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63 4 Schwingungen und Wellen WH: Was wissen wir schon

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63
4
Schwingungen und Wellen
WH: Was wissen wir schon?
Energiebilanz bei der Dehnung einer Feder:
1
k x2
2
1
= m v2
2
Epot =
E kin
1
1
k x 2 + m v2
2
2
1
= E kin = Eges
2
E ges = E pot + E kin =
−
E pot = E pot
Bei maximaler Auslenkung ist v = 0:
Eges =
1
1
k A 02
kx 2max =
2
2
A0: Amplitude
⇒ Gesamtenergie einer harmonischen Schwingung ist proportional zum Quadrat der
Amplitude
4.1
Mathematisches Pendel
Fadenlänge l, Kugel mit Masse m, Masse punktförmig, Faden masselos
d 2s
= + m ⋅ g ⋅ sin α
dt 2
(Minuszeichen vor F, da Rückstellkraft)
-F=-m⋅a=-m
d 2s
s
= - g sin α = - g sin
2
dt
l
64
Für kleinere Auslenkungen ist s << l und α klein. Dann gilt sin α ≈ α.
d 2s
g
= - ⋅ s = - ω2s
2
dt
l
⇒ ω2 =
g
l
;ω=
g
l
Lösung: s = so cos (ωt + ϕ0) ⇒
Auslenkungen!
T=
harmonische
Schwingung,
2π
l
⇒ unabhängig von m!
= 2π
ω
g
(⇒ unabhängig von Ao)
unter Randbedingung Ao klein
aber
nur
bei
kleinen
65
4.2
Überlagerung von Schwingungen
Viele Schwingungen sind zwar nicht harmonisch (wie Pendel bei großer Auslenkung), aber
auch nicht-harmonische Schwingungen lassen sich häufig durch Überlagerung mehrerer
harmonischer Schwingungen mit verschiedenen Frequenzen darstellen.
1D-Überlagerung (Überlagerung von Schwingung gleicher Richtung, z.B. alle Auslenkungen
in x-Richtung):
x(t) =
∑x
n
n
(t)= ∑ A n cos(ωn t+φ n )= ∑ A n sin(ωn t+φ 'n )
n
n
2 vib gleicher Frequenz
x1 (t) = A1 sin (ωt + ϕ1)
x2 (t) = A2 sin (ωt + ϕ2)
Für A1 = A2 = A:
x (t) = A sin (ωt + ϕ1) + A sin (ωt + ϕ2)
Mit
s in α + s in β = 2 s in
α +β
α −β
cos
2
2
 ωt+φ1 +ωt+φ 2 
 ωt+φ1 -ωt-φ 2 
x (t) = 2 A sin 
 cos 

2
2




φ +φ 

 φ -φ 
= 2 A sin  ωt+ 1 2  cos  1 2 
2 

 2 
⇒ wieder harmonische Schwingungen, aber andere Amplitude
 φ − φ2 
Asum = 2A cos  1
 , die von Phasendifferenz abhängt.
 2 
Für ϕ1 = ϕ2 + n ⋅ 2π (n ∈ N0) ist
x(t)= 2 A sin (ωt + ϕ2 + nπ) cos nπ
⇒ x(t) = 2A sin (ωt + ϕ2)
(da bei n gerade cos nπ= 1, n ungerade cos nπ = -1, aber auch sin(α + nπ)= -sin α)
66
Für ϕ1 = ϕ2 + (1 + 2n) π:
φ -φ
 2n + 1 
cos 1 2 = cos 
π = 0
2
 2

Verschiedene Frequenzen, Schwebung
A1 = A2 = A, ϕ1 = ϕ2 = 0 (zur Vereinfachung)
 ω +ω
x(t) = A sin ω1 t + A sin ω2 t = 2A sin  1 2
 2

