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2. Addition von Geschwindigkeiten Was beeinflusst die

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Mechanik – 2. Addition von Geschwindigkeiten
1
2. Addition von Geschwindigkeiten
Was beeinflusst die Geschwindigkeit des Bootes?
a. Wind
b. Wassergeschwindigkeit
•
Haben beide die gleiche Richtung, so addieren sie sich.
•
Haben beide entgegengesetzte Richtung, so müssen sie voneinander subtrahiert
werden.
Addition von parallelen Vektoren
Definition: Vektoren
Größen, die sowohl einen Betrag, als auch eine Richtung besitzen, werden als Vektoren bezeichnet. Zu den Vektoren gehören die Strecken s und die Geschwindigkeiten v.
Die Zeit t dagegen hat keine Richtung (oben, unten o. ä.). Solche Größen werden als Skalar
bezeichnet.
Vektoren werden als Pfeile bestimmter Länge dargestellt:
Mechanik – 2. Addition von Geschwindigkeiten
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Aufgabe: Gross-Berhag S. 15 Nr. 1
Das Wasser eines Flusses strömt mit der Geschwindigkeit v0 = 2,5 m/s. Ein Motorboot mit
der Eigengeschwindigkeit v1 = 4,0 m/s pendelt zwischen zwei Anlegestellen auf derselben
Seite des Flusses hin und her. Sie sind s = 2 km voneinander entfernt.
a. Wie lange braucht das Boot für die Strecke flussabwärts, wie lange flussaufwärts?
b. Wie lange würde das Boot bei ruhendem Wasser für eine Hin- und Herfahrt brauchen?
Vergleichen Sie mit den Zeiten in a.
Lösung:
a.
2000m
flussabwärts:
t=
= 300s
2,5m / s + 4,0m / s
2000m
flussaufwärts:
t=
= 1333s
4,0m / s − 2,5m / s
b.
2000m
ruhendes Wasser:
t=
= 500s (liegt zwischen den a-Werten)
4m / s
Addition von nicht-parallelen Vektoren:
Aufgabe 1 (Diktat):
Ein Mann geht zunächst 2 km in Richtung Norden und dann 3 km in Richtung Osten. Wie
lange ist der direkte Weg zu seinem Zielpunkt? (3,6 km)
Aufgabe 2 Diktat:
Ein Boot überquert einen Fluss mit einer Geschwindigkeit von 2 m/s. Der Fluss dagegen
fließt mit einer Geschwindigkeit von 4 m/s. Welche Geschwindigkeit besitzt das Boot tatsächlich? (4,5 m/s)
Allgemein:
Lassen sich die Vektoren zu einem rechtwinkligen Dreieck ergänzen, so können die bekannten trigonometrischen Funktionen und der Satz von Phytagoras angewendet werden:
sin α =
Gegenkathete a
=
Hypothenuse
c
cos α =
Ankathete
b
=
Hypothenuse c
tan α =
Gegenkathete a
=
Ankathete
b
Satz von Phytagoras: a2 + b2 = c2
Aufgabe: Gross-Berhag S. 15 Nr. 2
a. Das Boot in Aufgabe 1 fährt nun relativ zur Wasseroberfläche genau senkrecht zur Strömungsrichtung über den 200 m breiten Fluss. Wie lange braucht es; um wie viel wird es
abgetrieben? Wie groß ist seine resultierende Geschwindigkeit gegenüber dem Ufer?
b. Um welchen Winkel muss das Boot flussaufwärts steuern, damit es ihn auf dem kürzesten Weg überquert? Wie lange braucht es hierfür und wie groß ist seine Geschwindigkeit
relativ zum Ufer?
Mechanik – 2. Addition von Geschwindigkeiten
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Lösung:
a.
t=
sFluss 200m
=
= 50s
v Boot
4m / s
s Abtrieb = v Fluss ⋅ t = 2,5m / s ⋅ 50s = 125m
2
2
v Re sultierend = v Fluss
+ v Boot
= 2,5 2 (m / s) 2 + 4 2 (m / s) 2 = 4,72m / s
b.
Es muss gelten:
sResultierend = 200m (Aufgabenstellung) und
SAbtrieb
= 125 m (Teil a)
Somit folgt:
s Abtrieb
Gegenkatet e
125
=
=
= 0,625 = tan α
Ankatete
sRe sultierend 200
t=
→
α = 32°
sRe sultierend
200m
=
= 58,99s
v Re sultierend 3,39m / s
v Re sultierend = v Boot ⋅ cos α = 4m / s ⋅ cos 32° = 3,39m / s
Aufgabe: Gross-Berhag S. 15 Nr. 3
Ein Fallschirm mit Versorgungsgütern fällt in ruhiger Luft mit der konstanten Geschwindigkeit
8,0 m/s.
a. Mit welcher Geschwindigkeit bewegt er sich in Richtung Boden, wenn er sich in einer
Aufwindströmung oder einer Abwindströmung mit der Geschwindigkeit 2,0 m/s befindet?
