−
v(t)
.
= 2ζmkT
4ζmkT
2ζmkT
D[f
(t
)]
e
δf (t)
∂ξ
δf (t) δf (t) δ ξ −
(8.2.4)
δ
δ(ξ − v(t)) = −2ζm
= 2ζmkT
δf (t)
Hier mu
¨ ssen wir die L¨osung (8.1.5) verwenden
∞
f (τ )
v(t) = v0 e
(8.1.5)
+
dτ G(t − τ ) Hier mu
ssen
wir
die
L
o
sung
(8.1.5)
verwenden
¨
¨
m
0
∞
f (τ )
δf (τ )
−ζt
v(t)
v0 e(8.1.4)
+ ergibt
dτ G(t
und nach f (t) ableiten. Mit δf (t) = δ(τ −
t) =
und
sich− τ )
−ζt
= v∞0 e−ζt +
∞
Hier mu
osung (8.1.5) verwenden
¨fssen
(τ ) wir die L¨
fdτ
(τ )G(t − τ )
(8.1.5)
(8.1.5)
m
∞
f (τ )
m
0
−ζt
= v0 e
+
dτ G(t − τ )
benutze retardierten Greenschen Funktion G(t) δf (τv(t)
)
δf (τ )
nach f (t)
ableiten.
Mit−δft)(t)und
= (8.1.4)
δ(τ − t)
und sich
(8.1.4)
ergibt sich m
0
und nach fund
(t) ableiten.
Mit
=
δ(τ
ergibt
δf (t)
v(t) = v0 e
δv(t)f(t):
ableiten nach
=
δf (t)
v(t)
−ζt
+
dτ G(t − τ0 )
t
tδv(t)
−ζ(t−τ
= ) 1dτ
dτ e
0 δf (t)
0m
δf (τ )
= (8.2.5)
δ(τ − t) und
δf
(t)
1
Faktor (8.2.5)
: nur die H¨alte der -Funktion wird integriert
1 ableiten. Mit
11 nach f (t)
−ζ(t−τ ) und
δ(t − τ ) =
.
e
δ(t − τ ) =
m
2m
.
2m
(8
2
t
δv(t)
1
1 integriert
1
1 weil
−ζ(t−τ
)
426
8.
Brownsche
Bewegung
und
Stochastische
Bewegungsgleichungen
Der FaktorDer
resultiert,
nur
die
H
a
lfte
der
δ-Funktion
integriert
wird.
¨
Faktor
resultiert,
weil
nur
die
H
a
lfte
der
δ-Funktion
wird.
¨
=
δ(t − τ ) =
.
dτ e
2
2
Setzt manSetzt
(8.2.5)man
in (8.2.4)
(8.2.4) in
(8.2.2)
erh¨alt ein,
man so
als
δf
(t) ein,in0so(8.2.2)
merh¨alt man als
2m
(8.2.5)und
in (8.2.4)
und
(8.2.4)
Bewegungsgleichung
r die Wahrscheinlichkeitsdichte
die fu
Fokker-PlanckFokker-Planck-Gleichung:
Bewegungsgleichung
fu
die Fokker-PlanckWirfu¨ersetzen
hier
dieWahrscheinlichkeitsdichte
Bezeichnung
r
die
Geschwindigkeit
ξ
durch
v,
n
¨ r die
¨
1
Gleichung:Gleichung:
Der
Faktor
weilv(t).
nur Die
die Fokker-Planc
H¨
alfte der δverwechseln mit der stochastischen
Variablen
2 resultiert,
2 Setzt man (8.2.5) in (8.2.4) und (8.2.4) in (8.2.2
∂ Bewegung
kT
∂Stochastische
chung
kann
auch
in
Form
einer
Kontinuit¨
a(8.2.6)
tsgleichung dargestellt wer
2
426 ∂ 8. Brownsche
und
Bewegungsgleichungen
kT
∂
P (v, t) =∂ζ vP (v, t) +∂ζ
P
(v,
t)
.
Bewegungsgleichung
fu
P
vP
+ζ
P (v, t) .
(8.2.6)
∂t
∂v(v, t) = ζ
m (v,
∂v 2t)
¨ r die Wahrscheinlichkeitsd
2
∂t
∂v
m
∂v
Wir ersetzen hier die Bezeichnung
fu
die∂Geschwindigkeit ξ durch
¨ r Gleichung:
∂
kT ∂v, nicht zu
P (v, t) = −ζ
P (v,
t) .
−vP
(v,
t)Fokker-Planck
−
verwechseln
mit
der
stochastischen
Variablen
v(t).
Die
GleiDivergenzform:
∂t
∂v
m ∂v
chung kann auch in Form einer Kontinuita¨tsgleichung
dargestellt
werden
∂
kT ∂ 2
∂
P (v, t) = ζ vP (v, t) + ζ
P (v, t) .
2
Bemerkungen:
∂v
m ∂v
∂
∂
kT ∂∂t
∂t
P (v, t) = −ζ
−vP (v, t) −
P (v, t)
.
(8.2.7)
m ∂v
(i) ∂v
Die Stromdichte,
der Ausdruck in Klammern, setzt sich aus einem
term und einem Diffusionsstrom zusammen.
Bemerkungen:
(ii) Die
Stromdichte
verschwindet
die DriftWahrscheinlichkeitsdich
(i) Die Stromdichte,
der Ausdruck
in Klammern,
setzt sich falls
aus einem
2
− mv
2kT
zusammen.
term
und einem für
Diffusionsstrom
Stromdichte
verschwindet
Form P (v, t) ∝ e
hat. Die Maxwell-Verteilung ist also (zumin
(ii) Die Stromdichtene)
verschwindet
falls die Wahrscheinlichkeitsdichte
die
Gleichgewichtsverteilung.
Hier geht wesentlich
die Einstein-R
2
− mv
2kT
Form P (v, t) ∝ e (8.1.8)
hat.ein.
DieUmgekehrt
Maxwell-Verteilung
alsoaus
(zumindest
eiha
dieser Forderung,
daß die M
¨ttenistwir
ne) Gleichgewichtsverteilung.
wesentlich
Einstein-Relation
Verteilung Hier
eine geht
L¨
osung
der die
Fokker-Planck
Gleichung ist, die Ei
(8.1.8) ein. Umgekehrt h¨atten wir aus dieser Forderung, daß die Maxwellk¨
onnen.
Verteilung eine LRelation
o¨sung dererhalten
Fokker-Planck
Gleichung ist, die Einstein-
(iii) Wir werden in Abschn. 8.3.1 sehen, daß P (v, t) im Zeitverlauf
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