 ω -ω
t  cos  1 2

 2

t

Ist ω1 - ω2 = ∆ω sehr klein und (ω1 + ω2) /2 ≈ ω ,dann gilt
 ∆ω 
x(t) = 2A cos 
t  sin ω t
 2 
⇒ sin-Schwingung mit Frequenz ω , deren Amplitude sich langsam mit cos (∆ωt/2) und
damit der Frequenz ∆ω/2 ändert, d.h. es ergibt sich eine Hüllkurve, die ebenfalls periodisch
ist.
Schwebungsdauer Ts =
da
2π
1
=
∆ω
∆ν
∆ω
⋅ Ts = π gelten muss.
2
Versuch Schwebung Stimmgabel:
67
Überlagerung mehrere Schwingungen: Fourieranalyse
Bei n Schwingungen sieht das Bild komplizierter aus, aber x (t) ist immer noch periodisch mit
T = 2π/ωg, wobei ωg der größte gemeinsame Teiler ist.
68
Umgekehrt lässt sich jede periodische Fkt. f(t) mit f(t) = f(t + T) in eine Summe von Sinusoder Cosinusfkt. zerlegen, deren Frequenzen ωn = n ⋅ ω1 einer Grundfrequenz ω1 sind:
∞
cos
f(t) = A0 + ∑ An sin (n ⋅ ω1 ⋅ t + ϕn)
n =1
A1 cos ω1t heißt Grund- oder Fundamentalschwingung, die höherfrequenten Anteile
Oberschwingungen.
Die Zerlegung von f(t) in die harmonische Schwingungsanteile heißt Fourierzerlegung bzw.
Fourieranalyse. Die Darstellung erfolgt dann in der ω-Domäne.
Zeit wird durch Fouriertransformation Zeit-1.
x(t)
T1
t
ω1
ω
T2
t
ω2
ω
ω1ω2
ω
t
2D-Überlagerung: Lissajous-Figuren
2D-Überlagerung ist sehr komplex. Bei Überlagerung zweier zueinander senkrechter vib
gleicher Frequenz mit relativer Phasenverschiebung ϕ ergeben sich Ellipsen als Bewegung,
ω
bei ω1 ≠ ω2 kompliziertere Figuren, die allerdings geschlossen verlaufen, wenn 1 rational
ω2
ist, sog. Lissajous-Figuren.
69
70
4.3
Gedämpfte Schwingung
Da im Experiment immer Reibung auftritt wird der Schwingung mit der Zeit Energie
entzogen, d.h. das schwingende System kommt irgendwann zur Ruhe ⇒ gedämpfte
Schwingung.
Reibungskraft ist häufig entgegengesetzt proportional zur Geschwindigkeit.
1D
dr 
dx
FR = - R v = - R
= −R

dt 
dt 
R (in Literatur auch b): Reibungs- oder Dämpfungskonstante
1-D:
dx
d2x
Fx = ma = m 2 = - kx –R
dt
dt
Bei schwacher Dämpfung entzieht die Reibung der Schwingung nur wenig Energie, die
momentane Abnahme entspricht der Leistung, die die Reibung dem System entzieht:
x
E= WR : - R ∫ v dx = - R vx = FR ⋅ x
0
dE
= FR v = - R v2
dt
FR ist nur bei kleinem R ≠ f(t)!
1

Eges = <2  mv 2  > = m <v2>
2

P=
Ersetzt man v2 durch <v2>, dann gilt
dE
R
=- E
dt
m
⇒ exponentielle Abnahme der Energie (rgl. barometrische Höhenformel)
dE
R
= d lnE = - dt
E
m
ln E= -
R
t + const.
m
71
E = e- Rt/m + const. = econst e- Rt/m = E0e-Rt/m = E0e-t/τ
τ ist die Zeit- oder Abklingkonstante, in dieser Zeit ist die Energie auf den e-ten Teil von E0
abgefallen.
Bei schwacher Dämpfung ist R klein und τ = groß, d.h. es gibt nur wenig Energieverlust (in
einer Periode) und dE und dt können durch ∆E und ∆t ersetzt werden.
Für ∆E als Energieverlust pro Periode gilt
∆E
R
R
= - ∆t = - T
E
m
m
T: Schwingungsdauer
Es wird ein dimensionsloser Gütefaktor Q eingeführt:
Q = 2π
E
τ
m
= 2π
= 2π
T
RT
∆E
Da E ∼ A2 gilt, gilt auch
Rt
Rt
x
−
−
E
A0
m
e
und
A
= A0 e m ⇒ exponentielle Abnahme der Amplitude
=
=
2
E0
A0
Löst man die Diff- Gleichung exakt, dann folgt
x(t) = A = A0 e
mit ω’ = ω0
−
Rt
2m
cos (ω’t + Für ∆E als Energieverlust pro Periode gilt)
1
1−
=
4Q 2
ω0
2
 R 
−

 2m 
2
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