Zeichnen Sie auch die Vektordiagramme der Geschwindigkeiten für beide Fälle. Wie lange dauert es jeweils, bis er den Höhenunterschied von 250 m zurückgelegt hat?
(6 m/s bzw. 10 m/s; 41,7s, 25s)
b. Der gleiche Fallschirm befindet sich nun in einer horizontalen Windströmung mit der Geschwindigkeit 5,0 m/s. Zeichnen Sie für diesen Fall das Pfeildiagramm und bestimmen
Mechanik – 2. Addition von Geschwindigkeiten
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Sie daraus Betrag und Richtung der resultierenden Geschwindigkeit. Welchen Weg legt
er in Wirklichkeit zurück, wenn er den Höhenunterschied von 250 m überwindet und wie
lange braucht er dafür? (294,79 m, 31,36s)
Aufgabe: Gross-Berhag S. 15 Nr. 4
Ein Flugzeug mit der Eigengeschwindigkeit v1 = 720 km/h soll eine Strecke von 1000 km
Länge in Ost-West-Richtung hin- und zurückfliegen. Wie lange braucht es hierfür bei Windstille? Wie lange braucht es bei Westwind mit der Geschwindigkeit v0 = 25 m/s? Wie groß
sind seine Geschwindigkeiten über Grund? (5000s, 4444s, 225 m/s)
Arbeitsblatt: Zusammensetzung von Bewegungen
Mechanik – 2. Addition von Geschwindigkeiten
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Ein Schiff fährt mit vSchiff quer zur Strömung über den Fluss. Nach welcher Zeit und mit welchem Abtrieb kommt es am anderen Ufer an ? Verwende das Modell der gleichförmigen Bewegung.
1. Tatsächliche Schiffsbewegung:
a. Geschwindigkeit
v=
b. Richtung
α=
c. Vom Schiff zurückgelegte Strecke
s=
d. Abtriebsstrecke durch Strömung
sAbtrieb =
e. Überquerzeit
t=
2. In Bewegungsanteile zerlegte Schiffsbewegung:
a. Bewegung ohne Berücksichtigung der Strömung (senkrecht zum Ufer)
Überquerzeit:
tSchiff =
b. Bewegung allein durch Strömung (in Flussrichtung)
Abtriebszeit:
tAbtrieb =
Arbeitsblatt: Zusammensetzung von Bewegungen
Lösung:
Mechanik – 2. Addition von Geschwindigkeiten
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1.Tatsächliche Schiffsbewegung:
a. Geschwindigkeit
2
2
+ v Fluss
= 1,87
v = v Schiff
m
s
b. Richtung
tan α =
v Fluss
v Schiff
⇒
α = 15,5°
sin α =
v Fluss
v
⇒
α = 15,5°
cos α =
v Schiff
v
⇒
α = 15,5°
c. Vom Schiff zurückgelegte Strecke
cos α =
s Fluss
⇒
s
d. Abtriebsstrecke durch Strömung
s Abtrieb = s Fluss ⋅ tan α = 15m
e. Überquerzeit
t=
s=
s Fluss
= 56m
cos α
s
= 30s
v
2. In Bewegungsanteile zerlegte Schiffsbewegung:
a. Bewegung ohne Berücksichtigung der Strömung (senkrecht zum Ufer)
Überquerzeit:
t Schiff =
s Fluss
= 30s
v Schiff
Die Werte entsprechen den Werten oben: unabhängig von der Strömung kommt das Schiff immer bei dieser Geschwindigkeit und dieser Flussbreite nach gleicher Zeit an.
b. Bewegung allein durch Strömung (in Flussrichtung)
Abtriebszeit:
Merke: Unabhängigkeitsprinzip
t Abtrieb =
s Abtrieb
= 30s
v Fluss
Mechanik – 2. Addition von Geschwindigkeiten
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Manche Bewegungen lassen sich mit Hilfe von Ersatzbewegungen besonders einfach erfassen. Voraussetzung dafür ist, dass sich die beiden Ersatzbewegungen nicht beeinflussen,
d.h. unabhängig voneinander ausgeführt werden können. Ist das der Fall, so sagen wir , für
die betreffende Bewegung gilt das Unabhängigkeitsprinzip.
Film: Telekolleg Physik II, Alles bewegt sich, aber wohin
(Boot über See, Vektoraddition am Laufband, Fluggeschwindigkeit und Seitenwind, Vektorzerlegung an der Rheinüberquerung, Schmutz an Leitpfosten)
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Gesundheitswesen
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